2020年11月潍坊市高三期中数学试题
2019-2020学年山东省潍坊市高三(上)期中数学试卷
2019-2020学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A＝{x|x2−2x≥0}，B＝{x|0<x<3}，则A∩B＝（）A.(−1, 3)B.(0, 2]C.[2, 3)D.(2, 3)【答案】C【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】∵A＝{x|x≤0或x≥2}，B＝{x|0<x<3}，∴A∩B＝[2, 3)．2. sin225∘＝（）A.−√22B.√22C.−12D.12【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值【解析】把225∘写为180∘+45∘由诱导公式二得特殊角的正弦角，由特殊角正弦值得结果．【解答】sin225∘＝sin(180∘+45∘)＝−sin45∘=−√22．3. 已知a＝log32，b＝314，c＝ln23，则a，b，c的大小关系为（）A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】a＝log32∈(0, 1)，b＝314>1，c＝ln$${\{}$\${dfrac\{2\}\{3\}}$<}$0，则${a}$，${b}$，${c}$的大小关系：${b\gt a\gt c}$．4. 若l，m是平面α外的两条直线，且l // α，则m // l是m // α的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】利用线面平行的判定定理及其性质定理即可判断出结论．【解答】l，m是平面α外的两条直线，l // α，则m // l⇒m // α，反之不成立．∴m // l是m // α的充分不必要条件．5. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．则田忌获胜的概率为（）A.1 3B.16C.19D.136【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】设齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C，田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．利用列举法能求出田忌获胜的概率．【解答】设齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C，设田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．基本事件有：(Aa, Bb, Cc)，(Aa, Bc, Cb)，(Ab, Bc, Ca)，(Ab, Bc, Ca)，(Ac, Bb, Ca)，(Ac, Ba, Cb)，共6个，田忌获胜包含的基本事件有：(Ac, Ba, Cb)，只有1个，∴田忌获胜的概率为p=16．6. 函数f(x)＝x−ln|x|x的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据条件判断函数的奇偶性和对称性，结合极限思想进行排除即可．【解答】函数的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)，f(−x)＝−x−ln|−x|−x =−(x−ln|x|x)＝−f(x)，则函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，当x>0且x→0，f(x)→+∞，排除C，7. (2−√x)8展开式中x3的系数为（）A.−122B.28C.56D.112【答案】D【考点】二项式定理及相关概念【解析】写出二项展开式的通项，令x的指数为3求得r值，则答案可求．【解答】由T r+1=C8r⋅28−r⋅(−√x)r=(−1)r⋅28−r⋅C8r⋅x r2．取r2=3，得r＝6．∴(2−√x)8展开式中x3的系数为(−1)6⋅22⋅C86=112．8. 已知函数f(x)＝sin x+cos x，则（）A.f(x)的最小正周期为πB.y＝f(x)图象的一条对称轴方程为x=π4C.f(x)＝的最小值为−2D.f(x)在[0, π2]上为增函数【答案】B【考点】两角和与差的三角函数【解析】利用辅助角公式化积，然后逐一分析四个选项得答案．【解答】∵f(x)＝sin x+cos x=√2sin(x+π4)，∴f(x)的最小正周期为2π，故A错误；又f(π4)=√2sinπ2=√2，∴y＝f(x)图象的一条对称轴方程为x=π4，故B正确；f(x)的最小值为−√2，故C 错误；由x ∈[0, π2]，得x +π4∈[π4, 3π4]，则f(x)在[0, π2]上先增后减，故D 错误．9. 如图，已知|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|=√3，OC →⊥OB →，<OA →，OC →>$= $30∘，若OC →=xOA →+yOB →，x +y ＝（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】 C【考点】平面向量的基本定理 【解析】建系，利用坐标法表示出OC →=xOA →+yOB →，进而可求出x ，y 值． 【解答】建立如图所以坐标系，根据条件不妨设A(1, 0)，B(−12, √32)，C(32, √32)， 则OC →=(32, √32)＝x(1, 0)+y(−12, √32)， 所以{x −12y =32√32y =√32 ，解得x ＝2，y ＝1， 所以x +y ＝3，10. 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t 生活垃圾．经分拣以后数据统计如表（单位：t ）：根据样本估计本市生活垃圾投放情况，下列说法错误的是（ ）A.厨余垃圾投放正确的概率为23 B.居民生活垃圾投放错误的概率为310C.该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000 【答案】 D【考点】命题的真假判断与应用【解析】由表格可得：厨余垃圾投放正确的概率=400400+100+100=23；可回收物投放正确的概率=240 240+30+30=45；其他垃圾投放正确的概率=6020+20+60=35．A．可知：厨余垃圾投放正确的概率；B．居民生活垃圾投放错误的概率＝由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+ 20+20＝300，可得生活垃圾投放错误的概率；C．由计算该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高．D．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的的投放量的平均数x¯=600+300+1003=10003，利用方差计算公式即可得出方差．【解答】由表格可得：厨余垃圾投放正确的概率=400400+100+100=23；可回收物投放正确的概率=240 240+30+30=45；其他垃圾投放正确的概率=6020+20+60=35．A．可知：厨余垃圾投放正确的概率=23，正确；B．居民生活垃圾投放错误的概率＝由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20＝300，故生活垃圾投放错误的概率为3001000=310，正确；C．该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱，正确．D．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的的投放量的平均数x¯=600+300+1003=10003，可得方差=13×[(600−10003)2+(300−10003)2+(100−10003)2]=3800009≠20000．二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．若x≥y，则下列不等式中正确的是()A.2x≥2yB.x+y2≥√xy C.x2≥y2 D.x2+y2≥2xy【答案】A,D【考点】不等式的基本性质指数函数的单调性与特殊点【解析】由指数函数的单调性可知，当x≥y，有2x≥2y当0>x≥y>0时，x+y2≥√xy不成立；当0≥x ≥y 时，x 2≥y 2不成立；由x 2+y 2−2xy ＝(x −y)2≥0成立，可判断； 【解答】解：由指数函数的单调性可知，当x ≥y 时，有2x ≥2y ，故A 正确； 当0>x ≥y 时，x+y 2≥√xy 不成立，故B 不正确；当0>x ≥y 时，x 2≥y 2不成立，故C 不正确；∵ x 2+y 2−2xy =(x −y)2≥0成立，从而有x 2+y 2≥2xy 成立，故D 正确. 故选AD .正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，已知平面α⊥AC 1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是( ) A.截面形状可能为正三角形 B.截面形状可能为正方形 C.截面形状可能为正六边形 D.截面面积最大值为3√3【答案】 A,C,D 【考点】棱柱的结构特征 【解析】画出图形，得出结果． 【解答】解：如图所示，当截面为△B 1CD 1与正六边形时，显然A ，C 成立,要使截面形状为正方形，则此时平面α应为竖直平面， 此时平面α不与AC 1垂直，故B 不成立； 选项D ，如图截得正六边形，面积最大， 由题意可知MN =2√2，GH =√2，OE =√62， 所以S =2⋅12⋅(√2+2√2)⋅√62=3√3，故D 成立. 故选ACD .已知函数f(x)={−x 2−2x,x <0f(x −2),x ≥0 ，以下结论正确的是（ ）A.f(−3)+f(2019)＝−3B.f(x)在区间[4, 5]上是增函数C.若方程f(x)＝kx +1恰有3个实根，则(−12, −14)D.若函数y ＝f(x)−b 在(−∞, 4)上有6个零点x i (i ＝1, 2, 3, 4, 5, 6)，则∑ 6i=1x i f(x i )的取值范围是(0, 6) 【答案】 B,C,D 【考点】分段函数的应用 【解析】A:f(−3)+f(2019)＝−(−3)2−2×(−3)+f(1009×2+1)＝−3+f(1)进而求解； B ：有函数图象可知对否；C ：方程f(x)＝kx +1恰有3个实根，即函数y ＝kx +1与f(x)图象有3个交点，由图象可知y ＝kx +1与x 轴交点位于2，4中间时正好满足，进而求解；D ：如图所示，若函数y ＝f(x)−b 在(−∞, 4)上有6个零点，即函数y ＝b 与f(x)图象有6个交点，交点横坐标分别记作x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，此时0<f(x 1)<1，0<f(x 2)<1，0<f(x 3)<1，0<f(x 4)<1，0<f(x 5)<1，0<f(x 6)<1，进而求解； 【解答】B ：由图知B 正确（1）C ：方程f(x)＝kx +1恰有3个实根，即函数y ＝kx +1与f(x)图象有3个交点，由图象可知y ＝kx +1与x 轴交点位于2，4中间时正好满足，此时k ∈(−12, −14)(2)D ：如图所示，若函数y ＝f(x)−b 在(−∞, 4)上有6个零点，即函数y ＝b 与f(x)图象有6个交点，交点横坐标分别记作x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6此时0<f(x 1)<1，0<f(x 2)<1，0<f(x 3)<1，0<f(x 4)<1，0<f(x 5)<1，0<f(x 6)<1，∴ 0<f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)+f(x 4)+f(x 5)+f(x 6)<6，故D 正确（3）故选：BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．已知向量a →,b →满足|a →|＝1，a →⋅b →=−1，则a →⋅(a →−b →)＝________ 【答案】 2【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】原式可化为a →2−a →⋅b →，代入即可．【解答】∵ |a →|＝1，a →⋅b →=−1，∴ a →⋅(a →−b →)=a →2−a →⋅b →=1−(−1)＝2．“∃x ∈R ，x 2−2x −a <0”为假命题，则实数a 的最大值为________． 【答案】 −1【考点】全称命题与特称命题 全称量词与存在量词 【解析】由已知可得，“∀x ∈R ，x 2−2x −a ≥0”为真命题，从而有a ≤x 2−2x 恒成立，结合二次函数的性质可求． 【解答】由“∃x ∈R ，x 2−2x −a <0”为假命题，可知，“∀x ∈R ，x 2−2x −a ≥0”为真命题， ∴ a ≤x 2−2x 恒成立，由二次函数的性质可知，x 2−2x ≥−1， 则实数a ≤−1，即a 的最大值为−1．已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在[0, +∞)上是减函数，f(−13)＝0，则不等式f(log 18x)>0的解集为________．【答案】(12, 2) 【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】结合函数的奇偶性和单调性的关系，将不等式进行等价转化，进行求解即可． 【解答】∵ f(x)是定义在R 上的偶函数，且在[0, +∞)上是减函数，f(−13)＝0， ∴ f(13)＝f(−13)＝0，则不等式f(log 18x)>0等价为不等式f(|log 18x|)>f(13)，即|log 18x|<13，得{\{}$dfrac{1}{2}<}x ＜2，即不等式的解集为{(\dfrac{1}{2},\, 2)}$，如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到右图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为________；若该六面体内有一小球，则小球的最大体积为________．【答案】3√32,8√6729π 【考点】球的体积和表面积 【解析】计算每个面的面积再乘以6即可；判断出体积最大时即球与每个面都相切即内切球，利用等积法计算出R 即可． 【解答】根据题意可知该六面体可看成是两个正四面体拼成，棱长为1，则其表面积为6×√34×12=3√32； 因为每个三角形面积是√34，六面体体积是正四面体体积的2倍，所以该六面体的体积是√26， 由图形的对称性可知，要想小球的体积达到最大，即球与六个面都想切时最大， 设该球的半径为R ，则有√26=6×13×√34×R ，解得R =√69， 所以球的体积V =43πR 3=8√6729π， 四、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a +b ＝10，c ＝5，sin 2B +sin B ＝0（1）求a ，b 的值：（2）求sin C 的值． 【答案】由sin 2B +sin B ＝0，可得2sin B cos B +sin B ＝0， 因为在△ABC 中，sin B ≠0，可得cos B =−12，由余弦定理b 2＝a 2+c 2−2ac cos B ，可得b 2＝a 2+52−2×a ×5×(−12)，因为b ＝10−a ，所以(10−a)2＝a 2+52−2×a ×5×(−12)， 解得a ＝3，b ＝7． 由cos B =−12，可得sin B =√32， 由正弦定理bsin B =csin C ，可得sin C =c⋅sin B b=5×√327=5√314．【考点】 正弦定理 【解析】（1）由二倍角的正弦函数公式化简已知等式结合sin B ≠0，可得cos B =−12，进而由余弦定理可求a ，b 的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，进而根据正弦定理可求sin C 的值． 【解答】由sin 2B +sin B ＝0，可得2sin B cos B +sin B ＝0， 因为在△ABC 中，sin B ≠0，可得cos B =−12，由余弦定理b 2＝a 2+c 2−2ac cos B ，可得b 2＝a 2+52−2×a ×5×(−12)， 因为b ＝10−a ，所以(10−a)2＝a 2+52−2×a ×5×(−12)，解得a ＝3，b ＝7． 由cos B =−12，可得sin B =√32， 由正弦定理bsin B=c sin C，可得sin C =c⋅sin B b=5×√327=5√314．已知函数f(x)＝x 3−12x 2+ax +1（1）当a ＝2时，求曲线y ＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程；（2）若函数f(x)在x ＝1处有极小值，求函数f(x)在区间[−2, 32]上的最大值．【答案】当a ＝2时，f(x)=x 3−12x 2+2x +1，f′(x)＝3x 2−x +2，∴ f′(0)＝2，又f(0)＝1，∴ 曲线y ＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程为y −1＝2x ，即2x −y +1＝0． f′(x)＝3x 2−x +a ，∵ 函数f(x)在x ＝1处有极小值， 所以f′(1)＝2+a ＝0， 解得a ＝−2，此时f(x)=x 3−12x 2−2x +1，f′(x)＝3x 2−x −2，由f′(x)＝0，得x =−23或x ＝1， 当$x$<−23或x ＞1时，f′（x ）＞0，当$${\{}$ - \${dfrac\{2\}\{3\}}$所以f(x)在(−2,−23)，(1, 32)上是增函数，在(−23,1)上是减函数．所以f(1)=−12．f(−2)＝−5，因为f(−23)=4927，f(32)=14， 所以f(x)的最大值为因为f(−23)=4927．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的极值 【解析】 （1）．欲求在点（0, f(0)）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x ＝0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． （2）．函数f(x)在x ＝1处有极小值，所以f′(1)＝2+a ＝0，解得a ＝−2，此时f(x)=x 3−12x 2−2x +1，通过求导得单调区间得出函数f(x)在区间[−2, 32]上的最大值．【解答】当a ＝2时，f(x)=x 3−12x 2+2x +1，f′(x)＝3x 2−x +2，∴ f′(0)＝2，又f(0)＝1，∴ 曲线y ＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程为y −1＝2x ，即2x −y +1＝0． f′(x)＝3x 2−x +a ，∵ 函数f(x)在x ＝1处有极小值， 所以f′(1)＝2+a ＝0， 解得a ＝−2，此时f(x)=x 3−12x 2−2x +1，f′(x)＝3x 2−x −2，由f′(x)＝0，得x =−23或x ＝1， 当$x$<−23或x ＞1时，f′（x ）＞0，当$${\{}$ - \${dfrac\{2\}\{3\}}$所以f(x)在(−2,−23)，(1, 32)上是增函数，在(−23,1)上是减函数．所以f(1)=−12．f(−2)＝−5， 因为f(−23)=4927，f(32)=14，所以f(x)的最大值为因为f(−23)=4927．如图，在棱长均为2的三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，平面A 1CB ⊥平面A 1ABB 1，AB 1＝A 1B ，O 为AB 1与AB 的交点．（1）求证：AB 1⊥CO ；（2）求平面ACC 1A 1与平面ABC 所成锐二面角的余弦值． 【答案】证明：∵ 在棱长均为2的三棱柱ABC −A 1B 1C 1中， 四边形A 1ABB 1是菱形， ∴ A 1B ⊥AB 1，∵ 平面A 1CB ⊥平面A 1ABB 1，平面A 1CB ∩平面A 1ABB 1＝A 1B ， ∴ A 1B ⊥平面A 1CB ，∵ CO ⊂平面A 1CB ，∴ AB 1⊥CO ．∵ AB 1＝A 1B ，∴ 菱形A 1ABB 1为正方形，在Rt △COA 中，CO =√AC 2−OA 2=√2，在△COB 中，CO ＝OB =√2，CB ＝2，CO 2+OB 2＝CB 2， ∴ CO ⊥OB ，又CO ⊥AB 1，A 1B ∩AB 1＝O ， ∴ CO ⊥平面A 1ABB 1，以O 为坐标原点，以OA ，OB ，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， A(√2, 0, 0)，A 1(0, −√2, 0)，C(0, 0, √2)，B(0, √2, 0)， AA 1→=(−√2,−√2, 0)，AC →=(−√2,0,√2)，AB →=(−√2,√2, 0)， 设平面ACC 1A 1的一个法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅AC →=−√2x +√2z =0n →⋅AA 1→=−√2x −√2y =0，取x ＝1，n →=(1, −1, 1)， 设平面ABC 的一个法向量m →=(x, y, z)，则{m →⋅AC →=−√2x +√2z =0m →⋅AB →=−√2x +√2y =0，取x ＝1，得m →=(1, 1, 1)， 设平面ACC 1A 1与平面ABC 所成锐二面角为θ， 则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=1√3×√3=13，∴ 平面ACC 1A 1与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为13．【考点】二面角的平面角及求法 【解析】（1）推导出 A 1B ⊥AB 1，从而A 1B ⊥平面A 1CB ，由此能证明AB 1⊥CO ．（2）推导出CO ⊥OB ，CO ⊥AB 1，从而CO ⊥平面A 1ABB 1，以O 为坐标原点，以OA ，OB ，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ACC 1A 1与平面ABC 所成锐二面角的余弦值． 【解答】证明：∵ 在棱长均为2的三棱柱ABC −A 1B 1C 1中， 四边形A 1ABB 1是菱形， ∴ A 1B ⊥AB 1，∵ 平面A 1CB ⊥平面A 1ABB 1，平面A 1CB ∩平面A 1ABB 1＝A 1B ， ∴ A 1B ⊥平面A 1CB ，∵ CO ⊂平面A 1CB ，∴ AB 1⊥CO ．∵ AB 1＝A 1B ，∴ 菱形A 1ABB 1为正方形，在Rt △COA 中，CO =√AC 2−OA 2=√2，在△COB 中，CO ＝OB =√2，CB ＝2，CO 2+OB 2＝CB 2， ∴ CO ⊥OB ，又CO ⊥AB 1，A 1B ∩AB 1＝O ， ∴ CO ⊥平面A 1ABB 1，以O 为坐标原点，以OA ，OB ，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， A(√2, 0, 0)，A 1(0, −√2, 0)，C(0, 0, √2)，B(0, √2, 0)， AA 1→=(−√2,−√2, 0)，AC →=(−√2,0,√2)，AB →=(−√2,√2, 0)， 设平面ACC 1A 1的一个法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅AC →=−√2x +√2z =0n →⋅AA 1→=−√2x −√2y =0 ，取x ＝1，n →=(1, −1, 1)， 设平面ABC 的一个法向量m →=(x, y, z)，则{m →⋅AC →=−√2x +√2z =0m →⋅AB →=−√2x +√2y =0，取x ＝1，得m →=(1, 1, 1)， 设平面ACC 1A 1与平面ABC 所成锐二面角为θ， 则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=1√3×√3=13， ∴ 平面ACC 1A 1与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为13．在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x +1)−f(x)．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产x 台(x ∈N ∗)的收益函数为R(x)＝3000x −20x 2（单位：万元），成本函数C(x)＝500x +4000（单位：万元），该公司每月最多生产100台该医疗器材．（利润函数＝收益函数-成本函数） （1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少？（精确到0.1）（3）求x为何值时利润函数P(x)取得最大值，并解释边际利润函数MP(x)的实际意义．【答案】P(x)＝3000x−20x2−(500x+4000)＝−20x2+2500x−4000，(1≤x≤100, x∈N×)，MP(x)＝P(x+1)−P(x)＝−40x+2480．每台器材的平均利润为P(x)x =−20(x+200x)+2500≤−400√2+2500，当且仅当x=200x即x＝10√2时取等号．又x∈N×，且当x＝14时，每台器材的平均利润为1934.3万元，当x＝15时，每台器材的平均利润为1933.3万元，故每月生产14台医疗器材时，平均利润最大，最大利润为1934.3万元．P(x)＝−20(x−62.5)2+74125．又x∈N×，故当x＝62或63时，P(x)取得最大值．MP(x)反映了产量与利润增量的关系．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）根据利润公式得出P(x)，根据边际函数定义得出MP(x)；（2）判断函数单调性，计算x＝14和x＝15对应的平均利润，得出结论；（3）根据二次函数的对称性求出x的值．【解答】P(x)＝3000x−20x2−(500x+4000)＝−20x2+2500x−4000，(1≤x≤100, x∈N×)，MP(x)＝P(x+1)−P(x)＝−40x+2480．每台器材的平均利润为P(x)x =−20(x+200x)+2500≤−400√2+2500，当且仅当x=200x即x＝10√2时取等号．又x∈N×，且当x＝14时，每台器材的平均利润为1934.3万元，当x＝15时，每台器材的平均利润为1933.3万元，故每月生产14台医疗器材时，平均利润最大，最大利润为1934.3万元．P(x)＝−20(x−62.5)2+74125．又x∈N×，故当x＝62或63时，P(x)取得最大值．MP(x)反映了产量与利润增量的关系．已知函数f(x)＝x+1x −m(1x+ln x)(m∈R)．（1）当m>1时，讨论f(x)的单调性；（2）设函数g(x)＝f(x)+m−1x，若存在不相等的实数x1，x2，使得g(x1)＝g(x2)，证明：0<m<x1+x2【答案】函数f(x)的定义域为(0, +∞)．f′(x)=1+m−1x2−mx=x2−mx+m−1x2=(x−1)[x−(m−1)]x2．∵m>1，所以m−1>0．当0<m−1<1，即1<m<2时，由f′(x)>0得x>1或x<m−1，由f′(x)<0得m−1<x<1，所以f(x)在(0, m−1)，(1, +∞)上是增函数，在(m−1, 1)上是减函数；当m−1＝1，即m＝2时，f′(x)≥0，所以f(x)在(0, +∞)上是增函数；当m−1>1，即m>2时，由f′(x)>0得x>m−1或x<1，由f′(x)<0得1<x<m−1，所以f(x)在(0, 1)，(m−1, +∞)上是增函数，在(1, m−1)上是减函数．综上可知：当1<m<2时，f(x)在(0, m−1)，(1, +∞)上是增函数，在(m−1, 1)上是减函数；当m＝2时，f(x)在(0, +∞)上是增函数；当m>2时，f(x)在(0, 1)，(m−1, +∞)上是增函数，在(1, m−1)上是减函数．证明：g(x)＝f(x)+m−1x=x−m ln x，g′(x)=1−mx，当m≤0时，g′(x)>0，所以g(x)在(0, +∞)上是增函数，故不存在不相等的实数x1，x2，使得g(x1)＝g(x2)，所以m>0．由g(x1)＝g(x2)使得x1−m ln x1＝x2−m ln x2，即m(ln x2−ln x1)＝x2−x1．不妨设0<x1<x2，则m=x2−x1ln x2−ln x1>0，要证m<x1+x2，只需要证{\{}$dfrac{{x}_{2} − {x}_{1}}{{x}_{1} + {x}_{2}}只需证$${\{}$\${dfrac\{}$\${dfrac\{\{x\}\_\{2\}\}\{\{x\}\_\{1\}\}\, -\,1\}\{}$\${dfrac\{\{x\}\_\{2\}\}\{\{x\}\_\{1\}\}\, + \, 1\}}$令t=x2x1>1，只需要证$${\{}$\${dfrac\{t\, -\, 1\}\{t\, + \, 1\}}$即证ln t−t−1t+1>0，令ℎ(t)=ln t−t−1t+1(t>1)，则ℎ′(t)=1t −2(t+1)2=t2+1t(t+1)2>0．所以ℎ(t)在(1, +∞)上是增函数，所以ℎ(t)>ℎ(1)>0．从而ln t−t−1t+1>0，故0<m<x1+x2．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】（1）f′(x)=1+m−1x2−mx=x2−mx+m−1x2=(x−1)[x−(m−1)]x2．分三种情况，当0<m−1<1，当m−1＝1，当m−1>1，去讨论f(x)的单调性．（2）g(x)＝f(x)+m−1x =x−m ln x，g′(x)=1−mx，当m≤0时，g′(x)>0，所以g(x)在(0, +∞)上是增函数，故不存在不相等的实数x1，x2，使得g(x1)＝g(x2)，所以m>0．由g(x1)＝g(x2)使得x1−m ln x1＝x2−m ln x2，即m(ln x2−ln x1)＝x2−x1．不妨设0< x1<x2，则m=x2−x1ln x2−ln x1>0，要证m<x1+x2，即可．【解答】函数f(x)的定义域为(0, +∞)．f′(x)=1+m−1x2−mx=x2−mx+m−1x2=(x−1)[x−(m−1)]x2．∵m>1，所以m−1>0．当0<m−1<1，即1<m<2时，由f′(x)>0得x>1或x<m−1，由f′(x)<0得m−1<x<1，所以f(x)在(0, m−1)，(1, +∞)上是增函数，在(m−1, 1)上是减函数；当m−1＝1，即m＝2时，f′(x)≥0，所以f(x)在(0, +∞)上是增函数；当m−1>1，即m>2时，由f′(x)>0得x>m−1或x<1，由f′(x)<0得1<x<m−1，所以f(x)在(0, 1)，(m−1, +∞)上是增函数，在(1, m−1)上是减函数．综上可知：当1<m<2时，f(x)在(0, m−1)，(1, +∞)上是增函数，在(m−1, 1)上是减函数；当m＝2时，f(x)在(0, +∞)上是增函数；当m>2时，f(x)在(0, 1)，(m−1, +∞)上是增函数，在(1, m−1)上是减函数．证明：g(x)＝f(x)+m−1x=x−m ln x，g′(x)=1−mx，当m≤0时，g′(x)>0，所以g(x)在(0, +∞)上是增函数，故不存在不相等的实数x1，x2，使得g(x1)＝g(x2)，所以m>0．由g(x1)＝g(x2)使得x1−m ln x1＝x2−m ln x2，即m(ln x2−ln x1)＝x2−x1．不妨设0<x1<x2，则m=x2−x1ln x2−ln x1>0，要证m<x1+x2，只需要证{\{}$dfrac{{x}_{2} − {x}_{1}}{{x}_{1} + {x}_{2}}只需证$${\{}$\${dfrac\{}$\${dfrac\{\{x\}\_\{2\}\}\{\{x\}\_\{1\}\}\, -\,1\}\{}$\${dfrac\{\{x\}\_\{2\}\}\{\{x\}\_\{1\}\}\, + \, 1\}}$令t=x2x1>1，只需要证$${\{}$\${dfrac\{t\, -\, 1\}\{t\, + \, 1\}}$即证ln t−t−1t+1>0，令ℎ(t)=ln t−t−1t+1(t>1)，则ℎ′(t)=1t−2(t+1)2=t 2+1t(t+1)2>0．所以ℎ(t)在(1, +∞)上是增函数，所以ℎ(t)>ℎ(1)>0． 从而ln t −t−1t+1>0，故0<m <x 1+x 2．如图，直角坐标系中，圆的方程为x 2+y 2＝1，A(1, 0)，B(−12, √32)，C(−12, −√32)为圆上三个定点，某同学从A 点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子n 次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为P n (A)，P n (B)，P n (C)．例如： 掷骰子一次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为P 1(A)＝0，P 1(B)=12，P 1(C)=12（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到A ，B ，C 处的概率；（2）掷骰子n 次时，若以x 轴非负半轴为始边，以射线OA ，OB ，OC 为终边的角的余弦值记为随机变量X n ，求X 4的分布列和数学期望；（3）记P n (A)＝a n ，P n (B)＝b n ，P n (C)＝c n ．，其中a n +b n +c n ＝1．证明：数列{b n −13}是等比数列，并求a 2020． 【答案】P 2(A)=12⋅12+12⋅12=12，P 2(B)=12⋅12=14，P 2(C)=12⋅12=14，P 3(A)=12⋅12⋅12+12⋅12⋅12=14，P 3(B)＝(12+14)⋅12=38，P 3(C)＝(12+14)⋅12=38；随机变量X 4的可能取值为1，−12，由（1）可得P(x 4＝1)＝（P 3(B)+P 3(C)）⋅12=(38+38)⋅12=38，P(x 4=−12)＝（P 3(A)+P 3(C)）⋅12+（P 3(A)+P 3(B)）⋅12=58，则X 4的分布列为E(X 4)＝1⋅38+(−12)⋅58=116；证明：易得b n ＝c n ，即b n−1＝c n−1，n ≥2，n ≥2时，b n =12(a n−1+c n−1)=12(a n−1+b n−1)，又a n−1+b n−1+c n−1＝1，可得2b n +b n−1＝1， 由b n −13=−12b n−1+12−13=−12(b n−1−13)， 可得数列{b n −13}是首项为16，公比为−12的等比数列，则b n −13=16⋅(−12)n−1，即b n =13+16⋅(−12)n−1， 又a n ＝1−b n ＝1−2[13+16⋅(−12)n−1]=13[1−(−12)n−1]，故a 2020=13[1+(12)2019]．【考点】数列与解析几何的综合 【解析】（1）由概率的乘法公式，可得所求值；（2）随机变量X 4的可能取值为1，−12，结合（1）运用概率乘法公式，可得随机变量的分布列和期望；（3）易得b n ＝c n ，即b n−1＝c n−1，n ≥2，由条件推得2b n +b n−1＝1，由构造等比数列，可得b n =13+16⋅(−12)n−1，即可得到所求值．【解答】P 2(A)=12⋅12+12⋅12=12，P 2(B)=12⋅12=14，P 2(C)=12⋅12=14，P 3(A)=12⋅12⋅12+12⋅12⋅12=14，P 3(B)＝(12+14)⋅12=38，P 3(C)＝(12+14)⋅12=38；随机变量X 4的可能取值为1，−12，由（1）可得P(x 4＝1)＝（P 3(B)+P 3(C)）⋅12=(38+38)⋅12=38，P(x 4=−12)＝（P 3(A)+P 3(C)）⋅12+（P 3(A)+P 3(B)）⋅12=58，则X 4的分布列为E(X 4)＝1⋅38+(−12)⋅58=116；证明：易得b n ＝c n ，即b n−1＝c n−1，n ≥2， n ≥2时，b n =12(a n−1+c n−1)=12(a n−1+b n−1)， 又a n−1+b n−1+c n−1＝1，可得2b n +b n−1＝1， 由b n −13=−12b n−1+12−13=−12(b n−1−13)，可得数列{b n −13}是首项为16，公比为−12的等比数列，则b n −13=16⋅(−12)n−1，即b n =13+16⋅(−12)n−1， 又a n ＝1−b n ＝1−2[13+16⋅(−12)n−1]=13[1−(−12)n−1]，故a 2020=13[1+(12)2019]．。
2020届山东省新高考高三优质数学试卷分项解析 专题05 三角函数与解三角形(原卷版)
专题5 三角函数与解三角形1.近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.2.高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．预测2020年将突出考查恒等变换与三角函数图象和性质的结合、恒等变换与正弦定理和余弦定理的结合.一、单选题1．（2020届山东省潍坊市高三上期中）sin 225︒= （ ）A ．12-B ．2-C ．D ．1-2．（2020届山东省泰安市高三上期末）“1a <-”是“0x ∃∈R ，0sin 10+<a x ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知345sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A ．10B ．10C ．2 D ．104．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设函数2sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax +=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f =( )A ．2B ．-2C ．2019D ．-20195．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭…恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ） A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π66．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）．A ．78-B ．14-C ．14 D ．787．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()y f x =图象的一条对称轴方程为4x π=C ．()f x 的最小值为2-D ．()f x 的0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数8．（2020届山东省九校高三上学期联考）如图是一个近似扇形的鱼塘，其中OA OB r ==，弧AB 长为l （l r <）.为方便投放饲料，欲在如图位置修建简易廊桥CD ，其中34OC OA =，34OD OB =.已知1(0,)2x ∈时，3sin 3!x x x ≈-，则廊桥CD 的长度大约为（ ）A ．323432r r l - B ．323432l l r - C ．32324l l r-D ．32324r r l-9．（2020·武邑县教育局教研室高三上期末（理））已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（） A ．-7B ．7C ．1D ．-110．（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位11．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到曲线cos 2y x =，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．-1C D ．12．（2020届山东省济宁市高三上期末）在ABC ∆中,1,3,1AB AC AB AC ==⋅=-u u u r u u u r,则ABC ∆的面积为( )A ．12B ．1CD ．213．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则a 的值可以为（ ）A ．5π12B ．7π12C ．19π24D ．41π2414．（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0)>ω的图象关于直线4x π=对称，则ω的最小值为（ ） A ．13B ．16C ．43D ．5615．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，则△ABC 面积的最大值是A ．1B C ．2D ．416．（2020届山东省烟台市高三上期末）若x α=时，函数()3sin 4cos f x x x =+取得最小值，则sin α=（ ）A ．35B ．35-C ．45D ．45-17．（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC △中，若 13,3,120AB BC C ==∠=o ，则AC =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．418．（2020届山东实验中学高三上期中）已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（ ） A ．-7B ．7C ．1D ．-119．（2020届山东省济宁市高三上期末）函数22cos cos 1y x x =-++，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．20．（2020届山东师范大学附中高三月考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45︒，沿点A 向北偏东30︒前进100 m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30︒，则“泉标”的高度为（ ） A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m21．（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()sin 23f x a x x =的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x ⋅=-，则12a x x -的最小值为（ ） A ．4πB ．2π C ．πD ．2π22．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则( ) A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 二、多选题23．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．π-是()f x 的一个周期 B ．()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 24．（2020届山东师范大学附中高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，角α顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点()()1,0P m m <，则下列各式的值恒大于0的是（ ） A ．sin tan ααB ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin cos αα+25．（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（ ）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在(0,)2π单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在[,0]2π-的最小值为26．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同B ．把函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象 C ．函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上都是增函数 D ．若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点27．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称28．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知()()22210f x cos x x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有（ ） A ．2ω= B ．函数()f x 在[0,]6π上为增函数C ．直线3x π=是函数()y f x =图象的一条对称轴D ．5π,012骣琪琪桫是函数()y f x =图象的一个对称中心29．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成等差数列，则下列结论中不一定成立．．．．．的是（ ） A ．a ，b ，c 依次成等差数列B C ．2a ，2b ，2c 依次成等差数列 D ．3a ，3b ，3c 依次成等差数列30．（2020届山东省济宁市高三上期末）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图象,则函数()g x 具有性质( )A ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,为偶函数 B ．最大值为1,图象关于直线32x π=-对称 C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增,为奇函数 D ．周期为π,图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 31．（2020届山东实验中学高三上期中）己知函数()()()sin 0,023f x x f x ππωϕωϕ⎛⎫=+><<- ⎪⎝⎭，为的一个零点，6x π=为()f x 图象的一条对称轴，且()()0f x π在，上有且仅有7个零点，下述结论正确．．的是（ ） A ．=6πϕB ．=5ωC ．()()0f x π在，上有且仅有4个极大值点D ．()042f x π⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递增32．（2019·山东师范大学附中高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，角α顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点()()1,0P m m <，则下列各式的值恒大于0的是（ ） A ．sin tan ααB ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin cos αα+33．（2020届山东省烟台市高三上期末）已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ） A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 三、填空题34．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知1sin 4x =，x 为第二象限角，则sin 2x =______. 35．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知tan 3α=，则sin cos sin cos αααα-+的值为______.36．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知1tan 3α=，则2sin 2sin 1cos 2ααα-+的值为________．37．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是O ，始边是x 轴的非负半轴，02απ<<，点1tan,1tan1212P ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭是α终边上一点，则α的值是________. 38．（2020·全国高三专题练习（文））已知sin cos 11cos 2ααα=-，1tan()3αβ-=，则tan β=________.39．（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 40．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知函数()9sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，当[]0,10x π∈时，把函数()()6F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅，且123n x x x x <<<⋅⋅⋅<，记数列{}n x 的前n 项和为n S ，则()12n n S x x -+=______.41．（2020届山东省德州市高三上期末）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,||2A πωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的最大值2π，且()f x 的图象关于直线3x π=-对称，则当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为______.42．（2020届山东省泰安市高三上期末）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos sin A B C a b c +=，22265b c a bc +-=，则tan B =______． 四、解答题43．（2020届山东省临沂市高三上期末）在①3cos 5A =，cos C =，②sin sin sin c C A b B =+，60B =o，③2c =，1cos 8A =三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答. 已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，______，求ABC V 的面积S . 44．（2020届山东省泰安市高三上期末）在①函数()()1sin 20,22f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位长度得到()g x 的图象，()g x图象关于原点对称；②向量),cos 2m x x ωω=u r，()11cos ,,0,24n x f x m n ωω⎛⎫=>=⋅ ⎪⎝⎭r u r r ；③函数()1cos sin 64f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()0ω>这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知_________，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π． （1）若02πθ<<，且sin θ=()f θ的值； （2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间．45．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0a c B b A ++=.（I ）求B ；（II ）若3,b ABC =∆的周长为3ABC +∆的面积.46．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0A >，0>ω，(0,)ϕπ∈，x ∈R ，且()f x 的最小值为-2，()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，()f x 的图象过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的解析式和单调递增区间； （2）若[0,2]x πÎ函数()f x 的最大值和最小值.47．（2020届山东省潍坊市高三上期中）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10a b +=，5c =，sin 2sin 0B B +=．（1）求a ，b 的值： （2）求sin C 的值．48．（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6a Bb A π=+，③sinsin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a bc ，6b c +=，a =， . 求ABC ∆的面积.49．（2020届山东省泰安市高三上期末）如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC ，90A ∠=o ，BC 长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 引出两条成45°的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设BDE α∠=，试求花卉种植面积()S α的取值范围．50．（2020届山东省日照市高三上期末联考）在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC . 如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .51．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23sin 2cos02A CB +-=. （1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为3ABC ∆的周长.52．（2020届山东省德州市高三上期末）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个：①2633()b a ac c a b -+=+；②2cos 22cos 12A A +=；③6a =④2b =（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）53．（20203(cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin 3sin2A Cb A a += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________，23,b =4a c +=，求ABC ∆的面积.54．（2020届山东师范大学附中高三月考）ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos 2c A a C a +=．（1）求a b的值； （2）若1a =，7c =，求ABC V 的面积． 55．（2020·蒙阴县实验中学高三期末）在非直角ABC ∆中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边.已知4a =，5AB AC ⋅=u u u r u u u r ，求：（1）tan tan tan tan A A B C+的值； （2）BC 边上的中线AD 的长.56．（2020届山东师范大学附中高三月考）设函数5()2cos()cos 2sin()cos 122f x x x x x ππ=++++. （1）设方程()10f x -=在(0,)π内有两个零点12,x x ，求12x x +的值；（2）若把函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再向下平移2个单位，得函数()g x 图象，求函数()g x 在[,]33ππ-上的最值. 57.（2020届山东省潍坊市高三上期末）在①34asinC ccosA =;②252B C bsinasinB +=这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知 ，32a =.(1)求sinA ;(2)如图，M 为边AC 上一点，,2MC MB ABM π=∠=，求ABC V 的面积58．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4cos cos cos a A c B b C =+.（1）若4a =，ABC ∆的面积为15，求b ，c 的值； （2）若()sin sin 0B k C k =>，且角C 为钝角，求实数k 的取值范围.59．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知函数()()23sin cos sin 10f x x x x ωωωω=-+>图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调递减区间；（2）如图，在锐角三角形ABC 中有()1f B =，若在线段BC 上存在一点D 使得2AD =，且6AC =，31CD =-，求三角形ABC 的面积.60．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知()()23sin sin cos 2f x x x x ππ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. (1)若1210f α⎛⎫= ⎪⎝⎭,求2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值; (2)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别,,a b c ,若有()2cos cos a c B b C -=,求角B 的大小以及()f A 的取值范围.61．（2020届山东省济宁市高三上期末）如图,某市三地A ,B ,C 有直道互通.现甲交警沿路线AB ､乙交警沿路线ACB 同时从A 地出发,匀速前往B 地进行巡逻,并在B 地会合后再去执行其他任务.已知AB =10km ,AC =6km ,BC =8km ,甲的巡逻速度为5km /h ,乙的巡逻速度为10km /h .(1)求乙到达C 地这一时刻的甲､乙两交警之间的距离;(2)已知交警的对讲机的有效通话距离不大于3km ,从乙到达C 地这一时刻算起,求经过多长时间,甲､乙方可通过对讲机取得联系.62．（2020·全国高三专题练习（文））在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满()(sin sin )(3sin sin )b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小；（2）再在①2a =，②4B π=，③3=c b 这三个条件中，选出两个使ABC V 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC V 的面积.63．（2020届山东实验中学高三上期中）己知函数()23sin cos sin 244f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1.（1）求实数a 的值；（2）若将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.64．（2020届山东实验中学高三上期中）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，设ABD ∆中边BD 所对的角为A ，BCD ∆中边BD 所对的角为C ，经测量已知2AB BC CD ===，23AD =.（1）霍尔顿发现无论BD 3cos A C -为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记ABD ∆与BCD ∆的面积分别为1S 和2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212S S +的最大值.。
山东省潍坊市四县高三数学11月期中联考 理 新人教B版
高三数学（理科） 2012.11本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题目）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分） 注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准备考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂在其它答案标号。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合}31|{},23|{≤<-∈=<<-∈=n N n B m Z m A ，则=⋂B AA.{0，1}B.{-1，0，1}C.{0，1，2}D.{-1，0，1，2} 2.下列命题中的假命题是 A.02,1>∈∀-x R x B.1lg ,<∈∃x R xC.0,2>∈∀x R x D.2tan ,=∈∃x R x3.已知条件1:≤x p ，条件11:<xq ，则p 是q ⌝成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件 4.将函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为 A.1)42sin(+-=πx y B.x y 2cos 2=C.x y 2sin 2= D.x y 2cos -=5.已知0>t ，若8)22(0=-⎰tdx x ，则t =A.1B.-2C.-2或4D.46.设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ,已知7863==S S ，，则=++987a a a A.81 B.81- C.857 D.855 7.设3.0log ,9.0,5.054121===cba，则c b a ,,的大小关系是A.b c a >>B.b a c >>C.c b a >>D.c a b >> 8.函数x xy sin 3+=的图象大致是9.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a,b,c ，且4524==B c ，，面积2=S ，则b 等于 A.2113B.5C.41D.25 10.若函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=0),(log 0,log )(212x x x x x f ，若0)(>-a af ,则实数a 的取值范围是A.）（）（1,00,1⋃-B.），（），（∞+⋃-∞-11C.），（）（∞+⋃-10,1D.）（），（1,01⋃-∞- 11.已知0x 是xx f x1)21()(+=的一个零点，)0,(),,(0201x x x x ∈-∞∈，则 A.0)(,0)(21<<x f x f B.0)(,0)(21>>x f x f C.0)(,0)(21<>x f x f D.0)(,0)(21><x f x f 12.已知nn a )31(=，把数列{}n a 的各项排列成如下的三角形状，记),n m A （表示第m 行的第n 个数，则）（12,10A = A.9331）（ B.9231）（ C. 9431）（ D.11231）（第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。
山东省潍坊市2020届高三期中考试试题(数学)含参考答案
潍坊市2020届高三期中考试数学本试卷共6页．满分150分． 注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第I 卷(选择题 共52分)一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}220,03A x x x B x x =-≥=<<，则A B ⋂= A ．()1,3-B ．(0，2]C ．[2，3)D ．(2，3)2．sin 225=A ．12-B ．-C ．D ．1-3．已知1432log 2,3,ln 3a b c a b c ===，则，，的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c>b>aD ．c a b >>4．若,l m 是平面α外的两条直线，且//l α，则//m l 是//m α的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．则田忌获胜的概率为 A ．13B ．16C ．19D ．1366．函数()ln xf x x x=-的大致图象为7．(82-展开式中3x 的系数为A ．112-B ．28C ．56D ．1128．已知函数()sin cos f x x x =+，则 A ．()f x 的最小正周期为πB ．()y f x =图象的一条对称轴方程为4x π=C ．()f x 的最小值为2-D ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数9．如图，已知1,3,,,OA OB OC OC OB OA ===⊥<，30OC >=若OC xOA yOB x y =++=，A ．1B ．2C ．3D ．410．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t 生活垃圾．经分拣以后数据统计如下表(单位：t)： 根据样本估计本市生活垃圾投放情况，下列说法错误的是A ．厨余垃圾投放正确的概率为23B ．居民生活垃圾投放错误的概率为310C ．该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱D ．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
2020届山东省新高考高三优质数学试卷分项解析-专题03-函数及其应用(解析版)
专题3 函数及其应用1.关于函数图象的考查： （1）函数图象的辨识与变换；（2）函数图象的应用问题，运用函数图象理解和研究函数的性质，数形结合思想分析与解决问题的能力； 2.关于函数性质的考查：以考查能力为主，往往以常见函数（二次函数、指数函数、对数函数）为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；3.常见题型，除将函数与导数相结合考查外，对函数独立考查的题目，不少于两道，近几年趋向于稳定在选择题、填空题，易、中、难的题目均有可能出现.，预测2020年将保持对数形结合思想的考查，主要体现在对函数图象、函数性质及其应用的考查，客观题应特别关注分段函数相关问题，以及与数列、平面解析几何、平面向量、立体几何的结合问题.主观题依然注意与导数的结合.一、单选题1．（2019·山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（ ）A ．()1,0-B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,2【答案】C 【解析】311(1)(1)()302f --=--=-<，301(0)0(102f =-=-<，@13211112()()()02228f =-=-<，31111(1)1()10222f =-=-=>，321115(2)2()80222f =-=-=>，由()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭. 故选：C2．（2020届山东省泰安市高三上期末）函数()3ln xf x x=的部分图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】:()()()33ln ln ,x xf x f x f x x x=-==--， ()f x 为奇函数，排除B 当1x >时，()3ln 0xf x x=>恒成立，排除CD 故答案选A3．（2020·河南高三月考（理））已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是（ ）A ．2()(2)3-∞+∞，，B ．2(2)3， C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，， 【答案】D 【解析】》因为(2)f x +是偶函数，所以()f x 关于直线2x =对称； 因此，由(0)0f =得(4)0f =；又()f x 在(]2-∞，上单调递减，则()f x 在[)2,+∞上单调递增；所以，当232x -≥即0x ≤时，由(23)0f x ->得(23)(4)f x f ->，所以234x ->， 解得23x <-； 当232x -<即0x >时，由(23)0f x ->得(23)(0)f x f ->，所以230x -<， 解得23x >； 因此，(23)0f x ->的解集是22()()33-∞-+∞，，. 》4．（2020·全国高三专题练习（文））函数()()22log ,1,1,1,x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．(),4-∞ B ．(],4-∞C ．()2,4-D ．(]2,4-【答案】A 【解析】令()2g x x m =-+,画出()f x 与()g x 的图象,平移直线,当直线经过()1,2时只有一个交点,此时4m =,向右平移,不再符合条件,故4m < 故选：A$5．（2020届山东省烟台市高三上期末）设0.5log 3a =，30.5b =，0.513c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A 【解析】由题,因为0.5log y x =单调递减,则0.50.5log 3log 10a =<=；因为0.5xy =单调递减,则3000.50.51b <=<=；因为3xy =单调递增,则0.50.5013313c -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭,所以01a b c <<<<,—故选：A6．（2020届山东省潍坊市高三上期中）函数ln ()xf x x x=-的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，||||()()()ln x ln x f x x x f x x x--=--=--=--，则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，D ，"当0x >且0x →，()f x →+∞，排除C . 故选：A.7．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知3log 2a =，143b =，2ln 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】B 【解析】因为3log 2(0,1)a =∈，1431b =>，203c ln =<，则a ，b ，c 的大小关系：b a c >>．|故选：B.8．（2020届山东省泰安市高三上期末）若()33log 21log a b ab +=+2+a b 的最小值为（ ）A ．6B ．83C ．3D ．163【答案】C 【解析】∵()3log 21a b +=+∴()33log 21log a b ab +=+()3log 3ab =， ∴23a b ab +=，且0a >，0b >，《∴123a b+=， ∴()112223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭122143b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭5233b a a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭5233≥+⋅3=， 当且仅当b aa b =且123a b+=即1a b ==时，等号成立； 故选：C ．9．（2020届山东省日照市高三上期末联考）三个数0.87，70.8，0.8log 7的大小顺序是（ ）A ．70.80.8log 70.87<< B ．0.870.8log 770.8<<C ．70.80.80.87log 7<<D ．0.870.870.8log 7<<,【答案】A 【解析】0.871>，700.81<<，0.8log 70<，故70.80.8log 70.87<<.故选A.10．（2020届山东省济宁市高三上期末）若0.1212,ln 2,log 5a b c ===,则( ) A ．b c a >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a b c >>【答案】D 【解析】,0.10221a =>=；0ln1ln 2ln 1b e =<=<=；221log log 105c =<=，即a b c >> 故选：D11．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）“0x <”是“ln(1)0x +<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由题意得，ln(1)001110x x x +<⇔<+<⇔-<<，故是必要不充分条件，故选B ．）12．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若a ，b ，c ，满足2log 3a =，25b =，3log 2c =，则（ ）A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】B 【解析】2221log log 3log 242=<<=，故12a <<；又22542b =>=，故2b >； 33log 2log 31c =<=，c a b ∴<<，）故选：B.13．（2020届山东省九校高三上学期联考）若函数()y f x =的大致图像如图所示，则()f x 的解析式可以为（ ）A ．()22x xxf x -=+B ．()22x xxf x -=-C ．()22x xf x x-+=D ．()22x xf x x--=【答案】C 【解析】对四个选项解析式分析发现B ，D 两个均为偶函数，图象关于y 轴对称，与题不符，故排除；(极限思想分析，0,222,022xxx x xx +--→+→→+，A 错误；220,222,x xx xx x-+-+→+→→+∞，C 符合题意.故选：C14．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =（ ） A ．2x - B ．2x - C ．2x -- D ．2x【答案】C 【解析】`0x <时，()2xf x =.当0x >时，0x -<，()2xf x --=，由于函数()y f x =是奇函数，()()2xf x f x -∴=--=-，因此，当0x >时，()2xf x -=-，故选C.15．（2020届山东省德州市高三上期末）已知1232a b -=⋅，()212log 23c b x x -=++，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．a c b >>【答案】A 【解析】…1232a b -=⋅，1232a b -+∴=>，11a b ∴-+>，则a b >.()2223122x x x ++=++≥，()21122log 23log 21c b x x ∴-=++≤=-，b c ∴>.因此，a b c >>. 故选：A.16．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x f x =-，则()f m 的值为（ ）A ．-15B ．-7C ．3D ．15【答案】A 【解析】？因为奇函数的定义域关于原点中心对称 则5120m m -+-=,解得4m =-因为奇函数()f x 当0x >时,()21xf x =-则()()()4442115f f -=-=--=-故选:A17．（2020届山东省临沂市高三上期末）函数()22xf x =-（0x <）的值域是（ ）A ．1,2B ．(),2-∞C ．()0,2D ．1,【答案】A$【解析】0x <，021x ∴<<， 120x ∴-<-<1222x ∴<-<. 即()()2221,xf x =-∈故选：A18．（2020届山东实验中学高三上期中）若,a b 是任意实数，且a b >，则（ ）)A ．22a b >B ．1b a<C ．()10g a b ->D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】a 、b 是任意实数，且a b >，如果0a =，2b =-，显然A 不正确；如果0a =，2b =-，显然B 无意义，不正确； 如果0a =，12b =-，显然C ，102lg <，不正确；因为指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上单调递减，且a b >，1122ab⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭满足条件，正确．故选：D ．~19．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知x ∈R ，则“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝解得0x <，所以由“21x -<<-”能推出“0x <”，反之，不能推出； 因此“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的必要不充分条件. 故选：B.~20．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数()f x 在R 上单调,若正实数,a b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值是( ) A ．1B ．92C ．9D ．18【答案】A 【解析】奇函数()f x 在R 上单调，()()490f a f b +-=，则()()()499f a f b f b =--=- 故49a b =-即49a b +=()()11111141452451999b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当4b a a b =即3,32a b ==时等号成立 ~故选：A21．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知ln ,1()(2),1x x f x f x k x ≥⎧=⎨-+<⎩若函数()1y f x =-恰有一个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞ B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞【答案】B 【解析】1x ≥时，()ln 1f x x ==，x e =，所以函数()1y f x =-在1x ≥时有一个零点，从而在1x <时无零点，即()1f x =无解．而当1x <时，21x ->，()(2)f x f x k =-+ln(2)x k =-+，它是减函数，值域为(,)k +∞， 要使()1f x =无解．则1k．|故选：B.22．（2020届山东省潍坊市高三上期末）函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则()()y f x g x =⋅的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由图象可知()y f x =的图象关于y 轴对称，是偶函数，()y g x =的图象关于原点对称，是奇函数，并且定义域{}0x x ≠，$()()y f x g x ∴=⋅的定义域是{}0x x ≠，并且是奇函数，排除B ，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，()0g x <，()()0f x g x ∴⋅<，排除C,D.满足条件的只有A. 故选：A23．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知31log 3aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133log bb =，131log 3cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a << B ．a b c << C ．b c a << D ．b a c <<【答案】C 【解析】/在同一直角坐标系内，作出函数13x y⎛⎫= ⎪⎝⎭，3logy x=，3xy=，13logy x=的图像如下：因为31log3aa⎛⎫=⎪⎝⎭，133logb b=，131log3cc⎛⎫=⎪⎝⎭，所以a是13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭与3logy x=交点的横坐标；b是3xy=与13logy x=交点的横坐标；c是13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭与13logy x=交点的横坐标；由图像可得：b c a<<.故选：C.24．（2020届山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（）A．()1,0-B．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D．()1,2(【答案】C【解析】311(1)(1)()302f--=--=-<，301(0)0()102f=-=-<，13211112()()()022282f=-=-<，31111(1)1()10222f=-=-=>，321115(2)2()80222f =-=-=>，由()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭. 故选：C25．（2020届山东省德州市高三上期末）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，有()()1f x f x +=-，且当[)0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，下列命题正确的是（ ）A ．()()201920200f f +-=B ．函数()f x 在定义域上是周期为2的函数{C ．直线y x =与函数()f x 的图象有2个交点D ．函数()f x 的值域为[]1,1-【答案】A 【解析】函数()y f x =是R 上的奇函数，()00f ∴=，由题意可得()()100f f =-=， 当0x ≥时，()()()21f x f x f x +=-+=，()()()()()()2019202020192020100f f f f f f ∴+-=-=-=，A 选项正确；当0x ≥时，()()1f x f x +=-，则2616log 555f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2449log 555f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4462555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-≠-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则函数()y f x =不是R 上周期为2的函数，B 选项错误； 若x 为奇数时，()()10f x f ==，%若x 为偶数，则()()00f x f ==，即当x ∈Z 时，()0f x =，当0x ≥时，()()2f x f x +=，若n N ∈，且当()2,21x n n ∈+时，()20,1x n -∈，()()()20,1f x f x n =-∈，当()1,2x ∈时，则()10,1x -∈，()()()11,0f x f x ∴=--∈-，当()21,22x n n ∈++时，()21,2x n -∈，则()()()21,0f x f x n =-∈-， 所以，函数()y f x =在[)0,+∞上的值域为()1,1-，由奇函数的性质可知，函数()y f x =在(),0-∞上的值域为()1,1-， 由此可知，函数()y f x =在R 上的值域为()1,1-，D 选项错误；|如下图所示：由图象可知，当11x -<<时，函数y x =与函数()y f x =的图象只有一个交点， 当1x ≤-或1x ≥时，()()1,1f x ∈-，此时，函数y x =与函数()y f x =没有交点， 则函数y x =与函数()y f x =有且只有一个交点，C 选项错误. 故选：A.26．（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解12341234,,,,x x x x x x x x <<<且，则()3122341x x x x x ⋅++⋅的取值范围是（ ） A ．(]1,1-B ．[]1,1-C ．[)1,1- D ．()1,1-'【答案】A 【解析】先作()f x 图象，由图象可得12343121,1.2x x x x x ⎡⎫+=-=∈⎪⎢⎣⎭，，因此()31232343112x x x x x x x ⋅++=-+⋅为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减函数，从而()(] 31223411,1x x xx x⋅++∈-⋅，选A.二、多选题27．（2020届山东省临沂市高三上期末）若104a=，1025b=，则（）…A．2a b+=B．1b a-=C．281g2ab>D．lg6b a->【答案】ACD【解析】由104a=，1025b=，得lg4a=，lg25b=，则lg4lg25lg1002a b∴+=+==，25lg25lg4lg4b a∴-=-=，25lg101lg lg64=>>lg6b a∴->)24lg2lg54lg2lg48lg2ab∴=>=，故正确的有：ACD故选：ACD.28．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知定义在R上的函数()y f x=满足条件()()2f x f x+=-，且函数()1y f x=-为奇函数，则（）A．函数()y f x=是周期函数B．函数()y f x=的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的偶函数D ．函数()y f x =为R 上的单调函数【答案】ABC 【解析】、因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即4T=，故A 正确；因为函数()1y f x =-为奇函数，所以函数()1y f x =-图像关于原点成中心对称，所以B 正确； 又函数()1y f x =-为奇函数，所以()()11f x f x --=--，根据()()2f x f x +=-，令1x -代x 有()()11f x f x +=--，所以()()11f x f x +=--，令1x -代x 有()()f x f x -=，即函数()f x 为R 上的偶函数，C 正确；因为函数()1y f x =-为奇函数，所以()10f -=，又函数()f x 为R 上的偶函数，()10f =，所以函数不单调，D 不正确. 故选：ABC.29．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数22,0()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）A ．(3)(2019)3f f -+=-B ．()f x 在区间[]4,5上是增函数》C ．若方程() 1f x k x =+恰有3个实根，则11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭D ．若函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则()61iii x f x =∑的取值范围是()0,6【答案】BCD 【解析】函数()f x 的图象如图所示：对A ，(3)963f -=-+=-，(2019)(1)(1)1f f f ==-=，所以(3)(2019)2f f -+=-，故A 错误； 对B ，由图象可知()f x 在区间[]4,5上是增函数，故B 正确；对C ，由图象可知11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，直线() 1f x k x =+与函数图象恰有3个交点，故C 正确； ]对D ，由图象可得，当函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则01b <<，所以当0b →时，()610i i i x f x =→∑；当1b →时，()616i i i x f x =→∑，所以()61i i i x f x =∑的取值范围是()0,6，故D 正确. 故选：BCD.30．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P 点的距离是2km ，从P 点沿海岸正东12km 处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度为5/km h ，时间t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离.设24,u x x =++24v x x =+-，则（ ）A ．函数()v f u =为减函数B ．15432t u v --=C ．当 1.5x =时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D ．当4x =时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h?【答案】AC 【解析】A.∵,u x =v x =,22u v u vx +-==， 由题意4uv =，4v u=在(0,)+∞上是减函数，A 正确．B.125x t -=+126510u v u v+-=+-，整理得15436t u v =++，B 错误；C.由A 、B 得1615363644t u u =++≥=，16u u =即4u =时取等号，4x =，解得31.52x ==，C 正确；D.4x =时，85t =+，7305t -===>，3t >，D 错． :故选：AC.31．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ） A ．2xy = B ．23y x-=C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+【答案】AD 【解析】对于A 选项，2xy =为偶函数，且当0x <时，122xx y -==为减函数，符合题意. 对于B 选项，23y x -=为偶函数，根据幂函数单调性可知23y x -=在(),0-∞上递增，不符合题意. 对于C 选项，1y x x=-为奇函数，不符合题意. {对于D 选项，()2ln 1y x =+为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，()2ln 1y x =+在区间(),0-∞上单调递减，符合题意. 故选：AD.32．（2020届山东省潍坊市高三上期末）把方程1169x x y y+=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有（ ）A ．()y f x =的图象不经过第一象限B ．()f x 在R 上单调递增C ．()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3D ．函数()()43g x f x x =+不存在零点 【答案】ACD;【解析】当0,0x y >>，方程是221169x y +=-不表示任何曲线，故A 正确；当0,0x y ≥≤ ，方程是221169x y -=-，即221916y x -= ，当0,0x y ≤≥ ，方程是221169x y -+=- ，即221169x y -=，当0,0x y ≤≤ ，方程是221169x y --=-，即221169x y+= ，如图画出图象由图判断函数在R 上单调递减，故B 不正确；、由图判断()y f x =图象上的点到原点距离的最小值点应在0,0x y ≤≤的图象上，即满足221169x y += ，设图象上的点(),P x y2222279191616x PO x y x x ⎛⎫=+=+-=+ ⎪⎝⎭当0x =时取得最小值3，故C 正确； 当()430f x x += ，即()34f x x =-， 函数()()43g x f x x =+的零点，就是函数()y f x = 和34y x =-的交点， 而34y x =-是曲线221916y x -=，0,0x y ≥≤和221169x y -=0,0x y ≤≥的渐近线，所以没有交点，由图象可知34y x =-和221169x y +=，0,0x y ≤≤没有交点，所以函数()()43g x f x x =+不存在零点，故D 正确.<故选：ACD33．（2020届山东省滨州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动（无滑动滚动），点D 恰好经过坐标原点，设顶点(),B x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =的判断正确的是( )A ．函数()y f x =是奇函数B ．对任意的x ∈R ，都有()()44f x f x +=-C ．函数()y f x =的值域为0,22⎡⎣D ．函数()y f x =在区间[]6,8上单调递增【答案】BCD 【解析】由题意，当42x -≤<-时，顶点(),B x y 的轨迹是以点(2,0)A -为圆心，以2为半径的14圆； ,当22x -≤<时，顶点(),B x y 的轨迹是以点(0,0)D 为圆心，以214圆；当24x ≤<时，顶点(),B x y 的轨迹是以点(2,0)C 为圆心，以2为半径的14圆； 当46x ≤<，顶点(),B x y 的轨迹是以点(4,0)A 为圆心，以2为半径的14圆，与42x -≤<-的形状相同，因此函数()y f x =在[]4,4-恰好为一个周期的图像； 所以函数()y f x =的周期是8； 其图像如下：A 选项，由图像及题意可得，该函数为偶函数，故A 错；B 选项，因为函数的周期为8，所以(8)()f x f x +=，因此(4)(4)f x f x +=-；故B 正确；·C 选项，由图像可得，该函数的值域为0,22⎡⎣；故C 正确；D 选项，因为该函数是以8为周期的函数，因此函数()y f x =在区间[]6,8的图像与在区间[]2,0-图像形状相同，因此，单调递增；故D 正确； 故选：BCD.34．（2020届山东师范大学附中高三月考）下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．3y x = B ．2yxC ．xy e =D ．2lg y x =【答案】CD 【解析】本题主要考查函数的单调性和函数的奇偶性.|A 项，对于函数3y x =，因为()33()()f x x x f x -=-=-≠，所以函数3y x =不是偶函数.故A 项不符合题意.B 项，对于函数2yx ，因为当1x =时，1y =，当2x =，14y =，所以函数2y x 在区间(0,)+∞上不是单调递增的.故B 项不符合题意.C 项，对于函数x y e =，因为定义域为R ，()()x x g x g x e e --===，所以函数xy e =为偶函数，因为函数xy e =，当0x >时，xx y e e ==，而1e >，函数x y e =在R 上单调递增，所以函数xy e =在区间(0,)+∞上为增函数.故C 项符合题意.D 项，对于函数2lg y x =，因为函数()22lg )(l ()g h x x x h x -=-==，所以函数2lg y x =是偶函数.而2yx 在(0,)+∞上单调递增，lg y x =在(0,)+∞上单调递增，所以函数2lg y x =在(0,)+∞上单调递增.故D 项符合题意. 故选：CD.35．（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a =-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（ ）A ．12B ．2C ．2e D【答案】BCD—【解析】令函数21()()2T x f x x =-，因为2()()f x f x x -+=，22211()()()()()()()022T x T x f x x f x x f x f x x ∴+-=-+---=+--=，()T x ∴为奇函数，当0x 时，()()0T x f x x '='-<， ()T x ∴在(],0-∞上单调递减， ()T x ∴在R 上单调递减．存在0{|()(1)}x x T x T x ∈-，/∴得00()(1)T x T x -，001x x -，即012x ，()x g x e a =-；1()2x， 0x 为函数()y g x =的一个零点；当12x时，()0x g x e '=-， ∴函数()g x 在12x 时单调递减，由选项知0a >，取12x =<，又0g ee ⎛-=> ⎝，∴要使()g x 在12x时有一个零点，.只需使102g a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 解得e a， a ∴的取值范围为⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭， 故选：BCD ． 三、填空题36．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）若()3,0{1,0x x f x x x≤=>,则()()2f f -=__________． 【答案】9 【解析】《因为21(2)309f --==>，所以1((2))()99f f f -==，应填答案9. 37．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上是减函数，10,3f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则不等式18log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为__________．【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是减函数，1()03f -=，11()()033f f ∴=-=，则不等式18(log )0f x >等价为不等式181(|log |)()3f x f >，即181|log |3x <⇒1811log 33x -<<⇒122x <<，{即不等式的解集为1(,2)2， 故答案为：1(,2)2.38．（2020届山东省九校高三上学期联考）已知[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]33=，[]1.51=，[]1.72-=-.令()2x f x x =⋅，[]()()g x f x x =-，则下列说法正确的是__________.①()g x 是偶函数 ②()g x 是周期函数③方程()0g x -=有4个根④()g x 的值域为[]0,2 【答案】②③|【解析】1111()([])()33333g f f =-==，1112()([])()33333g f f -=---== 显然11()()33g g -≠，所以()g x 不是偶函数，所以①错误；[][](1)(11)()()g x f x x f x x g x +=+-+=-=，所以()g x 是周期为1的周期函数，所以②正确； 作出函数y x =的图象和()g x 的图象：根据已推导()g x 是周期为1的周期函数，只需作出()g x 在[0,1)x ∈的图象即可，当[0,1)x ∈时[]()()()2x g x f x x f x x =-==⋅，根据周期性即可得到其余区间函数图象，如图所示：》可得()g x 值域为[0,2)，函数y x =()g x 的图象一共4个交点，即方程()0g x x =有4个根， 所以③正确，④错误； 故答案为：②③39．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知定义在R 上的函数满足(3)(3)f x f x -=-+，且()f x 图像关于1x =对称，当(1,2]x ∈时，2()log (21)f x x =+，则8252f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________. 【答案】-2 【解析】因为()f x 图像关于1x =对称，则()(2)f x f x =-，()(2)(31)(31)(4)(8)f x f x f x f x f x f x =-=--=-++=-+=+，）故()f x 是以8为周期的周期函数，82511113851443131222222f f f f ff⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯++=+=++=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭23log (21)22=-⨯+=-故答案为：2-.40．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，若(31)(2)0f x f ++>，则x 的取值范围是________．【答案】(,1)-∞- 【解析】根据已知条件：当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，得函数()f x 是定义在R 上的减函数，…又因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(2)(2)f f -=-，故(31)(2)0f x f ++>等价于(31)(2)(2)f x f f +>-=-，所以312x +<-，即1x <-. 故答案为：(),1-∞-.41．（2020届山东省济宁市高三上期末）2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足573002tN N -=⋅（0N 表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间．（参考数据：22log 3 1.6,log 5 2.3≈≈） 【答案】124011 【解析】当5730t =时，100122N N N -=⋅=∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12令035N N =，则5730325t-= 2223log log 3log 50.757305t ∴-==-≈- 。
2019-2020学年山东省潍坊市高三(上)期中数学试卷
2019-2020学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A＝{x|x2−2x≥0}，B＝{x|0<x<3}，则A∩B＝（）A.(−1, 3)B.(0, 2]C.[2, 3)D.(2, 3)【答案】C【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】∵A＝{x|x≤0或x≥2}，B＝{x|0<x<3}，∴A∩B＝[2, 3)．2. sin225∘＝（）A.−√22B.√22C.−12D.12【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值【解析】把225∘写为180∘+45∘由诱导公式二得特殊角的正弦角，由特殊角正弦值得结果．【解答】sin225∘＝sin(180∘+45∘)＝−sin45∘=−√22．3. 已知a＝log32，b＝314，c＝ln23，则a，b，c的大小关系为（）A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b 【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】a＝log32∈(0, 1)，b＝314>1，c＝ln$${\{}$\${dfrac\{2\}\{3\}}$<}$0，则${a}$，${b}$，${c}$的大小关系：${b\gt a\gt c}$．4. 若l，m是平面α外的两条直线，且l // α，则m // l是m // α的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】利用线面平行的判定定理及其性质定理即可判断出结论．【解答】l，m是平面α外的两条直线，l // α，则m // l⇒m // α，反之不成立．∴m // l是m // α的充分不必要条件．5. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．则田忌获胜的概率为（）A.1 3B.16C.19D.136【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】设齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C，田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．利用列举法能求出田忌获胜的概率．【解答】设齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C，设田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．基本事件有：(Aa, Bb, Cc)，(Aa, Bc, Cb)，(Ab, Bc, Ca)，(Ab, Bc, Ca)，(Ac, Bb, Ca)，(Ac, Ba, Cb)，共6个，田忌获胜包含的基本事件有：(Ac, Ba, Cb)，只有1个，∴田忌获胜的概率为p=16．6. 函数f(x)＝x−ln|x|x的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】 A【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】根据条件判断函数的奇偶性和对称性，结合极限思想进行排除即可． 【解答】函数的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)， f(−x)＝−x −ln|−x|−x=−(x −ln|x|x)＝−f(x)，则函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，D ，当x >0且x →0，f(x)→+∞，排除C ，7. (2−√x)8展开式中x 3的系数为（ ） A.−122 B.28 C.56 D.112 【答案】 D【考点】二项式定理及相关概念 【解析】写出二项展开式的通项，令x 的指数为3求得r 值，则答案可求． 【解答】由T r+1=C 8r ⋅28−r ⋅(−√x)r =(−1)r ⋅28−r ⋅C 8r ⋅x r2．取r2=3，得r ＝6．∴ (2−√x)8展开式中x 3的系数为(−1)6⋅22⋅C 86=112．8. 已知函数f(x)＝sinx +cosx ，则（ ） A.f(x)的最小正周期为πB.y ＝f(x)图象的一条对称轴方程为x =π4 C.f(x)＝的最小值为−2 D.f(x)在[0, π2]上为增函数 【答案】 B【考点】两角和与差的三角函数 【解析】利用辅助角公式化积，然后逐一分析四个选项得答案． 【解答】∵ f(x)＝sinx +cosx =√2sin(x +π4)， ∴ f(x)的最小正周期为2π，故A 错误；又f(π4)=√2sin π2=√2，∴ y ＝f(x)图象的一条对称轴方程为x =π4，故B 正确； f(x)的最小值为−√2，故C 错误；由x ∈[0, π2]，得x +π4∈[π4, 3π4]，则f(x)在[0, π2]上先增后减，故D 错误．9. 如图，已知|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|=√3，OC →⊥OB →，<OA →，OC →>$= $30，若OC →=xOA →+yOB →，x +y ＝（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】 C【考点】平面向量的基本定理 【解析】建系，利用坐标法表示出OC →=xOA →+yOB →，进而可求出x ，y 值． 【解答】建立如图所以坐标系，根据条件不妨设A(1, 0)，B(−12, √32)，C(32, √32)，则OC →=(32, √32)＝x(1, 0)+y(−12, √32)，所以{x −12y =32√32y =√32 ，解得x ＝2，y ＝1， 所以x +y ＝3，10. 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t 生活垃圾．经分拣以后数据统计如表（单位：t ）：根据样本估计本市生活垃圾投放情况，下列说法错误的是（ ）A.厨余垃圾投放正确的概率为23B.居民生活垃圾投放错误的概率为310C.该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】由表格可得：厨余垃圾投放正确的概率=400400+100+100=23；可回收物投放正确的概率=240 240+30+30=45；其他垃圾投放正确的概率=6020+20+60=35．A．可知：厨余垃圾投放正确的概率；B．居民生活垃圾投放错误的概率＝由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+ 20+20＝300，可得生活垃圾投放错误的概率；C．由计算该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高．D．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的的投放量的平均数x=600+300+1003=10003，利用方差计算公式即可得出方差．【解答】由表格可得：厨余垃圾投放正确的概率=400400+100+100=23；可回收物投放正确的概率=240 240+30+30=45；其他垃圾投放正确的概率=6020+20+60=35．A．可知：厨余垃圾投放正确的概率=23，正确；B．居民生活垃圾投放错误的概率＝由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20＝300，故生活垃圾投放错误的概率为3001000=310，正确；C．该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱，正确．D．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的的投放量的平均数x=600+300+1003=10003，可得方差=13×[(600−10003)2+(300−10003)2+(100−10003)2]=3800009≠20000．二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．若x≥y，则下列不等式中正确的是（）A.2x≥2yB.x+y2≥√xyC.x 2≥y 2D.x 2+y 2≥2xy【答案】 A,D【考点】指数函数的单调性与特殊点 【解析】由指数函数的单调性可知，当x ≥y ，有2x ≥2y 当0>x ≥y >0时，x+y 2≥√xy 不成立；当0≥x ≥y 时，x 2≥y 2不成立；由x 2+y 2−2xy ＝(x −y)2≥0成立，可判断； 【解答】由指数函数的单调性可知，当x ≥y ，有2x ≥2y ，故A 正确； 当0>x ≥y >0时，x+y 2≥√xy 不成立；当0≥x ≥y 时，x 2≥y 2不成立；∵ x 2+y 2−2xy ＝(x −y)2≥0成立，从而有x 2+y 2≥2xy 成立；正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，已知平面α⊥AC 1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是（ ） A.截面形状可能为正三角形 B.截面形状可能为正方形 C.截面形状可能为正六边形 D.截面面积最大值为3√3 【答案】 A,C,D 【考点】平面的基本性质及推论 【解析】画出图形，得出结果． 【解答】如图，显然A ，C 成立，下面说明D 成立，如图截得正六边形，面积最大，MN =2√2，GH =√2， OE =(√22)=√62， 所以S ＝2⋅12⋅(√2+2√2)⋅√62=3√3，故D 成立，已知函数f(x)={−x 2−2x,x <0f(x −2),x ≥0，以下结论正确的是（ ）A.f(−3)+f(2019)＝−3B.f(x)在区间[4, 5]上是增函数C.若方程f(x)＝kx+1恰有3个实根，则(−12, −14)D.若函数y＝f(x)−b在(−∞, 4)上有6个零点x i(i＝1, 2, 3, 4, 5, 6)，则∑6i=1x i f(x i)的取值范围是(0, 6)【答案】B,C,D【考点】分段函数的应用【解析】A:f(−3)+f(2019)＝−(−3)2−2×(−3)+f(1009×2+1)＝−3+f(1)进而求解；B：有函数图象可知对否；C：方程f(x)＝kx+1恰有3个实根，即函数y＝kx+1与f(x)图象有3个交点，由图象可知y＝kx+1与x轴交点位于2，4中间时正好满足，进而求解；D：如图所示，若函数y＝f(x)−b在(−∞, 4)上有6个零点，即函数y＝b与f(x)图象有6个交点，交点横坐标分别记作x1，x2，x3，x4，x5，x6，此时0<f(x1)<1，0<f(x2)<1，0<f(x3)<1，0<f(x4)<1，0<f(x5)<1，0<f(x6)<1，进而求解；【解答】B：由图知B正确（1）C：方程f(x)＝kx+1恰有3个实根，即函数y＝kx+1与f(x)图象有3个交点，由图象可知y＝kx+1与x轴交点位于2，4中间时正好满足，此时k∈(−12, −14)(2)D：如图所示，若函数y＝f(x)−b在(−∞, 4)上有6个零点，即函数y＝b与f(x)图象有6个交点，交点横坐标分别记作x1，x2，x3，x4，x5，x6此时0<f(x1)<1，0<f(x2)<1，0<f(x3)<1，0<f(x4)<1，0<f(x5)<1，0<f(x6)<1，∴0<f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)+f(x5)+f(x6)<6，故D正确（3）故选：BCD．三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．已知向量a→,b→满足|a→|＝1，a→⋅b→=−1，则a→⋅(a→−b→)＝________【答案】2【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】原式可化为a →2−a →⋅b →，代入即可．【解答】∵ |a →|＝1，a →⋅b →=−1，∴ a →⋅(a →−b →)=a →2−a →⋅b →=1−(−1)＝2．“∃x ∈R ，x 2−2x −a <0”为假命题，则实数a 的最大值为________． 【答案】 −1【考点】全称命题与特称命题 全称量词与存在量词 【解析】由已知可得，“∀x ∈R ，x 2−2x −a ≥0”为真命题，从而有a ≤x 2−2x 恒成立，结合二次函数的性质可求． 【解答】由“∃x ∈R ，x 2−2x −a <0”为假命题，可知，“∀x ∈R ，x 2−2x −a ≥0”为真命题， ∴ a ≤x 2−2x 恒成立，由二次函数的性质可知，x 2−2x ≥−1， 则实数a ≤−1，即a 的最大值为−1．已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在[0, +∞)上是减函数，f(−13)＝0，则不等式f(log18x)>0的解集为________．【答案】(12, 2) 【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】结合函数的奇偶性和单调性的关系，将不等式进行等价转化，进行求解即可． 【解答】∵ f(x)是定义在R 上的偶函数，且在[0, +∞)上是减函数，f(−13)＝0， ∴ f(13)＝f(−13)＝0， 则不等式f(log 18x)>0等价为不等式f(|log18x|)>f(13)，即|log18x|<13，得{\{}$dfrac{1}{2}<}x2,即不等式的解集为{(\dfrac{1}{2},\, 2)}$，如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到右图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为________；若该六面体内有一小球，则小球的最大体积为________．【答案】3√32,8√6729π 【考点】球的体积和表面积 【解析】计算每个面的面积再乘以6即可；判断出体积最大时即球与每个面都相切即内切球，利用等积法计算出R 即可． 【解答】根据题意可知该六面体可看成是两个正四面体拼成，棱长为1，则其表面积为6×√34×12=3√32； 因为每个三角形面积是√34，六面体体积是正四面体体积的2倍，所以该六面体的体积是√26， 由图形的对称性可知，要想小球的体积达到最大，即球与六个面都想切时最大， 设该球的半径为R ，则有√26=6×13×√34×R ，解得R =√69，所以球的体积V =43πR 3=8√6729π， 四、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a +b ＝10，c ＝5，sin2B +sinB ＝0（1）求a ，b 的值：（2）求sinC 的值． 【答案】由sin2B +sinB ＝0，可得2sinBcosB +sinB ＝0， 因为在△ABC 中，sinB ≠0，可得cosB =−12，由余弦定理b 2＝a 2+c 2−2accosB ，可得b 2＝a 2+52−2×a ×5×(−12)， 因为b ＝10−a ，所以(10−a)2＝a 2+52−2×a ×5×(−12)，解得a ＝3，b ＝7．由cosB =−12，可得sinB =√32，由正弦定理b sinB =csinC ，可得sinC =c⋅sinB b =5×√327=5√314．【考点】正弦定理 【解析】（1）由二倍角的正弦函数公式化简已知等式结合sinB ≠0，可得cosB =−12，进而由余弦定理可求a ，b 的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sinB 的值，进而根据正弦定理可求sinC 的值． 【解答】由sin2B +sinB ＝0，可得2sinBcosB +sinB ＝0， 因为在△ABC 中，sinB ≠0，可得cosB =−12，由余弦定理b 2＝a 2+c 2−2accosB ，可得b 2＝a 2+52−2×a ×5×(−12)， 因为b ＝10−a ，所以(10−a)2＝a 2+52−2×a ×5×(−12)， 解得a ＝3，b ＝7．由cosB =−12，可得sinB =√32，由正弦定理b sinB =csinC ，可得sinC =c⋅sinB b=5×√327=5√314．已知函数f(x)＝x 3−12x 2+ax +1（1）当a ＝2时，求曲线y ＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程；（2）若函数f(x)在x ＝1处有极小值，求函数f(x)在区间[−2, 32]上的最大值． 【答案】当a ＝2时，f(x)=x 3−12x 2+2x +1，f′(x)＝3x 2−x +2，∴ f′(0)＝2，又f(0)＝1，∴ 曲线y ＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程为y −1＝2x ，即2x −y +1＝0． f′(x)＝3x 2−x +a ，∵ 函数f(x)在x ＝1处有极小值， 所以f′(1)＝2+a ＝0， 解得a ＝−2，此时f(x)=x 3−12x 2−2x +1，f′(x)＝3x 2−x −2， 由f′(x)＝0，得x =−23或x ＝1，当$x$<−23或x ＞1时，f′（x ）＞0，当$${\{}$ - \${dfrac\{2\}\{3\}}$所以f(x)在(−2,−23)，(1, 32)上是增函数，在(−23,1)上是减函数．所以f(1)=−12．f(−2)＝−5， 因为f(−23)=4927，f(32)=14，所以f(x)的最大值为因为f(−23)=4927．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的极值 【解析】 （1）．欲求在点（0, f(0)）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x ＝0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． （2）．函数f(x)在x ＝1处有极小值，所以f′(1)＝2+a ＝0，解得a ＝−2，此时f(x)=x 3−12x 2−2x +1，通过求导得单调区间得出函数f(x)在区间[−2, 32]上的最大值．【解答】当a ＝2时，f(x)=x 3−12x 2+2x +1，f′(x)＝3x 2−x +2，∴ f′(0)＝2，又f(0)＝1，∴ 曲线y ＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程为y −1＝2x ，即2x −y +1＝0． f′(x)＝3x 2−x +a ，∵ 函数f(x)在x ＝1处有极小值， 所以f′(1)＝2+a ＝0， 解得a ＝−2，此时f(x)=x 3−12x 2−2x +1，f′(x)＝3x 2−x −2， 由f′(x)＝0，得x =−23或x ＝1， 当$x$<−23或x ＞1时，f′（x ）＞0，当$${\{}$ - \${dfrac\{2\}\{3\}}$所以f(x)在(−2,−23)，(1, 32)上是增函数，在(−23,1)上是减函数．所以f(1)=−12．f(−2)＝−5， 因为f(−23)=4927，f(32)=14，所以f(x)的最大值为因为f(−23)=4927．如图，在棱长均为2的三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，平面A 1CB ⊥平面A 1ABB 1，AB 1＝A 1B ，O 为AB 1与AB 的交点．（1）求证：AB 1⊥CO ；（2）求平面ACC 1A 1与平面ABC 所成锐二面角的余弦值． 【答案】证明：∵ 在棱长均为2的三棱柱ABC −A 1B 1C 1中， 四边形A 1ABB 1是菱形， ∴ A 1B ⊥AB 1，∵ 平面A 1CB ⊥平面A 1ABB 1，平面A 1CB ∩平面A 1ABB 1＝A 1B ， ∴ A 1B ⊥平面A 1CB ，∵ CO ⊂平面A 1CB ，∴ AB 1⊥CO ．∵ AB 1＝A 1B ，∴ 菱形A 1ABB 1为正方形， 在Rt △COA 中，CO =√AC 2−OA 2=√2，在△COB 中，CO ＝OB =√2，CB ＝2，CO 2+OB 2＝CB 2， ∴ CO ⊥OB ，又CO ⊥AB 1，A 1B ∩AB 1＝O ， ∴ CO ⊥平面A 1ABB 1，以O 为坐标原点，以OA ，OB ，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， A(√2, 0, 0)，A 1(0, −√2, 0)，C(0, 0, √2)，B(0, √2, 0)， AA 1→=(−√2,−√2, 0)，AC →=(−√2,0,√2)，AB →=(−√2,√2, 0)， 设平面ACC 1A 1的一个法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅AC →=−√2x +√2z =0n →⋅AA 1→=−√2x −√2y =0 ，取x ＝1，n →=(1, −1, 1)， 设平面ABC 的一个法向量m →=(x, y, z)，则{m →⋅AC →=−√2x +√2z =0m →⋅AB →=−√2x +√2y =0 ，取x ＝1，得m →=(1, 1, 1)， 设平面ACC 1A 1与平面ABC 所成锐二面角为θ， 则cosθ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√3×√3=13，∴ 平面ACC 1A 1与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为13．【考点】二面角的平面角及求法（1）推导出 A 1B ⊥AB 1，从而A 1B ⊥平面A 1CB ，由此能证明AB 1⊥CO ．（2）推导出CO ⊥OB ，CO ⊥AB 1，从而CO ⊥平面A 1ABB 1，以O 为坐标原点，以OA ，OB ，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ACC 1A 1与平面ABC 所成锐二面角的余弦值． 【解答】证明：∵ 在棱长均为2的三棱柱ABC −A 1B 1C 1中， 四边形A 1ABB 1是菱形， ∴ A 1B ⊥AB 1，∵ 平面A 1CB ⊥平面A 1ABB 1，平面A 1CB ∩平面A 1ABB 1＝A 1B ， ∴ A 1B ⊥平面A 1CB ，∵ CO ⊂平面A 1CB ，∴ AB 1⊥CO ．∵ AB 1＝A 1B ，∴ 菱形A 1ABB 1为正方形， 在Rt △COA 中，CO =√AC 2−OA 2=√2，在△COB 中，CO ＝OB =√2，CB ＝2，CO 2+OB 2＝CB 2， ∴ CO ⊥OB ，又CO ⊥AB 1，A 1B ∩AB 1＝O ， ∴ CO ⊥平面A 1ABB 1，以O 为坐标原点，以OA ，OB ，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， A(√2, 0, 0)，A 1(0, −√2, 0)，C(0, 0, √2)，B(0, √2, 0)， AA 1→=(−√2,−√2, 0)，AC →=(−√2,0,√2)，AB →=(−√2,√2, 0)， 设平面ACC 1A 1的一个法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅AC →=−√2x +√2z =0n →⋅AA 1→=−√2x −√2y =0 ，取x ＝1，n →=(1, −1, 1)， 设平面ABC 的一个法向量m →=(x, y, z)，则{m →⋅AC →=−√2x +√2z =0m →⋅AB →=−√2x +√2y =0 ，取x ＝1，得m →=(1, 1, 1)， 设平面ACC 1A 1与平面ABC 所成锐二面角为θ， 则cosθ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√3×√3=13， ∴ 平面ACC 1A 1与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为13．在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x +1)−f(x)．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产x 台(x ∈N ∗)的收益函数为R(x)＝3000x −20x 2（单位：万元），成本函数C(x)＝500x +4000（单位：万元），该公司每月最多生产100台该医疗器材．（利润函数＝收益函数-成本函数） （1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少？（精（3）求x为何值时利润函数P(x)取得最大值，并解释边际利润函数MP(x)的实际意义．【答案】P(x)＝3000x−20x2−(500x+4000)＝−20x2+2500x−4000，(1≤x≤100, x∈N×)，MP(x)＝P(x+1)−P(x)＝−40x+2480．每台器材的平均利润为P(x)x =−20(x+200x)+2500≤−400√2+2500，当且仅当x=200x即x＝10√2时取等号．又x∈N×，且当x＝14时，每台器材的平均利润为1934.3万元，当x＝15时，每台器材的平均利润为1933.3万元，故每月生产14台医疗器材时，平均利润最大，最大利润为1934.3万元．P(x)＝−20(x−62.5)2+74125．又x∈N×，故当x＝62或63时，P(x)取得最大值．MP(x)反映了产量与利润增量的关系．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）根据利润公式得出P(x)，根据边际函数定义得出MP(x)；（2）判断函数单调性，计算x＝14和x＝15对应的平均利润，得出结论；（3）根据二次函数的对称性求出x的值．【解答】P(x)＝3000x−20x2−(500x+4000)＝−20x2+2500x−4000，(1≤x≤100, x∈N×)，MP(x)＝P(x+1)−P(x)＝−40x+2480．每台器材的平均利润为P(x)x =−20(x+200x)+2500≤−400√2+2500，当且仅当x=200x即x＝10√2时取等号．又x∈N×，且当x＝14时，每台器材的平均利润为1934.3万元，当x＝15时，每台器材的平均利润为1933.3万元，故每月生产14台医疗器材时，平均利润最大，最大利润为1934.3万元．P(x)＝−20(x−62.5)2+74125．又x∈N×，故当x＝62或63时，P(x)取得最大值．MP(x)反映了产量与利润增量的关系．已知函数f(x)＝x+1x −m(1x+lnx)(m∈R)．（1）当m>1时，讨论f(x)的单调性；（2）设函数g(x)＝f(x)+m−1x，若存在不相等的实数x1，x2，使得g(x1)＝g(x2)，证明：0<m<x1+x2【答案】函数f(x)的定义域为(0, +∞)．f′(x)=1+m−1x2−mx=x2−mx+m−1x2=(x−1)[x−(m−1)]x2．∵m>1，所以m−1>0．当0<m−1<1，即1<m<2时，由f′(x)>0得x>1或x<m−1，由f′(x)<0得m−1<x<1，所以f(x)在(0, m−1)，(1, +∞)上是增函数，在(m−1, 1)上是减函数；当m−1＝1，即m＝2时，f′(x)≥0，所以f(x)在(0, +∞)上是增函数；当m−1>1，即m>2时，由f′(x)>0得x>m−1或x<1，由f′(x)<0得1<x<m−1，所以f(x)在(0, 1)，(m−1, +∞)上是增函数，在(1, m−1)上是减函数．综上可知：当1<m<2时，f(x)在(0, m−1)，(1, +∞)上是增函数，在(m−1, 1)上是减函数；当m＝2时，f(x)在(0, +∞)上是增函数；当m>2时，f(x)在(0, 1)，(m−1, +∞)上是增函数，在(1, m−1)上是减函数．证明：g(x)＝f(x)+m−1x=x−mlnx，g′(x)=1−mx，当m≤0时，g′(x)>0，所以g(x)在(0, +∞)上是增函数，故不存在不相等的实数x1，x2，使得g(x1)＝g(x2)，所以m>0．由g(x1)＝g(x2)使得x1−mlnx1＝x2−mlnx2，即m(lnx2−lnx1)＝x2−x1．不妨设0<x1<x2，则m=x2−x1lnx2−lnx1>0，要证m<x1+x2，只需要证{\{}$dfrac{{x}_{2} − {x}_{1}}{{x}_{1} + {x}_{2}}只需证$${\{}$\${dfrac\{}$\${dfrac\{\{x\}\_\{2\}\}\{\{x\}\_\{1\}\}\, -\,1\}\{}$\${dfrac\{\{x\}\_\{2\}\}\{\{x\}\_\{1\}\}\, + \, 1\}}$令t=x2x1>1，只需要证$${\{}$\${dfrac\{t\, -\, 1\}\{t\, + \, 1\}}$即证lnt−t−1t+1>0，令ℎ(t)=lnt−t−1t+1(t>1)，则ℎ′(t)=1t −2(t+1)2=t2+1t(t+1)2>0．所以ℎ(t)在(1, +∞)上是增函数，所以ℎ(t)>ℎ(1)>0．从而lnt−t−1t+1>0，故0<m<x1+x2．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】（1）f′(x)=1+m−1x2−mx=x2−mx+m−1x2=(x−1)[x−(m−1)]x2．分三种情况，当0<m−1<1，当m−1＝1，当m−1>1，去讨论f(x)的单调性．（2）g(x)＝f(x)+m−1x =x−mlnx，g′(x)=1−mx，当m≤0时，g′(x)>0，所以g(x)在(0, +∞)上是增函数，故不存在不相等的实数x1，x2，使得g(x1)＝g(x2)，所以m>0．由g(x1)＝g(x2)使得x1−mlnx1＝x2−mlnx2，即m(lnx2−lnx1)＝x2−x1．不妨设0<x1<x2，则m=x2−x1lnx2−lnx1>0，要证m<x1+x2，即可．【解答】函数f(x)的定义域为(0, +∞)．f′(x)=1+m−1x2−mx=x2−mx+m−1x2=(x−1)[x−(m−1)]x2．∵m>1，所以m−1>0．当0<m−1<1，即1<m<2时，由f′(x)>0得x>1或x<m−1，由f′(x)<0得m−1<x<1，所以f(x)在(0, m−1)，(1, +∞)上是增函数，在(m−1, 1)上是减函数；当m−1＝1，即m＝2时，f′(x)≥0，所以f(x)在(0, +∞)上是增函数；当m−1>1，即m>2时，由f′(x)>0得x>m−1或x<1，由f′(x)<0得1<x<m−1，所以f(x)在(0, 1)，(m−1, +∞)上是增函数，在(1, m−1)上是减函数．综上可知：当1<m<2时，f(x)在(0, m−1)，(1, +∞)上是增函数，在(m−1, 1)上是减函数；当m＝2时，f(x)在(0, +∞)上是增函数；当m>2时，f(x)在(0, 1)，(m−1, +∞)上是增函数，在(1, m−1)上是减函数．证明：g(x)＝f(x)+m−1x=x−mlnx，g′(x)=1−mx，当m≤0时，g′(x)>0，所以g(x)在(0, +∞)上是增函数，故不存在不相等的实数x1，x2，使得g(x1)＝g(x2)，所以m>0．由g(x1)＝g(x2)使得x1−mlnx1＝x2−mlnx2，即m(lnx2−lnx1)＝x2−x1．不妨设0<x1<x2，则m=x2−x1lnx2−lnx1>0，要证m<x1+x2，只需要证{\{}$dfrac{{x}_{2} − {x}_{1}}{{x}_{1} + {x}_{2}}只需证$${\{}$\${dfrac\{}$\${dfrac\{\{x\}\_\{2\}\}\{\{x\}\_\{1\}\}\, -\,1\}\{}$\${dfrac\{\{x\}\_\{2\}\}\{\{x\}\_\{1\}\}\, + \, 1\}}$令t=x2x1>1，只需要证$${\{}$\${dfrac\{t\, -\, 1\}\{t\, + \, 1\}}$即证lnt−t−1t+1>0，令ℎ(t)=lnt−t−1t+1(t>1)，则ℎ′(t)=1t −2(t+1)2=t 2+1t(t+1)2>0．所以ℎ(t)在(1, +∞)上是增函数，所以ℎ(t)>ℎ(1)>0． 从而lnt −t−1t+1>0，故0<m <x 1+x 2．如图，直角坐标系中，圆的方程为x 2+y 2＝1，A(1, 0)，B(−12, √32)，C(−12, −√32)为圆上三个定点，某同学从A 点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子n 次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为P n (A)，P n (B)，P n (C)．例如： 掷骰子一次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为P 1(A)＝0，P 1(B)=12，P 1(C)=12（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到A ，B ，C 处的概率；（2）掷骰子n 次时，若以x 轴非负半轴为始边，以射线OA ，OB ，OC 为终边的角的余弦值记为随机变量X n ，求X 4的分布列和数学期望；（3）记P n (A)＝a n ，P n (B)＝b n ，P n (C)＝c n ．，其中a n +b n +c n ＝1．证明：数列{b n −13}是等比数列，并求a 2020． 【答案】P 2(A)=12⋅12+12⋅12=12，P 2(B)=12⋅12=14，P 2(C)=12⋅12=14，P 3(A)=12⋅12⋅12+12⋅12⋅12=14，P 3(B)＝(12+14)⋅12=38，P 3(C)＝(12+14)⋅12=38； 随机变量X 4的可能取值为1，−12，由（1）可得P(x 4＝1)＝（P 3(B)+P 3(C)）⋅12=(38+38)⋅12=38， P(x 4=−12)＝（P 3(A)+P 3(C)）⋅12+（P 3(A)+P 3(B)）⋅12=58，则X 4的分布列为E(X 4)＝1⋅38+(−12)⋅58=116；证明：易得b n ＝c n ，即b n−1＝c n−1，n ≥2， n ≥2时，b n =12(a n−1+c n−1)=12(a n−1+b n−1)， 又a n−1+b n−1+c n−1＝1，可得2b n +b n−1＝1， 由b n −13=−12b n−1+12−13=−12(b n−1−13)， 可得数列{b n −13}是首项为16，公比为−12的等比数列， 则b n −13=16⋅(−12)n−1，即b n =13+16⋅(−12)n−1， 又a n ＝1−b n ＝1−2[13+16⋅(−12)n−1]=13[1−(−12)n−1]， 故a 2020=13[1+(12)2019]．【考点】数列与解析几何的综合 【解析】（1）由概率的乘法公式，可得所求值；（2）随机变量X 4的可能取值为1，−12，结合（1）运用概率乘法公式，可得随机变量的分布列和期望；（3）易得b n ＝c n ，即b n−1＝c n−1，n ≥2，由条件推得2b n +b n−1＝1，由构造等比数列，可得b n =13+16⋅(−12)n−1，即可得到所求值． 【解答】P 2(A)=12⋅12+12⋅12=12，P 2(B)=12⋅12=14，P 2(C)=12⋅12=14，P 3(A)=12⋅12⋅12+12⋅12⋅12=14，P 3(B)＝(12+14)⋅12=38，P 3(C)＝(12+14)⋅12=38； 随机变量X 4的可能取值为1，−12，由（1）可得P(x 4＝1)＝（P 3(B)+P 3(C)）⋅12=(38+38)⋅12=38， P(x 4=−12)＝（P 3(A)+P 3(C)）⋅12+（P 3(A)+P 3(B)）⋅12=58，则X 4的分布列为E(X 4)＝1⋅38+(−12)⋅58=116；证明：易得b n ＝c n ，即b n−1＝c n−1，n ≥2， n ≥2时，b n =12(a n−1+c n−1)=12(a n−1+b n−1)，又a n−1+b n−1+c n−1＝1，可得2b n +b n−1＝1， 由b n −13=−12b n−1+12−13=−12(b n−1−13)， 可得数列{b n −13}是首项为16，公比为−12的等比数列， 则b n −13=16⋅(−12)n−1，即b n =13+16⋅(−12)n−1， 又a n ＝1−b n ＝1−2[13+16⋅(−12)n−1]=13[1−(−12)n−1]， 故a 2020=13[1+(12)2019]．。
2023-2024学年山东省潍坊市高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a →=（1，k ），b →=（2，1），若a →∥b →，则实数k ＝（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣22．若“∃x ∈R ，sin x ＜a ”为真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ≥1B ．a ＞1C ．a ≥﹣1D ．a ＞﹣13．已知集合A ＝{1，3，a 2}，B ＝{1，a +2}，则满足A ∪B ＝A 的实数a 的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．北京故宫博物院展示着一件来自2200年前的宝物——秦诏文权（如图1）．此文权下部呈圆台形，上部为鼻钮，被誉为最美、最具文化、最有政治和历史意义的文物之一．某公司仿照该文权制成一纸镇（如图2），已知该纸镇下部的上、下底面半径分别为3，4，高为3，则该纸镇下部的侧面积与体积分别为（ ）A ．21π 37πB ．21π 111πC ．7√10π 37πD ．7√10π 111π5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差不为0，若a 4，a 5，a 7构成等比数列，S 11＝66，则a 7＝（ ） A ．5B ．6C ．7D ．86．已知a ＝20.5，b ＝log 25，c ＝log 410，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a7．设函数f （x ）={x +1，x ≤0√x −1，x ＞0，则方程f （f （x ））＝0的实根个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．已知cos(π4−α)=35，sin(5π4+β)=−1213，其中α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，则tanαtanβ=（ ）A ．−5663B ．5663C ．﹣17D ．17二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线l ⊂平面ABB 1A 1，直线m ⊂平面BCC 1B 1，直线n ⊂平面ABCD ，则直线l ，m ，n 的位置关系可能是（ ）A ．l ，m ，n 两两垂直B ．l ，m ，n 两两平行C ．l ，m ，n 两两相交D ．l ，m ，n 两两异面10．已知函数f(x)=2sin(2x +π3)，把f （x ）的图象向左平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，则（ ）A ．g （x ）是奇函数B ．g （x ）的图象关于直线x =−π4对称C ．g （x ）在[0，π2]上单调递增D ．不等式g （x ）≤0的解集为[kπ+π2，kπ+π]，k ∈Z11．已知a ，b 为方程2x 2﹣8x +m ＝0（m ＞0）的两个实根，则（ ） A ．a 2+b 2≥8 B ．ab ≥4 C ．√a +√b ≤2√2D ．1a+2+12b≥3+2√21212．已知正项数列{a n }满足：a 1＝1，a n =na n+12na n+1+1，则（ ）A ．a 2=√5−12B ．{a n }是递增数列C ．a n+1−a n ＞1n+1D ．a n+1＜1+∑ n k=11k三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知点A （2，1），向量OA →绕原点O 顺时针旋转π2得到向量OB →，则点B 的坐标为 ．14．诺沃尔（Knowall ）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年…人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次．从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为 ．15．已知函数f（x）是R上的偶函数，f（x+2）为奇函数，若f（0）＝1，则f（1）+f（2）+…+f（2023）＝．16．右图为几何体Ω的一个表面展开图，其中Ω的各面都是边长为1的等边三角形，将Ω放入一个球体中，则该球表面积的最小值为；在Ω中，异面直线AB与DE的距离为．四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数f(x)=log12x，F（x）＝f（x+1）+f（1﹣x）．（1）判断F（x）的奇偶性，并证明；（2）解不等式|F（x）|≤1．18．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B（其中A，ω，φ，B均为常数，ω＞0，A＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数y=f(x+5π12)+f(x)在[−π3，π2]上的值域．19．（12分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AD＝2CD＝2，AA1=A1D=√5，A1C=√6．（1）证明：平面AA1D1D⊥平面ABCD；（2）求二面角A1﹣CD﹣D1的余弦值．20．（12分）为方便居民休闲娱乐，某市计划在一块三角形空地上修建一个口袋公园，如图所示．在公园内部计划修建景观道路CD （道路的宽度忽略不计），已知CD 把三角形空地分成两个区域，△ACD 区域为儿童娱乐区，△BCD 区域为休闲健身区．经测量，AC ＝BC ＝100米，AB =100√3米．若儿童娱乐区每平方米的造价为100元，休闲健身区每平方米的造价为50元，景观道路每米的造价为2500元． （1）若∠ADC =π4，求景观道路CD 的长度；（2）求∠ADC 为何值时，口袋公园的造价最低？21．（12分）设S n 为数列{a n }的前n 项和，s n =3n+1−32．（1）求{a n }的通项公式； （2）若数列{S 2n +15a n}的最小项为第m 项，求m ； （3）设b n =2a n (a n −2)2，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜132．22．（12分）已知函数f （x ）＝e x +aln （x +1）（a ∈R ）．（1）当a ＝﹣2时，求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （2）若f （x ）在定义域上存在极值，求a 的取值范围； （3）若f （x ）≥1﹣sin x 恒成立，求a ．2023-2024学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a →=（1，k ），b →=（2，1），若a →∥b →，则实数k ＝（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2解：因为a →=（1，k ），b →=（2，1），且a →∥b →，所以2k ﹣1＝0，解得k =12．故选：A ．2．若“∃x ∈R ，sin x ＜a ”为真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ≥1B ．a ＞1C ．a ≥﹣1D ．a ＞﹣1解：“∃x ∈R ，sin x ＜a ”，故a ＞（sin x ）min ，a ＞﹣1． 故选：D ．3．已知集合A ＝{1，3，a 2}，B ＝{1，a +2}，则满足A ∪B ＝A 的实数a 的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3解：A ∪B ＝A ，则B ⊆A ，当a +2＝3，即a ＝1时，集合A 不满足元素的互异性，舍去， 当a +2＝a 2，即a ＝2或a ＝﹣1，当a ＝2时，A ＝{1，3，4}，B ＝{1，4}，满足题意， 当a ＝﹣1时，集合B 不满足元素的互异性，舍去， 综上所述，a ＝2，故满足A ∪B ＝A 的实数a 的个数为1． 故选：B ．4．北京故宫博物院展示着一件来自2200年前的宝物——秦诏文权（如图1）．此文权下部呈圆台形，上部为鼻钮，被誉为最美、最具文化、最有政治和历史意义的文物之一．某公司仿照该文权制成一纸镇（如图2），已知该纸镇下部的上、下底面半径分别为3，4，高为3，则该纸镇下部的侧面积与体积分别为（ ）A ．21π 37πB ．21π 111πC ．7√10π 37πD ．7√10π 111π解：由题意得，S 侧＝π（3+4）×√32+(4−3)2=7√10π，V =13π×（42+32+4×3）×3＝37π．故选：C ．5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差不为0，若a 4，a 5，a 7构成等比数列，S 11＝66，则a 7＝（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差d 不为0，若a 4，a 5，a 7构成等比数列，S 11＝66， 故S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6=66，解得a 6＝6，故{a 6=6a 52=a 4⋅a 7，整理得{a 1+5d =6(a 1+4d)2=(a 1+3d)(a 1+6d)，解得{a 1=−4d =2，故a 7＝a 1+6d ＝8． 故选：D ．6．已知a ＝20.5，b ＝log 25，c ＝log 410，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解：因为a =20.5=√2，c =log 410=log 2√10＜log 25，所以b ＞c ，c =log 410=log 2√10＞log 22√2=32＞√2，所以 c ＞a ，所以a ＜c ＜b ．故选：B ．7．设函数f （x ）={x +1，x ≤0√x −1，x ＞0，则方程f （f （x ））＝0的实根个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1解：令t ＝f （x ），则方程f （f （x ））＝0，即f （t ）＝0， 当t ≤0时，t +1＝0，∴t ＝﹣1； 当t ＞0时，√t −1=0，∴t ＝1；当t ＝﹣1时，若x ≤0，则x +1＝﹣1，∴x ＝﹣2，符合题意； 若x ＞0，则√x −1=−1，∴x ＝0，不合题意； 当t ＝1时，若x ≤0，则x +1＝1，∴x ＝0，符合题意；若x ＞0，则√x −1=1，∴x ＝4，符合题意，即方程f （f （x ））＝0的实根个数为3． 故选：B ．8．已知cos(π4−α)=35，sin(5π4+β)=−1213，其中α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，则tanαtanβ=（ ）A ．−5663B ．5663C ．﹣17D ．17解：cos(π4−α)=35，∵α∈(π4，3π4)，∴π4−α∈（−π2，0），∴sin （π4−α）=−√1−cos 2(π4−α)=−45，sin （α−π4）=45，cos α＝cos[（α−π4）+π4]＝cos （α−π4）cos π4−sin （α−π4）sin π4=35×√22−45×√22=−√210，则sin α=√1−(√210)2=7√210，则tan α=sinαcosα=−7， sin(5π4+β)=−1213，∵β∈(0，π4)，∴5π4+β∈(5π4，3π2)， ∴cos （5π4+β）=−√1−sin 2(5π4+β)=−513，sin β＝sin [(5π4+β)−5π4]=sin(5π4+β)cos 5π4−cos(5π4+β)sin 5π4=−1213×(−√22)−513×√22=7√226，cos β=√1−(7226)2=17√226，则tan β=sinβcosβ=717，则tanαtanβ=−7717=−17． 故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线l ⊂平面ABB 1A 1，直线m ⊂平面BCC 1B 1，直线n ⊂平面ABCD ，则直线l ，m ，n 的位置关系可能是（ ）A ．l ，m ，n 两两垂直B ．l ，m ，n 两两平行C ．l ，m ，n 两两相交D ．l ，m ，n 两两异面解：如图，当l 为BB 1，m 为BC ，n 为CD 时，满足直线l ⊂平面ABB 1A 1，直线m ⊂平面BCC 1B 1，直线n ⊂平面ABCD ，l ，m ，n 两两相交且垂直，当l 为A 1B ，m 为B 1C 1，n 为AC 时，三条直线两两异面，故ACD 正确； 三条直线不可能两两平行，若l ∥n ，则l ∥AB ∥n ，而AB 与平面BCC 1B 1相交，则AB 与M 不平行，故B 错误． 故选：ACD ．10．已知函数f(x)=2sin(2x +π3)，把f （x ）的图象向左平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，则（ ）A ．g （x ）是奇函数B ．g （x ）的图象关于直线x =−π4对称C ．g （x ）在[0，π2]上单调递增D ．不等式g （x ）≤0的解集为[kπ+π2，kπ+π]，k ∈Z解：由题意g （x ）＝2sin[2（x +π3）+π3]＝2sin （2x +π）＝﹣2sin2x ，A 中，可得g （x ）为奇函数，所以A 正确；B 中，函数g （x ）的对称轴方程满足2x =π2+k π，k ∈Z ， 解得x =π4+k 2π，k ∈Z ，当k ＝﹣1时，x =−π4，所以函数g （x ）的图象关于x =−π4对称，所以B 正确； C 中，x ∈[0，π2]，则2x ∈[0，π]，显然g （x ）不单调，所以C 不正确；D 中，令g （x ）≤0，则2k π≤2x ≤π+2k π，k ∈Z ，解得k π≤x ≤π2+k π，k ∈Z ，即x ∈[k π，π2+k π]，k ∈Z ，所以D 不正确． 故选：AB ．11．已知a ，b 为方程2x 2﹣8x +m ＝0（m ＞0）的两个实根，则（ ） A ．a 2+b 2≥8 B ．ab ≥4 C ．√a +√b ≤2√2D ．1a+2+12b≥3+2√212解：因为已知a ，b 为方程2x 2﹣8x +m ＝0（m ＞0）的两个实根， 所以Δ＝64﹣8m ≥0，即m ≤8，又因为m ＞0，所以0＜m ≤8， 由韦达定理可得：a +b ＝4，ab =m2＞0，所以a ＞0，b ＞0． 对于选项A ，由a+b 2≤√a 2+b 22，当且仅当a ＝b 时等号成立可得：a 2+b 2≥8，当且仅当a ＝b 时等号成立，故A 正确；对于选项B ，由a +b ＝4≥2√ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立可得：ab ≤4，当且仅当a ＝b 时等号成立，故B 不正确；对于选项C ，由a+b 2≤√a 2+b 22，当且仅当a ＝b 时等号成立可得：√a+√b2≤√a+b 2，即√a +√b ≤2√2，当且仅当a ＝b 时等号成立，故C 正确；对于选项D ，1a+2+12b =（1a+2+12b）[（2a +4）+2b ]×112=112（2+2b a+2+a+2b +1）≥112（3+2√2b a+2⋅a+2b ）=112（3+2√2），当且仅当2b a+2=a+2b，即a =√2b ﹣2时等号成立，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知正项数列{a n }满足：a 1＝1，a n =na n+12na n+1+1，则（ ）A ．a 2=√5−12B ．{a n }是递增数列C ．a n+1−a n ＞1n+1D ．a n+1＜1+∑ n k=11k解：由a 1＝1，a n =na n+12na n+1+1，可得a 1=a 22a 2+1=1，解得a 2=1+√52（负的舍去），故A 错误；由a n +1﹣a n =na n+12+a n+1−na n+12na n+1+1=a n+1na n+1+1＞0，即a n +1＞a n ，则{a n }是递增数列，故B 正确；由a n+1na n+1+1−1n+1=a n+1−1(n+1)(na n+1+1)＞0，则a n +1﹣a n ＞1n+1，故C 正确；由a n+1na n+1+1−1n=−1n(na n+1+1)＜0，则a n +1﹣a n ＜1n ，所以a n +1＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+...+（a n +1﹣a n ）＜1+1+12+...+1n，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知点A （2，1），向量OA →绕原点O 顺时针旋转π2得到向量OB →，则点B 的坐标为 （1，﹣2） ．解：点A （2，1），向量OA →绕原点O 顺时针旋转π2后等于OB →，则OA →=（2，1），OB →=（1，﹣2），则点B 的坐标为（1，﹣2）． 故答案为：（1，﹣2）．14．诺沃尔（Knowall ）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年…人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次．从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为 12 ． 解：由题意可知：彗星出现的年份构成一个公差为d ＝83，首项为a 1＝1740的等差数列，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝1740+83（n﹣1）＝83n+1657，令2023≤a n≤3000，即2023≤83n+1657≤3000，解得36683≤n≤134383，又n∈N*，所以n＝5、6、 (16)所以从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为16﹣5+1＝12次．故答案为：12．15．已知函数f（x）是R上的偶函数，f（x+2）为奇函数，若f（0）＝1，则f（1）+f（2）+…+f（2023）＝﹣1．解：f（x+2）是奇函数，故f（x+2）＝﹣f（﹣x+2）且f（2）＝0，因为f（x）为偶函数，故f（x+2）＝﹣f（﹣x+2）＝﹣f（x﹣2），则f（x+4）＝﹣f（x），f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），即函数周期为8，因为f（x+2）＝﹣f（﹣x+2），故f（3）+f（1）＝0，f（4）+f（0）＝0，即f（4）＝﹣1，f（5）＝﹣f（1），f（6）＝﹣f（2）＝0，f（7）＝﹣f（3），f（8）＝f（0）＝1，故f（1）+f（2）+…+f（8）＝0，f（1）+f（2）+…+f（2023）＝﹣f（8）＝﹣1．故答案为：﹣1．16．右图为几何体Ω的一个表面展开图，其中Ω的各面都是边长为1的等边三角形，将Ω放入一个球体中，则该球表面积的最小值为2π；在Ω中，异面直线AB与DE的距离为√63．解：把平面展开图还原为空间几何体为正八面体，如图所示：球表面积最小，则正八面体的八个顶点在球面上，∴正八面体外接球的球心为正方形ACFD的中心O，半径R＝OA=12AF=12√12+12=√22，∴S表＝4πR2＝4π×12=2π；∵平面ABC∥平面DEF，∴异面直线AB与DE的距离为平面ABC与平面DEF的距离，又∵O到平面ABC的距离与O到平面DEF的距离相等，∴直线AB与DE的距离为O到平面ABC的距离2倍，∵V O﹣ABC＝V B﹣AOC，∴13S△ABC•h=13S△AOC•OB，∴√34h=12×√22×√22×√22，∴h=√66，∴异面直线AB与DE的距离为√6 3．故答案为：2π；√6 3．四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数f(x)=log12x，F（x）＝f（x+1）+f（1﹣x）．（1）判断F（x）的奇偶性，并证明；（2）解不等式|F（x）|≤1．解：（1）F（x）为偶函数；证明：∵f(x)=log12x，由{x+1＞01−x＞0，得x∈（﹣1，1），∴F（x）＝f（x+1）+f（1﹣x）=log12(x+1)+log12(1−x)的定义域为（﹣1，1），又F（﹣x）=log12(1−x)+log12(x+1)=F（x），∴F（x）为偶函数；（2）∵F（x）=log12(x+1)+log12(1−x)=log12(1−x2)≥log121=0，∴|F（x）|≤1⇔0≤F（x）=log12(1−x2)≤1，∴1≥1﹣x2≥12，解得−√22≤x≤√22，∴原不等式的解集为[−√22，√22]．18．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B（其中A，ω，φ，B均为常数，ω＞0，A＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．（1）求f （x ）的解析式；（2）求函数y =f(x +5π12)+f(x)在[−π3，π2]上的值域．解：（1）由图知A =3−02=32，B =3+02=32， 且{ω⋅(−π3)+φ=−π2+2kπ，k ∈Z ω⋅π2+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，|φ|＜π2，解得ω=65，φ=−π10， 所以f （x ）=32sin （65x −π10）+32； （2）y ＝f （x +5π12）+f （x ）=32sin[65（x +5π12）−π10]+32+32sin （65x −π10）+32=32[sin （65x −π10+π2）+32sin （65x x −π10）+3=32 [cos （65x x −π10）+sin （65x x −π10）]+3=3√22 s in （65x x −π10+π4）+3=3√22 s in （65x x +3π20）+3， 因为x ∈[−π3，π2]，所以65x +3π20∈[−π4，3π4]， 所以sin （65x +3π20）∈[−√22，1]， 所以y ∈[3√22•−√22+3，3√22×1+3]＝[32，3√22+3]． 即函数y 的值域为[32，3√22+3]． 19．（12分）在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，AD ＝2CD ＝2，AA 1=A 1D =√5，A 1C =√6．（1）证明：平面AA 1D 1D ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A 1﹣CD ﹣D 1的余弦值．（1）证明：取AD 的中点O ，连接OC ，因为AA 1=A 1D =√5，得A 1O ⊥AD ，因为A 1D =√5，OD ＝1，所以A 1O ＝2，又OD ＝DC ＝1，所以OC =√2，在△A 1OC 中，OC =√2，A 1C =√6，A 1O ＝2，所以A 1C 2=A 1O 2+OC 2，故△A 1OC 为直角三角形，A 1O ⊥OC ，因为OC ∩AD ＝O ，故A 1O ⊥平面ABCD ，因为A 1O ⊂平面AA 1D 1D ，所以平面AA 1D 1D ⊥平面ABCD ；（2）解：如图，以O 为坐标原点，分别以DC →，OD →，OA 1→的正方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向， 建立如图所示空间直角坐标系：故A 1（0，0，2），C （1，1，0），D （0，1，0），D 1（0，2，2），则CD →=(−1，0，0)，A 1C →=（1，1，﹣2），DD 1→=(0，1，2)，设平面A 1CD 的一个法向量为m →=（x 1，y 1，z 1），则{m →⋅CD →=−x 1=0m →⋅A 1C →=x 1+y 1−2z 1=0，令y 1＝2，则m →=（0，2，1），设平面CDD 1C 1的一个法向量为n →=（x 2，y 2，z 2），则{n →⋅CD →=x 2=0n →⋅DD 1→=y 2+2z 2=0，令y 2＝2，则n →=（0，2，﹣1），所以cos ＜m →，n →＞=|m →⋅n →||m →||n →|=3√5×√5=35， 由图可知二面角A 1﹣CD ﹣D 1为锐角，所以二面角A1﹣CD﹣D1的余弦值为3 5．20．（12分）为方便居民休闲娱乐，某市计划在一块三角形空地上修建一个口袋公园，如图所示．在公园内部计划修建景观道路CD（道路的宽度忽略不计），已知CD把三角形空地分成两个区域，△ACD区域为儿童娱乐区，△BCD区域为休闲健身区．经测量，AC＝BC＝100米，AB=100√3米．若儿童娱乐区每平方米的造价为100元，休闲健身区每平方米的造价为50元，景观道路每米的造价为2500元．（1）若∠ADC=π4，求景观道路CD的长度；（2）求∠ADC为何值时，口袋公园的造价最低？解：（1）在△ABC中，AC＝BC＝100，AB＝100√3，所以AC2+AB2﹣BC2＝1002﹣（100√3）2﹣1002＝30000，则cosA=AC2+AB2−BC22AC⋅AB=√32，A∈（0，π），所以A=B=π6，在△ACD中，∠ADC=π4，由正弦定理得ACsin∠ADC=CDsinA，即CD=AC⋅sinAsin∠ADC=10Osinπ6sinπ4=50√2，所以景观道路CD的长度为50√2米．（2）设∠ADC=θ(π6＜θ＜5π6)，在△ACD中，CD=50sinθ，所以S△ADC=12AC⋅CD sin∠ACD=12×100×50sin(5π6−θ)sinθ=2500sin(5π6−θ)sinθ，又S△ABC=12AC⋅AB•sin A=12×100×100√3×12=2500√3，所以S△BCD＝2500√3−2500sin(5π6−θ)sinθ，所以投资总额y＝2500CD+100S△ACD+50S△BCD＝2500×50sinθ+100×2500sin(5π6−θ)sinθ+50[2500√3−2500sin(5π6−θ)sinθ]＝2500×50[√3+1+sin(5π6−θ)sinθ]＝2500×50（3√32+2+cosθ2sinθ），因为2+cosθ2sinθ=3cos2θ2+sin2θ24sinθ2cosθ2=34tanθ2+tanθ24≥2√34tanθ2⋅tanθ24=√34，当且仅当tan θ2=√3，即θ=2π3时取等号， 此时y 取得最小值，即公园造价最低，所以∠ADC =2π3，口袋公园的造价最低． 21．（12分）设S n 为数列{a n }的前n 项和，s n =3n+1−32． （1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{S 2n +15a n }的最小项为第m 项，求m ； （3）设b n =2a n (a n −2)2，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜132． （1）解：当n ＝1时，a 1＝S 1=32−32=3； 当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1=3n+1−32−3n−32=3n ， 因为a 1＝3满足上式，所以a n ＝3n ．（2）解：S 2n +15a n =32n+1−32+153n =32n+1+272⋅3n =32•（3n +93n ）≥32•2√3n ⋅93n =9， 当且仅当3n =93n ，即n ＝1时，等号成立， 所以m ＝1． （3）证明：b n =2a n (a n −2)2=2⋅3n(3n −2)2， 当n ＝1时，b 1=2⋅31(31−2)2=6； 当n ≥2时，b n =2⋅3n 32n −4⋅3n +4＜2⋅3n 32n −4⋅3n +3=2⋅3n (3n −1)(3n −3)=3n 3n −3−3n 3n −1=11−3−n+1−11−3−n ， 所以T n ＝b 1+b 2+b 3+…+b n ＜6+（11−3−1−11−3−2）+（11−3−2−11−3−3）+…+（11−3−n+1−11−3−n ）＝6+11−3−1−11−3−n =152−11−3−n ＜152−1=132，命题得证． 22．（12分）已知函数f （x ）＝e x +aln （x +1）（a ∈R ）．（1）当a ＝﹣2时，求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）若f （x ）在定义域上存在极值，求a 的取值范围；（3）若f （x ）≥1﹣sin x 恒成立，求a ．解：（1）当a ＝﹣2时，f （x ）＝e x ﹣2ln （x +1），可得f ′(x)=e x −2x+1，此时f′(0)=e0−21=−1，又f（0）＝e0﹣2ln1＝1，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1＝﹣（x﹣0），即x+y﹣1＝0；（2）易知f′(x)=e x+ax+1(x＞−1)，当a≥0时，f′（x）≥0恒成立，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，不符合题意；当a＜0时，f′(x)=e x−a(x+1)2＞0，所以当a＜0时，f′（x）在定义域上单调递增，又f′(a2)=e a2+aa2+1，因为aa2+1≥−12，e a2＞1，所以f′（a2）＞0；当a＜﹣1时，易知f′（0）＝1+a＜0，所以函数f（x）在（0，a2）上存在极值点；当a＝﹣1时，f′(x)=e x−1x+1，易知f′（0）＝0，所以x＝0为f（x）的极值点；当﹣1＜a＜0时，f′(a2−1)=e a2−1+1 a ，因为e a2−1＜1，1a＜−1，所以f′（a2﹣1）＜0，则函数f（x）在（a2﹣1，a2）上存在极值点，综上所述，满足条件的a的取值范围为（﹣∞，0）；（3）若f（x）≥1﹣sin x恒成立，即sin x+e x+aln（x+1）≥1恒成立，不妨设g（x）＝sin x+e x+aln（x+1），函数定义域为（﹣1，+∞），可得g′(x)=cosx+e x+ax+1，不妨设h（x）＝cos x+e x+ax+1，函数定义域为（﹣1，+∞），可得h′（x）＝﹣sin x+e x−a(x+1)2，若a＝﹣2，当x∈（﹣1，0]时，cosx+e x≤2，−2x+1≤−2，所以g'（x）≤0，当x∈[0，+∞）时，e x≥1，h′（x）≥0，所以g′（x）≥g′（0）＝cos0+e0﹣2＝0，则x＝0时，函数g（x）在x∈（﹣1，+∞）上取得唯一极小值点，此时g（x）≥g（0）＝1，所以a＝﹣2时，f（x）≥1﹣sin x恒成立；若a＜﹣2，易知e x﹣sin x＞0，−a(x+1)2＞0，所以h′（x）＞0，即函数g'（x）单调递增，又g′(−a)=e−a+cos(−a)+a−a+1＞e2−1−1＞0，因为g'（0）＝2+a＜0，所以存在x1∈（0，﹣a），使得g'（x1）＝0，当0＜x＜x1时，g′（x1）＜0，g（x）单调递减，所以g（x1）＜g（0）＝1，不符合题意；若﹣2＜a＜0，由（2）知g′（x）单调递增，当﹣1＜x＜﹣1−a2＜0时，ax+1＜−2，g′(x)＜1+1+ax+1＜0，又g′（0）＝2+a＞0，所以存在x2∈（﹣1，0），使得g′（x2）＝0，当x2＜x＜0 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x2）＜g（0）＝1，不符合题意；若a≥0，易知cos x+e x＞0，ax+1≥0，所以g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（0）＝1，所以当﹣1＜x＜0时，g（x）＜g（0）＝1，不符合题意，综上所述，满足条件的a的值为﹣2．。
新高考数学考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质考点分类讲义练习题附解析3
考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质1、了解三角函数的周期性,画出 y =sin x , y =cos x , y =tan x 的图像,并能根据图像理解正弦函数、余弦函数在[ 0 ,2π ],正切函数的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与 x 轴的交点等)2. 了解三角函数 y = A sin ( ωx + φ )的实际意义及其参数 A , ω ,φ 对函数图像变化的影响;能画出 y = A sin (ωx +φ )的简图,能由正弦曲线 y =sin x 通过平移、伸缩变换得到 y = A sin ( ωx + φ )的图像 .3. 会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 .1. 三角函数的图像与性质是高考中的必考点,对这部分内容的考查,高考中大多以中、低档题为主,主要集中于对函数的周期、图像、单调性、值域(或最值)等几个方面的考查 . 要解决此类问题,要求学生熟练地掌握三角函数的图像,及正弦函数、余弦函数、正切函数的最基本的性质,并能运用这些性质去熟练地解题 .2. 利用三角函数的性质解决问题时,要重视化归思想的运用,即将复杂的三角函数转化为基本的正弦、余弦、正切函数来处理1、函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像的平移和伸缩变换以及根据图像确定 A , ω ,φ 问题是高考的热点,题型多样,难度中低档,主要考查识图、用图的能力,同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力 . 2、要牢牢记住函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像和性质。
1、【2020年江苏卷】.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.2、【2020年全国1卷】设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A.10π9 B.7π6 C. 4π3D. 3π2 3、【2020年全国3卷】16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 4、【2020年天津卷】8.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③5、【2020年山东卷】.下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A. πsin(3x +）B. πsin(2)3x - C. πcos(26x +）D. 5πcos(2)6x - 6、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．7、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③8、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x |9、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③D ．①③④10、【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2- B． CD ．211、【2018年高考江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．12、【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．题型一 三角函数的性质1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设函数2sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax +=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f =( )A ．2B ．-2C ．2019D ．-20192、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π63、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．()y f x =图象的一条对称轴方程为4x π=C ．()f x 的最小值为2-D ．()f x 的0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数4、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()sin 2f x a x x =的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x ⋅=-，则12a x x -的最小值为（ ） A ．4πB ．2π C ．πD ．2π5、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．π-是()f x 的一个周期B ．()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 6、.（2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模）已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>，将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于__________.7、（2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）已知函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值为_____. 8、(2019南京学情调研）已知函数f(x)＝2sin (2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图像关于直线x ＝π6对称，则f(0)的值为________．9、(2019苏锡常镇调研）函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为 ．10、(2019苏州期初调查） 已知函数f(x)＝sin (2x ＋φ)(0≤φ<π)的一条对称轴是x ＝－512π，则φ＝________．11、(2019南京、盐城二模）若函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________．题型二 三角函数图像的变换1、（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到曲线cos 2y x =，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．-1C D ．3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则a 的值可以为（ ）A ．5π12B ．7π12C ．19π24D ．41π244、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）函数f(x)＝sin(wx ＋φ)(w ＞0，φ＜2π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移6π个单位后得到的函数图象关于直线x ＝2π对称，则函数f(x)的解析式为（ ）A ．f(x)＝sin(2x ＋3π) B ．f(x)＝sin(2x －3π) C ．f(x)＝sin(2x ＋6π) D ．f(x)＝sin(2x －6π)5、（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（ ）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在(0,)2π单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在[,0]2π-的最小值为6、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称7、(2019无锡期末） 已知直线y ＝a(x ＋2)(a>0) 与函数 y ＝|cos x|的图像恰有四个公共点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4), 其中 x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tan x 4＝________． 8、（2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试）将函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω）的图象向左平移π3个单位长度后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为______.题型三 三角函数的解析式1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则( ) A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为12、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知()sin()f x A x ωφ=+（0,04,)2A πωφ><<<）过点1(0,)2，且当6x π=时，函数()f x 取得最大值1.（1）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x ，求函数()g x 的表达式； （2）在（1）的条件下，函数2()()()2cos 1h x f x g x x =++-，求()h x 在[0,]2π上的值域.解析附后考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质1、【答案】524x π=-【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=-2、【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭， 将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω=== 故选：C 3、【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③. 4、【答案】B【解析】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象， 故③正确. 故选：B. 5、【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ 故选：BC. 6、【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 7、【答案】C 【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ． 8、【答案】A【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D ； 因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ；作出cos2y x =图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递增，A 正确； 作出sin 2y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递减，排除B ，故选A ．图1图2图39、【答案】Df x在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象，【解析】①若()f x在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；由图1可知，()f x在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；②由图1、2可知，()10、【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； 又12π()sin,2π,122g x A x T ωω=∴==∴2ω=，又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f =故选C. 11、【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ【名师点睛】由对称轴得2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，再根据限制范围求结果.函数()sin y A x B =++ωϕ（A >0，ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2πT =ω；(3)由()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴； (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间;由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.12、【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-．【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈， 因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[122-+．题型一 三角函数的性质1、【答案】B 【解析】因为2sin cos ()x x xf x ax+=， 所以22sin()cos()sin cos ()()x x x x x xf x f x ax ax ---+-==-=-， 因此函数()f x 为奇函数，又(2019)2f -=，所以(2019)(2019)2f f =--=-. 故选B 2、【答案】B 【解析】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以22πωπ==，又对任意的x ，都使得()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则223k πϕππ+=+，k Z ∈， 即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π. 故选B3、【答案】B 【解析】()sin cos )4f x x x x π=+=+， 对A ，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 错误；对B ，()42f ππ==()y f x ∴=图象的一条对称轴方程为4x π=，故B 正确；对C ，()f x 的最小值为，故C 错误； 对D ，由[0,]2x π∈，得3[,]444x πππ+∈，则()f x 在[0,]2π上先增后减，故D 错误． 故选：B ． 4、【答案】B 【解析】()f x 的图象关于直线12x π=-对称，(0)()6f f π∴=-，即-1a =，则()sin 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，12()()4f x f x =-，1()2f x ∴=，2()2f x =-或1()2f x =-，2()2f x =，即1()f x ，2()f x 一个为最大值，一个为最小值， 则12||x x -的最小值为2T， T π=，12||x x ∴-的最小值为2π， 即12a x x -的最小值为2π.故选：B ． 5、【答案】ACD 【解析】()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，故π-也是其周期，故A 正确；()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移6π得到，故B 错误；()77()()sin sin 066323f f ππππππ⎛⎫+==-== ⎪⎝⎭，故C 正确； sin sin 17175()1262sin 132f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 6、【答案】4【解析】由题得12=,4,()42n n n Z ππωω⨯⨯∴=∈, 因为0>ω，所以ω的最小值等于4.故答案为：4 7、【答案】43. 【解析】由题意可得,32k k Z ππωπ⨯+=∈，求得22,3k k Z ω=-∈， 又0>ω，则ω的最小值为43， 故答案为：43. 8、【答案】. 1【解析】由题意，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝±2，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，又因为－π2＜φ＜π2， －π6<π3＋φ<5π6，所以π3＋φ＝π2，即φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，f(0)＝1.9、【答案】.32【解析】解法1：根据余弦函数的图像及性质，令ππωk x =-3，Z k ∈得ωππk x +=3，令23πωππ=+k 得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32 解法2：由条件可得1)2(±=πf ，即1)32cos(±=-πωπ，则ππωπk =-32，Z k ∈，解得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32解后反思：利用整体思想，结合三角函数的图像及性质是解决这类问题的关键！10、【答案】π3【解析】因为函数f(x)的一条对称轴是x ＝－512π，所以2×⎝⎛⎭⎫－5π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋4π3，k ∈Z ，又因为0≤φ<π，所以φ＝π3.11、【答案】.3【解析】由相邻两条对称轴间的距离为π2，知其最小正周期T ＝2×π2＝π，从而得ω＝2πT ＝2ππ＝2，又f(x)＝2sin (2x ＋φ)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝2，解得φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，又因为0<φ<π，所以φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，即有f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin 2π3＝ 3.题型二 三角函数图像的变换1、【答案】A 【解析】不妨设函数2y sin x =的图象沿横轴所在直线平移ϕ个单位后得到函数23y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象． 于是，函数2y sin x =平移ϕ个单位后得到函数，sin 2()y x ϕ=+，即sin(22)y x ϕ=+， 所以有223k πϕπ=+，6k πϕπ=+，取0k =，6π=ϕ．答案为A ． 2、【答案】D 【解析】把cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得cos 2()cos(2)sin 242y x x x ππ=+=+=-的图象，再把所得图象各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得图象的函数式为sin(22)sin 4y x x =-⨯=-， sin 42sin 2cos 2()cos 2y x x x f x x =-=-=，∴()2sin 2f x x =-，∴()2sin63f ππ=-=．故选：D. 3、【答案】C【解析】由题意知，3()cos(2)sin(2)44g x x x ππ=+=+，其图像向左平移a 个单位得到函数3()sin(22)4f x x a π=++， 而函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以有32243a k πππ+=+5224a k ππ=-+，取1k =得1924a π=.答案选C.4、【答案】D【解析】因为函数()()f x sin ωx φ=+的最小正周期是π，所以2ππω=，解得ω2=，所以()()f x sin 2x φ=+， 将该函数的图像向右平移π6个单位后，得到图像所对应的函数解析式为ππy sin 2x φsin 2x φ63⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由此函数图像关于直线πx 2=对称，得： πππ2φk π232⨯+-=+，即πφk π,k Z 6=-∈，取k 0=，得πφ6=-，满足πφ2<，所以函数()f x 的解析式为()πf x sin 2x 6⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选D. 5、【答案】ACD【解析】由题：()22cos cos(2)1cos 2sin 2)24f x x x x x x ππ=-+-=+=+，由2y x =的图象向左平移8π个单位，得到)))84y x x ππ=+=+，所以选项A 正确；令222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得其增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈ ()f x 在(0,)8π单调递增，在(,)82ππ单调递减，所以选项B 不正确；解()0,2,4f x x k k Z ππ=+=∈，得：,28k x k Z ππ=-∈，[0,]x π∈， 所以x 取37,88ππ，所以选项C 正确；3[,0],2[,],sin(2)[1,244442x x x πππππ∈-+∈-+∈-，()[f x ∈， 所以选项D 正确. 故选：ACD6、【答案】ABD【解析】函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度得到()ππsin 223g x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于7π7π2ππsin sin 112632g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故7π12x =是()g x 的对称轴，B 选项正确. 由于π2π2πsin sin 00333g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()g x 的对称中心，D 选项正确.由π2ππ2232x -≤-≤，解得π7π1212x ≤≤，即()g x 在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，故A 选项正确、C 选项错误. 故选：ABD.7、【答案】－2【解析】根据图形可得直线y ＝a(x ＋2)与函数y ＝－cos x 的图像相切于点(x 4，－cos x 4)，其中x 4∈⎝⎛⎭⎫π4，π.因为y ＝sin x ，由导数的几何意义可得a ＝sin x 4＝－cos x 4－0x 4＋2，化简得x 4＋1tan x 4＝－2.8、【答案】12【解析】将函数f （x ）＝sin （ωx 6π-）（ω＞0）的图象向左平移3π个单位后，可得函数y ＝sin （ωx 36πωπ+-）的图象，再根据所得图象关于直线x ＝π对称，可得ωπ36πωπ+-=k π2π+，k ∈Z ， ∴当k ＝0时，ω取得最小值为12，故答案为12．题型三 三角函数的解析式1、【答案】D【解析】因为函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以2sin 23πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因此2,32k k Z ππϕπ+=+∈， 所以2,6k k Z πϕπ=+∈， 因此()2sin(2)2sin 222sin 266f x x x k x ππϕπ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； A 选项，把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，故A 错； B 选项，由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是：2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故B 错； C 选项，由()2sin 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得2,6x k k Z ππ+=∈，即,122k x k Z ππ=-+∈， 因此[]0,2x π∈，所以5111723,,,12121212x ππππ=，共四个零点，故C 错； D 选项，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小值为1，故D 正确； 故选：D.2、【答案】(1)()sin(2)6g x x π=-；(2)[1,2]-.【解析】 (1)由函数()f x 取得最大值1，可得1A =,函数过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭得12sin φ=，,26ππφφ<= 12,6662f k k Z ππππωπ⎛⎫=⇒+=+∈ ⎪⎝⎭，∵04ω<<，∴2ω= ()26f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()266g x f x sin x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2) ()22226h x x cos x sin x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 710,,2,21266626x x sin x πππππ⎡⎤⎛⎫∈≤+≤-≤+≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 12226sin x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，值域为[]1,2-.。