2021届陕西省交大附中、龙岗中学高三上学期第一次联考理科数学试题 PDF版
2021年高三上学期第一次联考数学理试题 含答案
2021年高三上学期第一次联考数学理试题含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. “”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2. 已知，其中i为虚数单位，则＝（）A.－1 B．1 C．2 D．33. 若，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．4.下列四个命题中，正确的是（）A．已知服从正态分布，且，则B．已知命题;命题．则命题“”是假命题C．设回归直线方程为，当变量增加一个单位时，平均增加2个单位D．已知直线,，则的充要条件是 =-35. 已知单位向量满足，则夹角为（）A．B．C．D．6. 若动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点（）A. B. C. D.7. 设，满足约束条件，若目标函数（，）的最大值为12，则的取值范围是（）A. B. C. D.8. 记集合, M=}4,3,2,1,|10101010{4433221=∈+++i T a aa a a i ,将M 中的元素按从大到小排列，则第xx 个数是（ ）A. B. C. D.第二部分 非选择题（共110分）二、填空题: 本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 （一）必做题（9～13题）9． 在展开式中的系数为,则实数的值为 .10．计算定积分 .11.已知双曲线C 的焦点、实轴端点恰好是椭圆的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程是____________________.12．在△中，内角、、的对边分别为、、，已知，，，则 .．将石子摆成如图的梯形形状.称数列为“梯形数”.根据图形的构成,数 列第项 ;第项 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线（）截圆所得弦长是 .15．（几何证明选讲选做题）如图（图2）是圆的直径，过、的两条弦和相交于点，若圆的半径是，那么的值等于________________.图2三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. （本小题满分12分）甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意。
2021届陕西省交大附中、龙岗中学高三上学期第一次联考理科综合化学试卷及解析
2021届陕西省交大附中、龙岗中学高三上学期第一次联考理科综合化学试卷★祝考试顺利★(含答案)（考试时间：90分钟试卷满分：100分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 S-32 Fe-56 Co-59第Ⅰ卷一、选择题：本题共14小题,每小题3分,共42分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 化学与生活、生产、科技等紧密相关,下列有关说法错误的是A. 从某种锂离子电池的正极材料中可回收金属LiB. 港珠澳大桥的隔震支座所含的橡胶属于有机高分子材料C. 高效手性螺环催化剂通过改变反应热增大化学反应速率D. 嫦娥四号探测器所搭载的太阳能电池的电池板的主要材料为单质硅【答案】C【详解】A．锂离子电池放电时产生锂离子,锂离子向正极移动,充电时在正极发生还原反应,所以从该电池的正极材料中可回收金属Li ,A正确；B．有机高分子材料是用有机高分子化合物制成的材料,常见的塑料、橡胶、合成纤维等都属于有机高分子材料,B正确；C．催化剂可以改变反应的历程,通过降低化学反应的活化能来加快化学反应速率,反应的始态和终态不变,所以不能改变反应热,C错误；D．硅是可以将太阳能变为电能的材料,可以制太阳能电池,D 正确。
答案选C。
2. 下列有关化学用语表示正确的是A. 镁离子的结构示意图：B. CH2F2的电子式：C. HClO的结构式：H—Cl—OD. 含18个中子的氯原子：1735Cl 【答案】A【详解】A、镁原子失去最外层两个电子变为镁离子,A正确；B、CH2F2的电子式中F原子最外层应满足8电子稳定结构,B错误；C、HClO正确的结构式为H—O—Cl,C错误；D、含18个中子的氯原子：3517Cl,D错误。
陕西省西安市交大附中中学2020-2021学年高三数学理月考试卷含解析
陕西省西安市交大附中中学2020-2021学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若对圆上任意一点，的取值与无关，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：B2. 若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2）C．（1，）D．（，+∞）参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于半径求得a和b 的关系，进而利用c2=a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．3. 函数在上的图象是参考答案：A4. 已知，则= （）A ．2B ． C． D ．3参考答案：C略5. 已知函数f（x）=，则方程f（2x2+x）=a（a＞0）的根的个数不可能为( )A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：A考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：由题意化简f（2x2+x）=；作图象求解．解答：解：f（2x2+x）=；作其图象如下，故方程f（2x2+x）=a（a＞0）的根的个数可能为4，5，6；故选A．点评：本题考查了函数的图象的应用，属于基础题．6. 已知，把数列的各项排列成如下的三角形状，……………………………………记A（m,n）表示第m行的第n个数，则A（10,11）= （）A、B、 C、D、参考答案：B略7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A．B．C．D．参考答案：A解析: 该几何体可以看成是在一个半球上叠加一个圆锥，然后挖掉一个相同的圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等.由图可知，球的半径为2，则.故选A8. 已知a是函数的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（）(A)f（x0）=0 (B)f（x0）＞0(C)f（x0）＜0 (D)f（x0）的符号不确定参考答案：C9. 已知函数（且），若，且，则的值（）A．恒小于2 B．恒大于2 C．恒等于2 D．与相关参考答案：B略10. 设为函数的单调递增区间，将图像向右平移个单位得到一个新的的单调减区间的是A B. C. D.参考答案：D因为函数为偶函数，在当为减函数，图像向右平移个单位，此时单调减区间为，选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若曲线与曲线在处的两条切线互相垂直，则实数a的值为▲．参考答案：12. 已知函数的图象经过点，则不等式的解为_________;参考答案：13. 高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是.(结果用最简分数表示)参考答案：3人中有1个是女生的概率为，3人中有2个是女生的概率为，3人中有3个是女生的概率为，所以选出的人中至少有一名女生的概率是。
2021届陕西省交大附中、龙岗中学高三上学期第一次联考理科数学试题 PDF版
）
f(x)
=
(x sin(x))2 x2 + cos(x)
y
1
-π O π
x
-1
y 1
-π O π
x
-1
A
B
C
D
uuur
uuur
6.在复平面内，复数 z a bi(a R,b R) 对应向量 OZ（ O 为坐标原点），设| OZ | r ，
以射线 OX 为始边， OZ 为终边旋转的角为 ，则 z r(cos i sin ) ，法国数学家棣莫
B． (, 2 e2 ]
C． (, 2]
D． (, 3]
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
uuur uuur 13. 如图所示， A 、 B 是圆 O 上的两点，若 AB AO 2 ，则弦 AB 长
为______.
14. 若 x 0 ， y 0 ， xy x y 3 ，则 x y 的取值范围是______. A
（1）证明： C1C BD ；
（2）假设 CD
2, C1C
3 2
,
记面
C1
BD
为
，面 CBD
为
，求二面角
BD
的平
面角的余弦值；
（3）当
CD CC1
的值为多少时，能使
A1C
平面 C1BD
？请给出证明.
B1 C1
A1 D1
21. (12 分)已知函数 f (x) x . ln x
（1）讨论函数 f (x) 的单调性； （2）若 f (x1) f (x2 ) e2, 其中 x1, x2 [e, )，求证： x1 x2 2e2.
体积为______.
陕西省西安市交大附中中学2020-2021学年高三数学理联考试题含解析
陕西省西安市交大附中中学2020-2021学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地,两地经度差为90°,则甲、乙两地最短距离为(设地球的半径为R)（）A. B. C. D.参考答案：B2. 已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（?U A）∩B=( )A．? B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}参考答案：D考点：补集及其运算；交集及其运算．专题：计算题．分析：本题求集合的交集，由题设条件知可先对两个集合进行化简，再进行交补的运算，集合A由求指数函数的值域进行化简，集合B通过求集合的定义域进行化简解答：解：由题意A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，B={x|lnx＜0}={x|0＜x＜1}，故C U A={y|y≤1}∴（C U A）∩B={x|0＜x＜1}故选D点评：本题考查补集的运算，解题的关键是理解掌握集合的交的运算与补的运算，运用指数函数与对数函数的知识对两个集合进行化简，本题是近几年高考中的常见题型，一般出现在选择题第一题的位置考查进行集合运算的能力3. 复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：D 考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：根据两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简复数z为=1﹣i，故z对应点的坐标为（1，﹣1），从而得出结论．解答：解：∵复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，∴z=====1﹣i，故复数z对应点的坐标为（1，﹣1），故选D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．4. 已知点B（1，0），P是函数y=e x图象上不同于A（0，1）的一点．有如下结论：①存在点P使得△ABP是等腰三角形；②存在点P使得△ABP是锐角三角形；③存在点P使得△ABP是直角三角形．其中，正确的结论的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型．【分析】利用导数法，可判断出线段AB与函数y=e x图象在（0，1）点的切线垂直，进而可判断出三个结论的正误，得到答案．【解答】解：∵函数y=e x的导函数为y′=e x，∴y′|x=0=1，即线段AB与函数y=e x图象在（0，1）点的切线垂直故△ABP一定是钝角三角形，当PA=AB=时，得△ABP是等腰三角形；故①正确，②③错误故正确的结论有1个故选：B【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了指数函数的导数及三角形形状判断，难度不大，属于基础题．5. 已知函数，则f（1）的值是（）A．B．C．24 D．12参考答案：B考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用分段函数，求解函数值即可．解答：解：函数，则f（1）=f（2）=f（3）==．故选：B．点评：本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．6. 抛物线的焦点坐标是（）A．（2，0）B．（0，2）C．（l，0）D．（0，1）参考答案：D略7. 设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10：S5=1：2，则S15：S5=（）A．3：4 B．2：3 C．1：2 D．1：3参考答案：A【考点】8G：等比数列的性质．【分析】本题可由等比数列的性质，每连续五项的和是一个等比数列求解，由题设中的条件S10：S5=1：2，可得出（S10﹣S5）：S5=1：1，由此得每连续五项的和相等，由此规律易得所求的比值选出正确选项【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10：S5=1：2，∴（S10﹣S5）：S5=﹣1：2，由等比数列的性质得（S15﹣S10）：（S10﹣S5）：S5=1：（﹣2）：4，所以S15：S5=3：4故选A．8. 设函数的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数a的值为( )A． B．或 C．D．或参考答案：C9. 已知定义域为的函数的导函数为，且满足，则下列正确的是（）A．B．C．D．参考答案：A10. 已知函数满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 记定义在R上的函数的导函数为．如果存在，使得成立，则称为函数在区间上的“中值点”．那么函数在区间[－2，2]上“中值点”的为▲．参考答案：略12. 已知圆C的圆心为（0,1），直线与圆C相交于A ，B 两点，且，则圆C的半径为.参考答案：圆心到直线的距离。
2021年陕西省高考理科数学试卷及答案解析(word版)
2021年陕西高考数学试题〔理〕一．选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，那么MN =〔 〕.[0,1]A .[0,1)B .(0,1]C .(0,1)D【答案】 B 【解析】B N M N M 选，).1,0[),11-(),,0[=∩∴=+∞=2.函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是〔 〕.2A π.B π .2C π .4D π【答案】 B 【解析】B T 选∴,π2π2||π2===ω3.定积分1(2)xx edx +⎰的值为〔 〕.2Ae + .1B e + .C e .1D e -【答案】 C 【解析】C e e e e x dx e x x x 选∴,-0-1|)()2(1001102∫=+=+=+4.根据右边框图，对大于2的整数N ，输出数列的通项公式是〔 〕.2n A a n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -=【答案】 C 【解析】C q a a a a a n 选的等比数列是.2,2∴,8,4,21321=====5.底面边长为12为〔 〕32.3A π .4B π .2C π 4.3D π【答案】 D 【解析】D r r r r 选解得设球的半径为.π3434V ∴,1,4)2(11)2(,32222====++=π6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，那么这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为〔 〕1.5A2.5B3.5C 4.5D 【答案】 C 【解析】C p 选反向解题.53C 4C 4-1.2525===7.以下函数中，满足“()()()f x y f x f y +=〞的单调递增函数是〔 〕〔A 〕()12f x x = 〔B 〕()3f x x = 〔C 〕()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭〔D 〕()3x f x =【答案】 D 【解析】D y f x f y x f D C y x y x y x 选而言，对不是递增函数只有.333)()(,3)(.++=•=•=+8.原命题为“假设12,z z 互为共轭复数，那么12z z =〞，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的选项是〔 〕〔A 〕真，假，真 〔B 〕假，假，真 〔C 〕真，真，假 〔D 〕假，假，假 【答案】 B 【解析】Bz z b a z b a z bi a z bi a z 选选择完成判断逆命题的真假即可逆否名称也为真，不需，原命题为真，则设，逆命题和否命题等价原命题和逆否名称等价.,||||∴,||||,-,.2122222111=+=+==+=9.设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，假设i i y x a =+〔a 为非零常数，1,2,,10i =〕，那么12,10,y y y 的均值和方差分别为〔 〕（A ）1+,4a 〔B 〕1,4a a ++ 〔C 〕1,4 〔D 〕1,4+a【答案】 A 【解析】A 选变均值也加此数，方差不样本数据加同一个数，.10.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降，下降飞行轨迹为某三次函数图像的一局部，那么函数的解析式为〔 〕（A ）3131255y x x =- 〔B 〕3241255y x x =-〔C 〕33125y x x =- 〔D 〕3311255y x x =-+ 【答案】 A 【解析】AA f x f f x f A f x 选符合只有，，而言，对即为极值点且），三次奇函数过点..053-53)5(53-1253x )(2-3-1)5(∴x 53-x 1251)(.0)5(,5,2-5(),0,0(23==′=′====′= 第二局部〔共100分〕二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕.11.,lg ,24a x a==那么x =________. 【答案】 10 【解析】.1010,21lg 12a ∴,lg ,224212a a========x a x a x 所以，12.假设圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，那么圆C 的标准方程为_______.【答案】11-(22=+）y x 【解析】.11-(1),1,0(∴)1,0()0,1(22=+=）的标准方程为半径为圆心为，的对称点关于点y x x y13. 设20πθ<<，向量()()sin 2cos cos 1a b θθθ==，，，，假设b a //，那么=θtan _______.【答案】 21【解析】.21tan θθ,cos θcos θsin 2θcos θ2sin ∴//).1,θ(cos ),θcos ,θ2(sin 22=====解得即，b a b a14. 观察分析下表中的数据：多面体 面数〔F 〕 顶点数〔V ) 棱数〔E ) 三棱锥 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812猜测一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_________. 【答案】 2+=+E V F 【解析】.2+=+E V F 经观察规律，可得15.〔考生注意：请在以下三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题评分〕.A (不等式选做题)设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=，那么22m n +的最小值为.B 〔几何证明选做题〕如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC 于点,E F ，假设2AC AE =,那么EF =.C 〔坐标系与参数方程选做题〕在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是【答案】 A 5 B 3 C 1 【解析】A5.≤5)φθsin(∴5)φθsin(5os θ5θsin 5,os θ5,θsin 5∴,52222222222的最小值为所以，，则设n m n m n m n m c n m nb ma c b a b a ++=++=++=+=+===+B.3,2,6∴Δ=∴===ΔEF AE AC BC CBEFAC AE ACB AEF ，且相似与 C1|1323-3|023-1,3(∴,2-3121os θρ-23θsin ρ)6π-θsin(ρ,1,3()6π,2(=++==+==••=d y x x y c 的距离）到直线点即对应直线）对应直角坐标点极坐标点三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〔本大题共6小题，共75分〕 16. 〔本小题总分值12分〕ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. 〔I 〕假设c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； 〔II 〕假设c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值. 【答案】 〔1〕 省略 〔2〕 21【解析】 〔1〕C)sin(A sinC sinA .∴C),sin(A sinB sinC.sinA 2sinB c,a b 2∴,,+=++=+=+= 即成等差，c b a〔2〕.,21cosB 212ac ac -2ac 2ac b -2ac ≥2ac b -c a cosB ac.b ∴,,22222这时三角形为正三角形取最小值时，仅当又成等比，b c a c b a ====+==17. 〔本小题总分值12分〕四面体ABCD 及其三视图如下图，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分 别交四面体的棱CA DC BD ，，于点H G F ，，.〔I 〕证明：四边形EFGH 是矩形；〔II 〕求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值.【答案】 〔1〕 省略 〔2〕510【解析】 〔1〕.FG.⊥BCD ⊥,//∴,,AD//HG AD//EF,∴ADHG ADEF EFGH ⊂HG EF,EFGH,AD//HC AH EH//BC,∴EHBC EFGH,⊂EH EFGH,//B BCD⊥AD DC,⊥BD Δ,Δ为矩形所以，四边形，即面，且且共面和，面面同理且共面面面面且为等腰由题知，EHGF EF EF HG EF HG EF GC DG FB DF C RT BCD ====〔2〕510|,cos |sin 510252||||,cos ),0,1,1(0),,,()0,1-1(),2100(),1-20()0,0,1(),211,0(),0,1,0(),020(),100(,,DA ,DB ,DC (1)=><==<∴=======∴n AB n AB n AB n AB n FG n FE n z y x n EHGF FG FE AB G E F B A z y x θ所以，，解得一个则法向量，设面，，，，，，，，，，轴建系，则为知，分别以由18.〔本小题总分值12分〕在直角坐标系xOy 中，点)2,3(),3,2(),1,1(C B A ，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的区域〔含边界〕上〔1〕假设0=++PC PB PA ，求OP ；〔2〕设),(R n m AC n AB m OP ∈+=，用y x ,表示n m -，并求n m -的最大值.【答案】 〔1〕 22〔2〕 m-n=y-x, 1【解析】 〔1〕22|OP |22|OP |,2,2,0-2-3-1,0-3-2-1(0,0))-2,-3()-3,-2()-1,-1(PC PB PA ∴),,(),2,3(),3,2(),11(22==+=∴===++=++∴=++=++所以，解得，y x y x y y y x x x y x y x y x y x P C B A 〔2〕1---.1-)3,2(.,,-.--.2,2),1,2()2,1(y)x ,(∴,AC AB OP 最大值为，所以，取最大值时，经计算在三个顶点求线性规划问题，可以代含边界内的最大值，属在三角形即求解得即n m x y n m x y B C B A ABC x y x y n m n m y n m x n m n m ==+=+=+=+=19.〔本小题总分值12分〕在一块耕地上种植一种作物，每季种植本钱为1000元，此作物的市场价格和这块地上 的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：〔1〕设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；〔2〕假设在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元 的概率.【答案】 〔1〕〔800,0.2〕〔2000,0.5〕〔4000,0.3〕 〔2〕 0.896【解析】 〔1〕3.06.0*5.0)4000(,5.04.0*5.06.0*5.0)2000(,2.04.0*5.0)800(.4000,2000,80040001000-10*50020001000-6*50020001000-10*3008001000-6*300.-*====+==========X p X p X p X X 三个，即，，，可以取考虑产量和价格，利润成本价格产量利润X 的分布列如下表：X 800 2000 4000 P0.2 0.5 0.3〔2〕896.020*******.08.02.0*8.0*3)-1()-1(200023.8.03.05.02000)1(8001000-6*300.-*32333223的概率是季的利润不少于季中至少有所以，的概率季的利润不少于季中至少有则的概率知，一季利润不少于由，可以取考虑产量和价格，利润成本价格产量利润=+=+==+===p p C p p C P p X X20.〔本小题总分值13分〕如图，曲线C 由上半椭圆22122:1(0,0)y x C a b y a b+=>>≥和局部抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C 的离心率为32. （1）求,a b 的值；（2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q 〔均异于点,A B 〕，假设AP AQ ⊥，求直线l 的方程.【答案】 〔1〕 a=2,b=1 〔2〕 )1-(38-x y =【解析】〔1〕14,3,1,2∴,23.1∴)0,1(),0,1-(1-2222222=+===+===+=x yc b a c b a a c b x y 椭圆方程为联立解得又，交于点抛物线 〔2〕)1-(38-.38-,0)2(4-)2,1)(4-,(,0)2k -k - -k,()4k8- 1,44-(,0∴⊥),0,1-()2k --k ,1--k (,2k --k )1-(,1--k 0,1-k -:1-)4k8-,44-(,4k 8-)1-(,44-04-2-)4(,44)12x -(14),,(),,(),1-()0,1(222222222222222112212222222222211x y k k k k k k k k AQ AP AQ AP A Q x k y x kx x x y k k k P k x k y k k x k x k x k x x k x y y x Q y x P x k y B ===+=+=•+++=•====++=+++==+==++=++=+=所以，所求直线方程为解得即即即由韦达定理得联立得与即由韦达定理得，即联立得与的直线方程为设过21.〔本小题总分值14分〕 设函数()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数.（1）11()(),()(()),n n g x g x g x g g x n N ++==∈，求()n g x 的表达式；（2）假设()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；〔3〕设n N +∈，比拟(1)(2)()g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明.【答案】 〔1〕 nx x x g n +=1)(〔2〕 ,1](-∞ (3) 前式 > 后式【解析】 〔1〕+++++=++=+=++=+++=+==+=+++=+===+=+=′′=+=N n nx x x g xk x x g k n x k x kxx kx xx g kx x x g k n x x xx x xx g x x x g x g g x g x g x g xx x g x x f x x f x x g x x f n k k k n n ∈,1)(,.)1(1)(1∴)1(1111)(.1)(1≥21111)(1)(∴))(()()()(1)(,11)(∴,0≥),()(),1ln()(112111综上也成立时，当则时，假设当，，， 〔2〕,1](-a 1.a 0.≥-1),0[∈∃0≥(x)h ,0),,0[∈∃∴0≥0≥h(x),0h(0))1(-1)1()-1(-11(x)h ,0.≥,1-)1ln(h(x)0.≥,≥1-)1ln(∴1)(),(≥)(22∞∈≤+′>=++=+++=′++=+++=所以，解得，即使上恒成立在则令a x t x t t x x x a x x x x a x x x ax x x xax x x x x g x ag x f〔3〕+∈>++++>>++∴>∈++=+++++++++=+++++••••=++++=+++++=+=+=N n f(n)-n )()3()2()1(0)(,011-n 1n ln .0)()2(],1,0,1 -)1ln()((a) )11-n 1n (ln )311-34(ln )211-23(ln )111-12(ln 11--311-211-111-n 1n 342312ln 11--311-211-111-f(n)f(n)]-[n -)()3()2()1(∴11-11)(∴,1)(，所以，恒成立式恒成立恒成立知，则由（令）（n g g g g a nx h x xx x x h nnnn g g g g nn n n g x x x g。
陕西省西安市2021届高三一模数学试卷及答案(理科)
2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（理科）（一模）一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}，，则（∁R N）∩M为（）A．{x|3＜x＜5}B．{x|x＜﹣3或x＞5}C．{x|﹣3≤x≤﹣2}D．{x|﹣3＜x＜5} 2．i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i3．已知点A（﹣2，3）在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A．1B．2C．4D．84．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A．B．C．﹣26D．585．从点P（m，3）向圆（x﹣2）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值（）A．B．5C．D．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6B．8C．12D．247．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R恒成立，则f（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．8．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（﹣2021）＝（）A．﹣lg3B．lg9C．lg3D．09．直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4B．3C．2D．110．设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D．311．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年．A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌12．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N，若线段MN 的最小值为，则下列结论不正确的是（）A．正方体的外接球的表面积为12πB ．正方体的内切球的体积为C．正方体的棱长为2D．线段MN 的最大值为二、填空题（共4小题）.13．已知向量，，若，则k ＝．14．在（x﹣）6展开式中，常数项为．（用数值表示）15．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝．三、解答题（第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．18．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万．从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示．（1）估计该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）若以图中年龄在71～80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量X，求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量X的数学期望和方差．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O 所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．20．已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．21．已知函数f（x）＝e x（x+a），其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝f（x﹣a）﹣x2，讨论函数g（x）零点的个数，并说明理由．（二）选考题：共10．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g（x2）＜﹣；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}，，则（∁R N）∩M为（）A．{x|3＜x＜5}B．{x|x＜﹣3或x＞5}C．{x|﹣3≤x≤﹣2}D．{x|﹣3＜x＜5}解：∵集合M＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}＝{x|﹣2＜x＜5}，＝{x|﹣3≤x≤3}，∴∁R N＝{x|x＜﹣3或x＞3}，∴（∁R N）∩M＝{x|3＜x＜5}．故选：A．2．i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i解：i（2+3i）＝2i+3i2＝﹣3+2i．故选：D．3．已知点A（﹣2，3）在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A．1B．2C．4D．8解：由已知得，抛物线y2＝2px的准线方程为，且过点A（﹣2，3），故，p＝4．故选：C．4．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A．B．C．﹣26D．58解：设公差不为零的等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2，a8，a12依次成等比数列，∴a82＝a2a12，即（a1+7d）2＝（a1+d）（a1+11d），可得19d2＝﹣a1d，∵d≠0，∴a1＝﹣19d，又由已知可得a1＝1，在，因此，，故选：A．5．从点P（m，3）向圆（x﹣2）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值（）A．B．5C．D．解：设切线长为d，由题设条件可得：d2＝（m﹣2）2+（3﹣0）2﹣1＝（m﹣2）2+8≥8，∴，当且仅当m＝2时取“＝“，故选：D．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6B．8C．12D．24解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以，由于锥体的高为4，故．故选：B．7．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R恒成立，则f（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝sin（2x+φ），其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R 恒成立，则2×+φ＝2kπ+，k∈Z，所以φ＝2kπ+，k∈Z，由于φ∈（0，2π），所以φ＝，即f（x）＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即f（x）的单调递增区间是．故选：B．8．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（﹣2021）＝（）A．﹣lg3B．lg9C．lg3D．0解：根据题意，定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），则f（x）是周期为2的周期函数，则有f（﹣2021）＝f（1﹣2×1011）＝f（1），又由当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（1）＝lg3，则f（﹣2021）＝f（1）＝lg3，故选：C．9．直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4B．3C．2D．1解：直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），可得k+1＝2，即k＝1，f（1）＝b＝2，f（x）的导数为f′（x ）＝，即有a＝1，则2a+b＝2+2＝4．故选：A．10．设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D．3解：由双曲线的定义得：|PF1|﹣|PF2|＝2a，（不妨设该点在右支上）又|PF1|+|PF2|＝3b ，所以，两式相乘得．结合c2＝a2+b2得．故e ＝．故选：B．11．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年．A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌解：根据题意，列表如下：2049年是己巳年，往后数9年，可得2058年是戊寅．故选：C．12．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N，若线段MN的最小值为，则下列结论不正确的是（）A．正方体的外接球的表面积为12πB．正方体的内切球的体积为C．正方体的棱长为2D．线段MN的最大值为解：设正方体的棱长为a，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即，内切球半径为棱长的一半，即．∵M、N分别为外接球和内切球上动点，∴，解得：a＝2．即正方体惨长为2，C正确；∴正方体外接球表面积为，A正确；内切球体积为，B正确；线段MN的最大值为，D错误．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，，若，则k＝12．解：根据题意，向量，，则，若，则有，解得k＝12，故答案为：12．14．在（x﹣）6展开式中，常数项为﹣20．（用数值表示）解：二项式（x﹣）6＝[x+（﹣x﹣1）]6，其展开式的通项公式为：T r+1＝•x6﹣r•（﹣x﹣1）r＝（﹣1）r••x6﹣2r，当6﹣2r＝0时，得r＝3，所以展开式的常数项为：T4＝（﹣1）3•＝﹣20．故答案为：﹣20．15．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值9．解：由约束条件直线可行域如图，令t＝x+2y，由图可知，当直线t＝x+2y过A时，t有最大值为t＝2，此时z＝3x+2y的最大值为9．故答案为：9．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝84．解：2（S n+2+S n）＝4S n+1+1，化为，即，∵，∴{a n}为等差数列，公差，∴．故答案为：84．三、解答题（共7．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．解：（1）因为，所以＝＝，整理可得a2+c2﹣b2＝ac，可得cos B＝＝＝，因为B∈（0，π），可得B＝．（2）在△ABC中，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c＝2b，所以cos B＝≥，当且仅当b＝时取等号，此时B＝，C＝，所以△ABC的面积S＝ab＝＝．18．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万．从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示．（1）估计该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）若以图中年龄在71～80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量X，求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量X的数学期望和方差．解：（1）由题知该地区居民约为2000万，由图1知，该地区年龄在71～80岁的居民人数为0.004×10×2000＝80万．由图2知．年龄在71～80岁的居民签概率为0.7．所以该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数为80×0.7＝56万．（2）由题知此地区年龄段在71～80的每个居民签约家庭医生的概率为P＝0.7，且每个居民之间是否签约是独立的，所以设“从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取三人”为事件B，随机变量为X，这三人中恰有二人已签约庭医生的概率为：．数学期望E（X）＝3×0.7＝2.1，方差D（X）＝3×0.7×0.3＝0.63．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O 所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC，又DC∩AC＝C，∴BC⊥平面ACD，∵DC∥EB，DC＝EB，∴四边形DCBE是平行四边形，∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD，又DE⊂平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE．（2）当C点为半圆的中点时，AC＝BC＝2，以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则D（0，0，1），E（0，2，1），A（2，0，0），B（0，2，0），∴＝（﹣2，2，0），＝（0，0，1），＝（0，2，0），＝（2，0，﹣1），设平面DAE的法向量为＝（x1，y1，z1），平面ABE的法向量为＝（x2，y2，z2），则，，即，，令x1＝1得＝（1，0，2），令x2＝1得＝（1，1，0）．∴cos＜＞＝＝＝．∵二面角D﹣AE﹣B是钝二面角，∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为﹣．20．已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．解：（1）设椭圆C的半焦距为c，根据题意，，解得，所以椭圆的方程为+＝1．（2）证明：由（1）知A（﹣3，0），B（3，0），F（2，0），设T（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由k TA＝k PA，得＝，k TB＝k QB，得＝，两式相除得＝•，又+＝1，故﹣1＝﹣•＝﹣，故＝﹣，于是＝•＝﹣•，由于直线PQ经过点F，故设直线PQ的方程为x＝my+2，联立椭圆的方程可得（5m2+9）y2+20my﹣25＝0，所以，所以＝﹣•＝﹣•＝﹣•＝﹣•＝，解得x0＝，所以点T横坐标为定值．21．已知函数f（x）＝e x（x+a），其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝f（x﹣a）﹣x2，讨论函数g（x）零点的个数，并说明理由．解：（1）因为f（x）＝e x（x+a），所以f'（x）＝e x（x+a+1）．………………………………………………………………（1分）由f'（x）＞0，得x＞﹣a﹣1；由f'（x）＜0，得x＜﹣a﹣1．………………………………………………………………所以f（x）的增区间是（﹣a﹣1，+∞），减区间是（﹣∞，﹣a﹣1）．………………………（2）因为g（x）＝f（x﹣a）﹣x2＝xe x﹣a﹣x2＝x（e x﹣a﹣x）．由g（x）＝0，得x＝0或e x﹣a﹣x＝0．………………………………………………………………………设h（x）＝e x﹣a﹣x，又h（0）＝e﹣a≠0，即x＝0不是h（x）的零点，故只需再讨论函数h（x）零点的个数．因为h'（x）＝e x﹣a﹣1，所以当x∈（﹣∞，a）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（a，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．…………………………………………所以当x＝a时，h（x）取得最小值h（a）＝1﹣a．………………………………………①当h（a）＞0，即a＜1时，h（x）＞0，h（x）无零点；…………………………………②当h（a）＝0，即a＝1时，h（x）有唯一零点；…………………………………………③当h（a）＜0，即a＞1时，因为h（0）＝e﹣a＞0，所以h（x）在（﹣∞，a）上有且只有一个零点．……………………………………………令x＝2a，则h（2a）＝e a﹣2a．设φ（a）＝h（2a）＝e a﹣2a（a＞1），则φ'（a）＝e a﹣2＞0，所以φ（a）在（1，+∞）上单调递增，所以，∀a∈（1，+∞），都有φ（a）≥φ（1）＝e﹣2＞0．所以h（2a）＝φ（a）＝e a﹣2a＞0．………………………………………………………所以h（x）在（a，+∞）上有且只有一个零点．所以当a＞1时，h（x）有两个零点．………………………………………………………综上所述，当a＜1时，g（x）有一个零点；当a＝1时，g（x）有两个零点；当a＞1时，g（x）有三个零点．……………………………………………………………（二）选考题：共10．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．解：（1）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2代入ρ2+12ρcosθ+11＝0，得x2+y2+12x+11＝0，即（x+6）2+y2＝25，所以圆C的圆心坐标为（﹣6，0）；（2）在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R）．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11＝0．于是ρ1+ρ2＝﹣12cosα，ρ1ρ2＝11，，由，得，，tanα＝＝±＝，所以l的斜率为或．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g（x2）＜﹣；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当时，，不等式g（x2）＜﹣，即，即，解得x2＞4或x2＜﹣3（舍去），由x2＞4，解得x＜﹣2或x＞2，所以不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．（2）由题意知，只需满足f（x）mix≥g（x）max即可，因为f（x）＝x2+1，所以f（x）min＝1，依题意，当时，g（x）＝，得f（x）min≥g（x）max，得，即，所以，即a的取值范围是[，]．。
2021届陕西省交大附中、龙岗中学高三上学期第一次联考文科数学试题
2020～2021学年第一学期交大附中、龙岗中学第一次联考数学（文）试题注意：本试题共4页，三道大题.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{|3}M x x =<，2{|log }N y y x ==，则MN =（ ）A.RB.{|03}x x <<C.{|13}x x <<D.{|3}x x <2．设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数ba i+为纯虚数”的（ ）条件 A.必要不充分 B.充分不必要 C.充要 D.既不充分也不必要3．已知三条不重合的直线,,m n l ，两个不重合的平面,αβ，则下列说法正确的是（ ）A.若，，且，则B.若，，则C.若，，，，则D.若，，，则4．2018年5月至2019年春季，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦．假设蝗虫的日增长率为5%，最初有0M 只，则经过（ ）天能达到最初的16000倍． （参考数据：ln1.0500.0488,ln1.50.4055,ln16007.3778,ln160009.6803≈≈≈≈） A.197 B.198 C.199 D.2005．设实数,x y 满足约束条件10011x y x x y ⎧⎪+-≤≥--≤⎨-⎪⎩，则2z x y =+的最大值是( )m β⊥l m ∥αβ∥m n ∥n α⊂m α∥m α⊂n α⊂m β∥n β∥αβ∥αβ⊥m αβ=n β⊂n α⊥A.2B.0C.4-D.2-6．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，线段12F F 被抛物线22y bx =的焦点分成7:3的两段，则此双曲线的离心率为（ ）A.53 B.54 D.857．已知0,0a b >>，且191a b+=，则ab 的最小值为（ ） A.100 B.81 C.36 D.98．已知向量(1,2)a =，(3,4)b =-，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ）1 D.1-9．在直三棱柱111ABC A B C -中，14AB AC AA ===，AB AC ⊥，则该直三棱柱111ABC A B C -的外接球的体积是（ ）A.48πB.C.16πD.10．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222(2cos 1)(cos sin )222A B B a b -=-，则ABC ∆是（ ）A ．等腰三角形 B.直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 11．已知数列{}n a 前n 项和是n S ,且满足13a =,2218k k a a -=,21212k k a a +=,*k N ∈，则2021=S （ ）A.202141- B.2021323⨯- C.1011349⨯- D.1010542⨯-12．下列关于函数2()(3)xf x x e =-的结论中，正确结论的个数是（ ）①()0f x >的解集是{|x x <<；②(3)f -是极大值，(1)f 是极小值；③()f x 没有最大值，也没有最小值； ④()f x 有最大值，没有最小值；⑤()f x 有最小值，没有最大值.A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．命题“[0,)x ∀∈+∞，30x x +≥”的否定是 .14．一块外表面均被涂为红色的正方体被分成64个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀混合，则从中任意取出一块小正方体仅有一面涂成红色的概率是 ． 15.函数2()2,()2,0f x x x g x ax a =-=+>，对于任意的1[1,2]x ∈-，存在0[1,2]x ∈-，使01()()f x g x =，则实数a 的取值范围是 .16.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，圆222:(5)M x b y a ++=，若双曲线C 的一条渐近线与圆M 相切，则当229625ln b a a+-取得最小值时，双曲线C 的实轴长为 .三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：共60分.17.（本题满分12分）已知函数1()cos cos )2f x x x x =-+，x R ∈． （I ）求函数()f x 的最小正周期和对称轴；（Ⅱ）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足4c =，()1f C =，且ABC ∆的面积为43，求,a b 的值．18.（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足233n n S a =-，*n N ∈.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3log n n n b a a =+（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T .19.（本题满分12分） 定义椭圆:C 22221x y a b+=（0a b >>）的“蒙日圆”方程为2222x y a b +=+.已知抛物线24x y =的焦点是椭圆C 的一个短轴端点，且椭圆C 的离心率为6. （I ）求椭圆C 的标准方程和它的“蒙日圆”E 的方程；（Ⅱ）若斜率为1的直线l 与“蒙日圆”E 相交于,A B 两点，且与椭圆C 相切，O 为坐标原点，求OAB ∆的面积.20.（本题满分12分）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，点,,,P Q R S 分别是棱1111,,,AB AD C D B C 的中点.（I ）证明：,,,P Q R S 四点共面；（Ⅱ）证明：平面PQRS ⊥平面11ACC A ；（Ⅲ）若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点T 是线段PQ 上的一个动点，且动直线1TC 与平面PQRS 所成的角记为θ，求sin θ的最大值.21.（本题满分12分）已知函数()ln 1,f x x ax a R =-+∈. （I ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式()0≤f x 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当*n N ∈时，求证：111111ln(1)123123+++<+<+++++n n n.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．22.（本题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，曲线C 的方程为2sin()33πρθ-=.以极点为原点，以极轴为x 轴的正半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，曲线E 的参数方程为2cos 4sin x y αα=⎧⎨=⎩，α为参数，R α∈.（I ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线E 的普通方程；（Ⅱ）若曲线C 与x 轴相交于点M ，与曲线E 相交于,A B 两点，求MA MB +的值.23.（本题满分10分）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|2||2|f x x a x =-++.（I ）当2a =时，求不等式()9f x ≤的解集；（Ⅱ）当a R ∈时，不等式()|23||2|70f x x x ++-+-≥恒成立，求实数a 的取值范围.数学（文）试题参考答案一、选择题（12×5分=60分）二、填空题（4×5分=20分）13..[0,)x ∃∈+∞，30x x +<； 14.38 15.1(0,]216.6 三、解答题（5×12分+10分=70分）17.（12分）（I ）解：1()cos cos )2f x x x x =-+21cos cos 212cos 22sin(2)6xx x x x x π-+=-=-（3分）则函数()f x 的最小正周期为T π=；（4分） 令262x k πππ-=+，则函数()f x 的对称轴为：,32k x k Z ππ=+∈. （6分） （Ⅱ）()sin(2)16f C C π=-=，且0C π<<，则3C π=，（7分） 由1sin 2S ab C ==，可知16ab =，（9分）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-及4,3c C π==，可知2232a b +=；（11分） 所以：4a b ==.（12分） 18.（12分）（I ）当1n =时，11233S a =-，所以13a =；（2分）当2n ≥时，11233n n S a --=-，所以1122233n n n n n a S S a a --=-=-，于是13n n a a -=；（5分）所以，{}n a 是首项为3，公比是3的等比数列，于是3n n a =，*n N ∈.（7分） （Ⅱ）3log =3nn n n b a a n =++，*n N ∈（8分）1231(123)(3333(1)3(13)=21311(1)(33)22n n n n T n n n n n +=++++++++++-+-=++-）211(33)2n n T n n +=++-，*n N ∈.（12分）19.（满分12分）（I ）抛物线24x y =的焦点为(0,1)，则1b =， （1分）又3c e a ==，且222a b c =+，所以a c ==，（3分）于是椭圆的标准方程为：2213x y +=；“蒙日圆”E 方程为224x y +=. （5分）（Ⅱ）设直线AB l ：y x m =+，1122(,),(,),A x y B x y由2233y x m x y =+⎧⎨+=⎩可得：2246330x mx m ++-=，令0∆=可得：24m =，2m =±. （7分） 方法1：“蒙日圆”E 方程为224x y +=，圆心为(0,0)，半径2r =，则圆心距离d ==，（8分）||AB ===（10分）于是，11||222ABC S AB d ∆=⋅=⋅=.（12分） 方法2：由224y x m x y =+⎧⎨+=⎩，可得：222240x mx m ++-=，即20x mx += 则10x =，2x m=-，（7分）12||||AB x x =-=（9分）则圆心距离211d ==+，（10分） 于是，11||222222ABC S AB d ∆=⋅=⋅⋅=.（12分）20.（满分12分）证明：（I ）连接11,BD B D ，因为1BB =1DD ，所以四边形11BB D D 是平行四边形，所以：BD=11B D ；又因为,P Q 是中点，所以12PQBD =； 又因为,R S 是中点，所以1112RSB D =； 所以PQRS =，所以四边形PQRS 平行四边形，所以,,,P Q R S四点共线.（3分）（Ⅱ）因为,R S 是中点，所以11RSB D =，又因为1111B D AC ⊥，所以11RS A C ⊥；（4分）又因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面1111A B C D ，所以1CC RS ⊥，又1111AC CC C =，且111,A C CC ⊆平面11AAC C ，所以RS ⊥平面11AAC C，又RS ⊆平面PQRS，（6分）所以平面PQRS ⊥平面11ACC A ；（7分）（Ⅲ）方法1：设点1C 到平面PQRS 的距离为d ，则1sin dTC θ=， 当1TC 最小值时，sin θ最大，又由于1PQC ∆是等腰三角形，所以当T 移动到PQ 中点时，1TC PQ ⊥，此时1TC 最小； （9分）在1PQC ∆中，2PQ =，113PC QC ==，则记线段PQ 的中点为O 时，1342OC =； 又1111111111==23323C PQS C PRS P RSC RSC V V V S CC ---∆⋅=⋅⋅=⋅⋅=， 又16232PQS S ∆=⋅⋅=，所以1133PQS S d ∆⋅⋅=，所以3d =； 所以，()max 1102sin 51d OC θ==.（12分）方法2：如图，平面PQRS 平面111AAC C OO =，则过1C 作11C H OO ⊥，交线段1OO 的延长线于点H ，又由（1）知平面PQRS ⊥平面11AAC C ，111C H AA C C ⊆平面，所以111C H AAC C⊥平面；（8分）所以动直线1TC 在平面PQRS 上的射影为TH ，则1C TH θ=∠，于是111sin sin C HC TH TC θ=∠=，当1TC 最小值时，sin θ最大，又由于1PQC ∆是等腰三角形，所以当T 移动到PQ 中点O 时，1TC PQ ⊥，此时1TC 最小，所以()1max 1sin C H OC θ=.（10分）由于1,O O 是线段11,AC A C 的四等分点，则在平面11AAC C中可知13C H =； 又由于1PQC ∆中，PQ =113PC QC ==，则1OC =； 于是()1max 1sin C H OC θ=.（12分）21.（满分12分）（I ）()ln 1,0f x x ax x =-+>，1()f x a x'=- （1分）①当0a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞上递增；（2分）②当0a >时，令()0f x '=，则1x a=， 当10x a <<时，()0f x '>；当1x a>时，()0f x '<， 所以()f x 在区间1(0,)a 上递增，在1(,)a+∞上递减. （4分）（Ⅱ）方法1：构造函数()ln 1,0f x x ax x =-+>，1()f x a x'=- ①当0a ≤时，由（Ⅰ）()f x 在(0,)+∞上递增，又(1)10f a =->，不符合题意，舍； （5分）②当0a >时，由（Ⅰ）知()f x 在区间1(0,)a 上递增，在1(,)a+∞上递减；所以max 11()()ln()0f x f a a==≤，解得：1a ≥.（7分）综上：1a ≥ 方法2：分离参数()ln 10f x x ax =-+≤恒成立，等价于ln 1x a x+≥，0x >（5分）设ln 1()x g x x +=，0x >，2ln ()xg x x-'=，令()0g x '=，1x =，则 当01x <<时，()0g x '>；当1x >时，()0g x '<，所以()g x 在区间(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减；所以max ()(1)1g x g ==，所以：1a ≥（7分）（Ⅲ）由（I ）知，当1a =时，()0f x ≤恒成立，即ln 1x x ≤-（仅当1x =时等号成立） （8分） ①当*1,k x k N k +=∈时，11ln 1k k k k ++<-，即11ln k k k+<； 所以，2ln11<，31ln 22<，41ln 33<，……，11ln n n n+<； 上述不等式相加可得：2341111lnln ln ln112323n n n+++++<+++…+， 即：2341111ln112323n n n+⋅⋅<+++…+，即：111ln(1)123n n+<+++…+，*n N ∈； （10分）②当*,1k x k N k =∈+时，ln 111k k k k <-++，即111ln 1k k k -+⎛⎫<- ⎪+⎝⎭，即11ln 1k k k +>+ 所以，21ln12>，31ln 23>，41ln 34>，……，11ln 1n n n +>+； 上述不等式相加可得：23411111lnln ln ln1232341n n n +++++>+++…+， 即：23411111ln1232341n n n +⋅⋅>+++…+， 即：1111ln(1)2341n n +>+++…+，*n N ∈；（12分）综上：当*n N ∈时，111111ln(1)123123+++<+<+++++n n n. 22.（满分10分）（I ）因为曲线C 的极坐标方程为2sin()33πρθ-=，所以：sin cos 30ρθ-θ-=；又因为：sin cos y x ρθ,ρθ==，所以：30y --=，即曲线C 的直角坐标方程30y -+=.（3分）曲线E 的参数方程为2cos 4sin x y αα=⎧⎨=⎩，消去参数α，可得曲线E 的普通方程221416x y +=； （5分）（Ⅱ）由于曲线C 30y -+=，则(M ，且倾斜角为3π， （6分）设曲线C的参数方程为122x ty t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，t为参数，且,A B两点的参数分别为12,t t，则将曲线C的参数方程代入曲线E的普通方程可得：27160t--=，由韦达定理可知：12t t+=，12167t t=-，（8分）1212||||||||||7MA MB t t t t+=+=-==. （10分）23.（满分10分）（I）当2a=时，|22||2|9x x-++≤，当1x≥时，2229x x-++≤，3x≤，所以13x≤≤；当21x-<<时，2229x x-++≤，5x≥-，所以21x-<<；当2x≤-时，2229x x---≤，3x≥-，所以32x-≤≤-；综上：不等式的解集为：{|33}x x-≤≤. （5分）（Ⅱ）当a R∈时，不等式()|23||2|70f x x x++-+-≥恒成立，即：不等式|2||23|7x a x-++≥恒成立，只需要()min|2||23|7x a x-++≥（7分）由于|2||23||(2)(23)|x a x x a x-++≥--+，当且仅当(2)(23)0x a x-+≤时等号成立；即：|2||23||3|x a x a-++≥+，所以：|3|7a+≥，（8分）解得：4a≥或10a≤-.（10分）。
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8.如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1 ，线段 AC1 上有两个动点 E、F ，且
EF
3 3
，给出下列四个结论错．误．的选项是（
）
A ． CE BD
B ．点 C 到平面 BEF 的距离为 2 2
C ． BEF 在底面 ABCD 内的正投影是面积不是定值的三角形 D ．在平面 ABCD 内存在无数条与平面 DEA1 平行的直线
则 d =d1 d2 ，如图是根据美国公路局公布的实验
数据制作的停车距离示意图.图中指针所指的内
圈数值表示对应的车速 v （ km / h ）.根据该图数
据，建立停车距离与汽车速度的函数模型. 可选
择模型①：d =av b. 模型②：d =av2 bv. 模型
③：d =av b . 模型④：d =av2 b .（其中 a,b
，n则
(
1 )
3 i)5 （
）
22
A. ． 1 3 i 22
B．1 3i C．1+ 3i
22
22
D．1 3i 22
2
7.若实数数列：1， a ，81 成等比数列，则圆锥曲线 x2 y2 1 的离心率是（ ） a
A ． 10 或 2 2 3
B． 3或 6 3
C．2 3 3
D ． 1 或 10 3
A ．0.8
B ．0.75
C ．0.6
D ．0.48
)=
x + sin(x) x2 + cos(x)
5. 函数 f(x) =
fx (
x2
x x)sin(xx)2
+ cos(x)
sin x cfo(sxx)
的= 大(x致x2 图+ c象soisn是((xx（)))
y
y
1
1
-π O π
x
-1
-π O π x -1
an1 an 2n 2 ，则 a1 a2 L a2020 （ ） A．1010 2021 B．1010 2020 C．1009 2021 D．1009 2020 12.不等式 x3ex a ln x x 1对任意 x (1, ) 恒成立，则实数 a 的取值范围（ ）
A． (,1 e]
则由此判断进入夏季的地区有______.
16.我 国 古 代 《 九 章 算 术 》 中 将 上 ， 下 两 面 为 平 行 矩 形 的 六 面 体 称 为 刍 童 . 如 图 的 刍 童
ABCD EFGH 有 外 接 球 ， 且 AB 2 6, AD 2 2, EH 15, EF 5 ，
平面EFGH 平面 ABCD 的距离为 1 则,该刍童外接球的
）
f(x)
=
(x sin(x))2 x2 + cos(x)
y
1
-π O π
x
-1
y 1
-π O π
x
-1
A
B
C
D
uuur
uuur
6.在复平面内，复数 z a bi(a R,b R) 对应向量 OZ（ O 为坐标原点），设| OZ | r ，
以射线 OX 为始边， OZ 为终边旋转的角为 ，则 z r(cos i sin ) ，法国数学家棣莫
图象的所有交点中，相邻两个交点之间距离的最小值为
6
，则下列说法错．误．的是（
）
A． f x 的最大值为 2
B． 2
C． f x 图象的对称轴方程为 x k , k Z
26
3
D．
f
x
的一个增区间为
5 12
, 12
11.若 x 表示不超过 x 的最大整数（例如：0.1 0,0.1 1），数列an 满足：a1 3，
①
第 8 页 共 16 页
所以 2Sn1 3an1 （1 n 2），
②
①－②得， 2(Sn
Sn1)
3(an
an1) ，化简为 an
3an（1 n
2），即
an an1
3(n
2),
在①中，令 n 1, 可得， a1 1，所以数列{an}是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，
从而有 an 3n1(n N*) ．
BCD CDE BAE 2 ， DE 4km ， 3
BC CD 3km .
B
A
（1）求服务通道 BE 的长度；
（2）当 AEB 时，赛道 BA 的长度. 4
C
E
D
18. (12 分)设已知数列{an}的前 n 项和 Sn ， 2Sn 3an 1 . （1）求 an ； （2）若 bn (n 1)an ，且数列{bn}的前 n 项和为 Tn ，求 Tn .
B． (, 2 e2 ]
C． (, 2]
D． (, 3]
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
uuur uuur 13. 如图所示， A 、 B 是圆 O 上的两点，若 AB AO 2 ，则弦 AB 长
为______.
14. 若 x 0 ， y 0 ， xy x y 3 ，则 x y 的取值范围是______. A
（2）若实数 x, y, z 满足 x2 y2 z2 t ，证明： x y 2 2 .
7
2020～2021 学年第一学期
交大附中、龙岗中学第一次联考数学试题（理）
一、选择题
题号 1
2
3
答案 C
D
B
二、填空题
13. 2
14.x x 6
4
5
6
7
8
9
10 11 12
B
B
A
A
C
A
C
A
D
15. 甲地、丙地（全对 5 分，漏选 2 分.）
16. 36
三、解答题 【17 题】
解：（1）连接 BD ，在 BCD 中，由余弦定理得： BD2 BC2 CD2 2BC CD cos BCD 9 ，
BD 3. Q BC CD ， CBD CDB ， 6
又 CDE 2 ，BDE ，
3
2
在 RtBDE 中， BE BD2 DE2 5 .………………………………………… 6 分
坐标系.
（1）求曲线 C 的极坐标方程；
（2）直线
l1
的极坐标方程是
2
sin(
3
)
3
3
0
，直线 l2
:
3
(
R)
与曲线 C
的
6
交点为 P ，与直线 l1 的交点为 Q ，求线段 PQ 的长.
23.（10 分）[选修 4—5：不等式选讲] 已知函数 f x x 1 2x 6 . （1）求函数 f x 的最小值 t ；
B C
A D
(二)选考题：共 10 分，请考生在第 22,23 题中任选一题作答.
22. (10 分)[选修 4—4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为：
x 1
3 cos .（ 是参数， 0 ）.以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极
y 3 sin
（2）设点椭圆上点 P 坐标为 (x0 , y0 )，切点坐标为 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，
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Q 直线 AP, BP 为圆 O 的两切线，圆 O 方程为： x2 y2 1 . uuur uuur
OA AP 0 ，
Q AP (x0 x1, y0 y1),OA (x1, y1) ， uuur uuur
C ． A=B
2. 下列说法正确的是（ ）
A ．若“ p 且 q ”为真命题，则 p, q 中至少有一个为真命题
D． AI B
B ．命题“ x0 R, x02 x0 1 0 ”的否定是“ x R, x2 x 1 0 ”
C ．命题“若 sin x sin y ，则 x y ”的逆否命题为真命题
3 3n (n 1) 3n (3 2n) 3n 3 .
1 3
2
所以， Tn
(2n
3) 3n 4
3.
………………………………………… 12 分
【19 题】
解：（1）依题意， 2a 4, 得 a 2,
Q e c 3 ，c 3,b 1. a2
椭圆方程为 x2 y2 1 ………………………………………… 5 分 4
v
v
为待定参数）进行拟合，则拟合效果最好的函数
1
模型是（ ）
A. d =av b.
B. d =av2 bv.
C. d =av b . v
D. d =av2 b . v
4. 甲、乙两人同时向同一目标射击一次，已知甲命中目标概率 0.6,乙命中目标概率 0.5，假 设甲、乙两人射击命中率互不影响.射击完毕后，获知目标至少被命中一次，则甲命中目标 概率为（ ）
（1）证明： C1C BD ；
（2）假设 CD
2, C1C
3 2
,
记面
C1
BD
为
，面 CBD
为
，求二面角
BD
的平
面角的余弦值；
（3）当
CD CC1
的值为多少时，能使
A1C
平面 C1BD
？请给出证明.
B1 C1
A1 D1
21. (12 分)已知函数 f (x) x . ln x
（1）讨论函数 f (x) 的单调性； （2）若 f (x1) f (x2 ) e2, 其中 x1, x2 [e, )，求证： x1 x2 2e2.
（2）在 BAE 中， BAE 2 ， BE 5 . AEB
3
4
BE 由正弦定理得 sin 2