2021届上海市上海交通大学附属中学高三上学期开学摸底数学试题(解析版)
上海交通大学附属中学2023届高三上学期开学考试数学试题(解析版)
（2）求证：当且仅当 时，函数 存 最小值.
（3）已知存在 ，使得 对一切 恒成立，求满足 的 的最小值.
【答案】（1） ，
（2）证明见解析（3）
【分析】（1）根据切点坐标和导数的几何意义可得出关于 、 、 的方程组，即可解得这三个未知数的值；
（2）对 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数 的单调性，即可得出结论；
【答案】
【分析】求导后，代入 即可得到结果.
【详解】 ， ，
即小球在 时的瞬时速度为 .
故答案为： .
8.已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是________________．
【答案】
【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．
【详解】原不等式等价于 ，两边平方得 ，
整理得 ，解得 ，故原不等式的解集为 .
故答案为： .
3.已知点 ，则 的单位向量为（用坐标表示）________
【答案】
【分析】由单位向量的定义求解即可
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 的单位向量为 ，
故答案为：
4.已知 ，若实数 满足 ，则 ________
【答案】 ##-0.2
由（2）可知，当且仅当 时，函数 存在最小值，且 ，
由已知 可得 ，则 ，
所以， ，
由题意可得 ，因为 ，可得 ，
令 ，可得 ，
令 ，其中 ，
，当且仅当t= 0.5时取等，
令 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上单调递增，则 ，所以， ，
所以，函数 在 上为增函数，
上海市上海交通大学附属中学2021届高三上学期摸底考试数学试题
上海市上海交通大学附属中学2021年高三上学期摸底考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．设全集{}1,3,5,7U =，集合{}1,5M a =-，M U ⊆，{}5,7U M =，则实数a 的值是____________.2．若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =______．3．已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点为(10,0)F ，两条渐近线的方程为43y x =±，则该双曲线的标准方程为 .4．行列式240135143----的第2行第3列元素的代数余子式的值为______. 5．若变量,x y 满足约束条件1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =-的最小值为__________．6．五位同学排成一排，其中甲、乙必须在一起，而丙、丁不能在一起的排法有________种7．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若1918a a +=，47a =，则8S =______.8．设()291(21)x x ++=21101211(2)(2)(2)a a x a x a x +++++++，则01211a a a a ++++的值为__________．9．有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为_________10．函数()22x x af x a+=-为奇函数，则实数a 的值为______.11．关于x 的方程1x ax =+有且仅有一个负根，则实数a 的取值范围是______. 12．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM ＝2MF ，则直线OM 的斜率的最大值为________. 13．已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为__________．14．在平面直角坐标系中，当P(x ，y)不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222(,)y xP x y x y-++'；当P 是原点时，定义P 的“伴随点“为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C '定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点A '，则点A '的“伴随点”是点A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C '关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.二、单选题15．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件16．若P 是平面α外一点，则下列命题正确的是（ ） A ．过P 只能作一条直线与平面α相交 B ．过P 可作无数条直线与平面α垂直 C ．过P 只能作一条直线与平面α平行 D ．过P 可作无数条直线与平面α平行17．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列,把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移6π个单位,得到函数()g x 的图象.关于函数()g x ,下列说法正确的是（ ）A ．在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．其图象关于直线4πx =-对称 C ．函数()g x 是奇函数 D ．当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()g x 的值域是[2,1]-18．已知符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()f x 是R 上的增函数，()()()()1g x f x f ax a =->，则（ ）A ．()sgn sgn g x x =⎡⎤⎣⎦B ．()sgn sgn g x x =-⎡⎤⎣⎦C ．()()sgn sgn g x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦D ．()()sgn sgn g x f x =-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦三、解答题19．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =ABC S ∆=ABC ∆的周长. 20．如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD ．E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.（I ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM∥平面PBE ，并说明理由； (II)若二面角P-CD-A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值. 21．已知3a ≥，函数(){}2min 21,242F x x x ax a =--+-，其中{},min ,,p p qp q q p q≤⎧=⎨>⎩.（Ⅰ）求使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）求()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a .22．各项均为正数的数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有()21n n n S b b =+．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有2016项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a 与1i a +之间插入i 个()*1()ii b i N -∈后，得到一个新的数列{}n c ．求数列{}n c 中所有项的和；（3）是否存在实数λ，使得存在*n N ∈，使不等式()()1182011n n n n n b n b b b λ++⎛⎫++≤+≤+ ⎪⎝⎭成立，若存在，求实数λ的范围，若不存在，请说明理由．23．如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； (3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”．参考答案1．8或2 【分析】由{}1,3,5,7U =，M U ⊆，{}5,7UM =，可得出集合M ，在根据{}1,5M a =-得出5a -的值，从而求出a .【详解】因为{}1,3,5,7U =，M U ⊆，{}5,7UM =，所以{}1,3M =，又{}1,5M a =-，所以53a -=，所以8a =或2. 故答案为：8或2. 【点睛】本题主要考查集合间的关系，属于基础题. 2．12i - 【解析】 【分析】设复数z a bi =+，(a 、b 是实数)，则z a bi =-，代入已知等式，再根据复数相等的含义可得a 、b 的值，从而得到复数z 的值． 【详解】解：设z a bi =+，(a 、b 是实数)，则z a bi =-，232z z i +=-，2232a bi a bi i ∴++-=-， 33a ∴=，2b =-，解得1a =，2b =-， 则12z i =- 故答案为12i -． 【点睛】本题着重考查了复数的四则运算和复数相等的含义，属于基础题．3．2213664x y -=【分析】 由410,3b c a == ,22100a b =+,解出,a b 的值，从而可得结果. 【详解】 由题意得,410,3b c a == ,22100a b =+,6,8a b ∴==故该双曲线的标准方程为2213664x y -=,故答案为2213664x y -=.【点睛】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题. 4．4 【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第3列后所余下的2阶行列式为第2行第3列元素的代数余子式，求出值即可． 【详解】解：由题意得第2行第3列元素的代数余子式 ()()23232414241414M +-=-=--⨯--⨯=⎡⎤⎣⎦- 故答案为：4． 【点睛】本题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，属于基础题． 5．7- 【分析】先画出二元一次不等式所表示的可行域，目标函数为截距形，3y x z =-，直线的截距越大，z 值越小，可见最优解为(2,1)-，则3z x y =-的最小值为7-.【点睛】请在此输入点睛！ 【详解】请在此输入详解！ 6．24 【分析】根据题意，先使用捆绑法，将甲乙看成一个“元素”，再将丙、丁单独排列，进而将若甲、乙与第5个元素分类讨论，分析丙丁之间的不同情况，由乘法原理，计算可得答案． 【详解】根据题意，先将甲乙看成一个“元素”，有2种不同的排法， 将丙、丁单独排列，也有2种不同的排法，若甲、乙与第5个元素只有一个在丙丁之间，则有1224C ⨯=种情况，若甲、乙与第5个元素都在丙丁之间，有2种不同的排法， 则不同的排法共有22(24)24⨯⨯+=种情况. 故答案为：24． 【点睛】本题考查排列、组合的综合运用，涉及相邻与不能相邻的特殊要求，注意处理这几种情况的特殊方法．7．64 【分析】由等差数列的性质可得：195182a a a +==，解得5a ．可得188458()4()2a a S a a +==+． 【详解】解：由等差数列的性质可得：195182a a a +==，解得59a =． 又47a =， 则188458()4()4(97)642a a S a a +==+=⨯+=． 故答案为：64． 【点睛】本题考查等差数列的下标和性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8．-2. 【详解】令21x +=，即令1x =-得()()9201211112112a a a a ⎡⎤⎡⎤++++=-+⋅⨯-+=-⎣⎦⎣⎦.9．136+ 【解析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥， 半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1，可得2R =故2R =故半球的体积为：32 )326π⋅=，棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积13V =，故组合体的体积为136+即答案为136+ 【点睛】本题考查由三视图还原几何体，并求其体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键． 10．1或-1 【分析】函数2()2x x a f x a+=-为奇函数，可得2222x x x x a aa a --++=---，化简即可得出结论．【详解】解：函数2()2x x af x a+=-为奇函数，()()f x f x ∴-=-即2222x x x x a aa a--++=---，∴122122x x x x a a a a++=---， ()2120x a ∴-⋅=即210a -=1a 或1-．故答案为：1或1-． 【点睛】本题考查了奇函数的性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 11．[)1,+∞ 【分析】构造函数||y x =，1y ax =+，在坐标系内作出函数图象，通过数形结合求出a 的范围． 【详解】解：令||y x =，1y ax =+，在坐标系内作出函数图象， 方程||1x ax =+有一个负根，但没有正根， 由图象可知1a 故答案为：1a【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数形结合思想，计算能力，属于基础题． 12．2【分析】要求直线OM 的斜率的最大值，由直线的斜率公式可知应求点M 的横、纵坐标之间的关系。
2021年9月上海市交通大学附属中学2022届高三上学期开学摸底考考试数学试卷及答案
2021年9月上海市交通大学附属中学2022届高三上学期开学摸底考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、填空题1．已知集合{,||,2}A a a a =-,若2A ∈,则实数a 的值为_____________．2．不等式11x<的解是___________． 3．有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是_________（结果用最简分数表示）4．若一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形,则这个圆锥的侧面积为____________．5．设地球半径为R ,若甲地在北纬45︒,东经120︒,乙地在北纬45︒,西经150︒,则甲、乙两地的球面距离为____________．6．已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和()13n n S a n *=+∈N ,则此无穷等比数列各项和是_________．7．已知集合{1,2,4},{1,3,5},{},{}A B C x x A D x x B ===⊆=⊆,则CD =__________． 8．已知数列{}n a 为等差数列,若()1,2,n a a a b n n *==≥∈N ,则11n nb a a n +-=-()2,n n *≥∈N ．类比等差数列的上述结论,对等比数列{}()0,1,n n b b n n *>≥∈N ,若()1,3,n b c b d n n *==≥∈N ,则当3,n n *≥∈N 时可以得到1n b +=_________．9．有一道解三角形的问题,缺少一个条件,具体如下：“在ABC 中,已知a =,45B =︒,_______,求角A 的大小．”经推断缺少的条件为三角形一边的长度,且正确答案为60A =︒,试将所缺的条件补充完整． 10．下列五个命题中正确的是________（填序号）．①若ABC 为锐角三角形,且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+,则2a b =②在7(1)x -的二项展开式中,2x 项的系数为21-③函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-关于直线1x =对称④设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若202011S S -=,则20211S > ⑤函数2()f x =的最小值为211．已知有限集{}()12,,,2,n A a a a n n *=≥∈N ,如果A 中元素(1,2,,)i a i n =满足：121222n n a a na a a na ⨯⨯⨯=+++,就称A 为n 元“均衡集”,若{}12,a a 是二元“均衡集”,则122a a +的取值范围是______________．12．已知0a >,若集合{}22222220,,A x x x a x x a a x A =---+-+--=∈R Z 中的元素有且仅有2个,则实数a 的取值范围为_____________．二、选择题13．若123314x x x x 、、、、的标准差为2,那么()()()12314353535x x x +++、、、的标准差为（ ） A ．18 B ．14 C ．6 D ．314．已知36:,:39a a b p q b ab >-+>-⎧⎧⎨⎨>->⎩⎩,则p 是q 的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要15．对平面中的任意平行四边形ABCD ,可以用向量方法证明：()22222AC BD AB BC +=+,若将上述结论类比到空间的平行六面体1111ABCD A B C D -,则得到的结论是（ ）A ．()2222112AC AC AB AD +=+ B ．()222221112AC BD AB AD AA +=++C ．()2222222111113AC BD AC DB AB AD AA +++=++ D ．()2222222111114AC BD AC DB AB AD AA +++=++ 16．已知M N P ⊆R 、、,{()0},{()0},{()()0}M x f x N x g x P x f x g x ======,则集合P 恒满足的关系为（ ）A ．P M N =B ．P ≠∅C ．P =∅D ．()P M N ⊆三、解答题17．已知函数21()1f x x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭． （1）若不等式()0f x <解集为122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭时,求实数a 的值； （2）对任意[1,2],()0a f x ∈≥恒成立,求实数x 的取值范围．18．如图所示：一吊灯的下圆环直径为4米,圆心为O ,通过细绳悬挂在天花板上,圆环呈水平状态,并且与天花板的距离（即OB ）为2米,在圆环上设置三个等分点123A A A 、、,点C 为OB 上一点（不包含端点O 、B ）,同时点C 与点123A A A B 、、、均用细绳相连接,且细绳123CA CA CA 、、的长度相等．设细绳的总长（即13CA CB +）为y 米．（1）设1()CAO rad θ∠=,将y 表示成θ的函数关系式,并指出θ的范围； （2）请你设计θ,当角θ正弦值的大小是多少时,细绳总长y 最小,并指明此时BC 应为多长（精确至0.01米）．19．设数列{}n a 的首项为1,前n 项和为n S ,若对任意的n *∈N ,均有n n k S a k +=-（k 是常数且k *∈N ）成立,则称数列{}n a 为“()P k 数列”．（1）若数列{}n a 为“(1)P 数列”,求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在数列{}n a 既是“()P k 数列”,也是“(2)P k +数列”？若存在,求出符合条件的数列{}n a 的通项公式及对应的k 的值,若不存在,请说明理由．20．已知函数()y f x =满足(3)3()f x f x =,当13x ≤<时,()1|2|f x x =--．（1）当()1,3n x n *⎡⎤∈∈⎣⎦N 时,求函数()y f x =的图像与x 轴所围成的图形面积； （2）当291,2x ⎡⎤∈⎣⎦时,求函数()y f x =的最大值； （3）当[1,)x ∈+∞时,函数()g x mx =与()y f x =的图像有交点,将从左向右的交点的横坐标依次记为1x 、2x 、3x 、…,数列{})n x n *∈N （是否可能为等比数列,若可能,请求出对应的m 值,若不可能请说明理由．21．（1）已知函数3()311f x x x =-+,试判断函数()f x 在区间[1,1]-上的单调性,并说明理由；（2）已知函数3()3||1g x x x c =--+,对于常数(1,)c ∈-+∞,试讨论函数()g x 的单调性（无需证明）；（3）已知函数3()3||1h x x x =-+,若对于函数()h x 满足()()h x a h x +>恒成立,求实数a 的取值范围．2021年9月上海市交通大学附属中学2022届高三上学期开学摸底考考试数学参考答案一、填空题1．2- 2．(,0)(1,)-∞+∞ 3．15 4．2π 5．3R π 6．1- 7．{1} 8．．c = 10．①④ 11．19,,22⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭12．[1,2) 二、选择题13．C 14．B 15．D 16．D三、解答题17．（1）12或2；（2）1,[2,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦⋃ 18．（1）2(3sin )20cos 4y θπθθ-⎛⎫=+<<⎪⎝⎭；（2）1sin 3θ=时,min 222y BC =+=- 19．（1）12,n n a n -*=∈N ；（2）不存在解：（1）数列{}n a 为“(1)P 数列”,则11n n S a +=-,所以121n n S a ++=-,两式相减得：212n n a a ++=,又1n =时,121a a =-,所以22a =, 故12n n a a +=对任意的n *∈N 恒成立,即12n na a +=,故数列{}n a 为等比数列,其通项公式为12,n n a n -*=∈N ．（2）假设存在这样的数列{}n a ,则有n n k S a k +=-,故有11n n k S a k +++=-,两式相减得,11n n k n k a a a ++++=-,则又332n n k n k a a a +++++=-．同理,由{}n a 是“(2)P k +数列”可得,132n n k n k a a a +++++=-,所以13n n a a ++=对任意的n *∈N 恒成立,所以22n n k n k n S a k a k S ++++=-=-=,即2n n S S +=①又2222n n k n S a k S +++=--=-,即22n n S S +-=②①②两式矛盾,故不存在数列{}n a 既是“()P k 数列”,也是“()2P k +物列”．20．（1）918n -；（2）291823-；（3）12m =或2- 21．（1）单调递减；（2）当11c -<<时,函数在(,]c -∞和[1,)+∞上递增,在[,1]c 上递减,当1c ≥时,在R 上递增；（3）a >2021年9月上海市交通大学附属中学2022届高三上学期开学摸底考考试数学试卷。
上海交大附中高三(上)摸底数学试卷(解析版)
上海交大附中高三（上）摸底数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）1．已知全集U=R，集合A={x|x≤﹣2，x∈R}，B={x|x＜1，x∈R}，则（∁U A）∩B={x|﹣2＜x＜1}．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据全集U及A求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x≤﹣2}，∴∁U A={x|x＞﹣2}，∵B={x|x＜1}，∴（∁U A）∩B={x|﹣2＜x＜1}．故答案为：{x|﹣2＜x＜1}【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=﹣1．【考点】集合的相等．【专题】集合．【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，则①或②，由①得，∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．若b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，∵互异的复数a，b，∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．3．若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，则不等式ax2﹣5x+（a2﹣1）＞0的解集是．【考点】一元二次不等式的应用．【分析】先由二次不等式的解集形式，判断出，2是方程ax2+5x﹣2=0的两个根，利用韦达定理求出a的值，再代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．【解答】解：∵ax2+5x﹣2＞0的解集是，∴a＜0，且，2是方程ax2+5x﹣2=0的两根韦达定理×2=，解得a=﹣2；则不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0即为﹣2x2﹣5x+3＞0，解得故不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．故答案为：【点评】本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及“三个二次”（三个二次指的是：二次函数，一元二次不等式，一元二次方程）之间的关系，“三个二次”之间的关系及应用是数形结合思想的典型代表．4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10=10，S20=30，则S30=60．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由给出的数列是等差数列，可知数列的第一个10项和，第二个10项和，…仍然构成等差数列，结合S10=10，S20=30，列式求解S30的值．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，则S10，S20﹣S10，S30﹣S20仍然构成等差数列，由S10=10，S20=30，得2×20=10+S30﹣30，∴S30=60．故答案为：60．【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，关键是对性质的理解与运用，是中档题．5．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c（acosB﹣bcosA）=2b2，则=．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由条件利用正弦定理和余弦定理代入进行化简即可．【解答】解：∵c（acosB﹣bcosA）=2b2，∴由余弦定理可得ac•﹣bc•=2b2，即a2+c2﹣b2﹣b2﹣c2+a2=4b2，即a2=3b2，则a=b，∴=．再利用正弦定理可得=，故答案为：【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，比较基础．要求熟练掌握相应的公式．6．若点A（2，3）与点B（1，y0）位于直线l：x﹣2y+5=0的两侧，则y0的取值范围是（3，+∞）．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；直线的斜率．【专题】直线与圆．【分析】由不等式与平面区域的关系可得y0的不等式，解不等式可得．【解答】解：∵点A（2，3）与点B（1，y0）位于直线l：x﹣2y+5=0的两侧，∴（2﹣2×3+5）（1﹣2y0+5）＜0，解得y0＞3故答案为：（3，+∞）【点评】本题考查不等式与平面区域，属基础题．7．将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，恰好出现一次正面的概率是．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题．【分析】掷一枚硬币，正面向上的概率是，将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，相当于做了三次独立重复试验，利用独立重复试验的概率公式写出结果．【解答】解：由题意知掷一枚硬币，正面向上的概率是，将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，相当于做了三次独立重复试验，∴恰好出现一次正面的概率是故答案为：【点评】本题考查独立重复试验的概率公式，解题的关键是看出试验符合什么条件，注意应用概率的公式，本题是一个基础题．8．已知b∈R，若（1+bi）（2﹣i）为纯虚数，则|1+bi|=．【考点】复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】通过化简可知（1+bi）（2﹣i）=（2+b）+（2b﹣1）i，利用纯虚数的定义计算即可．【解答】解：∵（1+bi）（2﹣i）=（2+b）+（2b﹣1）i为纯虚数，∴，解得b=﹣2，∴|1+bi|===，故答案为：．【点评】本题考查复数求模，弄清纯虚数的概念是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于基础题．9．已知，且x+2y=1，则的最小值是．【考点】两向量的和或差的模的最值．【专题】计算题．【分析】根据要求的向量可以表示成两个向量的和的形式，把两个向量的系数用一个字母来表示，求向量的模长，利用二次函数的最值，做出结果．【解答】解：∵x+2y=1∴•===84y2﹣72y+16∴当y=时，原式=，故答案为：，【点评】本题考查向量的模长的最值，本题解题的关键是表示出向量的模长，再用函数求最值的方法来求解，这是这一类题目共同的特征．10．已知一圆锥的底面是半径为1cm的圆，若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积是cm3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中，圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的3倍，分析圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，结合圆锥的体积公式即可获得问题的解答．【解答】解：∵圆锥的底面半径r=1cm，侧面积是底面积的3倍，∴圆锥的母线长l=3cm，故圆锥的高h==2cm，故圆锥的体积V=Sh=πr2•h==cm3，故答案为：．【点评】本题考查的是圆锥的体积求解问题．在解答的过程当中充分体现了圆锥体积公式的应用以及转化思想的应用．值得同学们体会反思．11．抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线与该抛物线相交于A，B两点，直线AF，BF 分别交抛物线于点C，D．若直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，则=．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设AF的方程是y=（x﹣1），与抛物线方程联立，求出C的坐标，同理求出D的坐标，可得k2，即可求出．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），∴AF的方程是y=（x﹣1）设k0=，则AF：y=k0（x﹣1），与抛物线方程联立，可得k02x2﹣（2k02+4）x+k02=0，利用韦达定理x3x1=1∴x3=，∴y3=k0（x3﹣1）=﹣即C（，﹣）同理D（，﹣）∴k2==2k1，∴=．故答案为：．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．12．已知f（x）=x2﹣3x+4，若f（x）的定义域和值域都是[a，b]，则a+b=5．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】因为定义域和值域都是[a，b]，说明函数最大值和最小值分别是a和b，所以根据对称轴进行分类讨论即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x+4=+1，∴x=2是函数的对称轴，根据对称轴进行分类讨论：①当b＜2时，函数在区间[a，b]上递减，又∵值域也是[a，b]，∴得方程组即，两式相减得（a+b）（a﹣b）﹣3（a﹣b）=b﹣a，又∵a≠b，∴a+b=，由，得3a2﹣8a+4=0，∴a=∴b=2，但f（2）=1≠，故舍去．②当a＜2＜b时，得f（2）=1=a，又∵f（1）=＜2，∴f（b）=b，得，∴b=（舍）或b=4，∴a+b=5③当a＞2时，函数在区间[a，b]上递增，又∵值域是[a，b]，∴得方程组，即a，b是方程x2﹣3x+4=x的两根，即a，b是方程3x2﹣16x+16=0的两根，∴，但a＞2，故应舍去．故答案为：5【点评】本题考查了二次函数的单调区间以及最值问题，属于基础题．13．关于函数f（x）=cos（2x﹣）+cos（2x+），有下列说法（1）y=f（x）的最大值为；（2）y=f（x）是以π为最小正周期的函数；（3）y=f（x）在区间（，）上单调递减；（4）将函数y=cos2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是（1）（2）（3）．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+），由三角函数的性质逐个选项验证可得．【解答】解：化简可得f（x）=cos（2x﹣）+cos（2x+）=cos（2x+﹣）+cos（2x+）=sin（2x+）+cos（2x+）=sin（2x++）=sin（2x+）∴函数f（x）的最大值为，（1）正确；函数的周期T==π，（2）正确；由2kπ+＜2x+＜2kπ+可得kπ+＜x＜kπ+，当k=0时可得函数y=f（x）在区间（，）上单调递减，（3）正确；（4）y=cos2x的图象向左平移个单位后，可得y=cos2（x+）=cos（2x+）≠sin（2x+），错误；综上可知（1）（2）（3）正确，故答案为：（1）（2）（3）．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及两角和与差的三角函数公式和诱导公式，属中档题．14．定义在实数集R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=Ax+B（A、B为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．给出如下四个命题：①对于给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数；③g（x）=2x为函数f（x）=|3x|的一个承托函数；④为函数f（x）=x2的一个承托函数．其中正确的命题有①③．【考点】函数最值的应用．【专题】压轴题；新定义．【分析】函数g（x）=Ax+B（A，B为常数）是函数f（x）的一个承托函数，即说明函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方（至多有一个交点）①举例可以说明，如f（x）=cosx，则g（x）=B （B＜﹣1）就是它的一个承托函数，且有无数个，反例如y=tanx或y=lgx就没有承托函数；②f（x）=2x+3的定义域和值域都是R，存在一个承托函数y=2x+1，故命题②不正确；③要说明g（x）=2x为函数f（x）=|3x|的一个承托函数；即证明F（x）=e x﹣2x 的图象恒在x轴上方；④举反例即可．【解答】解：①如f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜﹣1）就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y=tanx．y=lgx就没有承托函数，∴命题①正确；②f（x）=2x+3的定义域和值域都是R，存在一个承托函数y=2x+1，故命题②不正确；③令F（x）═|3x|﹣2x=，可见在x≥0时，函数F（x）单调递增，最小值F（0）=0，在x＜0时，函数F（x）单调递减，最小值大于F（0）=0，∴F（x）≥0在R上恒成立，符合定义∴命题③正确；④x=1时，g（1）=，f（1）=1，显然g（1）＜f（1），当x=时，g（）=，f（）=，显然g（）＞f（），命题④不正确．故答案为：①③【点评】本题是新定义题，考查对题意的理解和转化的能力，要说明一个命题是正确的，必须给出证明，如③，对于存在性命题的探讨，只需举例说明即可，如①，对于不正确的命题，举反例即可，如②③，属于中档题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）15．在（1+x）6（2+y）4的展开式中，含x4y3项的系数为（）A．210 B．120 C．80 D．60【考点】二项式定理的应用．【专题】二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求得（1+x）6（2+y）4的展开式中，含x4y3 的项，可得含x4y3项的系数．【解答】解：在（1+x）6（2+y）4的展开式中，含x4y3 的项为•x3••2•y3=120x4y3，故含x4y3项的系数为120，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足=0，则△ABC一定是（）A．等腰非等边三角形 B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【考点】高阶矩阵．【专题】选作题；矩阵和变换．【分析】方程化为2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca=0，配方可得结论．【解答】解：方程化为2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca=0，所以（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=0，所以a=b=c，故选：B．【点评】本题考查高阶矩阵，考查学生的计算能力，比较基础．17．甲乙两人进行相棋比赛，甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，则甲不输的概率是（）A．0.6 B．0.8 C．0.2 D．0.4【考点】概率的基本性质．【专题】计算题．【分析】欲求甲不输的概率，利用等量关系：甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，把相关数值代入即可求解．【解答】解，根据题意，甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2所以甲不输的概率为0.4+0.2=0.6．故选A．【点评】本题考查了等可能事件的概率，解答本题的关键是要判断出“甲获胜的概率，和棋的概率和乙获胜的概率的和是1”．18．圆ρ=（cosθ+sinθ）的圆心坐标是（）A．（1，）B．（，）C．（，）D．（2，）【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】利用化为直角坐标方程，进而得出．【解答】解：圆ρ=（cosθ+sinθ）即（cosθ+sinθ），∴，化为．∴圆心坐标是，∴=1，θ=arctan1=．极坐标为．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化，属于基础题．三．解答题（本大题共五题，满分74分，12+14+14+16+18=74）19．已知角α的终边经过点P（，﹣）．（1）求sinα的值．（2）求式•的值．【考点】任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值．【专题】计算题．【分析】（1）求出|OP|，利用三角函数的定义，直接求出sinα的值．（2）利用诱导公式化简表达式，根据角的终边所在象限，求出cosα=，可得结果．【解答】解：（1）∵|OP|=，∴点P在单位圆上．由正弦函数的定义得sinα=﹣（2）原式==..由余弦的定义可知，cosα=即所求式的值为【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，运用诱导公式化简求值，考查计算能力，推理能力，是基础题．20．已知函数f（x）=|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），若|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得+≥4，结合题意可得|x﹣a|﹣|3x+2|≤4恒成立．令g（x）=|x﹣a|﹣|3x+2|，利用单调性求得它的最大值，再由此最大值小于或等于4，求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|，即|3x+2|+|x﹣1|＜4，∴①，或②，或③．解①求得﹣＜x＜﹣，解②求得﹣≤x＜，解③求得x∈∅．综上可得，不等式的解集为（﹣，）．（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），∴+=（m+n）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当m=n=时，取等号．再根据|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，可得|x﹣a|﹣f（x）≤4，即|x﹣a|﹣|3x+2|≤4．设g（x）=|x﹣a|﹣|3x+2|=，故函数g（x）的最大值为g（﹣）=+a，再由+a≤4，求得0＜a≤．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2．（1）证明：AB1⊥BC1；（2）求点B到平面AB1C1的距离；（3）求二面角C1﹣AB1﹣A1的大小．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．【专题】综合题．【分析】（1）以C点为坐标原点，CA，CB，CC1为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，分别求出AB1与BC1的方向向量，代入数量积公式，得到其数量积为0，即可得到AB1⊥BC1；（2）求出平面AB1C1的一个法向量，则AB的方向向量，代入到公式，即可求出点B到平面AB1C1的距离；（3）结合（2）的结合，再求出平面AB1A1的一个法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C1﹣AB1﹣A1的大小．【解答】证明：（1）如图建立直角坐标系，其为C为坐标原点，题意A（2，0，0），B（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，2，2），C1（0，0，2）．∵，∴∴AB1⊥BC1解：（2）设的一个法向量，由得令∵，∴点B到平面AB1C1的距离．（3）解设是平面A1AB1的一个法向量由∴令∵，∴二面角C1﹣AB﹣A1的大小为60°．【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，点到面的距离，异面直线的夹角，其中建立适当的空间坐标系，将问题转化为向量夹角及向量长度问题是解答本题的关键．22．已知F1，F2为椭圆E的左右焦点，点P（1，）为其上一点，且有|PF1|+|PF2|=4（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过F1的直线l1与椭圆E交于A，B两点，过F2与l1平行的直线l2与椭圆E交于C，D两点，求四边形ABCD的面积S ABCD的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（I）设椭圆E的标准方程为，由已知|PF1|+|PF2|=4，，由此能求出椭圆E的标准方程．（II）由题意可知，四边形ABCD为平行四边形，S△ABCD=4S△OAB，设直线AB的方程为x=my﹣1，且A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，由此利用弦长公式能求出S△BCD的最大值．【解答】解：（I ）设椭圆E 的标准方程为，由已知|PF 1|+|PF 2|=4，得2a=4，∴a=2，…又点P （1，）在椭圆上，∴，∴b=， 椭圆E 的标准方程为=1．…（II ）由题意可知，四边形ABCD 为平行四边形，∴S ▱ABCD =4S △OAB ，设直线AB 的方程为x=my ﹣1，且A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由，得（3m 2+4）y 2﹣6my ﹣9=0， ∴y 1+y 2=，y 1y 2=﹣，… S △OAB =+=|OF 1||y 1﹣y 2|= ==6，…令m 2+1=t ，则t ≥1，S △OAB =6=6，…又∵g （t ）=9t+在[1，+∞）上单调递增 ∴g （t ）≥g （1）=10，∴S △OAB 的最大值为．∴S ▱ABCD 的最大值为6．…【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．23．给定数列{c n }，如果存在常数p 、q 使得c n+1=pc n +q 对任意n ∈N *都成立，则称{c n }为“M 类数列”． （1）若{a n }是公差为d 的等差数列，判断{a n }是否为“M 类数列”，并说明理由；（2）若{a n }是“M 类数列”且满足：a 1=2，a n +a n+1=3•2n ．①求a 2、a 3的值及{a n }的通项公式；②设数列{b n }满足：对任意的正整数n ，都有a 1b n +a 2b n ﹣1+a 3b n ﹣2+…+a n b 1=3•2n+1﹣4n ﹣6，且集合M={n|≥λ，n ∈N *}中有且仅有3个元素，试求实数λ的取值范围．【考点】数列的应用．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）通过a n+1=a n +d 与c n+1=pc n +q 比较可知p=1、q=d ，进而可得结论；（2）①通过a 1=2、a n +a n+1=3•2n 计算出a 2、a 3的值，进而利用数列{a n }是“M 类数列”代入计算可知数列{a n }是以首项、公比均为2的等比数列，计算可得结论；②通过①可知2b n +22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1=3•2n+1﹣4n ﹣6，利用2b n =（2b n +22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1）﹣（22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1）计算可知b n =2n ﹣1，从而M={n|≥λ，n ∈N *}，分别计算出当n=1、2、3时λ的值，进而可得结论．【解答】（1）结论：公差为d 的等差数列是“M 类数列”．理由如下：∵数列{a n }是公差为d 的等差数列，∴a n+1=a n +d ，此时p=1、q=d ，即公差为d 的等差数列是“M 类数列”；（2）①∵a 1=2，a n +a n+1=3•2n ，∴a 2=3•2﹣a 1=4， =8，又∵数列{a n }是“M 类数列”，∴，即，解得：p=2，q=0，即a n+1=2a n ， 又∵a 1=2，∴数列{a n }是以首项、公比均为2的等比数列，∴数列{a n }的通项公式a n =2n ； ②由①可知a 1b n +a 2b n ﹣1+a 3b n ﹣2+…+a n b 1=3•2n+1﹣4n ﹣6，即2b n +22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1=3•2n+1﹣4n ﹣6，∴2b n ﹣1+22b n ﹣2+23b n ﹣3+…+2n ﹣1b 1=3•2n ﹣4（n ﹣1）﹣6=3•2n ﹣4n ﹣2，∴22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1=3•2n+1﹣8n ﹣4，∴2b n =（2b n +22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1）﹣（22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1）=（3•2n+1﹣4n ﹣6）﹣（3•2n+1﹣8n ﹣4）=4n ﹣2，即b n =2n ﹣1，∴集合M={n|≥λ，n ∈N *}={n|≥λ，n ∈N *}，当n=1时，λ≤=；当n=2时，λ≤=；当n=3时，λ≤=；当n ≥4时，λ≤=；又∵集合M={n|≥λ，n ∈N *}中有且仅有3个元素，∴＜λ≤，故实数λ的取值范围是（，]．【点评】本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．。
2020-2021学年上海交大附中高三(上)开学数学试卷
2020-2021学年上海交大附中高三（上）开学数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.0分）已知集合A={-1.0.1.2}.B={0.2.3}.则A∩B=___ ．2.（填空题.0分）已知i 是虚数单位.则复数z=（1+i ）（2-i ）的虚部是___ ．3.（填空题.0分）已知一组数据4.2a.3-a.5.6的平均数为4.则a 的值是___ ．4.（填空题.0分）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次.观察向上的点数.则点数和为5的概率是___ ．5.（填空题.0分）（x+ y 2x ）（x+y ）5的展开式中x 3y 3的系数为___ ．6.（填空题.0分）如果方程（lgx ）2+lg6•lgx+lg2•lg3=0的两根为x 1.x 2.则x 1x 2的值为___ ．7.（填空题.0分）设{a n }是公差为d 的等差数列.{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和S n =n 2-n+2n -1（n∈N*）.则d+q 的值是___ ．8.（填空题.0分）如图.六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm.高为2cm.内孔半径为0.5cm.则此六角螺帽毛坯的体积是___ cm 3．9.（填空题.0分）将函数y=3sin （2x+ π4 ）的图象向右平移 π6 个单位长度.则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是___ ．10.（填空题.0分）已知5x 2y 2+9y 4=1（x.y∈R ）.则x 2+y 2的最小值是___ ．11.（填空题.0分）在△ABC 中.AB=4.AC=3.∠BAC=90°.D 在边BC 上.延长AD 到P.使得AP=9．若 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +（ 32 -m ） PC⃗⃗⃗⃗⃗ （m 为常数）.则CD 的长度是 ___ ．12.（填空题.0分）在平面直角坐标系xOy 中.已知P （ √32 .0）.A 、B 是C ：x 2+（y- 12 ）2=36上的两个不同的动点.满足PA=PB.且 PA⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＜a 恒成立.则实数a 最小值是___ ．13.（单选题.0分）函数y=xcosx+sinx在区间[-π.π]上的图象可能是（）A.B.C.D.14.（单选题.0分）已知A.B.C为球O的球面上的三个点.⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π.AB=BC=AC=OO1.则球O的表面积为（）A.64πB.48πC.36πD.32π15.（单选题.0分）若点P（x0.y0）（x0y0≠0）在函数y=f（x）的图象上.y=f-1（x）为函数y=f （x）的反函数．设P1（y0.x0）.P2（-y0.x0）.P3（y0.-x0）.P4（-y0.-x0）.则有（）A.点P1、P2、P3、P4有可能都在函数y=f-1（x）的图象上B.只有点P2不可能在函数y=f-1（x）的图象上C.只有点P3不可能在函数y=f-1（x）的图象上D.点P2、P3都不可能在函数y=f-1（x）的图象上16.（单选题.0分）设集合S.T.S⊆N*.T⊆N*.S.T中至少有2个元素.且S.T满足：① 对于任意的x.y∈S.若x≠y.则xy∈T；∈S．下列命题正确的是（）② 对于任意的x.y∈T.若x＜y.则yxA.若S有4个元素.则S∪T有7个元素B.若S有4个元素.则S∪T有6个元素C.若S有3个元素.则S∪T有5个元素D.若S有3个元素.则S∪T有4个元素17.（问答题.0分）在三棱锥A-BCD中.已知CB=CD= √5 .BD=2.O为BD的中点.AO⊥平面BCD.AO=2.E为AC中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；BC.设二面角F-DE-C的大小为θ.求sinθ的值．（2）若点F在BC上.满足BF= 1418.（问答题.0分）在锐角△ABC中.角A.B.C所对的边分别为a.b.c．已知2bsinA- √3 a=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范围．19.（问答题.0分）已知函数f（x）=|3x+1|-2|x-1|．（1）画出y=f（x）的图象；（2）求不等式f（x）＞f（x+1）的解集；.对于任意的x∈R.任意的a∈[-1.1]恒成立.求实数t的取值范（3）若不等式f（x）≥-t2+at−23围．20.（问答题.0分）在平面直角坐标系xOy 中.已知椭圆E ：x 24 + y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2.点A 在椭圆E 上且在第一象限内.AF 2⊥F 1F 2.直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ． （1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P.直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q.求 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ • QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上.记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1.S 2.若S 2=3S 1.求点M 的坐标．21.（问答题.0分）已知数列{a n }（n∈N*）的首项a 1=1.前n 项和为S n ．设λ和k 为常数.若对一切正整数n.均有Sn+11k -S n 1k =λan+11k 成立.则称此数列为“λ-k”数列．（1）若等差数列{a n }是“λ-1”数列.求λ的值；（2）若数列{a n }是“ √33 -2”数列.且a n ＞0.求数列{a n }的通项公式；（3）对于给定的λ.是否存在三个不同的数列{a n }为“λ-3”数列.且a n ≥0？若存在.求出λ的取值范围；若不存在.说明理由．2020-2021学年上海交大附中高三（上）开学数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.0分）已知集合A={-1.0.1.2}.B={0.2.3}.则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{0.2}【解析】：运用集合的交集运算.可得所求集合．【解答】：解：集合B={0.2.3}.A={-1.0.1.2}.则A∩B={0.2}.故答案为：{0.2}．【点评】：本题考查集合的交集运算.考查运算能力.属于基础题．2.（填空题.0分）已知i是虚数单位.则复数z=（1+i）（2-i）的虚部是___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】：解：∵z=（1+i）（2-i）=2-i+2i+1=3+i.∴复数z=（1+i）（2-i）的虚部是1．故答案为：1．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数的基本概念.是基础题．3.（填空题.0分）已知一组数据4.2a.3-a.5.6的平均数为4.则a的值是___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：运用平均数的定义.解方程可得a的值．【解答】：解：一组数据4.2a.3-a.5.6的平均数为4.则4+2a+（3-a）+5+6=4×5.解得a=2．故答案为：2．【点评】：本题考查平均数的定义的运用.考查方程思想和运算能力.属于基础题．4.（填空题.0分）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次.观察向上的点数.则点数和为5的概率是___ ． 【正确答案】：[1] 19【解析】：分别求得基本事件的总数和点数和为5的事件数.由古典概率的计算公式可得所求值．【解答】：解：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次.可得基本事件的总数为6×6=36种. 而点数和为5的事件为（1.4）.（2.3）.（3.2）.（4.1）.共4种. 则点数和为5的概率为P= 436= 19． 故答案为： 19．【点评】：本题考查古典概率的求法.考查运算能力.属于基础题． 5.（填空题.0分）（x+ y 2x ）（x+y ）5的展开式中x 3y 3的系数为___ ． 【正确答案】：[1]15【解析】：分析条件与所求.先求（x+y ）5的展开式中x 2y 3.x 4y 的系数即可求解结论．【解答】：解：因为（x+y ）5的展开式中x 2y 3.x 4y 的系数分别为C 53.C 54.所以（x+ y 2x ）（x+y ）5的展开式中x 3y 3的系数为C 53+C 55=15.故答案为：15．【点评】：本题考查二项式系数的性质.关键是熟记二项展开式的通项.是基础题． 6.（填空题.0分）如果方程（lgx ）2+lg6•lgx+lg2•lg3=0的两根为x 1.x 2.则x 1x 2的值为___ ． 【正确答案】：[1] 16【解析】：利用韦达定理以及对数的运算法则化简求解即可．【解答】：解：方程（lgx ）2+lg6•lgx+lg2•lg3=0的两根为x 1.x 2. 可得lgx 1+lgx 2=lg （x 1x 2）=-lg6． ∴x 1x 2= 16 ． 故答案为： 16【点评】：本题考查函数的零点与方程根的关系.对数运算法则的应用.考查计算能力． 7.（填空题.0分）设{a n }是公差为d 的等差数列.{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和S n =n 2-n+2n -1（n∈N*）.则d+q 的值是___ ． 【正确答案】：[1]4【解析】：由{a n +b n }的前n 项和S n =n 2-n+2n -1（n∈N*）.由{a n }是公差为d 的等差数列.设首项为a 1；求出等差数列的前n 项和的表达式；{b n }是公比为q 的等比数列.设首项为b 1.讨论当q 为1和不为1时的前n 项和的表达式.由题意可得q≠1.由对应项的系数相等可得d.q 的值.进而求出d+q 的值．【解答】：解：因为{a n +b n }的前n 项和S n =n 2-n+2n -1（n∈N*）.因为{a n }是公差为d 的等差数列.设首项为a 1；{b n }是公比为q 的等比数列.设首项为b 1. 所以{a n }的通项公式a n =a 1+（n-1）d.所以其前n 项和S a n = n [a 1+a 1+(n−1)d ]2 = d 2 n 2+（a 1- d2）n. 当{b n }中.当公比q=1时.其前n 项和S b n =nb 1.所以{a n +b n }的前n 项和S n =S a n +S b n = d2 n 2+（a 1- d2 ）n+nb 1=n 2-n+2n -1（n∈N*）.显然没有出现2n .所以q≠1. 则{b n }的前n 项和为S b n = b 1(q n −1)q−1 = b 1q n q−1 - b 1q−1 . 所以S n =S a n +S b n = d 2n 2+（a 1- d 2）n+b 1q n q−1 - b1q−1 =n 2-n+2n -1（n∈N*）. 由两边对应项相等可得： {d2=1a 1−d 2=−1q =2b 1q−1=1解得：d=2.a 1=0.q=2.b 1=1.所以d+q=4. 故答案为：4【点评】：本题考查等差数列及等比数列的综合及由前n 项和求通项的性质.属于中档题． 8.（填空题.0分）如图.六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm.高为2cm.内孔半径为0.5cm.则此六角螺帽毛坯的体积是___ cm 3．【正确答案】：[1]12 √3−π2【解析】：通过棱柱的体积减去圆柱的体积.即可推出结果．【解答】：解：六棱柱的体积为： 6×12×2×2×sin60°×2=12√3 . 圆柱的体积为：π×（0.5）2×2= π2.所以此六角螺帽毛坯的体积是：（12 √3− π2 ）cm 3. 故答案为：12 √3− π2 ．【点评】：本题考查柱体体积公式.考查了推理能力与计算能力.属于基本知识的考查． 9.（填空题.0分）将函数y=3sin （2x+ π4 ）的图象向右平移 π6 个单位长度.则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是___ ． 【正确答案】：[1]x=- 5π24【解析】：利用三角函数的平移可得新函数g （x ）=f （x- π6）.求g （x ）的所有对称轴x= 7π24+ kπ2 .k∈Z .从而可判断平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程.【解答】：解：因为函数y=3sin （2x+ π4 ）的图象向右平移 π6 个单位长度可得 g （x ）=f （x- π6 ）=3sin （2x- π3 + π4 ）=3sin （2x- π12 ）. 则y=g （x ）的对称轴为2x- π12 = π2 +kπ.k∈Z . 即x= 7π24 + kπ2 .k∈Z . 当k=0时.x= 7π24 . 当k=-1时.x= −5π24 .所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是x= −5π24. 故答案为：x= −5π24.【点评】：本题考查三角函数的平移变换.对称轴方程.属于中档题． 10.（填空题.0分）已知5x 2y 2+9y 4=1（x.y∈R ）.则x 2+y 2的最小值是___ ． 【正确答案】：[1] 13【解析】：用y 2表示x 2+y 2.求出y 2的范围.再利用换元法求出函数最小值．【解答】：解：由5x 2y 2+9y 4=1可得x 2= 1−9y 45y 2. 由x 2≥0可得0＜y 2≤ 13 . 于是x 2+y 2=1−9y 45y 2+y 2= 15y 2 - 4y 25 . 令y 2=t.f （t ）= 15t −4t5 （0＜t≤ 13 ）. 显然f （t ）在（0. 13 ]上单调递减.∴f （t ）的最小值为f （ 13）= 13.即x 2+y 2的最小值为 13． 故答案为： 13．【点评】：本题考查函数最值计算.属于中档题．11.（填空题.0分）在△ABC 中.AB=4.AC=3.∠BAC=90°.D 在边BC 上.延长AD 到P.使得AP=9．若 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +（ 32 -m ） PC⃗⃗⃗⃗⃗ （m 为常数）.则CD 的长度是 ___ ．【正确答案】：[1]0或 185【解析】：以A 为坐标原点.分别以AB.AC 所在直线为x.y 轴建立平面直角坐标系.求得B 与C 的坐标.再把 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标用m 表示．由AP=9列式求得m 值.然后分类求得D 的坐标.则CD 的长度可求．【解答】：解：如图.以A 为坐标原点.分别以AB.AC 所在直线为x.y 轴建立平面直角坐标系. 则B （4.0）.C （0.3）.由 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +（ 32 -m ） PC ⃗⃗⃗⃗⃗ .得 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(32−m)(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) . 整理得： PA⃗⃗⃗⃗⃗ =−2mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2m −3)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2m （4.0）+（2m-3）（0.3）=（-8m.6m-9）． 由AP=9.得64m 2+（6m-9）2=81.解得m= 2725 或m=0． 当m=0时. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−9) .此时C 与D 重合.|CD|=0； 当m= 2725 时.直线PA 的方程为y= 9−6m8mx. 直线BC 的方程为 x4+y3=1 .联立两直线方程可得x= 83 m.y=3-2m ． 即D （ 7225 . 2125）.∴|CD|= √(7225)2+(2125−3)2=185 ．∴CD 的长度是0或 185 ． 故答案为：0或 185．【点评】：本题考查向量的概念与向量的模.考查运算求解能力.利用坐标法求解是关键.是中档题．12.（填空题.0分）在平面直角坐标系xOy 中.已知P （ √32 .0）.A 、B 是C ：x 2+（y- 12 ）2=36上的两个不同的动点.满足PA=PB.且 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＜a 恒成立.则实数a 最小值是___ ． 【正确答案】：[1]49【解析】：原问题可转化为求 PA⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值；易知PC 垂直平分AB.设PC 与AB 交于点E.CE=x （0＜x ＜6）.由勾股定理表示出AB 2、BP 2和AP 2；再在△ABP 中.由余弦定理求出cos∠APB .而 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =| PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |•| PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠APB .代入所得结论.即可得解．【解答】：解：∵PA=PB .∴PC 垂直平分AB.设PC 与AB 交于点E.如图所示.其中点C （0.12）.PC=1．设CE=x （0＜x ＜6）.则AE 2=AC 2-CE 2=36-x 2. ∴AB 2=4AE 2=4（36-x 2）.BP 2=AP 2=AE 2+EP 2=36-x 2+（1+x ）2=2x+37． ∵ PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＜a 恒成立.∴只需求出 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值即可. 在△ABP 中.由余弦定理知.cos∠APB=AP 2+BP 2−AB 22AP•BP = 2(2x+37)−4(36−x 2)2(2x+37) = 2x 2+2x−352x+37. ∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =| PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |•| PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠APB=（2x+37）• 2x 2+2x−352x+37 =2x 2+2x-35. ∵0＜x ＜6.∴2x 2+2x-35＜2×62+2×6-35=49.即 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＜49. ∴a 的最小值为49． 故答案为：49．【点评】：本题考查平面向量在几何中应用.牢记平面向量数量积的定义和余弦定理是解题的基础.考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力.属于中档题． 13.（单选题.0分）函数y=xcosx+sinx 在区间[-π.π]上的图象可能是（ ）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：先判断函数的奇偶性.再判断函数值的特点．【解答】：解：y=f（x）=xcosx+sinx.则f（-x）=-xcosx-sinx=-f（x）.∴f（x）为奇函数.函数图象关于原点对称.故排除C.D.当x=π时.y=f（π）=πcosπ+sinπ=-π＜0.故排除B.故选：A．【点评】：本题考查了函数图象的识别.掌握函数的奇偶性额函数值得特点是关键.属于基础题．14.（单选题.0分）已知A.B.C为球O的球面上的三个点.⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π.AB=BC=AC=OO1.则球O的表面积为（）A.64πB.48πC.36πD.32π【正确答案】：A【解析】：画出图形.利用已知条件求出OO1.然后求解球的半径.即可求解球的表面积．【解答】：解：由题意可知图形如图：⊙O1的面积为4π.可得O1A=2.则3 2 AO1=ABsin60°. 32AO1=√32AB .∴AB=BC=AC=OO1=2 √3 .外接球的半径为：R= √AO12+OO12 =4. 球O的表面积：4×π×42=64π．故选：A．【点评】：本题考查球的内接体问题.球的表面积的求法.求解球的半径是解题的关键．15.（单选题.0分）若点P（x0.y0）（x0y0≠0）在函数y=f（x）的图象上.y=f-1（x）为函数y=f （x）的反函数．设P1（y0.x0）.P2（-y0.x0）.P3（y0.-x0）.P4（-y0.-x0）.则有（）A.点P1、P2、P3、P4有可能都在函数y=f-1（x）的图象上B.只有点P2不可能在函数y=f-1（x）的图象上C.只有点P3不可能在函数y=f-1（x）的图象上D.点P2、P3都不可能在函数y=f-1（x）的图象上【正确答案】：D【解析】：存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的.然后根据反函数的性质可判定点P1、P2、P3、P4是否有可能在函数y=f-1（x）的图象上．【解答】：解：互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性.单调函数才有反函数；存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的根据点P（x0.y0）（x0y0≠0）在函数y=f（x）的图象上.则P1（y0.x0）在反函数y=f-1（x）的图象若点P1（y0.x0）与点P3（y0.-x0）都在反函数y=f-1（x）的图象上.则相同的横坐标对应两个函数值.不符合一一对应；若点P2（-y0.x0）在反函数图象上则点（x0.-y0）在函数y=f（x）的图象上.则相同的横坐标对应两个函数值.不符合一一对应；故点P2、P3都不可能在函数y=f-1（x）的图象上故选：D．【点评】：本题主要考查了反函数.以及存在反函数的条件.同时考查了分析问题的能力.属于基础题．16.（单选题.0分）设集合S.T.S⊆N*.T⊆N*.S.T中至少有2个元素.且S.T满足：① 对于任意的x.y∈S.若x≠y.则xy∈T；∈S．下列命题正确的是（）② 对于任意的x.y∈T.若x＜y.则yxA.若S有4个元素.则S∪T有7个元素B.若S有4个元素.则S∪T有6个元素C.若S有3个元素.则S∪T有5个元素D.若S有3个元素.则S∪T有4个元素【正确答案】：A【解析】：利用特殊集合排除选项.推出结果即可．【解答】：解：取：S={1.2.4}.则T={2.4.8}.S∪T={1.2.4.8}.4个元素.排除C．S={2.4.8}.则T={8.16.32}.S∪T={2.4.8.16.32}.5个元素.排除D；S={2.4.8.16}则T={8.16.32.64.128}.S∪T={2.4.8.16.32.64.128}.7个元素.排除B；故选：A．【点评】：本题考查命题的真假的判断与应用.集合的基本运算.利用特殊集合排除选项是选择题常用方法.难度比较大．17.（问答题.0分）在三棱锥A-BCD中.已知CB=CD= √5 .BD=2.O为BD的中点.AO⊥平面BCD.AO=2.E为AC中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；BC.设二面角F-DE-C的大小为θ.求sinθ的值．（2）若点F在BC上.满足BF= 14【正确答案】：【解析】：（1）由题意画出图形.连接OC.由已知可得CO⊥BD .以O 为坐标原点.分别以OB.OC.OA 所在直线为x.y.z 轴建立空间直角坐标系.求出所用点的坐标.得到 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，0，2) . DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，1，1) .设直线AB 与DE 所成角为α.由两向量所成角的余弦值.可得直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）由BF= 14 BC.得 BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .设F （x.y.z ）.由向量等式求得F （ 34 . 12.0）.进一步求出平面DEF 的一个法向量与平面DEC 的一个法向量.由两法向量所成角的余弦值求得cosθ.再由同角三角函数基本关系式求解sinθ．【解答】：解：（1）如图.连接OC.∵CB=CD .O 为BD 的中点.∴CO⊥BD ．以O 为坐标原点.分别以OB.OC.OA 所在直线为x.y.z 轴建立空间直角坐标系． ∵BD=2.∴OB=OD=1.则OC= √BC 2−OB 2=√5−1=2 ． ∴B （1.0.0）.A （0.0.2）.C （0.2.0）.D （-1.0.0）. ∵E 是AC 的中点.∴E （0.1.1）.∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，−2) . DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，1，1) ． 设直线AB 与DE 所成角为α. 则cosα= |AB⃗⃗⃗⃗⃗ •DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗|•|DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+4•√1+1+1=√1515 . 即直线AB 与DE 所成角的余弦值为 √1515 ； （2）∵BF= 14 BC.∴ BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 设F （x.y.z ）.则（x-1.y.z ）=（ −14 . 12 .0）.∴F （ 34 . 12 .0）．∴ DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，1，1) . DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(74，12，0) . DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，2，0) ．设平面DEF 的一个法向量为 m ⃗⃗ =(x 1，y 1，z 1) .由 {m ⃗⃗ •DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1+y 1+z 1=0m ⃗⃗ •DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =74x 1+12y 1=0 .取x 1=-2.得 m ⃗⃗ =(−2，7，−5) ； 设平面DEC 的一个法向量为 n ⃗ =(x 2，y 2，z 2) .由 {n ⃗ •DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2+z 2=0n ⃗ •DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+2y 2=0 .取x 2=-2.得 n ⃗ =(−2，1，1) ．∴|cosθ|= |m ⃗⃗⃗ •n ⃗ ||m ⃗⃗⃗ |•|n ⃗ |= √4+49+25•√4+1+1=√1313． ∴sin θ=√1−cos 2θ=√1−113=2√3913．【点评】：本题考查利用空间向量求空间角.考查空间想象能力与逻辑思维能力和运算求解能力.是中档题．18.（问答题.0分）在锐角△ABC 中.角A.B.C 所对的边分别为a.b.c ．已知2bsinA- √3 a=0． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据正弦定理可得sinB= √32 .结合角的范围.即可求出. （Ⅱ）根据两角和差的余弦公式.以及利用正弦函数的性质即可求出．【解答】：解：（Ⅰ）∵2bsinA= √3 a. ∴2sinBsinA= √3 sinA. ∵sinA≠0. ∴sinB= √32 .∵△ABC 为锐角三角形. ∴B= π3.（Ⅱ）∵△ABC 为锐角三角形.B= π3. ∴C= 2π3 -A.∴cosA+cosB+cosC=cosA+cos （ 2π3-A ）+cos π3=cosA- 12cosA+ √32sinA+ 12= 12cosA+ √32sinA+ 12=sin （A+ π6 ）+ 12 .△ABC 为锐角三角形.0＜A ＜ π2.0＜C ＜ π2. 解得 π6 ＜A ＜ π2 . ∴ π3 ＜A+ π6 ＜ 2π3 . ∴ √32 ＜sin （A+ π6 ）≤1. ∴ √32 + 12 ＜sin （A+ π6 ）+ 12 ≤ 32 . ∴cosA+cosB+cosC 的取值范围为（ √3+12. 32 ]．【点评】：本题考查了正弦定理.三角函数的化简.三角函数的性质.考查了运算求解能力和转化与化归能力.属于中档题．19.（问答题.0分）已知函数f （x ）=|3x+1|-2|x-1|． （1）画出y=f （x ）的图象；（2）求不等式f （x ）＞f （x+1）的解集；（3）若不等式f （x ）≥-t 2 +at −23 .对于任意的x∈R .任意的a∈[-1.1]恒成立.求实数t 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）将函数零点分段.即可作出图象； （2）由于f （x+1）是函数f （x ）向左平移了一个单位.作出图象可得答案；（3）将不等式转化为- 83 ≥-t 2+at- 23 .对任意a∈[-1.1]恒成立.函数g （a ）=-ta+t 2-2.由一次函数的性质列出不等式.即可求解【解答】：解：（1）由题设知f （x ）= {−x −3，x ≤−135x −1，−13＜x ≤1x +3，x ＞1 .y=f （x ）的图象如图所示．（2）函数y=f （x ）的图象向左平移1个单位长度后得到函数y=f （x+1）的图象.y=f （x ）的图象与y=f （x+1）的图象的交点坐标为（- 76 .- 116 ）.由图象可知当且仅当x ＜- 76时.y=f （x ）的图象在y=f （x+1）的图象上方. ∴不等式f （x ）＞f （x+1）的解集为{x|x ＜- 76}．（3）由函数图象性质可知.当x=- 13时.f （x ）取得最小值- 83. 则原问题转化为- 83 ≥-t 2+at- 23 .对任意a∈[-1.1]恒成立.记函数g （a ）=-ta+t 2-2.要使g （a ）≥0对任意a∈[-1.1]恒成立. 只需 {g (1)≥0g (−1)≥0 .解得t≤-2或 t≥2．【点评】：本题考查了绝对值函数的解法.分段作出图象是解题的关键．考查了其他不等式的解法.不等式恒成立的问题.属于中档题．20.（问答题.0分）在平面直角坐标系xOy 中.已知椭圆E ： x 24 + y 23 =1的左、右焦点分别为F 1、F 2.点A 在椭圆E 上且在第一象限内.AF 2⊥F 1F 2.直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ． （1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P.直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q.求 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ • QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上.记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1.S 2.若S 2=3S 1.求点M 的坐标．【正确答案】：【解析】：（1）由椭圆标准方程可知a.b.c 的值.根据椭圆的定义可得△AF 1F 2的周长=2a+2c.代入计算即可．（2）由椭圆方程得A （1. 32 ）.设P （t.0）.进而由点斜式写出直线AP 方程.再结合椭圆的右准线为：x=4.得点Q 为（4. 32 • 4−t 1−t ）.再由向量数量积计算最小值即可．（3）在计算△OAB 与△MAB 的面积时.AB 可以最为同底.所以若S 2=3S 1.则O 到直线AB 距离d 1与M 到直线AB 距离d 2.之间的关系为d 2=3d 1.根据点到直线距离公式可得d 1= 35 .d 2= 95 .所以题意可以转化为M 点应为与直线AB 平行且距离为 95 的直线与椭圆的交点.设平行于AB 的直线l 为3x-4y+m=0.与直线AB 的距离为 95 .根据两平行直线距离公式可得.m=-6或12.然后在分两种情况算出M 点的坐标即可．【解答】：解：（1）由椭圆的标准方程可知.a 2=4.b 2=3.c 2=a 2-b 2=1. 所以△AF 1F 2的周长=2a+2c=6． （2）由椭圆方程得A （1. 32 ）.设P （t.0）.则直线AP 方程为y= 321−t (x −t ) .椭圆的右准线为：x= a 2c =4.所以直线AP 与右准线的交点为Q （4. 32 • 4−t1−t ）.OP ⃗⃗⃗⃗⃗ • QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（t.0）•（t-4.0- 32 • 4−t 1−t ）=t 2-4t=（t-2）2-4≥-4. 当t=2时.（ OP ⃗⃗⃗⃗⃗ •QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ）min =-4．（3）若S 2=3S 1.设O 到直线AB 距离d 1.M 到直线AB 距离d 2.则 12×|AB|×d 2= 12×|AB|×d 1.即d 2=3d 1.A （1. 32 ）.F 1（-1.0）.可得直线AB 方程为y= 34 （x+1）.即3x-4y+3=0.所以d 1= 35 .d 2= 95 . 由题意得.M 点应为与直线AB 平行且距离为 95 的直线与椭圆的交点. 设平行于AB 的直线l 为3x-4y+m=0.与直线AB 的距离为 95 .√9+16= 95.即m=-6或12.当m=-6时.直线l 为3x-4y-6=0.即y= 34 （x-2）.联立 {y =34(x −2)x 24+y 23=1 .可得（x-2）（7x+2）=0.即 {x M =2y N =0 或 {x M =−27y M =−127 . 所以M （2.0）或（- 27 .- 127 ）．当m=12时.直线l 为3x-4y+12=0.即y= 34 （x+4）.联立 {y =34(x +4)x 24+y 23=1 .可得 214x 2 +18x+24=0.△=9×（36-56）＜0.所以无解.综上所述.M 点坐标为（2.0）或（- 27 .- 127 ）．【点评】：本题考查椭圆的定义.向量的数量积.直线与椭圆相交问题.解题过程中注意转化思想的应用.属于中档题．21.（问答题.0分）已知数列{a n }（n∈N*）的首项a 1=1.前n 项和为S n ．设λ和k 为常数.若对一切正整数n.均有Sn+11k -S n 1k =λan+11k 成立.则称此数列为“λ-k”数列．（1）若等差数列{a n }是“λ-1”数列.求λ的值；（2）若数列{a n }是“ √33 -2”数列.且a n ＞0.求数列{a n }的通项公式；（3）对于给定的λ.是否存在三个不同的数列{a n }为“λ-3”数列.且a n ≥0？若存在.求出λ的取值范围；若不存在.说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由“λ-1”数列可得k=1.结合数列的递推式.以及等差数列的定义.可得λ的值；（2）运用“ √33 -2”数列的定义.结合数列的递推式和等比数列的通项公式.可得所求通项公式；（3）若存在三个不同的数列{a n }为“λ-3”数列.则S n+1 13 -S n 13 =λa n+1 13 .由两边立方.结合数列的递推式.以及t 的讨论.二次方程的实根分布和韦达定理.即可判断是否存在λ.并可得取值范围．【解答】：解：（1）k=1时.a n+1=S n+1-S n =λa n+1.由n 为任意正整数.且a 1=1.a n ≠0.可得λ=1；（2） √S n+1 - √S n = √33 √a n+1 .则a n+1=S n+1-S n =（ √S n+1 - √S n ）•（ √S n+1 + √S n ）= √33 • √a n+1 （ √S n+1 + √S n ）.因此 √S n+1 + √S n = √3 • √a n+1 .即 √S n+1 = 23 √3a n+1 .S n+1= 43 a n+1= 43 （S n+1-S n ）. 从而S n+1=4S n .又S 1=a 1=1.可得S n =4n-1.a n =S n -S n-1=3•4n-2.n≥2.综上可得a n = {1，n =13•4n−2，n ≥2.n∈N*； （3）若存在三个不同的数列{a n }为“λ-3”数列.则S n+1 13 -S n 13 =λan+1 13 . 则S n+1-3S n+1 23 S n 13 +3S n+1 13 S n 23 -S n =λ3a n+1=λ3（S n+1-S n ）.由a 1=1.a n ≥0.且S n ＞0.令p n =（S n+1S n ） 13 ＞0. 则（1-λ3）p n 3-3p n 2+3p n -（1-λ3）=0.λ=1时.p n =p n 2.由p n ＞0.可得p n =1.则S n+1=S n .即a n+1=0.此时{a n }唯一.不存在三个不同的数列{a n }.λ≠1时.令t= 31−λ3 .则p n 3-tp n 2+tp n -1=0.则（p n -1）[p n 2+（1-t ）p n +1]=0.① t≤1时.p n 2+（1-t ）p n +1＞0.则p n =1.同上分析不存在三个不同的数列{a n }；② 1＜t ＜3时.△=（1-t ）2-4＜0.p n 2+（1-t ）p n +1=0无解.则p n =1.同上分析不存在三个不同的数列{a n }；③ t=3时.（p n -1）3=0.则p n =1.同上分析不存在三个不同的数列{a n }．④ t ＞3时.即0＜λ＜1时.△=（1-t ）2-4＞0.p n 2+（1-t ）p n +1=0有两解α.β.设α＜β.α+β=t -1＞2.αβ=1＞0.则0＜α＜1＜β.则对任意n∈N*. S n+1S n =1或S n+1S n=α3（舍去）或S n+1S n=β3.由于数列{S n}从任何一项求其后一项均有两种不同的结果.所以这样的数列{S n}有无数多个.则对应的数列{a n}有无数多个．则存在三个不同的数列{a n}为“λ-3”数列.且a n≥0.综上可得0＜λ＜1．【点评】：本题考查数列的新定义的理解和运用.考查等差数列和等比数列的通项公式的运用.以及数列的递推式的运用.考查分类讨论思想.以及运算能力和推理论证能力.是一道难题．。
2021-2022学年上海交通大学附属中学高一上学期开学摸底数学试题(原卷版)
14.如图，在 中， ， ， .P是AB边上一动点， 于点D，点E在P的右侧， ，连结CE.P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动.在整个运动过程中，图中阴影部分面积 的大小变化情况（）
A.一直减小B.一直不变
C.先减小后增大D.先增大后减小
15.古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买 黄金，售货员先将 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（）
6.已知集合 ， ，若 ，则实数m的取值构成的集合为___________.
7.若 和 或 都是假命题，则 的范围是__________
8.已知 是实数，若a，b是关于x的一元二次方程 的两个非负实根，源自 的最小值是___________.
9.如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC､BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG､BG､BE，当 时， 的面积记为 ；当 时， 的面积记为 ，……，以此类推，当 时， 的面积记为 ，则 的值为___________.
10.如图，已知圆O的面积为 ，AB为直径，弧AC的度数（劣弧AC所对圆心角的度数）为 ，弧BD的度数为 ，点P为直径AB上任一点，则 的最小值为___________.
11.设 为非空实数集满足：对任意给定的 （ 可以相同），都有 ， ， ，则称 为幸运集.
①集合 为幸运集；②集合 为幸运集；
③若集合 、 为幸运集，则 为幸运集；④若集合 为幸运集，则一定有 ；
新高三-(交大附中)2021年重点高中摸底考数学仿真模拟卷(上海专用)(一)(解析版)
（交大附中）2021年重点高中摸底考数学仿真模拟卷（上海专用）（一）考试范围：入学摸底；考试时间：120分钟注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 一、填空题(共46分)1．(本题4分)从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是________． 【答案】25【分析】用列举法列举出所有可能的情况，利用古典概型概率计算公式求得所求的概率. 【详解】1,2,3,4,5,6这两个数字，任选两个可能的组合如下：()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，()()()()()2,3,2,4,2,5,2,6,3,4，()()()()()3,5,3,6,4,5,4,6,5,6，共15种，其中和为偶数的有()()1,3,1,5，()()2,4,2,6，()()3,5,4,6，共6种，故和为偶数的概率是62155=. 【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查列举法，属于基础题. 2．(本题4分)复数1z 2ii+=-（i 为虚数单位）的实部为______. 【答案】15【分析】由复数除法法则计算出z ，再由复数的定义得结论． 【详解】由已知1z 2i i +=-2(1)(2)2213(2)(2)555i i i i i i i i +++++===+-+，其实部为15． 故答案为：15． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念，属于基础题．23．(本题4分)已知集合{|12}A x x =-≤≤，{|1}B x x =>，则A B =_____．【答案】{|12}x x <≤ 【分析】 直接求A B 即可.【详解】 由题知{|12}AB x x =<≤．故答案为：{|12}x x <≤ 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于简单题.4．(本题4分)已知一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，则这组数据的方差是______. 【答案】2 【分析】由一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，先求出m =10，由此能求出这组数据的方差. 【详解】∵一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8， ∵1(6789)85m ++++=，解得m =10， ∵这组数据的方差S 2=15[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]=2. 故答案为：2 【点睛】本题考查一组数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差计算公式的合理运用.5．(本题4分)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________【答案】163【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体，结合图中数据求出它的体积． 【详解】根据几何体的三视图，还原该几何体，过A ，B 两点在平面ABCD 内分别引AG∵CD 于G,BH∵CD 于H,则该几何体的体积为1112222221232AEG BFH D AEG C BFH V V V ---++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯ 163=， 故答案为163【点睛】求解空间几何体体积的常用策略：（1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解；（2）切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可；（3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用.（4）等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何体的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题. 6．(本题4分)已知1x >，则函数4311y x x =++-的最小值是_________________.【答案】4+【分析】变形后，利用基本不等式可得结果. 【详解】因为1x >，所以10x ->，44311y x x =++-43(1)41x x =-++-44≥=，当且仅当13x =+时，等号成立. 所以函数4311y x x =++-的最小值是4+.故答案为：4+ 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7．(本题4分)设函数)2((2)(){10(2)ln x a e x f x xa x x-+≤=++> (e 是自然对数的底数),若()2f 是函数()f x 的最小值，则a 的取值范围为________. 【答案】[2,6] 【解析】当2x ≤时，x a < 时函数单调递减，若()2f 是函数的最小值，所以2a ≥ ，当2x >时，()()2ln 10ln x f x x -'==时，x e = ，()2,e 0fx函数单调递减，(),e +∞0f x函数单调递增，当x e =时取得极小值()10f e e a =++ ，若()2f 是函数的最小值，需满足()2102e a a e ++≥-+ ，解得：16a -≤≤ ，又因为2a ≥，故26a ≤≤，故填：2,6 .【点睛】分段函数的考查是高考的热点，本题考查了分段函数的一些性质，求分段函数的最小值，分别求两段函数的最小值然后再比较，根据分段函数的单调性求参数取值，两段函数需分别满足函数的单调性，分界点处也需满足单调性，具备这两点才能正确求出参数取值.8．(本题4分)函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，以下结论中正确的是______（写出所有正确结论的编号）. ①图象C 关于直线1112π=x 对称； ①图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ①函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数； ①由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . 【答案】∵∵∵ 【分析】利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴，分析单调区间，利用函数的平移方式检验平移后的图象. 【详解】由题：()3sin 23x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2,32x k k Z πππ-=+∈，5,122k x k Z ππ=+∈， 当1k =时，1112π=x 即函数的一条对称轴，所以∵正确； 令2,3x k k Z ππ-=∈，,62k x k Z ππ=+∈，当1k =时，23x π=，所以2,03π⎛⎫⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，所以∵正确； 当5,1212x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，,2223x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝π⎭-，()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数，所以∵正确；3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度得到23sin 23sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与函数()3sin 23x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭不相等，所以∵错误.故答案为：∵∵∵ 【点睛】此题考查三角函数的图象和性质，利用整体代入的方式求解对称轴对称中心，求解单调6 区间，根据函数的平移变换求解平移后的函数解析式.9．(本题4分)已知数列{}n a 中，11a =，2n n a n a =-，211n n a a +=+，则1299a a a +++的值为 _____． 【答案】1275 【分析】根据递推关系式可求得2211n n a a n ++=+，从而利用并项求和的方法将所求的和转化为()()()12345989912350a a a a a a a +++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+，利用等差数列求和公式求得结果. 【详解】由211n n a a +=+得：211n n a a +=- 则2121n n a n a +-=-，即2211n n a a n ++=+()()()129912345989912350a a a a a a a a a a ∴++⋅⋅⋅+=+++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+()5015012752⨯+==本题正确结果：1275 【点睛】本题考查并项求和法、等差数列求和公式的应用，关键是能够利用递推关系式得到数列相邻两项之间的关系，从而采用并项的方式来进行求解.10．(本题5分)定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，(){}n f a 仍是等比数列，则()f x 称为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数：①()3f x x =；①()x f x e =；①()f x =①()2log f x x =.则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为______. 【答案】∵∵ 【分析】根据新定义“保等比数列函数”.结合等比数列的定义，逐个判断四个函数，即可得到结论. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1n na q a +=， 对于∵，()3f x x =，因为1()()n n f a f a +333113()n n n na a q a a ++===，即(){}n f a 仍为等比数列，所以()3f x x =为“保等比数列函数”；对于∵，()xf x e =，因为1()()n n f a f a +11n n n n a a a a e e e++-==不为常数，所以(){}n f a 不为等比数列，所以()xf x e =不为“保等比数列函数”；对于∵，()f x =因为1()()n n f a f a+===所以(){}n f a 仍为等比数列，所以()f x =“保等比数列函数”；对于∵，()2log f x x =，因为1()()n n f a f a +21222222log ||log ||log ||log ||1log ||log ||log ||n n n n n a a q q a a a ++===+不为常数，所以(){}n f a 不为等比数列，所以()2log f x x =不为“保等比数列函数”. 故答案为：∵∵ 【点睛】本题考查了对新定义的理解能力，考查了等比数列的定义，属于基础题.11．(本题5分)在四棱锥P ABCD -中，PAB是边长为ABCD 为矩形，2AD =，PC PD ==若四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 的球面上，则球O 的表面积为_____． 【答案】28π 【分析】做AD 中点F ，BC 的中点G ，连接,,PF PG FG ，由已知条件可求出3,PF PG ==运用余弦定理可求120PFG ∠=，从而在平面PFG 中建立坐标系，则 ,,P F G 以及PAD ∆的外接圆圆心为1O 和长方形ABCD 的外接圆圆心为 2O 在该平面坐标系的坐标可求，通过球心O 满足12,OO PF OO FG ⊥⊥，即可求出 O 的坐标，从而可求球的半径，进而能求出球的表面积.8【详解】解：如图做AD 中点F ，BC 的中点G ，连接,,PF PG FG ，由题意知,PF AD PG BC ⊥⊥，则sin 603,PF PG ====设PAB ∆的外接圆圆心为1O ，则1O 在直线 PF 上且123PO PF =设长方形ABCD 的外接圆圆心为2O ，则2O 在 FG 上且22FO GO =.设外接球的球心为O在PFG ∆ 中，由余弦定理可知2232191cos 2322PFG +-∠==-⨯⨯， 120PFG ∴∠=.在平面PFG 中，以F 为坐标原点，以FG 所在直线为x 轴，以过F 点垂直于 x 轴的直线为y 轴，如图建立坐标系，由题意知，O 在平面PFG 中且12,OO PF OO FG ⊥⊥设()1,O y ，则113,,2222O P ⎛⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎝⎭，因为 1OO PF ⊥，所以2213122y -=+解得y =则2PO ==所以球的表面积为2428ππ⨯=⎝⎭.故答案为: 28π.【点睛】本题考查了几何体外接球的问题，考查了球的表面积.关于几何体的外接球的做题思路有：一是通过将几何体补充到长方体中，将几何体的外接球等同于长方体的外接球，求出体对角线即为直径，但这种方法适用性较差；二是通过球的球心与各面外接圆圆心的连线与该平面垂直，设半径列方程求解；三是通过空间、平面坐标系进行求解.二、单选题(共20分)12．(本题5分)下列各式中，表示y 是x 的函数的有（ ） ①(3)y x x =--；①y =；①1,01,0x x y x x -<⎧=⎨+≥⎩；①0,1,x y x ⎧=⎨⎩为有理数为实数． A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C 【分析】根据构成函数的两要素分析定义域是否为空集及对应法则是否对定义域内每一个元素都有唯一实数值与之对应，即可求解. 【详解】∵(3)y x x =--,定义域为R ,化简解析式为3y =，定义域内每个值按对应法则都有唯一实数3与之对应，是函数；∵y =，定义域为2010x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得x ∈∅，所以不是函数；∵1,01,0x x y x x -<⎧=⎨+≥⎩，定义域为R ，对应法则对于定义域内每一个值都有唯一实数与之对应，所以是函数；∵0,1,x y x ⎧=⎨⎩为有理数为实数，定义域为R ，当1x =时，y有两个值0,1与之对应，所以不是函数. 故选C. 【点睛】本题主要考查了函数的概念，构成函数的两个要素，属于中档题. 13．(本题5分)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．(3π+ B．(4π+ C．(3π+ D．(4π+【答案】A 【详解】10 分析：由三视图可知，该几何体由一个半球与两个共同顶点圆锥组成，根据三视图中数据，求出球半径、圆锥的底面半径与母线长，从而可得结果.详解：由三视图可知，该几何体由一个半球与两个共同顶点圆锥组成， 其中球半径为1，半球的表面积为2π， 圆锥底面半径为1，底面积为π，圆锥的母线l ==，，∴几何体表面积为(223ππππ++=+，故选A.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.14．(本题5分)在(a －b )20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( ) A ．第15项 B ．第16项 C ．第17项 D ．第18项【答案】B 【解析】因为第6项的二项式系数为520C ，又1552020C C =，所以第16项符合条件,故选B.15．(本题5分)如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】由题意求得1a >，再结合对数函数的图象与性质，合理排除，即可求解. 【详解】因为函数(0,1)xy a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数xy a =为增函数，所以1a >， 所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ； 又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及指数函数与对数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.三、解答题(共84分)16．(本题16分)已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的菱形，且BC BD =，1DD ⊥平面ABCD ，11AA =，BE CD ⊥于点E .（1）试问在线段11A B 上是否存在一点F ，使得//AF 平面1BEC ？若存在，求出点F 的位置；若不存在，请说明理由；（2）在（1）的条件下，求平面ADF 和平面1BEC 所成锐二面角的余弦值.12 【答案】（1）存在，F 为线段11A B 的中点；理由见解析；（2）7. 【分析】（1）当F 为线段11A B 的中点时，//AF 平面1BEC .取AB 的中点G ，证得1//AF B G ，11//B G C E ，故1//AF C E ，从而证得//AF 平面1BEC ；（2）以DG ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，分别求得平面ADF 和平面1BEC 的法向量，由法向量的夹角求得二面角夹角的余弦值. 【详解】（1）当F 为线段11A B 的中点时，//AF 平面1BEC . 下面给出证明：取AB 的中点G ，连接EG ，1B G ，则1//FB AG ，且1FB AG =，所以四边形1AGB F 为平行四边形，所以1//AF B G . 因为BC BD =，BE CD ⊥，所以E 为CD 的中点，又G 为AB 的中点，//AB CD ，AB CD =，所以//BG CE ，且BG CE =， 所以四边形BCEG 为平行四边形，所以//EG BC ，且EG BC =，又11//BC B C ，11BC B C =，所以11//EG B C ，且11EG B C =，所以四边形11EGB C 为平行四边形， 所以11//B G C E ，所以1//AF C E ，又AF ⊄平面1BEC ，1C E ⊂平面1BEC ，所以//AF 平面1BEC ，（2）连接DG ，因为BD BC AD ==，G 为AB 的中点，所以DG AB ⊥， 又//AB CD ，所以DG CD ⊥，因为1DD ⊥平面ABCD ，DC ，DG ⊂平面ABCD ，所以1DD DC ⊥，1DD DG ⊥， 所以DG ，DC ，1DD 两两垂直，以DG ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -（如图所示），由题意知2BD BC CD AB AD =====，所以60DAB BDC ∠=∠=︒，又1AA =1，所以()0,0,0D，)1,0A-，()10,0,1D ，()0,1,0E ，()10,2,1C，)B，)F，所以)EB →=，()10,1,1EC →=，)1,0DA →=-，)DF →=.设平面1BEC 的法向量为(),,n x y z →=，则100EB n EC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y z =+=⎪⎩，解得0x y z =⎧⎨=-⎩， 令1z =，得平面1BEC 的一个法向量()0,1,1n →=-.设平面ADF 的法向量为(),,m a b c →=，则0,0,DA m DF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0,b c -=+=解得b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令1a =，得b =c =，平面ADF的一个法向量(m →=.设平面ADF 和平面1BEC 所成的锐二面角的大小为θ，则cos 7m nm nθ→→→→⋅===⋅.所以平面ADF 和平面1BEC. 【点睛】关键点点睛：证得DG DC ⊥，从而以DG ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求得两平面的法向量，将二面角转化为法向量的夹角求解. 17．(本题16分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x m =+.（1）若不等式()9f x m -≤的解集为[]1,3-，求实数m 的值；14 （2）若0m >，函数()()21g x f x x =--的图象与x 轴围成的三角形的面积大于60，求m 的取值范围.【答案】（1）3m =-；（2）12m >. 【解析】 试题分析：（1）解不等式()9f x m -≤可得9233mx --≤≤且9m ≥-，根据不等式的解集为[]1,3-得到9213m--=-，解得3m =-，即为所求．（2）由题意可得函数()g x 的图象与x 轴围成的ABC ∆的三个顶点的坐标为()2,0A m --，2,05m B -⎛⎫⎪⎝⎭，2,233m m C ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，于是()2431•60215ABC C m S AB y ∆+==>，解得12m >，即为所求的范围． 试题解析： （1）由题意得90,39.m x m m +≥⎧⎪⎨+≤+⎪⎩①②解①得9m ≥-.②可化为939m x m m --≤+≤+，解得9233mx --≤≤. 不等式()9f x ≤的解集为[]1,3-， 9213m--∴=-，解得3m =-，满足9m ≥-. 3m ∴=-．（2）依题意得，()321g x x m x =+--. 又0m >，()()2,3521,321.m x m x m g x x m x x m x ⎧⎛⎫---≤- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∴=+--<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪++≥⎪⎩∵()g x 的图象与x 轴围成的ABC ∆的三个顶点的坐标为()2,0A m --，2,05m B -⎛⎫⎪⎝⎭，2,233m m C ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，()2431•60215ABCC m S AB y ∆+∴==>， 解得12m >.∵实数m 的取值范围为()12,+∞．18．(本题17分)已知函数()2sin cos cos26f x x x x π⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）求()f x 的单调递增区间和最值；（2）若函数()()g x f x a =-有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的单调递增区间是 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()()min max 30,2f x f x ==；（2）3[0,1)2⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭【分析】（1）利用两角差的余弦公式，二倍角公式和辅助角法，将函数转化为()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解.（2）将函数()()g x f x a =-有且仅有一个零点，转化为函数()y f x = 与y a =有且仅有一个交点，利用数形结合法求解. 【详解】（1）函数()2sin cos cos26f x x x x π⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，12sin sin cos 22x x x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭，2cos sin cos 2x x x x =++，112cos 2222x x =++， 1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，16令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得 ,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以函数()f x 的单调递增区间是 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()()min max 30,2f x f x ==. （2）因为()()g x f x a =-有且仅有一个零点， 所以()f x a =有且仅有一个零点，即函数()y f x = 与y a =有且仅有一个交点， 如图所示：由图象知：32a =或 [0,1)a ∈， 所以实数a 的取值范围是3[0,1)2⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭.【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．19．(本题17分)函数()y f x =的解析式满足条件()*2(1)()f n f n n N +=∈，且1(1)4f =-．（1）求()f n 的表达式； （2）若(1)(2)()n A f f f n =+++，求n A ．【答案】（1）111()42n f n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）11122n n A +=-+ 【分析】（1）由()*2(1)()f n f n n N+=∈，可得()f n 是以14-为首项，12为公比的等比数列，利用等比数列通项公式可得结果；（2）结合（1），利用等比数列求和公式可得结果 【详解】（1）因为函数()y f x =的解析式满是条件()*2(1)()f n f n n N +=∈，所以()f n 是以14-为首项，12为公比的等比数列；所以111()42-⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭n f n .（2）由（1）知，(1)(2)()n A f f f n =+++111142111111222212+⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==--=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-nn n 【点睛】本题主要考查等比数列的定义，通项公式和前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．(本题18分)已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，点P 为椭圆C18上任意一点，且PF1，离心率为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若动直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B （A 、B 都在x 轴上方），且180OFA OFB ∠+∠=︒.（i ）当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 的方程；（ii ）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(∵)2212x y +=；（∵）（i ）112y x =+；（ii ）存在定点(2,0)M -.【分析】（I ）结合椭圆的性质，计算a,b 的值，即可．（II ）（i ）计算直线AF 的斜率，得到BF 的斜率，得到直线BF 的方程，代入椭圆方程，得到B 点坐标，计算AB 直线的斜率，结合点斜式，计算方程，即可．（ii ）设出直线AF 的方程，代入椭圆方程，结合韦达定理，得到直线AB 的斜率，设出直线AB 的方程，令y=0，计算x 的值，计算点坐标，即可． 【详解】解：（I ）设椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）离心率为2，22222212c a b e a a -∴===，a ∴=，点P 为椭圆C 上任意一点，且PF1，1c ∴=，22221a b c b ∴=+=+，解得22a =，21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=. （II ）（i ）由题意()0,1A ，()1,0F -，()10101AF k -∴==--180OFA OFB ∠+∠=︒，1BF k ∴=-，∴直线BF 为：()11y x x =-+=--，代入2212x y +=，得2340x x +=，解得0x =或43x =-，代入1y x =--，得01x y =⎧⎨=-⎩，舍，或4313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，41,33B ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭.11134203ABk -∴==⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴直线AB 的方程为：112y x =+.（ii ）存在一个定点()2,0M -，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点. 证明：180OFA OFB ∠+∠=︒，B ∴在于x 轴的对称点1B 在直线AF 上，设直线AF 的方程为：()1y k x =+，代入()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得222212102k x k x k ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， 由韦达定理得2122212k x x k +=-+，2122112k x x k -=+，由直线AB 的斜率1212AB y y k x x -=-，得AB 的方程为：()121112y y y y x x x x --=-- 令0y =，得：121112x x x x y y y -=-⋅- 211212x y x y y y -=-，()111y k x =+，()221y k x -=+，211212x y x y x y y -=- ()()()()2112121111x k x x k x k x k x ⨯++⨯+=+++ 12121222x x x x x x ++=++22222212211222212k k k k k k -⨯-++=-+2=-，20 ∴对于动直线l ，存在一个定点()2,0M -，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点. 【点睛】考查了椭圆方程计算方法，考查了点斜式直线方程计算方法，考查了直线与椭圆方程的位置关系，难度偏难．。
新高三-(交大附中)2021年重点高中摸底考数学仿真模拟卷(上海专用)(二)(解析版)
（交大附中）2021年重点高中摸底考数学仿真模拟卷（上海专用）（二）考试范围：入学摸底；考试时间：120分钟注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题(共48分) 1．(本题4分)计算：32lim 21n n n →∞-=+__________．【答案】32【解析】 【分析】对分式进行变形，然后根据极限公式计算求解即可. 【详解】23323lim lim 12122n n n n n n→∞→∞--==++. 故答案为：32【点睛】本题考查了极限的有关计算，考查了恒等变形的能力，属于基础题. 2．(本题4分)已知矩阵1012A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，2413B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则A B +=____________．【答案】3401⎛⎫⎪-⎝⎭【分析】直接利用矩阵的和分运算法则求解即可． 【详解】矩阵1012A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2413B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，102434121301A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭．2故答案为：3401⎛⎫⎪-⎝⎭．【点睛】本题主要考查矩阵的和的求法，属于容易题．3．(本题4分)大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的10个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有_________种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）． 【答案】672 【解析】 【分析】分类讨论，分别求出甲、乙都不选，甲、乙两个专业选1个时的报名方法，根据分类计数原理，可得结论． 【详解】解：甲、乙都不选时，有3383336C A = 种；甲、乙两个专业选1个时，有123283336C C A =种，根据分类计数原理，可得共有336+336=672种不同的填报专业志愿的方法． 故答案为：672． 【点睛】本题考查计数原理的运用，考查排列组合知识，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键．4．(本题4分)设()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则(1)f -=________ 【答案】1 【分析】由偶函数的性质运算即可得解. 【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数且当0x ≥时，2()2f x x x =-，所以()(1)1211f f -==-=. 故答案为：1.5．(本题4分)已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），以原点O 为圆心、C 的焦距为半径的圆交x 轴于A ，B 两点，P 是圆O 与C 的一个公共点，若PA =，则C 的离心率为__________．【分析】根据题意，在RT ABC 中可得60PBA ∠=，可得P 点坐标为()c ，代入双曲线方程即可得解. 【详解】如图，根据题意4AB c =， 根据圆的性质可得90APB ∠=，又PA =，所以tan PBA ∠=，所以60PBA ∠=， 所以OPA 为等边三角形，由2OB c =可得P 点坐标为()c ，代入双曲线方程可得222231c c a b-=，由222b c a =-，可得42510e e -+=， 由双曲线的离心率1e >，所以25,2e =解得2e =，4故答案为：2. 6．(本题4分)设集合0{S A =，1A ，2A ，3A ，4A ，5}A ，在S 上定义运算“⊕”为：j i k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，i ，0j =，1，2，3，4，5．则满足关系式20()x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为__． 【答案】3 【分析】运用新定义，逐个验证，即可得到结论． 【详解】当0x A =时，20020220()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=≠ 当1x A =时，21122240()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕== 当2x A =时，2222022()()x x A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕= 当3x A =时，23322200()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕== 当4x A =时，24420221()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=≠ 当5x A =时，2552220()()x x A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕= 则满足关系式20()x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为：3个． 故答案为：3．7．(本题4分)虚数1x ，2x 是一个实系数一元二次方程的两个根，且11x =，212=x x ，则1x =________．【答案】122-± 【分析】根据题意分析可得虚数1x ，2x 必为共轭虚数，设1x a bi =+(,,0)a b R b ∈≠，则2x a bi =-，根据模长公式和复数相等的条件列方程可解得结果.【详解】因为虚数1x ，2x 是一个实系数一元二次方程的两个根，所以虚数1x ，2x 必为共轭虚数，设1x a bi =+(,,0)a b R b ∈≠，则2x a bi =-，由11x =，212=x x1=，222a b abi a bi -+=-，所以221a b +=，222a b a ab b ⎧-=⎨=-⎩，因为0b ≠，所以12a =-，b =所以1122x =-±.故答案为：122-±. 【点睛】本题考查了虚根成对定理，复数的模长公式和复数相等的条件，属于基础题. 8．(本题4分)cos54cos9sin54sin9︒︒+︒︒=____________;【分析】利用两角差的余弦公式化简题目所求表达式，由此求得表达式的值. 【详解】根据两角差的余弦公式有：原式()2cos 549cos 452=-==. 【点睛】本小题主要考查两角差的余弦公式，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.9．(本题4分)在数列{}n a 、{}n b 中，n b 是n a 与1n a +的等差中项，13a =，且对任意的n N +∈都有140n n a a +-=，则{}n b 的通项公式n b 为__________．【答案】151()24n⋅ 【解析】对任意的n N +∈都有140n n a a +-=，所以114n n a a +=∴{a n }是公比为14的等比数列，61134n n a -⎛⎫∴=⨯ ⎪⎝⎭又n b 是n a 与1n a +的等差中项，所以111133151442224n nnn n n a a b -+⎛⎫⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭===⎪⎝⎭故答案为15124nn b ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭10．(本题4分)若函数()2222sin tx x t xf x x t+++=+（0t >）的最大值为，最小值为，且，则实数t 的值为_______．【答案】2 【解析】试题分析：由题意，，显然函数是奇函数，∴函数最大值为，最小值为，且4M N +=，∴，即，∴，故答案为．考点：函数的最值及其几何意义.11．(本题4分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是112x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-，则圆C 的圆心到直线l 的距离为______.【答案】12． 【解析】直线l 的参数方程为12{12x y t =-+=（t 为参数），普通方程为x y+1=0，圆ρ=﹣4cosθ 即ρ2=﹣4ρcosθ，即 x 2+y 2+4x=0，即 （x+2）2+y 2=4， 表示以（﹣2，0）为圆心，半径等于2的圆． ∴圆C 的圆心到直线l =12，故答案为：12．12．(本题4分)已知函数f(x)={|lgx|，x>0−x2−2x，x≤0，若函数y=2f2(x)+3mf(x)+ 1−2m有6个不同的零点，则实数m的取值范围是__________．【答案】m＜﹣3【解析】【分析】令t=f（x），则原函数y等价为y=2t2+3mt+1﹣2m，转化为一元二次函数和二次方程问题，结合函数f（x）的图象，讨论t的范围，从而确定m的取值范围．【详解】令t=f（x），则原函数等价为y=2t2+3mt+1﹣2m，作出函数f（x）的图象如图，图象可知：当t＜0时，函数t=f（x）有一个零点；当t=0时，函数t=f（x）有三个零点；当0＜t＜1时，函数t=f（x）有四个零点；当t=1时，函数t=f（x）有三个零点；当t＞1时，函数t=f（x）有两个零点．要使关于x的函数y=2f2（x）+3mf（x）+1﹣2m有6个不同的零点，则方程2t2+3mt+1﹣2m=0有两个根t1，t2，且0＜t1＜1，t2＞1或t1=0，t2=1，令g（t）=2t2+3mt+1﹣2m，则由根的分布可得，8将t=1，代入g （t ）=0得m=﹣3，此时2t 2﹣9t+7=0的另一个根为t=72，不满足t 1=0，t 2=1， 若0＜t 1＜1，t 2＞1，则{△=9m 2−8(1−2m )>0g (1)=3+m <0g (0)=1−2m >0 即{m >−8+2√349或m <−8−2√349m <−3m <12解得m ＜﹣3， 故答案为：m ＜﹣3 【点睛】本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、单选题(共20分)13．(本题5分)设集合{0,1,2}M =，则（ ） A ．1M ∈ B ．2M ∉C ．3M ∈D ．{}0M ∈【答案】A 【分析】根据集合中的元素，依次检验四个选项即可. 【详解】由题：集合{0,1,2}M =，所以1M ∈，2M ∈，3M ∉，0是一个集合，应该{}0M ⊆.故选：A 【点睛】此题考查元素与集合的关系，容易混淆概念，元素与集合之间是属于关系，集合与集合之间是包含关系.14．(本题5分)在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1,1,1)P 关于平面xOz 对称的点Q 的坐标是（ ） A ．(1,1,1)- B ．(1,1,1)--C ．(1,1,1)-D ．(1,1,1)-【答案】D 【分析】由点(1,1,1)P 关于平面xOz 对称点的横，纵，竖坐标的关系求解即可. 【详解】点(1,1,1)P 关于平面xOz 对称点，横坐标，竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数 则对称点(1,1,1)Q - 故选：D 【点睛】本题主要考查了求关于坐标平面对称点的坐标，属于基础题. 15．(本题5分)设R x ∈，则“|2||1|5x x ++-≤”是“23x -≤≤”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】分析：对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得到不等式的解集，然后利用充分条件与必要条件的定义判断即可.. 详解：215x x ++-≤，当1x >时，化为215x +≤，解得12x <≤；当21x -≤≤时，化为215x x ++-≤，即35≤，解得21x -≤≤； 当2x <-时，化为()()215x x -+--≤，解得32x -≤<-， 综上可得：x 的取值范围是3,2，∴“215x x ++-≤”是“23x -≤≤”的既不充分也不必要条件，故选D.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法、充分条件与必要条件相关问题，将含绝对值不等式解法、充分条件、必要条件、充要条件相关的问题联系在起来，体现综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题 16．(本题5分)平面向量，且c 与a 的夹角等10于c 与b 的夹角，则m = A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】D 【详解】由c a c b c a c b ⋅⋅=得=，2m =，故选D.三、解答题(共82分)17．(本题15分)如图，直三棱柱111ABC A B C -中，122AA AC BC ==，D 是1AA 的中点，1CD B D ⊥.（1）证明：11CD B C ⊥；（2）平面1CDB 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 【答案】（1）见解析；（2）1:1 【解析】试题分析：（1）直三棱柱的侧面为矩形，在矩形11ACC A 中，由勾股定理的逆定理证得1CD DC ⊥，再由条件1CD B D ⊥，即可证得CD ⊥平面11B C D ，从而结论成立；（2）设1V 是平面1CDB 上方部分的体积，2V 是平面1CDB 下方部分的体积，可证11B C ⊥平面11ACC A ，由棱锥的体积公式，即可得到311112V B C =，计算三棱柱的体积为311V B C =，则12V V =.试题解析：（1）证明：由题设知，直三棱柱的侧面为矩形，由D 为1AA 的中点，则1DC DC =，又12AA AC =，可得22211DC DC CC +=，则1CD DC ⊥，而1CD B D ⊥，11B D DC D ⋂=则CD ⊥平面11B C D ，由于11B C ⊂平面11B C D ，故11CD B C ⊥；（2）由（1）知，11CD B C ⊥，且111B C C C ⊥，则11B C ⊥平面11ACC A ，设1V 是平面1CDB 上方部分的体积，2V 是平面1CDB 下方部分的体积则111113311111111131••3322B CDA C CDA C V V S B C B C B C -===⨯=，11131111••2ABC A B C V V AC BC CC B C -===，则32111112V V V B C V =-==，故这两部分体积的比为1：1.18．(本题15分)某公司生产A 种型号的电脑.2013年平均每台电脑的生产成本为5000元,并按纯利润为20%定出厂价,2014年开始,公司更新设备,加强管理,逐步推行股份制,从而使生产成本逐年降低,2017年平均每台A 种型号的电脑出厂价仅是2013年的80%,实现了纯利润50%.(1)求2017年每台A 种型号电脑的生产成本;(2)以2013年的生产成本为基数,用二分法求2013-2017年间平均每年生产成本降低的百分率(精确度001).【答案】（1）3200元.（2）11.25% 【分析】第（1）问是价格和利润的问题，销售总利润可以按每台来算也可以按实现50%的利润来算，从而找出等量关系；第（2）问是增长率问题，要注意列出方程后，用二分法求解，但应用二分法时注意合理使用计算器． 【详解】解:(1)设2017年每台A 种型号电脑的生产成本为p 元,根据题意,得12()()150%5000120%80%p +=⨯+⨯,解得3200p =.故2017年每台A 种型号电脑的生产成本为3200元.(2)设2013-2017年间平均每年生产成本降低的百分率为()01x x <<,根据题意,得()4500013200x -=.令()()4500013200f x x =--,求出x 与()f x 的对应值(精确到个位) 如下表:通过观察,可知()()00.150f f ⋅<,说明此函数在区间()0,0.15内有零点0x 取区间()0,0.15的中点10.075x =,可算得()0.075460f ≈因为()()0.075150f f ⋅<0.,所以()00.075,0.15x ∈.再取区间()0.075,0.15的中点20.1125x =,可算得()0.112598f ≈-. 因为()()0.0750.11250f f <,所以()00.075,0.1125x ∈.同理,可得()00.0975,0.1125x ∈,()00.103125,0.1125x ∈.由于0.1031250.11250.0093750.01-=<. 所以原方程的近似解可取0.1125,故平均每年生产成本降低的百分率约为11.25% 【点睛】本题主要考查建立函数模型的能力和用二分法来解函数模型方法．19．(本题16分)已知平行四边形ABCD 中，2AB =，4BC =，60DAB ∠=，点E 是线段BC 的中点. (1)求AC AE ⋅的值；(2)若AF AE AD λ=+，且BD AF ⊥，求λ的值.【答案】(1)18；(2)12λ=-. 【分析】(1)根据条件，可以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，从而可得出AC AE ，的坐标，然后进行向量数量积的坐标运算即可；(2)可以得出(0BD =，(32)AF =+λ，然后根据BD AF ⊥，即可得出0BD AF ⋅=，进行向量数量积的坐标运算，即可求出λ的值. 【详解】(1)以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(4,C ，E ，(2,D ，所以(4AC =，(3，AE =，所以4318AC AE ⋅=⨯+=；(2)(0BD =，(32)AF =+λ， 因为BD AF ⊥，所以23)0BD AF ⋅==， 解得12λ=-. 【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标运算，选择恰当的点作为坐标原点建系及正确的写出各点坐标是关键，属于中档题.本题也可以AB ,AD 作为基底，利用基底法求解. 20．(本题18分)已知函数2()(,,)1mx n f x m n R x R x +=∈∈+为奇函数，且1(1)2f =.14（1）判断()f x 在1（，）+∞的单调性，并用定义证明； （2）求函数()f x 在区间1,(0)2k k k ⎡⎤+≥⎢⎥⎣⎦上的最大值()g k . 【答案】（1）详见解析；（2）()224k 21,0k 4k 4k 5211g k ,122k,k 1k k k +⎧≤≤⎪++⎪⎪=<<⎨⎪⎪≥⎪+⎩【解析】 【分析】（1）由函数是奇函数，利用()()100,12f f ==，求得,m n 的值，即可得到函数的解析式，在利用单调性的定义，即可得到函数的单调性；（2）由(1)知函数在区间[)1,∞+上单调递减，在[]0,1上单调递增，分类讨论，分别求解函数的最大值，即可得到结论. 【详解】 解：()1函数是奇函数，()f 0n 0∴==；由()m 1f 122==，得m 1=， ∴函数()f x 的解析式()2xf x x 1=+； 设121x x <<， 则()()()()()()2112121222221212x x x x 1x x f x f x x 1x 1x 1x 1---=-=++++， 21x 10+>，22x 10+>，21x x 0->，12x x 10->， ()()12f x f x 0∴->，即()()12f x x f >，∴函数在区间()1,∞+上是减函数；(2)由(1)知函数在区间[)1,∞+上单调递减，在[]0,1上单调递增，①当1k 12+≤时，即10k 2≤≤时，()214k 2g k f k 24k 4k 5+⎛⎫=+= ⎪++⎝⎭；②当1k 12k <<+时，即112k <<时，()()1g k f 12==；③当k 1≥时，()()2kg k f k k k==+；综上()g k = 224k 21,04k 4k 5211,122k ,1k k k k k +⎧≤≤⎪++⎪⎪<<⎨⎪⎪≥⎪+⎩. 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用问题，其中解答中熟记函数的单调性和奇偶性，合理利用函数的单调性，分类讨论求解函数的最值是解答本题的关键，着重考查了分类讨论思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.21．(本题18分)已知数列{}n a 满足:*1111n a n N a +==∈，. (1)若21n n d a =，求数列{}n d 的通项公式； (2)设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且212211683n n n n S S n n a a ++=+--，试确定1b 的值，使得数列{}n b 为等差数列；(3)将数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中的部分项按原来顺序构成新数列{}n c ，且15c =，求证:存在无数个满足条件的无穷等比数列{}n c . 【答案】（1）n a =；（2）11b =，数列{}n b 为等差数列；（3）详见解析 【分析】（1）由11a =，两边平方化简可得221114n n a a +-=，则数列21{}na 是以1为首项，以4为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式即可求得21na ，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得化简整理114143n nS S n n +-=+-，得利用等差数列的通项公式可得：1143nS b n n =+--，即1(1)(43)n S b n n =+--，当2n 时，1n n n b S S -=-，化为14811n b b n =+-，取1n =即可得出；16（3）令等比数列{}n c 的公比*4()m q m N =∈，则1(1)154n m n n c c q --==⨯，设(1)k m n =-，可得(1)21543[5(1444)2]1m n k --⨯=+++⋯++-，⋯．因为215(1444)2k -+++⋯++为正整数，可得数列{}n c 是数列{}n a 中包含的无穷等比数列，进而证明结论． 【详解】 解：（1）11n a +=221114n n a a +-=，*n N ∈ ∴数列21{}na 是以1为首项，以4为公差的等差数列，则2114(1)43nn n a =+-=-，∴n a =，∴数列{}n a的通项公式n a =；（2）由（1）可得n a =，212211683n nn n S S n n a a ++=+--，21(43)(41)1683n n n S n S n n +∴-=++--， ∴114143n nS S n n +-=+-， ∴数列{}43n S n -是等差数列，首项为1S ，公差为1．∴1143nS b n n =+--， 1(1)(43)n S b n n ∴=+--，当2n 时，111(1)(43)(2)(47)n n n b S S b n n b n n -=-=+---+--，化为14811n b b n =+-，若数列{}n b 为等差数列，则上式对于1n =时也成立， 1143b b ∴=-，解得11b =．87n b n ∴=-为等差数列． 11b ∴=，数列{}n b 为等差数列；（3）证明：由（1）可得2143nn a =-． 令等比数列{}n c 的公比*5()m q m N =∈，则1(1)155n m n n c c q --==⨯， 设(1)k m n =-，因为215115554k k --+++⋯+=，所以(1)21555[3(1555)1]m n k --⨯=⨯+++⋯++，213[5(1555)2]1k -=+++⋯++-， 因为215(1555)2k -+++⋯++为正整数，所以数列{}n c 是数列{}n a 中包含的无穷等比数列，因为公比*5()m q m N =∈有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列{}n c 有无数个． 【点睛】本题考查了构造方法、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，推理能力与计算能力，属于难题．。
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2021届上海市上海交通大学附属中学高三上学期开学摸底数学试题一、单选题1．函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．2．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ） A ．64π B ．48πC ．36πD ．32π【答案】A【解析】由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论. 【详解】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意， 得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 6023AB r =︒=，123OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，222211111,4OO O A R OA OO O A OO r ∴⊥==+=+=， ∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.3．若点00(,)P x y 00(0)x y ≠在函数()y f x =的图像上，1()y f x -=为函数()y f x =的反函数，设100(,)P y x 、200(,)P y x -、300(,)P y x -、400(,)P y x --，则有（ ） A ．点1234,,,P P P P 有可能都在函数1()y f x -=的图像上B ．只有点2P 不可能在函数1()y f x -=的图像上C ．只有点3P 不可能在函数1()y fx -=的图像上D ．点23,P P 都不可能在函数1()y f x -=的图像上 【答案】D【解析】根据反函数存在的条件是原函数必须是一一对应的，然后根据反函数的性质可判断点1234,,,P P P P 是否在函数1()y f x -=图像上.【详解】存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的,根据点00(,)P x y 00(0)x y ≠在函数()y f x =的图象上， 则100(,)P y x 在反函数1()y fx -=的图象若点100(,)P y x 与点300(,)P y x -都在反函数1()y fx -=的图象上，则相同的横坐标对应两个函数值，不符合一一对应；若点200(,)P y x -在反函数图象上则点00(,)x y -在函数()y f x =的图象上， 则相同的横坐标对应两个函数值，不符合一一对应； 故点23,P P 都不可能在函数1()y f x -=的图象上故选：D ． 【点睛】本题考查反函数存在的条件和函数的性质，同时考查分析问题的能力，属于基础题. 4．设集合S ，T ，S ⊆N ，T ⊆N ，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足： ①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ； 下列命题正确的是（ ）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素 【答案】A【解析】分别给出具体的集合S 和集合T ，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可. 【详解】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项 C ；若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ； 下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈， 若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =， 又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p pp p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆. 若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i q p i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==， 即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =， 此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A . 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.二、填空题5．已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____.【答案】{}0,2【解析】根据集合的交集即可计算. 【详解】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B = ∴{}0,2AB =故答案为：{}0,2. 【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．6．已知i 是虚数单位，则复数()()12z i i =+-的虚部是________ 【答案】1【解析】利用复数的乘法运算，化简复数3i z =+,即可得答案； 【详解】2213z i i i =-++=+，∴复数z 的虚部是1，故答案为：1. 【点睛】本题考查复数虚部的概念，属于基础题.7．已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____. 【答案】2【解析】根据平均数的公式进行求解即可． 【详解】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4∴4235620a a ++-++=，即2a =. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．8．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 【答案】19【解析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可． 【详解】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个.点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个. ∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==. 故答案为：19. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．25()()x x y xy ++的展开式中33x y 的系数为________【答案】15【解析】先把条件整理转化为求225()()x y x y ++展开式中43x y 的系数，再结合二项式的展开式的特点即可求解． 【详解】解：因为22255()()()()y x y x y x x y x x++++=； 要求展开式中33x y 的系数即为求225()()x y x y ++展开式中43x y 的系数；展开式含43x y 的项为：2223244435515x C x y y C x y x y +=；故25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为15；故答案为：15.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．10．如果方程2lg (lg 6)lg lg 2lg 30x x ++⋅=的两个根为1x 、2x ，那么12x x ⋅的值为________ 【答案】16【解析】先对方程进行因式分解变形得(lg lg 2)(lg lg3)0x x ++=，求出12,x x 的值，即可得答案； 【详解】(lg lg 2)(lg lg3)0x x ++=， ∴lg lg 2x =-或lg lg3x =-，∴121123x x ==，，∴1216x x =，故答案为：16.【点睛】本题考查对数的运算，考查运算求解能力，属于基础题.11．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______． 【答案】4【解析】结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得{}{},n n a b 的公差和公比，由此求得d q +. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意1q ≠. 等差数列{}n a 的前n 项和公式为()2111222n n n d d P na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 等比数列{}n b 的前n 项和公式为()1111111n n n b q b bQ q qq q-==-+---，依题意nn n S P Q =+，即22111212211nn b b d d n n n a n q q q ⎛⎫-+-=+--+ ⎪--⎝⎭， 通过对比系数可知111212211dd a q b q⎧=⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪=⎪⎪=-⎪-⎩⇒112021d a q b =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，故4d q +=. 故答案为：4 【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前n 项和公式，属于中档题.12．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半径为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】1232π【解析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果. 【详解】正六棱柱体积为23622=1234⨯⨯ 圆柱体积为21()222ππ⋅=所求几何体体积为1232π故答案为： 1232π【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.13．将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】524x π=-【解析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 【详解】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=-72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=-【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.14．已知22451x y y +=（,x y R ∈），则22xy +的最小值是________【答案】45【解析】由已知求得2x ，代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求最小值； 【详解】解：由22451x y y +=，可得42215y x y -=，由20x ，可得2(0y ∈，1]，则44222222211411(4)555y y x y y y y y y-++=+==+ 221142455y y =，当且仅当212y =，2310x =，可得22xy +的最小值为45； 故答案为：45. 【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和化简运算能力，属于中档题. 15．在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】根据题设条件可设()0PA PD λλ=>，结合32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭与,,B D C 三点共线，可求得λ，再根据勾股定理求出BC ，然后根据余弦定理即可求解. 【详解】∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫-⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， ∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-. ∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出()0PA PD λλ=>．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，,A B 是221:()362C x y +-=上的两个不同的动点，满足PA PB =，且PA PB a ⋅<恒成立，则实数a 最小值是________ 【答案】49【解析】因为PA PB =，可知PC 是AB 的垂直平分线，1PC =，设CE x =，PA 、PB 、AB 的长即可用x 表示，再利用余弦定理表示cos APB ∠，利用数量积的定义将PA PB ⋅用x 表示，()maxa PA PB>⋅，利用函数求出()max6PA PB⋅<，即得a 最小值.【详解】如图圆心10,2C ⎛⎫⎪⎝⎭，1PC =，因为PA PB =，所以PC 是AB 的垂直平分线，设PC 与AB 相交于点E ，则点E 是AB 的中点， 设CE x =，则2236AE x =-，()22436AB x=-，()2222221237AP BP AE EP AE x x ==+=++=+PA PB a ⋅<恒成立，所以()maxa PA PB>⋅cos PA PB PA PB APB ⋅=∠，在APB △中，由余弦定理得：222222cos 22AP BP AB AP AB APB AP BP AP BP +--∠==⨯⨯， 所以222222cos 22AP AB AP AB PA PB PA PB APB PA PB AP BP --⋅=∠=⨯=⨯， ()()22222323743652x x x x +--==+-，因为06x <<，所以6x =时，22235236123549x x +-<⨯+-=， 即()max49PA PB⋅<所以6a ≥，故实数a 最小值是49，故答案为：49【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的定义，余弦定理，勾股定理，恒成立问题，求二次函数的最值，属于综合性题目，属于中档题.三、解答题17．在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=5,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．【答案】（115（2239【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】（1）连,CO BC CD BO OD CO BD ==∴⊥以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)A B C D E -∴15(1,0,2),(1,1,1)cos ,1553AB DE AB DE ∴=-=∴<>==- 从而直线AB 与DE 所成角的余弦值为1515（2）设平面DEC 一个法向量为1(,,),n x y z =11200(1,2,0),00x y n DC DC x y z n DE ⎧+=⋅=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎪⎩⎩令112,1(2,1,1)y x z n =∴=-=∴=- 设平面DEF 一个法向量为2111(,,),n x y z =11221117100171(,,0),4244200x y n DF DF DB BF DB BC n DE x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪=+=+=∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪++=⎩令111272,5(2,7,5)y x z n =-∴==∴=-12cos ,67813n n ∴<>== 因此12239sin 13θ== 【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.18．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且2sin 0b A =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【答案】（I ）3B π=；（II）32⎤⎥⎝⎦【解析】（I ）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B 的大小；（II ）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定∠A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围.【详解】（I）由2sin b A =结合正弦定理可得：2sin sin ,sin 2B A A B =∴= △ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos sin 222A A A =-++11cos 222A A =++ 1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 32A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，113sin ,2232A π⎛⎤⎛⎫++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.19．已知函数()|31|2|1|f x x x=+--.（1）画出()y f x=的图像；（2）求不等式()(1)f x f x>+的解集；（3）若不等式22()3f x t at≥-+-，对于任意的x∈R，任意的[1,1]a∈-恒成立，求实数t的取值范围.【答案】（1）图像见解析；（2）7(,)6-∞-；（3）2t≤-或2t≥.【解析】（1）根据绝对值定义去掉绝对值符号化函数为函数形式，然后可分段作出函数图象；（2）把函数()y f x=的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x=+的图像，由图象可得不等式的解；（3）首先由()f x图象得()f x的最小值83-，然后问题转化为282,33t at-≥-+-对任意[]1,1a∈-恒成立，引入函数()g a=223t at-+-，这是关于a的一次函数，由一次函数性质易得结论．【详解】（1）由题设知13,,31()51,1,33, 1.x xf x x xx x⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩()y f x=的图像如图所示.（2）函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像，()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711(,)66--，由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在(1)y f x =+的图像上方， ∴不等式()(1)f x f x >+的解集为7(,)6-∞-．（3）由函数图像性质可知，当13x =-时，()f x 取得最小值83-， 则原问题转化为282,33t at -≥-+- 对任意[]1,1a ∈-恒成立，即220t at --≥对任意[]1,1a ∈-恒成立，记函数()22g a ta t =-+-，要使()0g a ≥对任意[]1,1a ∈-恒成立，只需()()1010g g ⎧≥⎪⎨-≥⎪⎩，即222020t t t a ⎧--≥⎨+-≥⎩，解得：2,t ≤-或2t ≥.【点睛】本题考查作含绝对值函数图象，用图象解不等式，考查不等式恒成立问题，不等式恒成立问题的关键是转化，一是转化为求出函数的最小值，二是转化为与一次函数有关的不等关系．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B .（1）求12AF F ∆的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB 与MAB △的面积分别为12,S S ，若213S S =，求点M 的坐标.【答案】（1）6；（2）4- ；（3）M 点坐标为(2,0)或212(,)77-- .【解析】（1）由椭圆标准方程可知a ，b ，c 的值，根据椭圆的定义可得12AF F △的周长22a c =+，代入计算即可．（2）由椭圆方程得3(1,)2A ，设(,0)P t ，进而由点斜式写出直线AP 方程，再结合椭圆的右准线为：4x =，得点Q 为34(4,)21tt--，再由向量数量积计算最小值即可．（3）在计算OAB ∆与MAB ∆的面积时，AB 可以最为同底，所以若213S S =，则O 到直线AB 距离1d 与M 到直线AB 距离2d ，之间的关系为213d d =，根据点到直线距离公式可得135d =，295d =，所以题意可以转化为M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为340x y m -+=，与直线AB 的距离为95，根据两平行直线距离公式可得，6m =-或12，然后在分两种情况算出M 点的坐标即可． 【详解】（1）由椭圆的标准方程可知，24a =，23b =，2221c a b =-=， 所以△12AF F 的周长226a c =+=．（2）由椭圆方程得3(1,)2A ，设(,0)P t ，则直线AP 方程为32()1y x t t=--，椭圆的右准线为：24a x c==，所以直线AP 与右准线的交点为34(4,)21tQ t--，(OP QP t =，0)(4t -，22340)4(2)4421tt t t t--=-=----，当2t =时，()4min OP QP =-．（3）若213S S =，设O 到直线AB 距离1d ，M 到直线AB 距离2d ，则2111||||22AB d AB d ⨯⨯=⨯⨯，即213d d =， 3(1,)2A ，1(1,0)F -，可得直线AB 方程为3(1)4y x =+，即3430x y -+=，所以135d =，295d =，由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB的直线l 为340x y m -+=，与直线AB 的距离为95，95=，即6m =-或12，当6m =-时，直线l 为3460x y --=，即3(2)4y x =-， 联立223(2)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得(2)(72)0x x -+=，即20M N x y =⎧⎨=⎩或27127M Mx y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以(2,0)M 或2(7-，12)7-．当12m =时，直线l 为34120x y -+=，即3(4)4y x =+， 联立223(4)4143y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得221182404x x ++=，△9(3656)0=⨯-<，所以无解， 综上所述，M 点坐标为(2,0)或2(7-，12)7-．【点睛】本题考查椭圆的定义，向量的数量积，直线与椭圆相交问题，解题过程中注意转化思想的应用，属于中档题．21．已知数列{}n a （*n ∈N ）的首项11a =，前n 项和为n S ，设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k k n n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“~k λ”数列.（1）若等差数列{}n a 是“~1λ”数列，求λ的值； （2）若数列{}n a 是”数列，且0n a >，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“~3λ”数列，且0n a ≥？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）1λ=；（2）()()211342n n n a n -⎧=⎪=⎨⨯≥⎪⎩；（3）存在，01λ<<. 【解析】（1）根据新定义，即由11n n n S S a λ++-=，求λ，此式变形为1(1)0n a λ+-=，分析后可得．（2=11n n n a S S ++=-转化为{}n S 的递推关系，令n b =，得{}n b 的递推关系，求得n b ，从而可得n S ，n a ．（3）类似（2）的转化，令n c，则1 1)n n c c -=≥，即333(1)(1)( 1)n n n c c c λ-=-≥．（），分析此式中n c 的解的情况，注意到321(1)(1)n n n n c c c c -=-++，210n n c c ++>，在0λ≤或1λ=时，（）只有一解1n c =，对应{}n a 只有一个， 在1λ>时，同样得出{}n a 只有一个，在01λ<<时，（）有三个解，一个在(0,1)上，一个是1，一个在(1,)+∞上，即有两个不小于1的解，设在(1,)+∞上的解为t ，则1n n S S +=或31n n S t S +=，这样对数列{}n S ，由其中任一项n S 求其后一项1n S +时都有两种个解，这样所得数列{}n S 会有无数个，从而得{}n a 有无数个．由此可得结论． 【详解】（1）∵等差数列{}n a 是“λ～1”数列，则11n n n S S a λ++-=，即11n n a a λ++=， 也即1(1)0n a λ+-=，此式对一切正整数n 均成立，若1λ≠，则10n a +=恒成立，∴320a a -=，而211a a -=-，这与{}n a 是等差数列矛盾，∴1λ=．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列） （2）∵数列*{}()n a n ∈N 是”数列，∵0n a >，∴10n n S S +>>1=，n b =，则1n b -=221(1)(1)(1)3n n n b b b -=->， 解得：2n b =2=，也即14n nS S +=，∴数列{}n S 是公比为4的等比数列， ∵111S a ==，∴14n n S -=．2n ≥时，12214434n n n n n n a S S ----=-=-=⨯，∴21(1),34(2).n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩（3）设各项非负的数列*{}()n a n ∈N 为“~3λ”数列， 则11133311n n n S S a λ++-== ∵0n a ≥，而11a =，∴10n n S S +≥>1=n c，则1 1)n n c c -=≥，即333(1)(1)( 1)n n n c c c λ-=-≥．（） ①若0λ≤或=1λ，则（）只有一解为=1n c ，即符合条件的数列{}n a 只有一个；（此数列为1，0，0，0，…）②若1λ>，则（）化为3232(1)(1)01n nnc c c λλ+-++=-， ∵1n c ≥，∴3232101n nc c λλ+++>-，则（）只有一解为=1n c ， 即符合条件的数列{}n a 只有一个；（此数列为1，0，0，0，…）③若01λ<<，则3232101nnc c λλ+++=-的两根分别在（0，1）与（1，+∞）内， 则方程（）有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于1（记此解为t ）， ∴1n n S S +=或31n n S t S +=，由于数列{}n S 从任何一项求其后一项均有两种不同结果，努力的你，未来可期!精品 ∴这样的数列{}n S 有无数多个，则对应的{}n a 有无数多个； 综上：能存在三个各项非负的数列{}n a 为“~3λ”数列，λ的取值范围是01λ<<．【点睛】本题考查数列新定义，解题是把新定义进行转化，本题就是转化为已知11111k k k n n n S S a λ++-=求n a ，这样只要利用n S 与n a 的关系进行转化．考查了学生分析问题、解决问题的能力，转化与化归能力，本题属于难题．。