勾股定理的逆定理
证明勾股定理逆定理
证明勾股定理逆定理一、引言作为几何学中最基础而又重要的定理之一，勾股定理无疑是大家熟知的。
然而，是否存在一种与之相反的定理呢？即，若三边满足某一条件，能否推导出这三条边一定是直角三角形的边长呢？这就是我们要证明的勾股定理逆定理。
二、勾股定理回顾在正式探讨勾股定理逆定理前，我们先回顾一下勾股定理的内容。
勾股定理又称毕达哥拉斯定理，主要表述为：在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方和。
即a2+b2=c2，其中a和b为直角三角形的两条直角边，c为斜边。
三、勾股定理逆定理的表述勾股定理逆定理的表述为：若一个三角形的三边满足a2+b2=c2，其中a、b、c 为该三角形的三边，那么这个三角形一定是直角三角形。
四、证明过程为了证明勾股定理逆定理，我们将采用反证法。
假设存在一个三角形，它的三边满足a2+b2=c2，但这个三角形不是直角三角形。
4.1 假设这个三角形是钝角三角形首先，我们假设这个三角形是钝角三角形。
根据钝角三角形的性质，我们知道钝角三角形的两个锐角之和大于90°。
4.2 假设这个三角形是锐角三角形然后，我们再假设这个三角形是锐角三角形。
根据锐角三角形的性质，我们知道锐角三角形的任意两条边的平方和大于第三条边的平方。
4.3 假设这个三角形是等腰三角形接下来，我们假设这个三角形是等腰三角形。
根据等腰三角形的性质，我们知道等腰三角形的两条腰相等。
4.4 假设这个三角形是一般三角形最后，我们假设这个三角形是一般的三角形，即三条边都不相等也不相互垂直。
五、证明的推理对于假设的四种情况，我们分别将其带入a2+b2=c2进行推理，得出以下结论：5.1 假设1的推理对于假设1中的钝角三角形，由于两个锐角之和大于90°，导致a2+b2>c2，与已知条件矛盾。
5.2 假设2的推理对于假设2中的锐角三角形，由于任意两条边的平方和大于第三条边的平方，导致a2+b2>c2，与已知条件矛盾。
勾股定理的逆定理知识点
要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如c ）.（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点四、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释：（1）22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长；。
人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理 课件 (共15张PPT)
知识点一：勾股定理逆定理的实际应用
学以致用
1.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有
这样一道题目:“问有沙田块，有三斜，其中小斜五里，中斜
十二里，大斜十三里，欲知为田几何?”这道题讲的是:有一
块三角形沙田，三条边长分别为5里、12里13里，问这块沙
田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝
7
• 解:设AD=x,则CD=10-x.
• 在 RtABD 中，
•
DB2 AB2 AD2
在RtCDQ中，
DB2 CQ2 CD2
62 x2 82 (10 x)2
解得: x 3.6
AD长为6.4n mile
8
知识点二：勾股定理逆定理在几何中的应用
3.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，
①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三
角形.
以上命题中的假命题个数是（ A ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 c2 +a2 - b2 + c - a = 0 ，则△ABC的形状是
典例讲评
解:根据题意: PQ=16×1.5=24 PR=12×1.5=18 QR=30
∵242+182=302, 即 PQ2+PR2=QR2 ∴∠QPR=90°
由”远航“号沿东北方向航行可知,∠1=45°.所以∠2=45°,
勾股定理逆定理符号语言
勾股定理逆定理符号语言勾股定理是初中数学中极为基础的一条定理，它有着广泛的应用和重要的意义。
而勾股定理的逆定理同样也有着很高的实用价值，在实际生活中起到重要的作用。
本文将对勾股定理逆定理进行详细的解释和阐述，探讨其应用领域和数学意义。
首先，我们来复习一下勾股定理的内容。
勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两条直角边的平方和。
用符号语言表示为：a² + b² = c²。
其中，a和b为直角边的长度，c为斜边的长度。
那么，勾股定理的逆定理就是：如果一个三角形的三边的边长符合a² + b² = c²的关系，那么这个三角形一定是一个直角三角形。
在证明勾股定理逆定理之前，我们首先来看一下为什么勾股定理成立。
勾股定理可以通过几何方法和代数方法进行证明。
在几何方法中，我们可以用三个正方形的面积之和来证明勾股定理。
具体来说，我们可以将三角形分别取为三个正方形的内切圆，然后计算三个正方形的面积。
在代数方法中，我们可以利用坐标系的方法，将三角形的顶点设为某个点，然后利用勾股定理设立方程来证明勾股定理。
接下来，我们来证明勾股定理的逆定理。
假设有一个三角形，已知三个边的长度为a、b、c，且符合a² + b² = c²的关系。
我们需要证明这个三角形一定是直角三角形。
我们可以假设反证法，假设这个三角形不是直角三角形，而是一个锐角三角形或者钝角三角形。
首先，我们假设这个三角形是一个锐角三角形。
根据锐角三角形的性质，三个内角都是锐角，即都小于90°。
那么根据余弦定理，我们可以得到：c² = a² + b² - 2ab·cosC。
由于c² = a² + b²，可以得到2ab·cosC = 0。
由于a和b都大于0，所以cosC = 0。
但是在三角函数表中，我们知道cos90° = 0，意味着C = 90°，与假设的锐角三角形相矛盾。
证明勾股定理逆定理
证明勾股定理逆定理勾股定理是初中数学中最为基础的定理之一，它是指在直角三角形中，斜边的平方等于两腰的平方和。
即a²+b²=c²，其中c为斜边，a、b为两腰。
证明勾股定理逆定理需要先了解什么是勾股数。
勾股数是指能够满足勾股定理的三个正整数，例如3、4、5就是勾股数。
逆定理即为：如果一个正整数n可以表示成两个正整数的平方和，则n一定不是勾股数。
首先我们需要证明一个引理：一个自然数n可以表示成两个正整数的平方和当且仅当n的所有形如4k+3（k为任意自然数）因子的幂次均为偶数。
证明如下：1. 如果n可以表示成两个正整数的平方和，则n有以下几种情况：① n=1+1② n=4+9③ n=16+25④ n=36+49……可见，每个能够表示成两个正整数平方和的自然数都可以由若干个完全平方数组成。
而完全平方数组成的自然数都只包含形如4k或4k+1（k为任意自然数）这样的因子，因此我们可以得出结论：如果n可以表示成两个正整数的平方和，则n的所有形如4k+3因子的幂次均为偶数。
2. 如果n所有形如4k+3（k为任意自然数）因子的幂次均为偶数，则n可以表示成两个正整数的平方和。
这一点需要用到费马定理，即如果p是一个素数且p不能被4整除，则p可以表示成两个正整数的平方和当且仅当p的幂次均为偶数。
由于任何自然数都可以唯一分解为若干个素数乘积，因此我们只需要证明任何一个形如4k+1（k为任意自然数）的素数都可以表示成两个正整数的平方和即可。
设p=4m+1，其中m为任意自然数。
由于p是素数，所以它有一个最小非零剩余r使得r²≡-1(mod p)。
那么我们就有：(r²)²≡(-1)²(mod p)r⁴≡1(mod p)由于r是最小非零剩余，所以r⁴≠1，而又有r⁴≡1(mod p)，所以p必须是奇素数。
那么我们就可以将p唯一分解为以下形式：p=a²+b²其中a、b均为正整数。
勾股定理逆定理推导过程
勾股定理逆定理推导过程勾股定理是代数和几何之间的重要关系之一，它表明在直角三角形中，两个较小边的平方和等于斜边的平方。
其具体形式为：在直角三角形ABC中，若AC为直角边，AB和BC为斜边，那么有AB² + BC²= AC²。
对于勾股定理的逆定理，我们需要证明的是：若在三角形ABC中，有AB² + BC² = AC²，那么该三角形必定是直角三角形。
为了证明这个逆定理，我们可以使用几何方法和代数方法两种不同的方式进行推导。
首先，我们使用几何方法进行证明。
几何方法：假设在三角形ABC中，有AB² + BC² = AC²，我们需要证明该三角形是直角三角形。
根据已知条件，我们知道AB² + BC² = AC²。
这意味着在平面上，AB的长度的平方加上BC的长度的平方等于AC的长度的平方。
我们可以考虑将三角形ABC放置在一个坐标平面上，其中A点位于原点(0,0)，B点位于x轴上(x,0)，C点位于y轴上(0,y)。
这样，我们可以根据坐标平面上的点的坐标计算出三个点之间的距离。
根据上述坐标设定，我们可以得出以下结论：AB的长度等于xBC的长度等于yAC的长度等于√(x² + y²)根据我们的假设AB² + BC² = AC²，我们可以得到以下等式：x² + y² = √(x² + y²)² = x² + y²从以上等式中，我们可以推断出，只有当x或y中的一个或者两个同时为0时，等式才能成立。
当x=0时，我们可以得到A、B、C三个点共线，形成1个直角，此时三角形为直角三角形。
当y=0时，同理，三角形也为直角三角形。
当x和y同时为0时，A、B、C三个点重合，根据几何定义，三角形为退化三角形，即不存在。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理内容如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
最长边所对的角为直角勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。
若c为最长边，且a^2+b^2=c^2，则△ABC是直角三角形。
如果a^2+b^2>c^2，则△ABC是锐角三角形。
如果a^2+b^2<c^2，则△ABC是钝角三角形。
证明方法已知△ABC的三边AB=c，BC=a，CA=b，且满足a^2+b^2=c^2，证明∠C=90°。
证法1：同一法。
证法的思路是做一个直角三角形，然后证明它和已知三角形全等，从而已知三角形也是直角三角形。
构造一个直角三角形A'B'C'，使∠C'=90°，a'=a，b'=b。
那么，根据勾股定理，c'^2=a'^2+b'^2=a^2+b^2=c^2，从而c'=c。
在△ABC和△A'B'C'中，a=a'b=b'c=c'∴△ABC≌△A'B'C'。
因而，∠C=∠C'=90°。
（证毕）证法2：余弦定理。
由于余弦定理是由勾股定理推出的，故可以用来证明其逆定理而不算循环论证。
根据余弦定理，在△ABC中，cosC=(a^2+b^2-c^2）/2ab。
由于a^2+b^2=c^2，故cosC=0；又因为C小于平角，从而C=90°。
（证毕）证法3：相似三角形。
证法的思路是将已知三角形分割成两块，然后证明它们互补的两角相等，从而这两角都是直角。
在AB边上截取点D使∠DCB=∠A。
在△CDB与△ACB中，∠B=∠B，∠DCB=∠A，∴△CDB∽△ACB（两角对应相等）。
∴BC/BA=BD/BC，从而BD=a^2/c。
又由CD/AC=CB/AB知，CD=ab/c。
另一方面，AD=AB-BD=c-a^2/c=b^2/c（因为c^2=a^2+b^2），在△ACD与△CBD中，DC/AD=(ab/c) / (b^2/c)=a/b,BC/AC=a/b,BD/CD=(a^2/c) / (ab/c)=a/b,∴△ACD∽△CBD（三边对应成比例）。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理1. 引言勾股定理是初中数学中的重要定理之一，它描述了直角三角形的边长关系。
然而，在实际问题中，有时候我们需要根据直角三角形的边长关系来确定三角形是否为直角三角形。
这就涉及到了勾股定理的逆定理。
勾股定理的逆定理是指当给定三角形的三条边时，通过计算判断是否为直角三角形的定理。
本文将对勾股定理的逆定理进行详细讨论，并给出其数学推导及实际应用。
2. 勾股定理回顾在探讨勾股定理的逆定理之前，我们先回顾一下勾股定理。
勾股定理中提到，对于一个直角三角形，两个直角边的平方和等于斜边的平方，即a2+b2=c2。
勾股定理的应用十分广泛，在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
通过勾股定理，我们可以计算直角三角形中任意两个边已知时，求解第三个边的长度。
3. 勾股定理的逆定理介绍勾股定理的逆定理是由勾股定理推导而来，它用于确定一个三角形是否为直角三角形。
当我们已知三角形的三个边长时，我们可以通过勾股定理的逆定理进行判断。
勾股定理的逆定理可以表达为：如果一个三角形的三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是一个直角三角形。
这是因为只有在直角三角形中，勾股定理才成立。
4. 勾股定理的逆定理的数学推导我们来通过数学推导得出勾股定理的逆定理。
首先，假设一个三角形的三边分别为 a、b、c，且满足a2+b2=c2。
我们要证明这个三角形是个直角三角形。
根据勾股定理，a、b、c 可以构成一个三角形。
因此，我们可以用余弦定理来求解该三角形的角度。
余弦定理的公式为：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos C$，其中 C 是 c 对应的角度。
将已知条件代入余弦定理的公式中，可得：$a^2 + b^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos C$。
化简等式，我们可以得到：$2ab\\cos C = 0$。
根据余弦定理的性质可知，当 $\\cos C = 0$ 时，$2ab\\cos C = 0$ 成立。
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18.2 勾股定理的逆定理知识点1 互逆命题在两个命题中,如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,那么这两个命题称为互逆命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.每个命题都有逆命题,但原命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题.原命题和逆命题的真假性一般有四种情况:真、假;真、真;假、假;假、真.知识点2 互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.每个命题都有逆命题,但不是所有的定理都有逆定理.知识点3 勾股定理的逆定理——直角三角形的判别条件定理:如果三角形的边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.解读:(1)作用:可用边的关系来判断一个三角形是否是直角三角形.(2)用较短两边的平方和与最大边的平方进行比较.(3)条件中没有涉及直角三角形,结论是直角三角形.(4)勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别:联系:①两者都与三角形的三边关系a2+b2=c2有关;②两者都与直角三角形有关.区别:①勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件,进而得到这个直角三角形的三边的数量关系,即a2+b2=c2.②勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件,进而得到这个三角形是直角三角形,是判断一个三角形是否是直角三角形的一个有效的方法.(5)应用:①现实生活中,在没有测量角的仪器的情况下,常利用勾股定理的逆定理来确定直角(或垂线).②勾股定理与勾股定理的逆定理的综合运用.知识点4 勾股数概念:满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.解读:(1)勾股数满足两个条件:①正整数;②满足a2+b2=c2.(2)常见的勾股数:3,4,5;6,8,10;5,12,13;8,15,17;9,40,41;…(3)小窍门:记住常见的勾股数可以提高做题速度.(4)一组勾股数中各数扩大相同的整数倍能得到一组新的勾股数,如当k=1,2,3,…,n时,下列各组数还是勾股数,{3k,4k,5k},{l5k,l2k,l3k},…延伸:(1)几个求勾股数的常见公式:①n2-1,2n,n2+1(n≥2,n.为正整数);②2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1(n是正整数);③m2-n2,2mn,m2+n2(m>n,m、n都是正整数).(2)小窍门:①有最小的勾股数(3,4,5),没有最大的勾股数.②勾股数不能全是奇数,但可以全是偶数.③勾股数中不可能只有两个偶数.一、选择题1.以下面各组数为边长的三角形,能组成直角三角形的个数是( )①6,7,8;②8,15,17;③7,24,25;④12,35,37.A.1B.2C.3D.42.在△ABC 中,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,在满足下列条件下,不是直角三角形的是( )A.a :b :c =3:4:5B.a :b :c =9:12:15C.∠A :∠B :∠C =3:4:5D.∠A :∠B :∠C =1:2:33.在△ABC 中,∠A :∠B :∠C =2:1:3, a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边,则有( )A.b 2+a 2=c 2B.c 2=3b 2C.3a 2=2c 2D.c 2=2b 24.等腰三角形底边上的高为1cm,周长为4cm,则三角形的面积是( )A.14cm 2B.10cm 2C.1cm 2D.23cm 45.如图所示,已知AB ⊥CD , △ABD 、△BCE 都为等腰三角形,如果CD =7,BE =3,那么AC 的长为( )A.8B.5C.3D.46.下列说法中,正确的是( )A.三角形两条边的平方和等于第三条边的平方B.如果一个三角形两条边的平方差等于第三条边的平方,那么这个三角形是直角三角形C.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c , 若a 2+b 2=c 2,则∠A =90°D.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ,若c 2-a 2=b 2,则∠B=90°7.把直角三角形的三边都扩大n 倍( n >0),得到的三角形是( )A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不能确定8.小丽和小芳二人同时从公园去图书馆,都是每分钟走50米,小丽走直线用了10分钟,小芳先回家拿了钱去图书馆,小芳到家用了6分钟,从家到图书馆用了8分钟.小芳从公园到图书馆拐的角是( )A.锐角B.直角C.钝角D.不能确定9.如图所示,我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,如果大正方形的面积是13, 小正方形的面积是1,直角三角形较短的直角边为a ,较长的直角边为b ,那么(a +b )2的值为( )A.13B.19C.25D.16910.长度分别为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm的五根木棍,选出三根首尾连接,最多可搭成的直角三角形的个数为( )A.1B.2C.3D.411.在下列长度的各组线段中,能组成直角三角形的是( )A.12,15,27B.32,42,52C.5a, l2a, l3a(a>0)D.1,2,312.满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是( )A.∠A=∠B-∠CB.∠A:∠B:∠C=1:1:2C.a:b:c=1:1:2D.b2=a2-c213.已知在△ABC中,AB=8,BC=15,AC=17,则下列结论无法判断的是( )A.△ABC是直角三角形,且AC为斜边B.△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°C.△ABC的面积为60D.△ABC是直角三角形,且∠A=60°14.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:1:2,则下列说法错误的是( )A.∠C=90°B.a2=b2-c2C.c2=2a2D.a=b15.若△ABC的三边分别为m2-1,2m,m2+1(m>1),则下列结论正确的是( )A.△ABC是直角三角形,且斜边的长为m2+ 1B.△ABC是直角三角形,且斜边的长为2mC.△ABC是直角三角形,但斜边的长需由m的大小确定D.△ABC无法判定是否是直角三角形二、填空题1.若△ABC三边长为a、b、c,且满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC的形状为_______三角形.2.若三角形三边之比为3:4:5,则该三角形为________三角形;若三角形三角之比为1:2:3,则该三角形为__________三角形.3.三角形三边分别为6、8、10,则最长边上的高为__________.4.三边长为a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(其中m>n>0)的三角形为_______三角形.5.请任意写出三组勾股数_______,________,_________.6.一直角三角形的两直角边分别为9、12,该三角形的周长为_________.7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,则斜边上的高是__________cm.8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC上一点,AD⊥AB,AD=9cm,BD=15cm,则AC=-_________cm.9.一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数,则它的周长是_________.10.传说,古埃及人曾用“拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别是______厘米,_________厘米,_________厘米,其中的道理是________.11.一条对角线长39cm,一条边长是36cm的矩形的周长为________cm.12.三角形三边长为a+1,a+2,a+3,当a=_________时,此三角形为直角三角形.13.在△ABC中,三边为a、b、c,且满足a2+b2+c2=ab+ac+bc,则△ABC的形状为________.14.在△ABC中,AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=l2cm,则△ABC的面积为_______.15.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠1=∠2, CD=1.5,BD=2.5,则AC等于___________.16.将一根长24cm的筷子,置于直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中(如图所示).设筷子露在杯子外面的长为h cm,则h的取值范围是__________.17.直角三角形的三边长分别是a-b,a,a+b,其周长为24cm,则面积为________cm2.三、解答题1.试判断三边长分别为2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1(n>0)的三角形是否是直角三角形.2.已知△ABC的三边的长分别为a、b、c,且满足关系式a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,试判断△ABC的形状.3.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,P为BC上一点,求证:PB2+PC2=2P A2.4.如图所示,CD是△ABC的边AB上的高,且CD2=AD·DB.求证:∠ACB=90°.5.求证a=m2-n2, b=m2+n2,c=2mn(m>n>0)是一个直角三角形的三边.6.如图所示,如果只给你一把带刻度的直尺,你是否能检验∠MPN是不是直角,简述你的作法.7.如图所示,在四边形ABCD中,AB⊥BC,且AB=9,BC=12,CD=17,AD=8,求四边形ABCD的面积.8.如图所示,学校B前面有一条笔直的公路,学生放学后走AB、BC两条路可到达公路,经测量BC=6km,BA=8km,AC=10km.现需修建一条公路使学校B到公路的距离最短,请你帮助学校B设计一种方案,并求出公路的长.9.如图所示,一个池塘呈三角形形状,三角形的边长分别为6m、8m、10m,距池塘边缘5m 内的土地上栽着树,问池塘连同树木共占土地多少m2？(结果精确到1m2,π=3.14)10.如图所示,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且1,4EC BC试判断AF与EF的位置关系,并说明理由.11.3,4 ,5 32+42=525, 12 , 13 52+122=327,24 ,25 72+242=2529,40 ,41 92+402=412……21, b ,c212+b2=c2(1)试找出它们的共同点,并说明你的结论;(2)当a=21时,求b、c的值.a b c第一组3=2×1+1 4=2×l×(1+1) 5=2×1×(1+1)+1第二组 5=2×2+1 12=2×2×(2+1) 13=2×2×(2+1)+1 第三组7=2×3+1 24=2×3×(3+1) 25=2×3×(3+1)+1 第四组9=2×4+1 40=2×4×(4+1) 41=2×4×(4+1)+1 … … … …根据以上勾股数组的组成傅点,你能求,出第七组勾股数的a 、b 、c 各是多少吗？第n 组呢？13.如图是一个零件的形状,校规这个零件中必须有AC ⊥BC ,工人师傅量得B 、C 两点距离为36,AD =12,CD =9,AB =39,∠ADC =90°.问:这个零件符合要求吗？并说明理由.14.如图所示,E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点,并且AB =4,1,4CE BC =F 为CD 的中点,连接AF 、AE 、EF ,△AEF 是什么三角形？请说明理由.15.甲、乙两船从港口A 同时出发,甲船以16海里/时的速度向北偏东35°航行,乙船沿南偏东一角度航行,船速为12海里/时,2小时后,甲、乙两船相距40海里,问乙船的航行方向.16.如图所示,在△ABC 中,AB =40,BC =100,且BC 边上的中线长AD =30.(1)试说明2;ABC ABD S S ∆∆=(2)求△ADC 的面积.17.同学们在数学老师的带领下来到平坦的草原上游玩,他们发现前面有两棵大树,当地的牧'民告诉他们,这是两棵古老而特别的树,两楝树之间的距离为750 m,一部分同学以45 m/min 的速度向一棵大树走去,伺时,剩下的一部分同学以60m/min 的速度向另一棵大树走去,10min 后,两组同学同时到达目的地.问:(1)两组同学行走的方向是否成直角？(2)如果他们仍以原速度行走,至少还需要几分钟才能相遇？18.Tom 和Jerry 去野外宿营,在某地要确定两条互相垂直的路,而身边又没带直角尺,可利用的只有背包带,你能帮他们想一个简单可行的办法吗？19.已知某开发区有一块四边形的空地ABCD ,如图所示,现计划在该空地上种上草皮,经测量,∠A =90°,AB =3m,BC =12m,CD =13m,DA =4m.若每平方米草皮需要200元,问需要投人多少元.20.阅读下列解题过程:已知a 、b 、c 为△ABC 的三边,且满足a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4,试判断△ABC 的形状.解:∵222244a c b c a b -=-① ∴2222222()()()c a b a b a b -=+- ②∴222c a b =+③ ∴△ABC 是直角三角形.问:(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号:________;(2)错误的原因为___________;(3)本题正确的结论是_____________;21.观察下列两组勾股数:(1)3,4,5;5,12,13;7,24,25;…(2)6,8,10;10,24,26;14,48,50;…你发现上述两组勾股数各有什么特征？请用含有字母m 、n 的式子表示出来,你还能发现勾股数有什么特征？与同学交流.22.已知,如图△ABC 的周长是24,M 是AB 的中点,MC =MA =5,求△ABC 的面积.。