高等代数课件北大版第九章欧式空间.ppt
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高等代数9-4
§9.4 正交变换
3. 欧氏空间V的正交变换是V到自身的同构映射．
因而有， 1）正交变换的逆变换是正交变换； （由同构的对称性可得之） 2）正交变换的乘积还是正交变换． （由同构的传递性可得之）
§9.4 正交变换
4. n 维欧氏空间中正交变换的分类：
设 n 维欧氏空间V中的线性变换 在标准正交基 1,2, , n下的矩阵是正交矩阵A，则 A 1. 1）如果 A 1, 则称 为第一类的（旋转）; 2）如果 A 1, 则称 为第二类的．
§9.4 正交变换
例、在欧氏空间中任取一组标准正交基 1,2, ,n,
定义线性变换 为：
1 1 i i ,
i 2,3, n.
则 为第二类的正交变换，也称之为镜面反射．
§9.4 正交变换
例：设 是n 维欧氏空间V 的一个单位向量，定义变换
( ) 2(, ). 证明: （1） 是正交变换，这样的正交变换称为镜面
(2)
§9.4 正交变换
( ), ( ) ( , ),
(3)
把(3)展开得，
( ), ( ) 2 ( ), ( ) ( ), ( )
( , ) 2( , ) ( , )
再由(1)(2)即得，
( ), ( ) ( , )
是正交变换．
§9.4 正交变换
再证明2)与3)等价．
正交基1,2, ,n 的过渡矩阵是正交矩阵.
§9.4 正交变换
所以，A是正交矩阵．
" " 设 1,2, , n 为V的标准正交基，且
1,2, ,n 1,2, ,n A 即， 1,2, ,n 1,2, , n A
由于当A是正交矩阵时，1,2, ,n 也是V的
标准正交基， 再由1即得 为正交变换．
3. 欧氏空间V的正交变换是V到自身的同构映射．
因而有， 1）正交变换的逆变换是正交变换； （由同构的对称性可得之） 2）正交变换的乘积还是正交变换． （由同构的传递性可得之）
§9.4 正交变换
4. n 维欧氏空间中正交变换的分类：
设 n 维欧氏空间V中的线性变换 在标准正交基 1,2, , n下的矩阵是正交矩阵A，则 A 1. 1）如果 A 1, 则称 为第一类的（旋转）; 2）如果 A 1, 则称 为第二类的．
§9.4 正交变换
例、在欧氏空间中任取一组标准正交基 1,2, ,n,
定义线性变换 为：
1 1 i i ,
i 2,3, n.
则 为第二类的正交变换，也称之为镜面反射．
§9.4 正交变换
例：设 是n 维欧氏空间V 的一个单位向量，定义变换
( ) 2(, ). 证明: （1） 是正交变换，这样的正交变换称为镜面
(2)
§9.4 正交变换
( ), ( ) ( , ),
(3)
把(3)展开得，
( ), ( ) 2 ( ), ( ) ( ), ( )
( , ) 2( , ) ( , )
再由(1)(2)即得，
( ), ( ) ( , )
是正交变换．
§9.4 正交变换
再证明2)与3)等价．
正交基1,2, ,n 的过渡矩阵是正交矩阵.
§9.4 正交变换
所以，A是正交矩阵．
" " 设 1,2, , n 为V的标准正交基，且
1,2, ,n 1,2, ,n A 即， 1,2, ,n 1,2, , n A
由于当A是正交矩阵时，1,2, ,n 也是V的
标准正交基， 再由1即得 为正交变换．
高等代数课件(北大版)第九章 欧式空间§9.1
事实上，对 V ,0，即 X 0
有 (,) X A X 0
A 为正定矩阵.
③ 由（10）知，在基 1,2, ,n下，向量的内积
由度量矩阵A完全确定.
*
第二十六页，共30页。
④ 对同一内积而言，不同基的度量矩阵是合同的.
证：设 1 ,2 , ,n ;1 ,2 , ,n为欧氏空间V的两组
基，它们的度量矩阵分别为A、B ，且
b
b
2 .( k f ,g ) a k f ( x ) g ( x ) d x k a f ( x ) g ( x ) d x
k(f,g)
*
第七页，共30页。
3 .(f g ,h ) a b f(x ) g (x ) h (x )d x
b
b
af(x )h (x )d x ag (x )h (x )d x
V为欧氏空间， ,, V , k R
1 ) ( , k ) k ( ,) , k , k k 2 ( ,)
2 )(, ) (,) (,)
s
s
推广： (,i)(,i)
i1
i1
3) (0,)0
* 第九页，共30页。
二、欧氏空间中向量的长度
1. 引入长度概念的可能性
1）在 R 3 向量 的长度（模） .
* 第十六页，共30页。
2）
施瓦兹 不等式
bf(x )g (x )d xbf2 (x )d xb g 2 (x )d x
a
a
a
证：在 C (a,b) 中，f(x) 与g(x) 的内积定义为
b
(f(x ),g (x ))af(x )g (x )d x
由柯西－布涅柯夫斯基不等式有
(f(x ),g (x ))f(x )g (x )
有 (,) X A X 0
A 为正定矩阵.
③ 由（10）知，在基 1,2, ,n下，向量的内积
由度量矩阵A完全确定.
*
第二十六页，共30页。
④ 对同一内积而言，不同基的度量矩阵是合同的.
证：设 1 ,2 , ,n ;1 ,2 , ,n为欧氏空间V的两组
基，它们的度量矩阵分别为A、B ，且
b
b
2 .( k f ,g ) a k f ( x ) g ( x ) d x k a f ( x ) g ( x ) d x
k(f,g)
*
第七页，共30页。
3 .(f g ,h ) a b f(x ) g (x ) h (x )d x
b
b
af(x )h (x )d x ag (x )h (x )d x
V为欧氏空间， ,, V , k R
1 ) ( , k ) k ( ,) , k , k k 2 ( ,)
2 )(, ) (,) (,)
s
s
推广： (,i)(,i)
i1
i1
3) (0,)0
* 第九页，共30页。
二、欧氏空间中向量的长度
1. 引入长度概念的可能性
1）在 R 3 向量 的长度（模） .
* 第十六页，共30页。
2）
施瓦兹 不等式
bf(x )g (x )d xbf2 (x )d xb g 2 (x )d x
a
a
a
证：在 C (a,b) 中，f(x) 与g(x) 的内积定义为
b
(f(x ),g (x ))af(x )g (x )d x
由柯西－布涅柯夫斯基不等式有
(f(x ),g (x ))f(x )g (x )
高等数学(高教版)第九章欧几里得空间第六节课件
第六节
实对称矩阵的标准形
主要内容
问题的提出 正交矩阵的求法
实对称矩阵的性质
主要结论
举例
正交的线性替换
一、问题的提出
在第五章我们得到，任意一个对称矩阵都合同
于一个对角矩阵，
使
换句话说，都有一个可逆矩阵 C
CTAC
成对角形. 在这一节，我们将利用欧氏空间的理论
把第五章中关于实对称矩阵的结果进行加强，这就 是这一节要解决的主要问题：
下的矩阵就是 A .
(2)
引理 2
设 A 是实对称矩阵，A 的定义如上
则对任意的 , Rn , 有 (A , ) = ( , A ) ， 或 (3)
T ( A ) = TA .
证明
只要证明后一等式即可.
实际上 = ( A )T
T ( A )
= TAT = T( A ) .
1 6 1 6 2 6 0
1 12 1 12 1 12 3 12
1 2 1 2 . 1 2 1 2
TTAT = diag(1, 1, 1, -3) .
例2 设
3 A 2 0
2 2 2
0 2 1
x1 x2 x n
满足
A = 0 . 令
x1 x2 , x n
其中
xi 是 xi 的共轭复数，则
考察等式
A = 0 .
T (A )
= TAT
= (A )T
T 是一个正交矩阵，而
T-1AT = TTAT 就是对角形. 根据上面的讨论，求正交矩阵 T 的步骤如下： STEP 1 求出 A 的特征值. 设 1 , …, r 是 A
实对称矩阵的标准形
主要内容
问题的提出 正交矩阵的求法
实对称矩阵的性质
主要结论
举例
正交的线性替换
一、问题的提出
在第五章我们得到，任意一个对称矩阵都合同
于一个对角矩阵，
使
换句话说，都有一个可逆矩阵 C
CTAC
成对角形. 在这一节，我们将利用欧氏空间的理论
把第五章中关于实对称矩阵的结果进行加强，这就 是这一节要解决的主要问题：
下的矩阵就是 A .
(2)
引理 2
设 A 是实对称矩阵，A 的定义如上
则对任意的 , Rn , 有 (A , ) = ( , A ) ， 或 (3)
T ( A ) = TA .
证明
只要证明后一等式即可.
实际上 = ( A )T
T ( A )
= TAT = T( A ) .
1 6 1 6 2 6 0
1 12 1 12 1 12 3 12
1 2 1 2 . 1 2 1 2
TTAT = diag(1, 1, 1, -3) .
例2 设
3 A 2 0
2 2 2
0 2 1
x1 x2 x n
满足
A = 0 . 令
x1 x2 , x n
其中
xi 是 xi 的共轭复数，则
考察等式
A = 0 .
T (A )
= TAT
= (A )T
T 是一个正交矩阵，而
T-1AT = TTAT 就是对角形. 根据上面的讨论，求正交矩阵 T 的步骤如下： STEP 1 求出 A 的特征值. 设 1 , …, r 是 A
高等代数欧几里得空间课件
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，可 以表示向量之间的关系和线性变换。
VS
矩阵的性质
矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、 标量乘法和乘法满足相应的运算规则，矩 阵的转置、行列式、逆等也具有相应的性 质和定义。
矩阵的运算规则
1 2 3
矩阵的加法 矩阵的加法满足交换律和结合律，即 $A+B=B+A$和$(A+B)+C=A+(B+C)$。
运算规则二
如果 $W_1$ 和 $W_2$ 是子空间，且 $W_1 cap W_2 = {0}$， 则 $W_1 + W_2$ 是子空间。
运算规则三
如果 $W$ 是子空间，且 $u in W$，则存在唯一的 $v in W$ 使得 $u + v = 0$。
欧几里得空的同
06
构与等价
同构的定义与性质
等价性质
等价的欧几里得空间具有相同的秩，且线性变换在等价 下是可逆的。
THANKS.
矩阵运算对应线性变换运 算
矩阵的加法、标量乘法和乘法分别对应线性 变换的加法、标量乘法和复合运算。
特征与特征向量
04
特征值与特征向量的定义
特征值
对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零的数λ和相应的非零向量x，使得Ax=λx成立， 则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A的对应于λ的特征向量。
特征向量
与特征值λ对应的非零向量x称为矩阵A的对应于λ的特征向量。
助于学生更好地理解和掌握这一概念。
04
复数域上的全体二维向量构成的集合是一个二维复数 欧几里得空间。
向量与向量的运算
ห้องสมุดไป่ตู้02
向量的定义与表示
高等代数-9第九章欧几里得空间
, yn ' ,
(2)当 A=E 时写出内积的具体表达式.
称A =E 时定义的内积
, ' x1 y1 x2 y2
为普通内积或按通常定义的内积.
xn yn
§1 定义与基本性质
注1 同一线性空间V 上可以定义多个内积. 线性空间V 在不同的内积定义下构成不同的欧氏空间.
因此欧氏空间V的定义是和线性空间V以及V的 内积的定义紧密联系的.
§1 定义与基本性质(P363)
注 (1) 零向量与任意向量正交,即 o .
(2) 若 , 则 o.
(3) 若 , 非零, 则 , .
2
(4) 勾股定理 , V | |2 | |2 | |2
证明
2 ,
, 2, ,
了解欧几里得空间的内积的矩阵表示, 掌握度量矩阵
§1 定义与基本性质(P359)
一. 欧几里得空间的定义 1. 定义 设V是实数域 R上的线性空间,在V上定义二
元实函数( , ) , 满足性质: , , V , k R
1) ( , ) ( , ) （对称性）
2) (k , ) k( , )
f (x)为开口向上且与x轴最多只有一个交点的抛物线.
则判别式 4(, )2 4(, )( , ) 0, 即 ( , )2 ( , )( , ), 结论成立.
§1 定义与基本性质(P362)
下证 | (, ) || || | 当且仅当 、 线性相关. " " 若 、 线性相关,不妨设 k ,
第九章 欧几里得空间(P359)
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间 §6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的距离─最小二乘法
高等代数欧氏空间的定义与基本性质
. .. . . ..
欧几里得空间的概念
注 在欧几里得空间的定义中, 对它作为线性空间的维数并无要 求，可以是有限维的，也可以是无限维的. 由内积的对称性可知，内积也满足 右齐次性 (α, kβ) = k(α, β)；
因而我们也称内积满足齐次性、可加性，这两条性质合在一 起称为内积的双线性性. 即内积是实线性空间中的一个正定 对称双线性函数.
. .. . . ..
欧氏空间的度量
由欧氏空间定义中内积的正定性，有 √
(α,
α)
≥
0.
所以对于任意
的向量 α， (α, α) 是有意义的. 在几何空间中，向量的长度为
√ (α, α).
类似地，我们在一般的欧氏空间中引进：
定义 √
非负实数 (α, α) 称为向量 α 的长度，（或称范数，或称模）记 为 |α|.
. .. . . ..
欧几里得空间的概念
注 在欧几里得空间的定义中, 对它作为线性空间的维数并无要 求，可以是有限维的，也可以是无限维的. 由内积的对称性可知，内积也满足
因而我们也称内积满足齐次性、可加性，这两条性质合在一 起称为内积的双线性性. 即内积是实线性空间中的一个正定 对称双线性函数.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样 定义的长度符合熟知的性质：
|kα| = |k||α|,
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
欧氏空间的度量
这里，k ∈ αR, α ∈ V. 事实上，
√
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§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
2.向量到子空间的距离
(1) 设 为一固定向量 ，如果 与子空间 W 中 每个向量垂直， 称 垂直于子空间W , 记作 W.
注:
如果 W L(1,2 , ,k ), 则 W i , i 1,2, ,k.
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
§9.7 向量到子空间的距离
一、向量到子空间的距离 二、最小二乘法
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
一、向量到子空间的距离
1. 向量间的距离
定义 长度 称为向量 和 的距离，
记为 d , .
基本性质
（i）d , d , （ii）d , 0, 并且仅当 的等号才成立； （iii）(三角形不等式) d , d , d , .
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
实际上是不可能的．任何a,b 代入上面各式都发生 些误差.于是想找到 a,b 使得上面各式的误差的平方 和最小，即找 a,b 使 (3.6a b 1.00)2 (3.7a b 0.9)2 (3.8a b 0.9)2 (3.9a b 0.81)2 (4.0a b 0.60)2 (4.1a b 0.56)2 (4.2a b 0.35)2 最小.
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
解：把表中数值画出图来看，发现它的变化趋势 近于一条直线．因此我们决定选取 x 的一次式 ax b 来表达．当然最好能选到适当的 a,b, 使得下面的等式
3.6a b 1.00 0, 3.7a b 0.9 0 3.8a b 0.9 0, 3.9a b 0.81 0, 4.0a b 0.60 0, 4.1a b 0.56 0, 4.2a b 0.35 0 都成立.
2.向量到子空间的距离
(1) 设 为一固定向量 ，如果 与子空间 W 中 每个向量垂直， 称 垂直于子空间W , 记作 W.
注:
如果 W L(1,2 , ,k ), 则 W i , i 1,2, ,k.
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
§9.7 向量到子空间的距离
一、向量到子空间的距离 二、最小二乘法
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
一、向量到子空间的距离
1. 向量间的距离
定义 长度 称为向量 和 的距离，
记为 d , .
基本性质
（i）d , d , （ii）d , 0, 并且仅当 的等号才成立； （iii）(三角形不等式) d , d , d , .
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
实际上是不可能的．任何a,b 代入上面各式都发生 些误差.于是想找到 a,b 使得上面各式的误差的平方 和最小，即找 a,b 使 (3.6a b 1.00)2 (3.7a b 0.9)2 (3.8a b 0.9)2 (3.9a b 0.81)2 (4.0a b 0.60)2 (4.1a b 0.56)2 (4.2a b 0.35)2 最小.
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
解：把表中数值画出图来看，发现它的变化趋势 近于一条直线．因此我们决定选取 x 的一次式 ax b 来表达．当然最好能选到适当的 a,b, 使得下面的等式
3.6a b 1.00 0, 3.7a b 0.9 0 3.8a b 0.9 0, 3.9a b 0.81 0, 4.0a b 0.60 0, 4.1a b 0.56 0, 4.2a b 0.35 0 都成立.
高等代数考研复习[欧氏空间]
![高等代数考研复习[欧氏空间]](https://img.taocdn.com/s3/m/e842560da26925c52dc5bf6b.png)
d) n维欧空间中任意一个正交向量组都能扩充 成一组标准正交基.
3) 标准正交基的求法：施密特(Schmidt)正交 化方法
题型分析：
例1 设 1,2, ,n 是欧氏空间V的基，证明：
1) 若 V 使得 ( ,i ) 0, 则 0.
2) 若 1, 2 V , 对任意的 V 有 (1, ) ( 2, )
个子空间，如果对任意 V1, V2 恒有 (, ) 0, 则称 V1 与 V2 是正交的，记为 V1 V2.
如果 V , 且对任意 V1, 有 (, ) 0, 则称 与子空间 V1 正交，记为 V1. 2) 正交子空间的有关结论：
a) L(1,2, ,m ) i ( ,i ) 0.
b) 设 , V , 1,2, ,n 是V的标准正交基，如 果 ( 1,2, ,n ) X , ( 1,2, ,n )Y , 则( , ) X Y.
c) 设 1,2, ,n 是V的一组标准正交基，1,2, ,n
且 (1,2, ,n ) ( 1,2, ,n )T , 则 1,2, ,n 也是 V的标准正交基 T是正交矩阵.
| 1 2 n || 1 | | 2 | | n | .
c) 如果 , 则 | |2 | |2 | |2 .
1.2 度量矩阵
1)定义：设V是n维 欧氏空间，1,2, ,n 是V
的一组基，称矩阵
(1,1)
A
V , | A || |;
(3) 如果 1,2, ,n 是标准正交基，则 A 1,A 2, ,A n 也是标准正交基； (4) A 在任何一组标准正交基下的矩阵是正
交矩阵.
3) 标准正交基的求法：施密特(Schmidt)正交 化方法
题型分析：
例1 设 1,2, ,n 是欧氏空间V的基，证明：
1) 若 V 使得 ( ,i ) 0, 则 0.
2) 若 1, 2 V , 对任意的 V 有 (1, ) ( 2, )
个子空间，如果对任意 V1, V2 恒有 (, ) 0, 则称 V1 与 V2 是正交的，记为 V1 V2.
如果 V , 且对任意 V1, 有 (, ) 0, 则称 与子空间 V1 正交，记为 V1. 2) 正交子空间的有关结论：
a) L(1,2, ,m ) i ( ,i ) 0.
b) 设 , V , 1,2, ,n 是V的标准正交基，如 果 ( 1,2, ,n ) X , ( 1,2, ,n )Y , 则( , ) X Y.
c) 设 1,2, ,n 是V的一组标准正交基，1,2, ,n
且 (1,2, ,n ) ( 1,2, ,n )T , 则 1,2, ,n 也是 V的标准正交基 T是正交矩阵.
| 1 2 n || 1 | | 2 | | n | .
c) 如果 , 则 | |2 | |2 | |2 .
1.2 度量矩阵
1)定义：设V是n维 欧氏空间，1,2, ,n 是V
的一组基，称矩阵
(1,1)
A
V , | A || |;
(3) 如果 1,2, ,n 是标准正交基，则 A 1,A 2, ,A n 也是标准正交基； (4) A 在任何一组标准正交基下的矩阵是正
交矩阵.
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L(1, 2 , , i ) L(1,2, ,i ), i 1, 2, , n
证： 基本方法─逐个构成出满足要求的 1,2 , ,n .
首先，可取
1
|
1
1
|1
.
§9.2 标准正交基
数学与计算科学学院
一般地，假定已求出 1,2 , ,m 是单位正交的 ，且
L(1, 2 , , i ) L(1,2 , ,i ), i 1, 2, , m (4) 当 m n 时，因为有 m1 L(1, 2 , , m ), 由(4)知 m1不能被 1,2 , ,m线性表出．
(i, j) ( j,k) (k,i) 0,
| i || j || k | 1
i, j, k 是 R3 的一组基.
பைடு நூலகம்
§9.2 标准正交基
数学与计算科学学院
设 x1 i y1 j z1k, x2 i y2 j z2 k R3 ① 从 ( , i) x1, ( , j) y1, ( , k) z1
第九章 欧氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
§6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的
距离─最小二乘法 §8酉空间介绍 小结与习题
2021/2/9
数学与计算科学学院
§9.2 标准正交基
一、正交向量组 二、标准正交基 三、正交矩阵
§9.2 标准正交基
简单的表达形式.
§9.2 标准正交基
数学与计算科学学院
2. 标准正交基的定义
n 维欧氏空间中，由 n个向量构成的正交向量组 称为正交基；
由单位向量构成的正交基称为标准正交基.
注：
① 由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准 正交基.
§9.2 标准正交基
数学与计算科学学院
② n维欧氏空间V中的一组基 1, , n 为标准正交基
(i) 设 x11 x2 2 xn n V
由(1) ， ( , i ) xi .
有 ( ,1 )1 ( , 2 ) 2 ( , n ) n (2)
n
(ii) ( , ) x1 y1 x2 y2 xn yn xi yi
(3)
i 1
这里
x11 x2 2
xn
，
可知 1,2 , ,m ,m1 是单位正交向量组．
按定理1证明中的方法，作向量
m1 m1 k11 k22 kmm ,
m
即 m1 m1 ( m1,i )i
i 1
§9.2 标准正交基
数学与计算科学学院
ki
( m1,i ) (i ,i )
(5)
则 m1 0 且 (m1,i ) 0, i 1, 2, , m
再设
m1
|
1
m1
| m1 .
n
y11 y2 2 yn n .
(iii) | | x12
§9.2 标准正交基
xn2
数学与计算科学学院
3. 标准正交基的构造 ─施密特(Schmidt)正交化过程
1）
(定理1) n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能 扩充成一组正交基.
证：设1,2, ,m 欧氏空间Ｖ中的正交向量组，
所以必有向量 不能被 1,2, ,m 线性表出，
作向量
m1 k11 k22 kmm ( 0)
ki R 待定．
§9.2 标准正交基
数学与计算科学学院
从正交向量组的性质知
(i ,m1 ) ( ,i ) ki (i ,i ), i 1, 2, , m.
于是取
ki
( ,i ) , (i ,i )
可得 (i ,m1 ) 0 ,
i 1,2, ,m, i 1,2, , m.
即 1,2 , ,m ,m1 为正交向量组．
由归纳法假设知，对这 m 1 个向量构成的正交组
可扩充得正交基. 于是定理得证．
§9.2 标准正交基
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2）
(定理2) 对于n 维欧氏空间中任一组基 1, 2 , , n 都可找到一组标准正交基 1,2 , ,n , 使
对 n m 作数学归纳法．
当 n m 0 时, 1,2 , ,m 就是一组正交基了.
§9.2 标准正交基
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假设 n m k 时结论成立，即此时可找到向量
1,2, ,k 使 1,2, ,m , 1, 2, , k
成为一组正交基.
现在来看 n m k 1 ( 1) 的情形. 因为 m n,
(i , j )
1 0
i i
jj，
i, j 1,2, ,n
(1)
③ n维欧氏空间V中的一组基 1, , n 为标准正交基
当且仅当其度量矩阵 A (i , j ) En.
④ n维欧氏空间V中标准正交基的作用:
设 1, , n为V的一组标准正交基，则
§9.2 标准正交基
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例如： R3 中 1 (1,1,0), 2 (1,0,1) 线性无关． 但 1,2 不是正交向量组.
(1,2 ) 1 0.
④ n 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数 n.
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二、标准正交基
1. 几何空间 R3中的情况
在直角坐标系下
i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1) 是由单位向量构成的正交向量组，即
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一、正交向量组
定义：
设Ｖ为欧氏空间，非零向量 1,2, ,m V ,
如果它们两两正交，则称之为正交向量组.
注：
① 若 0, 则 是正交向量组.
② 正交向量组必是线性无关向量组.
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证：设非零向量 1,2, ,m V 两两正交.
令 k11 k22 kmm 0, ki R,
得 ( ,i)i ( , j) j ( ,k)k
② ( , ) x1 x2 y1 y2 z1z2
③ | | x12 y12 z12
④ , arccos
x1 x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
即在基 i, j,k 下，R3中的与内积有关的度量性质有
m
m
则 (i , k j j ) k j (i , j ) ki (i ,i ) 0
j 1
j 1
由 i 0 知 (i ,i ) 0,
ki 0, i 1,2, , m.
故 1,2 , ,m 线性无关.
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③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组．
证： 基本方法─逐个构成出满足要求的 1,2 , ,n .
首先，可取
1
|
1
1
|1
.
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一般地，假定已求出 1,2 , ,m 是单位正交的 ，且
L(1, 2 , , i ) L(1,2 , ,i ), i 1, 2, , m (4) 当 m n 时，因为有 m1 L(1, 2 , , m ), 由(4)知 m1不能被 1,2 , ,m线性表出．
(i, j) ( j,k) (k,i) 0,
| i || j || k | 1
i, j, k 是 R3 的一组基.
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§9.2 标准正交基
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设 x1 i y1 j z1k, x2 i y2 j z2 k R3 ① 从 ( , i) x1, ( , j) y1, ( , k) z1
第九章 欧氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
§6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的
距离─最小二乘法 §8酉空间介绍 小结与习题
2021/2/9
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§9.2 标准正交基
一、正交向量组 二、标准正交基 三、正交矩阵
§9.2 标准正交基
简单的表达形式.
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2. 标准正交基的定义
n 维欧氏空间中，由 n个向量构成的正交向量组 称为正交基；
由单位向量构成的正交基称为标准正交基.
注：
① 由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准 正交基.
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② n维欧氏空间V中的一组基 1, , n 为标准正交基
(i) 设 x11 x2 2 xn n V
由(1) ， ( , i ) xi .
有 ( ,1 )1 ( , 2 ) 2 ( , n ) n (2)
n
(ii) ( , ) x1 y1 x2 y2 xn yn xi yi
(3)
i 1
这里
x11 x2 2
xn
，
可知 1,2 , ,m ,m1 是单位正交向量组．
按定理1证明中的方法，作向量
m1 m1 k11 k22 kmm ,
m
即 m1 m1 ( m1,i )i
i 1
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ki
( m1,i ) (i ,i )
(5)
则 m1 0 且 (m1,i ) 0, i 1, 2, , m
再设
m1
|
1
m1
| m1 .
n
y11 y2 2 yn n .
(iii) | | x12
§9.2 标准正交基
xn2
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3. 标准正交基的构造 ─施密特(Schmidt)正交化过程
1）
(定理1) n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能 扩充成一组正交基.
证：设1,2, ,m 欧氏空间Ｖ中的正交向量组，
所以必有向量 不能被 1,2, ,m 线性表出，
作向量
m1 k11 k22 kmm ( 0)
ki R 待定．
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从正交向量组的性质知
(i ,m1 ) ( ,i ) ki (i ,i ), i 1, 2, , m.
于是取
ki
( ,i ) , (i ,i )
可得 (i ,m1 ) 0 ,
i 1,2, ,m, i 1,2, , m.
即 1,2 , ,m ,m1 为正交向量组．
由归纳法假设知，对这 m 1 个向量构成的正交组
可扩充得正交基. 于是定理得证．
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2）
(定理2) 对于n 维欧氏空间中任一组基 1, 2 , , n 都可找到一组标准正交基 1,2 , ,n , 使
对 n m 作数学归纳法．
当 n m 0 时, 1,2 , ,m 就是一组正交基了.
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假设 n m k 时结论成立，即此时可找到向量
1,2, ,k 使 1,2, ,m , 1, 2, , k
成为一组正交基.
现在来看 n m k 1 ( 1) 的情形. 因为 m n,
(i , j )
1 0
i i
jj，
i, j 1,2, ,n
(1)
③ n维欧氏空间V中的一组基 1, , n 为标准正交基
当且仅当其度量矩阵 A (i , j ) En.
④ n维欧氏空间V中标准正交基的作用:
设 1, , n为V的一组标准正交基，则
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例如： R3 中 1 (1,1,0), 2 (1,0,1) 线性无关． 但 1,2 不是正交向量组.
(1,2 ) 1 0.
④ n 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数 n.
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二、标准正交基
1. 几何空间 R3中的情况
在直角坐标系下
i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1) 是由单位向量构成的正交向量组，即
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一、正交向量组
定义：
设Ｖ为欧氏空间，非零向量 1,2, ,m V ,
如果它们两两正交，则称之为正交向量组.
注：
① 若 0, 则 是正交向量组.
② 正交向量组必是线性无关向量组.
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证：设非零向量 1,2, ,m V 两两正交.
令 k11 k22 kmm 0, ki R,
得 ( ,i)i ( , j) j ( ,k)k
② ( , ) x1 x2 y1 y2 z1z2
③ | | x12 y12 z12
④ , arccos
x1 x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
即在基 i, j,k 下，R3中的与内积有关的度量性质有
m
m
则 (i , k j j ) k j (i , j ) ki (i ,i ) 0
j 1
j 1
由 i 0 知 (i ,i ) 0,
ki 0, i 1,2, , m.
故 1,2 , ,m 线性无关.
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③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组．