2017年中考第一轮复习《第4单元图形的初步认识》有答案

图形的初步认识与三角形测试题(时间：100分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，满分40分)1．下面四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是( B )2．下列四组数分别是三条线段的长度，能构成三角形的是( D )A．1，1，2 B．1，3，4 C．2，3，6 D．4，5，83．若一个三角形的三个内角度数的比为2∶3∶4，则这个三角形是( A )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是三条边上的中点，∠B＝45°，∠C＝55°，则∠EFD＝( A )A．80°B．100°C．75°D．65°5．如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，连接BE交CD于点O，且O点是CD的中点，连接AO，下列结论不正确的是( C )A．AD＝DE B．△BOC≌△EOD C．△AOB≌△EOD D．△AOD≌△BOC6．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列各式成立的是( D )A．b＝a·sinB B．a＝b·cosB C．a＝b·tanB D．b＝a·tanB 7．(2016·安徽模拟)如图，已知一块直角三角形的水泥平地，∠ACB＝90°，AC＝60米，BC ＝80米，点D 是AB 边上的一点，从C 点直接走到D 点的距离为x 米，则x 的取值范围为( C )A ．60<x<80B ．60≤x ≤80C ．48≤x ≤80D ．48<x<608．(2016·合肥十校联考模拟)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，BE ⊥AC ，AF ⊥BC ，则下面结论错误的是( B )A ．BF ＝EFB ．DE ＝EFC ．∠EFC ＝45°D ．∠BEF ＝∠CBE9．(2016·阜阳二模)如图，△ABC 的中线BE 、CF 交于点O ，直线AD ∥BC ，与CF 的延长线交于点D ，则S △AFD ：S 四边形AFOE 为( D )A ．1∶2B ．2∶1C ．2∶3D ．3∶2提示：连接EF ，则EF ∥BC.设△ABC 的面积为S ，则S △AFD ＝S △BFC ＝S △AFC ＝12S ，S △AEF ＝14S ，∴S △BOC ＝23S △BFC ＝13S ，∴S △EOF ＝14S △BOC ＝112S ，∴S △AFD ：S 四边形AFOE ＝12S ：(14S ＋112S)＝3∶2.10．如图，在等腰△ABC 中，直线l 垂直于底边BC ，现将直线l 沿线段BC 从B 点匀速平移至点C ，直线l 与△ABC 的边相交于E ，F 两点，设线段EF 的长度为y ，平移时间为x ，则下图中能较好地反映y 与x 的函数关系的图象是( B )二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分)11．(2016·马鞍山二模)如图，AB ∥CD ，∠1 ＝ 60°，FG 平分∠EFD ，则∠2＝30°.12．(2016·新疆)如图，测量河宽AB(假设河的两岸平行)，在C 点测得∠ACB ＝30°，D 点测得∠ADB ＝60°，又CD ＝60 m ，则河宽AB 为m(结果保留根号)．13．如图，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C ＝∠E ，AD ∶DE ＝3∶5，AE ＝8，BD ＝4，则DC 的长等于154．14．(2016·滁州模拟)如图，AD ，AE 分别是△ABC 的中线和角平分线，AC ＝2，AB ＝5，过点C 作CF ⊥AE 于点F ，连接DF ，有下列结论：①将△ACF 沿着直线AE 折叠，点C 怡好落在AB 上； ②3＜2AD ＜7；③若∠B ＝30°，∠FCE ＝15°，则∠ACB ＝55°； ④若△ABC 的面积为S ，则△DFC 的面积为0.15S. 其中正确的是①②④.(把所有正确结论的序号都填在横线上)提示：延长CF 交AB 于M ，延长AD 到N 使得DN ＝AD ，连接BN 、CN ；①正确，由CF ＝FM 即可解决．②正确，在△ABN 中利用三边关系即可解决．③错误，∠ACB ＝60°，④正确，先证明S △BCM ＝35S △ABC ＝35S ，由△DFC ∽△BMC ，得S △DFC ＝14S △BCM 即可证明．三、(本大题共2个小题，每小题8分，满分16分)15．(2016·长宁区一模)计算：tan 230°－(cos75°－cot10°)0＋2cos60°－2tan45°. 解：原式＝(33)2－1＋2×12－2×1＝13－1＋1－2＝－53.16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，BD 是∠ABC 的平分线，求∠BDC 的度数．解：∵AB ＝AC ，∠A ＝40°，∴∠ABC ＝∠C ＝180－∠A2＝70°. ∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝35°，∴∠BDC ＝180°－∠DBC －∠C ＝75°.四、(本大题共2个小题，每小题8分，满分16分)17．已知：如图，点E ，C ，D ，A 在同一条直线上，AB ∥DF ，ED ＝AB ，∠E ＝∠CPD.求证：△ABC ≌△DEF.证明：∵AB ∥DF ，∴∠B ＝∠CPD ，∠A ＝∠FDE.∵∠E ＝∠CPD.∴∠E ＝∠B.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠FDE ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，∴△ABC≌△DEF(ASA)．18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，M是AC上任意一点(M与A不重合)MD⊥BC，且交∠BAC的平分线于点D，求证：MD＝MA.证明：∵MD⊥BC，且∠B＝90°，∴AB∥MD.∴∠BAD＝∠D.又∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠MAD.∴∠D＝∠MAD.∴MD＝MA.五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tanB ＝cos ∠DAC. (1)求证：AC ＝BD ；(2)若sinC ＝1213，BC ＝36，求AD 的长．解：(1)证明：∵AD 是BC 上的高，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°. 在Rt △ABD 中，tanB ＝ADBD .在Rt △ACD 中， cos ∠DAC ＝AD AC .在Rt △ABD 中，tanB ＝ADBD . ∵tanB ＝cos ∠DAC ，∴AC ＝BD.(2)在Rt △ACD 中，sinC ＝AD AC ＝1213，设AD ＝12k ，AC ＝13k ，∴CD ＝AC 2－AD 2＝5k. ∵BD ＝AC ＝13k ，∴BC ＝BD ＋CD.∴13k ＋5k ＝36，解得k ＝2.∴AD ＝12×2＝24.20．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝2，∠A ＝60°，BC ＝25，CD ＝4. (1)求∠ADC 的度数． (2)求四边形ABCD 的面积．解：(1)连接BD.∵AB ＝AD ＝2，∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形． ∴BD ＝2，∠ADB ＝60°.∵BC ＝25，CD ＝4，则BD 2＋CD 2＝22＋42＝20，BC 2＝(25)2＝20，∴BD 2＋CD 2＝BC 2. ∴∠BDC ＝90°.∴∠ADC ＝∠ADB ＋∠BDC ＝150°.(2)S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BDC＝12AD·32AD ＋12BD·DC ＝12×2×32×2＋12×2×4＝4＋3.六、(本题满分12分)21．一天新新和小亮正在公园广场上放风筝，如图，风筝从A 处起飞，几分钟后便飞达C 处，此时，在AQ 延长线上B 处的小亮同学，发现自己的位置与风筝和广场边旗杆PQ 的顶点P 在同一直线上．(1)已知旗杆高为10米，若在B 处测得旗杆顶点P 的仰角为30°，A 处测得点P 的仰角为45°，试求A 、B 之间的距离；(2)在(1)的条件下，若在A 处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，绳子在空中视为一条线段，求绳子AC 为多少米？(结果保留根号)解：(1)在Rt △BPQ 中，PQ ＝10米，∠B ＝30°，则BQ ＝tan60°·PQ ＝103(米)． 在Rt △APQ 中，∠PAB ＝45°，则AQ ＝tan45°·PQ ＝10(米)． 即AB ＝AQ ＋BQ ＝(103＋10)米．(2)过A 作AE ⊥BC 于E.在Rt △ABE 中，∠B ＝30°，AB ＝(103＋10)米， ∴AE ＝sin30°·AB ＝12×(103＋10)＝(53＋5)米． ∵∠CAD ＝75°，∠B ＝30°，∴∠C ＝45°.在Rt △CAE 中，sin45°＝AEAC ，∴AC ＝2×(53＋5)＝(56＋52)米． 七、(本题满分12分)22．(2015·河南改编)如图1，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE.将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)问题发现 ①当α＝0°时，BD AE ＝2α＝180°时，BD AE ＝2(2)拓展研究 试判断：当0≤α<360°时，BDAE 的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明． 解：无变化．在图1中，∵DE 是△ABC 的中线，∴DE ∥AB. ∴CE CA ＝CDCB ，∠EDC ＝∠B ＝90°.如图2，∵△EDC 在旋转过程中形状大小不变，∴CE CA ＝CDCB 仍然成立． 又∵∠ACE ＝∠BCD ＝α，∴△CEA ∽△CDB.∴AE BD ＝ACBC .在Rt △ABC 中，∵∠C ＝30°，AC ＝2AB ，∴cos ∠ACB ＝BC AC ＝32.∴BD AE ＝32.∴BDAE 的大小不变．八、(本题满分14分)23．(2016·马鞍山当涂县四模)如图1，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，点E 在边AB 上，∠DEC ＝90°，且DE ＝EC. (1)求证：△ADE ≌△BEC ；(2)若AD ＝a ，AE ＝b ，DE ＝c ，请用图1证明勾股定理：a 2＋b 2＝c 2；(3)线段AB 上另有一点F(不与点E 重合)，且DF ⊥CF(如图2)，若AD ＝2，BC ＝4，求EF 的长．解：(1)证明：∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∴∠A ＝∠B ＝90°，∠ADE ＋∠AED ＝90°. 又∵∠DEC ＝90°，∴∠AED ＋∠CEB ＝90°.∴∠ADE ＝∠CEB.在△ADE 和△BEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠B ，∠ADE ＝∠BEC ，DE ＝EC ，∴△ADE ≌△BEC(AAS)．(2)证明：∵AB ⊥BC ，∠DEC ＝90°， ∴△ADE ，△DEC ，△BEC 都是直角三角形．∵AD ＝a ，AE ＝b ，DE ＝c ，△ADE ≌△BEC ，∴BE ＝a ，BC ＝b ，EC ＝c ， ∴S 四边形ABCD ＝12(a ＋b)(a ＋b)＝12ab ＋12c 2＋12ab ， 整理得a 2＋b 2＝c 2. (3)∵△ADE ≌△BEC ， ∴BE ＝AD ＝2，AE ＝BC ＝4. ∵DF ⊥CF ，∴∠AFD ＋∠BFC ＝90°. ∵∠BFC ＋∠BCF ＝90°，∴∠AFD ＝∠BCF. 又∵∠A ＝∠B ，∴△AFD ∽△BCF.∴AF BC ＝ADBF . 设AF ＝x ，则BF ＝6－x ， ∴x 4＝26－x.解得x 1＝2，x 2＝4.∵点F 不与点E 重合，∴x ≠4，即x ＝2. ∴AF ＝2.∴EF ＝AE －AF ＝4－2＝2.。