4.2微积分基本定理
微积分
x0
2x
1 .
2e
4.2 微积分基本定理(79)
8
例 2 设 f ( x)在(,)内连续，且 f ( x) 0.
x
证明函数
F(x)
0 tf
x
(t )dt
在(0,)内为单调增
0 f (t)dt
加函数.
证
d
x
tf (t )dt
xf(x),
d
x
f (t )dt f(x),
dx 0
dx 0
x
x
xf(x) f(t)dtf(x) tf(t)dt
xx
(xx) f(t)dt
a
y f(x)
( x x ) ( x )
(x)
xx
x
a f(t)dta f(t)dt o a x xxb x
4.2 微积分基本定理(79)
5
x
x x
x
af(t)d t x f(t)d t af(t)d t
xx
y
x f (t)dt,
由积分中值定理得
(x)
oa
f() x [x ,x x ],
x xxb x
(或 [xx,x])
f (), lim lim f()
x
x 0x x 0
x 0, x (x )f(x ).
4.2 微积分基本定理(79)
6
补充 如果 f (t)连续，a( x)、b( x)可导，
b( x)
则 F ( x) f (t )dt 的导数F( x)为 a( x)
a
Q(a)a f(t)dt0 F (a)C ,
x
QF(x)a f(t)dtC,
x
a f(t)dtF(x)F(a),
《微积分的基本定理》课件
物理
在物理学科中，该定理可以用来 解决各种物理量如质量、速度、 力等的积分问题，例如计算物体 的动量、动能等。
工程
在工程领域，该定理可以用来解 决各种实际问题的积分计算，例 如计算电路中的电流、求解流体 动力学中的压力分布等。
02 定理的证明
定理证明的思路
明确问题
首先，我们需要明确微积分的基本定理是关于什 么的，以及它要解决的问题是什么。
难点2
如何利用积分运算法则简化每个小部分的积 分。
关键点1
理解定积分的定义和性质，以及它们在证明 定理中的作用。
关键点2
掌握导数的定义和性质，以及它们在推导原 函数值增量中的应用。
03 定理的推论和扩 展
推论一：积分中值定理
总结词
积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明在闭区间上连续的函数一定存在至少一个点，使得该函数在此 点的值为该区间上函数积分的平均值。
详细描述
积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它表明如果一个函数在闭区间上连续，那么在这个区间内一定存在至 少一个点，使得该函数在这一点处的值等于该函数在整个区间上的平均值。这个定理在解决一些微积分问题时非 常有用，因为它可以帮助我们找到函数在某个点处的值，而不需要计算整个区间的积分。
推论二：洛必达法则
个定积分的值就是曲边梯形的面积。
应用实例二：求解不定积分
总结词
微积分的基本定理是求解不定积分的关 键工具。
VS
详细描述
不定积分是微分学的逆运算，其求解过程 需要用到微积分的基本定理。根据基本定 理，不定积分∫f(x)dx = F(x) + C，其中 F(x)是f(x)的一个原函数，C是常数。通过 基本定理，我们可以找到一个函数F(x)， 使得F'(x) = f(x)。这样，我们就可以求解 不定积分了。
微积分：4.2 微积分基本公式
如果F ( x)是连续函数 f ( x)在区间[a, b]上
的一个原函数, 则
b
f ( x)dx F (b) F (a)
a
证 因为F(x)及 ( x)
x
f (t)dt
都是f(x)在[a,b]
a
上的原函数,故有 ( x) F( x) C, x [a, b]
C是待定常数,
即有 ax f (t)dt F (ax) C, x [a, b] a
错!
1, 当 1 x 0时,
已知函数
f
(
x
)
x,
当0 x 1时,
正确做法
x
1,
当1 x 2时.
求积分上限的函数 ( x)
x
f (t )dt.
1
当x [1,0)时,
x
••
( x)
x
f (t)dt
x
1dt x 1.
1
1
当x [0,1]时,
1 0
• • x•
1 0 1
当0 x 1 时, x(2x 1) 0; 2
当1 x 1时, x(2x 1) 0. 2
原式
1
2x(2x 1)dx
0
1
x(2x 1)dx
1
1
4
2
例 f ( x) C[0,1], f ( x) 2x 1 x2 f (t)dt,求f ( x). 0
解 f ( x) 2x 1 x2 f (t )dt 0
cos x 1
1, 当 1 x 0时,
例
已知函数
f
(
x)
x,
当0 x 1时,
x
1,
当1 x 2时.
微积分学基本定理
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是时
间间隔[T1 ,T2 ]上t 的一个连续函数，且v(t ) 0 ，
求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T2 v(t )dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
F (b)
F (a)
F ( x)ba
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a ) 仍成立.
； 快速阅读加盟 阅读加盟
2 x
解 当 x 0时，1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln |
x
|
1 2
ln1 ln 2 ln 2.
例 4 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
计算: (1)
21 dx;
1x
3
1
(2) 1 (2x x2 )dx
(3)0 sin xdx;
2
(4) sin xdx;
2
(5)0 sin xdx;
例1
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
微积分基本定理PPT课件
π 0
sinx dx = -cosx
π 0
= -cosπ - -cos0 = -cos2π - -cosπ = -cos2π - -cos0
=2
2π π
sinx dx = -cosx
2π π
= -2
2π 0
sinx dx = -cosx
2π 0
接下来让我们练一练吧
定积分的基本公式,又称牛顿 ----莱布尼兹公式.常表示为
b
a
f(x)dx = F(x) = F b - F a .
b a
例1. 计算 -1
3
1 解: 因为 arctanx = 1 + x2 由微积分基本定理得：
'
dx . 2 1+ x
dx 3 = arctanx -1 -1 1 + x2 = arctan 3 - arctan -1
从几何意义上看，设曲线y=y(t) 上与 t i-1 对应的点为P，PD是P点处 的切线，由导数的几何意义知，切 线PD的斜率等于y' ti-1 ，于是
Δs i ≈ h i = tan∠DPCgΔt = y t i-1 Δt
'
物体的总位移s
s = Δsi ≈ hi = v t i-1 Δt
教学目标
知识与能力
了解微积分的概念和推 导过程以及基本思想，并能利用 微积分的定义解决实际问题.
过程与方法
通过实例（如变速运动物体 在某段时间内的速度与路程的关 系），直观了解微积分基本定理的 含义．
情感态度与价值观
微积分是大学阶段的数学必 修，是高等数学的基础组成部分.高 中阶段的导数是其基础.
微积分基本定理
2 2 （2 1） （ 2 ln 2 ln 1） 1 2 ln 2 x |1 2(ln x) |1
公式 1: 公式：
b
a
1 b dx = lnx|a x
b
a
f ( x)dx F ( x) | F (b) F (a)
b a
例 4．计算下列定积分 3 1 2 1 (3x - x2 )dx 解:∵ (x ) = 3x ,
1
x
1dx e ___ e 1
初等函数
练习 2:求下列定积分： (1) (x2＋2x＋3)dx； (2) (3)
0 － π 2 1
(cos x－ex)dx；
x 2 sin2 dx. 0 2
练习3：求下列定积分：
(练习) A.π
(1＋cosx)dx等于 B.2 C.π－2
微积分基本定理：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F’(x)＝f（x)，则，
b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).
5.在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为 线方程. 解：如右图.设切点A(x0，y0)，由 .试求：切点A的坐标及过切点A的切
y′＝2x，得过点A的切线方程为
y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－ 令y＝0，得x＝ .即C( ,0). .
设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形面积为S，
C.3
答案：D
D.2
微积分学基本定理
(4)性质 : 1) Cf ( x )dx C f ( x )dx 2) f ( x ) g ( x )dx
a b
b
a
f ( x )dx g ( x )dx
a b c
b
3) f ( x )dx
a
b
c
a
f ( x )dx f ( x )dx
x ln x x (7 ) log a xdx ln a (9) cos xdx sin x C
计算不定积分: (1) ( x 3)( x 2)dx; ( x 1)( x 2) ( 2) dx; x cos 2 x ( 3) dx cos x sin x
b
a
f ( x )dx F ( x ) | F ( b ) F ( a )
b a
计算定积分的方法: f ( x )dx
aபைடு நூலகம்
b
(1)定义法 ( 2)面积法(曲边梯形面积 ) ( 3)公式法( 微积分基本定理 )F ( x ) f ( x )
/
b
a
f ( x )dx F ( x ) | F ( b ) F ( a )
微积分学基本定理
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v ( t ) 是时 t 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ， 间间隔[T1 , T2 ]上 求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T
T2
1
v ( t )dt
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
微积分基本定理
微积分基本定理微积分是数学中的一个重要分支，研究了函数的变化率、积分和微分。
在微积分中，存在着一些重要的定理，其中最基本的定理是微积分基本定理，也称为牛顿－莱布尼茨公式。
微积分基本定理由两个部分组成：第一部分是微分学基本定理，第二部分是积分学基本定理。
第一部分：微分学基本定理微分学基本定理是指在定积分和不定积分之间的关系。
它声称如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且存在它的原函数F(x)，即F'(x) = f(x)，那么函数f(x)在[a, b]上的定积分等于原函数F(x)在a和b处的差值。
换句话说，定积分就是原函数在区间上的差值。
数学表达式为：∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)这个定理的重要性在于，它给出了计算定积分的一种方法，通过求出函数的原函数，再计算原函数在区间的差值来得到定积分的值。
这在实际应用中非常有用，例如计算曲线下面积、求解概率密度函数等都可以利用微积分基本定理。
第二部分：积分学基本定理积分学基本定理是微积分中另一个重要的部分。
它描述了反过程，即求解函数的原函数的过程。
根据积分学基本定理，如果一个函数f(x)在[a, b]上连续，并且存在其原函数F(x)，那么函数f(x)在[a, b]上的定积分等于原函数F(x)在[a, b]上的增量。
也就是说，定积分就是原函数在区间上的增量。
数学表达式为：∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)这个定理可以用于求解函数的原函数。
通过计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，可以得到其原函数F(x)在a和b处的值。
综合应用：微积分基本定理在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，可以利用微积分基本定理计算物体的位移、速度和加速度等；在经济学中，可以用来计算边际效益和利润最大化问题；在工程学中，可以用于求解曲线的长度、曲率和曲线下面积等。
总结：微积分基本定理是微积分中的一个重要定理，它由微分学基本定理和积分学基本定理组成。
4.2 微积分基本定理 课件(北师大选修2-2)
(2)∵(sin x＋ex)′＝cos x＋ex， ∴∫0 π(cos x＋ex)dx －
0 ＝(sin x＋ex)| －π＝1－e－π.
1 1 2 x ＋ ′＝2x－ 2， (3)∵ x x
1 1 1 22 ∫32x－ 2dx＝x2＋ | 3＝7＋ ＝ . ∴ 1 1
数与定积分之间有什么联系？
提示： f(x)dx＝F(b)－F(a), 其中 F′(x)＝f(x)．
b a
微积分基本定理 如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)， 则有
∫bfxdx＝ F(b)－F(a) a
定理中的式子称为 牛顿—莱布尼茨公式 ，通常称
F(x)是f(x)的一个 原函数 ．
b ∵f(x)为奇函数，∴ ＝0，即 b＝0. 2 1 a a 1 5 又∵f(1)－f(－1)＝ ，∴ ＋1＋ ＋1＝ .∴a＝－ . 3 3 3 3 2
[一点通] (1)当被积函数中含有参数时，必须分清参数和自变 量，再进行计算，以免求错原函数．另外，需注意积分
下限不大于积分上限．
(2)当积分的上(下)限含变量x时，定积分为x的函数， 可以通过定积分构造新的函数，进而可研究这一函数的 性质，解题过程中注意体会转化思想的应用．
3 2
7 ＝－ . 4
[例 2]
π sin x，0≤x≤2 ， 已知函数 f(x)＝ π 1，2<x<2， x－1，2≤x≤4，
先画
出函数图像，再求这个函数在[0,4]上的定积分．
[思路点拨] 按
π π f(x)的分段标准，分成0，2 ，2，2，
在计算定积分时，常常用记号F(x) | F(a)，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作
【数学】4.2 微积分基本定理 课件(北师大版选修2-2)
复习回顾
定积分的概念：
b
a
f ( x )dx lim f i △xi
n i 1
b
n
定义求定积分：
分割→近似代替→求和→取极限（得定积分 f ( x )dx ）
即①分割： n 等分区间 a , b ；
ba f ( i ) ； ③求和： n i 1
ba Si t s (ti 1 ) v(ti 1 ) n
'
由定积分的定义得
S v(t )dt s(b) s(a)
a b
牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
b a
或 f ( x )dx F ( x ) |b F (b) F (a ) a
2 2 （ 2 x |1 2(ln x) |1 2 1） （ln2 ln1） 1 2 ln 2
公式1: 公式二：
b
a
1 b dx = lnx|a x
例3 计算下列定积分
(1)
2 0
cos xdx
(2)
2 0
sin xdx
(3) 2
0
cos 2 xdx
' 解(1) sin x） cos x （
ba S s1 s2 si sn Si v(t ) n i 1 i 1
n n
b b ba S lim Si lim v(t ) v(t )dt s ' (t )dt s(b) s(a) a a n n n i 1 i 1 n n
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4.2微积分基本定理
2微积分基本定理
教学过程：
复习：
定积分的概念及用定义计算
引入新
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。
我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S,速度为v，
则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S在上的增量来表达，即
=
而。
对于一般函数，设，是否也有
若上式成立，我们就找到了用的原函数的数值差来计算在上的定积分的方法。
注：1：定理如果函数是上的连续函数的任意一个原函
数，则
证明：因为=与都是的原函数，故
-=c
其中c为某一常数。
令得-=c，且==0
即有c=，故=+
=-=
令，有
此处并不要求学生理解证明的过程
为了方便起见，还常用表示，即
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。
它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。
它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。
因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
例1．计算下列定积分：
；。
解：因为，
所以。
）因为，
所以。
练习：计算
解：由于是的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有
===
例2．计算下列定积分：。
由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。
解：因为，
所以
可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:
定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；
图1.6一3，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；，且等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积．
例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。
设汽车以等减速度=1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。
当t=0时，汽车速度=32公里/小时=米/秒8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,速度,故从解得秒于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
=米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.
微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．
四：课堂小结：
本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！
五：教学后记：。