一阶动态电路分析与计算
一阶动态电路分析
一阶动态电路分析在一阶动态电路分析中，通常需要考虑以下几个步骤：1.确定电路拓扑结构：首先需要确定电路中的元件和它们的连接方式，以建立电路的拓扑结构。
2.建立电路微分方程：根据电路中的元件和连接方式，可以通过基尔霍夫定律、欧姆定律等来建立电路的微分方程。
对于电容和电感元件，可以利用其电压和电流的关系（即电压-电流特性）得到微分方程。
- 对于电容元件，根据电容的定义（Q=C*dV/dt），可以得到微分方程：C*dV/dt = I，其中C为电容值，V为电容的电压，t为时间，I为电流。
- 对于电感元件，根据电感的定义（V=L*di/dt），可以得到微分方程：L*di/dt = V，其中L为电感值，i为电感的电流，t为时间，V为电压。
3.求解微分方程：根据所建立的微分方程，可以通过分离变量、积分等方法对方程进行求解。
求解过程中需要考虑初始条件，即在其中一时刻电容的电压或电感的电流的初始值。
4.分析电路响应：根据微分方程的解，可以得到电路中电容的电压或电感的电流随时间的变化曲线。
根据这些曲线可以分析电路的稳定状态、暂态响应和频率响应。
在分析电路响应时，可以根据不同的输入信号类型进行分类，常见的输入信号包括：-直流输入：当输入信号为直流信号时，可以将微分方程简化为代数方程进行求解。
此时电路响应主要包括稳态响应和过渡过程。
-正弦输入：当输入信号为正弦信号时，可以利用拉普拉斯变换将微分方程转换为代数方程。
通过求解代数方程和对频率的分析，可以得到电路的频率响应。
-脉冲输入：当输入信号为脉冲信号时，可以将微分方程进行离散化，转化为差分方程进行求解。
此时电路响应主要包括脉冲响应和响应序列的叠加。
总结来说，一阶动态电路分析是通过建立微分方程，求解微分方程，分析电路响应的一种方法。
通过这种方法，可以了解电路的稳定状态、暂态响应和频率响应等特性。
同时，对于不同类型的输入信号，还可以通过不同的数学工具和方法进行求解和分析。
这种分析方法可以广泛应用于电子电路、控制系统等领域的研究和应用中。
第6章 一阶动态电路分析
第6章一阶动态电路分析6.1 学习要求（1）掌握用三要素法分析一阶动态电路的方法。
（2）理解电路的暂态和稳态以及时间常数的物理意义。
（3）了解用经典法分析一阶动态电路的方法。
（4）了解一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念。
（5）了解微分电路和积分电路的构成及其必须具备的条件。
6.2 学习指导本章重点：（1）电流、电压初始值的确定。
（2）一阶电路的三要素法分析方法。
（3）时间常数的物理意义及其计算。
本章难点：（1）电流、电压初始值的确定。
（2）一阶电路的三要素法分析方法。
（3）电流、电压变化曲线的绘制。
本章考点：（1）电流、电压初始值的确定。
（2）一阶电路的三要素法分析方法。
（3）时间常数的计算。
（4）电流、电压变化曲线的绘制。
6.2.1 换路定理1．电路中产生过渡过程的原因过渡过程是电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态的中间过程，因为时间极为短暂，又称暂态过程。
电路中产生过渡过程的原因是：（1）内因：电路中的能量不能突变。
电路中的电场能和磁场能不能突变是电路电工技术学习指导与习题解答124 产生过渡过程的根本原因。
（2）外因或条件：换路。
电路工作条件发生变化，如开关的接通或断开，电路连接方式或元件参数突然变化等称为换路。
换路是电路产生过渡过程的外部条件。
2．研究电路过渡过程的意义（1）利用电路的过渡过程改善波形或产生特定的波形。
（2）防止电路产生过电压或过电流损坏用电设备。
3．换路定理与初始值的确定设换路发生的时刻为0=t ，换路前的终了时刻用-=0t 表示，换路后的初始时刻用+=0t 表示。
由于换路是瞬间完成的，因此-0和+0在数值上都等于0。
根据能量不能突变，可以推出电路换路定理为：（1）电容两端电压u C 不能突变，即：)0()0(C C -+=u u（2）电感中的电流i L 不能突变，即：)0()0(L L -+=i i电路中+=0t 时的电流、电压值称为初始值。
初始值的确定步骤如下： （1）求出-=0t 时电路的)0(C -u 和)0(L -i 。
一阶动态电路的三要素法
一阶动态电路的三要素法一阶动态电路是指电路中只有一个电感或一个电容元件的电路，在分析这种电路时可以使用三要素法。
三要素法是一种基本的电路分析方法，它利用电路中三个基本元件（电源、电感、电容）的电压或电流关系来描述电路中的动态行为。
在使用三要素法时，需要使用线性微分方程来描述电路中的电压和电流关系。
在使用三要素法时，需要按照以下步骤进行分析：1.画出电路图，并确定电路中的电压和电流的参考方向。
2.根据电路图和电压和电流的参考方向，写出电路中的基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律等式。
3.根据电路元件的特性方程，写出电感或电容元件的电流和电压之间的关系。
4.将基尔霍夫定律和元件特性方程联立，并进行求解，得到电路中的电流和电压随时间变化的函数关系。
5.根据所求得的电流和电压随时间变化的函数关系，来分析电路的动态行为。
在使用三要素法进行电路分析时，首先需要根据电路图和电压、电流的参考方向写出基尔霍夫定律方程，例如，在一个带有电感元件和电源的串联电路中，可以根据基尔霍夫电压定律写出方程：\[V_L-V_s=0\]其中\(V_L\)是电感元件的电压，\(V_s\)是电源的电压。
接下来，根据电感元件的特性方程写出电感元件的电流和电压之间的关系，例如：\[V_L = L \frac{di_L}{dt}\]其中\(L\)是电感元件的感值，\(di_L\)是电感元件的电流微分，\(dt\)是时间微分。
将基尔霍夫定律方程和元件特性方程联立，并进行求解，可以得到电路中的电流和电压随时间变化的函数关系。
例如，可以得到电感元件的电流随时间变化的函数关系：\[i_L(t) = \frac{V_s}{L} \cdot t + i_L(0)\]其中，\(i_L(0)\)是初始时刻电感元件的电流。
最后，根据所求得的电流和电压随时间变化的函数关系，来分析电路的动态行为。
例如，在一个带有电感元件和电源的串联电路中，可以根据电压随时间变化的函数关系来分析电路中电压的变化情况。
电路分析基础-4 一阶动态电路
WC /J 1
0
1
2 t /s
上 页 下 页
若已知电流求电容电压，有
0 1 i(t ) 1 0
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
i /A 1 1
2 t /s
-1
当0 t 1s
当 1 t 2s
1 0 1 t uC ( t ) 0dξ 1dξ 0 2t 2t C C 0
1 t uC ( t ) u(1) ( 1)d 4 2t 0.5 1
当 2t
1 t uC ( t ) u( 2) 0d 0 0.5 2
上 页 下 页
电容的串联 ＋
i
C1
1
C2
2
＋ u -＋u -
＋
u
Cn
un
i
C eq
-
＋
u
t
-
u u1 u2 un
电容元件与电感元件的比较 电容 C 电感 L 电流 i 磁链
变量
电压 u 电荷 q
关系式
Li q Cu di du u L iC dt dt 1 1 2 1 1 W C Cu 2 q W L Li 2 2 2 2C 2 2L
结论 (1) 元件方程的形式是相似的； (2) 若把 u – i ，q – ，C – L 互换,可由电容元件 的方程得到电感元件的方程； (3) C 和 L称为对偶元件, 、q 等称为对偶元素。
表 明
（1）电容的储能只与当时的电压值有关，电容 电压不能跃变，反映了储能不能跃变；
t
（2）电容储存的能量一定大于或等于零。
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从 t1 时刻到 t2时刻电容储能的变化量：
动态电路总结
动态电路的初始条件
1、动态电路的换路定理：没有冲击的情况下，换路前后， 电容电压不变，电感电流不变。即：
uc (0 ) u c (0 )
iL (0 ) iL (0 )
2、先利用换路前的电路图，求 iL (0 ), uc (0 )
uc (0 ) u c (0 ) 3、画t=0+时刻的电路图，电容看作电压源，
iC duC dt uL L di dt
d 2 iL di RLC L RiL u s dt 2 dt
d 2 uC duC LC RC uC u s dt dt
2、求二阶微分方程的特征根
LCP RCP 1 0
2
2 R R 4 L/C R R2 1 P ( ) 2 L 2 L 2 L L C
， iL ()
t
3、带入全响应公式：
u c (t) u c () [u c (0 ) u c ()]e
i L (t) i L () [i L (0 ) i L ()]e
t
一阶电路的分析
u s (t) 表示在t=0时刻加入电源激励。 4、
uc (0 ) 由初值 duc (0 )求出响应。
5、冲击响应，
当δ(t)为电压源时，可以在t=0--0+时刻给电感充电到
iL (0 ) 1 L
1 C
当δ(t)为电流源时，可以在t=0--0+时刻给电容充电到
u C (0 )
然后求电路的t>0时刻的响应就可以。
二阶电路的响应分析
1、RLC串联以uc(t)为变量KVL方程，RLC并联以iL(t)为变量 列KCL方程，建立二阶微分方程。
一阶动态电路分析例题分析
一阶动态电路分析例题分析任务一 动态电路的基本概念[例3-1] 如图所示，V U S 10=，Ω=k R 2，开关K 闭合前，电容不带电，求开关K 闭合后，电容上的电压和电流的初始值。
解：（1）由换路前的稳态电路求得电容两端电压)0(-C u 。
由于换路前电路中电容不带电，所以电容两端的电压为零，即0)0(=-C u(2) 根据换路定律求出)0(+C u 。
0)0()0(==-+C C u u(3)根据换路后的电路列电路方程，求出其它物理量的初态。
V U U u U u S S C S R 100)0()0(==-=-=++得 mA kR u i R C 5210)0()0(===++ [例3-2] 如图所示，已知V U S 12=，Ω=K R 21，Ω=K R 42，mF C 1=，开关动作前电路已处于稳态，0=t 时开关闭合。
求：（1）开关闭合后，各元件电压和电流的初始值，（2）电路重新达到稳态后，电容上电压和电流的稳态值。
解：（1）+=0t 时的初始值○1由换路前的稳态电路求得电容电压的)0(-C u 。
由于换路前开关断开，若电容两端存在电压，电容与电阻2R 形成放电回路，使电容电压下降，所以电路稳态时，电容两端电压为零，即0)0(=-C u○2根据换路定律求出)0(+C u 。
0)0()0(==-+C C u u○3根据换路后电路图，求出其它物理量的初态。
＋－S USRCCu 0=t R u C i例 3-1图＋＋ +＋－S UC Cu 1R u 2RCi 1R＋－＋ －2R u＋ －1i2i 例3-2换路后电路图＋－S UKC Cu 0=t 1R u 2RCi 1R例3-2图＋－＋ －V u u C R 0)0()0(2==++V U U u U u S S C S R 120)0()0(1==-=-=++mA k R u i R 6212)0()0(111===++ mA kR u i R 040)0()0(222===++mA i i i C 606)0()0()0(21=-=-=+++（2）换路后，∞=t 时的稳态值直流电路中，电路稳态时，电容相当于开路，电路如图所示，所以0)(=∞C i A 。
一阶动态电路三要素法求解公式
一阶动态电路三要素法求解公式
在一阶动态电路中，三要素法是一种常用的方法，用于求解各个元件的电流和电压。
三要素法基于基尔霍夫电压和电流定律，帮助我们分析和解决电路中复杂的问题。
首先，我们需要了解三要素法中的三个要素。
这三个要素分别是电源电压、初始条件和电路响应。
电源电压指的是电路中的电源电压源。
它可以是直流电压源或交流电压源，根据具体情况决定。
电源电压对电路元件和电路响应产生重要影响。
初始条件是指在电路初始时刻的电压和电流数值。
对于电容器和电感器，初始电压和电流应该已知，而对于电阻器则不需要初始条件。
电路响应是指在电路中元件电压和电流的变化情况。
我们可以通过求解电路响应来了解电路中各个元件的具体情况。
为了使用三要素法求解电路，我们可以按照以下步骤进行：
1. 根据实际情况，确定电源的类型和数值。
如果是直流电压源，则电压大小为常数；如果是交流电压源，则根据频率和幅值确定相应的电压函数。
2. 根据电路中的初始条件，确定各个元件的初始电压和电流数值。
对于电容器和电感器，需要初始电压和电流；对于电阻器则不需要。
3. 根据基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL），建立电路方程。
根据电路中的元件和电源关系，写出各个元件的电压和电流表达式。
4. 解析电路方程，得到元件的电流和电压表达式。
这些表达式将告诉我们在不同时间点，电路中各个元件的具体数值。
通过使用以上步骤，我们可以使用三要素法求解一阶动态电路中各个元件的电流和电压。
这个方法有效地帮助我们理解和解决电路中的问题。
一阶动态电路实验报告
一阶动态电路实验报告一阶动态电路实验报告引言：动态电路是电子电路中常见的一种电路类型，它能够实现信号的放大、滤波和时序控制等功能。
本实验旨在通过搭建一阶动态电路并进行实验验证，深入理解动态电路的工作原理和特性。
实验目的：1. 掌握一阶动态电路的基本原理和特性；2. 学习使用实验仪器搭建一阶动态电路；3. 通过实验验证一阶动态电路的放大和滤波功能。
实验器材：1. 动态电路实验箱；2. 函数信号发生器；3. 示波器；4. 电压表；5. 电阻、电容等元件。
实验步骤：1. 搭建一阶低通滤波器电路，连接函数信号发生器和示波器；2. 调节函数信号发生器的频率和幅度，观察输出信号的变化；3. 测量输入信号和输出信号的幅度，并计算增益；4. 更换电阻或电容元件，观察输出信号的变化；5. 搭建一阶高通滤波器电路，重复步骤2-4。
实验结果：在实验过程中，我们搭建了一阶低通滤波器电路和一阶高通滤波器电路，并进行了一系列实验观察和测量。
首先，我们调节函数信号发生器的频率和幅度，观察输出信号的变化。
当输入信号频率较低时，输出信号基本与输入信号保持一致；而当输入信号频率逐渐增大时，输出信号的幅度逐渐减小，呈现出低通滤波的特性。
这说明一阶低通滤波器电路能够抑制高频信号的传输，实现信号的滤波功能。
其次，我们测量了输入信号和输出信号的幅度，并计算了增益。
通过实验数据的分析，我们发现随着输入信号频率的增加，输出信号的幅度逐渐减小，增益也逐渐减小。
这与一阶低通滤波器的特性相吻合。
在更换电阻或电容元件的实验中，我们发现改变电阻值或电容值会对输出信号产生影响。
当电阻值增大或电容值减小时，输出信号的幅度减小，滤波效果增强；反之，输出信号的幅度增大，滤波效果减弱。
这进一步验证了一阶动态电路的特性。
结论：通过本次实验，我们深入了解了一阶动态电路的工作原理和特性。
一阶低通滤波器能够抑制高频信号的传输，实现信号的滤波功能；而一阶高通滤波器则能够抑制低频信号的传输，实现信号的滤波功能。
第七章一阶电路分析
第七章一阶电路分析一阶电路是指只包含一个电感或一个电容的电路，它们可以用来描述电路的基本性质和动态响应。
通过对一阶电路的分析，我们可以了解电路的稳态和暂态响应，从而更好地设计和优化电路。
一阶电路可以分为RL电路（含有电感）和RC电路（含有电容）两种。
它们的分析方法略有不同，下面将分别介绍这两种电路的分析方法。
一、RL电路的分析___RL__假设电压源为e(t)，电阻为R，电感为L，电流为i(t)。
根据基尔霍夫电压定律，可以得到以下方程：e(t) = Ri(t) + Ldi(t)/dt将上述方程进行拉普拉斯变换，得到：E(s)=RI(s)+sLI(s)-Li(0)其中E(s)和I(s)为拉普拉斯变换后的电压和电流，Li(0)为电流在t=0时刻的初值。
将上述方程化简，得到：I(s)=E(s)/(sL+R)将上述方程进行反变换，得到电流i(t)的表达式：i(t) = (1/L) * ∫[0,t] E(t') * exp[-(t-t')/τ] dt'其中τ=L/R为电路的时间常数，代表电流上升至最终稳定值的时间。
二、RC电路的分析____EC___假设电压源为E(t)，电阻为R，电容为C，电流为I(t)。
根据基尔霍夫电压定律，可以得到以下方程：E(t) = Ri(t) + 1/C ∫[0,t] i(t')dt'将上述方程进行拉普拉斯变换，得到：E(s)=RI(s)+I(s)/sC其中E(s)和I(s)为拉普拉斯变换后的电压和电流。
将上述方程化简，得到：I(s)=E(s)/(sRC+1)将上述方程进行反变换，得到电流i(t)的表达式：i(t) = (1/RC) * ∫[0,t] E(t') * exp[-(t-t')/τ] dt'其中τ=RC为电路的时间常数，代表电流上升至最终稳定值的时间。
通过对RL电路和RC电路的分析，我们可以得到它们的电流响应和电压响应。
第5章 一阶动态电路分析
从而解出特征根为
则通解
1 p RC
6
uC Ae
t RC
３式
将初始条件uc(0+)=R0IS代入3式，求出积分常数A为
uC (0 ) A R 0 I S
将 uc (0 ) 代入３式，得到满足初始值的微分 方程的通解为
安培 伏特
库仑 秒 库仑 / 秒
故称τ为时间常数, 这样４、５两式可分别写为
uC uC (0 )e
t
t≥0 t≥0
i i (0 )e
t
1 由于 p 为负，故uc和 i 均按指数规律衰减， RC
它们的最大值分别为初始值 uc(0+)=R0IS 及
R0 I S i (0 ) R
当t→∞时，uc和 i 衰减到零。
8
画出uc及i的波形如下图所示。
图 RC 电路零输入响应 电压电流波形图
9
由此可见，时间常数τ 是表示放电快慢 的物理量。时间常数越大，放电速度越慢； 反之，则放电越快。
定性地看，时间常数τ 与电阻R和电容C
的取值呈正比。当R增大时，放电电流减
小，电容放电时间增长；当C增大时，电
容电压相同的情况下存储的电荷量增大，
放电时间增长。
5.1.2 RL电路的零输入响应
10
一阶RL电路如图5-1-2(a)所示，t=0- 时开关S闭合，电 路已达稳态，电感L相当于短路，流过L的电流为I0。即 iL(0-)=I0，故电感储存了磁能。在t=0时开关S打开，所以 在t≥0时，电感L储存的磁能将通过电阻R放电，在电路中 产生电流和电压，如图5-1-2 (b)所示。由于t>0后，放电 回路中的电流及电压均是由电感L的初始储能产生的，所 以为零输入响应。
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R R1 || R2 R3
L
R1
R3
R2
L 1 0.5(s) R 2
5. 将三要素代入通用表达式得过渡过程方程
uL (0 ) 4V u L () 0
0.5s
u L (t ) u L e V L (0 ) u L ()] e 4 2t 6. 画过渡过程曲线（由初始值稳态值） 0 (4 0) e
2. 造出
0 等效电路，求出电路初值。
R3
R1 R2
uL
uL (0 ) iL (0 )[R1 // R2 R3 ] 4V
2A
3. 求稳态值
uL ()
R3 1
R1 R2
R3
R1 2 K IS 3A t=0
uL
R2 2
L 1H
uL
t=时等效电路
uL () 0 V
4. 求时间常数
时刻闭合，求t >0时的 uc(t) 和 i(t)。
时间常数的求法？
解： 求初值
uC (0 ) uC (0 ) 0
求终值
时间常数 代入公式 同理
uC () U 10V 3 6 3 RC 2 10 110 2 10 S
uuc(tt))f10(1 [eC((0 ))uf10 ))] e 10 ( f ( f ( C (t ) uC ( ) u 0 0 V C (
一阶电路：用一阶微分方程来描述的电路。一阶电路中只含有 一个 动态元件。本章着重于无源和直流一阶电路。 产生过渡过程的条件：电路结构或参数的突然改变。 产生过渡过程的原因：能量不能跃变，电感及电容能量的存 储和释放需要时间，从而引起过渡过程。
4.1.1 换路定理
换路：电路工作条件发生变化，如电源的接通 或切断，电路连接方法或参数值的突然变化等 称为换路。 换路定理：电容上的电压uC及电感中的电流iL 在换路前后瞬间的值是相等的，即：
Us 12 iL ( 0 ) 1.2A R1 R3 4 6 uC (0 ) i1 (0 ) R3 iL (0 ) R3 1.2 6 7.2V
在开关S闭合后瞬间，根据换路定理有： L iL 4Ω + uL － i iL (0 ) iL (0 ) 1.2A R1 1 uC (0 ) uC (0 ) 7.2V + R3 C Us 12V R + 2 6Ω － u 2Ω －
Us iL (0 ) 12 1.2 R u (0 ) 1 4 2.4V 1 1 1 1 R1 R2 4 2
4Ω R1 + R 12V 2 － 2Ω
iL (0+) + uL (0+)－ i (0 ) i (0 ) 1 + C + + + R3 uC(0+) u(0+) 6Ω
R0 2k 3 12 R0C 2 10 100010 6 2 10 s
求如下电路换路后的时间常数
R0=? 5kΩ
R0=?5kΩ
3 6
R0C 510 2 10 0.01s
R0 2
1 L 0 .5 s R0 2
习题 解：
500 t
t-500t
i(0 ) UmA 5mA 5 /R 得： i() 0m A 终值 i(t ) 2 103 s
5e
初值
500 t
时间常数
时间常数的求法： RC电路：时间常数为 τ=R0*C
R0为独立源失效后,从C 两端看进去的等效电阻
R0
本例中 R0 2 3 5k
iC + uC
－
由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等效电路，如图所示。 由图得：
uC (0 ) 7.2 i1 (0 ) 1.2A R3 6 iC (0 ) iL (0 ) i1 (0 ) 1.2 1.2 0A
u(0+)可用节点电压法由t=0+时的电路求出，为：
RL电路：
5 103 1106 5 103 s
时间常数为 τ=L/R0
R0 5 5 10
R0
0.5 / 10 5 102 s
习题 求如下电路换路后的时间常数
R0 1.5k R0C 1.5 103 10001012 6 1.5 10 s
uc (t ) uc () [uc (0 ) uc ()]e
uC US U0 <US
uC U0
t
波 形 图：
U0 >US
U0 0 t
US 0 t
电路中的电流为：
S
t RC
iC R + uR
duC U S U S iC C e e dt R R 电阻上的电压为：
－
L
－ 从而得微分方程： US L diL iL R dt R t US US 解之得： iL (I 0 )e R R
+ uL
－
稳态分量
暂态分量
式中τ=L/R为时 间常数
经典法求解一阶电路的步骤： （1）利用基尔霍夫定律和元件的伏安关系 ，根据换路后的电路列出微分方程； （2）求微分方程的特解，即稳态分量； （3）求微分方程的补函数，即暂态分量； （4）将稳态分量与暂态分量相加，即得微 分方程的全解； （5）按照换路定理求出暂态过程的初始值 ，从而定出积分常数。
t
+ US
t RC
－
C
uR RiC USeiC与uR来自波形iC US R
t
U Se
－
+ uC
－
uR US
0
t
0
t
2．RL电路分析
图示电路，t=0时开关S闭合。根据KVL，得回路电压方程为：
uR uL U S
diL 因为： uL L dt uR RiL
+ US
S
iL R + uR
Us
－
－
4.2 一阶动态电路的分析方法
任何一个复杂的一阶电路，总可以用戴微南定理或诺顿定理 将其等效为一个简单的RC电路或RL电路。
R3 R1 R2 + U C iC + uC
R0 + US C iC + uC
－
－
－
－
IS
R0
C
iC + uC
－
因此，对一阶电路的分析， 实际上可归结为对简单的RC 电路和RL电路的求解。一阶 动态电路的分析方法有经典 法和三要素法两种。
u C (0 ) u C (0 ) iL ( 0 ) i L ( 0 )
必须注意：只有uC 、 iL受换路定理的约束而保持 不变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。
例：图示电路原处于稳态，t=0时开关S闭合，US=10V， R1=10Ω， R2=5Ω，求初始值uC(0+) 、i1(0+) 、i2(0+)、iC(0+)。 解：由于在直流稳态电路中，电容C相当于开路，因此t=0-时 i1 电容两端电压分别为： S
例：图(a)所示电路原处于稳态，t=0时开关S闭合，求开关闭 合后的电容电压uC和通过3Ω电阻的电流i。 解：用戴微南定理将图(a)所示开关 闭合后的电路等效为图(b)，图中：
6 US 12 8V 63
+ 12V 3Ω i iC + uC
S 1F 6Ω (a)
－
－
63 R 2 63
0V 4 e
2t () [u
t
uL2t
V
t
稳态值
-4V
起始值
例：图示电路，IS=10mA，R1=20kΩ，R2=5kΩ，C=100μF。 开关S闭合之前电路已处于稳态，在t=0时开关S闭合。试用 三要素法求开关闭合后的uC (t) 。 解：（1）求初始值。因为开关S闭合之前电路已处于稳态， 故在瞬间电容C可看作开路，因此：
t
式中，f(0+)为待求电流或电压的初始值，f(∞)为待求电流 或电压的稳态值，τ为电路的时间常数。 对于RC电路，时间常数为：
RC
对于RL电路，时间常数为：
L R
“三要素法”例 题1 R t=0 S
i
已知参数R=2kΩ、U=10V、C=1μF,
+ _U
uR
C
uC
且开关闭和前 uc(0-)=0。 开关S在t=0
c
0.01s
10 75e
100 t
V
例
解：
已知：K 在t=0时闭合，换路前电路处于稳态。 求: 电感电压
u L (t )
R1 2 S IS 3A t=0 R2 2 R3 1 L 1H
1. 先求出 iL (0 )
2 i L (0 ) 3 2 A 1 2
uL
iL (0 )
对图(b)列微分方程：
－
R + US uR +
duC 2 uC 8 dt 解微分方程：
C
iC + uC
－
(b)
－
uC 8 Ae0.5t
由图(a)求uC的初始值为：
3Ω i + 12V iC + uC
uC (0 ) uC (0 ) 12V
积分常数为：
A 12 8 4
S 1F 6Ω (a)
－
－
所以，电容电压为：
uC 8 4e0.5t V
通过3Ω电阻的电流为：