2021届陕西省西安交大附中高三上学期期中考试理科数学试卷

2021年陕西省西安交大附中高三上学期期中考试理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．全集U＝{1＝2＝3＝4＝5＝6}＝集合A＝{1＝3＝5}＝B＝{2＝4}＝则( ) A ．U＝A ∪B B ．U＝(∁U A)∪B C ．U＝A ∪(∁U B)D ．U＝(∁U A)∪(∁U B)2．已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且1xi y i -=-+，则(1)x yi ++的值为A ．2B ．2i -C ．4-D ．2i 3．函数()()y x xx x sin cos sin cos =+-是A ．奇函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．奇函数且在2,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．偶函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．偶函数且在2,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 4．下列有关命题说法正确的是A ．命题p ：“x R sinx cosx ∃∈+=，”，则p ⌝是真命题B ．2“1?“560?x x x =---=是的必要不充分条件C ．命题2“,10?x R x x ∃∈++<使得的否定是：“210x R x x ∀∈++<，”D ．“”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件 5．若变量a,b 满足约束条件{a +b ≤6a −3b ≤−2a ≥1 ，n =2a +3b ，则n 取最小值时，(2√x −1x 2)n二项展开式中的常数项为 （ ） A ．-80 B ．80 C ．40 D ．-206．若001(2)1,(),(2)2f x f x y f x ''===，则0()y x '= A ．0 B ．21C ．3D ．2 7．已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A ．2 B．CD ．18．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，动点P 在正方体表面上且满足1||||PA PC =,则动点P 的轨迹长度为A ．3B ．23C ．33D ．69．过点()2,0M -作斜率为1k (1k ≠0)的直线与双曲线2213y x -=交于,A B 两点，线段AB 的中点为P ， O 为坐标原点， OP 的斜率为2k ，则12k k ⋅等于A ．13 B ．3 C ．13- D ．3- 10．在区间[0,2]上随机取两个数x ，y ，则xy ∈[0,2]的概率是（ ＝＝ A ．1−ln22B ．3−2ln24C ．1+ln22D ．1+2ln22二、填空题11．向量(24)(11)a b ==，，，．若向量()b a b λ⊥+，则实数λ的值是________． 12．某校高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的分布直方图如图所示，现要按下图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解情况，则80~90分数段应抽取 人．13．已知直线()10,0ax by a b +=≠≠与圆221x y +=相切，若1(0,)A b ，2(,0)B a，则||AB 的最小值为 ．14．已知01a a ,>≠，函数()()()11x a x f x x a x ,,⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩若函数()f x 在02,⎡⎤⎣⎦上的最大值比最小值大52，则a 的值为 ． 15．已知函数()|3|2f x x =--，()|1|4g x x =-++．若不等式()()1f x g x m -≥+的解集为R ，则 m 的取值范围是 ．16．在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为sin()104πρθ++=，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧+-=+-=，，ϕϕsin 1cos 1y x (ϕ为参数，πϕ≤≤0)，则C 1与C 2有 个不同公共点．17．已知C 点在＝O 直径BE 的延长线上，CA 切＝O 于A 点，若AB ＝AC ，则ACBC= .三、解答题18．（本小题满分12分）已知函数()sin()4f x A x πω=+（其中x ∈R ，0A >，0ω>）的最大值为2，最小正周期为8．（1）求函数()f x 的解析式及函数的增区间；（2）若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求△POQ 的面积．19．（本小题满分12分）“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为13，乙组能使生物成活的概率为12，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的． （1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；（2）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率；（3）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的期望．20．已知数列{}n a 的前n 项和nn S kc k =-（其中,c k 为常数），且2634,8a a a ==（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T21．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，＝ABC 是边长为2的等边三角形，AA 1⊥平面ABC ，D ，E 分别是CC 1，AB 的中点．（1）求证：CE ＝平面A 1BD ；（2）若H 为A 1B 上的动点，当CH 与平面A 1AB 所成最大角的正切为√152时，求平面A 1BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值．22．（本小题满分13分）已知椭圆C 1的中心在坐标原点，两个焦点分别为F 1(−2,0)，F 2 (2,0)，点A(2, 3)在椭圆C 1上，过点A 的直线L 与抛物线C 2:x 2=4y 交于B,C 两点，抛物线C 2在点B,C 处的切线分别为l 1,l 2，且l 1与l 2交于点P ． （1） 求椭圆C 1的方程；（2）是否存在满足|PF 1|+|PF 2|=|AF 1|+|AF 2|的点P ? 若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）; 若不存在，说明理由．23．已知二次函数()21f x x ax m =+++，关于x 的不等式()()2211f x m x m<-+-的解集为(),1m m +，（），设()()1f xg x x =-．（1）求a 的值；（2）(k k ∈R )如何取值时，函数()x ϕ()g x =-()ln 1k x -存在极值点，并求出极值点；（3）若1m =，且x 0>，求证：()()1122(nn ng x g x n ⎡⎤+-+≥-∈⎣⎦N *)．参考答案1．D 【解析】 解析：因为{}{}246135UU A B ＝，，，＝，， ＝所以()()U U U A B ⋃＝ ＝2．D 【解析】试题分析：由题1xi y i -=-+，则()()21,1112x yx y i i i +==∴+=+=考点：复数的相等，复数的运算 3．C 【解析】试题分析：()()222y x xx x x x x =+-=-=-sin cos sin cos sin cos cos故函数是偶函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，选C考点：二倍角的余弦，余弦函数的单调性 4．D 【解析】试题分析：对于A ，因为sin cos 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以当4x π=时，sin cos x x +=，所以命题p正确，则p ⌝是假命题，故A 错；对于B ，当x=-1时，可得出2560x x --=，所以是充分条件，故错；对于C ，其命题的否定应为“x R ∀∈，210x x ++≥”，故错；对于D ，根据对数函数的性质，可得正确，故 选D考点：本题考查判断命题的真假点评：解决本题的关键是掌握命题的否定形式，以及对数函数的图象和性质 5．A 【解析】解：因为变量a,b 满足约束条件{a +b ≤6a −3b ≤−2a ≥1 ，n =2a +3b ，则n 取最小值为当过带你（1,1）时，且为5，这时我们利用二项式定理能得到，常数项为-80 6．D 【解析】 试题分析：000()(2)2()(2),()2()(2)2,y x f x f x f x y x f x f x '''''''==+∴=+=考点：复合函数的导数 7．B 【解析】试题分析：由题意得，a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，所以0a >，且440ab ∆=-≤，所以1≥ab ，由0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，可得0∆=，所以1ab =，所以1a >，所以2224231101a a b a a a b a a a a+++==>---，所以42248442236242222112()112()1122()2a a a a a a a a a a a a a a a a++++++===-+-+-+- 222222211(2)4()41()2a a a a a a+-++-=+-，令2212a t a +=>，则42231(2)4(2)4()2a t t a a t +-+--=-- 4(2)44482t t =-++≥+=-，所以4231()a a a +-的最小值为8，所以22a b a b+-的最小值为B ．考点：基本不等式的应用． 8．B 【解析】试题分析：如图分别连接111111,,,,,A D A B BB BC CD DD 的中点,,,,,E F G H M N ，则六边形EFGHMN 过对角线1AC 的中点O ，且1AC EFHM ⊥面，则六边形EFGHMN 各边上的任意一点P 点均满足在正方体表面上且满足1||||PA PC =，动点P的轨迹长度为62⨯=1考点：空间想象能力的考察 9．B【解析】试题分析：设A ()()1122,,,x y B x y ，直线l 的方程为()12y k x =+，代入2213y x -=得，()222211134430k x k x k ----=，∴21122143k x x k +=-，则212121223x x k k +=-，∴P 点的横坐标为212123k k -，则纵坐标为()1121623k y k x k =+=-，∴OP 的斜率12122112163323k k k k k k -==-，∴123k k ⋅=，故选B考点：本题考查直线与双曲线的位置关系点评：解决本题的关键是利用直线与双曲线联立，利用一元二次方程根与系数关系解决问题 10．C 【解析】试题分析：由题意所有的基本事件满足{0≤x ≤20≤y ≤2 ，所研究的事件满足0≤y ≤2x ，画出可行域如图，总的区域面积是一个边长为2 的正方形，其面积为4，满足0≤y ≤2x 的区域的面积为4−∫(2−2x )21dx =4−(2x −2lnx)|21 =2+2ln2，则xy ∈[0,2]的概率为P =2+2ln24=1+ln22考点：几何概型 11．-3 【详解】试题分析：＝(2,4),(1,1)a b ==，＝()26,2a b b⋅==，又＝()b a b λ⊥+，＝()2()0b a b a b bλλ⋅+=⋅+=，＝620λ+=，＝3λ=-考点：本题考查了向量的坐标运算点评：熟练运用向量的坐标运算是解决此类问题的关键，属基础题 12．20 【解析】试题分析：80~90分数段的频率为0.04100.4⨯= ，所以抽取的50人中80~90分数段人数为500.420⨯= 考点：频率分布直方图 13．3 【解析】试题分析：因为直线()10,0ax by a b +=≠≠与圆221x y +=相切，所以22111a b =⇒=⇒+= ，则||3AB ===≥=．当且仅当22224a b b a= 即222a b = 时取等号考点：圆的切线，基本不等式14．1722或 【解析】试题分析：（1）当01a ＜＜ 时，可得在[0]1， 上，xf x a =（） 是减函数；且在12]（， 上，f x x a =-+（） 是减函数0011f a a ==-+（）＞ ，故函数的最大值为01f =（） ：而221f a a f =-+=（）＜（） ，所以函数的最小值为22f a =-+（） ，因此，5212a -++=， 解之得1012a =∈（，）符合题意； (2)当1a ＞ 时，可得在[0]1，上，xf x a =（）是增函数；且在12]（，上，f x x a =-+（）是减函数11f a a =-+∴（）＞， 函数的最大值为1f a =（） 而02201f a f a =-+==（），（） ，可得i ）当1]3a ∈（， 时，21a -+＜ ，得22f a =-+（） 为函数的最小值，因此，522a a -++= 矛盾;ii ）当3a ∈+∞（，） 时21a -+，＞ ，得01f =（） 为函数的最小值，因此，512a +=， 解之得7 32∈+∞（，）， 符合题意．综上所述，实数a 的值为1722或 考点：分段函数，函数的最值 15．3m ≤- 【解析】试题分析：由题意()()()|3|2|1|4|3||1|61f x g x x x x x m -=----++=-++-≥+|3||1|7x x m -++-≥设()|3||1|7h x x x =-++-画出其简图，易得3m ≤-考点：绝对值不等式的解法 16．C 1与C 2有且只有一个公共点 【解析】 试题分析：曲线C 1化为直角坐标方程为sin coscos sin10044y x ππρθθ⎛⎫++=⇒++= ⎪⎝⎭，曲线C 2 化为普通方程为()()22111x y +++=，则圆心C 2到直线C 1的距离为1d r ===，即直线与圆相切，则C 1与C 2有且只有一个公共点考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系 17【解析】试题分析：由题C 点在＝O 直径BE 的延长线上，CA 切＝O 于A 点，AB ＝AC ，则C B CAE ∠=∠=∠可知260AEB B ∠=∠=，设圆半径为r，则,3,AC AE CE r BC r AC AB BC =====∴=考点：与圆有关的两条线段的比值 18．（1）()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()f x 的增区间为[]83,81,k k k Z -+∈（2）POQS=【解析】试题分析：（1）由已知，函数()f x 最大值为2，最小正周期为8可求A 及ω ，则函数()f x 解析式易求，利用正弦函数的单调增区间可求()f x 的单调增区间（2）由题意可得(4,P Q ，则由余弦定理可求POQ ∠ 则△POQ 的面积可求试题解析：（1）由已知，函数()f x 最大值为2，最小正周期为8可知222,84A T πππω====，故()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由正弦函数的单调增区间可得228381,2442k x k k x k k Z ππππππ-≤+≤+⇒-≤≤+∈即函数()f x 的增区间为[]83,81,k k k Z -+∈（2）由题意可得(4,P Q ,则OP OQ PQ ===，由余弦定理可得222cos sin33POQ POQ +-∠==∠= 故12POQS==考点：三角函数的图像和性质，余弦定理，三角形的面积 19．（1）7()27P A =（2）3()32P B =（3）53E ξ=【解析】试题分析：（1）这是n 次独立重复试验，直接利用公式即可（2）乙小组在第4次成功前，共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，其中各种可能的情况种数1224=A ,因此所求的概率331113()1222232P B ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ （3）由题意ξ的取值为0,1,2,3,4由n 次独立重复试验公式可得概率，则分布列可得ξ的期望可求试题解析：（1）设甲小组做三次试验，至少两次试验成功为事件A2323332117()33327P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）设乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败为事件B ，乙小组在第4次成功前，共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，其中各种可能的情况种数1224=A ,因此所求的概率331113()1222232P B ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（3）由题意ξ的取值为0,1,2,3,4()0220022121103329P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1122210012222121121113323323P C C C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()20211202220110022222212112112113233233233236P C C C C C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()20211221122222121121133323326P C C C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()20222221211433236P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故ξ的分布列为11131150123493366363E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=考点：离散型随机变量的分布列及其期望20．：（Ⅰ）2nn a =（Ⅱ）()1122n n T n +==-+【解析】：（Ⅰ）由n n S kc k =-，得()112nn n n n a S S kc kcn --=-=-≥由24,a =638a a =，得()()()5214,181kc c kc c kc c -=-=-解得2{2c k ==，所以1112,2n n n n a S a kc kc -===-= ()2n ≥，于是2n n a =（Ⅱ）112n nin i i i T ia i ====∑∑即23422232422n nTn =+⋅+⋅+⋅++⋅2n n nT T T =-234111222222222n n n n n n +++=------+⋅=-++⋅()1122n n +=-+视频21．(1)对于线面的平行的证明，关键是证明CE ＝DF . （2）√55 【解析】试题分析：（1）只须在平面A 1BD 内找到一条直线平行于CE 即可；（2）由题意，作出CH 与平面A 1AB 所成的角，即∠EHC ，由tan∠EHC =CE EH=√3EH可知当EH 最短时，tan∠EHC 的值最大，由此可求BH =√55，建立空间直角坐标系，利用空间向量可求平面A 1BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值试题解析：（1）取A 1B 的中点F ，连接DF,FE ，则四边形DFEC 为矩形，故{D F ∥C ED F ⊆平面A 1BD CE ⊄平面A 1BD ⇒EC ∥平面A 1BD（2）由题可知CE ⊥平面A 1AB ．⇒∠EHC 为CH 与平面A 1AB 所成的角， 由CE ⊥AB ，CE =√32AB =√3．tan∠EHC =CE EH=√3EH， 由当EH 最短时，tan∠EHC 的值最大， ＝当EH ⊥A 1B 时， tan∠EHC =CEEH =√3EH =√152．＝EH =2√55，BH =√EB 2−EH 2=√55．⇒ AA 1=4．建立空间直角坐标系A −xyz ．则A(0,0,0)，A 1 (0,0,4)，B (√3,1,0)，D (0,2,2)． ＝AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0,0,4)，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (√3,1,−4)，A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0,2,−2)． 设平面A 1BD 的法向量为n = (x,y,z)，由n ⋅A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n ⋅A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，⇒平面A 1BD 的一个法向量为n = (√3,1,1)． ＝AA 1⊥平面ABC ， ＝AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0,0,4)是平面ABC 的一个法向量． ＝cos 〈n,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=n⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√55． 考点：直线与平面平行的判定定理，直线与平面所成的角，利用二面角利用空间求向量平面与平面所成二面角的余弦值22．（1）x 216+y 212=1（2）满足条件的点P 有两个 【解析】试题分析：(1) 解法1：设椭圆C 1的方程为x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0), 依题意:{22a 2+32b 2=1,a 2=b 2+4. 解得:{a 2=16,b 2=12.＝ 椭圆C 1的方程为x 216+y 212=1.解法2：设椭圆C 1的方程为x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)， 根据椭圆的定义得2a =|AF 1|+|AF 2|=8，即a =4，＝c =2， ＝b 2=a 2−c 2=12. ＝ 椭圆C 1的方程为x 216+y 212=1. (2)解法1：设点,，则，，＝三点共线,＝BC⃗⃗⃗⃗⃗ //BA ⃗⃗⃗⃗⃗ . ＝(x 2−x 1)(3−14x 12)=14(x 22−x 12)(2−x 1),化简得：2(x 1+x 2)−x 1x 2=12. ＝ 由x 2=4y ,即y =14x 2,得y ′= 12x .＝抛物线C 2在点处的切线l 1的方程为，即. ＝同理，抛物线C 2在点处的切线l 2的方程为. ＝设点，由＝＝得：，而，则.代入＝得， 则，代入 ＝ 得，即点的轨迹方程为.若|PF 1|+|PF 2|=|AF 1|+|AF 2|，则点在椭圆C 1上，而点又在直线上，＝直线经过椭圆C 1内一点(3,0), ＝直线与椭圆C 1交于两点.＝满足条件|PF 1|+|PF 2|=|AF 1|+|AF 2|的点有两个. 解法2：设点,，，由x 2=4y ,即y =14x 2,得y ′= 12x .＝抛物线C 2在点处的切线l 1的方程为，即.＝， ＝.＝点在切线l 1上, ＝. ＝同理，. ＝综合＝、＝得，点的坐标都满足方程.＝经过的直线是唯一的，＝直线L 的方程为，＝点在直线L 上， ＝.＝点的轨迹方程为.若|PF 1|+|PF 2|=|AF 1|+|AF 2|，则点在椭圆C 1上，又在直线上，＝直线经过椭圆C 1内一点(3,0), ＝直线与椭圆C 1交于两点.＝满足条件|PF 1|+|PF 2|=|AF 1|+|AF 2|的点有两个.解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为y =k(x −2)+3， 由{y =k(x −2)+3,x 2=4y, 消去y ，得x 2−4kx +8k −12=0. 设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k,x 1x 2=8k −12. 由x 2=4y ,即y =14x 2,得y ′= 12x .＝抛物线C 2在点处的切线l 1的方程为，即.＝， ＝y =x 12x −14x 12.同理,得抛物线C 2在点处的切线l 2的方程为y =x 22x −14x 22.由{y =x12x −14x 12,y =x 22x −14x 22, 解得{x =x 1+x22=2k,y =x 1x 24=2k −3. ＝P(2k,2k −3).＝|PF 1|+|PF 2|=|AF 1|+|AF 2|, ＝点在椭圆C 1:x 216+y 212=1上.＝(2k)216+(2k−3)212=1.化简得7k 2−12k −3=0.(*) 由Δ=122−4×7×(−3)=228>0,可得方程(*)有两个不等的实数根. ＝满足条件的点有两个.考点：椭圆抛物线方程及性质，直线与椭圆抛物线相交的应用点评：求椭圆方程采用了待定系数法与定义法，其中待定系数法是常用的方法，而利用定义求解能使一些题目的计算量较小很多；第二问在直线与圆锥曲线相交的背景下常联立方程，利用韦达定理求解 23．（1）2a =-（2）当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x ． （3）用数学归纳法证明 【解析】试题分析：（1）解：＝关于x 的不等式()()2211f x m x m <-+-的解集为(),1m m +，即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为(),1m m +，＝()2212x a m x m m ++-++=()()1x m x m ---.＝()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++.＝()1221a m m +-=-+.＝2a =-.(2)解法1:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m mx x x -++==-+--. ＝()()x g x ϕ=-()ln 1k x -()11mx x =-+-()ln 1k x --的定义域为()1,+∞. ＝()1x ϕ'=-()211mk x x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. 方程()2210x k x k m -++-+=（*）的判别式()()222414k k m k m ∆=+--+=+.＝0m >时，0m <，方程（*）的两个实根为21,x =>11,x =<则()11,x x ∈时，()0x ϕ'>；()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>. ＝函数()x ϕ在()11,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增. ＝函数()x ϕ有极小值点2x .＝当0∆>时，由0m >,得k <-k >若k <-221,2k x +=<121,2k x +-=>故n ∈()1,+∞时，()0x ϕ'>， ＝函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增. ＝函数()x ϕ没有极值点.若2k m >-时，22241,k k mx +++=>则()21,x x ∈时，()0x ϕ'>；()ln 1k x -时，()0x ϕ'>；()ln 1k x --时，()0x ϕ'>. ＝函数()x ϕ在()x ϕ上单调递增，在()1,+∞上单调递减，在()2,x +∞上单调递增.＝函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点2x .综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ； 当0∆>时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点2x .(其中222k x +=,122k x +=)解法2:由(1)得()()1f xg x x =-.＝()()x g x ϕ=-()ln 1k x -()11mx x =-+-()ln 1k x --的定义域为()1,+∞. ＝()1x ϕ'=-()211mk x x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. 若函数()()x g x ϕ=-()ln 1k x -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且 至少有一个零点在()1,+∞上. 令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*) 则,(**)方程（*）的两个实根为2x =1x =.设()g x =,＝若121,1x x >>,则,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立.则()11,x x ∈时，()0x ϕ'>；()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>. ＝函数()x ϕ在()11,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增. ＝函数()x ϕ有极小值点2x .＝若1220=-=,则得又由(**)解得k >k <-故k >则()21,x x ∈时，()0x ϕ'>；()ln 1k x -时，()0x ϕ'>；()ln 1k x --时，()0x ϕ'>. ＝函数()x ϕ在()x ϕ上单调递增，在()1,+∞上单调递减，在()2,x +∞上单调递增. ＝函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点2x .综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0∆>时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点2x(其中2x =1x =(2)证法1：＝n k =， ＝.＝122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++.令T 122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++，则T.＝x ，＝∀.＝，即()()1122nn ng x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. 证法2：下面用数学归纳法证明不等式22k ≥-.＝ 当时，左边，右边，不等式成立；＝ 假设当N 时，不等式成立，即，则.也就是说，当时，不等式也成立. 由＝＝可得，对N ，都成立.考点：本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识点评：本题计算量大，第二问中要对参数分情况讨论再次加大了试题的难度，第三问数学归纳法用来证明和正整数有关的题目．本题还考查了数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识。