均匀带电薄圆盘场强分布的研究
均匀带电球体内的电场强度分布
均匀带电球体内的电场强度分布大家好，今天我们来聊一聊一个非常有趣的话题：均匀带电球体内的电场强度分布。
让我们先来了解一下什么是均匀带电球体。
均匀带电球体，顾名思义，就是指表面每个点都带有相同电荷密度的球体。
假设这个球体的半径为R,那么它的体积就是V = (4/3)πR^3。
而它的表面积就是A = 4πR^2。
现在我们知道了这个球体的体积和表面积，接下来我们就可以开始计算它的电场强度分布了。
我们要知道什么是电场强度。
电场强度是指单位正电荷所受到的电场力的大小。
在均匀带电球体中，每个点所受到的电场力都是相等的，因为每个点的电荷密度都是相同的。
所以，我们可以假设每个点的电场强度大小为E = F/q,其中F是该点所受到的电场力，q是该点的电荷量。
那么，在均匀带电球体中，每个点的电场强度大小都是相等的吗？答案是否定的。
实际上，在均匀带电球体中，不同位置的电场强度大小是不同的。
这是因为在不同位置上，正负电荷的数量也是不同的。
具体来说，在球体内部靠近中心的位置上，正负电荷数量相等，所以电场强度较小；而在球体外部靠近边缘的位置上，正负电荷数量不相等，所以电场强度较大。
那么问题来了：在均匀带电球体中，不同位置的电场强度大小是如何分布的呢？这就需要用到一些高等数学知识了。
简单来说，在均匀带电球体中，不同位置的电场强度大小可以用一个叫做高斯定理的东西来描述。
高斯定理告诉我们：在一个封闭曲面内任意一点处，总电通量等于该点法向量上的净电荷量的两倍。
也就是说，在一个封闭曲面内任意一点处，总电场强度的大小与该点法向量上的净电荷量成正比。
好了，说了这么多理论知识，相信大家对均匀带电球体内的电场强度分布已经有了一个大致的了解了吧？不过，如果要真正理解这个问题，还需要通过实验来进行验证。
在这里，我推荐大家可以尝试一下利用简单的物理实验装置来模拟均匀带电球体内的电场强度分布情况。
比如说，你可以找一个空心的小球体(比如说网球),并在里面加入一些金属屑或者塑料屑等物质来模拟正负电荷。
均匀带电圆盘电场的数值研究
均匀带电圆盘电场的数值研究沈华嘉【摘要】用通用软件Mathematica对均匀带电圆盘电场的空间分布进行数值研究，对比了勒让德级数解与叠加原理-直接积分两种方法的数字化结果。
结果显示：由勒让德级数解很难绘制出正确的电场强度的空间分布图，而使用积分表达式则可快速获得正确的结果。
%The spatial distribution of the electric field from a uniform charged disc is numerically studied.The numerical results of Legendre series are compared with ones of the direct integral method. Our results show that it is difficult to draw the correct spatial distribution mapof the electric field intensity by using the Legendre series,while using the integral expression the correct results can be quickly obtained.【期刊名称】《广东第二师范学院学报》【年(卷),期】2016(036)005【总页数】4页(P67-70)【关键词】均匀带电圆盘;电场;数字化;勒让德级数;积分表达式【作者】沈华嘉【作者单位】广东第二师范学院物理与信息工程系，广东广州 510303【正文语种】中文【中图分类】O441.3均匀带电圆盘电场的空间分布，是电磁场理论教学的重要例子. 人们用各种不同的方法——方程法、叠加法以及延拓法，把电势表示为以勒让德多项式为基的级数[1-2] (简称为勒让德级数解). 文献[3]把这种级数表示方式推广应用到均匀带电圆环片的情况，并根据关系式=-u给出了电场强度的勒让德级数解. 然而，均匀带电圆盘的电势和电场勒让德级数解的收敛情况如何,借助现代电子计算机能不能得到正确的电场空间分布，则未见有具体讨论. 本文应用著名软件Mathematica对均匀带电圆盘电势和电场强度的勒让德级数解进行详细的数字化研究，并与叠加原理-直接积分的结果作比较.根据文献[2]，均匀带电圆盘的电势可表达为以勒让德多项式为基的级数,,式中q为圆盘的带电量，a为圆盘的半径，θ为球坐标系的极角．计算电势的梯度就可得到电场强度=-U.实际上，本问题的电势可以使用叠加原理-积分法来计算. 薄圆盘可以看成由无穷多个同心圆环组成，如图1所示.由于具有轴对称性，只需考虑xoz平面内观测点P(x,0,z)的电势和电场强度．圆盘上源点P′的坐标为(ρcos φ,ρsin φ,0)，观测点P到源点P′的距离为.把式(2)代入点电荷的电势公式，由叠加原理得均匀带电圆盘的电势积分表达式φ.先给出电势积分表达式的数字化.设圆盘带正电，为了计算的方便，取长度单位为a，电势单位为U0=q/(4π2ε0a), 电场强度单位为E0=q/(4π2ε0a2). 式(3)是一个复杂的积分, 不能用初等函数表示，可进行数值积分. 为了方便，记,则电势和电场强度分别为,和(x,z).根据式(4)～式(6)，由通用软件Mathematica可快速得到电势和电场强度数字化结果，图2～图4分别是电势的空间分布、电场强度大小的空间分布、等势线和电场强度方向的分布，它们形象美观地描述了均匀带电圆盘电场的空间分布.现在开始研究勒让德级数解的数字化.式(1)是两个以勒让德多项式为基的级数，数值计算的首要问题就是如何快速给出任意阶勒让德多项式. 幸运的是，在Mathematica里勒让德多项式的产生并非难事，无论是直接调用系统内设函数Legendre[2n,x], 还是使用著名的罗德里格斯(Rodrigues)公式都可以快速获得2n阶勒让德多项式，例如0、2、4、6阶勒让德多项式分别如下它们看上去整齐简单，然而，随着阶数的增加，它变得越来越复杂. 当阶数高到一定程度(例如100阶)时，它的复杂程度将超出了我们的想象.为了获得xoz平面内直观分布图，必须把极坐标系转换成直角坐标系(z/r).将式(7)和式(8)代入式(1)，利用Mathematica快速产生勒让德多项式、求和运算以及数字绘图功能，可把式(1)所示的电势表达式数字化. 我们无法求出级数U1和U2的所有项，可以先取级数前21项(截断到n=M=20)，即计算到40阶勒让德多项式，此时由级数表达式(1)得到的电势空间分布与使用电势积分表达式(3)所得到的结果(图2)是一致的.从理论上讲，使用式(6)计算电势的梯度就可得到电场强度. 然而, 当截断到40阶勒让德多项式时，在r<a的区域内(特别是当z接近于0,即接近圆盘时)，由式(1)和式(6)所得的计算结果出现许多斑块和尖峰，如图5所示，需要提高截断阶数才有可能获得更准确的结果，当然所耗计算时间也将大幅度增加，计算成本值得重视. 提高计算量至100阶勒让德多项式，结果如图6所示，电场强度大小的分布图有所改善(斑块减少)，但不十分明显；继续提高计算量，当截断到200阶勒让德多项式，数值结果如图7所示，电场强度大小的分布图有了较大改善，但是在圆盘面附近，波动起伏仍十分明显；继续提高截断阶数，结果进一步改善，勒让德级数的结果更进一步接近积分表达式的结果(图3)，当计算到600阶时结果如图8所示，整体已经比较接近图3，但在圆盘面附近仍有比较明显的波动起伏.本文应用通用软件Mathematica，对均匀带电圆盘电势和电场强度的勒让德级数解进行数字化研究，并与叠加原理-积分法(积分表达式)的结果进行了比较. 结果表明：使用积分表达式可以快速把电势和电场强度数字化(计算并绘制出图2～图4三幅精美分布图只需几秒钟时间). 但使用勒让德级数解则很难把电场强度数字化，现总结如下，以便对勒让德级数有更清晰的认识.1)对于电势空间分布，使用勒让德级数解，比较容易获得正确的数字化结果，只需截断到第40阶勒让德多项式就可获得正确结果.2) 对于电场强度的空间分布，使用勒让德级数解，很难获得正确的数字化结果. 就均匀带电圆盘的电场强度而言，在r<a的区域内(特别是当z接近于0,即接近圆盘时)，使用级数U1计算到第600阶勒让德多项式(仅绘制图8，在作者的计算机上耗时就长达80 min)，仍然得不到准确数字化结果, 可见U1不是一个好级数.【相关文献】[1] 吴崇试．均匀带电薄圆盘的电势问题[J]．大学物理, 2000, 19(11)：1-4.[2] 林璇英，张之翔．电动力学题解[M]. 2版．北京：科学出版社，2007:152-157.[3] 贾秀敏．均匀带电圆环片的空间静电场[J]．大学物理, 2010, 29(8)：29-30.。
均匀带电圆环和圆盘圆心处的场强与电势的讨论
122科技资讯 SC I EN C E & TE C HN O LO G Y I NF O R MA T IO N动力与电气工程电磁学的基本内容之一就是对于均匀带电体的场强和电势的计算,电磁学的相关书中均有详细的介绍[1～4]。
然而对于均匀带电体中某些特殊点的场强与电势的问题却没有详细地讨论,而关于这些特殊点的场强与电势的理解又是非常重要的。
本文通过均匀带电体的电势与场强的求解过程来讨论这些特殊点的场强与电势。
1 均匀带电体的场强与电势将均匀带电体分割成无数多个电荷元dq,每一个电荷元dq可以看作一点电荷,点电荷在空间某点P产生的场强dE和电势dU 分别为:0204dq dE r r和04dq dU r 。
其中0r为电荷元dq到P点的矢径 r方向的单位矢量。
根据场强叠加原理和电势叠加原理,整个带电体在P点产生的总场强和总电势分别为:0204VVdqE dE r r和04V dq U dU r 。
若电荷连续分布在一体积内,用ρ表示电荷体密度,则式中dq dV ;若电荷连续分布在一曲面或平面上,用σ表示电荷面密度,则dq ds ;若电荷连续分布在一曲线或直线上,用λ表示电荷线密度,则dq dl 。
相应地计算总场强E和总电势 U 的积分分别为体积分、面积分和线积分。
2 均匀带电圆环和圆盘轴线上的场强真空中一均匀带电圆环,环半径为R,带电量q,圆环轴线上任一点P的场强。
首先取环的轴线为坐标x轴,轴上P点与环心的距离为x 。
在圆环上取线元d l ,它与P 点的距离为r ,如图1所示,则:2qdq dl dl R。
dq 在P点产生的场强dE 的方向如图,大小为204dl dE r 。
dE 与x轴平行的分量://20cos 4dl dE r 。
dE 与x轴垂直的分量:20sin 4dldE r 。
根据对称性可知,带电圆环上在同一直径两端取相等的电荷元在P点产生的场强垂直于x轴方向的分量相互抵消,所以P点的总场强方向沿x轴正向,即:23/22230220000cos 4444R L L L dl dl x x qxE dE dl r r r r R x 当0q 时,E沿x轴离开原点O的方向;当0q 时,E沿x轴指向原点O的方向。
求均匀带电圆盘的中心轴线上的场强
对于偶极子中点o M M M
M
M
M
2
2
qE sin
qE sin
M q E
P q
M PE
§1.5 电场线
1.5.1.电场线（E 线）
为形 象地描写场强的分布，引入 E 线。
1. E线上某点的切向
切线
即为该点
E 的方向 ；
E E线
2. E 线的密度给出 E 的大小。
N
S
N d N
E lim
解：设棒长 2 带电量为q
则电荷密度为 q 2
dE
如图建立坐标，考察中垂面上任一点p，根 据对称性，带电棒电荷在p点的场强在x方 向为零，合成的场强只有在y方向的分布。
y
p
r
dE
x+dx
棒上dx电荷元所产生的场强为
dx o x dx
x
dE
4
dq 0(x2
r2)
4
dx
0(x2
r2)
dE
cos r
2 0
R 0
(x2
rdr r2 )3 2
2 0
1
(
x2
x R2 )1 2
2
q
R 2 0
1
(x2
x R2 )1
2
方向为x轴
讨论：上述结论可推广
（1）均匀带电环形板中心轴线上的场强
R1
E
x 2 0
(
x
2
1 R12 )1
2
(x2
1 R22 )1
2
R2
（2）带圆孔的均匀带电无限大平板中心轴线上的场强
因高斯面内无净电
E
荷
e E ds Es 1 0
均匀带电圆盘轴线上的电场强度
均匀带电圆盘轴线上的电场强度可以通过库仑定律来计算。
假设我们有一个半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为σ，我们想要在盘的轴线上计算电场强度。
在轴线上选取一个与盘中心重合的点作为参考点。
假设我们要计算离盘中心距离为z处的电场强度。
根据库仑定律，轴线上的电场强度可以由下式给出：
E = (1 / (4πε₀)) * (2πσz / (z²+ R²)^(3/2))
其中，ε₀是真空中的介电常数（ε₀≈8.854 ×10^(-12) C²/(N·m²))。
这个公式表明，轴线上的电场强度随着离盘中心距离z的增加而减小。
当z远大于R时，电场强度的减小趋势变得更加明显。
需要注意的是，当z = 0时，即在圆盘上的中心点上，由于对称性的原因，电场强度为零。
而在z = R时，即在圆盘上的表面上，电场强度为最大值。
绕对称轴转动的均匀带电圆盘的磁场分布重点
绕对称轴转动的均匀带电圆盘的磁场分布机械茅班 杨婧 20091018摘 要：薄圆盘实现生活中高度对称的一类物体，应用广泛。
摩擦等一些方式使其带电，成为绕对称轴转动的均匀带电圆盘，由于转动产生电磁场，当带电量足够大和变速转动时的角加速度又比较大时，则产生的电磁辐射场将会干扰周围无线电接收机的正常工作，分析绕对称轴转动的均匀带电圆盘具有一定的现实意义。
本文从研究圆环电流出发，在圆盘上任取一个带电小圆环，小圆环转动形成电流，电流产生磁场，利用场强叠加原理得整个带电圆盘的电磁场。
关键词：匀速转动，麦克斯韦方程，推迟势，磁场强度一．推迟势的推导绕对称轴转动的均匀带电薄圆盘的电磁辐射场应满足麦克斯韦方程： (1)22220220221E E-()C 1J t tBB JC t ρμεμ∂∂∇=∇+∂∂∂∇-=∇⨯∂用矢势和标势为： （2）B AA E t ϕ=∇⨯∂=-∇-∂矢势和标势满足达朗贝方程和洛伦兹变换条件，于是（1）式得 （3）220222222021-C 110AA Jt C t A C t μϕρϕεϕ∂∇=-∂∂∇-=-∂∂∇+=∂方程（3）的解为： （4） ()()'0'0,,4,1,4r J r t c A r t dv rr r t c r t dv r μπρϕπε⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎰⎰二．匀速转动时的磁场如图1所示，设圆盘在xoy 平面内，对称轴为z 轴，转动的角速度w 不变薄圆盘（厚度不计）均匀带电，电量为Q ，圆盘半径为R ，则电荷密度2Q R ρπ=.图1 薄圆盘匀速转动时的空间磁场在圆盘上任取一个细圆环，设圆环的半径为i R ，宽度为i dR ，则由于圆环转动时产生的电流为222i iQwR I dR R ππ=在圆环上任取一线元dl ，则 （5）()()3''''22[sin cos ]i i x y nQwR dR Idl e wt d wt e wt d wt R π=-+把（5）式代入（4）式得 （6） ()()()()''2''''12'0022011,[sin cos ],44i x y J r t QwR e wt d wt e wt d wt d A r t dv r R r πμμπππ-+==⎰⎰由叠加原理，（6）式得 （7）()()()2''''2022'22[sin cos ],2sin cos 4i x y a i i R e wt d wt e wt d wt QwA r t R r R r wt Rπμθπ-+=+-⎰⎰由于1i r i wR we e c c <<<<，得（8）'1i r R r rt t t t c c c -=-=-≈-利用幂级数()()23021!!11131351...1224246(2)!!1n n n x x x xn x ∞=-⋅⋅⋅=++++=-⋅⋅⋅-∑ 1x <（7）式的分母利用幂级数展开，同时设P 点在中远区，r>>Ri 级数只取二级近似值 （9）'22'111sin cos 2sin cos i i i R wt r r R r R r wt θθ⎛⎫≈+ ⎪⎝⎭+-把（8）式和（9）式代入（7）式积分得()()()()()32022,[sin cos ]1sin cos 4R ii r y QwR R A r t e kr wt e kr wt kr wt d kr wt Rrr πμθπ⎡⎤=--+-+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰20sin 0sin 221616yQwR QwR e e r r θθθμμππ== 其中ye e θ=，P 点选在Q=0上，由（2）式得，磁感强度为（10）()()()22002223,,sin 2cos sin 1616r QwR QwR B r t A r t Qe e e r r θθμμθθππ=∇⨯=∇⨯=+根据球坐标与直角坐标的关系：2222r x y z =++sin cos sin sin cos sin cos cos cos cos sin sin r x y z x y x y z e e e e e e e e e e e ϕθθϕθϕθϕϕθϕθϕθ=++=-+=+-可求得均匀带电圆盘在yoz 平面内的磁感强度：()()()20322222203222222222223sin cos 162cossin 16cos sin y yz zQwR B e y zQwR B e y zzx y z x y x y z μθθπμθθπθθ=+=-+=+++=++（x=0)三．结果分析根据推导所得公式，利用物理数字平台模拟绕对称轴匀速转动的均匀带电圆盘的磁场分布情况，更加直观地得出圆盘周围磁场的变化规律。
带电薄圆盘的电场强度
带电薄圆盘的电场强度带电薄圆盘的电场强度这个话题，听起来是不是有点高深？别担心，我们今天就轻松聊聊这个看似复杂却其实挺有趣的内容。
想象一下，你在公园里，阳光明媚，周围的小朋友们在玩耍。
这时，你的目光被一个闪闪发光的圆盘吸引住了，那可不是普通的圆盘，它可是带电的哦！带电的东西可是会产生电场的，这就像你在沙滩上用手搅动水一样，会有波动出现，电场也是类似的概念。
咱们得搞明白，什么是电场？简单来说，电场就是一个区域，在这个区域里，带电的物体会感受到力的作用。
就像你在一个热闹的派对上，周围的人都会影响到你的心情一样。
而带电薄圆盘就像这个派对的主角，周围的一切都受它的影响。
这个圆盘，想象它是一张电力十足的“明星海报”，它的电场就像那张海报周围的吸引力，让人忍不住靠近。
咱们来看看这个电场强度的计算。
嘿，别急，虽然听上去像是在做数学题，但其实不难。
对于一个带电薄圆盘来说，它的电场强度跟圆盘的电荷量、半径以及距离都有关系。
想象你在给小朋友们讲故事，如果故事的精彩程度跟你讲的方式有关，那电场强度也是类似的，越有趣的故事，越能吸引人。
而在电场的世界里，这种吸引力可不是开玩笑的，它会在不同的距离和角度表现出不同的强度。
再说说这个电场强度的公式，虽然数学公式一提到就让人有点头疼，但其实它背后的意义很简单。
我们用到的公式是E = kQ/r²，听上去是不是有点像密码？别担心，咱们分开来看。
E就是电场强度，k是一个常数，Q是圆盘的总电荷，r是你和圆盘的距离。
就像你在看一场表演，离舞台越近，看到的越清楚，电场的强度也是这样，离得越近，感觉越明显。
不同的带电薄圆盘也会有不同的电场强度。
比如说，假如你有一个电荷量超大的圆盘，那它发出的电场就会像一股强烈的风，瞬间把你吹到一个新的高度。
而如果是一个电荷量小的圆盘，可能只是轻轻地吹拂一下，让你感受到一丝凉爽。
这个变化就像朋友间的聚会，有的人特别活跃，有的人则比较内敛。
当然了，带电薄圆盘的电场强度不仅仅是个理论问题，生活中也随处可见。
圆形均匀带电薄板电场的数值积分和可视化
圆形均匀带电薄板电场的数值积分和可视化
圆形均匀带电薄板电场研究主要用来研究一个圆形的均匀带电薄板的电场分布
以及电位的变化情况，其研究结果可以应用于众多场合，如无线电场、贴片定位等。
本文主要介绍圆形均匀带电薄板电场研究的基本理论和方法。
首先，我们研究圆形均匀带电薄板电场的基本理论，圆形均匀带电薄板电场通
常是在薄板的贴片面上产生的自有电场。
这种自有电场的分布是非常简单的，其特性依赖于薄板的形状、表面带电密度以及外加的电场。
除此之外，这种自有电场也会受到外部物体围绕圆形薄板所产生的电场的影响，这种外部物体产生的电场可以通过解析法来计算出来，它也可通过数值积分来研究，在数值积分过程中，会用到可以精确表示薄板贴片面电势的积分公式，并通过循环迭代计算出薄板贴片面的电位。
从理论角度出发，圆形均匀带电薄板的数值积分主要通过以下几种方法实现：
一种是利用积分形式的方法，这个方法显然比较麻烦，用到的计算都比较复杂；另一种是以微元为基础的数值积分，这种方法相对比较容易，因为我们可以用简单的微元几何来模拟薄板的曲面，并根据电场分布准则来计算每个微元上的电位，最后根据简单的求和公式就可以得到圆形薄板贴片面上电位的整体情况。
最后，我们介绍一下圆形均匀带电薄板电场研究结果的可视化，一般来说，我
们用矢量场技术和三维显示图形技术来可视化圆形薄板上的电场分布和电位的变化情况，这样就可以把抽象的研究结果直观的展示出来，从而使结果更加直观、形象、易懂。
总之，圆形均匀带电薄板电场是一种基本而重要的研究内容，它的研究可以帮
助我们了解圆形薄板上电场分布和电位的变化情况，从而有助于我们对贴片定位以及无线电的设计和应用，因此，圆形均匀带电薄板电场的研究不可或缺。
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均匀带电薄圆盘场强分布的研究黎印中(贵州师范大学物理与电子科学学院 贵阳 550001)摘要：通过对均匀带电细圆环空间电场的求解。
在利用电场的叠加原理，导出均匀带电薄 盘在场点与源点的距离大于圆盘半径时，电场的级数表达式。
关键词：细圆环；电场；薄圆盘；叠加原理；级数表达式Uniformly charged thin disc field distribution ofAbstract: Based on a uniformly charged ring solution of the electric field of space.The use of electric field superposition principle, derived the presence of a uniformly charged thin disc-point distance from the source point is larger than disc radius, the electric field of the series expression.Key words: fine ring; electric field; thin disk; superposition principle; series expression1 引言在大学物理教材上，均匀带电薄圆盘作为一个典型的带电模型，常常需要求其空间的电场分布。
本文借助文献[2]求出的均匀带电细圆环电场的空间分布，通过电场的叠加原理，导出均匀带电薄圆盘在以圆盘的中心为球心，以圆盘的半径为球半径的球外空间的电场分布。
2 均匀带电细圆环的电场分布的级数解设圆环的半径为0r ，电荷线密度为λ。
选择在球坐标系中，如图所示，由对称性可知，带电细圆环的电场分布关于z 轴对称。
因此，电场分布与ϕ无关。
为了计算的方便，只求在xoz 平面的任意一点的p 处的电场，就可以代表整个空间的电场分布。
在xoz 平面内任取一场点p （r ，θ，0），在圆环上任取一电荷元dq ，源点),2,(0ϕπr dl各自位矢为rr e r =，rr 01e r =。
所以1r e r e r r r r r--=='。
由球坐标基矢),,(e e e rϕθ与直角坐标基矢),,(e e e z y x 之间的变换关系为[1]ϕϕϕθϕθsin cos cos cos sin e e r e x e θ-⋅+⋅=ϕϕϕθϕθθcos sin cos sin sin e e r e y +⋅+⋅=eθθsin cos e θe r e z -=所以p 点的e x ，e y ，e z 分别为θθcos sin e θe r +=e e y ϕ=θθcos cos e θe r e z -=[]e e e e e e e r θr θy x 0e r ϕϕϕϕϕϕϕϕϕsin cosθcos sinθcos sin cosθsinθcos sin cos r r r r r r r 0000000++=++=+=又()()e e e e e e r r θrθr ϕϕϕθϕθϕϕθϕθϕsin cos cos sin cos sin cos cos sin cos 0000010r r rrr r r rr -⋅-⋅-=++-=-=-=∴'e e r r r r r r 0又在直角坐标系中p(rsin θ,0,rcos θ)，)0,sin ,cos (00ϕϕr r dl 。
所以p,dl 之间的距离| r '|=()()()22020cos sin cos sin θϕϕθr r r r ++-=()210202cos sin 2ϕθrr r r -+ 令A= 202r r +2020sin 2r r rr B +=θ所以| r '|=()21211ϕBCOS A -,而电荷元dq=λr 0d ϕ，dq 在p 点产生的电场dE()23230030030cos 1444ϕπεϕλπεϕλπεB A r d r r r d r r r dq E d -'⋅⋅=''⋅⋅=''⋅=又E d在球坐标下的三个分量为()()2323000cos 14cos sin ϕπεϕϕθλB A d r r r E d r-⋅-⋅=' （1）()2323020cos 14cos cos ϕπεϕϕθλθB A d r E d -⋅-=' （2）()2323020cos 14sin ϕπεϕϕλϕB A d r E d -⋅-='（3）对<1>、<2>、<3>积分得()⎰⋅--='πϕϕϕθπελ202302300cos 1cos sin 4d B r r A r E r （4） ()⎰⋅--='πθϕϕϕπεθλ202323020cos 1cos 4cos d B Ar E （5）()⎰⋅--='πϕϕϕϕπελ202323020cos 1sin 4d B Ar E （6）因为⎰⎩⎨⎧=⋅ππϕϕ2020cos 为正偶数为正奇数n C n d nn其中24)6)(4)(2(13)5)(3)(1(⋅⋅⋅⋅---⋅⋅⋅⋅---=n n n n n n n C n因为1sin 2220<+=r r rr B θ，所以()23cos 1--ϕB 可作泰勒展开()()()()⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅++=--nn B D B B B B ϕϕϕϕϕcos cos 2!3357cos 2!235cos 231cos 1332223nn n n n D 2!13)12)(12(⋅⋅⋅⋅⋅-+= 所以()()∑⎰⎰∞=++⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅++-=⋅--='5,3,1123020133230202022230202023230204cos 224132!335721234cos )cos ()cos (2!235cos 231cos 4cos cos 1cos 4cos k k k k k k k nn C B D A r C B D B B A r d B D B B Ar d B A r E πεθλππεθλϕϕϕϕϕπεθλϕϕϕπεθλππθ()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⋅=⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---='∑∑∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞=+∞=∞=+∞=+∞=+--5,3,1106,4,223005,3,1106,4,2230013306,4,2230020132220230022230022200230020222300202023023230020230232300sin )(22sin )(224224132!33572123sin 2)(14cos cos 2!235cos 23cos sin 42212!23514)cos ()cos (2!235)cos (231cos sin 4)cos ()cos (2!235)cos (2314cos 1cos sin cos 14cos 1cos sin cos 14k k kk n n n n k k kk n n n n k kk n n n n n n n n n n nn nn r C B D r C B D r r A r C B D r C B D r r Ar C B D B B r C B D r A r d B D B B r A r C B D B r A r d B D B B r A r d B D B B r A r d B r d B r Ar d B r B r Ar E θελπθπππελπθππελϕϕϕϕϕθπελππελϕϕϕϕθθπελϕϕϕϕπελϕϕϕθϕϕπελϕϕϕθϕπελππππππ2 均匀带电薄圆盘的电场分布又均匀带电薄圆盘是由无数均匀带电细圆环组成，用电场叠加原理，球出组成薄圆盘的所在细圆环在P 点处的场强，就可代表整个圆盘在空间中的电场分布了。
设均匀带电薄圆盘的电荷面密度为σ，圆盘的半径为a,距圆心0r 处，宽度为0dr 的细圆环的电荷线密度为λ=0dr σ，于是P 点的电场为()⎰⋅∑∞=+⋅+-⎰⎰⋅∑∞=+⋅+⋅+⋅=⎰⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅-+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅++=adr k k C k B k D r r r r a a dr n n C n B n D r rr rr dr r r r rr a drk C k B k D B B r n C n B n D B r r r r rr E 005,3,11sin 023)202(0200006,4,2)(23)2201(3020023)2201(302000)12413332!33572123(sin 0)21222!235(23)202(020θεσεσεσθεσ又1220<rr时j r r j j j r r r r r r )220(2!)12(53)1(2)220(22!2532)1(220231)1(123)2201(⋅+⋅⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅⨯-+⋅-+=-+∑∞⋅⋅⋅=+⨯+⋅+⨯⋅⋅⋅⨯⨯-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅++⨯+⋅+⨯⋅⋅⋅⨯⨯-+⋅⋅⋅+⨯⋅⨯-+⨯⋅⋅-+=⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅+⋅⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅⨯-+⋅-+=⎰⋅+⋅,2,1,0)22()2(222!)12(53)1(2020)22()2(2202!)12(53)1(062)2(6022!2532)1(0424023)1(022020200)220(2!)12(53)1(2)220(22!2532)1(220231)1(120200023)2201(3020j j j r j a j j j j r a j j r j r j j j j a r r a r r a r r adr j r r j j j r r r r r r a dr r r r rr εσεσεσεσ又∑∞⋅⋅⋅=⎰⋅+++--⋅-=⋅∑∞⋅⋅⋅=⎰++⋅++⋅+=⋅+∑∞⋅⋅⋅=⎰+⋅=⋅∑∞⋅⋅⋅=⎰+⋅=⎰⋅∑∞=+⋅6,4,20023)2201(1002sin 120,6,4,2023)2201(320210sin 120)202sin 02(,6,4,2023)2201(30200,6,4,2023)2201(3020006,4,2)(23)2201(3020n a dr n r r n r n r n n C n D n dr n a n r r n r n r n n r n n C n D dr n r r rr n ar r r n C n D rr dr n C n B n D n ar rr rr a dr n n C nB n D r rr rr εθσεθσθεσεσεσ 122<rr 时，有⋅⋅⋅+⋅-+⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+⋅++-++-+=+-+jr r jj j n n n j r rn n r r n n r r )220(2!)222()52)(32()1(2)220(22!2)52)(32(2)1(220232)1(1)23()2201(所以∑∞⋅⋅⋅=++++⋅⋅-+⋅⋅⋅++-=⋅⋅⋅+++++⋅⋅-+⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+++⋅+-+++=⋅⋅⋅+++++⋅⋅-+⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+++⋅+-+++=⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅+⋅-+⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+⋅++-+⋅+-++=⎰⋅+++,2,1,022221)2(2!)222()52)(32()1(22221)2(2!)222()52)(32()1(4412232)1(2210220221)2(2!)222()52)(32()1(040412232)1(0202100)220(2!)222()52)(32()1(2)220(22!2)52)(32(2)1(220232)1(110023)2201(10j j n aj n j r j j j n n n j j n a j n j r j j j n n n j n a n r n n a n aj n r j n j r j j j n n n j a n r n r n a n r n dr a j r r j j j n n n j r r n n r r n n r adr n r r n r所以222216,4,22,1,0)2(2!)222()52)(32()1(02sin 126,4,20023)2201(1002sin 1206,4,2)(23)2201(3020++++⋅∑⋅⋅⋅=⋅÷⋅=⋅-+⋅⋅⋅++-⋅--⋅-=∑∞⋅⋅⋅=⎰⋅+++--⋅-=⎰⋅∑∞=+⋅j n a j n n j j r j j j n n n j n r n n C n D n n adr n r r n r n r n n C n D n a dr n n C nB n D r rr rr εθσεθσεσ同理325,3,12,1,0203111226,4,22,1,02021,2,1,022220321)(2!)222()52)(32()1(sin 2221)(2!)222()52)(32()1(sin 2)22()(2!)12(53)1(2++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=--++-++⋅⋅⋅=⋅÷⋅=---∞⋅⋅⋅=+++⋅⋅-+⋅⋅⋅++-⋅⋅-++⋅⋅-+⋅⋅⋅++-⋅⋅++⨯⋅+⨯⋅⋅⋅⨯⨯-∑∑∑j k k j j j j k k k k k j n n j jj j n n n n n j j j j j aj k r j j k k k r C D a j n r j j n n n r C D j r a j j r εθσεθσεσ()323215,3,12,1,0)2(2!)222()52)(32()1(031sin 112005,3,11sin 023)202(020++++⋅∑⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-+⋅⋅⋅++-⋅--⋅++-=⎰⋅∑∞=+⋅+j k a j k k j j r j j j k k k j k r k k C k D k a dr k k C kB k D r r r r εθσθεσ所以Er=()∑==⋅++⋅⋅++-+++-⋅+----=∑∞=⎰⋅+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++----=∑∞=⎰⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎰∑∞=⋅+-=5,3,12,1,0)2()32(2!32)222()52)(32()1(0sin cos 13125,3,100232201200sin cos 13125,3,100202sin 02232022002cos 105,3,1012302cos 20k j j r j k j j j k a j k k k j k k C k D k r k k a dr k r r k r k k C k D k r k k a dr kr r rr r r r k C k D a k dr k C k B k D A r E εθθσεθθσθεθσεθσθ()⎰⋅--='πϕϕϕϕπελ202323020cos 1sin 4d B Ar E =0求解是在0r 2/r 2小于1的情况下进行的，所以本文求出电场分布并不适用于任何情况。