轴对称的定义和性质
初中数学知识点轴对称与中心对称
初中数学知识点——轴对称与中心对称一、轴对称与轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。
2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
注意：对称轴是直线而不是线段3.轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；（4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4.线段垂直平分线：（1）定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。
（2）性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
5.角的平分线：（1）定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.（2）性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.6.等腰三角形的性质与判定：性质：（1）对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴；（2）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；（3）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
说明：等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：①等腰三角形两底角的平分线相等；②等腰三角形两腰上的中线相等；③等腰三角形两腰上的高相等；④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。
图形的轴对称
图形的轴对称【要点梳理】要点一、轴对称★轴对称定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点要点诠释：（1）轴对称的定义包含两层含义：①有两个全等的图形；②两个图形的位置必须满足沿一条直线对折后能完全重合.（2）图形的翻折变换就是轴对称变换.（3）对阵周是一条直线，而不是射线或线段.（4）轴对称是图形的变换的一种方式.【例1】将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（）A．B．C．D．要点二、两个图形关于某条直线成轴对称一个图形以某条直线为对称轴，经过轴对称后，能够与另一个图形重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，重合的点叫做对应点.要点三、成轴对称的性质成轴对称的两个图形是全等形，对应线段相等，对应角相等.要点诠释：（1）成轴对称的两个图形是全等形，但是全等形不一定成轴对称.（2）我们可以运用成轴对称的性质说明线段相等、角相等.要点三、成轴对称图形的性质成轴对称的两个图形是全等形，对应线段相等，对应角相等.要点诠释：成轴对称的两个图形是全等的，但是全等的图形不一定成轴对称.【例2】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B＝（）A．25°B．45°C．30°D．20°【变式2.1】下列说法正确的是（）A.两个全等形一定成轴对称B. 成轴对称的两个图形一定全等C. 成轴对称的图形是一个图形D. 成轴对称的两个三角形不一定全等【变式】下列图形中，△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称的是（）A.B．C．D．【变式2.1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF＝10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°【变式2.2】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（）A．30°B．50°C．90°D．100°【变式2.3】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB 上A′处，折痕为CD，则∠A′DB为．【变式】如图所示，扇形的面积为12π平方单位，C、D是弧AB的三等分点，则阴影部分的面积等于（）平方单位。
如何学初二轴对称证明题解题方法和技巧
如何学初二轴对称证明题解题方法和技巧【如何学初二轴对称证明题解题方法和技巧】引言：在初中数学的学习中，轴对称证明题是一个相对复杂且需要掌握一定技巧的知识点。
轴对称性是几何图形中重要的一种对称性质，理解和掌握轴对称证明题的解题方法和技巧对于提高数学水平至关重要。
本文将探讨如何学习初二轴对称证明题的解题方法和技巧，以帮助同学们更好地掌握这一知识点。
一、了解轴对称性质的基本概念1.1 轴对称性的定义轴对称性是指一个图形可以通过某条直线将图形分成两个完全相同的部分。
这条直线称为轴线或对称轴。
在轴对称性中，对于图形上的任意一点P，如果存在一点P'，使得将P绕轴线旋转180度后能够得到P'，则称图形具有轴对称性。
1.2 轴对称性的性质轴对称性具有以下基本性质：（1）轴对称图形的对称轴是唯一的；（2）轴对称图形上的任意两点关于对称轴对称；（3）轴对称图形上的任意点与对称轴的距离与与对称点的距离相等。
二、掌握轴对称证明题的基本方法2.1 观察和分析题目在解决任何数学问题时，首先需要仔细观察和分析题目。
对于轴对称证明题，要注意题目中是否提供了图形或几何图形的描述，还需明确题目中要求证明的内容。
2.2 使用已知条件在解轴对称证明题时，常常需要利用已知条件进行分析和推理。
已知某条边平行于对称轴，或已知某个点对称于另一个点等等。
2.3 利用轴对称性质进行推理轴对称图形具有特殊的性质，对称轴是图形的一个重要特征。
在解轴对称证明题时，可以利用轴对称性质进行推理。
可以通过证明两个点对称于第三个点，从而推出所要证明的结论。
2.4 使用辅助图形和方法在解决复杂的轴对称证明题时，有时可以借助辅助图形和方法来简化问题或引出结论。
可以通过构造辅助线或辅助图形，或利用相似性质等方法来解决问题。
三、练习和巩固知识点为了更好地掌握轴对称证明题的解题方法和技巧，同学们需要进行大量的练习和巩固。
可以选择一些相关的练习题，通过反复的实践来提高解题能力。
轴对称知识点总结
轴对称知识点总结1、轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
2、轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：（1）区别。
轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。
（2）联系。
把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。
4、轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。
（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。
5、线段的垂直平分线：（1）定义。
经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。
如图2，∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。
（2）性质。
线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。
如图3，∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ， 点P 是直线m 上的点。
∴PA=PB 。
（3）判定。
与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
如图3，∵PA=PB ，直线m 是线段AB 的垂直平分线， ∴点P 在直线m 上 。
6、等腰三角形：（1）定义。
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。
①相等的两条边叫做腰。
第三条边叫做底。
②两腰的夹角叫做顶角。
③腰与底的夹角叫做底角。
说明：顶角=180°- 2底角底角=顶角顶角21-902180︒=-︒ 可见，底角只能是锐角。
（2）性质。
①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线” ，只有一条。
②等边对等角。
如图5，在△ABC 中 ∵AB=AC∴∠B=∠C 。
③三线合一。
（3）判定。
①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
如图5，在△ABC 中， ∵AB=AC∴△ABC 是等腰三角形 。
初中数学 轴对称图形的性质有哪些
初中数学轴对称图形的性质有哪些轴对称图形是指一个图形中存在一条直线，将图形分成两个完全对称的部分。
这条直线被称为轴对称线，也被称为对称轴。
下面是轴对称图形的一些性质：1. 对称性质：轴对称图形的两个部分是完全对称的，即它们在形状、大小和位置上完全一致，只是相对于轴对称线的位置互换。
这种对称性使得我们能够在一个部分中观察到一些性质，并将其应用到另一个对称部分中。
2. 轴对称线性质：轴对称图形的轴对称线上的任意一点与它的对称点距离相等。
也就是说，如果一个点在轴对称线上，那么它的对称点也在轴对称线上。
这个性质对于计算轴对称图形中各个点的坐标非常有用。
3. 对称中心性质：轴对称图形的对称中心即为轴对称线上的任意一点。
对称中心具有以下性质：a. 对称中心是轴对称图形的一个重要特征，它可以帮助我们确定图形的对称关系。
b. 对称中心到轴对称图形上任意一点的距离等于该点到轴对称线所在直线的距离。
c. 对称中心到轴对称线的距离等于轴对称图形中所有点到轴对称线的距离的平均值。
4. 对称点性质：轴对称图形中每个点都有一个对称点，它们在轴对称线上对称。
对称点的坐标可以通过对称轴上的点的坐标进行计算。
例如，在一个矩形中，矩形的左上角和右下角是对称的，它们在垂直轴对称线上对称。
5. 线段对称性质：轴对称图形中的任意一条线段，它的两个端点关于轴对称线对称。
这个性质对于计算轴对称图形中线段的长度非常有用。
6. 角度对称性质：轴对称图形中的任意一个角度，它的两个角度顶点关于轴对称线对称。
这个性质对于计算轴对称图形中角度的大小非常有用。
7. 区域对称性质：轴对称图形中的任意一个区域，它关于轴对称线对称。
这个性质对于计算轴对称图形中区域的面积非常有用。
通过了解轴对称图形的性质，我们可以更好地理解几何学中的对称性和图形变换。
轴对称图形的性质在解决与对称性和图形变换相关的问题时非常重要。
希望以上内容能够帮助你了解轴对称图形的性质。
如果你还有其他问题，请随时提问。
初中数学 什么是轴对称点
初中数学什么是轴对称点轴对称点是指在轴对称图形中，关于轴对称线对称的两个点中的一个点。
轴对称图形具有一个轴对称线，使得图形的每个点关于这个轴对称线对称。
轴对称点具有以下特征和性质：1. 关于轴对称线对称：轴对称点是指关于轴对称线对称的两个点中的一个点。
换句话说，如果一个点与轴对称线对称，那么它就是轴对称点。
2. 相对坐标关系：轴对称点与轴对称线上的点之间具有相对的坐标关系。
对于直角坐标系中的轴对称图形，轴对称点和轴对称线上的点的横坐标相等，而纵坐标则关于轴对称线取相反数。
3. 沿轴对称线对称性质：轴对称点和轴对称线上的点之间具有沿轴对称线对称的性质。
也就是说，如果将轴对称点沿着轴对称线对折，那么得到的点将与轴对称线上的点重合。
4. 存在于轴对称图形中：轴对称点只存在于轴对称图形中。
轴对称图形是指具有特定对称性质的图形，图形中的每个点与轴对称线上的点关于轴对称线对称。
5. 轴对称点的数量：轴对称图形中，轴对称点的数量取决于轴对称线的位置和图形的形状。
如果轴对称线通过图形的一个顶点，那么这个顶点就是唯一的轴对称点。
如果轴对称线通过图形的中点或其它位置，那么图形中可能有多个轴对称点。
需要注意的是，轴对称点是轴对称图形的一个重要概念，它与轴对称性密切相关。
通过理解轴对称点的概念和性质，我们可以更好地理解轴对称图形的对称性质，推导出图形的性质和关系。
总之，轴对称点是指在轴对称图形中，关于轴对称线对称的两个点中的一个点。
它具有关于轴对称线对称、相对坐标关系、沿轴对称线对称等性质。
希望以上内容能够帮助你理解轴对称点的概念和性质。
如果你还有其他问题，请随时提问。
初中数学知识点——轴对称与中心对称
初中数学知识点——轴对称与中心对称一、轴对称与轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。
2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
注意：对称轴是直线而不是线段3.轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；（4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4.线段垂直平分线：（1）定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。
（2）性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
5.角的平分线：（1）定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.（2）性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.6.等腰三角形的性质与判定：性质：（1）对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴；（2）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；（3）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
说明：等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：①等腰三角形两底角的平分线相等；②等腰三角形两腰上的中线相等；③等腰三角形两腰上的高相等；④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。
初中数学知识点：轴对称
初中数学知识点：轴对称轴对称知识点一、轴对称与轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。
2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
注意：对称轴是直线而不是线段3.轴对称的性质：(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;(3)两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上;(4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4.线段垂直平分线：(1)定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。
(2)性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
5.角的平分线：(1)定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.(2)性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.6.等腰三角形的性质与判定：性质：(1)对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴;(2)三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合;(3)等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
说明：等腰三角形的性质除三线合一外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：①等腰三角形两底角的平分线相等;②等腰三角形两腰上的中线相等;③等腰三角形两腰上的高相等;④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。
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轴对称的定义和性质
一、轴对称的定义和性质
1、轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
2、轴对称图形
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
3、轴对称与轴对称图形的区别和联系
区别
轴对称为两个图形之间的对称关系，并且只有一条对称轴。
轴对称图形为一个图形，且不一定只有一条对称轴。
联系
轴对称：（1）沿对称轴折叠，两个图形重合；（2）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。
轴对称图形：（1）沿对称轴折叠，图形的两部分重合；（2）如果把轴对称图形的两部分看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。
4、图形轴对称的性质
（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。
（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上。
5、画图形的对称轴
如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的
对称轴。
同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直
平分线，就得到此图形的对称轴。
6、画轴对称图形
（1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线$l$对称的图形，这个图形与原图形
的形状、大小完全相同。
新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线$l$的对称点。
连接任意一对对应
点的线段被对称轴垂直平分。
（2）画一个图形的轴对称图形的方法
找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）。
作——作各个特殊点关于对称轴的对称点。
连——依次连接各对称点。
7、用坐标表示轴对称
（1）已知点关于$x$轴或$y$轴对称的点的坐标的规律
点$(x,y)$关于$x$轴对称的点的坐标为$(x,-y)$。
点$(x,y)$关于$y$轴对称的点的坐
标为$(-x,y)$。
此外，点$(x,y)$关于第一、三象限角平分线的对称点的坐标为$(y,x)$；点
$(x,y)$关于第二、四象限角平分线的对称点的坐标为$(-y,-x)$。
（2）在坐标系中画出一个已知图形的对称图形
对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对
称点，就可以得到原图形的轴对称图形。
二、轴对称的相关例题
设点$A$与点$B$关于$x$轴对称，点$A$与点$C$关于$y$轴对称，则点$B$与点$C$___
A．关于$x$轴对称
B．关于$y$轴对称
C．关于原点对称
D．既关于$x$轴对称，又关于$y$轴对称
答案：C
解析：根据关于$x$轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数。
关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数。
关于$y$轴对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标相同，点A与点$B$关于$x$轴对称，点$A$与点$C$关于$y$轴对称，则点$B$与点$C$关于原点对称，故选C。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。