相似三角形的判定3(两角)
第一讲(三 相似三角形的判定及性质)
A
例3
如图1 24 , 在 ABC 内任 取
一点D, 连接 AD和BD .点E在ABC 外, EBC ABD , ECB DAB. 求证 : DBE ~ ABC .
D
证明
在 DBE 与 ABC 中 , DBE
B
E
C
EBC CBD , ABC ABD DBC . 因为 ABD EBC , 所以
过 D 作 DE // BC , 交 AC 于点 E .由预备定理得
ADE ~ ABC .
因为 ADE B , B B `, 所以 ADE B `, 又因为 A A `, AD A `B `, 所以 ADE A `B `C `.
0
A
E1
D1
D
D2
E
E2
B
图 1 18
C
单击图标 打开几何画板 通过动 , ,
11 画演示 实验.解释 : 预备定理 P , ,
探究P ,引理P . 13 14
一般地 , 我们有 判定定理 1 对于任意两个三角形 角与另一个 相等 , 那么这
B D
A`
,
A B` C`
如果一个三角形的两个 三角形的两个角对应 两个三角形相似
C` A
证明
在 ABC 的边 AB 或延长线
B
D
E
上截取 AD A `B `, 过点 D 作 DE // BC , 交 AC 于点 E , 于是可得
AD AB AD AB EA CA DE BC A `B ` AB C `A ` CA AE AC
图 1 25
C
, ADE ~ ABC . 因为 AD A `B `, 所以
3.4.1相似三角形的判定定理3
B AC 1 ∠C =∠C ′= 90°，且 A AB AC 2 求证：△ ABC∽△ABC.
还可以根据相似三角形 的判定定理2，来证明这两 个直角三角形相似.
练习 1.如图,O为△ABC内一点，D、E、F
分别是OA、OB、OC中点. 求证：△ABC∽△DEF.
= 4 BC 2 =(2 BC )2. 由此得出，BC = 2BC .
BC 1 AB AC . 从而 BC 2 AB AC
因此△ AB C ∽△ABC.
(三边对应成比例的两个三角形相似)
说一说
在例2的证明中，还可以根据哪个判定定理说明 △ ABC ∽ △ABC ？
AD AE DE AB AC BC AD AB A B AE DE AB AC BC A ' B ' A ' C ' BC AB AC BC ∴ AE= A'C', DE= B'C',
A
A'
D B' C' B E
C
∴△A'B'C' ≌ △ADE ∴ △A'B'C' ∽ △ABC
证明： E O
A D F
B
C
D, E , F 分别为OA,OB,OC的中点， 1 1 1 DE = AB , EF BC , DF AC . 2 2 2 DE EF DF 1 . AB BC AC 2 △ABC∽△DEF.
练习
AB AC BC 2.如图， = = , AD AE DE
AB AC 1 ∠C =∠C ′= 90°，且 AB AC 2
相似三角形的判定3(三边对应成比例)
AB=14千米，AD=28千米， BD=21千米，
BC=42千米,DC=31.5千米，公路AB与CD平
行吗？说出你的理由。
解：公路AB与CD平行。
∵
AB 14 2
BD 21 3
AD 28 2 BC 42 3
28 D
A
31.5 21
14
42
B
C
BD 21 2 DC 31.5 3
AB AD BD
例2、已知：如图,DE,DF,EF是△ABC的中位线 .求证：△ABC∽△FED
A
证明：∵ DE,DF,EF是△ABC的中位线
∴ DE= 1 BC,DF= 1 AC,EF= 1 AB
D
E
2
2
2B
F
C
∴ DE
BC
DF AC
EF
AB
1 2
∴ △ABC∽△FED
例3：如图，某地四个乡镇建有公路，已知
B 12
C
E
F
3:如图,在6×6的正方形方格中,△ABC与△DEF的 顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，
(1)填空: BC=___2___, AC=___1_0____ EF=_2___2__, DF=__2__1_0____.
(2)△ABC与△DEF相似 A 吗?若相似,请给出证明, 若不相似,请说明理由.
三角对应相等， 三边对应成比例 两边对
应成比 例，且 夹角相 等（SAS）
类似全等三角形的判定，除上述外，还有 其他情况吗？继续探索三角形相似的条件。
三边对应成比例
A
A’
B’
C’
B
C
A'B' B'C' A'C'
相似三角形的判定三
相似三角形的判定（三）知识点回顾：1.关于三角形的判定方法(1)定义法：对应角相等、对应边成比例(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形和原三角形相似.(3)判定定理1.两角对应相等两三角形相似(4)判定定理2.两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(5)判定定理3.三边对应成比例的两三角形相似(6)直角三角形判定的方法①以上各种判定方法均适用②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似2、判定定理的适用范围(1)已知有一角相等时，可选择判定定理1与判定定理2.(2)有两边对应成比例时，可选择判定定理2与判定定理3.(3)直角三角形判定先考虑判定直角三角形相似的方法.还可以考虑一般三角形相似的方法说明：一般不用定义来判定三角形的相似.3、三角形相似的基本图形：①平行型：如图1，“A”型即公共角对的边平行，“×”型即对顶角对的边平行，都可推出两个三角形相似；②相交线型：如图2，公共角对的边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交.图中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角（或对顶角）的两边成比例，就可以判定两个三角形相似.例题讲解 课前练习1.在图3中，若DE ∥BC ，DB ∶DA=9∶4，则ΔABC 与ΔADE 的相似比是______.2.如图4, 在梯形ABCD 中，EF 交DB 、DC 于E 、F,则图中的相似三角形共有_____对；若AE ∶EF=4∶3则ΔAFD 与ΔGFC 的相似比是______.3.如图5，当∠ADC=∠____时，ΔABC ∽ΔACD ；当AD 2=_________时，ΔABC ∽ΔACD.4. ΔABC 的三边长为3、4、5,ΔA /B /C /的最短边为5,若ΔABC ∽ΔA /B /C /,则ΔA /B /C /的面积为____.例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。
三角形相似的判定方法6种
三角形相似的判定方法6种三角形相似是几何学中的一个重要概念，它描述了两个三角形形状相同，大小可能不同的关系。
判断两个三角形是否相似，主要依靠六种判定方法，它们分别是：AA相似、SSS相似、SAS相似、ASA相似、AAS相似以及HL相似（仅限于直角三角形）。
本文将详细阐述这六种判定方法，并辅以例题和图形说明，力求全面、深入地讲解三角形相似的判定。
一、 AA相似（角角相似）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
这是最常用的相似判定方法，其简洁性使其在解题中应用广泛。
原理：两个角对应相等，则第三个角也必然相等（因为三角形内角和为180°）。
三个角对应相等，保证了两个三角形的形状完全一致，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果∠A = ∠A’ 且∠B = ∠B’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题1：已知△ABC中，∠A = 60°，∠B = 80°；△DEF中，∠D = 60°，∠E = 80°。
判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。
解答：因为∠A = ∠D = 60°，∠B = ∠E = 80°，根据AA相似判定定理，△ABC ∽△DEF。
二、 SSS相似（边边边相似）如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形相似。
这是基于比例关系的相似判定方法。
原理：对应边成比例意味着两个三角形形状相同，只是大小不同。
比例关系保证了三角形的形状不变，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题2：已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm；△DEF的三边长分别为3cm、4cm、5cm。
相似三角形的判定口诀
相似三角形的判定口诀
两角对应相等，两个三角形相似。
两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
三边对应成比例，两个三角形相似。
三边对应平行，两个三角形相似。
斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
)
2.如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)
3.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
)
4.两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
(简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
)
5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
(简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
)
6.如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似(相似比为1：1)。
(简叙为：全等三角形相似)。
相似三角形的判定(三)
已知： 如图， 已知 ： 如图 ， 在 △ ABC中 ， ∠ ACB=90° ， 中 ° CD⊥AB于D. ⊥ 于 求证： 求证：△ABC∽△CBD∽△ACD. C
A
D
B
结论： 结论：
直角三角形被斜边上的高分成的两个直 角三角形和原三角形相似. 角三角形和原三角形相似.
C
A
D
B
C
A
D
B
∵在△ABC中，∠ACB=90°， 中 ° CD⊥AB于D, ⊥ 于 ∴△ABC∽△CBD∽△ACD. ∽ ∽
0
B
C
3.如图， △ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB于 如图， 如图 中 ° ⊥ 于
于点E, 点D, DE⊥AC于点 ⊥ 于点
C
AD CE 求证： 求证： = AC BD
A
E
D
B
4.在Rt△ABC中，CD是斜边 上的高，点F是 △ 是斜边AB上的高 中 是斜边 上的高， 是 CD上一点，BE⊥AF交AF的延长线于点 ， 上一点， ⊥ 交 的延长线于点 的延长线于点E， 上一点 C 2 E 求证： 求证： AD = CDi AC
相似三角形的判定（ 相似三角形的判定（三）
猜想：两个角对应相等的两个三角形相似. 猜想：两个角对应相等的两个三角形相似.
已知：如图， 已知：如图，在△ABC和△A´B´C ´ 和 中，∠A=∠A´ ，∠B=∠B´ . ∠ ∠ 求证：△ABC∽△A´B´C´. 求证： ∽
A A'
B
C B'
C'
相似三角形判定定理3 相似三角形判定定理3： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 两个角与另一个三角形的 对应相等，那么这两个三角形相似 相似. 角对应相等，那么这两个三角形相似. 简单说成：两角对应相等 两三角形相似 相似. 简单说成：两角对应相等，两三角形相似. 对应相等，
5.相似三角形判定(3)--定理(两角)
练习1. 已知:如图,∠ABD=∠C AD=2 AC=8，求AB 解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C
∴ △ABD ∽ △ACB
∴ AB : AC=AD : AB ∴ AB2 = AD · AC ∵ AD=2 AC=8 ∴ AB =4
例1 、如图所示，AD是直 角三角形ABC斜边上的 高，DE⊥DF，且DE和 DF交AB、AC于E、F． AF BE 求证： .
例题欣赏2：
如图C是线段BD上的一点， AB⊥BD.ED⊥BD.AC⊥EC 求证：AB:CD=AC:CE 证明： ∵AB⊥BD、ED⊥BD ∴∠ABC=∠CDE=90° ∴∠1+∠A=90°
A
E
1 B C
2 D
AB:CD=AC:CE
∵AC⊥EC
∴∠1+∠2=90° ∴∠A=∠2 ∴△ABC∽△CDE
三、练习巩固
1、如图，在ΔABC中， D是BC的中点，E是 AC延长线上任意一点， 连接DE与AB交于F， 与过 A作平行于BC的 直线交于G。 求证： AF AE
BF CE
课堂小结
相似三角形的判定方法有那些？
方法1：通过定义 方法2：预备定理。 方法3：三边对应成比例。
三个角对应相等 三边对应成比例
FC
GF // AB 把BF代换AG，得
BF
式可定出Rt△ACF和△BCF，显然 AF BF
Rt△ACF∽△BCF
方法3：等式代换法 当用三点定型法不能确定三角形，或虽然能确定三 角形，但这两个三角进行转换，然后再用“三点定型法”确定三 角形．
九 年 级 数 相学 下 似）
相似三角形判定（4） --定理(两角相等)
(
⒌
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证明：连接AC、BD．
∵ ∠A和∠D都是 弧BC所对的圆周角，
A ∴ ∠A＝∠D
同理 ∠C＝∠B ∴ △PAC∽△PDB
D P O·
B
PA PC
C
PD PB
即 PA·PB＝PC·PD
典例：
例3、 如图，Rt△ABC中，CD是斜边上的高，
△ACD和△CBD都和△ABC相似吗？证明你的结
论．
C
B
C B′
∵ ∠A =∠A',
C′
∠B =∠B',
∴△A´B´C´∽△ABC
练习：
已知ΔABC与ΔA/B/C/中， （1） ∠A=400，∠B=600，∠A/=400 ，∠B/=600; （2） ∠B=750，∠C=500，∠A/=550 ，∠B/=750.
这两个三角形相似吗？为什么？
例2 如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，求证PA·PB＝PC·PD
3、(简称：三边）：如果两个三角形的三组对应边 的比相等，那么这两个三角形相似.
4、(简称：两边夹角）：如果两个三角形的两组对 应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个 三角形相似. 5、(简称：两角）：如果一个三角形的两个角与 另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三 角形相似．
△ABC∽△A'B'C'
你能得到判定两个三角形相似的又一方法吗？
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A', ∠B=∠B'， 求证: △ABC∽△A'B'C'
证明：在△ABC的边AB（或延长线）上，截取AD=A'B'，过点D 作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC
一、复习提问
问题:我们已经有哪些判别两三角形相似的方法？
（1）相似三角形的定义
（2）平行于三角形一边的直线和其他两边（或 延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。
（3）三边其中同样角度（30°与60°，或 45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是 相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们 一定相似吗？
Ｄ
AD AC AC AB
AD AC CD
Ｂ
Ｃ
AC AB BC
B
D B
A
A
1 D
2 E
常见的相似 图形
B C
A C
D
O
E
A
BB
C
C O
D A D
E C
小结：相似三角形判定方法
1、对应角相等，三组对应边的比也相等的两个三 角形是相似三角形. 2、（简称：平行线）平行于三角形一边的直线和 其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
探究
作△ABC和△A'B'C'，使得∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，这时
它们的第三个角满足∠C＝∠C'吗？分别度量这两个三角形 的边长，计算 AB 、BC 、CA ，你有什么现？
A' B' B'C' C' A'
A'
A
满足：∠C = ∠C'
B
C
B'
AB BC CA C' A' B ' B 'C ' C ' A'
12
A
DB
练习：
1、如果两个等腰三角形有一对底角对应相等那么它 们是否一定相似?有一对顶角对应相等呢?
2、有一个角等于300的两个等腰三角形是否相似? 等于1200呢?
练习：
3、 已知:如图,∠ABD=∠C AD=2 AC=8， 求AB 长.
练习：
4、如图，AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ， 且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？
∵∠ADE=∠B, ∠B=∠B'
A
∴∠ADE=∠B'
A'
又∵∠A=∠A',AD=A'B'
∴△ADE≌△A'B'C'
D
∴△A'B'C'∽△ABC
B
E
C B'
C'
相似三角形的判定
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两 个角对应相等，那么这两个三角形相似． (简 称：两角）：
A′ 符号语言：
A
在△A´B´C´和△ABC中，
A
E F
B
C
D
练习：
6、 如图，在ΔABC中 ，点D、E分别
是边AB、AC上的点，连结DE，当具备怎样的条
件时，ΔADE与 ΔABC相似？
A
A
D B
E
D
E
C
B
C
练习：
7、在ΔABC中 ，点D是边AB上的一点， 连结CD，当具备怎样的条件时，ΔACD与
ΔABC相似？
Ａ
∠ADC=∠ACB
∠ACD=∠B