启新教育三年级奥数第十七讲数阵图二
三年级奥数.计算综合.数阵图与幻方(B级).学生版
一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，知识框架数阵图与幻方这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。
三年级奥数数阵图与幻方
数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。
三年级奥数第17次课：数阵图(二)(学生版)
【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。
学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。
谢谢使用！！！】数阵图(二)一、考点、热点回顾上一讲我们讲了仅有一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题，这一讲我们讲有多个“重叠数”的封闭型数阵图。
1、一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题2、有多个“重叠数”的封闭型数阵图。
一般地，在m边形中，每条边上有n个数的形如下图的图形称为封闭型m-n图。
与“辐射型m-n图只有一个重叠数，重叠次数是m-1”不同的是，封闭型m-n图有m个重叠数，重叠次数都是1次。
对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以已知各数之和+重叠数之和=每边各数之和×边数。
二、典型例题例1 、将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。
例2、将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。
1例3 、将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。
例4、将2～9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。
例5、把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13。
2三、习题练习1、把1～8填入下页左上图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。
2、把1～6这六个数填入右上图的○里，使每个圆圈上的四个数之和都相等。
3、将1～8填入左下图的八个○中，使得每条边上的三个数之和都等于15。
4、将1～8填入右上图的八个○中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。
35、将1～7填入右图的七个○，使得每条直线上的各数之和都相等。
6、把1，3，5，7，9，11，13分别填入左图中的七个空块中，使得每个圆内的四个数之和都等于34。
7、将4、5、6、7、8、9六个数填在下图，使每条边上得三个数之和都相等，并且和为最大，和为最小呢？8、将2～9这八个数分别填入下图的○里，使每条边上的三数之和都等于1849、将1～9这九个数分别填入下图中的○里(其中9已填好)，使每条直线上的三个数之和都相等。
三年级奥数数阵图
合用标准文案数阵图（一）在奇异的数学王国中，有一类特别幽默的数学问题，它变化多端，令人入迷，巧妙无量。
它就是数阵，一座真切的数字迷宫，它对喜欢研究数字规律的人有着极大的吸引力，致使有些人流连其中，用一世的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，终究什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有 3 个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于 13。
右上图就更有意思了， 1～9 九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于 15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
正确地说，数阵图是将一些数依照必然要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件简单的事情。
我们还是先从几个简单的例子开始。
例 1 把 1～ 5 这五个数分别填在左以下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于 9。
同学们可能会感觉这道题太简单了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。
下面我们就一起来解析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。
解析与解：中间方格中的数很特别，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其他各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于 9，因此(1+2+3+4+5)+重叠数 =9+9，重叠数 =(9+9)-(1+2+3+4+5)=3 。
重叠数求出来了，其他各数就好填了(见右上图 )。
试一试：练习与思虑第 1 题。
例 2 把 1～5 这五个数填入下页左上图中的○里 ( 已填入 5) ，使两条直线上的三个数之和相等。
解析与解：与例 1 不同样之处是已知“重叠数”为 5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。
三年级奥数1-数阵图
课题数阵图教授教养目的1：懂得两种类型数阵图概念;2：能按照题中具体请求填数阵图重点填图三步调：1.算出1个（或几个）重叠数的值（或和）2.经由过程重叠数的值（或和）找出重叠数3.把数阵图填写完全难点经由过程找到重叠数填数阵图专题1：数阵图在平庸的数学王国中,有一类异常有味的数学问题,它变更多端,惹人入胜,奥妙无限.它就是数阵,一座真正的数字迷宫,它对爱好探讨数字纪律的人有着极大的吸引力,以至有些人留连个中,用平生的精神来研讨它的变更,就连大数学家欧拉对它都有着浓重的兴致.那么,到底什么是数阵呢？我们先不雅察下面两个图：上面两个图就是数阵图.精确地说,数阵图是将一些数按照必定请求分列而成的某种图形,有时简称数阵.一.辐射型数阵图先从几个简略的例子开端.把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5),使两条直线上的三个数之和相等.1.2 把1～5这五个数分离填在左下图中的方格中,使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9.练一练：将1～9这九个数分离填入右上图中的○里(个中9已填好),使每条直线上的三个数之和都相等.还有其他填法吗？例2将1～7这七个天然数填入左下图的七个○内,使得每条边上的三个数之和都等于10.假如把例2中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”,其他不变,那么模仿例1,重叠数可能等于几？如何填？练一练：将 10～20填入左下图的○内,使得每条边上的三个数字之和都相等.二、关闭性数阵例3将1～8这八个数分离填入右图的○中,使两个大圆上的五个数之和都等于21.练一练：把1～8填入下页左上图的八个○里,使每个圆圈上的五个数之和都等于20.例4 将1～6这六个天然数分离填入右图的六个○内,使得三角形每条边上的三个数之和都等于11.将2～9这八个数分离填入右图的○里,使每条边上的三个数之和都等于18.附加：把1～7分离填入左下图中的七个空块里,使每个圆圈里的四个数之和都等于13.你学会了吗1.将3～9这七个数分离填入下图的○里,使每条直线上的三个数之和等于20.2.将1～11这十一个数分离填入图的○里,使每条直线上的三个数之和相等,并且尽可能大.3.把5.6.7.8.9.10.11.12.12.14填入下图,使每个大圆圈中六个数的和是554.将1～8填入左下图的八个○中,使得每条边上的三个数之和都等于15.功课：1.将1～9这九个数分离填入右图的小方格里,使横行和竖列上五个数之和相等.(有若干种填法？)2.把1～6这六个数填入右上图的○里,使每个圆圈上的四个数之和都相等.3.将4.5.6.7.8.9六个数填鄙人图,使每条边上得三个数之和都相等,并且和为最大,和为最小呢？4.把1——7这7个数,分离填入途中,使直线和大圆上的数之和相等生涯趣题：小猫要把15条鱼分成数目不相等的4堆,问最多的一堆中最多可放几条鱼？。
三年级数阵图
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1.将1~7这七个数分别填入左下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。
如果每条直线上的三个数之和等于10，那么又该如何填？
9
（第1题）（第2题）
2.将1~9这九个数分别填入右上图中的○里（其中9已填好），使每条直线上的三个数之和都相等。
如果中心数是5，那么又该如何填？
3将1~9这九个数分别填入右图中的小方格里，
使横行和竖列上五个数之和相等。
（至少找出两
种本质上不同的填法）
4.将3~9这七个数分别填入左下图的○里，使（第3题）
每条直线上的三个数之和等于20。
（第4题）（第5题）
5.将1~11这十一个数分别填入右上图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。
6.将1~7这七个数分别填入右图的○里，
使得每条直线上三个数之和与每个圆圈
上的三个数之和都相等。
小学奥数教程-数阵图2 (含答案)
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．复合型数阵图【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．313233212223131211【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题 【分析】 这9个数的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．【答案】33【例 2】 如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。
如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是 。
例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分 【解析】 2 【答案】2【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.（1）17894【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），（2）a cb49817则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3） （1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：见图.1789411215【答案】1789411215【例 4】 请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k（A+B+C ）+（A+F+G ）+（A+D+E ）+（B+D+F ）+（C+E+G ）=5k ，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k ，2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为56+A为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）7654321【答案】7654321【例 5】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。
小学奥数数阵图
第十七周数阵图把一些数字依据必定的要求，摆列成各种各种的图形，叫做数阵图。
数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。
幻方一般均为正方形。
图中纵、横、对角线数字和相等。
数阵则不单有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。
变化多姿，奇趣迷人。
一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、关闭型数阵、复合型数阵。
【解题技巧】数阵的分类：关闭型：关闭型数阵图的解题打破口，是确立各边极点所应填的数。
为确立这些数，采纳的方法是成立相关的等式，经过以最小值到最大值的议论，来确立每条边上的几个数之和，再将和数进行拆分以找到极点应填入的数，其余的数再利用和与极点的数就简单被填出。
（1—6）辐射型：辐射型数阵图，解法的重点是确立中心数。
详细方法是：经过所给条件成立相关等式，经过整除性的议论，确立出中心数的取值，而后求出各边上数的和，最后将和自然数分拆成中心数的若干个自然数之和，确立边上其余的数。
复合型：复合型数阵图，解题的重点是要以中心数和极点数为打破口。
数阵的特色：每一条直线段或由若干线段构成的关闭线上的数字和相等。
它的表达形式多为给出必定数目的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特色。
解数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。
2.依据“和相等” ，列出关系式，找出重点数——重复使用的数。
3.确立重复用数后，比较“和相等”的条件，用试试的方法，求出其余各数。
有时，因数字存在不一样的组合方法，答案常常不是独一的。
【铜牌例题】将 2 、 3、 4、 5、 6、 7 、 8 、 9、 10 填入下列图中的9 个方格中，使每行、每列及对角线之和相等，小明已经填了 5 个数，请将其余 4 个数填入。
【答案】【分析】先依据最左侧一列求出幻和，然后依据这个和和给出的数字逐渐计算。
3+8+7=18 ；第二行中间的数是：18-8-4=6；第三行中间的数是：18-7-9=2；第一行第一个数是：18-4-9=5；第一行中间的数是：18-3-5=10；【贯通融会 1 】（第十届走美杯初赛）小华需要结构一个3× 3 的乘积魔方，使得每行、每列、每条对角线上三个正整数的乘积都相等；此刻他已经填入了 2 ， 3， 6 三个数，那当小华的乘积魔方结构完成后，x 等于 ______ 。
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启新教育三年级奥数第十七讲数阵图二
上一讲我们讲了仅有一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题，这一讲我们讲有多个“重叠数”的封闭型数阵图。
例1 将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。
分析：中间两个数是重叠数，重叠次数都是1次，所以两个重叠数之和为 21×2-(1+2+…+8)=6。
在已知的八个数中，两个数之和为6的只有1与5，2与4。
每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。
如果两个重叠数为1与5，那么剩下的六个数2，3，4，6，7，8平分为两组，每组三数之和为15的只有2+6+7=15和3+4+8=15，故有上图的填法。
如果两个重叠数为2与4，那么同理可得上图的填法。
例2 将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。
分析：本题有三个重叠数，即三角形三个顶点○内的数都是重叠数，并且各重叠一
次。
所以三个重叠数之和等于 11×3-(1+2+…+6)=12。
1～6中三个数之和等于12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。
如果三个重叠数是1，5，6，那么根据每条边上的三个数之和等于11，可得左下图的填法。
容易发现，所填数不是1～6，不合题意。
同理，三个重叠数也不能是3，4，5。
经试验，当重叠数是2，4，6时，可以得到符合题意的填法(见右上图)。
例3 将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○中，使得三角形每条边上的三个
数之和都相等。
分析：与例2不同的是不知道每边的三数之和等于几。
因为三个重叠数都重叠了一次，由(1+2+…+6)+重叠数之和=每边三数之和×3，得到每边的三数之和等于 [(1+2+…+6)+重叠数之和]÷3 =(21+重叠数之和)÷3 =7+重叠数之和÷3。
因为每边的三数之和是整数，所以重叠数之和应是3的倍数。
考虑到重叠数是1～6中的数，所以三个重叠数之和只能是6，9，12或15，对应的每条边上的三数之和就是9，10，11或12。
与例2的方法类似，可得下图的四种填法：
三数之和=9 三数之和=10 三数之和=11 三数之和=12
例4将2～9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。
分析：四个角上的数是重叠数，重叠次数都是1次。
所以四个重叠数之和等于 18×4-(2+3+…+9)=28。
而在已知的八个数中，四数之和为28的只有： 4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。
又由于18-9-8=1
，
1
不是已知的八个数之一，所以，
8和
9
只能填对角处。
由此得到右上图所示的重叠数的两种填法：
22
“试填”的结果，只有右上图的填法符合题意。
以上例题都是封闭型数阵图。
一般地，在m 边形中，每条边上有n 个数的形如下图的图形称为封闭型m-n 图。
与“辐射型m-n 图只有一个重叠数，重叠次数是m-1”不同的是，封闭型m-n 图有m 个重叠数，重叠次数都是1次。
对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以 已知各数之和+重叠数之和 =每边各数之和×边数。
由这个关系式，就可以分析解决封闭型数阵图的问题。
前面我们讲了辐射型数阵图和封闭型数阵图，虽然大多数数阵问题要比它们复杂些，但只要紧紧抓住“重叠数”进行分析，就能解决很多数阵问题。
例5把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13。
分析与解：这道题的“重叠数”很多。
有重叠2次的(中心数，记为a)；有重叠1次的(三个数，分别记为b ，c ，d)。
根据题意应有 (1+2+…+7)+a+a+b+c+d=13×3， 即 a+a+b+c+d=11。
因为1+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a=1，b ，c ，d 分别为2，3，4才符合题意，填法见右上图。
练习
1.把1～8填入下图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。
2.把1～6这六个数填入下图的○里，使每个圆圈上的四个数之和都相等。
3.将1～8填入下图的八个○中，使得每条边上的三个数之和都等于15。
4.将1～8填入右上图的八个○中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。
5.
将
1
～7填入右图的七个○，使得每条直线上的各数之和都相等。
33
6.把1，3，5，7，9，11，13分别填入左图中的七个空块中，使得每个圆内的四个数之和都等于34。
启新教育奥数天天练填数游戏
爱因斯坦是举世文明的大科学家，以发明物理学上的相对论著称。
他在成名后，仍继续为德国的《法兰克福报》写稿，给读者提出一些数学问题。
下面是爱因斯坦做过的一道题目：如下图所示的几个圆的圆心是4个小的等腰三角形和3个大的等腰三角形的顶点，把数字1～9填入
圆圈内，使这7个三角形中每个三角形顶点的数字之和都相等。
这个问题就是我们所说的填数游戏，也就是数阵问题。
要想解决大科学家做过的问题，我们得学习数阵方面的一些基础知识。
例题与方法
例1：把数字1，3，4，5，6分别填在右图中三角形3条边上的5个○内，使每条边上3个○内数和和等于9。
例2：将数字1，2，3，4，5，6填入图中的小圆圈内，使每个大圆上4个数字的和都是16。
:例3：有8张卡片，写有数字1，2，3，4，5，6，7，8，请你重新按下右图进行排列，使每边3张卡片上的数的和等于13。
例4：在右图中各圆空余部分填上1，2，4，6，使每个圆中的4个数的和都是15。
1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 3 5 7
例5：将数字1～5分别填在下图中的○内，使每条线段上3个○内的数字之和相等。
例6：将数字1～8分别填入下图中的□内，使每一横行、每一竖相邻3个□内的数字和相等。
练习与思考
1．把数字1～9填入下图中，要求每行、每列和每条对角线上3个数的和都等于15。
2．在上图中，只能用图中已有的3个数填满其余的空格，并要求每个数字必须使用3次，而且每行每列及每条对角线上的3个数字之和都相等。
3．把数字1～8分别填入下图的小圆圈内，使每个五边形上5个数之和都等于21。
4．把数字1，2，3，4填入上图中的小圆圈内，使每条线上3个数的和与每个圆圈上3个数的和都等于12。
5．将数字1～8填入图中，使横行□中的数字和等于竖行□中的数之和。
6．将数字2～9分别填在例1的右上图中的○内，使每条线上五个○内数的和相等。
答案与提示练习17
每个圆周的四数之和=12每个圆周的四数之和=13
每个圆周的四数之和=14
每个圆周的四数之和=15每个圆周的四数之和=16
3.提示：四个顶点数之和为15×4－(1＋2＋…＋8)=24，四个顶点数有3，6，7，8和4，5，7，8两种可能。
经试验只有左下图一个解。
4.提示：每条直线或每个圆周上的四个数之和都等于
(1＋2＋…＋8)÷7＝18。
填法见右上图。
(填法不唯一)
5.提示：顶上的数重叠2次，其它数都重叠1次。
3 7
5
4 6
8
44
55
(1＋2＋…＋7)×2＋顶上数=每条线上的和×5， 56＋顶上数=每条线上的和×5。
由上式等号左端是5的倍数，推知“顶上数”=4。
所以每条线上的三个数之和为
(56＋4)÷5＝12。
经试验填法如上图。
(填法不唯一)
6.与例
5类似(见上图)。