勾股定理的逆定理(1)
勾股定理的逆定理知识点
要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如c ）.（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点四、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释：（1）22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长；。
14.1 勾股定理的逆定理(1)--
他们用13个等距的结巴一根绳子分成 等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1 个结和第13个结，两个助手分别握住第4个 结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直 角三角形,其直角在第4个结处。
这个问题意味着:
如果围成的三角形的三边分别 为3、4、5．满足关系: 32＋42＝52．那么围成的三角 形是直角三角形．
a、b、c满足 a2
+ b2 = c2 ，那么这个
三角形是直角三角形。
例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角
三角形? (1) a=15，b=17，c=8; (2) a=13，b=15，c=14 是直角三角形, 只要看两条较少边长的平方和是否等于 条边长的三个正整数，称为 勾股数. 最大边长的平方 .
猜想：如果三角形的三边长a、b、c满
足 a2
+
2 b
=
2 c ，那么这个三角形是直
角三角形。
已知△ABC，AB=c，AC=b，BC=a，且a2+b2=c2， 求证：∠C=900
证明：作Rt△A′B′C′， 使∠C′=900，A′C′=b，B′C′=a
则△ABC≌ △A′B′C′
∴∠C=900
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长
△ABC三边a,b,c为边向外作正 方形，正三角形，以三边为直 径作半圆，若S1+S2=S3成立，则 是直角三角形吗？
S1
a c
S2
B
C
b
C
B
S2
A
b
a c
S1
A
S3
S3
已知：如图，四边形 ABCD 中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4， CD ＝ 12 ， AD ＝ 13, 求 四 边 形 ABCD的面积?
第5课 勾股定理的逆定理1
18.2 勾股定理的逆定理1学习目标掌握勾股定理的逆定理，并会用来判断一个三角形是不是直角三角形；熟记一些勾股数学习重点勾股定理的逆定理及其应用学习过程一、复习引入1．直角三角形有哪些性质？2．你有哪些方法说明一个三角形是直角三角形？二、探究新知1．将勾股定理的题设与结论互换，得到的命题是：．2．这个命题是真命题吗？（1）我们用几组符合222+=的三条线段a，b，c来围成三角形，看看它们是否是直角三角a b c形？（3，4，5）；（2.5，6，6.5）．（2）你会证明这个命题吗？已知：求证：证明：3．将一个命题的题设和结论互换，得到一个新命题，新命题与原命题互为逆命题．练习：写出下列命题的逆命题，并判断原命题和其逆命题的真假：（1）原命题：两直线平行，同位角相等．（）逆命题：．（）（2）原命题：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角互补．（）逆命题：．（）（3）原命题：如果AC=BC，那么点C是线段AB的中点．（）逆命题：．（）（4）原命题：对顶角相等．（）逆命题：．（）4．通过刚才的练习可知，原命题的真假与其逆命题的真假之间没有关联．当一个定理的逆命题也是真命题时，它也是一个定理，我们称这两个定理为互逆定理．练习：举出一些我们学过的互逆定理的例子三、巩固提高1．判断下面的三条线段能不能组成直角三角形：（1）15，8，17；（2）13，14，15；（3）n2-1，2n，n2+1．小结：能够构成直角三角形三条边长的三个正整数，成为勾股数．请你写出几组常见的勾股数：练习：书本77页 62．一个三角形的三边长分别为15，20，25，求这个三角形最长边上的高．练习：如果三角形的三边分别为2，2，2，那么这个三角形的三个角的度数分别为；如果三角形的三边分别为1，2的度数之比为．3．如果一个三角形的三边a，b，c满足4422220a b b c a c-+-=，试判断这个三角形的形状．4．正方形网格中，小格的顶点叫做格点。
《勾股定理的逆定理》PPT课件(第1课时)
理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.
总结：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三 角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
巩固练习
D
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF为直角三角形，且AE为
斜边．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
课堂小结
勾股定理 的逆定理
内容 作用 注意
如果三角形的三边长a 、b 、c满
下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是( D )
A. 1,2,3
B. 2,3,4
C. 4,5,6
D. 1, 2, 3 C
满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( C )
A.三个内角比为1：2：1
C.三边之比为 3 : 2 : 5
B. 三边之比为1：2： 5 D. 三个内角比为1：2：3
探究新知 考 点 2 勾股定理的逆定理和乘法公式判断三角形
b
根据勾股定理，则有 A1B1 2=B1C1 2+C1A1 2=a2+b2. B
B
∵a2+b2=c2, ∴A1B1 =c， ∴AB=A1B1.
A1
在△ABC和△A1B1C 1中，
aC
BC=B1C1,
b
CA=C1A1, AB=A1B1.
B1 a C1
∴∆ABC ≌ ∆A1B1C1. ∠C=∠ C1 =90°.
勾股定理逆定理(一)
⑤ A. 2个; B. 3个; C. 4个; D. 5个.
6、三角形的三边长为 ,则这个三角形是( )
A.等边三角形; B.钝角三角形; C.直角三角形; D.锐角三角形.
7、如图，在△ABD中，∠A是直角，AB=3，AD=4，BC=12，DC=13，△DBC是直角三角形吗？
D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。
3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（）
A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15
C．a= ，b= ，c= D．a：b：c=2：3：4
【四、综合提升】
三角形的三边长分别为 ， ， （ 都是正整数），试判断三角形的形状
集兵镇中学八年级数学导学案
备课日期：2013年12月3日教学日期：12月日设计：周健审核：祝亮
课题：勾股定理逆定理（一）
学
习
目
标
1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
学习重点：掌握勾股定理的逆定理及证明
（1）这三组数满足 吗？
（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
猜想命题2：如果三角形的三边长 、 、 ，满足 ，那么这个三角形是三角形
问题二：命题1：
命题2：
命题1和命题2的和正好相反，把像这样的两个命题叫做命题，如果把其中一个叫做，那么另一个叫做
由此得到
勾股定理逆定理：
【五、知识梳理】
【六、当堂检测】
1、任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有。
八年级-人教版-数学-下册-第1课时-勾股定理的逆定理
3
5
4
三边分别为 3，4，5， 满足关系：32＋42＝52， 则该三角形是直角三角形．
探究
画一画：下列各组数中的两数的平方和等于第三数的平方，
分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm）．
① 2.5，6，6.5；
② 6，8，10；
③ 4，7.5，8.5．
量一量：用量角器量一量，它们是什么三角形？ 直角三角形
例2 在△ABC 中，a∶b∶c＝9∶15∶12，试判断△ABC 是否 是直角三角形．
解：依题意知 b 是最长边， 设 a＝9k，b＝15k，c＝12k(k＞0)， ∵ a2＋c2＝(9k)2＋(12k)2＝225k2，b2＝(15k)2＝225k2， ∴ a2＋c2＝b2，即△ABC 是直角三角形．
本题易错点：没有弄清楚哪条边是最长边的情况下 就盲目地运用勾股定理的逆定理，从而导致错误．
勾股定理的逆定理
互逆命题：原命题、逆命题 勾股定理的逆定理的证明 勾股数
解：（3）对应角相等的两个三角形全等，不成立； （4）角平分线上的点到角两边的距离相等，成立．
一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可 能不成立．
思考 命题 2 正确吗？如何证明呢？
∠C 是直角 ？
△ABC 是直角三角形
a2＋b2＝c2
画一个两条直角边分别为 a，b 的直角 三角形，如果△ABC 与这个直角三角形全等， 那么△ABC 就是直角三角形．
由前面几个例子，我们可以作出什么猜想？
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三 角形是直角三角形．
题设
命题 1 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，
那么 a2＋b2＝c2．结论
18.2勾股定理的逆定理(1)
具体训练步骤
1、情景引入2、典型例题3、针对性练习4、小结
训练内容实例
一、情景引入一起看书第73页上的故事引出命题2
命题2如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
思考：这个命题与命题1“如果直角三角形两直角边是a、b，斜边是c，那么a2+b2=c2”
(2)勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
(3)△ABC的三边之比是1：1： ，则△ABC是直角三角形。
2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）
A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。
B．如果c2= b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。
⑴a= ，b= ，c= ；⑵a=5，b=7，c=9；
⑶a=2，b= ，c= ；⑷a=5，b= ，c=1。
5．若三角形的三边是⑴1、 、2；⑵ ；⑶32，42，52⑷9，40，41；
⑸（m＋n）2－1，2（m＋n），（m＋n）2＋1；则构成的是直角三角形的有（）
A．2个B．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个
三、本课知识能力提升训练
四、课堂梳理小结作业说明
小结具体内容
1、命题与逆命题2、勾股定理的逆定理3、直角三角形的判断
详细分层作业
布置要求说明
必做：书76页习题18.2 1、2导航33页18.2随堂练习
选作：书76页习题18.2 4、6
提升能力点
灵活运用“勾股定理的逆定理”解决问题
学生层面
综合运用因式分解等相关知识解决勾股定理的问题
提升内容
1、已知a , b , c是△ABC的三边长，且满足 ，
勾股定理的逆定理定义
勾股定理的逆定理1. 引言勾股定理是数学中最基本且重要的定理之一，它描述了直角三角形中三条边的关系。
而勾股定理的逆定理则是根据已知两条边的长度，判断这两条边是否能构成一个直角三角形。
在本文中，我们将详细介绍勾股定理的逆定理的定义、证明以及应用。
2. 定义勾股定理的逆定理可以简单表述为：如果给定一个三角形，其中两条边长分别为a和b，那么当且仅当a、b满足以下条件时，该三角形为直角三角形：•a和b是正数；•a、b存在一个整数m使得a=m^2；•a、b存在一个整数n使得b=n^2；•m和n互质（即最大公约数为1）。
3. 证明下面我们将对勾股定理的逆定理进行证明。
步骤1：假设给定一个符合条件的三角形假设给定一个三角形ABC，其中AB=c为斜边，AC=a为一条直角边，BC=b为另一条直角边。
步骤2：根据已知条件推导首先，我们可以根据已知条件得出以下结论：•根据直角三角形的定义，我们知道角C为直角。
•根据勾股定理，我们有c^2 = a^2 + b^2。
步骤3：证明a、b满足逆定理的条件接下来，我们将分两步证明a、b满足逆定理的条件。
步骤3.1：证明a和b是正数根据已知条件，我们可以得出a、b都是正数。
步骤3.2：证明存在整数m和n使得a=m2和b=n2，并且m和n互质假设m和n不互质，则存在一个正整数d能够同时整除m和n。
那么我们可以将m 表示为dm’，n表示为dn’，其中m’和n’是互质的。
由已知条件可得：• a = m^2 = (dm’)^2 = d2(m’)2；• b = n^2 = (dn’)^2 = d2(n’)2。
由此可见，a和b都能被d^2整除。
但是根据勾股定理可知c不可能被d整除（因为c是斜边），这与已知矛盾。
因此，假设不成立。
即m和n一定是互质的。
步骤4：得出结论根据步骤3的证明，我们可以得出结论：当且仅当a、b满足逆定理的条件时，三角形ABC为直角三角形。
即勾股定理的逆定理成立。
4. 应用勾股定理的逆定理在实际问题中有广泛的应用。
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18．2 勾股定理的逆定理（一）
教学目标
1、知识与技能：了解并掌握勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定条件。
2、过程与方法：通过实验操作探索三边长a 、b 、c 满足222c b a
=+的三角形是
直角三角形，直接领教同一法；
3、情感、态度、价值观：在探索活动过程中，亲身体验并感受知识的生成和发展的过程，培养敢于实践、敢于发现、大胆探索、合作创新的精神。
教学重点、难点
1．重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。
2．难点：勾股定理的逆定理的证明。
教学设计：
一、课堂引入
创设情境：
⑴ 样判定一个三角形是等腰三角形？
⑵ 怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的
逆命题进行猜想。
二、合作、探究
1、复习原命题与逆命题
例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
⑴同旁内角互补，两条直线平行。
⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。
⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。
分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。
⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。
2、勾股定理的逆定理
例2（P82探究）证明：如果三角形的三边长a ，b ，
c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图
形，然后写已知求证。
⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道
若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。
⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。
b
B C A 1C1
⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。
⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。
充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。
例3（课本例1）判断由线段a、b、c所组成的三角形是不是直角三角形：（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15。
三、课堂练习
1．判断题。
⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。
⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半。
”的逆命题是真命题。
⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
⑷△ABC的三边之比是1：1：2，则△ABC是直角三角形。
2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。
B．如果c2= b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。
C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。
D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。
3．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？
2，c=5；⑵a=5，b=7，c=9；
⑴a=3，b=2
2，c=1。
⑶a=2，b=3，c=7；⑷a=5，b=6
四、小结
1、内容：勾股定理的逆定理的内容及其证明方法
2、思想方法：通过让动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维
五、课后作业
1．叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。
⑴如果a3＞0，那么a2＞0；
⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形；
⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；
⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。
2．填空题。
⑴任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有。
⑵“两直线平行，内错角相等。
”的逆定理是。
⑶在△ABC 中，若a 2=b 2－c 2，则△ABC 是三角形，是直角；
若a 2＜b 2－c 2，则∠B 是。
⑷若在△ABC 中，a=m 2－n 2，b=2mn ，c= m 2＋n 2，则△ABC 是三角形。
3．若三角形的三边是⑴1、3、2；⑵5
1,41,31；⑶32，42，52⑷9，40，41；⑸（m ＋n ）2－1，2（m ＋n ），（m ＋n ）2＋1；则构成的是直角三角形的有（）
A ．2个
B ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个
4．已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？
⑴a=9，b=41，c=40；⑵a=15，b=16，c=6；
⑶a=2，b=32，c=4；⑷a=5k ，b=12k ，c=13k （k ＞0）。
选作：
已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，a=n 2－1，b=2n ，c=n 2＋1（n ＞1）
求证：∠C=90°。