2018届海淀区文科数学二模答案

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案及评分标准数 学（文科）2018.5一． 选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．24x y = 10．1 11．1,23π12．13．35 14. ①②③ 注：① 10题、11题第一个空答对给3分，第2个空答对给2分；② 14题只写出1个序号给2分，只写出2个序号给3分。

三．解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分） 解：（Ⅰ）方法1：因为数列{}n a 是等差数列，所以212n n n a a a +++=. ………………2分 因为3221+=-+n a a n n ，所以223n a n +=+. ………………4分 所以，当3n ≥时，2(2)321n a n n =-+=-. 所以21(1,2,3,).n a n n =-= ………………6分方法2：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为3221+=-+n a a n n ，所以21322527.a a a a -=⎧⎨-=⎩ ………………2分所以11+2537.a d a d =⎧⎨+=⎩ ………………4分所以112.a d =⎧⎨=⎩………………5分所以1(1)21(1,2,3,)n a a n d n n =+-=-= ………………6分（Ⅱ）因为数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列， 所以12n n n a b -+= ………………7分因为21n a n =-，所以12(21)n n b n -=--. ………………8分 设数列{}n b 的前n 项和为n S ， 则1(1242)[135(21)]n n S n -=++++-++++-12(121)122n n n -+-=-- ………………12分 221n n =--所以数列{}n b 的前n 项和为221.n n --. ………………13分 16．（本小题13分）解：（Ⅰ）1()2cos (sin )222f x x x x =-+ ………………1分2sin cos 2x x x =+11cos 2sin 222x x += ………………3分 sin(2)3x π=- ………………4分所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==. ………………5分 所以曲线()y f x =的相邻两条对称轴的距离为2T ，即2π. ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ()sin(2)3f x x π=-当[0,]x α∈时，2[,2]333x πππα-∈--. …………………8分 因为sin y x =在[,]22ππ-上单调递增，且()f x 在[0,]α上单调递增， 所以[,2][,]3322ππππα--⊆-， …………………9分即0232αππα>⎧⎪⎨-≤⎪⎩…………………11分解得5012απ<≤. …………………12分 故α的最大值为512π. …………………13分17．（本小题14分）（Ⅰ）证明：折叠前，因为四边形AECD 为菱形，所以AC DE ⊥；所以折叠后，,DE PF DE CF ⊥⊥, …………………2分 又,,PFCF F PF CF =⊂平面PCF ，所以DE ⊥平面PCF …………………4分 （Ⅱ）因为四边形AECD 为菱形， 所以//,DC AE DC AE =. 又点E 为AB 的中点， 所以//,DC EB DC EB =. 所以四边形DEBC 为平行四边形.所以//CB DE . …………………6分 又由（Ⅰ）得，DE ⊥平面PCF ,所以CB ⊥平面PCF . …………………8分 因为CB ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCF . …………………9分（Ⅲ）存在满足条件的点,M N ,且,M N 分别是PD 和BC 的中点. ………………10分 如图，分别取PD 和BC 的中点,M N .连接,,,EN PN MF CM .因为四边形DEBC 为平行四边形， 所以1//,2EF CN EF BC CN ==. 所以四边形ENCF 为平行四边形.所以//FC EN . …………………11分 在PDE ∆中，,M F 分别为,PD DE 中点，所以//MF PE . …………………12分 又,EN PE ⊂平面,PEN PEEN E =,,MF CF ⊂平面CFM ,所以平面//CFM 平面PEN . …………………14分 18. （本小题13分）解：（Ⅰ）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人. ……………1分 所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率是63105=. …………………3分 从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6.…………………4分（Ⅱ）设事件A 为“从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，这2名同学两轮测试成绩均大于等于90分”， …………………5分 由（Ⅰ）知，考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人. …………………6分 因此，从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，包含（1号，5号）、（1号，7号）、（1号，8号）、（1号，9号）、（1号、10号）、（5号，7号）、（5号，8号）、（5号，9号）、（5号，10号）、（7号，8号）、（7号，9号）、（7号，10号）、（8号，9号）、（8号，10号）、（9号，10号）共15个基本事件， ………………7分 而事件A 包含（1号，8号）、（1号、10号）、（8号，10号）共3个基本事件，………………8分 所以31()155P A ==. ………………9分 （Ⅲ）12=x x ………………11分2212s s > ………………13分 19．（本小题13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞， …………………1分令()0f x =，得220,.x a x a +==- …………………2分 当0a ≥时，方程无解，()f x 没有零点； …………………3分当0a <时，得x =…………………4分综上，当0a ≥时()f x 无零点；当0a <时，()f x 零点为（Ⅱ）2'()(1)()x x a a f x e x e x x =-++322()xx x ax a e x ++-=. …………………6分 令32()g x x x ax a =++-，(1)x > …………………7分 则2'()32g x x x a =++， …………………8分 其对称轴为13x =-，所以'()g x 在(1,)+∞上单调递增， ………………9分 所以2'()31215g x a a >⨯+⨯+=+，当5a ≥-时，'()0g x >恒成立， …………………10分 所以()g x 在(1,)+∞上为增函数. …………………11分 所以()(1)20g x g >=>. …………………12分 所以1x >时，'()0f x >,()f x 在(1,)+∞上单调递增. …………………13分20．（本小题14分）解：（Ⅰ）椭圆C 的方程可化为2212x y +=, …………………1分所以1,1a b c ===. …………………2分所以长轴长为2a =2c e a == …………………4分 （Ⅱ）方法1：证明：显然直线P A 1、Q A 2、Q A 1、P A 2都存在斜率，且互不相等，分别设为1234,,,.k k k k设直线P A 1的方程为1(y k x =，Q A 2的方程为2(y k x =，……………5分联立可得2121)M k k x k k +=-. …………………6分同理可得4343)N k k x k k +=-. …………………7分下面去证明141.2k k =-设00(,)P x y ，则220022x y +=.所以22001422001222y y k k x y ====---. …………………10分 同理231.2k k =- …………………11分所以1221211211222())1122N M k k k k x x k k k k --++===----. …………………13分 所以直线MN 垂直于x 轴. …………………14分方法2：设直线l 方程为1122,(,),(,)y kx m P x y Q x y =+. …………………5分由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=. 当0∆>时，2121222422,1212km m x x x x k k --+==++. …………………7分直线1A P方程为y x =，直线2A Q方程为y x =，…………………8分x x =，得x =21121221[((((y x y x x y x y x -=+ …………………9分其中，21122112((()(()(y x y x kx m x kx m x -=+-+1212()()x x m x x ++-+122122124()12()12)kmm x x k m x x k m x x -=+-++=+-+=-…………………11分12211221(()(()(y x y x kx m x kx m x ++++1212212()()kx x m x x x x =++-221222121222242()12124()12()12m km k m x x k k k x x k x x k --=++-++-=+-+=+-+ …………………12分所以2M kx m-=，即点M 的横坐标与,P Q 两点的坐标无关，只与直线l 的方程有关. …………………13分 所以2N M kx x m-==，直线MN 垂直于x 轴. …………………14分。