上海市交大附中高三期中数学试卷及答案(2020.05)
2020年上海市交大附中高考数学考前试卷(附解析)
2020年上海市交大附中高考数学考前试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. “x ∈[−π2,π2]是“sin(arcsin)=x ”的( )条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要2. 已知F 为抛物线y 2=2px(p >0)的焦点，A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)是抛物线上的不同两点，则下列条件中与“A 、F 、B 三点共线”等价的是( )A. x 1x 2=p 24 B. y 1y 2=−p 2C. 1|FA|+1|FB|=2pD. x 1x 2+y 1y 2=−3p 243. 已知曲线Γ的参数方程为{x =t 3−tcosty =ln(t +√t 2+1)，其中参数t ∈R ，则曲线Γ( )A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于原点对称D. 没有对称性4. 已知数列{a n }与{b n }前n 项和分别为S n ，T n ，且a n >0,2S n =a n 2+a n ,n ∈N ∗，b n =2n +1(2n +a n )(2n+1+a n+1)，对任意的n ∈N ∗，k >T n 恒成立，则k 的最小值是( )A. 1B. 12C. 13D. 16二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 已知集合A ={x||x|≤2,x ∈R}，B ={x|√x ≤4,x ∈Z}，则A ∩B = ______ ．6. 函数y =√3sin2x +cos2x 的最小正周期是______．7. 抛物线y =x 2的准线方程是______．8. 已知方程∣∣∣x−1bx −2∣∣∣=0的一个根是a +2i(其中a ∈R ，i 是虚数单位)，则实数b =______．9. 设x ，y 满足约束条件{2x +3y −3≤02x −3y +3≥0y +3≥0，则z =2x +y 的最小值是____________10. 若a n 是(2+x)n (n ∈N ∗,n ≥2,x ∈R)展开式中x 2项的系数，则n →∞lim(22a 2+23a 3+⋯+2na n)=______．11. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，其三视图是三个全等的等腰直角三角形，则异面直线AC与BD所成的角的余弦值为______．12.为抗击此次疫情，我市某医院从3名呼吸内科医生、4名急诊重症科医生和5名护士中选派5人组成一个抗击疫情医疗小组，则呼吸内科与急诊重症科医生都至少有一人的选派方法种数是______．13.若关于x的方程1|x−1|+|2x+2|−4=a的解集为空集，求实数a的取值范围______．14.已知函数y=f(x)为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数，函数g(x)=f(x−3)+x，数列{a n}为等差数列，且公差不为0，若g(a1)+g(a2)+⋯+g(a9)= 27，则a1+a2+⋯+a9=______．15.已知整数数列{a n}共5项，其中a1=1，a5=4，且对任意1≤i≤4，都有|a i+1−a i|≤2，则符合条件的数列个数为______．16.已知点P(0,2)，椭圆x216+y28=1上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)满足AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，则|2x1+3y1−12|+|2x2+3y2−12|的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，四棱锥O−ABCD的底面是边长为1的菱形，OA=2，∠ABC=60°，OA⊥平面ABCD，M、N分别是OA、BC的中点．(1)求证：直线MN//平面OCD；(2)求点M到平面OCD的距离．18.某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改建．如图所示，平行四边形OMPN区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙AB弧上，点M和点N分别在道路OA和道路OB上，且OA=60米，∠AOB=60°，设∠POB=θ．(1)求停车场面积S关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；(2)当θ为何值时，停车场面积S最大，并求出最大值(精确到0.1平方米)．19.对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0，满足f(−x0)=−f(x0)，则称f(x)为“M类函数”．(1)已知函数f(x)=2cos(x−π3)，试判断f(x)是否为“M类函数”？并说明理由；(2)若f(x)={log2(x2−2mx)−2,x≥3,x<3为其定义域上的“M类函数”，求实数m取值范围．20.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点N(√2,√22)．(1)求椭圆M的方程；(2)若斜率为−12的直线l1与椭圆M交于P，Q两点(点P，Q不在坐标轴上)；证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．(3)设直线l2与椭圆M交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求ABC面积的最大值．21.已知f(x)是定义在[0,+∞)上的函数，满足：①对任意x∈[0,+∞)，均有f(x)>0；②对任意0≤x1<x2，均有f(x1)≠f(x2).数列{a n}满足：a1=0，a n+1=a n+1f(a n)，n∈N∗．(1)若函数f(x)=a⋅2x−1(x≥0)，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，求证：对任意正实数M，均存在n0∈N∗，使得n>n0时，均有a n>M；(3)求证：“函数f(x)在[0,+∞)上单调递增”是“存在n∈N∗，使得f(a n+1)<2f(a n)”的充分非必要条件．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵y=arcsinx的定义域为[−1,1]，∴sin(arcsinx)=x⇔x∈[−1,1]，∵x∈[−π2,π2]推不出x∈[−1,1]，x∈[−1,1]⇒x∈[−π2,π2 ]，∴“x∈[−π2,π2]是“sin(arcsin)=x”的必要非充分条件．故选：B．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．2.【答案】B【解析】解：P(p2,0)，若A，B，F三点共线，设直线AB的方程为：x=my+p2，代入y2=2px可得：y2−2pmy−p2=0，∴y1y2=−p2，∴x1x2=y12y224p =p24．∴x1x2+y1y2=p24−p2=−3p24，又|FA|=x1+p2，|FB|=x2+p2，∴1|FA|+1|FB|=1x1+p2+1x2+p2=x1+x2+px1x2+p2(x1+x2)+p24=x1+x2+pp22+p2(x1+x2)=x1+x2+pp2(x1+x2+p)=2p，设B关于x轴的对称点为B′(x2,−y2)，显然A，F，B′满足条件x1x2=p24，且|FB|=|FB′|，但此时A，F，B′三点不共线，故A，C错误；若x1x2+y⋅y2=−3p24，则y12y224p2+y1y2+3p24=0，解得y1y2=−p2或y1y2=−3p2，故D错误，故选：B．当A，B，F共线时计算各结论，再根据对称点的坐标关系判断是否等价．本题考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．3.【答案】C【解析】 【分析】本题考查曲线的参数方程，属于基础题型．设出当t =t 0时，对应点的坐标为(x 0,y 0)，判断出(−x 0,−y 0)也在曲线上，进而求出结果． 【解答】解：设当t =t 0时，对应点的坐标为(x 0,y 0)， 此时有{x 0=t 03−t 0cost 0y 0=ln(t 0+√t 02+1), 设x =f(t)=t 3−tcost ，y =g(t)=ln(t +√t 2+1)， 对于每一个参数t ，都有唯一对应的x 和y ， 则当t =−t 0时，有{(−t 0)3−(−t 0)cos (−t 0)=−(t 03−t 0cost 0)=−x 0ln[(−t 0)+√(−t 0)2+1]=−ln(t 0+√t 02+1)=−y 0, 即点(−x 0,−y 0)也在曲线Γ上，而点(x 0,y 0)和点(−x 0,−y 0)关于原点对称， 故曲线Γ关于原点对称． 故选：C ．4.【答案】C【解析】解：数列{a n }的前n 项和分别为S n ，且a n >0,2S n =a n 2+a n ,n ∈N ∗， 当n ≥2时，2S n−1=a n−12+a n−1，两式相减得2a n =a n 2−a n−12+a n −a n−1，所以(a n +a n+1)(a n −a n−1−1)=0，整理得a n −a n−1=1(常数)．当n =1时，2a 1=a 12+a 1，解得a 1=1(a 1=0舍去)，故数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列．所以a n =n(首项符合通项)． 所以b n =2n +1(2n +an )(2n+1+an+1)=12n +n −12n+1+n+1，所以T n =(13−16)+(16−111)+⋯+12n +n −12n+1+n+1=13−12n+1+n+1<13， 所以对任意的n ∈N ∗，k >T n 恒成立，只需k ≥13即可． 即k 的最小值为13．故选C．首先利用已知条件利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法、放缩法和恒成立问题的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法和恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．5.【答案】{0,1，2}．【解析】解：∵集合A={x||x|≤2,x∈R}={x|−2≤x≤2}，B={x|√x≤4,x∈Z}={0,1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，∴A∩B={0,1，2}．故答案为：{0,1，2}．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．6.【答案】π【解析】解：y=√3sin2x+cos2x=2(√32sin2x+12cos2x)=2sin(2x+π6)，∵ω=2，∴T=2π2=π．故答案为：π函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及周期公式，将函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．7.【答案】4y+1=0【解析】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=12，所以：p2=14，∴准线方程y=−p2=−14，即4y+1=0．故答案为：4y+1=0．先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=1，再直接代入即可求出其准线方程．本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．8.【答案】5【解析】解：方程∣∣∣x −1b x −2∣∣∣=0可化为 x(x −2)+b =0，把x =a +2i 代入方程，得(a +2i)(a −2+2i)+b =0， 即(a 2−2a −4+b)+(4a −4)i =0，所以{a 2−2a −4+b =04a −4=0， 解得a =1，b =5； 所以实数b =5． 故答案为：5．根据行列式列出方程，把根代入方程，利用复数的运算性质列出方程组求出a 、b 的值． 本题考查了行列式与复数的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．9.【答案】−15【解析】解：x ，y 满足约束条件{2x +3y −3≤02x −3y +3≥0y +3≥0的可行域如图：z =2x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值， 由{y =−32x −3y +3=0，解得A(−6,−3)， 则z =2x +y 的最小值是：−15． 故答案为：−15．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可． 本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．10.【答案】8【解析】解：∵a n 是(2+x)n (n ∈N ∗,n ≥2,x ∈R)展开式中x 2项的系数，又(2+x)n 的展开式的通项公式为T r+1=C n r ⋅2n−r ⋅x r ，令r =2，可得x 2项的系数为C n 2⋅2n−2．∴a n =C n 2⋅2n−2．∴n →∞lim(22a 2+23a 3+⋯+2n a n )=n →∞lim(221+23C n 2⋅2+⋯+2n C n 2⋅2n−2)=n →∞lim(221+22C 32+⋯+22C n 2)=n →∞lim4⋅(11+1C 32+⋯+1C n2)=n →∞lim4⋅(11+22×3+23×4…+2n(n−1))=n →∞lim8⋅(1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1−1n)=n →∞lim8⋅(1−1n)=8，故答案为：8．由题意可得x 2项的系数为C n 2⋅2n−2，即a n =C n 2⋅2n−2.再把要求的式子 n →∞lim(22a 2+23a 3+⋯+2n a n) 化为n →∞lim4⋅(11+1C 32+⋯+1Cn2)，即n →∞lim8⋅(1−1n)，从而得到结果．本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，极限及其运算，属于中档题．11.【答案】√33【解析】解：由三视图可知AB ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，且AB =BD =CD ，以D 为原点建立空间坐标系如图所示：设AB =1，则A(1,0，1)，B(1,0，0)，C(0,1，0)，D(0,0，0)，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−1)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)， ∴cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗ ||DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−1√3×1=−√33． 设AC 与BD 所成的角为α，则cosα=|cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√33． 故答案为：√33．根据三视图得出三棱锥的结构特征，建立空间坐标系，利用平面向量计算异面直线所成角．本题考查了异面直线所成角的计算，属于基础题．12.【答案】611【解析】解：根据题意，有3名呼吸内科医生、4名急诊重症科医生和5名护士共12人，从中选出5人，有C 125=792种选法，其中没有内科医生的选法有C 95=126种，没有重症科医生的选法有C 85=56种， 内科医生和重症科医生都没有，即只有护士的选法有1种， 则有792−126−56+1=611种选派方法；故答案为：611根据题意，首先计算从12人中选出5人的选法，进而计算其中“没有内科医生”、“没有重症科医生”和“内科医生和重症科医生都没有”的选法，分析可得答案．本题考查排列组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题．13.【答案】(−12,0]【解析】解：由已知设y=1|x−1|+|2x+2|−4={13x−3,x≥11 x−1,−1<x<11−3x−5,x≤−1，所以函数的值域为{y|y>0，或y≤−12}，要使1|x−1|+|2x+2|−4=a的解集为空集，只要函数y=1|x−1|+|2x+2|−4与y=a没有交点，所以满足条件的a的取值范围为−12<a≤0．故答案为：(−12,0]．设y=1|x−1|+|2x+2|−4，得到函数的值域，利用y=a在函数值域的补集中即可．本题考查了方程解的个数问题；关键是正确求出函数的值域．14.【答案】27【解析】解：因为函数f(x)为定义域上的奇函数，则f(x)关于(0,0)对称．设ℎ(x)=f(x−3)+x−3，所以ℎ(x)关于(3,0)对称，则ℎ(x)+ℎ(6−x)=0．由g(a1)+g(a2)+⋯…+g(a9)=27可得：f(a1−3)+a1+f(a2−3)+a2+⋯…+f(a9−3)+a9=27，所以f(a1−3)+a1−3+f(a2−3)+a2−3+⋯…+f(a9−3)+a9−3=0即ℎ(a1)+ℎ(a2)+⋯…+ℎ(a9)=0又数列{a n}为等差数列，且ℎ(x)在R上是单调递增函数，所以必有ℎ(a1)+ℎ(a9)=0，则有a1−3+a9−3=0，所以2a5=a1+a9=6，即a5=3所以a1+a2+⋯…+a9=9a5=27故答案为：27．设ℎ(x)=f(x−3)+x−3，则可得ℎ(a1)+ℎ(a2)+⋯…+ℎ(a9)=0，综合等差数列的性质可得；a1+a9=a2+a8=⋯…=a5+a5，再利用函数ℎ(x)的单调性和对称性，即可计算得出．本题主要考查函数综合，函数概念与性质以及等差数列，属于中档题．15.【答案】52【解析】解：根据题意，设x 1=a 2−a 1，x 2=a 3−a 2，x 3=a 4−a 3，x 4=a 5−a 4，x 5=a 5−a 4，∴x 1+x 2+x 3+x 4=3且x 1、x 2、x 3、x 4∈{−2,−1,0，1，2}， 不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4，则(x 1,x 2,x 3,x 4)=(−2,1，2，2)，(−1,1，1，2)，(−1,0，2，2)，(0,0，1，2)，(0,1，1，1)共五类，则符合条件的数列个数为4C 42C 21+4=52，故答案为：52．根据题意，设x 1=a 2−a 1，x 2=a 3−a 2，x 3=a 4−a 3，x 4=a 5−a 4，x 5=a 5−a 4，可得x 1+x 2+x 3+x 4=3且x 1、x 2、x 3、x 4∈{−2,−1,0，1，2}，再利用组合知识进行求解．本题考查排列组合的应用，涉及数列的表示方法，属于基础题．16.【答案】24【解析】解：如图所示，满足AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，可得：λ∈[3−2√2,1]． 直线l 的方程为：2x +3y −12=0． 点A ，P ，B 到直线l 的距离分别为：d 1=|2x 1+3y 1−12|√13，d 0=√13=√13，d 2=22√13．∴|2x 1+3y 1−12|+|2x 2+3y 2−12|=√13(d 1+d 2).λ=1时，d 1+d 2=2d 0=√13，可得√13(d 1+d 2)=12． λ=3−2√2时，d 1+d 2=√2√13+√3√13=√13.可得√13(d 1+d 2)=24．λ∈[3−2√2,1].可得：d 1+d 2∈[12,24]．则|2x 1+3y 1−12|+|2x 2+3y 2−12|的最大值为24． 故答案为：24．如图所示，满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，可得：λ∈[3−2√2,1].直线l 的方程为：2x +3y −12=0.点A ，P ，B 到直线l 的距离分别为：d 1=11√13，d 0=√13=√13，d 2=22√13.|2x 1+3y 1−12|+|2x 2+3y 2−12|=√13(d 1+d 2).λ=1时，d 1+d 2=2d 0.λ=3−2√2时，可得√13(d 1+d 2)=24.进而得出结论．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】(1)证明：取OD 的中点P ，连接PC 、PM ，∵M 、N 分别是OA 、BC 的中点，∴PM//AD ，且PM =12AD ，NC//AD ，且NC =12AD ，∴PM//NC ，且PM =NC ，则PMNC 是平行四边形，得MN//PC ，∵PC ⊂平面OCD ，MN ⊄平面OCD ， ∴直线MN//平面OCD ；(2)解：连接ON 、ND ，设点M 到平面OCD 的距离为d ， 由(1)得，点N 到平面OCD 的距离为d ，设三棱锥O −CDN 的体积为V ，则V =13×S △CDN ×OA =13×S △OCD ×d ， 依题意，S △CDN =12×CD ×CN ×sin∠BCD =√38， ∵AC =AD =CD =1，∴OC =OD =√5，则S △OCD =12×CD ×√5−14=√194．由13×√38×2=13×√194×d ，得点M 到平面OCD 的距离d =√5719．【解析】(1)取OD 的中点P ，连接PC 、PM ，由三角形的中位线定理可得PMNC 是平行四边形，得MN//PC ，再由直线与平面平行的判定可得直线MN//平面OCD ； (2)连接ON 、ND ，设点M 到平面OCD 的距离为d ，可得点N 到平面OCD 的距离为d ，然后利用等体积法求点M 到平面OCD 的距离．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．18.【答案】解：(1)△OPN 中，由正弦定理得，OPsin2π3=ONsin(π3−θ)，即√32=ONsin(π3−θ)，解得ON =40√3sin(π3−θ)；所以停车场面积S 关于θ的函数关系式为S =40√3sin(π3−θ)⋅60sinθ=2400√3sin(π3−θ)sinθ，其中θ∈(0,π3)；(2)由S =2400√3sin(π3−θ)sinθ=2400√3(√32cosθ−12sinθ)⋅sinθ =1200√3(√3sinθcosθ−sin 2θ) =1200√3(√32sin2θ+12cos2θ−12) =1200√3[sin(2θ+π6)−12]；当2θ+π6=π2，即θ=π6时，停车场面积S 最大，最大值为： 1200√3×(1−12)=600√3=600×1.732=1039.2(平方米)．【解析】(1)由正弦定理求得ON ，再计算停车场面积S 关于θ的函数关系式； (2)化简函数解析式S ，求出S 的最大值以及取最大值时对应θ的值． 本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由题意，函数f(x)在定义域内存在实数x 0，满足f(−x 0)=−f(x 0)，可得2cos(−x 0−π3)=−2cos(x 0−π3)，即cos(−x 0−π3)=−cos(x 0−π3)，整理得√3cosx 0=0，所以存在x 0=π2满足f(−x 0)=−f(x 0)所以函数f(x)=2cos(x −π3)是“M 类函数”．(2)由x 2−2mx >0在x ≥3上恒成立，可得m <32，因为f(x)={log 2(x 2−2mx)−2x ≥3x <3为其定义域上的“M 类函数”，所以存在实数x 0使得f(−x 0)=−f(x 0)，①当x 0≥3时，则−x 0≤−3，所以−2=−log 2(x 02−2mx 0)，所以x 02−2mx 0=4，即m =12x 0−2x 0，因为函数y =12x −4x ，x ≥3为单调增函数，所以m ≥56； ②当−3<x 0<3时，−3<−x 0<3，此时−2=2，不成立；③当x 0≤−3，则−x 0≥3，所以log 2(x 02+2mx 0)=2，所以m =−12x 0+2x 0因为函数y =−12x +4x (x ≤−3)为单调减函数，所以m ≥56； 综上所述，求实数m 取值范围[56,32)．【解析】(1)根据题意只需2cos(−x 0−π3)=−2cos(x 0−π3)有解，即可判断f(x)是否为“M 类函数”．(2)由对数函数的性质可得由x 2−2mx >0在x ≥3上恒成立，即m <32；若是“M 类函数”，则存在实数x 0使得f(−x 0)=−f(x 0)，分①当x 0≥3时，②当−3<x 0<3时，③当x 0≤−3，三种情况分析方程f(−x 0)=−f(x 0)，能否有解，即可得m 的取值范围． 本题考查函数的新定义，“M 类函数”，解题中注意三角形数性质的应用，属于中档题． 20.【答案】解：(1)根据题意，设椭圆的上下顶点为B 1(0,b)，B 2(0,−b)，左焦点为F 1(−c,0)， 则△B 1B 2F 1是正三角形，所以2b =√c 2+b 2=a ，则椭圆方程为x 24b 2+y 2b 2=1．将(√2,√22)代入椭圆方程，可得24b 2+12b 2=1，解得a =2，b =1．故椭圆的方程为x 24+y 2=1．(2)证明：设直线u 的方程为y =−12x +m ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 由{y =−12x +mx 24+y 2=1，消去y ，得x 2−2mx +2(m 2−1)=0则△=4m 2−8(m 2−1)=4(2−m 2)>0，且x 1+x 2=2m >0，x 1x 2=2(m 2−1)>0； 故y 1y 2=(−12x 1+m)(−12x 2+m) =14x 1x 2−12m(x 1+x 2)+m 2=m 2−12，k OP k OQ =y 1y 2x 1x 2=14x 1x 2−12m(x 1+x 2)+m 2x 1x 2=14=k PQ2． 即直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列．(3)由题意，设直线v 的方程为x =ky +n ，联立{x 24+y 2=1x =ky +n ，消去x 得(k 2+4)y 2+2kny +n 2−4=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则有y 1+y 2=−2knk 2+4，y 1y 2=n 2−4k 2+4， 因为以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C(2,0)，所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 由CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2,y 1)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−2,y 2)，则(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=0， 将x 1=ky 1+n ，x 2=ky 2+n 代入上式并整理得(k 2+1)y 1y 2+k(n −2)(y 1+y 2)+(n −2)2=0， 则(k 2+1)(n 2−4)k +4+−2k 2n(n−2)k +4+(n −2)2=0，化简得(5n −6)(n −2)=0，解得n =65或n =2， 因为直线x =ky +n 不过点C(2,0)，所以n ≠2，故n =65.所以直线l 恒过点D(65,0)． 故S ABC =12|DC||y 1−y 2|=12×(2−65)√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =25√(−125k k 2+4)2−4(3625−4)k 2+4=825√25(k 2+4)−36(k 2+4)2，设t =1k 2+4(0<t ≤14)，则S ABC =825√−36t 2+25t 在t ∈(0,14]上单调递增， 当t =14时，S ABC =825√−36×116+25×14=1625，所以ABC 面积的最大值为1625．【解析】(1)设椭圆的上下顶点为B 1(0,b)，B 2(0,−b)，左焦点为F 1(−c,0)，椭圆方程为x 24b 2+y 2b 2=1．将(√2,√22)代入椭圆方程，解得a ，b ，即可得到椭圆方程．(2)设直线u 的方程为y =−12x +m ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，由{y =−12x +m x 24+y 2=1，消去y ，得x 2−2mx +2(m 2−1)=0利用韦达定理，转化求解直线的斜率乘积，然后说明直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列．(3)设直线v 的方程为x =ky +n ，联立{x 24+y 2=1x =ky +n，消去x 得(k 2+4)y 2+2kny +n 2−4=0.设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用韦达定理，结合斜率的数量积为0，转化求解n ，得到直线恒过的定点，推出三角形的面积，然后求解最大值．本题考查椭圆方程的求法直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.【答案】解：(1)由f(x)=a ⋅2x −1>0，即a >(12)x 对一切x ∈[0,+∞)恒成立，所以a >1，当a >1时，f(x)在x ∈[0,+∞)上单调递增，所以对任意0≤x 1<x 2，均有f(x 1)≠f(x 2)， 综上，实数a 的取值范围为：a >1；证明(2)：由函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，即对一切x ∈[0,+∞)，均有f(x)≤f(0)， 所以对一切n ∈N ∗，均有f(a n )≤f(0)，可得：a n+1=a n +1f(a n)≥a n +1f(0)，所以：a n =a n −a n−1++a 2−a 1+a 1≥n−1f(0)，对一切n ≥2， 对任意正实数M ，取n 0=[Mf(0)]+2∈N ∗， 当n >n 0时，a n ≥n−1f(0)>n 0−1f(0)>Mf(0)+1−1f(0)=M ；证明：(3)非必要性：取f(x)={x +13−x ，x ∈[0,1]∪[2,+∞)x ∈(1,2)，在[0,+∞)不为增函数，但a 1=0，a 2=a 1+1f(a 1)=1，a 3=a 2+1f(a 2)=32，f(a 2)=2，f(a 3)=32<2f(a 2)，充分性：假设对一切n ∈N ∗，均有f(a n+1)≥2f(a n )>0， 所以：f(a n )≥2n−1f(a 1)=2n−1f(0)，①由递推式a n+1=a n +1f(a n)≤a n +12n−1f(0)≤≤a 1+1f(0)(12n−1++12+1)<2f(0)，因为f 为增函数，所以f(a n+1)≤f(2f(0))，②由①②可知：2n f(0)≤f(2f(0))对一切n ∈N ∗，n ≥2均成立，又A =f(0)>0，B =f(2f(0))>0可知，当n >log 2(AB )时，上述不等式不成立， 所以假设错误，即存在n ∈N ∗，使得f(a n+1)<2f(a n ).【解析】(1)根据定义可得a >(12)x 对一切x ∈[0,+∞)恒成立，即可求出a 的范围； (2)根据函数的单调性可得对一切n ∈N ∗，均有f(a n )≤f(0)，即可证明； (3)分别从必要性和充分性两个方面证明即可．本题考查了数列的函数特征，不等式的证明，充分性和必要性，考查了转化与化归能力，逻辑推理能力，属于难题．。
上海市交大附中高三数学上学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年上海市交大附中高三（上）期中数学试卷一.填空题（本大题共14题，每题4分，共56分）1．已知，则cos（π﹣2α）= ．2．不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为．3．已知与为两个不共线的单位向量，若向量+与向量k﹣垂直，则实数k= ．4．等比数列{a n}的公比q＞0．已知a2=1，a n+2+a n+1=6a n，则{a n}的前4项和S4= ．5．设双曲线﹣=1的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为．6．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．7．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．8．从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n= ．9．设m，n∈Z，已知函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的定义域是[m，n]，值域是[0，2]，若关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解，则m+n= ．10．给出下列命题：①y=1是幂函数；②函数f（x）=2x﹣log2x的零点有且只有1；③的解集为[2，+∞）；④“x＜1”是“x＜2”的充分非必要条件；其中真命题的序号是．11．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．12．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是．13．若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是．14．若数列{a n}是等差数列，数列{b n}满足b n=a n•a n+1•a n+2（n∈N*），{b n}的前n项和用S n表示，若{a n}满足3a5=8a12＞0，则当n等于时，S n取得最大值．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）15．集合A={﹣1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个16．在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限17．若定义域为R的奇函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），那么必在函数y=f﹣1（x+1）图象上的点是（）A．（﹣f（t﹣1），﹣t） B．（﹣f（t+1），﹣t）C．（﹣f（t）﹣1，﹣t） D．（﹣f（t）+1，﹣t）18．“对任意x，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件三.解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分）19．已知：A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}．（1）若A∪B=B，求a的值；（2）若A∩B=B，求a的值．20．设函数．（1）求f（x）的最小正周期．（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时，y=g（x）的最大值．21．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB边（包括端点）上一点F，BC边（包括端点）上一点E满足线段EF分△ABC的面积为相等的两部分；（1）设BF=x，EF=y，将y表示为x的函数；（2）求线段EF长的取值范围．22．已知函数f（x）=2x+a的反函数是y=f﹣1（x），设P（x+a，y1），Q（x，y2），R（2+a，y3）是y=f﹣1（x）图象上不同的三点；（1）求y=f﹣1（x）；（2）如果存在正实数x，使得y1，y2，y3成等差数列，试用x表示实数a；（3）在（2）的条件下，如果实数x是唯一的，试求实数a的取值范围．23．已知数列{a n}中的相邻两项a2k﹣1，a2k是关于x的方程x2﹣（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根，且a2k≤a2k（k=1，2，3，…）﹣1（1）求a1，a3，a5，a7；（2）求数列{a n}的前2n项和S2n；（3）记，，求T n的最值．2015-2016学年上海市交大附中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共14题，每题4分，共56分）1．已知，则cos（π﹣2α）= 0 ．【考点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用．【专题】计算题．【分析】把所求式子先利用诱导公式cos（π﹣α）=﹣cosα化简，然后再利用二倍角的余弦函数公式化为关于sinα的式子，把sinα的值代入即可求出值．【解答】解：∵，∴cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=﹣[1﹣2×]=0．故答案为：0【点评】此题考查了诱导公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．2．不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞} ．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题；压轴题．【分析】由不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0⇔不等式|2x+1|＞2|x﹣1|⇔（2x+1）2＞4（x﹣1）2即可求得答案．【解答】解：∵|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0，∴|2x+1|＞2|x﹣1|≥0，∴（2x+1）2＞4（x﹣1）2，∴x＞．∴不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞}．故答案为：{x|x＞}．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，将不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0转化为（2x+1）2＞4（x﹣1）2是关键，着重考查转化思想与运算能力，属于中档题．3．已知与为两个不共线的单位向量，若向量+与向量k﹣垂直，则实数k= 1 ．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】根据数量积的定义，垂直的两个向量数量为0，因此列式：（ +）（k﹣）=0，结合与为两个单位向量，整理得（k﹣1）（1﹣•）=0，再根据单位向量与不共线，得到1﹣•≠0，从而得到k=1．【解答】解：∵向量+与向量k﹣垂直，∴它们的数量积为零，即：（ +）（k﹣）=0∴k2+（k﹣1）•﹣2=0…（*）∵与为两个单位向量，∴2=2=1所以（*）式化为：k+（k﹣1）•﹣1=0即：（k﹣1）（1﹣•）=0∵单位向量与不共线，∴•＜1⇒1﹣•≠0因此：k=1故答案为：1【点评】本题给出两个特殊的向量，在已知它们垂直的基础之上，求参数k的值，着重考查了单位向量、共线向量和向量的数量积等概念，属于基础题．4．等比数列{a n}的公比q＞0．已知a2=1，a n+2+a n+1=6a n，则{a n}的前4项和S4= ．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据：{a n}是等比数列把a n+2+a n+1=6a n整成理q2+q﹣6=0求得q，进而根据a2求得a1，最后跟等比数列前n项的和求得S4．【解答】解：∵{a n}是等比数列，∴a n+2+a n+1=6a n可化为a1q n+1+a1q n=6a1q n﹣1，∴q2+q﹣6=0．∵q＞0，∴q=2．a2=a1q=1，∴a1=．∴S4===．故答案为【点评】本题主要考查等比数列前n项和公式和等比数列的通项公式．考查了学生对等比数列基础知识点的掌握．5．设双曲线﹣=1的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为．【考点】双曲线的应用．【专题】计算题．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a、b的值，进而可得c的值，可以确定A、F的坐标，设BF的方程为y=（x﹣5），代入双曲线方程解得B的坐标，计算可得答案．【解答】解：a2=9，b2=16，故c=5，∴A（3，0），F（5，0），不妨设BF的方程为y=（x﹣5），代入双曲线方程解得：B（，﹣）．∴S△AFB=|AF|•|y B|=•2•=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线方程的运用，注意关键在与求出B的坐标；解此类面积的题目时，注意要使三角形的底或高与坐标轴平行或重合，以简化计算．6．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】立体几何．【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比．【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴，它们的侧面积相等，∴，∴===．故答案为：．【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目．7．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为78 ．【考点】众数、中位数、平均数．【专题】概率与统计．【分析】设该年级男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a，根据“平均成绩×人数=总成绩”分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩，进而根据“男生的总成绩+女生的总成绩=全班的总成绩”列出方程，结合高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，即可求出这次考试该年级学生平均分数．【解答】解：设该班男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a．根据题意可知：75x+80y=（x+y）×a，且=40%．所以a=78，则这次考试该年级学生平均分数为78．故答案为：78．【点评】本题主要考查了平均数．解答此题的关键：设该班男生有x人，女生有y人，根据平均数的意义即平均成绩、人数和总成绩三者之间的关系列出方程解决问题．8．从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n= 8 ．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】列出从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数的所有取法种数，求出和等于5的种数，根据取出的两数之和等于5的概率为列式计算n的值．【解答】解：从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的情况有：（1，4），（2，3）共2种情况；从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数的所有不同取法种数为，由古典概型概率计算公式得：从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的概率为p=．所以，即，解得n=8．故答案为8．【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了组合数公式，解答此题时既可以按有序取，也可以按无序取，问题的实质是一样的．此题是基础题．9．设m，n∈Z，已知函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的定义域是[m，n]，值域是[0，2]，若关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解，则m+n= 1 ．【考点】根的存在性及根的个数判断；对数函数的定义域；对数函数的值域与最值．【专题】计算题；综合题；压轴题．【分析】由关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解，我们易得m的值，然后根据函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的定义域是[m，n]，值域是[0，2]，结合函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的性质，可求出n的值，进而得到答案．【解答】解：∵f（x）=log2（﹣|x|+4）的值域是[0，2]，∴（﹣|x|+4）∈[1，4]∴﹣|x|∈[﹣3，0]∴|x|∈[0，3]…①若若关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解则m=﹣2又由函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的定义域是[m，n]，结合①可得n=3即：m+n=1故答案：1【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数的判断，对数函数的定义域及对数函数的值域，其中利用关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解，变形得到关于x的方程2|1﹣x|+1=﹣m有唯一的实数解，即﹣m为函数y=2|1﹣x|+1的最值，是解答本题的关键．10．给出下列命题：①y=1是幂函数；②函数f（x）=2x﹣log2x的零点有且只有1；③的解集为[2，+∞）；④“x＜1”是“x＜2”的充分非必要条件；其中真命题的序号是④．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】运动思想；综合法；简易逻辑．【分析】①根据幂函数的定义知，y=1是常数函数，不是幂函数；②函数f（x）=2x﹣log2x的零点个数即为函数y=2x与y=log2x的图象的交点个数，在同一坐标系中画出它们的图象即可；③解不等式即可求得结论；④易知“x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件．【解答】解；①y=1是常数函数，不是幂函数．故错；②根据指数函数和对数函数的图象和性质得：函数f（x）=2x﹣log2x没有零点，故错；③（x﹣2）≥0⇔，或x=0，解得x≥2或x=1，故（x﹣2）≥0的解集为[2，+∞）∪{0}，错；④“x＜1”⇒“x＜2”，但是“x＜2”推不出“x＜1”，因此“x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件，正确；故答案为④．【点评】此题是个基础题．考查利用导数求函数图象在某点的切线方程，不等式的解法，函数零点问题等基础知识，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．11．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【考点】正弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣bc=4．再由余弦定理可得A=，利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积的值．【解答】解：△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理可得（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即 b2+c2﹣bc=4，即b2+c2﹣4=bc，∴cosA===，∴A=．再由b2+c2﹣bc=4，利用基本不等式可得4≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为==，故答案为：．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．12．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立，求出函数函数的最小值即可求出m的取值．【解答】解：依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立．令g（x）=，g′（x）=，∵，∴g′（x）＞0∴当时，函数取得最小值，所以，即（3m2+1）（4m2﹣3）≥0，解得或，故答案为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【点评】本题是较为典型的恒成立问题，难度较大，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解．13．若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是 6 ．【考点】集合的相等．【专题】计算题；集合．【分析】利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论．【解答】解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．【点评】本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．14．若数列{a n}是等差数列，数列{b n}满足b n=a n•a n+1•a n+2（n∈N*），{b n}的前n项和用S n表示，若{a n}满足3a5=8a12＞0，则当n等于16 时，S n取得最大值．【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由3a5=8a12＞0，知3a5=8（a5+7d），a5=﹣＞0，所以d＜0．由a16=a5+11d=﹣d5＞0，a17=a5+12d=＜0，知a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18，b1＞b2＞b3＞…＞b14＞0＞b17＞b18，由此能够推导出S n中S16最大．【解答】解：∵3a5=8a12＞0，∴3a5=8（a5+7d），即a5=﹣＞0，∴d＜0，又a16=a5+11d=﹣＞0，a17=a5+12d=＜0，∴a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18，b1＞b2＞b3＞…＞b14＞0＞b17＞b18，∵b15=a15a16a17＜0，b16=a16a17a18＞0，∴a15=a5+10d=﹣＞0，a18=a5+13d=＜0，∴a15＜﹣a18，∴b15＞﹣b16，b15+b16＞0，∴S16＞S14，则n=16时，S n取得最大值为S16．故答案为：16【点评】本题考查数列和函数的综合运用，解题时要认真审题，注意数列综合知识的合理运用，恰当地进行等价转化．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）15．集合A={﹣1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【考点】子集与真子集．【分析】根据题意，列举出A的子集中，含有元素0的子集，进而可得答案．【解答】解：根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，﹣1}、{﹣1，0，1}，四个；故选B．【点评】元素数目较少时，宜用列举法，当元素数目较多时，可以使用并集的思想．16．在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限．【解答】解：∵z=i（1+2i）=i+2i=﹣2+i，∴复数z所对应的点为（﹣2，1），故选B【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查．17．若定义域为R的奇函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），那么必在函数y=f﹣1（x+1）图象上的点是（）A．（﹣f（t﹣1），﹣t） B．（﹣f（t+1），﹣t）C．（﹣f（t）﹣1，﹣t） D．（﹣f（t）+1，﹣t）【考点】反函数．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由f（﹣t）=﹣f（t）得f﹣1（﹣f（t））=﹣t，再由函数图象的平移规律得出答案．【解答】解；∵f（x）定义在R上的奇函数，∴f（﹣t）=﹣f（t），∴f﹣1（﹣f（t））=﹣t，即（﹣f（t），﹣t）在y=f﹣1（x）的图象上，∵y=f﹣1（x+1）图象是由y=f﹣1（x）的图象向左平移1个单位得到的，∴（﹣f（t）﹣1，﹣t）在y=f﹣1（x+1）图象上．故选：C．【点评】本题考查了奇函数、反函数的性质及函数图象变换，利用互为反函数的函数图象关系是关键．18．“对任意x，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【专题】简易逻辑．【分析】利用二倍角公式化简不等式，利用三角函数线判断充要条件即可．【解答】解：对任意x，ksinxcosx＜x，即对任意x，ksin2x＜2x，当k＜1时，ksin2x＜2x恒成立，但是对任意x，ksinxcosx＜x”，可得k=1也成立，所以“对任意x，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的必要而不充分条件．故选：B．【点评】本题考查充要条件的判断与应用，三角函数线的应用，考查逻辑推理能力．三.解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分）19．已知：A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}．（1）若A∪B=B，求a的值；（2）若A∩B=B，求a的值．【考点】子集与交集、并集运算的转换．【专题】计算题；分类讨论．【分析】（1）先化简集合A，再由A∪B=B知A是B的子集，由此求得a的值．（2）由A∩B=B，知B是A的子集，对集合B进行分类讨论：①若B为空集，②若B为单元集，③若B=A={﹣4，0}，由此求得a的值即可．【解答】解：（1）A={﹣4，0}若A∪B=B，则B⊇A={﹣4，0}，解得：a=1（2）若A∩B=B，则①若B为空集，则△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）=8a+8＜0则a＜﹣1；②若B为单元集，则△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）=8a+8=0解得：a=﹣1，将a=﹣1代入方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0得：x2=0得：x=0即B=0符合要求；③若B=A={﹣4，0}，则a=1综上所述，a≤﹣1或a=1．【点评】本小题主要考查子集与交集、并集运算的转换、一元二次方程的解等基础知识，考查分类讨论思想、方程思想．属于基础题．20．设函数．（1）求f（x）的最小正周期．（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时，y=g（x）的最大值．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）f（x）解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），根据f（x）与g（x）关于直线x=1对称，表示出此点的对称点，根据题意得到对称点在f（x）上，代入列出关系式，整理后根据余弦函数的定义域与值域即可确定出g（x）的最大值．【解答】解：（1）f（x）=sin xcos﹣cos xsin﹣cos x=sin x﹣cos x=（sinx﹣cos x）=sin（x﹣），∵ω=，∴f（x）的最小正周期为T==8；（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=1的对称点（2﹣x，g（x）），由题设条件，点（2﹣x，g（x））在y=f（x）的图象上，从而g（x）=f（2﹣x）=sin[（2﹣x）﹣]=sin[﹣x﹣]=cos（x+），当0≤x≤时，≤x+≤，则y=g（x）在区间[0，]上的最大值为g max=cos=．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．21．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB边（包括端点）上一点F，BC边（包括端点）上一点E满足线段EF分△ABC的面积为相等的两部分；（1）设BF=x，EF=y，将y表示为x的函数；（2）求线段EF长的取值范围．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）过F作FG⊥BE于G，把sinB用含有x的代数式表示，得到FG=，进一步得到EG，然后利用等积法列式可得（x≤5）；（2）利用函数的单调性求得线段EF长的取值范围．【解答】解：（1）设BF=x，EF=y，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，过F作FG⊥BE于G，则=，∴FG=，BG=，则EG=，故有．化简，得：（≤x≤5）．∴（x≤5）；（2）设f（x）=（≤x≤5）．∵f（x）在[]上为减函数，在（]上为增函数，且f（）=，f（5）=13，f（）=4，∴线段WF长的取值范围为．【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．22．已知函数f（x）=2x+a的反函数是y=f﹣1（x），设P（x+a，y1），Q（x，y2），R（2+a，y3）是y=f﹣1（x）图象上不同的三点；（1）求y=f﹣1（x）；（2）如果存在正实数x，使得y1，y2，y3成等差数列，试用x表示实数a；（3）在（2）的条件下，如果实数x是唯一的，试求实数a的取值范围．【考点】反函数．【专题】综合题；分类讨论；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）由y=2x+a，解得x=log2（y﹣a），把x与y互换可得：f﹣1（x）（x＞a）；（2）y1=log2x，y2=log2（x﹣a），y3=log22=1，根据等差数列的性质可得2log2（x﹣a）=1+log2x，化为（x﹣a）2=2x，即可解出．（3）由（x﹣a）2=2x，化为x2﹣2（a+1）x+a2=0在（a，+∞）上有唯一解．分类讨论：当△=0时，当△＞0时，方程的有关根大于a，另一个根小于a（不可能出现一个跟等于a的情形），记g（x）=x2﹣2（a+1）x+a2，只需g（a）＜0即可，解出即可得出．【解答】解：（1）由y=2x+a，解得x=log2（y﹣a），把x与y互换可得：f﹣1（x）=log2（x﹣a）（x ＞a）；（2）y1=log2x，y2=log2（x﹣a），y3=log22=1，∵y1，y2，y3成等差数列，∴2log2（x﹣a）=1+log2x，化为（x﹣a）2=2x，解得a=x﹣，x∈（0，2）∪（2，+∞）．（3）由（x﹣a）2=2x，化为x2﹣2（a+1）x+a2=0在（a，+∞）上由唯一解．当△=4（a+1）2﹣4a2=0时，解得a=﹣，这时方程有唯一解x=，满足条件．当△＞0时，方程的一个根大于a，另一个根小于a（不可能出现一个跟等于a的情形），记g（x）=x2﹣2（a+1）x+a2，只需g（x）＜0即可，解得a＞0．综上可得：a＞0，或a=﹣．【点评】本题考查了对数函数的单调性、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．23．已知数列{a n}中的相邻两项a2k﹣1，a2k是关于x的方程x2﹣（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根，且a2k≤a2k（k=1，2，3，…）﹣1（1）求a1，a3，a5，a7；（2）求数列{a n}的前2n项和S2n；（3）记，，求T n的最值．【考点】数列的求和；数列的概念及简单表示法．【专题】分类讨论；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）方程x2﹣（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根为：x1=3k，x2=2k．根据两项a2k﹣1，a2k是此方程的两个根，且a2k﹣1≤a2k，即可得出．（2）S2n=a1+a2+…+a2n=3×（1+2+…+n）+（2+22+…+2n），分别利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．（3）由于=（﹣1）f（n+1），可得T n=+﹣+…+，可得T1=，T2=．当n≥3时，利用“放缩法”即可得出．【解答】解：（1）方程x2﹣（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根为：x1=3k，x2=2k．∵两项a2k﹣1，a2k是此方程的两个根，且a2k﹣1≤a2k，当k=1时，x1=3，x2=2．∴a1=2；当k=2时，x1=6，x2=4．∴a3=4；当k=3时，x1=9，x2=8．∴a5=8；当k=4时，x1=12，x2=16．∴a7=12．（2）S2n=a1+a2+…+a2n=3×（1+2+…+n）+（2+22+…+2n）=+=+2n+1﹣2．（3）∵=（﹣1）f（n+1），∴=+﹣+…+，∴T1==，T2=+=．当n≥3时，T n≥+﹣+﹣=+，同理可得：T n=﹣﹣+…+≤﹣+≤﹣+=＜．综上可得：≤T n≤．∴T n的最小值与最大值分别为：；．【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系、“放缩法”、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．21。
上海市交大附中2019-2020学年高三下学期期中数学试题
上海市交大附中2019-2020学年高三下学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．计算矩阵的乘积：()300c a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____. 2．计算：012393n n nn n n C C C C ++++=L _____. 3．已知sin cos 22θθ+=，则sin θ=_____. 4．若双曲线2214x y m-=的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为_____. 5．在首项为21，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第________项 6．如图，二面角l αβ--的大小是3π，线段AB ⊂α，B l ∈，AB 与l 所成的角为6π，则AB 与平面β所成的角是_____（用反三角函数表示）7．已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )b A B +-=()sin c b C -，则△ABC 面积的最大值为_____.8．已知函数()lg(1)f x x =+，()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()g x =()f x ，则函数()y g x = ([1,2]x ∈)的反函数是y =_____.9．已知()y f x =是定义在R 上的函数，方程(2019)(2020-)0f x f x +⨯=恰好有7个解，则这7个解的和为_____.10．设0.ab ••是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中a 和b 分别为10以内的非负整数，且a b ¹，0b ≠，若集合••1{|0.,}A n ab n n *==∈N ，则A 中所有元素的和为_____. 11．已知数列{}n a 满足1312n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数（*n ∈N ），127k a =⋅（k 是一个已知的正整数），若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p =_____.12．若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xy x y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________ 13．已知函数()y f x =是R 上的增函数，则对任意12,x x ∈R ，“12x x <”是“12()()f x f x <”的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．非充分非必要 14．已知11z ≠-，111i 1z b z -=+（b ∈R ），2141(+1)z z =-，则z 对应的点在（ ） A ．圆上 B ．抛物线上 C ．双曲线上 D ．椭圆上15．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足2OA OB OA OB ==⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v ，由点集{P |OP uuu v ＝λOA u u u v ＋μOB uuu v，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )A． B．C．D．16．已知1a ，{}234,,1,2,3,4a a a ∈，()1234,,,N a a a a 为1234,,,a a a a 中不同数字的种类，如(1123)3N ，，，，=(1221)2N =，，，，求所有的256个()1234,,,a a a a 的排列所得的()1234,,,N a a a a 的平均值为（ ）A ．8732B ．114C ．17764D ．1756417．如图所示，用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒．（1）求该圆锥的表面积S 和体积V ；（2）求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d ．18．已知函数()sin()f x A x b ωϕ=++（0A >，，2πϕ<）的图象如下图所示（1）求出函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象向右移动3π个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的14（纵坐标不变）得到函数()y g x =的图象，求出函数()y g x =的单调增区间及对称中心.19．若函数()y f x =满足“存在正数λ，使得对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在2x ，使12()()f x f x λ=成立”，则称该函数为“依附函数”．（1）分别判断函数①()2x f x =，②2()log g x x =是否为“依附函数”，并说明理由； （2）若函数()y h x =的值域为[,]m n ，求证：“()y h x =是‘依附函数’”的充要条件是“0[,]m n ∉”．20．如图，已知点P 是x 轴下方（不含x 轴）一点，抛物线2:C y x =上存在不同的两点A 、B 满足PD DA λ=uu u r uu u r ，PE EB λ=uur uu r ，其中λ为常数，且D 、E 两点均在C 上，弦AB 的中点为M ．（1）若P 点坐标为(1,2)-，3λ=时，求弦AB 所在的直线方程；（2）在（1）的条件下，如果过A 点的直线1l 与抛物线C 只有一个交点，过B 点的直线2l 与抛物线C 也只有一个交点，求证：若1l 和2l 的斜率都存在，则1l 与2l 的交点N 在直线PM 上；（3）若直线PM 交抛物线C 于点Q ，求证：线段PQ 与QM 的比为定值，并求出该定值．21．设{}n a 是公差不为零的等差数列，满足6713a a a +=，2224967a a a a +=+，设正项数列{}n b 的前n 项和为n S ，且423n n S b +=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1b 、11x 、2b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数21x 、22x ，使2b 、21x 、22x 、3b 成等差数列；⋅⋅⋅；在n b 和1n b +之间插入n 个数1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x ，使n b 、1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x 、1n b +成等差数列．① 求11212212n n n nn T x x x x x x =+++++++L L ；② 对于①中的n T ，是否存在正整数m 、n ，使得12m n ma T a +=成立？若存在，求出所有的正整数对(,)m n ；若不存在，请说明理由．参考答案1．(3,)a ac【解析】【分析】直接利用矩阵的乘积公式求解即可.【详解】由题得()3(30,0)(3,)00c a b a b a c b a ac ⎛⎫=+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 故答案为：(3,)a ac【点睛】本题主要考查矩阵的乘积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．4n【解析】【分析】先把原式写成0011223333n n n n n n C C C C ++++L ，再利用二项式定理得解.【详解】由题得原式=0011223333(13)4n n n n n n n n C C C C ++++=+=L .故答案为：4n【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．13【解析】【分析】把等式sincos 22θθ+=两边同时平方化简即得解. 【详解】 由题得221sin cos +2sin cos ,sin 2222343θθθθθ+=∴=. 故答案为：13【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式的应用，考查同角的平方关系的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．【解析】【分析】由题得243,m +=解方程即得解.【详解】由题得20,43,5m m m >+=∴=.所以双曲线的虚轴长为故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5．5【解析】【分析】先求出等比数列的通项，再列举出数列的前几项，比较即得解.【详解】 由题得等比数列的通项为112341212121=21(),21,,,,2248n n a a a a a -⨯∴==== 5621211.31,0.66,1632a a =≈=≈ 所以521 1.3116a =≈与1最接近. 所以最接近于1的项是第5项.故答案为：5【点睛】本题主要考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6． 【解析】【分析】 如图，过点A 作AO β⊥,垂足为O ,过点A 作AC l ⊥，垂足为C ,连接,OB OC ，证明3ACO π∠=，不妨设1,AC =根据已知求出2,2AB AO ==求出sin 4ABO ∠=即得解.【详解】如图，过点A 作AO β⊥,垂足为O ,过点A 作AC l ⊥，垂足为C ,连接,OB OC .因为AO β⊥，所以AO l ⊥，因为AC l ⊥，,AO AC ⊂平面AOC ,AO AC A =I ,所以l ⊥平面AOC ，所以l OC ⊥,所以ACO ∠就是二面角l αβ--的平面角，所以3ACO π∠=.由题得6ABC π∠=,不妨设1,2,AC AB AO =∴== 由题得AB 与平面β所成的角是ABO ∠,所以2sin 24ABO ∠==.所以ABO ∠=.故答案为：【点睛】 本题主要考查空间二面角的平面角的作法和计算，考查空间直线和平面所成的角的作法和计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7【解析】【分析】由正弦定理化简已知可得222a b c bc -=-，结合余弦定理可求A 的值，由基本不等式可求4bc „，再利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】因为(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-(2)()()b a b c b c ∴+-=-2222a b ab b c bc ∴-+-=-，又因为2a =， 所以2222222221,,cos ,223b c a a b c bc b c a bc A A bc π+--=-∴+-=∴==∴=，ABC ∆面积1sin 2S bc A ==， 而222b c a bc +-=222b c bc a ∴+-=2242b c bc bc bc ∴+-=≥-4bc ∴„所以1sin 2S bc A =„ABC ∆【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式和三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力． 8．310([0,lg 2])x x -∈【解析】【分析】先根据偶函数性质求出[1x ∈-，0]上的解析式，再根据周期为2求出[1x ∈，2]上的解析式，最后求出反函数．【详解】当10x -剟时，01x -剟，()()(1)f x f x lg x ∴=-=-+， 当12x 剟时，120x --剟，()(2)[(2)1](3)f x f x lg x lg x ∴=-=--+=-+． ()(3)(12)g x lg x x ∴=-+剟，()310g x x ∴-+=，()310g x x ∴=-，所以1()310x g x -=-，()(3)(12)g x lg x x =-+Q 剟是减函数，()[0,lg 2]g x ∈所以1()310x g x -=-，(02)x lg 剟. 故答案为：310([0,lg 2])x x -∈【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查根据函数的奇偶性周期性求解析式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．3.5【解析】【分析】先分析出原方程的两根应满足(1)1αα+-=，再得到原方程的这7个根为11,,1,,1,2ααββγλ---，,即得解.【详解】若α满足(2019)0f α+=，则取1x α=-，则(2020)(2019)0f x f α-=+=，则1α-也是原方程的一根.所以原方程的两根应满足(1)1αα+-=，既然有7个根，所以应有一根满足1(1),2ααα=-∴=. 所以这7个根为11,,1,,1,2ααββγγ---，, 所以它们的和为13+=3.52. 故答案为：3.5【点睛】 本题主要考查方程的零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 10．143【解析】【分析】由无限循环小数可写成等比数列的无穷项和，可得分数形式，再由列举法可得集合A ，求和可得所求．【详解】0.ab&&是一个循环节长度为两位的循环纯小数， 即0.0.ab =&&0.100.001991100ab a b ab ab ⨯+++⋯==-， 1{|0.A n ab n==&&，*110}{|99a b n N n n +∈==，*}n N ∈， a 和b 分别为10以内的非负整数，且a b ¹，0b ≠，可得0a =，1b =，99n =；0a =，3b =，33n =；0a =，9b =，11n =； 0a ≠时，不存在满足题意的n ，则A 中所有元素的和为993311143++=．故答案为：143【点睛】本题考查无限循环小数化为分数的方法和集合中元素的求法，注意运用列举法，考查化简运算能力，属于基础题．11．1【解析】【分析】先分析出当1k =时，当2k =时，得1p =，再说明127k a =⋅时，17k a +=，222,k a +=列举出该数列，即得解. 【详解】由题得127k a =⋅是一个偶数，所以112272722k k a a -===g g ，当1k =时，234567897,22,11,34,17,52,26,13,a a a a a a a a ========101112131415161718192040,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,a a a a a a a a a a a =========== 211,a =L L ，所以1p =；当2k ≥时，1227k a -=g 是偶数，所以223272k a a -==g ， 当2k =时，同理可得1p =；L L ； 所以127k a =⋅时，17k a +=，222,k a +=所以从第1k +项起的数列为7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,L 所以1p =. 故答案为：1 【点睛】本题主要考查递推数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 12．1.4【解析】 【分析】根据等式两边范围确定,x y 满足条件，再根据二次函数性质求xy 的最小值. 【详解】∵()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+，∴10x y -+＞，()()()()2221121111111x y xyx y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+Q()1121x y x y ∴-++≥=-+,当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥Q ，当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xyx y x y x y ，即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈，即()12k x y k Z π+==∈， 因此21124k xy π+⎛⎫=≥⎪⎝⎭（当且仅当0k =时取等号）， 从而xy 的最小值为1.4【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 13．C 【解析】 【分析】先证明充分性，再证明必要性，即得解. 【详解】当12x x <时，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以12()()f x f x <，所以“12x x <”是“12()()f x f x <”的充分条件；当12()()f x f x <时，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以12x x <，所以所以“12x x <”是“12()()f x f x <”的必要条件.综合得“12x x <”是“12()()f x f x <”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，考查函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．B 【解析】 【分析】先求出214+1bi z b z =-，再求出12221+1biz b+=+，代入得22z b bi =--，设,z x yi =+即得解. 【详解】由题得22111111122211111123(23)31341(+1)(+1)(+1)+1+1+1z z z z z z z z bi z z z z z z --+-+-+-+=-===-=-⋅g 211111444()+1+1+1z bibi bi bi b z z z -+=-⋅=--⋅=-. 所以214+1biz b z =-因为111i 1z b z -=+，所以21112121i(1),1b bi z b z z b-+-=+∴=+. 所以12221+1bi z b+=+，代入214+1bi z b z =-得22z b bi =--. 设2,(,),,2z x yi x y R x b y b =+∈∴=-=-， 消去b 得24y x =-. 所以z 对应的点在抛物线上. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.15．D 【解析】由2OA OB OA OB u u u v u u u v u u u v u u u v==⋅=知：21cos ,,,2223OA OB OA OB OA OB OA OBπ⋅===∴=⨯⨯u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v . 不妨设()(()2,0,,,OA OB OP x y ===u u u v u u u v u u u v ，则：2x y λμ=+⎧⎪⎨=⎪⎩.解得12x μλ⎧=⎪⎪⎨⎛⎪=⎪⎝⎩由|λ|＋|μ|≤1得2y y -+≤作出可行域，如图所示．则所求面积1242S =⨯⨯=本题选择D 选项.16．D 【解析】 【分析】本题首先可以确定()1234,,,N a a a a 的所有可能取值分别为1234、、、，然后分别计算出每一种取值所对应的概率，最后根据每一种取值所对应的概率即可计算出()1234,,,N a a a a 的平均值。
上海市交大附中2020届高三数学下学期期中试题(含解析)
上海市交大附中2020届高三数学下学期期中试题〔含解析〕一． 填空题1.计算矩阵的乘积 : ()300c ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____. 【答案】(3,)a ac【解析】【分析】直接利用矩阵的乘积公式求解即可. 【详解】由题得()3(30,0)(3,)00c a b a b a c b a ac ⎛⎫=+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 故答案为 : (3,)a ac【点睛】此题主要考查矩阵的乘积 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 , 属于基础题.2.计算 : 012393n n n n n n C C C C ++++=_____.【答案】4n【解析】【分析】先把原式写成0011223333n n n n n n C C C C ++++ , 再利用二项式定理得解. 【详解】由题得原式=0011223333(13)4n n n n n n n n C C C C ++++=+=. 故答案为 : 4n【点睛】此题主要考查二项式定理的应用 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.已知23sincos 223θθ+= , 那么sin θ=_____. 【答案】13【解析】【分析】 把等式23sin cos 223θθ+=两边同时平方化简即得解.【详解】由题得221sincos +2sin cos ,sin 2222343θθθθθ+=∴=. 故答案为 : 13【点睛】此题主要考查二倍角的正弦公式的应用 , 考查同角的平方关系的应用 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.假设双曲线2214x y m-=的焦距为6 , 那么该双曲线的虚轴长为_____. 【答案】25【解析】【分析】由题得243,m +=解方程即得解.【详解】由题得20,43,5m m m >+=∴=. 所以双曲线的虚轴长为25.故答案为 : 25【点睛】此题主要考查双曲线的简单几何性质 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 , 属于基础题.5.在首项为21 , 公比为12的等比数列中 , 最接近于1的项是第________项 【答案】5【解析】【分析】先求出等比数列的通项 , 再列举出数列的前几项 , 比拟即得解. 【详解】由题得等比数列的通项为112341212121=21(),21,,,,2248n n a a a a a -⨯∴==== 5621211.31,0.66,1632a a =≈=≈ 所以521 1.3116a =≈与1最接近. 所以最接近于1项是第5项.故答案为 : 5【点睛】此题主要考查等比数列的通项 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 , 属于基础题.6.如以下图 , 二面角l αβ--的大小是3π , 线段AB ⊂α , B l ∈ , AB 与l 所成的角为6π , 那么AB 与平面β所成的角是_____〔用反三角函数表示〕【答案】3arcsin4【解析】【分析】 如以下图 , 过点A 作AO β⊥,垂足为O ,过点A 作AC l ⊥ , 垂足为C ,连接,OB OC , 证明3ACO π∠=, 不妨设1,AC =根据已知求出32,,2AB AO ==求出3sin 4ABO ∠=即得解. 【详解】如以下图 , 过点A 作AO β⊥,垂足为O ,过点A 作AC l ⊥ , 垂足为C ,连接,OB OC . 因为AO β⊥ , 所以AO l ⊥ , 因为AC l ⊥ ,,AO AC ⊂平面AOC ,AO AC A ⋂=,所以l ⊥平面AOC , 所以l OC ⊥,所以ACO ∠就是二面角l αβ--的平面角 , 所以3ACO π∠=.由题得6ABC π∠=,不妨设31,2,,2AC AB AO =∴==由题得AB 与平面β所成的角是ABO ∠, 所以332sin 24ABO ∠==. 所以3arcsin 4ABO ∠=. 故答案为 : 3arcsin 4【点睛】此题主要考查空间二面角的平面角的作法和计算 , 考查空间直线和平面所成的角的作法和计算 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边 , 2a = , 且(2)(sin sin )b A B +-=()sin c b C - , 那么△ABC 面积的最大值为_____. 【答案】3【解析】【分析】由正弦定理化简已知可得222a b c bc -=- , 结合余弦定理可求A 的值 , 由基本不等式可求4bc , 再利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】因为(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-(2)()()b a b c b c ∴+-=-2222a b ab b c bc ∴-+-=- ,又因为2a = , 所以2222222221,,cos ,223b c a a b c bc b c a bc A A bc π+--=-∴+-=∴==∴= , ABC ∆面积13sin 24S bc A bc == , 而222b c a bc +-=222b c bc a ∴+-=2242b c bc bc bc ∴+-=≥-4bc ∴所以13sin 324S bc A bc == , 即ABC ∆面积的最大值为3．故答案为 : 3．【点睛】此题主要考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式和三角形面积公式在解三角形中的应用 , 考查了计算能力和转化思想 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．8.已知函数()lg(1)f x x =+ , ()g x 是以2为周期的偶函数 , 且当01x ≤≤时 , 有()g x =()f x , 那么函数()y g x = ([1,2]x ∈)的反函数是y =_____.【答案】310([0,lg2])x x -∈【解析】【分析】先根据偶函数性质求出[1x ∈- , 0]上的解析式 , 再根据周期为2求出[1x ∈ , 2]上的解析式 , 最后求出反函数．【详解】当10x -时 , 01x - , ()()(1)f x f x lg x ∴=-=-+ ,当12x 时 , 120x -- , ()(2)[(2)1](3)f x f x lg x lg x ∴=-=--+=-+．()(3)(12)g x lg x x ∴=-+ ,()310g x x ∴-+= , ()310g x x ∴=- ,所以1()310x g x -=- ,()(3)(12)g x lg x x =-+是减函数 ,()[0,lg 2]g x ∈所以1()310x g x -=- , (02)x lg .故答案为 : 310([0,lg2])x x -∈【点睛】此题主要考查反函数的求法 , 考查根据函数的奇偶性周期性求解析式 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知()y f x =是定义在R 上的函数 , 方程(2019)(2020-)0f x f x +⨯=恰好有7个解 , 那么这7个解的和为_____.【答案】3.5【解析】【分析】先分析出原方程的两根应满足(1)1αα+-= , 再得到原方程的这7个根为11,,1,,1,2ααββγλ---，,即得解.【详解】假设α满足(2019)0f α+= ,那么取1x α=- , 那么(2020)(2019)0f x f α-=+= , 那么1α-也是原方程的一根. 所以原方程的两根应满足(1)1αα+-= ,既然有7个根 , 所以应有一根满足1(1),2ααα=-∴=. 所以这7个根为11,,1,,1,2ααββγγ---，, 所以它们的和为13+=3.52. 故答案为 : 3.5 【点睛】此题主要考查方程的零点 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.设0.ab ••是一个循环节长度为两位的循环纯小数 , 其中a 和b 分别为10以内的非负整数 , 且a b , 0b ≠ , 假设集合••1{|0.,}A n ab n n *==∈N , 那么A 中所有元素的和为_____. 【答案】143【解析】【分析】由无限循环小数可写成等比数列的无穷项和 , 可得分数形式 , 再由列举法可得集合A , 求和可得所求．【详解】0.ab 是一个循环节长度为两位的循环纯小数 ,即0.0.ab =0.100.001991100ab a b ab ab ⨯+++⋯==- , 1{|0.A n ab n== , *110}{|99a b n N n n +∈== , *}n N ∈ , a 和b 分别为10以内的非负整数 , 且a b , 0b ≠ , 可得0a = , 1b = , 99n = ; 0a = , 3b = , 33n = ; 0a = , 9b = , 11n = ;0a ≠时 , 不存在满足题意的n ,那么A 中所有元素的和为993311143++=．故答案为 : 143【点睛】此题考查无限循环小数化为分数的方法和集合中元素的求法 , 注意运用列举法 , 考查化简运算能力 , 属于基础题．11.已知数列{}n a 满足1312n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数〔*n ∈N 〕 , 127k a =⋅〔k 是一个已知的正整数〕 , 假设存在*m ∈N , 当n m >且n a 为奇数时 , n a 恒为常数p , 那么p =_____.【答案】1【解析】【分析】先分析出当1k =时 , 当2k =时 , 得1p = , 再说明127k a =⋅时 , 17k a += , 222,k a +=列举出该数列 , 即得解.【详解】由题得127k a =⋅是一个偶数 , 所以112272722k k a a -=== , 当1k =时 , 234567897,22,11,34,17,52,26,13,a a a a a a a a ========101112131415161718192040,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,a a a a a a a a a a a =========== 211,a = , 所以1p = ; 当2k ≥时 , 1227k a -=是偶数 , 所以223272k a a -== , 当2k =时 , 同理可得1p = ;; 所以127k a =⋅时 , 17k a += , 222,k a +=所以从第1k +项起的数列为7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,所以1p =.故答案为 : 1【点睛】此题主要考查递推数列的性质 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.假设实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xy x y x y ++--+-=-+.那么xy 的最小值为____________ 【答案】1.4【解析】【分析】根据等式两边范围确定,x y 满足条件 , 再根据二次函数性质求xy 的最小值.【详解】∵()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+ , ∴10x y -+＞ , ()()()()2221121111111x y xy x y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+ ()()11121211x y x y x y x y ∴-++≥-+⋅=-+-+, 当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥ , 当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xy x y x y x y ，即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈ ,即()12k x y k Z π+==∈ , 因此21124k xy π+⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭〔当且仅当0k =时取等号〕 , 从而xy 的最小值为1.4【点睛】在利用基本不等式求最值时 , 要特别注意〞拆、拼、凑〞等技巧 , 使其满足基本不等式中〞正〞(即条件要求中字母为正数)、〞定〞(不等式的另一边必须为定值)、〞等〞(等号取得的条件)的条件才能应用 , 否那么会出现错误.二． 选择题13.已知函数()y f x =是R 上的增函数 , 那么对任意12,x x ∈R , 〞12x x <〞是〞12()()f x f x <〞的〔 〕条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 非充分非必要【答案】C【解析】【分析】先证明充分性 , 再证明必要性 , 即得解.【详解】当12x x <时 , 因为函数()y f x =是R 上的增函数 , 所以12()()f x f x < , 所以〞12x x <〞是〞12()()f x f x <〞的充分条件 ;当12()()f x f x <时 , 因为函数()y f x =是R 上的增函数 , 所以12x x < , 所以所以〞12x x <〞是〞12()()f x f x <〞的必要条件. 综合得〞12x x <〞是〞12()()f x f x <〞的充分必要条件.应选 : C.【点睛】此题主要考查充分必要条件的判定 , 考查函数单调性的应用 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.已知11z ≠- ,111i 1z b z -=+〔b ∈R 〕 , 2141(+1)z z =- , 那么z 对应的点在〔 〕 A. 圆上B. 抛物线上C. 双曲线上D. 椭圆上【答案】B【解析】【分析】先求出214+1bi z b z =- , 再求出12221+1bi z b+=+ , 代入得22z b bi =-- , 设,z x yi =+即得解.【详解】由题得22111111122211111123(23)31341(+1)(+1)(+1)+1+1+1z z z z z z z z bi z z z z z z --+-+-+-+=-===-=-⋅ 211111444()+1+1+1z bi bi bi bi b z z z -+=-⋅=--⋅=-. 所以214+1bi z b z =- 因为111i 1z b z -=+ , 所以21112121i(1),1b bi z b z z b-+-=+∴=+. 所以12221+1bi z b+=+ , 代入214+1bi z b z =-得22z b bi =--. 设2,(,),,2z x yi x y R x b y b =+∈∴=-=- , 消去b 得24y x =-.所以z 对应的点在抛物线上.应选 : B【点睛】此题主要考查复数的运算和复数的轨迹问题 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.15.在平面直角坐标系中 , O 是坐标原点 , 两定点A , B 满足2OA OB OA OB ==⋅= , 由点集{P |OP ＝λOA ＋μOB , |λ|＋|μ|≤1 , λ , μ∈R }所表示的区域的面积是( )A. 22B. 23C. 42D. 43【答案】D【解析】由2OA OB OA OB ==⋅=知 :21cos ,,,2223OA OB OA OB OA OBOA OBπ⋅===∴=⨯⨯. 不妨设()()()2,0,1,3,,OA OB OP x y === , 那么 : 23x y λμμ=+⎧⎪⎨=⎪⎩.解得3123y y x μλ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩由|λ|＋|μ|≤1得3223x y y -+≤.作出可行域 , 如以下图． 那么所求面积1243432S =⨯⨯⨯=. 此题选择D 选项.16.已知1a , {}234,,1,2,3,4a a a ∈ , ()1234,,,N a a a a 为1234,,,a a a a 中不同数字的种类 ,如(1123)3N ，，，，=(1221)2N =，，， , 求所有的256个()1234,,,a a a a 的排列所得的()1234,,,N a a a a 的平均值为〔 〕A.8732B.114C.17764D.17564【答案】D 【解析】 【分析】此题首先可以确定()1234,,,N a a a a 的所有可能取值分别为1234、、、 , 然后分别计算出每一种取值所对应的概率 , 最后根据每一种取值所对应的概率即可计算出()1234,,,N a a a a 的平均值．【详解】由题意可知 :当()1234,,,1N a a a a =时 , 14114464P =⨯= ; 当()1234,,,2N a a a a =时 , ()1214442468421425664C C C P ⨯++=== ;当()1234,,,3N a a a a =时 , ()34436+3+31449425616P ⨯=== ; 当()1234,,,4N a a a a =时 , 4444243==425632A P = ,综上所述 , 所有的256个()1234,,,a a a a 的排列所得的()1234,,,N a a a a 的平均值为 :121931751+2+3+4=6464163264⨯⨯⨯⨯ , 应选D ． 【点睛】此题考查了平均值的计算 , 能否通过题意得出()1234,,,N a a a a 的所有可能情况并计算出每一种可能情况所对应的概率是解决此题的关键 , 考查推理能力与计算能力 , 是难题． 三． 解答题17.如以下图 , 用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥 , 放在水平桌面上 , 被一阵风吹倒．〔1〕求该圆锥的外表积S 和体积V ;〔2〕求该圆锥被吹倒后 , 其最高点到桌面的距离d ． 【答案】〔1〕=50S π厘米 , 12533V π=立方厘米 ; 〔2〕53h =厘米． 【解析】 【分析】〔1〕设底面半径为r 厘米 , 母线的长为l 厘米 , 求出圆锥的高 , 利用公式即可求出该圆锥的外表积S 和体积V ;〔2〕根据圆锥的轴截面为等边三角形 , 且边长为10厘米即可求出最高点到桌面的距离d ．【详解】〔1〕设底面半径为r 厘米 , 母线的长为l 厘米 , 那么10l =厘米 , 且r l 2π=π , 解得 : =5r 厘米 ,外表积=50S rl ππ=〔平方厘米〕 , 圆锥的高2253h l r =-=〔厘米〕 , ∴体积21125333V r h ππ==〔立方厘米〕． 〔2〕∵圆锥的轴截面为等边三角形 , 且边长为10厘米 , ∴最高点到底面的距离为等边三角形的高 , 53h =厘米．【点睛】此题主要考查圆锥的外表积和体积的计算 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知函数()sin()f x A x b ωϕ=++〔0A > ,, 2πϕ<〕的图象如以下图所示〔1〕求出函数()f x 的解析式 ; 〔2〕假设将函数()f x 的图象向右移动3π个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的14〔纵坐标不变〕得到函数()y g x =的图象 , 求出函数()y g x =的单调增区间及对称中心. 【答案】〔1〕1()4sin()223f x x π=++ ;〔2〕[,],36k k k Z ππππ-+∈ , (,2),212k k Z ππ-∈.【解析】 【分析】〔1〕通过函数的图象求出振幅 , 周期 , 以及b ．求出函数f 〔x 〕的解析式 ;〔2〕利用平移变换的运算求出函数y ＝g 〔x 〕的解析式 , 通过正弦函数的单调增区间求解函数单调增区间及对称中心． 【详解】〔1〕 6422A b A A b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-+=-=⎩⎩由图可得212422T T πππωω=⇒==⇒= 且()62,362f k k Z πππϕπ=⇒+=+∈而2πϕ<,故3πϕ=综上1()4sin()223f x x π=++〔2〕显然()4sin(2)26g x x π=++由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得()g x 的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈.. 由2,(,2),6212k x k k Z k Z ππππ+=∈⇒-∈. 【点睛】此题考查三角函数的解析式的求法 , 平移变换以及正弦函数的单调区间 , 对称中心的求法 , 考查计算能力．19.假设函数()y f x =满足〞存在正数λ , 使得对定义域内的每一个值1x , 在其定义域内都存在2x , 使12()()f x f x λ=成立〞 , 那么称该函数为〞依附函数〞．〔1〕分别判断函数①()2x f x = , ②2()log g x x =是否为〞依附函数〞 , 并说明理由 ; 〔2〕假设函数()y h x =的值域为[,]m n , 求证 : 〞()y h x =是‘依附函数’〞的充要条件是〞0[,]m n ∉〞．【答案】〔1〕①是 , ②不是 ; 理由详见解析〔2〕详见解析． 【解析】 【分析】〔1〕①可取1λ= , 说明函数()2x f x =是〞依附函数〞 ; ②对于任意正数λ , 取11x = , 此时关于2x 的方程12()()g x g x λ=无解 , 说明2()log g x x =不是〞依附函数〞 ;〔2〕先证明必要性 , 再证明充分性 , 即得证.【详解】〔1〕①可取1λ= , 那么对任意1x ∈R , 存在21x x =-∈R , 使得12221x x ⋅=成立 ,〔说明 : 可取任意正数λ , 那么221log x x λ=-〕 ∴()2x f x =是〞依附函数〞 ,②对于任意正数λ , 取11x = , 那么1()0g x = ,此时关于2x 的方程12()()g x g x λ=无解 , ∴2()log g x x =不是〞依附函数〞． 〔2〕必要性 : 〔反证法〕假设0[,]m n ∈ ,∵()y h x =的值域为[,]m n , ∴存在定义域内的1x , 使得1()0h x = , ∴对任意正数λ , 关于2x 的方程12()()h x h x λ=无解 , 即()y h x =不是依附函数 , 矛盾 , 充分性 : 假设0[,]m n ∉ , 取0mn λ=> ,那么对定义域内的每一个值1x , 由1()[,]h x m n ∈ , 可得1[,][,]()m n h x n mλλλ∈= , 而()y h x =的值域为[,]m n , ∴存在定义域内的2x , 使得21()()h x h x λ= , 即12()()h x h x λ=成立 ,∴()y h x =是〞依附函数〞．【点睛】此题主要考查函数的新定义 , 考查充分必要条件的证明 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.如以下图 , 已知点P 是x 轴下方〔不含x 轴〕一点 , 抛物线2:C y x =上存在不同的两点A 、B 满足PD DA λ= , PE EB λ= , 其中λ为常数 , 且D 、E 两点均在C 上 , 弦AB 的中点为M ．〔1〕假设P 点坐标为(1,2)- , 3λ=时 , 求弦AB 所在的直线方程 ;〔2〕在〔1〕的条件下 , 如果过A 点的直线1l 与抛物线C 只有一个交点 , 过B 点的直线2l 与抛物线C 也只有一个交点 , 求证 : 假设1l 和2l 的斜率都存在 , 那么1l 与2l 的交点N 在直线PM 上 ;〔3〕假设直线PM 交抛物线C 于点Q , 求证 : 线段PQ 与QM 的比为定值 , 并求出该定值．【答案】〔1〕230x y -+= ; 〔2〕详见解析 ; 〔3〕证明详见解析 , 定值为1+λλ． 【解析】 分析】〔1〕设11(,)A x y , 22(,)B x y , 得到211230x x --=和222230x x --= , 即得,A B 的坐标 , 即得弦AB 所在的直线方程 ;〔2〕先求出1:690l x y --= , 2:210l x y ++= , 再求出交点(1,3)N - , 即得证 ;〔3〕先求出直线PM 的方程为0x x = , 得到200(12)(1)M x y y λλλ+-+= , 20Q y x = , 即得线段PQ 与QM 的比.【详解】〔1〕设11(,)A x y , 22(,)B x y , 由3PD DA = , 3PE EB = ,可得111323(,)44x y D +-+ , 221323(,)44x y E +-+ , 由D 点在C 上可得 :2112313()44y x -++= , 化简得 : 211230x x --= , 同理可得 : 222230x x --= ,∵A 、B 两点不同 , 不妨设(3,9)A , (1,1)B - , ∴弦AB 所在的直线方程为230x y -+=．〔2〕由〔1〕可知 , (3,9)A , (1,1)B - , 设11:9(3)l y k x -=- , 与2:C y x =联立 , 并令0∆= , 可得16k = , 同理2l 的斜率22k =- , ∴1:690l x y --= , 2:210l x y ++= ,解方程组得交点(1,3)N - , 而直线PM 的方程为1x = , 得证．〔3〕设00(,)P x y , 211(,)A x x , 222(,)B x x , 由PD DA λ= , 得20101(,)11x x y x D λλλλ++++ ,代入2yx , 化简得 : 22101002(1)0x x x y x λλλ-++-= , 同理可得 : 22202002(1)0x x x y x λλλ-++-= ,显然12x x ≠ , ∴1x 、2x 是方程220002(1)0x x x y x λλλ-++-=的两个不同的根 ,∴1202x x x += , 20012(1)y x x x λλ+-⋅=,∴1202M x x x x +== , 即直线PM 的方程为0x x = , ∵2220012(12)(1)2M x y x x y λλλ+-++==, 20Q y x = , ∴200(1)(1)M Q x y y y λλλ+-+-=, 200Q P y y x y -=- ,所以线段PQ 与QM 的比为200200(1)(1)1Q PM Q y y x y y x y y λλλλλ-==+-+--+∴线段PQ 与QM 的比为定值1λλ+．【点睛】此题主要考查直线和抛物线的位置关系 , 考查直线方程的求法 , 考查抛物线的定值问题 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.设{}n a 是公差不为零的等差数列 , 满足6713a a a += , 2224967a a a a +=+ , 设正项数列{}n b 的前n 项和为n S , 且423n n S b +=．〔1〕求数列{}n a 和{}n b 的通项公式 ;〔2〕在1b 和2b 之间插入1个数11x , 使1b 、11x 、2b 成等差数列 ; 在2b 和3b 之间插入2个数21x 、22x , 使2b 、21x 、22x 、3b 成等差数列 ; ⋅⋅⋅ ; 在n b 和1n b +之间插入n 个数1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x , 使n b 、1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x 、1n b +成等差数列．① 求11212212n n n nn T x x x x x x =+++++++ ;② 对于①中的n T , 是否存在正整数m 、n , 使得12m n ma T a +=成立 ？假设存在 , 求出所有的正整数对(,)m n ; 假设不存在 , 请说明理由． 【答案】〔1〕n a n = , 1123n nb -=⋅ ; 〔2〕①123(3)43n nn T +=- ; ②存在符合题意的正整数对(,)m n , 它们为(3,3)和(9,2)． 【解析】 【分析】〔1〕求出等差数列的首项和公差即得数列{}n a 的通项公式 , 由题得当2n ≥时 ,423n n S b += , 11423n n S b --+= , 相减即得{}n b 的通项公式 ;〔2〕①1223112()()()222n n n nT b b b b b b +=++++++ , 再利用错位相减法求和得解 ; ②假设存在正整数,m n , 使得12m n m a T a +=, 化简得2(23)23(23)n n m n +=+-+ , 令()33(23)n f n n =-+ , 证明4n ≥时 ,2(23)3(23)nn n +∉-+Z , 列举得解. 【详解】〔1〕设数列{}n a 的公差为()d d ≠0 , 那么由6713a a a +=可得1a d = ,再由2224967a a a a +=+化简得 : 244d d = , 解得 : 1d = , ∴n a n = ,当1n =时 , 11423S b +=得 : 112b =; 当2n ≥时 , 423n n S b += , 11423n n S b --+= ,两式相减得113n n b b -=, ∴1123n n b -=⋅．〔2〕①1223112()()()222n n n nT b b b b b b +=++++++ ,123121113521[35(21)][1]243333n n n n n nb b b n b nb +--=++++-+=+++++ , 设2135211333n n P --=++++ ,所以2311352133333nn P -=++++, 上面两式错位相减得23122222211++333333n nn P --=+++-, 所以1111[1()]2211211331+22()=2()(22)13333313n n n n n n n P n -----=⨯-=---⨯+- 所以13313=333n n n n P -++=-- , ∴123(3)43n n n T +=-． ②假设存在正整数,m n , 使得12m n ma T a +=, 代入化简得23(23)3n nn m -+= , 即2(23)23(23)n n m n +=+-+ , 令()33(23)n f n n =-+ ,那么由(1)()2(33)0n f n f n +-=-≥可得 : (1)(2)(3)(4)()f f f f f n =<<<<<．当4n ≥时 , ()(4)480f n f ≥=> ,∴3(23)2(23)n n n -+>+ , 即2(23)3(23)nn n +∉-+Z , 舍去 ; 当1n =时 , 3m =- , 舍去 ; 当2n =时 , 9m = , 符合题意 ;当3n =时 , 3m = , 符合题意 ;综上 : 存在符合题意的正整数对(,)m n , 它们为(3,3)和(9,2)．【点睛】此题主要考查数列通项的求法和数列求和 , 考查数列的存在性问题的求解 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期中考试卷数学理科
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期中考试卷数学理科一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B={x|2x＜4}，则A∪B＝ ( )A.RB. ∅C. {x|x≤1}D. {x|x＞2}2.,点在( )A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.）A BC D4．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2) …(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n －1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是( )A．2k＋1 B．2(2k＋1)C．2k＋1k＋1D．2k＋3k＋15.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏6.设()250.22log 4,log 3,log 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C.a c b >> D ．b a c >>7.记不等式组220,1,2x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩解集为D ,若,则实数a 的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4 8.如图，在平面四边形ABCD中，AB BC⊥，AD CD⊥，0120BAD ∠=，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE的最小值为（ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．39.已知函数121)(--=x e x f x （其中e 为自然对数的底数），则)(x f y =的大致图象大致为( )A.B. C. D10.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（）11.有）12.的值为（）ABC第Ⅱ卷共90分二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.13.a=b =b=14的最小值为____.15．甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：（甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是_***__.16．在数列{}n a 中，若存在一个确定的正整数T ，对任意*n N ∈满足n T n a a +=，则称{}n a 是周期数列，T 叫做它的周期.已知数列{}n x 满足121,(1)x x a a ==≥，21n n n x x x ++=-，若数列{}n x 的周期为3，则{}n x 的前100项的和为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中,3B π=,2BC =,点D 在边AB 上,AD DC =, DE AC ⊥,E 为垂足.(Ⅰ)若BCD ∆的面积为33,求CD 的长;(Ⅱ)若62DE =,求A ∠的大小.18.(本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 和为n S ，若0n a >，21n n a S =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若3n n na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19.（本小题满分12分） 在直角坐标系中，曲线,曲线为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线与曲线分别交于点（异于原点），当EDCBAEDA时， 求的取值范围.20.（本小题满分12分） 已知函数()1f x a x x a=-+-（ ）0a >.（Ⅰ）当2a =时，解不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若()1f x ≥，求a 的取值范围． 21.（本小题满分12分） 函数()()23sincos3cos 022xxf x x ωωωω=⋅+>，在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()f x 的图象上每个点的横坐标缩小为原来的4π倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位得到函数()g x ，若设()g x 图象在y 轴右侧第一个最高点为P ，试问()g x 图象上是否存在点()()(),2Q g θθπθπ<<，使得OP OQ ⊥，若存在请求出满足条件的点Q 的个数，若不存在，说明理由. 22.（本小题满分12分） 已知函数()()()2e x f x x ax =--． （Ⅰ）当0a >时，讨论()f x 的极值情况；（Ⅱ）若()[]1()0e x f x a --+≥，求a 的值．答案一、选择题：ABDBB;DCADB,BA二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.．7 15．67.17.（本小题满分12分）(Ⅰ)由已知得3=，又，得3分=……………6，……………11分分18.(本小题满分12分）2S1分2分3分等差数列，且首项为，公差为25分6分7分，——②………………………………8分 ①–②得2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋅⋅⋅+--⋅ (9)分2111111332(21)13313n n n ++-=+⨯--⋅-，………………………………10分化简得113n nn T +=-．…………………12分19.（本小题满分12分） 解：(1)因为，所以曲线的普通方程为：，由，得曲线的极坐标方程，对于曲线,,则曲线的极坐标方程为(2)得,，因为，则20.（本小题满分12分）解：（1）f (x)＝2|x －1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4，x ＜1，x ，1≤x≤2，3x －4，x ＞2．所以，f (x)在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增，又f (0)＝f ( 8 3)＝4，故f (x)≤4的解集为{x|0≤x ≤ 8 3}. ....................................6分 （2）①若a ＞1，f (x)＝(a －1)|x －1|＋|x －1|＋|x －a|≥a －1，当且仅当x ＝1时，取等号，故只需a －1≥1，得a ≥2. .................................7分②若a ＝1，f (x)＝2|x －1|，f (1)＝0＜1，不合题意. ...................…9分③若0＜a ＜1，f (x)＝a|x －1|＋a|x －a|＋(1－a)|x －a|≥a(1－a)， 当且仅当x ＝a 时，取等号，故只需a(1－a)≥1，这与0＜a ＜1矛盾..............11分综上所述， a 的取值范围是[2，＋∞). …...................12分21.（本小题满分12分）:2分所而且有两个………8分.，由及分和不足.)法三：由得，即11分零点存在定理得:12分22.解：210分11 12分。
2020年上海交通大学第二附属中学高三数学文联考试题含解析
2020年上海交通大学第二附属中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知公差不为零的等差数列等于A．4 B．5 C．8 D．10参考答案：A由得，即。
所以，所以,选A.2. （2）设，则“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：A3. 若直线被圆所截得的弦长为,则实数的值为（）A．或 B．或 C．或D．或参考答案：【知识点】直线与圆的位置关系. H4【答案解析】D 解析：圆心的直线的距离d=，由垂径定理得解得a=-1或a=3，故选 D.【思路点拨】根据点到直线的距离及垂径定理求解.4. 在△ABC中，tan A是以-2为第三项，6为第七项的等差数列的公差，tan B是以为第二项，27为第七项的等比数列的公比，则这个三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．以上都不对参考答案：B，都是锐角。
故选：B5. 已知两个平面α，β和三条直线，若，且，，设和所成的一个二面角的大小为θ1，直线和平面β所成的角的大小为θ2，直线所成的角的大小为θ3，则A．θ1=θ2≥θ3 B．θ3≥θ1=θ2C．θ1≥θ3，θ2≥θ3 D．θ1≥θ2，θ3≥θ2参考答案：D6. (文科)某中学有学生3000人，其中高一、高三学生的人数是1200人、800人，为了解学生的视力情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个480人的样本，则样本中高一、高二学生的人数共有（）人。
A.288B.300C.320D.352参考答案：略7. 已知直线l：y=x+m与曲线y=有两个公共点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣1，1）C．[1，）D．（﹣，）参考答案：C【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】画出图象，当直线l经过点A，C时，求出m的值；当直线l与曲线相切时，求出m．即可．【解答】解：画出图象，当直线l经过点A，C时，m=1，此时直线l与曲线y=有两个公共点；当直线l与曲线相切时，m=．因此当时，直线l：y=x+m与曲线y=有两个公共点．故选C．8. 函数的零点个数是（）A．个 B．个 C．个D．个参考答案：A9. 已知集合A={﹣1，1，3}，B={1，a2﹣2a}，B?A，则实数a的不同取值个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【分析】根据题意，分析可得：若B?A，必有a2﹣2a=﹣1或a2﹣2a=3，分2种情况讨论可得答案．【解答】解：∵B?A，∴a2﹣2a=﹣1或a2﹣2a=3．①由a2﹣2a=﹣1得a2﹣2a+1=0，解得a=1．当a=1时，B={1，﹣1}，满足B?A．②由a2﹣2a=3得a2﹣2a﹣3=0，解得a=﹣1或3，当a=﹣1时，B={1，3}，满足B?A，当a=3时，B={1，3}，满足B?A．综上，若B?A，则a=±1或a=3．故选：B．【点评】本题考查集合间包含关系的运用，注意分情况讨论时，不要漏掉情况．10. 如图平行四边形ABCD中， =， =，F是CD的三等分点，E是BC中点，M是AB中点，MC∩EF=N，若=λ1+λ2，则λ1+λ2=（）A．B．1 C．D．﹣参考答案：A【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】使用不同方法用表示出，结合平面向量的基本道理列出方程解出．【解答】解： ==， =，设，，则， =，∵==+=（）+（），∴，解得．∴λ1+λ2==．故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若实数x，y满足x2+x+y2+y=0，则x+y的范围是．参考答案：[﹣2，0]【考点】圆的一般方程．【分析】将圆x2+x+y2+y=0，化为参数方程，进而根据正弦型函数的图象和性质，可得x+y 的范围．【解答】解：∵实数x，y满足x2+x+y2+y=0，∴（x+）2+（y+）2=，即2（x+）2+2（y+）2=1，令（x+）=cosθ，（y+）=sinθ，∴x=，y=，x+y==sin（）﹣1∈[﹣2，0]，故x+y的范围是[﹣2，0]，故答案为：[﹣2，0]【点评】本题考查的知识点是圆的方程，其中将一般方程化为参数方程，进而转化求三角函数的最值，是解答的关键．12. 在实数集上定义运算，并定义：若存在元素使得对，有，则称为上的零元，那么，实数集上的零元之值是参考答案：；根据“零元”的定义，，故13. 已知，且，则与夹角的取值范围是.参考答案：14. 已知函数为上的偶函数，当时，，则▲，▲ .参考答案：．，15. 用符号表示超过的最小整数，如，记．（1）若，则不等式的解集为；（2）若，则方程的实数解为．参考答案：。
上海市交大附中2020届2020届高三数学期中试卷
交大附中高三期中数学试卷2020.05一. 填空题1. 计算矩阵的乘积：()300c ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭2. 计算：012393n n nn n n C C C C ++++=L 3. 已知23sincos223θθ+=，则sin θ= 4. 若双曲线2214x y m-=的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为5. 在首项为21，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第 项6. 如图，二面角l αβ--的大小是3π，线段AB α，B l ∈，AB 与l 所成的角为6π，则 AB 与平面β所成的角是 （用反三角函数表示）7. 已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的 对边，2a =，且(2)(sin sin )b A B +-=()sin c b C -，则 △ABC 面积的最大值为8. 已知函数()lg(1)f x x =+，()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()g x =()f x ，则函数()y g x = ([1,2]x ∈)的反函数是y =9. 已知()y f x =是定义在R 上的函数，方程(2019)(2020-)0f x f x +⨯=恰好有7个解， 则这7个解的和为10. 设0.ab ••是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中a 和b 分别为10以内的非负整数， 且a b ≠，0b ≠，若集合••1{|0.,}A n ab n n*==∈N ，则A 中所有元素的和为 11. 已知数列{}n a 满足1312n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数（*n ∈N ），127k a =⋅（k 是一个已知的正整数），若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p =12. 若实数x 、y 满足222(1)(1)22cos (1)1x y xyx y x y ++--+-=-+，则xy 的最小值为二. 选择题13. 已知函数()y f x =是R 上的增函数，则对任意12,x x ∈R ，“12x x <”是 “12()()f x f x <”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 非充分非必要 14. 已知11z ≠-，111i 1z b z -=+（b∈R ），2141(+1)z z =-，则z 对应的点在（ ） A. 圆上 B. 抛物线上 C. 双曲线上 D. 椭圆上15. 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A 、B 满足||||2OA OB OA OB ==⋅=uu r uu u r，则点集{|,||||1,,}P OP OA OB λμλμλμ==++≤∈R uu u r uu r uu u r所表示的区域的面积是（ ）A. 22B. 23C. 42D. 43 16. 已知1234,,,{1,2,3,4}a a a a ∈，1234(,,,)N a a a a 为1234,,,a a a a 中不同数字的种类，如(1,1,2,3)3N =，(1,2,2,1)2N =，求所有的256个1234(,,,)a a a a 的排列所得1234(,,,)N a a a a 的平均值为（ ） A. 8732 B. 114C. 17764D. 17564三. 解答题17. 如图所示，用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒．（1）求该圆锥的表面积S 和体积V ；（2）求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d .18. 已知函数()sin()f x A x b ωϕ=++（0A >，0ω>，||2πϕ<）的图像如下图所示.（1）求出函数()f x 的解析式； （2）若将函数()f x 的图像向右移动3π个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的14（纵 坐标不变）得到函数()y g x =的图像，求出函数()y g x =的单调递增区间及对称中心.19. 若函数()y f x =满足“存在正数λ，使得对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在2x ，使12()()f x f x λ=成立”，则称该函数为“依附函数”.（1）分别判断函数①()2x f x =，②2()log g x x =是否为“依附函数”，并说明理由； （2）若函数()y h x =的值域为[,]m n ，求证：“()y h x =是‘依附函数’”的充要条件是 “0[,]m n ∉”.20. 如图，已知点P 是x 轴下方（不含x 轴）一点，抛物线2:C y x =上存在不同的两点A 、B 满足PD DA λ=uu u r uu u r ，PE EB λ=uur uu r，其中λ为常数，且D 、E 两点均在C 上，弦AB 的中点为M .（1）若P 点坐标为(1,2)-，3λ=时，求弦AB 所在的直线方程；（2）在（1）的条件下，如果过A 点的直线1l 与抛物线C 只有一个交点，过B 点的直线2l 与抛物线C 也只有一个交点，求证：若1l 和2l 的斜率都存在，则1l 与2l 的交点N 在直线PM 上； （3）若直线PM 交抛物线C 于点Q ，求证：线段PQ 与QM 的比为定值，并求出该定值.21. 设{}n a 是公差不为零的等差数列，满足6713a a a +=，2224967a a a a +=+，设正项数列{}n b 的前n 项和为n S ，且423n n S b +=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1b 、11x 、2b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数21x 、22x ，使2b 、21x 、22x 、3b 成等差数列；⋅⋅⋅；在n b 和1n b +之间插入n 个数1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x ，使n b 、1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x 、1n b +成等差数列.① 求11212212n n n nn T x x x x x x =+++++++L L ； ② 对于①中的n T ，是否存在正整数m 、n ，使得12m n ma T a +=成立？若存在，求出所有的 正整数对(,)m n ；若不存在，请说明理由.参考答案一. 填空题1. (3,)a ac2. 4n3. 134.5. 56.7.8. 310([0,lg 2])x x -∈9. 3.5 10. 143 11. 1 12. 14二. 选择题13. C 14. B 15. D 16. D三. 解答题17.（1）设底面半径为r 厘米，母线的长为l 厘米，则10l =厘米，且2r l ππ=， 解得：5r =厘米， ……2分表面积=50S rl ππ=（平方厘米）， ……5分圆锥的高h ==∴体积213V r h π==（立方厘米）. …8分 （2）∵圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米， ……11分∴最高点到底面的距离为等边三角形的高，h =厘米. ……14分 18.（1）由62A b A b +=⎧⎨-+=-⎩得：42A b =⎧⎨=⎩， …… 2分又由22T π=得：24T ππω==，∴12ω=， ……4分 而()63f π=得：262k ππϕπ+=+，k ∈Z ，∵||2πϕ<，∴3πϕ=， ……6分综上：1()4sin()223f x x π=++. ……7分（2）显然()4sin(2)26g x x π=++， ……10分由222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z 得：()g x 的单调递增区间为[,]36k k ππππ-+，k ∈Z ， …… 12分由26x k ππ+=，k ∈Z 得：对称中心是(,2)212k ππ-，k ∈Z . ……14分19.（1）①可取1λ=，则对任意1x ∈R ，存在21x x =-∈R ，使得12221x x ⋅=成立，2分 （说明：可取任意正数λ，则221log x x λ=- ……2分） ∴()2x f x =是“依附函数”， ……3分②对于任意正数λ，取11x =，则1()0g x =， ……5分此时关于2x 的方程12()()g x g x λ=无解，∴2()log g x x =不是“依附函数”. ……6分 （2）必要性：（反证法）假设0[,]m n ∈，∵()y h x =的值域为[,]m n ，∴存在定义域内的1x ，使得1()0h x =， ……8分 ∴对任意正数λ，关于2x 的方程12()()h x h x λ=无解， 即()y h x =不是依附函数，矛盾， …… 9分 充分性：假设0[,]m n ∉，取0mn λ=>， …… 11分 则对定义域内的每一个值1x ，由1()[,]h x m n ∈，可得1[,][,]()m n h x n mλλλ∈=， 而()y h x =的值域为[,]m n ， ∴存在定义域内的2x ，使得21()()h x h x λ=，即12()()h x h x λ=成立，∴()y h x =是“依附函数”. ……14分20.（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由3PD DA =uu u r uu u r ，3PE EB =uuruu r ，可得111323(,)44x y D +-+，221323(,)44x y E +-+， …… 2分 由D 点在C 上可得：2112313()44y x -++=，化简得：211230x x --=，同理可得：222230x x --=，∵A 、B 两点不同，不妨设(3,9)A ，(1,1)B -， …… 4分 ∴弦AB 所在的直线方程为230x y -+=. ……5分 （2）由（1）可知，(3,9)A ，(1,1)B -，设11:9(3)l y k x -=-，与2:C y x =联立，并令0∆=，可得16k =，同理2l 的斜率22k =-， …… 7分 ∴1:690l x y --=，2:210l x y ++=， …… 9分解方程组得：交点(1,3)N -，而直线PM 的方程为1x =，得证. ……10分（3）设00(,)P x y ，211(,)A x x ，222(,)B x x ，由PD DA λ=uu u r uu u r ，得20101(,)11x x y x D λλλλ++++， 代入2y x =，化简得：22101002(1)0x x x y x λλλ-++-=， ……12分 同理可得：22202002(1)0x x x y x λλλ-++-=，显然12x x ≠，∴1x 、2x 是方程220002(1)0x x x y x λλλ-++-=的两个不同的根， ∴1202x x x +=，20012(1)y x x x λλ+-⋅=，∴1202M x x x x +==，即直线PM 的方程为0x x =， …… 14分 ∵2220012(12)(1)2M x y x x y λλλ+-++==，20Q y x =， ∴200(1)(1)M Q x y y y λλλ+-+-=，200Q P y y x y -=-，∴线段PQ 与QM 的比为定值1λλ+. ……16分21.（1）设数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，则由6713a a a +=可得1a d =，再由2224967a a a a +=+化简得：244d d =，解得：1d =，∴n a n =， ……2分当1n =时，11423S b +=得：112b =；当2n ≥时，423n n S b +=，11423n n S b --+=， 两式相减得113n n b b -=，∴1123n n b -=⋅. …… 4分 （2）①1223112()()()222n n n nT b b b b b b +=++++++L ， ……6分123121113521[35(21)][1]243333n n n n n n b b b n b nb +--=++++-+=+++++L L ， 设2135211333n n P --=++++L ，由错位相减法得：3333nn P +=-， …… 8分 ∴123(3)43n nn T +=-. …… 10分②假设存在正整数m 、n ，使得：12m n ma T a +=，代入化简得：23(23)3n nn m -+=，即2(23)23(23)n n m n +=+-+， ……12分令()33(23)n f n n =-+，则由(1)()2(33)0n f n f n +-=-≥可得：(1)(2)(3)(4)()f f f f f n =<<<<<L L ． 当4n ≥时，()(4)480f n f ≥=>，∴3(23)2(23)nn n -+>+，即2(23)3(23)n n n +∉-+Z ，舍去； …… 15分当1n =时，3m =-，舍去； …… 16分 当2n =时，9m =，符合题意； …… 17分 当3n =时，3m =，符合题意； …… 18分综上：存在符合题意的正整数对(,)m n ，它们为(3,3)和(9,2).。
上海市交大附中2020届高三下学期期中考试数学试题 Word版含解析
交大附中高三期中数学试卷一． 填空题1.计算矩阵的乘积：()300c ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____. 【答案】(3,)a ac【解析】 【分析】直接利用矩阵的乘积公式求解即可. 【详解】由题得()3(30,0)(3,)00c a b a b a c b a ac ⎛⎫=+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 故答案为：(3,)a ac【点睛】本题主要考查矩阵的乘积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2.计算：012393n n n n n n C C C C ++++=_____.【答案】4n【解析】【分析】 先把原式写成0011223333n n n n n n C C C C ++++，再利用二项式定理得解.【详解】由题得原式=0011223333(13)4n n n n n n n n C C C C ++++=+=. 故答案为：4n【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.已知23sincos 22θθ+=，则sin θ=_____. 【答案】13【解析】【分析】把等式23sin cos 22θθ+=两边同时平方化简即得解. 【详解】由题得221sin cos +2sin cos ,sin 2222343θθθθθ+=∴=.故答案为：13【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式的应用，考查同角的平方关系的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.若双曲线2214x y m-=的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为_____. 【答案】25【解析】 【分析】由题得243,m +=解方程即得解.【详解】由题得20,43,5m m m >+=∴=.所以双曲线的虚轴长为5故答案为：25【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5.在首项为21，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第________项 【答案】5【解析】【分析】先求出等比数列的通项，再列举出数列的前几项，比较即得解.【详解】由题得等比数列的通项为112341212121=21(),21,,,,2248n n a a a a a -⨯∴==== 5621211.31,0.66,1632a a =≈=≈ 所以521 1.3116a =≈与1最接近. 所以最接近于1项是第5项.故答案为：5【点睛】本题主要考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6.如图，二面角l αβ--的大小是3π，线段AB ⊂α，B l ∈，AB 与l 所成的角为6π，则AB 与平面β所成的角是_____（用反三角函数表示）【答案】3arcsin【解析】【分析】 如图，过点A 作AO β⊥,垂足为O ,过点A 作AC l ⊥，垂足为C ,连接,OB OC ，证明3ACO π∠=，不妨设1,AC =根据已知求出32,,2AB AO ==求出3sin 4ABO ∠=即得解. 【详解】如图，过点A 作AO β⊥,垂足为O ,过点A 作AC l ⊥，垂足为C ,连接,OB OC .因为AO β⊥，所以AO l ⊥，因为AC l ⊥，,AO AC ⊂平面AOC ,AO AC A ⋂=,所以l ⊥平面AOC ，所以l OC ⊥,所以ACO ∠就是二面角l αβ--的平面角，所以3ACO π∠=.由题得6ABC π∠=,不妨设31,2,AC AB AO =∴== 由题得AB 与平面β所成的角是ABO ∠,所以332sin 24ABO ∠==. 所以3arcsin 4ABO ∠=. 故答案为：3arcsin 4【点睛】本题主要考查空间二面角的平面角的作法和计算，考查空间直线和平面所成的角的作法和计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )b A B +-=()sin c b C -，则△ABC 面积的最大值为_____.3【解析】【分析】由正弦定理化简已知可得222a b c bc -=-，结合余弦定理可求A 的值，由基本不等式可求4bc ，再利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】因为(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-(2)()()b a b c b c ∴+-=-2222a b ab b c bc ∴-+-=-，又因为2a =，所以2222222221,,cos ,223b c a a b c bc b c a bc A A bc π+--=-∴+-=∴==∴=， ABC ∆面积13sin 24S bc A ==， 而222b c a bc +-=222b c bc a ∴+-=2242b c bc bc bc ∴+-=≥-4bc ∴所以13sin 32S bc A ==，即ABC ∆3．3【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式和三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．8.已知函数()lg(1)f x x =+，()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()g x =()f x ，则函数()y g x = ([1,2]x ∈)的反函数是y =_____.【答案】310([0,lg 2])x x -∈【解析】【分析】先根据偶函数性质求出[1x ∈-，0]上的解析式，再根据周期为2求出[1x ∈，2]上的解析式，最后求出反函数．【详解】当10x -时，01x -，()()(1)f x f x lg x ∴=-=-+，当12x 时，120x --，()(2)[(2)1](3)f x f x lg x lg x ∴=-=--+=-+．()(3)(12)g x lg x x ∴=-+，()310g x x ∴-+=，()310g x x ∴=-，所以1()310x g x -=-，()(3)(12)g x lg x x =-+是减函数，()[0,lg 2]g x ∈所以1()310x g x -=-，(02)x lg .故答案为：310([0,lg 2])x x -∈【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查根据函数的奇偶性周期性求解析式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知()y f x =是定义在R 上的函数，方程(2019)(2020-)0f x f x +⨯=恰好有7个解，则这7个解的和为_____.【答案】3.5【解析】【分析】先分析出原方程的两根应满足(1)1αα+-=，再得到原方程的这7个根为11,,1,,1,2ααββγλ---，,即得解.【详解】若α满足(2019)0f α+=，则取1x α=-，则(2020)(2019)0f x f α-=+=，则1α-也是原方程的一根.所以原方程的两根应满足(1)1αα+-=， 既然有7个根，所以应有一根满足1(1),2ααα=-∴=. 所以这7个根为11,,1,,1,2ααββγγ---，, 所以它们的和为13+=3.52. 故答案为：3.5 【点睛】本题主要考查方程的零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.设0.ab ••是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中a 和b 分别为10以内的非负整数，且a b ，0b ≠，若集合••1{|0.,}A n ab n n *==∈N ，则A 中所有元素的和为_____. 【答案】143【解析】【分析】由无限循环小数可写成等比数列的无穷项和，可得分数形式，再由列举法可得集合A ，求和可得所求．【详解】0.ab 是一个循环节长度为两位的循环纯小数，即0.0.ab =0.100.001991100ab a b ab ab ⨯+++⋯==-， 1{|0.A n ab n==，*110}{|99a b n N n n +∈==，*}n N ∈， a 和b 分别为10以内的非负整数，且ab ，0b ≠， 可得0a =，1b =，99n =；0a =，3b =，33n =；0a =，9b =，11n =； 0a ≠时，不存在满足题意的n ，则A 中所有元素的和为993311143++=．故答案为：143【点睛】本题考查无限循环小数化为分数的方法和集合中元素的求法，注意运用列举法，考查化简运算能力，属于基础题．11.已知数列{}n a 满足1312n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数（*n ∈N ），127k a =⋅（k 是一个已知的正整数），若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p =_____. 【答案】 1 【解析】【分析】先分析出当1k =时，当2k =时，得1p =，再说明127k a =⋅时，17k a +=，222,k a +=列举出该数列，即得解.【详解】由题得127k a =⋅是一个偶数，所以112272722k k a a -===， 当1k =时，234567897,22,11,34,17,52,26,13,a a a a a a a a ======== 101112131415161718192040,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,a a a a a a a a a a a =========== 211,a =，所以1p =；当2k ≥时，1227k a -=是偶数， 所以223272k a a -==， 当2k =时，同理可得1p =；； 所以127k a =⋅时，17k a +=，222,k a +=所以从第1k +项起的数列为7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,所以1p =.故答案为：1【点睛】本题主要考查递推数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xy x y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________【答案】1.4【解析】【分析】根据等式两边范围确定,x y 满足条件，再根据二次函数性质求xy 的最小值.【详解】∵()()()2221122cos 11x y xy x y x y ++--+-=-+，∴10x y -+＞， ()()()()2221121111111x y xyx y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+ ()()11121211x y x y x y x y ∴-++≥-+⋅=-+-+, 当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥，当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xy x y x y x y ，即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈，即()12k x y k Z π+==∈， 因此21124k xy π+⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭（当且仅当0k =时取等号）， 从而xy 的最小值为1.4【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.二． 选择题13.已知函数()y f x =是R 上的增函数，则对任意12,x x ∈R ，“12x x <”是“12()()f x f x <”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 非充分非必要【答案】C【解析】【分析】先证明充分性，再证明必要性，即得解.【详解】当12x x <时，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以12()()f x f x <，所以“12x x <”是“12()()f x f x <”的充分条件；当12()()f x f x <时，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以12x x <，所以所以“12x x <”是“12()()f x f x <”的必要条件.综合得“12x x <”是“12()()f x f x <”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，考查函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14.已知11z ≠-，111i 1z b z -=+（b ∈R ），2141(+1)z z =-，则z 对应的点在（ ） A. 圆上B. 抛物线上C. 双曲线上D. 椭圆上 【答案】B【解析】【分析】先求出214+1bi z b z =-，再求出12221+1bi z b +=+，代入得22z b bi =--，设,z x yi =+即得解. 【详解】由题得22111111122211111123(23)31341(+1)(+1)(+1)+1+1+1z z z z z z z z bi z z z z z z --+-+-+-+=-===-=-⋅ 211111444()+1+1+1z bi bi bi bi b z z z -+=-⋅=--⋅=-. 所以214+1bi z b z =- 因为111i 1z b z -=+，所以21112121i(1),1b bi z b z z b-+-=+∴=+. 所以12221+1bi z b+=+，代入214+1bi z b z =-得22z b bi =--. 设2,(,),,2z x yi x y R x b y b =+∈∴=-=-，消去b 得24y x =-.所以z 对应的点在抛物线上.故选：B【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.15.在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足2OA OB OA OB ==⋅=，由点集{P |OP ＝λOA ＋μOB ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )A. 2B. 3C. 42D. 43【答案】D【解析】由2OA OB OA OB ==⋅=知： 21cos ,,,2223OA OBOA OB OA OB OA OB π⋅===∴=⨯⨯. 不妨设()()()2,0,1,3,,OA OB OP x y ===，则：23x y λμμ=+⎧⎪⎨=⎪⎩.解得3123xμλ⎧=⎪⎪⎨⎛⎪=-⎪⎪⎝⎭⎩由|λ|＋|μ|≤1得3223x y y-+≤.作出可行域，如图所示．则所求面积1243432S=⨯⨯⨯=.本题选择D选项.16.已知1a，{}234,,1,2,3,4a a a∈，()1234,,,N a a a a为1234,,,a a a a中不同数字的种类，如(1123)3N，，，，=(1221)2N=，，，，求所有的256个()1234,,,a a a a的排列所得的()1234,,,N a a a a的平均值为（）A.8732B.114C.17764D.17564【答案】D【解析】【分析】本题首先可以确定()1234,,,N a a a a的所有可能取值分别为1234、、、，然后分别计算出每一种取值所对应的概率，最后根据每一种取值所对应的概率即可计算出()1234,,,N a a a a的平均值．【详解】由题意可知：当()1234,,,1N a a a a=时，14114464P=⨯=；当()1234,,,2N a a a a =时，()1214442468421425664C C C P ⨯++===；当()1234,,,3N a a a a =时，()34436+3+31449425616P ⨯===； 当()1234,,,4N a a a a =时，4444243==425632A P =，综上所述，所有的256个()1234,,,a a a a 的排列所得的()1234,,,N a a a a 的平均值为：121931751+2+3+4=6464163264⨯⨯⨯⨯，故选D ． 【点睛】本题考查了平均值的计算，能否通过题意得出()1234,,,N a a a a 的所有可能情况并计算出每一种可能情况所对应的概率是解决本题的关键，考查推理能力与计算能力，是难题． 三． 解答题17.如图所示，用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒．（1）求该圆锥的表面积S 和体积V ；（2）求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d ． 【答案】（1）=50S π厘米，1253V π=（2）53h =厘米． 【解析】 【分析】（1）设底面半径为r 厘米，母线的长为l 厘米，求出圆锥的高，利用公式即可求出该圆锥的表面积S 和体积V ；（2）根据圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米即可求出最高点到桌面的距离d ． 【详解】（1）设底面半径为r 厘米，母线的长为l 厘米，则10l =厘米，且r l 2π=π， 解得：=5r 厘米，表面积=50S rl ππ=（平方厘米），圆锥的高2253h l r =-=（厘米）， ∴体积21125333V r h ππ==（立方厘米）． （2）∵圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米， ∴最高点到底面的距离为等边三角形的高，53h =厘米．【点睛】本题主要考查圆锥的表面积和体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知函数()sin()f x A x b ωϕ=++（0A >，，2πϕ<）的图象如下图所示（1）求出函数()f x 的解析式； （2）若将函数()f x 的图象向右移动3π个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的14（纵坐标不变）得到函数()y g x =的图象，求出函数()y g x =的单调增区间及对称中心. 【答案】（1）1()4sin()223f x x π=++；（2）[,],36k k k Z ππππ-+∈，(,2),212k k Z ππ-∈.【解析】 【分析】（1）通过函数的图象求出振幅，周期，以及b ．求出函数f （x ）的解析式；（2）利用平移变换的运算求出函数y ＝g （x ）的解析式，通过正弦函数的单调增区间求解函数单调增区间及对称中心．【详解】（1） 6422A b A A b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-+=-=⎩⎩由图可得212422T T πππωω=⇒==⇒= 且()62,362f k k Z πππϕπ=⇒+=+∈而2πϕ<,故3πϕ=综上1()4sin()223f x x π=++（2）显然()4sin(2)26g x x π=++ 由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得()g x 的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈.. 由2,(,2),6212k x k k Z k Z ππππ+=∈⇒-∈. 【点睛】本题考查三角函数的解析式的求法，平移变换以及正弦函数的单调区间，对称中心的求法，考查计算能力．19.若函数()y f x =满足“存在正数λ，使得对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在2x ，使12()()f x f x λ=成立”，则称该函数为“依附函数”．（1）分别判断函数①()2x f x =，②2()log g x x =是否为“依附函数”，并说明理由； （2）若函数()y h x =的值域为[,]m n ，求证：“()y h x =是‘依附函数’”的充要条件是“0[,]m n ∉”．【答案】（1）①是，②不是；理由详见解析（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）①可取1λ=，说明函数()2x f x =是“依附函数”； ②对于任意正数λ，取11x =，此时关于2x 的方程12()()g x g x λ=无解，说明2()log g x x =不是“依附函数”；（2）先证明必要性，再证明充分性，即得证.【详解】（1）①可取1λ=，则对任意1x ∈R ，存在21x x =-∈R ，使得12221x x ⋅=成立，（说明：可取任意正数λ，则221log x x λ=-） ∴()2x f x =是“依附函数”，②对于任意正数λ，取11x =，则1()0g x =，此时关于2x 的方程12()()g x g x λ=无解，∴2()log g x x =不是“依附函数”． （2）必要性：（反证法）假设0[,]m n ∈，∵()y h x =的值域为[,]m n ，∴存在定义域内的1x ，使得1()0h x =， ∴对任意正数λ，关于2x 的方程12()()h x h x λ=无解， 即()y h x =不是依附函数，矛盾， 充分性：假设0[,]m n ∉，取0mn λ=>，则对定义域内的每一个值1x ，由1()[,]h x m n ∈，可得1[,][,]()m n h x n mλλλ∈=，而()y h x =的值域为[,]m n ， ∴存在定义域内的2x ，使得21()()h x h x λ=，即12()()h x h x λ=成立，∴()y h x =是“依附函数”．【点睛】本题主要考查函数的新定义，考查充分必要条件的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.如图，已知点P 是x 轴下方（不含x 轴）一点，抛物线2:C y x =上存在不同的两点A 、B满足PD DA λ=，PE EB λ=，其中λ为常数，且D 、E 两点均在C 上，弦AB 的中点为M ．（1）若P 点坐标为(1,2)-，3λ=时，求弦AB 所在的直线方程；（2）在（1）的条件下，如果过A 点的直线1l 与抛物线C 只有一个交点，过B 点的直线2l 与抛物线C 也只有一个交点，求证：若1l 和2l 的斜率都存在，则1l 与2l 的交点N 在直线PM 上； （3）若直线PM 交抛物线C 于点Q ，求证：线段PQ 与QM 的比为定值，并求出该定值． 【答案】（1）230x y -+=；（2）详见解析；（3）证明详见解析，定值为1+λλ． 【解析】 【分析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，得到211230x x --=和222230x x --=，即得,A B 的坐标，即得弦AB 所在的直线方程；（2）先求出1:690l x y --=，2:210l x y ++=，再求出交点(1,3)N -，即得证；（3）先求出直线PM 的方程为0x x =，得到200(12)(1)M x y y λλλ+-+=，20Q y x =，即得线段PQ 与QM 的比. 【详解】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由3PD DA =，3PE EB =，可得111323(,)44x y D +-+，221323(,)44x y E +-+，由D 点在C 上可得：2112313()44y x -++=，化简得：211230x x --=，同理可得： 222230x x --=，∵A 、B 两点不同，不妨设(3,9)A ，(1,1)B -， ∴弦AB 所在的直线方程为230x y -+=．（2）由（1）可知，(3,9)A ，(1,1)B -，设11:9(3)l y k x -=-，与2:C y x =联立，并令0∆=，可得16k =，同理2l 的斜率22k =-，∴1:690l x y --=，2:210l x y ++=，解方程组得交点(1,3)N -，而直线PM 的方程为1x =，得证．（3）设00(,)P x y ，211(,)A x x ，222(,)B x x ，由PD DA λ=，得20101(,)11x x y x D λλλλ++++，代入2yx ，化简得：22101002(1)0x x x y x λλλ-++-=， 同理可得：22202002(1)0x x x y x λλλ-++-=，显然12x x ≠，∴1x 、2x 是方程220002(1)0x x x y x λλλ-++-=的两个不同的根，∴1202x x x +=，20012(1)y x x x λλ+-⋅=，∴1202M x x x x +==，即直线PM 的方程为0x x =， ∵2220012(12)(1)2M x y x x y λλλ+-++==，20Q y x =， ∴200(1)(1)M Q x y y y λλλ+-+-=，200Q P y y x y -=-，所以线段PQ 与QM 的比为200200(1)(1)1Q PM Q y y x y y x y y λλλλλ-==+-+--+∴线段PQ 与QM 的比为定值1λλ+．【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线方程的求法，考查抛物线的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.设{}n a 是公差不为零的等差数列，满足6713a a a +=，2224967a a a a +=+，设正项数列{}n b 的前n 项和为n S ，且423n n S b +=． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1b 、11x 、2b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数21x 、22x ，使2b 、21x 、22x 、3b 成等差数列；⋅⋅⋅；在n b 和1n b +之间插入n 个数1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x ，使n b 、1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x 、1n b +成等差数列． ① 求11212212n n n nn T x x x x x x =+++++++；② 对于①中的n T ，是否存在正整数m 、n ，使得12m n ma T a +=成立？若存在，求出所有的正整数对(,)m n ；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）n a n =，1123n nb -=⋅；（2）①123(3)43nnn T +=-；②存在符合题意的正整数对(,)m n ，它们为(3,3)和(9,2)．【解析】 【分析】（1）求出等差数列的首项和公差即得数列{}n a 的通项公式，由题得当2n ≥时，423n n S b +=，11423n n S b --+=，相减即得{}n b 的通项公式；（2）①1223112()()()222n n n nT b b b b b b +=++++++，再利用错位相减法求和得解；②假设存在正整数,m n ，使得12m n m a T a +=，化简得2(23)23(23)nn m n +=+-+，令()33(23)n f n n =-+，证明4n ≥时，2(23)3(23)nn n +∉-+Z ，列举得解. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为()d d ≠0，则由6713a a a +=可得1a d =，再由2224967a a a a +=+化简得：244d d =，解得：1d =，∴n a n =，当1n =时，11423S b +=得：112b =；当2n ≥时，423n n S b +=，11423n n S b --+=， 两式相减得113n n b b -=，∴1123n n b -=⋅． （2）①1223112()()()222n n n nT b b b b b b +=++++++，123121113521[35(21)][1]243333n n n n n nb b b n b nb +--=++++-+=+++++， 设2135211333n n P --=++++，所以2311352133333nn P -=++++， 上面两式错位相减得23122222211++333333n nn P --=+++-， 所以1111[1()]2211211331+22()=2()(22)13333313n n n n n n n P n -----=⨯-=---⨯+- 所以13313=333n n n n P -++=--， ∴123(3)43n n n T +=-． ②假设存在正整数,m n ，使得12m n ma T a +=， 代入化简得23(23)3n nn m -+=，即2(23)23(23)n n m n +=+-+， 令()33(23)n f n n =-+，则由(1)()2(33)0n f n f n +-=-≥可得：(1)(2)(3)(4)()f f f f f n =<<<<<．当4n ≥时，()(4)480f n f ≥=>，∴3(23)2(23)nn n -+>+，即2(23)3(23)nn n +∉-+Z ，舍去； 当1n =时，3m =-，舍去； 当2n =时，9m =，符合题意； 当3n =时，3m =，符合题意；综上：存在符合题意正整数对(,)m n ，它们为(3,3)和(9,2)．【点睛】本题主要考查数列通项的求法和数列求和，考查数列的存在性问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有@高考资源网- 21 -。