双曲线经典例题

【例1】若椭圆()0122 n m n y m x =+与双曲线22

1x y a b

-=)0( b a 有相同的焦点F 1，F 2，

P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ）

A. a m -

B. ()a m -2

1

C. 22a m -

D. a m -

()121PF PF ∴+=

()122PF PF ∴-=±

()()

()22

12121244PF PF m a PF PF m a -⋅=-⇒⋅=-：，故选A.

【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键.

F 为右焦点，若双曲

【例2】已知双曲线127

92

2=-y x 与点M （5，3），

线上有一点P ，使PM

PF 2

1

+

最小，则P 点的坐标为

【分析】待求式中的1

2

是什么是双曲线离心率的

倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.

【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =，

右准线为3

2

l x =：.作MN l ⊥于N ，交双曲线右支于P ，

X Y O

F(6,0)M(5,3)

P N P ′N ′

X=

3

2

连FP ，则1

22

PF e PN PN PN PF ==⇒=

.此时 PM 13752

2

5

PF PM PN MN +=+==-=为最小.

在127

92

2

=-y x

中，令3y =，得212x x x

=⇒=±∴0，取x =所求P 点的坐标为

（）.

（2）渐近线——双曲线与直线

对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.

双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.

【例3】过点（1，3）且渐近线为x y 2

1

±=的双曲线方程是

【解析】设所求双曲线为()2

214

x y k

-=

点（1，3）代入：135

944

k =-=-

.代入（1）： 2222

3541443535

x y x y -=-⇒-=即为所求. 【评注】在双曲线22221x y a b -=中，令222200x y x y

a b a b

-=⇒±=即为其渐近线.根据这一点，

可以简洁地设待求双曲线为22

22x y k a b

-=，而无须考虑其实、虚轴的位置.

（3）共轭双曲线

将双曲线22221x y a b -=的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：22

221x y b a

-=.这两个双曲线就

是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.

【例4】两共轭双曲线的离心率分别为21,e e ，证明：

2

212

11

e e +=1. 【证明】双曲线22221x y a b -=的离心率2222

1122

c c a b e e a a a

+=⇒==； 双曲线22221x y b a -=的离心率2222

2222c c a b e e b b b

+=⇒==.

∴22

22222212111a b e e a b a b

+=+=++.

（4）等轴双曲线——和谐对称 与圆同美

实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的对称性可以与圆为伴.

【例5】设CD 是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角.

【证明】如图设等轴双曲线方程为()2221x y a -=， 直线CD ：y=m.代入（1）：22x x m =±+.故有：

()(

)

2222,,,C x m m D

x m m -++.

取双曲线右顶点(),0B a .那么：

()(

)

2222,,,BC x m a m BD x m a m

=-+-=

+-

()222

20,BC BD a a m m BC BD ⎡⎤⋅=-++=∴⊥⎣⎦

.即∠CBD=90°. 同理可证：∠CAD=90°.

● 通法 特法 妙法

（1）方程法——为解析几何正名

解析法的指导思想是函数方程思想，其主要手段是列、解方程、方程组或不等式.

【例6】如图，1F 和2F 分别是双曲线

)0,0(12

2

22>>=-b a b y a x 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径

的圆与该

则双

双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，

X

O

Y

C

D

A B