运用洛必达法则解高考数学问题
运用洛必达法则解高考数学问题
运用洛必达法则解高考数学问题运用洛必达法则解高考数学问题【摘要】高考数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高等数学为背景的命题形式成了热点，洛必达法则是利用导数来计算具有不定型的极限的方法.【关键词】中学数学；高等数学；法则近年来的高考数学试题逐步做到科学化，规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则，充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能。
为此，高考数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高等数学为背景的命题形式成了热点。
许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型。
这类题目容易让学生想到用分离参数的方法，一部分题用这种方法很凑效，另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路――分类讨论和假设反证的方法。
虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌握起来非常困难。
研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则洛必达法则是利用导数来计算具有不定型的极限的方法。
这法则是由瑞士数学家约翰?伯努利所发现的，因此也被叫作伯努利法则。
是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
洛必达法则（定理）：设函数f（x）和g（x）满足：（1）= =0；（2）在点a的某去心邻域内f（x）与都可导，且的导数不等于0；（3）若=A，则=A下面通过几道高考试题来进一步验证。
例1（2010年海南.文）已知函数f（x）= x（-1）-a ，当x 0时，f（x）0，求a的取值范围。
解：由已知得，当x=0时，f（x）0成立，此时a当x 0时，f（x）0即x（-1）-a 0，等价于a令g（x）= ，则令h（x）=（x-1）+1，则x ，所以h（x）在（0，+ ）上单调递增即h（x）h（0）=0，从而x 0时，= 所以g （x）在（0，+ ）上单调递增.即g（x）g（0），而g（0）无意义，到这儿解题思路受阻。
例析洛必达法则在解高考导数题中的运用
例析洛必达法则在解高考导数题中的运用2014年全国高考数学试题中，有许多与函数的综合运用有关的考题，其中涉及到恒成立问题和有解问题，而这些问题几乎都需要求解参数的取值范围。
解决这类问题的方式有两种，一种是选主元法，另一种是分离参数法。
分离参数法的优点在于将函数关系由隐变显，避免了繁琐的分类讨论，因此备受教师和学生的喜爱。
然而，在实际应用中，有时函数在某点处的极限难以求出，导致解答中途失败。
但是，利用高等数学中的洛必达法则，这些问题就可以迎刃而解。
洛必达法则是一种通过求导和求极限来确定未定式值的方法。
当x趋于某一点a时，若f(x)和g(x)都趋于零（或无穷大），且f'(x)和g'(x)都存在且g'(x)不为零，则可以使用洛必达法则。
在使用时需要注意两点：一是要检查函数极限是否满足∞/∞或0/0型；二是可以连续使用多次。
以2014年陕西高考数学试题为例，其中一道压轴试题涉及到分离参数法和洛必达法则的应用。
在求解过程中，需要使用洛必达法则来解决函数在某点处的极限问题，从而得到最终的答案。
这表明，在解决高考数学导数题时，洛必达法则的应用是非常重要的。
已知函数$f(x)=(1+x)\ln(1+x)-x\ln(1+x)$，其中$x>0$。
1）设$h(x)=\frac{f(x)}{x^2}$，求$h(x)$在$(0,+\infty)$上的单调性和最小值；2）设$a=\min\{h(x)\}$，求$a$的取值范围。
解：1）首先求出$h(x)$的导数$h'(x)$：h'(x)=\frac{f'(x)x^2-2xf(x)}{x^4}=\frac{x\ln(1+x)}{(1+x)^2}$$由于$x>0$，所以$h'(x)>0$，即$h(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。
接下来求$h(x)$的最小值：h'(x)=0\Rightarrow x=0\text{或}x=e-1$$当$x=e-1$时，$h(x)$取得最小值：h(e-1)=\frac{(e-1)\ln e}{e^2}=\frac{1-e^{-1}}{e}$$2）由于$f(0)=0$，所以$h(0)=0$。
导数结合洛必达法则巧解高考压轴题精选推荐PPT
x1
x1 1 x2
x1 1 x2
x1 2x
即当 x 1 时， g(x) 0 ，即当 x 0 ，且 x 1 时， g(x) 0 .
因为 k g(x) 恒成立，所以 k 0 .综上所述，当 x 0 ，且 x 1 时， f (x) ln x k 成立， k 的取值范围为 (，0] .
x 1 x
4.运用洛必达和导数解 新课标理
设函数 f (x) ex 1 x ax2 . （Ⅰ）若 a 0 ，求 f (x) 的单调区间；
（Ⅱ）当 x 0 时， f (x) 0 ，求 a 的取值范围.
4.运用洛必达和导数解 新课标理
应用洛必达法则和导数
（Ⅱ）当 x 0 时， f (x) 0 ，即 ex 1 x ax2.
求 a 的取值范围.
全国1理
设函数 f (x) ex ex ． （Ⅰ）证明： f (x) 的导数 f (x) ≥ 2 ； （Ⅱ）若对所有 x ≥ 0 都有 f (x) ≥ ax ，
求 a 的取值范围．
全国2理
设函数 f (x) sin x ． 2 cos x
（Ⅰ）求 f (x) 的单调区间；
1 1 x2
h(x )
0，与题设矛盾.综上可得， k
的取值范围为 (，0] .
新课标理的常规解法
注：分三种情况讨论：① k 0 ；② 0 k 1；③ k 1 不易想到. 尤其是② 0 k 1时，许多考生都停留在此层面，举反例 x (1, 1 )
1 k
更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同，这是高中阶段 公认的难点，即便通过训练也很难提升.
明理由.
新课标理
设函数 f ( x) 运用洛必达和导数解 年新课标理 = ex 1 x ax2 .
洛必达法则巧解高考压轴题(好东西)
3.洛必达法则
虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方 法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂， 学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数
①当
x
0
时，
a
R
；②当
x
0
时，
ex
1
x
ax2
等价于
a
ex
1 x2
x
.
记
g(x)
ex
1 x2
x
x
(0，+)
，则
g
'( x)
(x
2)ex x3
x
2
.
记 h(x) (x 2)ex x 2 x (0，+) ，则 h '(x) (x 1)ex 1，当 x (0，+) 时， h ''(x) xex 0 ，
理
当 x 0 ，且 x 1时， f (x) ln x k ，即 ln x 1 ln x k ， x 1 x x 1 x x 1 x
也即 k
x ln x x 1
1 x
x ln x x 1
2x ln x 1 x2
1，记
g(x)
2x ln x 1 x2
1，
x
0 ，且
x
1
则
g
'( x)
2( x 2
1 x
（Ⅰ）设 a 0 ，讨论 y f x 的单调性；
洛必达法则在高考解答题中的应用(高二下)
导数结合洛必达法例巧解高考压轴题之五兆芳芳创作
一．洛必达法例： 法例 1.
及
；
(2)
(3)
，那么
=
． 法例 2.
；
(2)
利用洛必达法例求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题
中
应
注
意
：
○1
○2
○3
不满足三个前提条件时，就不克不及用洛必达法例，这时称洛必达法例不适用，应从另外途径求极限．
○4若条件合适，洛必达法例可连续多次使用，直到求出极限为止．
二．高考例题讲授
1.
2.
5.
a的取值规模．
总结：通过以上例题的阐发，我们不难发明应用洛必达法例解决的问题应满足：
1．能够别离变量；
2．用导数能够确定别离变量后另一侧所得新函数的单调性；
3．.。
洛必达法则在高考解答题中的应用(高二下)
洛必达法则在高考解答题中的应用(高二下)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN导数结合洛必达法则巧解高考压轴题一．洛必达法则：法则1.若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件：(1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x ag x →=； (2)在点a 的去心邻域内，)(x f 与)(x g 可导且0)('≠x g ；(3)()()lim x a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='． 法则2.若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件：(1) ()lim x a f x →=∞及()lim x a g x →=∞；(2)在点a 的去心邻域内，)(x f 与)(x g 可导且0)('≠x g ；(3)()()lim x a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='． 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ○1将上面公式中的a x →，∞→x 换成+∞→x ，-∞→x ，+→a x ，-→a x 洛必达法则也成立．○2洛必达法则可处理00，∞∞，0⋅∞，∞1，0∞，00，∞-∞型． ○3在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞，0⋅∞，∞1，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限． ○4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止． 二．高考例题讲解1. 函数2()1x f x e x ax =---．（Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当0x ≥时()0f x ≥，求实数a 的取值范围．2. 已知函数xb x x a x f ++=1ln )(，曲线()y f x =在点))1(,1(f 处的切线方程为230x y +-=．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x>+-，求k 的取值范围． 3.若不等式3sin ax x x ->对于)2,0(π∈x 恒成立，求实数a 的取值范围． 4.设函数xx x f cos 2sin )(+=。
洛必达法则巧解高考压轴题
洛必达法则巧解高考压轴题 洛必达法则：法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x ag x →=； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0；(3)()()lim x a f x l g x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。
00型 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x a f x →=∞及()lim x ag x →=∞； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0；(3)()()lim x a f x l g x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。
∞∞型 注意： ○1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则 也成立。
○2若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
典例剖析例题1。
求极限（1）xx x 1ln lim 0+→ (∞∞型) （2）lim x ®p 2sin x -1cos x (00型) （3） 20cos ln limx x x → (00型) （4）x x x ln lim +∞→ (∞∞型) 变式练习: 求极限（1）x x x )1ln(lim 0+→ (2)a x a x a x --→sin sin lim (3)x e e x x x sin lim 0-→- (4)22)2(sin ln lim x x x -→ππ 例题2。
已知函数R m x e x m x f x ∈+-=,)1()(2（1）当1-=m 时，求)(x f 在[]1,2-上的最小值（2）若)()2('2x f x m x >++在()0,∞-上恒成立，求m 的取值范围 例题 3.已知函数)0(,)(>++=a c xb ax x f 的图像在点())1(,1f 处的切线方程为1-=x y ， （1）用a 表示c b ,（2）若x x f ln )(≥在[)+∞,1上恒成立，求a 的取值范围例题4.若不等式3sin ax x x ->在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx 是恒成立，求a 的取值范围 例题5.已知2)1()(ax e x x f x --=（1）若)(x f 在1-=x 时有极值，求函数)(x f 的解析式（2）当0≥x 时，0)(≥x f ，求a 的取值范围强化训练1. 设函数x e x f -1)(-=（1）证明：当1->x 时，1)(+≥x x x f 。
洛必达法则巧解高考数学压轴题_函数与导数中的参数问题求解_唐伟
x2 + 4x + 2 则有k ≥ g(x) ， max 2ex (x + 1)
2 4x + 2 ， (4) 若 x ∈ [ 0， + ∞） ， 有 k≥ x + 令 g(x) = 2ex (x + 1)
g(x) max=g(0) = 1， 所以k ≥ 1
又 g′(x) =
ห้องสมุดไป่ตู้
-2ex x(x + 2)2 ， 当 x ∈ [ 0， + ∞） 时， g′(x)>0, [2ex (x + 1)]2
又 g′(x) = 单调递增.
三、 解决思路
-2ex x(x + 2)2 ， 当x ∈[-1，0]时， g′(x)>0,g(x) x 2 [2e (x + 1)]
例1 （2013 年全国卷 · 理） 已知函数 f(x)＝x2＋ax＋ b， g(x) ＝ex(cx ＋ d)， 若曲线 y＝f(x) 和曲线 y＝g(x) 都过 点 P(0， 2)， 且在点 P 处有相同的切线 y＝4x+2
· 54 ·
考试与复习
g(x)单调递增.
程为 x+2y-3=0.
f (x) = a ln x + b ， 曲线 y = f(x)在点 （1,f （1） ） 处的切线方 x+1 x
例 2 （2011 年 全 国 卷 · 理 ） 已 知 函 数
综上所述， k的取值范围为[1,e2].
g(x) max=g(0) = 1， 所以k ≥ 1
h( x) = xex - 2ex + x + 2 ( x > 0 )
，
则
则
(x = 2∙
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运用洛必达法则解高考
数学问题
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运用洛必达法则解高考数学问题
【摘要】高考数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高等数学为背景的命题形式成了热点，洛必达法则是利用导数来计算具有不定型的极限的方法.
【关键词】中学数学；高等数学；法则
近年来的高考数学试题逐步做到科学化，规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则，充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能。
为此，高考数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高等数学为背景的命题形式成了热点。
许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型。
这类题目容易让学生想到用分离参数的方法，一部分题用这种方法很凑效，另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路――分类讨论和假设反证的方法。
虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌握起来非常困难。
研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则
洛必达法则是利用导数来计算具有不定型的极限的方法。
这法则是由瑞士数学家约翰?伯努利所发现的，因此也被叫作伯努利法则。
是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
洛必达法则（定理）：设函数f（x）和g（x）满足：
（1） = =0；
（2）在点a的某去心邻域内f（x）与都可导，且的导数不等于0；
（3）若 =A，则 =A
下面通过几道高考试题来进一步验证。
例1（2010年海南.文）已知函数f（x）= x（ -1）-a ，当x 0时，f（x）0，求a的取值范围。
解：由已知得，当x=0时，f（x） 0成立，此时a
当x 0时，f（x） 0即x（ -1）-a 0，等价于a
令g（x）= ，则
令h（x）=（x-1） +1，则 x ，所以h（x）在（0，+ ）上单调递增
即h（x） h（0） =0，从而x 0时， = 所以g（x）在（0，+ ）上单调递增.即 g（x） g（0），而g（0）无意义，到这儿解题思路受阻。
所以由洛必达法则，有 = =1 综上所述，得a 1
例2（2010年全国新课程1卷.理）设函数f（x）= -1-x-a ，当x 0时，f （x） 0，求a的取值范围。
解：由已知得，当x=0时，f（x） 0成立，此时a
当x 0时，f（x） 0即 -1-x-a 0等?r于a
令g（x）= ，则
令h（x）= ，则， x
所以，在（0，+ ）上单调递增，即 =0
从而，h（x）在（0，+ ）上单调递增，即h（x） h（0）=0
因此，当x 0时从而，g（x）在（0，+ ）上单调递增，即g（x） g（0）而g（0）无意义，到这儿解题思路受阻。
所以由洛必达法则，有 = 综上所述，得a
例3（2006年全国卷2.理）设函数f（x）=（x+1），若对所有的x≥0，都
有f（x） ax成立，求实数a的取值范围。
解：由已知得，当x=0时，f（x） ax成立，此时a
当x 0时，f（x） ax等价于a≤
令g（x）= ，则 =
令h（x）= ，则
从而，h（x）在（0，+ ）上单调递增，即h（x） h（0）=0
因此，当x 0时从而，g（x）在（0，+ ）上单调递增，即g（x） g（0）而g（0）无意义，到这儿解题思路受阻。
所以由洛必达法则，有
= =1 综上所述，得a 1
从上述3道例题可以看出，从2006年到现在近十年，这类试题一直受高考出题者的青睐，洛必达法则是数学分析的一个重要定理，是利用导数来计算具有不定型的极限的方法，近年来，不少压轴题以导数命题，往往可以用洛必达法则求解，固然，这些压轴题用初等数学的方法也可以求解，但方法往往计算量较大。
这时，用洛必达法则较容易解决，这就充分体现了高等数学的优越性。
参考文献：
[1]赵文博.洛必达法则巧解高考压轴题[J].中学生数理化（高二数学），2018（02）.。