上海交通大学附属中学2021届高三上学期开学摸底考试数学试卷附答案.docx
2024-2025学年上海交大附中高三上学期数学开学考试卷及答案(2024.09)
1交大附中2024学年第一学期高三年级数学摸底考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.已知全集U R =,集合{|},{|13}A x x a B x x =<=−<<,且B A ⊆,则实数a 的取值范围 是 .2.已知常数0a >且1a ≠,无论a 为何值,函数21x y a −=+的图像恒经过一个定点,则这个点 的坐标为 .3.用简单随机抽样的方法从含n 个个体的总体中,逐个抽取一个样本量为3的样本,若其中 个体a 在第一次就被抽取的可能性为18，那么n = . 4.两正数a 与b 的几何平均值为2,则2a 与2b 的算术平均值的最小值为 .5.已知二项式31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项,正整数n 的最小值为 .6.不等式21log x x <−+的解集是 .7.已知等差数列{}n a 的首项11,n a S =−表示{}n a 的前n 项和,若数列{}n S 是严格增数列，则{}n a 的公差d 取值范围是 .8.已知()()()()1f x x x a x b =+++.若()y f x =为奇函数,则()'0f = . 9.满足定义域为{}1234,,,且值域为{}123,,的函数共有 个.10.已知函数()(0,0,02)y Asin x A =ω+φ>ω>≤φ<π的图像与直线(0)y b b A =<<的三个 相邻交点的横坐标依次是1,2,4,则ϕ=11.已知实数,,a b c 成公比为q 的等比数列,抛物线2x y =上每一点到直线0ax by c ++=的距 离均大于98,则q 的取值范围是 .212.在边长为1的正六边形ABCDEF 中,以A 为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别 记为12345,,,,a a a a a ，以D 为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别记为12345,,,,d d d d d ，若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中{}{}{}{}12345,12345i ,j,k ,,,,r ,s,t ,,,,⊂⊂。
新高三-(交大附中)2021年重点高中摸底考数学仿真模拟卷(上海专用)(一)(解析版)
（交大附中）2021年重点高中摸底考数学仿真模拟卷（上海专用）（一）考试范围：入学摸底；考试时间：120分钟注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 一、填空题(共46分)1．(本题4分)从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是________． 【答案】25【分析】用列举法列举出所有可能的情况，利用古典概型概率计算公式求得所求的概率. 【详解】1,2,3,4,5,6这两个数字，任选两个可能的组合如下：()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，()()()()()2,3,2,4,2,5,2,6,3,4，()()()()()3,5,3,6,4,5,4,6,5,6，共15种，其中和为偶数的有()()1,3,1,5，()()2,4,2,6，()()3,5,4,6，共6种，故和为偶数的概率是62155=. 【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查列举法，属于基础题. 2．(本题4分)复数1z 2ii+=-（i 为虚数单位）的实部为______. 【答案】15【分析】由复数除法法则计算出z ，再由复数的定义得结论． 【详解】由已知1z 2i i +=-2(1)(2)2213(2)(2)555i i i i i i i i +++++===+-+，其实部为15． 故答案为：15． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念，属于基础题．23．(本题4分)已知集合{|12}A x x =-≤≤，{|1}B x x =>，则A B =_____．【答案】{|12}x x <≤ 【分析】 直接求A B 即可.【详解】 由题知{|12}AB x x =<≤．故答案为：{|12}x x <≤ 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于简单题.4．(本题4分)已知一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，则这组数据的方差是______. 【答案】2 【分析】由一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，先求出m =10，由此能求出这组数据的方差. 【详解】∵一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8， ∵1(6789)85m ++++=，解得m =10， ∵这组数据的方差S 2=15[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]=2. 故答案为：2 【点睛】本题考查一组数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差计算公式的合理运用.5．(本题4分)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________【答案】163【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体，结合图中数据求出它的体积． 【详解】根据几何体的三视图，还原该几何体，过A ，B 两点在平面ABCD 内分别引AG∵CD 于G,BH∵CD 于H,则该几何体的体积为1112222221232AEG BFH D AEG C BFH V V V ---++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯ 163=， 故答案为163【点睛】求解空间几何体体积的常用策略：（1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解；（2）切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可；（3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用.（4）等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何体的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题. 6．(本题4分)已知1x >，则函数4311y x x =++-的最小值是_________________.【答案】4+【分析】变形后，利用基本不等式可得结果. 【详解】因为1x >，所以10x ->，44311y x x =++-43(1)41x x =-++-44≥=，当且仅当13x =+时，等号成立. 所以函数4311y x x =++-的最小值是4+.故答案为：4+ 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7．(本题4分)设函数)2((2)(){10(2)ln x a e x f x xa x x-+≤=++> (e 是自然对数的底数),若()2f 是函数()f x 的最小值，则a 的取值范围为________. 【答案】[2,6] 【解析】当2x ≤时，x a < 时函数单调递减，若()2f 是函数的最小值，所以2a ≥ ，当2x >时，()()2ln 10ln x f x x -'==时，x e = ，()2,e 0fx函数单调递减，(),e +∞0f x函数单调递增，当x e =时取得极小值()10f e e a =++ ，若()2f 是函数的最小值，需满足()2102e a a e ++≥-+ ，解得：16a -≤≤ ，又因为2a ≥，故26a ≤≤，故填：2,6 .【点睛】分段函数的考查是高考的热点，本题考查了分段函数的一些性质，求分段函数的最小值，分别求两段函数的最小值然后再比较，根据分段函数的单调性求参数取值，两段函数需分别满足函数的单调性，分界点处也需满足单调性，具备这两点才能正确求出参数取值.8．(本题4分)函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，以下结论中正确的是______（写出所有正确结论的编号）. ①图象C 关于直线1112π=x 对称； ①图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ①函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数； ①由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . 【答案】∵∵∵ 【分析】利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴，分析单调区间，利用函数的平移方式检验平移后的图象. 【详解】由题：()3sin 23x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2,32x k k Z πππ-=+∈，5,122k x k Z ππ=+∈， 当1k =时，1112π=x 即函数的一条对称轴，所以∵正确； 令2,3x k k Z ππ-=∈，,62k x k Z ππ=+∈，当1k =时，23x π=，所以2,03π⎛⎫⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，所以∵正确； 当5,1212x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，,2223x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝π⎭-，()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数，所以∵正确；3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度得到23sin 23sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与函数()3sin 23x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭不相等，所以∵错误.故答案为：∵∵∵ 【点睛】此题考查三角函数的图象和性质，利用整体代入的方式求解对称轴对称中心，求解单调6 区间，根据函数的平移变换求解平移后的函数解析式.9．(本题4分)已知数列{}n a 中，11a =，2n n a n a =-，211n n a a +=+，则1299a a a +++的值为 _____． 【答案】1275 【分析】根据递推关系式可求得2211n n a a n ++=+，从而利用并项求和的方法将所求的和转化为()()()12345989912350a a a a a a a +++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+，利用等差数列求和公式求得结果. 【详解】由211n n a a +=+得：211n n a a +=- 则2121n n a n a +-=-，即2211n n a a n ++=+()()()129912345989912350a a a a a a a a a a ∴++⋅⋅⋅+=+++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+()5015012752⨯+==本题正确结果：1275 【点睛】本题考查并项求和法、等差数列求和公式的应用，关键是能够利用递推关系式得到数列相邻两项之间的关系，从而采用并项的方式来进行求解.10．(本题5分)定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，(){}n f a 仍是等比数列，则()f x 称为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数：①()3f x x =；①()x f x e =；①()f x =①()2log f x x =.则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为______. 【答案】∵∵ 【分析】根据新定义“保等比数列函数”.结合等比数列的定义，逐个判断四个函数，即可得到结论. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1n na q a +=， 对于∵，()3f x x =，因为1()()n n f a f a +333113()n n n na a q a a ++===，即(){}n f a 仍为等比数列，所以()3f x x =为“保等比数列函数”；对于∵，()xf x e =，因为1()()n n f a f a +11n n n n a a a a e e e++-==不为常数，所以(){}n f a 不为等比数列，所以()xf x e =不为“保等比数列函数”；对于∵，()f x =因为1()()n n f a f a+===所以(){}n f a 仍为等比数列，所以()f x =“保等比数列函数”；对于∵，()2log f x x =，因为1()()n n f a f a +21222222log ||log ||log ||log ||1log ||log ||log ||n n n n n a a q q a a a ++===+不为常数，所以(){}n f a 不为等比数列，所以()2log f x x =不为“保等比数列函数”. 故答案为：∵∵ 【点睛】本题考查了对新定义的理解能力，考查了等比数列的定义，属于基础题.11．(本题5分)在四棱锥P ABCD -中，PAB是边长为ABCD 为矩形，2AD =，PC PD ==若四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 的球面上，则球O 的表面积为_____． 【答案】28π 【分析】做AD 中点F ，BC 的中点G ，连接,,PF PG FG ，由已知条件可求出3,PF PG ==运用余弦定理可求120PFG ∠=，从而在平面PFG 中建立坐标系，则 ,,P F G 以及PAD ∆的外接圆圆心为1O 和长方形ABCD 的外接圆圆心为 2O 在该平面坐标系的坐标可求，通过球心O 满足12,OO PF OO FG ⊥⊥，即可求出 O 的坐标，从而可求球的半径，进而能求出球的表面积.8【详解】解：如图做AD 中点F ，BC 的中点G ，连接,,PF PG FG ，由题意知,PF AD PG BC ⊥⊥，则sin 603,PF PG ====设PAB ∆的外接圆圆心为1O ，则1O 在直线 PF 上且123PO PF =设长方形ABCD 的外接圆圆心为2O ，则2O 在 FG 上且22FO GO =.设外接球的球心为O在PFG ∆ 中，由余弦定理可知2232191cos 2322PFG +-∠==-⨯⨯， 120PFG ∴∠=.在平面PFG 中，以F 为坐标原点，以FG 所在直线为x 轴，以过F 点垂直于 x 轴的直线为y 轴，如图建立坐标系，由题意知，O 在平面PFG 中且12,OO PF OO FG ⊥⊥设()1,O y ，则113,,2222O P ⎛⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎝⎭，因为 1OO PF ⊥，所以2213122y -=+解得y =则2PO ==所以球的表面积为2428ππ⨯=⎝⎭.故答案为: 28π.【点睛】本题考查了几何体外接球的问题，考查了球的表面积.关于几何体的外接球的做题思路有：一是通过将几何体补充到长方体中，将几何体的外接球等同于长方体的外接球，求出体对角线即为直径，但这种方法适用性较差；二是通过球的球心与各面外接圆圆心的连线与该平面垂直，设半径列方程求解；三是通过空间、平面坐标系进行求解.二、单选题(共20分)12．(本题5分)下列各式中，表示y 是x 的函数的有（ ） ①(3)y x x =--；①y =；①1,01,0x x y x x -<⎧=⎨+≥⎩；①0,1,x y x ⎧=⎨⎩为有理数为实数． A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C 【分析】根据构成函数的两要素分析定义域是否为空集及对应法则是否对定义域内每一个元素都有唯一实数值与之对应，即可求解. 【详解】∵(3)y x x =--,定义域为R ,化简解析式为3y =，定义域内每个值按对应法则都有唯一实数3与之对应，是函数；∵y =，定义域为2010x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得x ∈∅，所以不是函数；∵1,01,0x x y x x -<⎧=⎨+≥⎩，定义域为R ，对应法则对于定义域内每一个值都有唯一实数与之对应，所以是函数；∵0,1,x y x ⎧=⎨⎩为有理数为实数，定义域为R ，当1x =时，y有两个值0,1与之对应，所以不是函数. 故选C. 【点睛】本题主要考查了函数的概念，构成函数的两个要素，属于中档题. 13．(本题5分)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．(3π+ B．(4π+ C．(3π+ D．(4π+【答案】A 【详解】10 分析：由三视图可知，该几何体由一个半球与两个共同顶点圆锥组成，根据三视图中数据，求出球半径、圆锥的底面半径与母线长，从而可得结果.详解：由三视图可知，该几何体由一个半球与两个共同顶点圆锥组成， 其中球半径为1，半球的表面积为2π， 圆锥底面半径为1，底面积为π，圆锥的母线l ==，，∴几何体表面积为(223ππππ++=+，故选A.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.14．(本题5分)在(a －b )20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( ) A ．第15项 B ．第16项 C ．第17项 D ．第18项【答案】B 【解析】因为第6项的二项式系数为520C ，又1552020C C =，所以第16项符合条件,故选B.15．(本题5分)如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】由题意求得1a >，再结合对数函数的图象与性质，合理排除，即可求解. 【详解】因为函数(0,1)xy a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数xy a =为增函数，所以1a >， 所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ； 又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及指数函数与对数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.三、解答题(共84分)16．(本题16分)已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的菱形，且BC BD =，1DD ⊥平面ABCD ，11AA =，BE CD ⊥于点E .（1）试问在线段11A B 上是否存在一点F ，使得//AF 平面1BEC ？若存在，求出点F 的位置；若不存在，请说明理由；（2）在（1）的条件下，求平面ADF 和平面1BEC 所成锐二面角的余弦值.12 【答案】（1）存在，F 为线段11A B 的中点；理由见解析；（2）7. 【分析】（1）当F 为线段11A B 的中点时，//AF 平面1BEC .取AB 的中点G ，证得1//AF B G ，11//B G C E ，故1//AF C E ，从而证得//AF 平面1BEC ；（2）以DG ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，分别求得平面ADF 和平面1BEC 的法向量，由法向量的夹角求得二面角夹角的余弦值. 【详解】（1）当F 为线段11A B 的中点时，//AF 平面1BEC . 下面给出证明：取AB 的中点G ，连接EG ，1B G ，则1//FB AG ，且1FB AG =，所以四边形1AGB F 为平行四边形，所以1//AF B G . 因为BC BD =，BE CD ⊥，所以E 为CD 的中点，又G 为AB 的中点，//AB CD ，AB CD =，所以//BG CE ，且BG CE =， 所以四边形BCEG 为平行四边形，所以//EG BC ，且EG BC =，又11//BC B C ，11BC B C =，所以11//EG B C ，且11EG B C =，所以四边形11EGB C 为平行四边形， 所以11//B G C E ，所以1//AF C E ，又AF ⊄平面1BEC ，1C E ⊂平面1BEC ，所以//AF 平面1BEC ，（2）连接DG ，因为BD BC AD ==，G 为AB 的中点，所以DG AB ⊥， 又//AB CD ，所以DG CD ⊥，因为1DD ⊥平面ABCD ，DC ，DG ⊂平面ABCD ，所以1DD DC ⊥，1DD DG ⊥， 所以DG ，DC ，1DD 两两垂直，以DG ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -（如图所示），由题意知2BD BC CD AB AD =====，所以60DAB BDC ∠=∠=︒，又1AA =1，所以()0,0,0D，)1,0A-，()10,0,1D ，()0,1,0E ，()10,2,1C，)B，)F，所以)EB →=，()10,1,1EC →=，)1,0DA →=-，)DF →=.设平面1BEC 的法向量为(),,n x y z →=，则100EB n EC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y z =+=⎪⎩，解得0x y z =⎧⎨=-⎩， 令1z =，得平面1BEC 的一个法向量()0,1,1n →=-.设平面ADF 的法向量为(),,m a b c →=，则0,0,DA m DF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0,b c -=+=解得b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令1a =，得b =c =，平面ADF的一个法向量(m →=.设平面ADF 和平面1BEC 所成的锐二面角的大小为θ，则cos 7m nm nθ→→→→⋅===⋅.所以平面ADF 和平面1BEC. 【点睛】关键点点睛：证得DG DC ⊥，从而以DG ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求得两平面的法向量，将二面角转化为法向量的夹角求解. 17．(本题16分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x m =+.（1）若不等式()9f x m -≤的解集为[]1,3-，求实数m 的值；14 （2）若0m >，函数()()21g x f x x =--的图象与x 轴围成的三角形的面积大于60，求m 的取值范围.【答案】（1）3m =-；（2）12m >. 【解析】 试题分析：（1）解不等式()9f x m -≤可得9233mx --≤≤且9m ≥-，根据不等式的解集为[]1,3-得到9213m--=-，解得3m =-，即为所求．（2）由题意可得函数()g x 的图象与x 轴围成的ABC ∆的三个顶点的坐标为()2,0A m --，2,05m B -⎛⎫⎪⎝⎭，2,233m m C ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，于是()2431•60215ABC C m S AB y ∆+==>，解得12m >，即为所求的范围． 试题解析： （1）由题意得90,39.m x m m +≥⎧⎪⎨+≤+⎪⎩①②解①得9m ≥-.②可化为939m x m m --≤+≤+，解得9233mx --≤≤. 不等式()9f x ≤的解集为[]1,3-， 9213m--∴=-，解得3m =-，满足9m ≥-. 3m ∴=-．（2）依题意得，()321g x x m x =+--. 又0m >，()()2,3521,321.m x m x m g x x m x x m x ⎧⎛⎫---≤- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∴=+--<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪++≥⎪⎩∵()g x 的图象与x 轴围成的ABC ∆的三个顶点的坐标为()2,0A m --，2,05m B -⎛⎫⎪⎝⎭，2,233m m C ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，()2431•60215ABCC m S AB y ∆+∴==>， 解得12m >.∵实数m 的取值范围为()12,+∞．18．(本题17分)已知函数()2sin cos cos26f x x x x π⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）求()f x 的单调递增区间和最值；（2）若函数()()g x f x a =-有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的单调递增区间是 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()()min max 30,2f x f x ==；（2）3[0,1)2⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭【分析】（1）利用两角差的余弦公式，二倍角公式和辅助角法，将函数转化为()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解.（2）将函数()()g x f x a =-有且仅有一个零点，转化为函数()y f x = 与y a =有且仅有一个交点，利用数形结合法求解. 【详解】（1）函数()2sin cos cos26f x x x x π⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，12sin sin cos 22x x x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭，2cos sin cos 2x x x x =++，112cos 2222x x =++， 1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，16令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得 ,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以函数()f x 的单调递增区间是 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()()min max 30,2f x f x ==. （2）因为()()g x f x a =-有且仅有一个零点， 所以()f x a =有且仅有一个零点，即函数()y f x = 与y a =有且仅有一个交点， 如图所示：由图象知：32a =或 [0,1)a ∈， 所以实数a 的取值范围是3[0,1)2⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭.【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．19．(本题17分)函数()y f x =的解析式满足条件()*2(1)()f n f n n N +=∈，且1(1)4f =-．（1）求()f n 的表达式； （2）若(1)(2)()n A f f f n =+++，求n A ．【答案】（1）111()42n f n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）11122n n A +=-+ 【分析】（1）由()*2(1)()f n f n n N+=∈，可得()f n 是以14-为首项，12为公比的等比数列，利用等比数列通项公式可得结果；（2）结合（1），利用等比数列求和公式可得结果 【详解】（1）因为函数()y f x =的解析式满是条件()*2(1)()f n f n n N +=∈，所以()f n 是以14-为首项，12为公比的等比数列；所以111()42-⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭n f n .（2）由（1）知，(1)(2)()n A f f f n =+++111142111111222212+⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==--=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-nn n 【点睛】本题主要考查等比数列的定义，通项公式和前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．(本题18分)已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，点P 为椭圆C18上任意一点，且PF1，离心率为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若动直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B （A 、B 都在x 轴上方），且180OFA OFB ∠+∠=︒.（i ）当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 的方程；（ii ）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(∵)2212x y +=；（∵）（i ）112y x =+；（ii ）存在定点(2,0)M -.【分析】（I ）结合椭圆的性质，计算a,b 的值，即可．（II ）（i ）计算直线AF 的斜率，得到BF 的斜率，得到直线BF 的方程，代入椭圆方程，得到B 点坐标，计算AB 直线的斜率，结合点斜式，计算方程，即可．（ii ）设出直线AF 的方程，代入椭圆方程，结合韦达定理，得到直线AB 的斜率，设出直线AB 的方程，令y=0，计算x 的值，计算点坐标，即可． 【详解】解：（I ）设椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）离心率为2，22222212c a b e a a -∴===，a ∴=，点P 为椭圆C 上任意一点，且PF1，1c ∴=，22221a b c b ∴=+=+，解得22a =，21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=. （II ）（i ）由题意()0,1A ，()1,0F -，()10101AF k -∴==--180OFA OFB ∠+∠=︒，1BF k ∴=-，∴直线BF 为：()11y x x =-+=--，代入2212x y +=，得2340x x +=，解得0x =或43x =-，代入1y x =--，得01x y =⎧⎨=-⎩，舍，或4313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，41,33B ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭.11134203ABk -∴==⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴直线AB 的方程为：112y x =+.（ii ）存在一个定点()2,0M -，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点. 证明：180OFA OFB ∠+∠=︒，B ∴在于x 轴的对称点1B 在直线AF 上，设直线AF 的方程为：()1y k x =+，代入()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得222212102k x k x k ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， 由韦达定理得2122212k x x k +=-+，2122112k x x k -=+，由直线AB 的斜率1212AB y y k x x -=-，得AB 的方程为：()121112y y y y x x x x --=-- 令0y =，得：121112x x x x y y y -=-⋅- 211212x y x y y y -=-，()111y k x =+，()221y k x -=+，211212x y x y x y y -=- ()()()()2112121111x k x x k x k x k x ⨯++⨯+=+++ 12121222x x x x x x ++=++22222212211222212k k k k k k -⨯-++=-+2=-，20 ∴对于动直线l ，存在一个定点()2,0M -，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点. 【点睛】考查了椭圆方程计算方法，考查了点斜式直线方程计算方法，考查了直线与椭圆方程的位置关系，难度偏难．。
2024届上海交大附中高三数学上学期9月开学考试卷附答案解析
2024届上海交大附中高三数学上学期9月开学考试卷2023.9（全卷满分150分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合{}1,4,5A =，{}3,4=B 则A B ⋃=．2．34i +的平方根为3．已知向量a 与b的夹角为120︒，3a = ，13+= a b ，则b =.4．设F 1和F 2是双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足1290F PF ︒∠=,则12F PF ∆的面积为;5．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知40S =，510a =，则n n a S +=6．若1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.7．直线y ax b =+是曲线1y x =+的切线，则a b +的最小值为．8．各项为正且公差不为0的等差数列{}n a 的第1项、第2项、第6项恰好是等比数列{}n b 的连续三项（顺序不变），设12231111n n n S a a a a a a +=+++L ，若对于一切的*N n ∈，11n S a ≤，则1a 的最小值为．9．设函数21()11f x x x =+-+，则使得()212log 2log 1f x f x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭成立的实数x 的取值范围是.10．在ABC 中，24AC BC ==，ACB ∠为钝角，,M N 是边AB 上的两个动点，且1MN =，若CM CN⋅的最小值为34，则cos ACB ∠=．11．三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的正三角形，E 为PC 的中点，若直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值为427，则PA 的长为.12．设a ，b 是两个实数，0a b ≤<，直线:l y kx m =+和圆221x y +=交于两点A ，B ，若对于任意的[],k a b ∈，均存在正数m ，使得OAB 的面积均不小于34，则2b a -的最大值为．二、选择题（本大题共有4小题，满分18分，其中第13、14题每题4分，第14、15题每题5分）13．已知x 是实数，命题:3p x <；命题2:230q x x --<，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件14．下列说法正确的是（）A ．如果直线l 不平行于平面α，那么平面α内不存在与l 平行的直线B ．如果直线l //平面α，平面α//平面β，那么直线l //平面βC ．如果直线l 与平面α相交，平面α//平面β，那么直线l 与平面β也相交D ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，那么平面α//平面β15．设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数1x ，2x R ∈，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数：①()1,00,0x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②()2f x x =；③()21f x x =-；具有性质P 的函数的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．316．某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间（小时）7891011党员人数610987则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是（）A ．8，8.5B ．8，8C ．9，8D ．8，9三、解答题（本大题共5题，满分78分）17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，,M N 分别为棱,PD PC 的中点，PA AD =，平面PAD ⊥平面ABCD .求证：(1)//MN 平面PAB ；(2)AM ⊥平面PCD ．18．已知数列{}n a 的前n 项和为235n S n n =+，数列{}n b 满足18b =，164n n b b +=．(1)证明{}n a 是等差数列；(2)是否存在常数a 、b ，使得对一切正整数n 都有log n a n a b b =+成立．若存在，求出a 、b 的值；若不存在，说明理由．19．如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，20AB =米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN （宽度不计），点M 在线段AD 上，并且与曲线CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN （宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为2a 元，单人弧形椅的造价每米为a 元，记锐角NBE θ∠=，总造价为W 元．(1)试将W 表示为θ的函数()W θ，并写出cos θ的取值范围；(2)问当AM 的长为多少时，能使总造价W 最小．20．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）经过()1,0A ，()0,B b 两点.O 为坐标原点，且AOB 的面积为24.过点()0,1P 且斜率为k （0k >）的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M ，N ，且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO λ=，PT PO μ= ，求λμ+的取值范围.21．已知函数12ln 2(0(()))f x a x ax a x=-++≤.（1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）当a<0时，讨论()f x 的单调性；（3）若对任意的(3,2)a ∈--，12,[1,3]x x ∈，恒有12(ln 3)2ln 3()()m a f x f x +->-成立，求实数m 的取值范围.1．{}1,3,4,5【分析】进行并集的运算即可．【详解】解：{}1,4,5A = ，{}3,4=B {}1,3,4,5A B ∴⋃=故答案为：{}1,3,4,5．【点睛】本题考查了列举法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．(2)i ±+【分析】先设复数z a bi =+，可得2()34a bi i +=+，再结合复数相等的充要条件求解即可.【详解】解：设所求复数为z a bi =+，由题意有2()34a bi i +=+，即222i 34i a b ab -+=+，则22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，即2z i =+或2z i =--，即34i +的平方根为(2)i ±+，故答案为(2)i ±+.【点睛】本题考查了复数的运算及复数相等的性质，属基础题.3．4【详解】试题分析：向量a 与b的夹角为120︒，313a a b ＝，＋＝，则3··cos 1 202a b a b b ︒=- ＝，222||2a b a a b b +⋅+ ＋＝.所以21393b b =-+ ，则1b ＝－（舍去）或4b ＝.考点：平面向量的数量积.4．1.【详解】∵点P 在双曲线右支上，且满足∠F 1PF 2=90°，12212420PF PF PF PF ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩①②②﹣①2得|PF 1|•|PF 2|=2．∴△F 1PF 2的面积S=12|PF 1|•|PF 2|=1．故结果为1.5．22410n n --【分析】设等差数列的公差为d ，然后由已知条件列方程组可求出1,a d ，从而可求出答案.【详解】设等差数列的公差为d ，因为40S =，510a =，所以1143402410a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得164a d =-⎧⎨=⎩，所以2(1)64(1)6424102n n n n a S n n n n -+=-+--+⨯=--，故答案为：22410n n --6．79【分析】由5 sin 2sin 2626πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合诱导公式，倍角公式求解即可.【详解】2517sin 2sin 2cos 212sin 126266 699πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故答案为：79【点睛】本题主要考查了诱导公式和倍角公式化简求值，属于中档题.7．2【分析】设直线y ax b =+与曲线1y x =+相切于点()00,1x x +，根据导数的几何意义求出切线方程，可得001,212a x x b ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，再根据基本不等式可得a b +的最小值.【详解】设直线y ax b =+与曲线1y x =+相切于点()()000,10x x x +≥，当00x =时，直线y b =不是曲线1y x =+的切线，故00x >,由1y x =+得012x x y x =='，所以切线方程为()()000112y x x x x -+=-，即001122x y x x =++，所以001,212a x x b ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以00001112122222x x a b x x +=++≥⋅+=，当且仅当01x =时，等号成立，所以()min 2a b +=．故答案为：2.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了基本不等式求最值，属于基础题.8．13【分析】根据等差数列{}n a 的第1项、第2项、第6项恰好是等比数列{}n b 的连续三项，利用等比中项得到2216a a a =，化简得到13d a =，从而求得()132n a n a =-，然后利用裂项相消法求得()2131n n S n a =+，再由()211131n n a a ≤+，得到131n a n ≥+求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由2216a a a =得()()21115a d a a d +=+，因为0d ≠，所以13d a =，所以()()11132n a a n d n a =+-=-，12231111n n n S a a a a a a +=+++L 11223111111113n n a a a a a a a +⎛⎫=-+-++- ⎪⎝⎭()()21111133131nd n a a n a n a =⋅=++，所以()211131n n a a ≤+，则131n a n ≥+，因为1111313313n n n ⎛⎫=-< ⎪++⎝⎭，所以113a ≥，故1a 的最小值为13．故答案为：13【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等比中项，裂项相消法求和以及数列不等式问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9．()32,2【分析】利用定义证明函数()f x 为偶函数，结合()f x 在(0,)+∞上单调递增，解不等式()212log 2log 1f x f x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭，即可得出实数x 的取值范围.【详解】2211()11()1()1f x x x f x x x -=+--=+-=+-+，则函数()f x 为偶函数当0x >时，21()11f x x x =+-+，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增()212log 2log 1f x f x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭()212log 2log 1f x f x ⎛⎫∴>+ ⎪ ⎪⎝⎭，212log 2log 1x x ∴>+21222log log log 1log 2xx x ==- ，()()2222log 12log x x ∴>-即()2223log 4log 10x x -+<，即()()223log 1log 10x x --<21log 13x ∴<<，3222log 2log log 2x ∴<<322x ∴<<故答案为：()32,2【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性以及单调性解不等式，属于中档题.10．1358-【分析】取MN 的中点P 得PN PM =- ，12PN PM == ，再将CM CN ⋅用向量,,PN PM CP 表示并结合CM CN ⋅ 的最小值为34得min 1CP =，即C 到直线AB 的距离为1，再根据几何关系即可求得cos ACB∠【详解】取MN 的中点P ，取PN PM =- ，12PN PM ==，()()()()214CM CN CP PM CP PN CP PM CP PM CP ⋅=+⋅+=+⋅-=- ，因为CM CN ⋅ 的最小值34，所以min 1CP =．作CH AB ⊥，垂足为H ，如图，则1CH =，又2BC =，所以30B ∠=︒，因为4AC =，所以由正弦定理得：1sin 4A =，15cos 4A =，所以()31cos cos 150cos sin 22ACB A A A ∠=︒-=-+3151113524248-=-⨯+⨯=．故答案为：1358-.【点睛】本题考查向量的数量积运算，正弦定理解三角形，余弦的差角公式等，是中档题.11．2或3【分析】设F 是BC 的中点，连接,AF PF ，在平面PAF 内作AH PF ⊥，则BC AH ⊥，可证明AH ⊥平面PBC ，连接EH ，则AEH ∠是AE 与平面PBC 所成的角，设PA m =，利用AE 平面PBC 所成的角的正弦值为427，列方程求解即可.【详解】设F 是BC 的中点，连接,AF PF ，PA ⊥ 平面ABC ，PA BC ∴⊥，ABC ∆ 为正三角形，BC AF ∴⊥，BC ∴⊥平面PAF ，在平面PAF 内作AH PF ⊥，则BC AH ⊥，AH ∴⊥平面PBC ，连接EH ，则AEH ∠是AE 与平面PBC 所成的角，设PA m =，在直角三角形PAF 中，AH PF PA AF ⋅=⋅，求得233PA AF mAH PF m ⋅==+，211422AE PC m ==+，AE 平面PBC 所成的角的正弦值为427，223423sin 1742mAH m AEH AE m +∴∠===+,解得2m =或3m =，即PA 的长为2或3，故答案为2或3.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质，以及直线与平面所成的角，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.12．2【分析】设O 到直线l 的距离为d ，利用三角形的面积均不小于34列不等式，由此求得d 的取值范围，再利用点到直线的距离公式转化为关于,m k 的不等式.根据k 的取值范围，求得m 的取值范围，由此求得关于,a b 的不等式，结合导数求得2b a -的最大值.【详解】设O 到直线l 的距离为d ，则2132124AOB S d d =⨯-⋅≥，解得1322d ≤≤，即213221m k ≤≤+，所以22131122k m k +≤≤+，因为[],k a b ∈，0m >时，22max 111122k b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，22min331122k a ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以22131122b m a +≤≤+，因为存在0m >满足条件，所以22131122b a +≤+，化简得223122b a -≤，且0a b ≤<，由223122b a -≤得232b a ≤+，所以()22322b a a a f a -≤+-=，因为0a ≥，解不等式()2620232a f a a '=->+无解，所以()f a 在[)0,∞+上单调递减，所以()()02f a f ≤=．故2b a -的最大值为2．故答案为：2【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用导数求最值，属于难题.13．B【分析】由题意可得命题:33p x -<<，命题:13q x -<<.由()()1,33,3≠-⊂-，可得结论.【详解】解3x <，得33x -<<，∴命题:33p x -<<.解2230x x --<，得13x -<<，∴命题:13q x -<<.()()1,33,3,≠-⊂-∴ p 是q 的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查充分必要条件，属于基础题.14．C【分析】根据直线与平面的关系判断A ，根据线面平行、面面平行的性质判断B ，由直线与平面相交即平面平行的性质判断C ，根据平面垂直的性质判断D.【详解】如果直线l 不平行于平面α，例如l ⊂α，则平面α内存在与l 平行的直线，故A 错误；如果直线l //平面α，平面α//平面β，那么直线l //平面β或l β⊂，故B 错误；如果直线l 与平面α相交，平面α//平面β，直线l 与平面β也相交，故C 正确；如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，那么平面α//平面β或α与β相交，故D 错误.故选：C 15．C【解析】根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明：不存在1x ，2x R ∈，使得1212()()()22x x f x f x f ++=．【详解】①因为函数是奇函数，可找关于原点对称的点，比如1(1)(1)(1)11()(0)0222f f f f +-+--====，存在；②假设存在不相等1x ，2x R ∈，使得1212()()()22x x f x f x f ++=，即2221212()22x x x x ++=，得12x x =，矛盾，故不存在；③函数为偶函数，(0)1f =，令2()|1|0f x x =-=，2x =±，则22(2)(2)()(0)122f f f f -+-===，存在．故选：C ．【点睛】本题考查函数新定义，考查函数的解析式以及函数的单调性，同时学生的理解能力，以及反证法的应用，属于中档题．16．A【分析】众数是出现次数最多的，百分位数根据从小到大排列后，根据计算即可求解.【详解】党员人数一共有610987=40++++，学习党史事件为8小时的人数最多，故学习党史时间的众数为8，4040%=16⨯，那么第40百分位数是第16和17个数的平均数，第16，17个数分别为8，9，所以第40百分位数是89=8.52+故选：A17．(1)证明详见解析(2)证明详见解析【分析】（1）通过线面平行的判定定理证得//MN 平面PAB .（2）根据通过证明,AM PD CD AM ⊥⊥来证得AM ⊥平面PCD .【详解】（1）由于,M N 分别为棱,PD PC 的中点，所以//MN CD ，由于四边形ABCD 是矩形，所以//CD AB ，所以//MN AB ，由于MN ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以//MN 平面PAB ；（2）由于PA AD =，M 是PD 的中点，所以AM PD ⊥.由于平面PAD ⊥平面ABCD 且交线为AD ，CD ⊂平面ABCD ，CD AD ⊥，所以CD ⊥平面PAD ，由于AM ⊂平面PAD ，所以CD AM ⊥，由于,,PD CD D PD CD ⋂=⊂平面PCD ，所以AM ⊥平面PCD .18．(1)证明见解析；(2)存在12a =，11b =.【分析】(1)由数列{}n a 的前n 项和为235n S n n =+，可求得62n a n =+，*N n ∈，再由等比数列的定义证明即可.(2)根据题意可求得962n n b -=，log (96)log 2a n a b n =-，代入log n a n a b b =+中得626log 29log 2a a n n b +=-++，只需满足以66log 229log 2a a b =-⎧⎨=+⎩即可，从而求解,a b 的值即可.【详解】（1）解：证明：因为数列{}n a 的前n 项和为235n S n n =+，所以当1n =时，11358a S ==+=，当2n ≥时，213(1)5(1)n S n n -=-+-，所以221353(1)5(1)62n n n a S S n n n n n -=-=+----=+，满足18a =，所以数列{}n a 的通项公式为62n a n =+，*N n ∈，所以16(1)2626n n a a n n +-=++--=，*N n ∈，所以{}n a 是等差数列；（2）解：因为164n n b b +=，所以1164n n b b +=，所以数列{}n b 是以8为首项，164为公比的等比数列，所以19618()264n n n b --=⋅=；所以96log log 2(96)log 2n a n a a b n -==-，要使对一切正整数n 都有log n a n a b b =+成立．即62(96)log 2a n n b +=-+，即626log 29log 2a a n n b +=-++，所以66log 229log 2a a b =-⎧⎨=+⎩，解得1211a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩.故存在常数,a b ，当1,112a b ==时，对一切正整数n 都有log n a n a b b =+成立.19．(1)()54cos =816sin 2W a a θπθθθ-⎛⎫⋅+⋅- ⎪⎝⎭，4cos 0,5θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(2)43AM =米【分析】（1）总造价由两部分组成，根据弧长公式可求得16()2CN πθ=-，而切线长MN 需构造直角三角形或借助坐标求解，最后由线段长为正，可得cos θ的取值范围；（2）利用导数求函数最值，先求导数，确定导函数零点，分析函数单调性，确定极值点，即最值点即可得答案.【详解】（1）解：过N 作AB 的垂线，垂足为F ，过M 作NF 的垂线，垂足为G ，在Rt BNF △中，16cos BF θ=，则2016cos MG AF θ==-，在Rt MNG 中，MNG θ∠=，则2016cos sin MN θθ-=，由题意易得162CN πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2016cos 54cos 216816sin 2sin 2W a a a a θπθπθθθθθ--⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅-=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4cos 0,5θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）解：()()()2282cos 1cos 245cos 816sin sin a W a a θθθθθθ---'=⋅-=，令()0W θ'=，得1cos 2θ=，又4arccos ,52πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3πθ=，所以当4arccos ,53πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0W θ'<，()W θ单调递减；当,32ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0W θ'>，()W θ单调递增．所以当3πθ=时，总造价W 最小，最小值为81633a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时83MN =，43NG =，83NF =，所以当43AM =米时，能使总造价W 最小．20．（Ⅰ）2221x y +=（Ⅱ）2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅲ）()2,2【分析】（Ⅰ）把点A 坐标代入椭圆的方程得1a =.由AOB 的面积为24可知，1224ab =，解得b ，进而得椭圆C 的方程.（Ⅱ）设直线l 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y .联立直线l 与椭圆C 的方程可得关于x 的一元二次方程.0∆>，进而解得k 的取值范围.（Ⅲ）因为()1,0A ，()0,1P ，()11,M x y ，()22,N x y ，写出直线AM 的方程，令0x =，解得111y y x -=-.点S 的坐标为110,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.同理可得：点T 的坐标为220,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.用坐标表示PS ，PT ，PQ ，代入PS PO λ= ，PT PO μ= ，得111111111y kx x x λ+=+=+--.同理22111kx x μ+=+-.由（Ⅱ）得122421k x x k +=-+，122121x x k =+，代入λμ+，化简再求取值范围.【详解】（Ⅰ）因为椭圆C ：22221x y a b +=经过点()1,0A ，所以21a =解得1a =.由AOB 的面积为24可知，1224ab =，解得22b =，所以椭圆C 的方程为2221x y +=.（Ⅱ）设直线l 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y .联立22211x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，消y 整理可得：()2221410k x kx +++=.因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以()22164210k k ∆=-+>，解得212k >.因为0k >，所以k 的取值范围是2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭.（Ⅲ）因为()1,0A ，()0,1P ，()11,M x y ，()22,N x y .所以直线AM 的方程是：()1111yy x x =--.令0x =，解得111yy x -=-.所以点S 的坐标为110,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.同理可得：点T 的坐标为220,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.所以110,11y PS x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭ ，220,11y PT x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，()0,1PO =- .由PS PO λ= ，PT PO μ= ，可得：1111yx λ--=--，2211y x μ--=--，所以111111111ykxx x λ+=+=+--.同理22111kx x μ+=+-.由（Ⅱ）得122421k x x k +=-+，122121x x k =+，所以()()()1212121212122121122111kx x k x x kx kx x x x x x x λμ+-+-+++=++=+---++()222214212212121412121k k k k k k k k ⎛⎫⋅+--- ⎪++⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪++⎝⎭()22224422121421k k k k k k -+-+=++++()()2121k k -+=++()1222,212k k ⎛⎫=-+∈> ⎪ ⎪+⎝⎭ 所以λμ+的范围是()2,2.【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.21．（1）极小值22ln 2-，无极大值；（2）参考解析；（3）133m ≤-【详解】试题分析：第一问，将0a =代入()f x 中确定函数()f x 的解析式，对()f x 进行求导，判断()f x 的单调性，确定在12x =时，函数()f x 有极小值，但无极大值，在解题过程中，注意函数的定义域；第二问，对()f x 求导，()0f x '=的根为1a -和12，所以要判断函数()f x 的单调性，需对1a-和12的大小进行3种情况的讨论；第三问，由第二问可知，当32a -<<-时，()f x 在[1,3]为减函数，所以(1)f 为最大值，(3)f 为最小值，所以()()12f x f x -的最大值可以求出来，因为()()()12ln 32ln 3m a f x f x +->-对任意的()[]123,2,,1,3a x x ∈--∈恒成立，所以()()()12max ln 32ln 3m a f x f x +->-，将()()12f x f x -的最大值代入后，(3,2)a ∈--，又是一个恒成立，整理表达式，即243m a<-+对任意32a -<<-恒成立，所以再求min 2(4)3a -+即可.试题解析：（1）当0a =时，()()22121212ln ,(0).x f x x f x x x x x x-'=+=-=>由()2210x f x x -'=>,解得12x >.∴()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数.∴()f x 的极小值为122ln 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值.（2）()()()()2222221121212(0)ax a x ax x a f x a x x x x x +--+--=-+=>'=.①当20a -<<时，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数；②当2a =-时，()f x 在()0,∞+上是减函数；③当2a <-时，()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭和10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数.（3）当32a -<<-时，由（2）可知()f x 在[]1,3上是减函数，∴()()()()()1221342ln 33f x f x f f a a -≤-=-+-.由()()()12ln 32ln 3m a f x f x +->-对任意的()[]123,2,,1,3a x x ∈--∈恒成立，∴()()()12maxln 32ln 3m a f x f x +->-即()()22l l n n 3342ln 33m a a a ->-+-+对任意32a -<<-恒成立，即243m a<-+对任意32a -<<-恒成立，由于当32a -<<-时，132384339a -<-+<-，∴133m ≤-.考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的极值；3.利用导数求函数的最值；4.不等式的性质.。
上海交通大学附属中学XXXX-XXXX学年度第一学期高三摸底考试数学试题
上海交通大学附属中学2021-2021学年度第一学期高三摸底考试数学试卷〔总分值150分，120分钟完成，答案一律写在答题纸上〕一、填空题〔本大题总分值48分〕1、集合Q P x y y Q R a a a x x P 则},3|{},,34|{2-==∈---===2、假设幂函数222)33(--+-=m mx m m y 的图象只是原点，那么实数m 的值为3、设复数()i z mm1214++-=,R m ∈，假设z 对应的点在03=-y x 上，那么m 的值为 4、以下表中的对数值有且仅有一个是错误的：请将错误的一个改正为lg =5、)(x f y =是关于3=x 对称的奇函数，1)1(=f ,523sin cos =-x x ， 那么______)4cos(2sin 15=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+πx x f6、ΔABC 的三个内角C B A 、、所对边的长分不为c b a 、、，向量()a b c a m -+=,，),(b c a n -=，假设n m ⊥，那么∠C 等于7、Z k ∈,AB =()1,k ,AC =()4,2，假设|AB |假设△ABC 是直角三角形，那么=k 8、一个正方体外表展开图中，五个正方形位置如图阴影所示第六个正方形在编号1到5的位置，那么所有可能位置的编号是________9、抛物线24y x =上的点P 到抛物线的准线距离为1d ，到直线3490x y -+=的距离为2d ，那么12d d +的最小值是________10、如图，将网格中的三条线段沿网格线上下或左右平移，组成一个首尾相连的三角形，那么三条线段一共至少需要移动 格11、定义在R 上的函数)(x f 满足3()()02f x f x ++=，且函数3()4y f x =-为奇函数，给出以下命题：〔1〕函数)(x f 的周期为23，〔2〕函数)(x f 关于点3(,0)4-对称，〔3〕函数)(x f 关于y 轴对称。
2021-2021学年上海市交大附中高三数学开学考(20219)(1)
⎨⎩n⎨ 2 ⎨2x + 3y = 4 n 交大附中高三开学考一. 填空题1. 若集合 A = {x || x - 2 | < 3} ，集合 B = {x |x - 3x> 0} ，则 A B = 2017.92. 一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是以 a 为半径的圆，则该几何体的体积是3. 已知i 是虚数单位，则-2 的平方根是4. 函数 f (x ) = x 2+1 (x < 0) 的反函数是⎧2x +3y - 3 ≤ 05. 设 x 、y 满足约束条件 ⎪2x - 3y + 3 ≥ 0 ，则 z = 2x + y 的最小值是⎪ y + 3 ≥ 0 6. 如图，四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱， P i (i = 1, 2, ,16) 是上、下底面上其余十六个点，则 AB ⋅ AP i (i = 1, 2, ,16) 的不同值的个数为7. 数列{a n }满足 a n = a n -1 - a n -2 (n ≥ 3) ， a 1 =5 ，其前 n 项和记为 S n ，若 S 8 = 9，那么 S 100 =8. 若 a 是(2 + x )n(n ∈ N *, n ≥ 2, x ∈ R ) 展开式中 x 2 项的系数，则 lim( 2 n →∞ a 2+ 23+ ⋅⋅⋅+ a 3 2 ) =a n 5π9. 设函数 f (x ) = 2 s in(ωx +ϕ) ， x ∈ R ，其中ω> 0 ， |ϕ| <π，若 f () = 2 ， 811πf ( ) 8= 0 ，且 f (x ) 的最小正周期大于 2π，则ϕ= ⎧| x | +2, 10. 已知函数 f (x ) = ⎪x + ,x < 1 x ≥ 1，设 a ∈ R ，若关于 x 的不等式 f (x ) ≥ | x + a | 在 R 上 2 ⎩⎪ x恒成立，则 a 的取值范围是11. 函数 f (x ) =1 (x > 0) 绕原点逆时针旋转，每旋转 15°得到一个新的曲线，旋转一周共x得到 24 条曲线（不包括未旋转时的曲线），请问从中任选其二，均不是函数图像的概率是12. 已知两正实数 a 、b ，满足a + b = 4 ，则 a + a 2+1 b b 2 +1的最大值为二. 选择题13. 关于 x 、 y 的二元一次方程组 ⎧x + 5y = 0⎩，其中行列式 D x 为（）2⎨y = a (1- cos t ) x 1 P (1, 0) A B 2 0 5 A.-4 31 0 0 5 B.C.D.2 44 30 5 -4 314. “要使函数 f (x ) ≥ 0 成立，只要 x 不在区间[a , b ]内就可以了”等价于（ ）A. 如果 f (x ) ≥ 0 ，则 x ∉[a ,b ] C. 如果 f (x ) < 0 ，则 x ∈[a ,b ]B. 如果 x ∈[a ,b ] ，则 f (x ) < 0 D. 如果 x ∉[a ,b ] ，则 f (x ) ≥ 015. 参数方程 ⎧ x = a (t - sin t ) （ a > 0 ， t 为参数）所表示的函数 y = f (x ) 是（ ） ⎩A. 图像关于原点对称B. 图像关于直线 x = π对称C. 周期为 2a π的周期函数D. 周期为 2π的周期函数a2 16. 已知椭圆C : x + y= 1 ，直线l : y = - ，点 ，直线l 交椭圆C 于 、 两4 3 点，则|PA |2 +|PB |2的值为（ ）321 A.49324 B.49327 C.49330 D.49三. 解答题17. 如图，在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AB = 2 ， AD = 1， A 1 A = 1. （1）证明直线 BC 1 平行于平面 D 1 AC ； （2）求直线 BC 1 到平面 D 1 AC 的距离.18. ∆ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 ∆ABC 的面积为（1）求sin B ⋅sin C ；（2）若6 cos B ⋅ cos C = 1， a = 3，求 ∆ABC 的周长.a 2. 3sin An n 19. （1）请根据对数函数 f (x ) = log a x (a > 1) 来指出函数 g (x ) = log x a (a > 1) 的基本性质（结论不要求证明），并画出图像；（2）拉普拉斯称赞对数是一项“使天文学家寿命倍增”的发明. 对数可以将大数之间的乘除运算简化为加减运算， 请证明： log a ( x ⋅ y ) = log a x + log a y (a > 0, a ≠ 1, x , y > 0) ； （3）2017 年 5 月 23 日至 27 日，围棋世界冠军柯洁与 DeepMind 公司开发的程序“AlphaGo ” 了M的近似值，甲认为是1073 ，乙认为是1093. 现有两种定义：N① 若实数 x 、 y 满足| x - m | > | y - m | ，则称 y 比 x 接近 m ；② 若实数 x 、 y 、m ，且 x = 10s， y = 10t， m = 10u，满足| s - u | > | t - u | ，则称 y 比x 接近 m ；请你任．选．取．其．中．一．种．定义来判断哪个同学的近似值更接近 M N，并说明理由20. 已知数列{a }和{b }的通项公式分别为 a = 3n + 6 ， b = 2n + 7 （ n ∈ N *），将集合nnnn{x | x = a , n ∈ N *} {x | x = b , n ∈ N *}中 的 元 素 从 小 到 大 依 次 排 列 ， 构 成 数 列 c , c , c , , c , ；将集合{x | x = a , n ∈ N *} {x | x = b , n ∈ N *} 中的元素从小到大依次123nnn排列，构成数列 d 1, d 2 , d 3 , , d n , . （1）求数列{d n }的通项公式 h (n ) ； （2）求数列{c n }的通项公式 f (n ) ；（3）设数列{c n }的前 n 项和为 S n ，求数列{S n }的通项公式 g (n ) .x 2 221. 如图，已知曲线C 1 : 2- y = 1，曲线C 2 :| y | = | x | +1，P 是平面上一点，若存在过点 P 的直线与C 1 、C 2 都有公共点，则称 P 为“ C 1 - C 2 型点”.（1）证明： C 1 的左焦点是“ C 1 - C 2 型点”；（2）设直线 y = kx 与C 2 有公共点，求证： | k | > 1，进而证明原点不是“ C 1 - C 2 型点”； （3）求证：{(x , y ) || x | + | y | <1} 内的点都不是“ C 1 - C 2 型点”.x 3 ⎫ ⎨ ⎩x2018 届交大附中高三第一学期数学摸底测试时间：120 分钟 满分：150 分 姓名：命题：季风、陈云鹤 审题：王敏杰一、填空题（前 6 题，每题 4 分；后 6 题，每题 5 分，共 54 分）1、若集合 A = {x x - 2 < 3}，集合 B = ⎧x -> 0 ，则 A ⋃ B = R .⎨⎬ ⎩⎭2、一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是以 a 为半径的圆，则该几何体的体积是4πa 3.33、已知i 是虚数单位，则-2的平方根是± 2i.4、函数 f (x ) = x 2+1(x < 0) 的反函数是⎧2x +3y - 3 ≤ 0 y = - x -1(x > 1).5、设 x 、y 满足约束条件 ⎪2x - 3y + 3 ≥ 0 ⎪ y + 3 ≥ 0 ，则 z = 2x + y 的最小值是-15 .6、如图，四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱， P i (i = 1, 2, ,16) 是上、下底面上其余十六个点，则 AB ⋅ AP i (i = 1, 2, ,16) 的不同值的个数为2.7、数列{a n } 满足 a n =a n -1 - a n -2 (n ≥ 3) ， a 1 = 5 ，其前 n 项和记为 S n ，若 S 8 = 9 那么S 100 = 3.8 、 若 a n22 23 是 (2 + x )n(n ∈ N *, n ≥ 2, x ∈ R ) 2n展 开 式 中x 2 项 的 系 数 ， 则lim( n →∞ a 2+ + ⋅⋅⋅ + a 3 ) = 8 . a n 9、设函数 f (x ) = 2sin(ωx + ϕ) ， x ∈ R ，其中ω> 0 ，|ϕ|< π .若 f (5π) = 2 ， 8 f (11π) = 0 ，且 8πf (x ) 的最小正周期大于 2π ，则ϕ= .12⎨⎪⎨2x + 3y = 4 ⎨y = a (1- cos t )+= 2 ⎧| x | +2, x < 1, x10、已知函数 f (x ) = ⎪x + ⎩ 2 , x ≥ 1. x设 a ∈ R ，若关于 x 的不等式 f (x ) ≥| + a |在 R 上恒 2成立，则 a 的取值范围是 [-2, 2].11、函数 f (x ) = 1(x > 0) 绕原点逆时针旋转，每旋转 15 度得到一个新的曲线，旋转一周x共得到 24 条曲线（不包括未旋转时的曲线），请问从中任选其二，均不是函数图像的概率是15 .9212 、 已 知 两 正 实 数 a 、 b ， 满 足a +b = 4 ， 则 a + a 2+1 b b 2 +1的 最 大 值 为5+1 .4二、选择题（每题 5 分，共 20 分）13、关于 x 、 y 的二元一次方程组 ⎧x + 5 y = 0 ⎩，其中行列式 D x 为（ C ）0 5 1 0 0 50 5 （A ）-4 3（B ）（C ）（D ）2 44 3-4 314、“要使函数 f (x ) ≥ 0成立，只要 x 不在区间[a , b ]内就可以了”等价于（ D ）（A ）如果 f (x ) ≥ 0，则 x ∉[a , b ]（B ）如果 x ∈[a , b ]，则 f (x ) < 0（C ）如果 f (x ) < 0，则 x ∈[a , b ]（D ）如果 x ∉[a , b ]，则 f (x ) ≥ 015、参数方程 ⎧ x = a (t - sin t ) （ a > 0 ， t 为参数）所表示的函数 y = f (x ) 是（ C ）⎩ （A ）图像关于原点对称 （B ）图像关于直线 x =π对称 （C ）周期为 2a π的周期函数（D ）周期为 2π的周期函数a2 16、已知椭圆C :x y 1，直线l : y = x -1，点P (1, 0) ，直线l 交椭圆C 于 A 、B 两 43点，则|PA |2 +|PB |2的值为（ B ）（A ）32149（B ）324 49（C ）327 49（D ）330 49三、解答题（14+14+14+16+18，共 76 分）217（6+8）、如图，在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AB = 2，AD = 1，A 1A = 1，（1）证明直线 BC 1 平行于平面 D 1 AC ；（2）求直线 BC 1到平面 D 1 AC 的距离.解：因为 ABCD - A 1B 1C 1D 1 为长方体，故 AB // C 1D 1, AB = C 1D 1 ，故 ABC 1D 1 为平行四边形，故 BC 1 // AD 1 ， ----------4 分显然 B 不在平面 D 1 AC 上，于是直线 BC 1 平行于平面 D 1 AC ， --------2 分（2）直线 BC 1 到平面 D 1 AC 的距离即为点 B 到平面 D 1 AC 的距离设为 h考虑三棱锥 ABCD 1 的体积，以面 ABC 为底面，可得V = 1 ⨯ (1 ⨯1⨯ 2) ⨯1 = 13 2 3 ---------3 分而 ∆AD C 中， AC = D C =5, AD =，故S = 3 111∆AD 1C2 -----------------2 分所以，V = 1 ⨯ 3 ⨯ h = 1 ⇒ h = 2 ，即直线 BC 到平面 D AC 的距离为 2．---------3 分3 23 31 1318（6+8）、 ∆ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 ∆ABC 的面积为（1）求sin B ⋅sin C ；（2）若6 cos B ⋅ cos C = 1, a = 3，求 ∆ABC 的周长.a 23sin A1 a2 2 2解：（1）由题意可得 S ∆ABC = 2 bc sin A =3sin A，化简可得 2a = 3bc sin A ，---3 分 根据正弦定理化简可得： 2sin 2 A = 3sin B sinCsin 2A ⇒ sinB sinC = 2 .--------3 分3（2）由⎧sin B sin C = 2 ⎪ 3⇒ cos A = - cos(B + C ) = sin B s in C - cos B cos C = 1 ⇒ A = π--3 分⎨⎪cos B cos C = ⎩12 3 633 = = log xb 2 +c 2 - a 21 2由余弦定理cos A == ⇒ (b + c ) - 9 = 3bc ------------------2 分 2bc 2又bc =4R 2sin B sin c = (a sin A)2sin B sin c = 8 所以b + c = --------------------------------------2 分 故而三角形的周长为3+ 19（4+4+6）、.--------------------1 分 （1）请根据对数函数 f (x ) = log a x (a > 1) 来指出函数 g (x ) = log x a (a > 1) 的基本性质（结论不要求证明），并画出图像.（2）拉普拉斯称赞对数是一项“使天文学家寿命倍增”的发明．对数可以将大数之间的乘除运算简化为加减运算， 请证明： log a ( x ⋅ y ) = log a x + log a y (a > 0, a ≠ 1, x , y > 0) （3）2017 年 5 月 23 日至 27 日，围棋世界冠军柯洁与 DeepMind 公司开发的程序“AlphaGo ” 进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能.围棋复杂度的上限约为 M=3361，而根N的近似值，甲认为是 1073，乙认为是 1093.现有两种定义：(I): 若实数 x , y 满足 x - m >y - m ，则称 y 比 x 接近 m .(II): 若实数 x , y , m 且 x = 10s , y = 10t , m = 10u ，满足 s - u > t - u ，则称 y 比 x接近 m .M请你任．选．取．其．中．一．种．定义来判断哪个同学的近似值更接近 N，并说明理由.1（1） 解： g (x ) log x a ，a基本性质为： 定义域：(0,1) (1, +∞) ；值域：(-∞, 0) (0, +∞) ；单调减区间(0,1)和(1, +∞)（判断奇偶性、周期性不予给分）-------------2 分（ 渐近线画出和原点挖去， 需要都画好才能给满分） -------------------2 分333361 1080 33611080 a a a n n n n （2）证明： 设N = log x , M = log y ⇒ x = a N , y = a M ⇒ x ⋅ y = a N a M= a N + M ⇒ N + M = log (x ⋅ y )即log a (x ⋅ y ) = log a x + log a y ----------------------------------------------4 分证明完毕 （3）采用定义（I ）：M 3361= ⇒ lg M= 361⋅lg 3 - 80 ≈ 92.24 ⇒ 10 73 < M < 10 93N1080NN而-----------------------2 分lg(2 ⋅3361 ) = lg 2 + 361⋅ lg 3 ≈ 172.54 < 173 = lg10173 ⇒ 2 ⋅3361 < 10173 ⇒ 2 ⋅3361 < 10173 +10153-------2 分3361 ⇒ 2 ⋅ < 1093 +1073 ⇒ -1073 1080所以甲同学的近似值更接近 M< 1093- --------------------------1 分采用定义（II ）：N----------------------------1 分M3361 N = 1080 ⇒ lg M N= 361⋅lg 3 - 80 ≈ 92.24-------------------------------------2 分甲的估值 1073 ⇒ lg1073= 73 ，乙的估值 1093 ⇒ lg1093= 93 ----------------------------2 分因为 lg1073- lg> lg1093 - lg，------------------------------------------1 分所以乙同学的近似值更接近 MN -------------------------------------------------1 分20（4+6+6）、已知数列{a }和{b }的通项公式分别为 a = 3n + 6 ，b = 2n + 7（ n ∈ N *），nnnn将集合{x | x = a , n ∈ N *} {x | x = b , n ∈ N *} 中 的 元 素 从 小 到 大 依 次 排 列 ， 构 成 数 列c 1 , c 2 , c 3 , , c n , ．将集合{x | x = a , n ∈ N *} {x | x = b , n ∈ N *} 中的元素从小到大依次排列， 构成数列M NM N⎪ 2d 1 , d 2 , d 3 , , d n , ．（1）求数列{d n }的通项公式 h (n ) ；（2）求数列{c n }的通项公式 f (n ) ；（3）设数列{c n }的前 n 项和为 S n ，求数列{S n }的通项公式 g (n ) .解 ： （ 1 ） 设 a 2n -1 = 3(2n -1) + 6 = 6n + 3 = b k = 2k + 7， 则 k = 3n - 2 ， 即a 2n -1 =b 3n -2 -------------------2 分假设 a 2n = 6n + 6 = b k = 2k + 7 ，等式左侧为偶数，右侧为奇数，矛盾，a 2n ∉{b n }1 分所以， h (n )=a 2n -1 = 6n + 3 -----------------------------------------------1 分（2） a 2n -1 = b 3n -2 < b 3n -1 < a 2n < b 3n∴ c 4n -3 = a 2n -1 ,c 4n -2 = b 3n -1 ,c 4n -1 = a 2n ,c 4n = b 3n--------------------------------2 分⎧6k + 3 (n = 4k - 3)⎪6k + 5 (n = 4k - 2)∴ 数列{c }的通项公式 f (n ) = ⎪ , k ∈ N * .-------------------4 分n⎨ 6k + 6 (n = 4k -1)等价形式：⎩⎪ 6k + 7 (n = 4k )⎧3n +15(n = 2k -1)⎧3k + 6 (n = 2k -1) ⎪ 2⎪ ⎪3n +16 f (n ) = 6k + 5 (n = 4k - 2) , k ∈ N *， f (n ) =⎪ (n = 4k - 2) , k ∈ N * ⎨ ⎨ ⎪6k + 7 (n = 4k ) ⎪ ⎩ ⎪3n +14⎩⎪ 2 (n = 4k )（3）令e n = c 4n -3 +c 4n -2 +c 4n -1 +c 4n ，由（2）得知：{e n }是等差数列---------------1 分∴①当 n = 4k (k ∈ N ) 时， S n =S 4 k = e 1 + e 2 + ⋅⋅⋅ + e k = 12k + 33k =3n 2 + 33n4②当 n = 4k -1(k ∈ N ) 时， S n =S n +1 - c n +1 =3n 2 + 33n + 24③当 n = 4k -2(k ∈ N ) 时， S n =S n + 2 - c n + 2 - c n +1 =3n 2 + 33n + 24*2**3 3 ⎪ *⎨ ⎩⎩④当 n = 4k -3(k ∈ N )时， S n =S n +3 - c n +3 - c n + 2 - c n +1 =3n 2 + 33n4----------4 分⎧3n 2 + 33n *⎪ 4，n = 4k ，4k -3(k ∈ N )∴ g (n )= ⎨3n 2 + 33n + 2，n = 4k -1，4k -2(k ∈ N ) ⎪⎩ 4 等价形式：--------------------1 分⎧12k 2 + 33k ，n = 4k ⎪ 2g (n )= ⎪12k ⎪12k 2+ 27k - 7，n = 4k -1 , k ∈ N * + 21k -13，n = 4k -2 ⎪12k 2 +15k -18，n = 4k -3x 2 221（4+6+8）、如图，已知曲线C 1 : 2- y = 1，曲线C 2 :| y |=| x | +1，P 是平面上一点，若存在过点 P 的直线与C 1 , C 2 都有公共点，则称 P 为“C 1—C 2 型点”．(1) 证明： C 1 的左焦点是“C 1—C 2 型点”；(2)设直线 y = kx 与C 2 有公共点，求证： | k |> 1，进而证明原点不是“C 1—C 2 型点”；(3)求证：{(x , y ) x + y < 1}内的点都不是“C 1—C 2 型点”．解：（1）C 1 的左焦点为 F (- 3, 0) ，-----------------1 分过 F 的直线 x = - 与 C 1 交于(-3, ±) ，与 C 2 交于(-23, ±( +1))，故 C 1 的左焦点为“C 1-C 2 型点”，且直线可以为 x = - ；-------------------------3 分（2） 直线 y = kx 与 C 2 ⎧ 有交点，则 ⎨ y = kx⇒ (| k | -1) | x |= 1，⎩| y |=| x | +1若方程组有解，则必须| k |> 1；-------------------------3 分直线 y = kx 与 C⎧ 有交点，则y = kx ⇒ (1- 2k 2 ) x 2 = 2 ，1⎨x 2- 2 y 2 = 2若方程组有解，则必须 k 2< 12 ------------------------3 分2 3 *⎣ ⎦ 0 0 1 1 故直线 y = kx 至多与曲线 C 1 和 C 2 中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2 型点”．（3）以 x + y = 1为边界的正方形区域记为Ω ．1）若点 P 在Ω 的边界上，则该边所在直线与C 1 相切，与C 2 有公共部分，即Ω 边界上的点都是“ C 1 - C 2 型点”；-------------------------1 分2）设 P (x 0 , y 0 )是区域Ω 内的点，即 x 0 + y 0 < 1，假设 P (x 0 , y 0 )是“ C 1 - C 2 型点”，则存在过点 P 的直线l ： y - y 0 = k (x - x 0 )与C 1 、C 2 都有公共点．i ） 若直线 l 与 C 2 有公共点， 直线 l 的方程化为y = kx + y 0 - kx 0 ，假设 k ≤ 1，则kx + y 0 - kx 0 ≤ kx + y 0 + kx 0≤ x + y 0 + x 0< x + 1，可知直线l 在C 2 : y = x +1之间，与C 2 无公共点，这与“直线l 与C 2 有公共点”矛盾，所以得到：与C 2 有公共点的直线l 的斜率 k 满足 k > 1．-------------------------2 分⎧ y = kx + y 0 - kx 0⎪ii ）假设l 与C 1 也有公共点，则方程组 ⎨ x 2⎪⎩ 2y 2= 1 有实数解．从方程组得(1 - 2k2 )x 2 - 4k (y 0 - kx 0 )x - 2 ⎡(y 0 - kx 0 )2+ 1⎤ = 0 ， ∆ = 8(y 02 - 2kx 0 y 0 + k 2 x 02 + 1- 2k 2 )= 8 ⎣⎡( y 0 - kx 0 )2 + 1- k 2 - k 2⎤⎦ ． 由k > 1 ，x 0 + y 0 < 1因为 y - kx ≤ y + k ⋅ x < y + k ⋅ (1- y ) = k + y (1- k ) < k ⇒ (y - kx )2< k 2 0所以，∆ = 8 ⎡⎣( y - kx )2 - k 2 +1- k 2⎤⎦< 0 ，即直线l 与C 没有公共点，与“直线l 与C 有公共点”矛盾，于是可知 P 不是“ C 1 - C 2 型点”．------------------------5 分证明完毕另解： ∆ = 8(y 02 - 2kx 0 y 0 + k 2 x 02 + 1- 2k 2)-x 0 ⋅ (1 - x 0 )(1 - x 0)⋅ (1 + x 0)0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 令 f (k ) = (x 2- 1)k 2 - 2kx y + y 2 ， 因 为 x + y < 1，所以 x < 1，即 x 2 -1 < 0 ．于是 可 知f (k ) 的 图 像 是 开 口 向 下 的 抛 物 线 ， 且 对 称 轴 方 程 为 k =x 0 y 0 x 2-1， 因 为 << 1，所以 f (k )在区间(-∞, -1)上为增函数，在(1, +∞)上为减函数．因为 f (1) = x - y 2-1 ≤ ( x + y )2-1 < 0， f (-1) = x + y 2-1 ≤ ( x + y )2-1< 0 ，所以对任意 k > 1，都有 f (k ) < 0 ， ∆ = 8 ⎡⎣ f (k )+ 1- k 2 ⎤⎦ < 0 ，即直线l 与C 没有公共点，与“直线l 与C 1 有公共点”矛盾，于是可知 P 不是“ C 1 - C 2 型点”．---------------------5 分证明完毕。
上海市交大附中2021届高三数学一模试题(含解析)
上海市交大附中2021届高三高考一模试卷数学试题一、选择题(本大题共4小题，共12.0分)1.已知定义域为的函数，则此函数图象上关于原点对称的点有( )A. 7对B. 8对C. 9对D. 以上都不对【答案】B【解析】【分析】求出函数y x关于原点对称的函数为y x，x＞0，利用数形结合判断当x＞0时，f （x）＝3与y x，x＞0的交点个数即可【详解】当时，，此时关于原点对称的点此时与没有交点，函数关于原点对称的函数为，即，，若函数图象上存在关于原点对称的点，等价为当时，与，的交点个数即可，作出函数在时的图象如图，由图象知，函数分别关于对称，且函数的最大值为，当时，得，即，故当时，与，的交点个数有8个，即函数图象上关于原点对称的点有8对，故选：B．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用对称性转化为两个图象交点个数是解决本题的关键．注意利用数形结合，是中档题2.某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有( )A. 8桶B. 9桶C. 10桶D. 11桶【答案】B【解析】【分析】主视图，左视图，俯视图是分别从物体正面，左面和上面看，所得到的图形【详解】易得第一层有桶，第二层最少有桶，第三层最少有桶，所以至少共有桶。
故选【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握读图的方法是解题的关键，主视图，左视图，俯视图是分别从物体正面，左面和上面看，属于基础题。
3.已知，若，则下列不等式一定成立的是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先令a=0,排除A，C,D,再利用绝对值三角不等式证明选项B成立【详解】令a=0，则，即-1≤x≤1,≤4,此时A,C,D不成立，下面证明选项B成立=≤≤=≤≤故选：B．【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的应用，特值法，结合二次函数最值分析问题，准确推理计算是关键，是基础题．4.若，且，，则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】如图所示：，，，∵，∴点C在劣弧AB上运动，表示C、D两点间的距离。
上海市上海交通大学附属中学2021届高三上学期摸底考试数学试题
上海市上海交通大学附属中学2021年高三上学期摸底考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．设全集{}1,3,5,7U =，集合{}1,5M a =-，M U ⊆，{}5,7U M =，则实数a 的值是____________.2．若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =______．3．已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点为(10,0)F ，两条渐近线的方程为43y x =±，则该双曲线的标准方程为 .4．行列式240135143----的第2行第3列元素的代数余子式的值为______. 5．若变量,x y 满足约束条件1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =-的最小值为__________．6．五位同学排成一排，其中甲、乙必须在一起，而丙、丁不能在一起的排法有________种7．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若1918a a +=，47a =，则8S =______.8．设()291(21)x x ++=21101211(2)(2)(2)a a x a x a x +++++++，则01211a a a a ++++的值为__________．9．有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为_________10．函数()22x x af x a+=-为奇函数，则实数a 的值为______.11．关于x 的方程1x ax =+有且仅有一个负根，则实数a 的取值范围是______. 12．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM ＝2MF ，则直线OM 的斜率的最大值为________. 13．已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为__________．14．在平面直角坐标系中，当P(x ，y)不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222(,)y xP x y x y-++'；当P 是原点时，定义P 的“伴随点“为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C '定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点A '，则点A '的“伴随点”是点A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C '关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.二、单选题15．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件16．若P 是平面α外一点，则下列命题正确的是（ ） A ．过P 只能作一条直线与平面α相交 B ．过P 可作无数条直线与平面α垂直 C ．过P 只能作一条直线与平面α平行 D ．过P 可作无数条直线与平面α平行17．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列,把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移6π个单位,得到函数()g x 的图象.关于函数()g x ,下列说法正确的是（ ）A ．在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．其图象关于直线4πx =-对称 C ．函数()g x 是奇函数 D ．当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()g x 的值域是[2,1]-18．已知符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()f x 是R 上的增函数，()()()()1g x f x f ax a =->，则（ ）A ．()sgn sgn g x x =⎡⎤⎣⎦B ．()sgn sgn g x x =-⎡⎤⎣⎦C ．()()sgn sgn g x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦D ．()()sgn sgn g x f x =-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦三、解答题19．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =ABC S ∆=ABC ∆的周长. 20．如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD ．E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.（I ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM∥平面PBE ，并说明理由； (II)若二面角P-CD-A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值. 21．已知3a ≥，函数(){}2min 21,242F x x x ax a =--+-，其中{},min ,,p p qp q q p q≤⎧=⎨>⎩.（Ⅰ）求使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）求()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a .22．各项均为正数的数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有()21n n n S b b =+．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有2016项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a 与1i a +之间插入i 个()*1()ii b i N -∈后，得到一个新的数列{}n c ．求数列{}n c 中所有项的和；（3）是否存在实数λ，使得存在*n N ∈，使不等式()()1182011n n n n n b n b b b λ++⎛⎫++≤+≤+ ⎪⎝⎭成立，若存在，求实数λ的范围，若不存在，请说明理由．23．如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； (3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”．参考答案1．8或2 【分析】由{}1,3,5,7U =，M U ⊆，{}5,7UM =，可得出集合M ，在根据{}1,5M a =-得出5a -的值，从而求出a .【详解】因为{}1,3,5,7U =，M U ⊆，{}5,7UM =，所以{}1,3M =，又{}1,5M a =-，所以53a -=，所以8a =或2. 故答案为：8或2. 【点睛】本题主要考查集合间的关系，属于基础题. 2．12i - 【解析】 【分析】设复数z a bi =+，(a 、b 是实数)，则z a bi =-，代入已知等式，再根据复数相等的含义可得a 、b 的值，从而得到复数z 的值． 【详解】解：设z a bi =+，(a 、b 是实数)，则z a bi =-，232z z i +=-，2232a bi a bi i ∴++-=-， 33a ∴=，2b =-，解得1a =，2b =-， 则12z i =- 故答案为12i -． 【点睛】本题着重考查了复数的四则运算和复数相等的含义，属于基础题．3．2213664x y -=【分析】 由410,3b c a == ,22100a b =+,解出,a b 的值，从而可得结果. 【详解】 由题意得,410,3b c a == ,22100a b =+,6,8a b ∴==故该双曲线的标准方程为2213664x y -=,故答案为2213664x y -=.【点睛】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题. 4．4 【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第3列后所余下的2阶行列式为第2行第3列元素的代数余子式，求出值即可． 【详解】解：由题意得第2行第3列元素的代数余子式 ()()23232414241414M +-=-=--⨯--⨯=⎡⎤⎣⎦- 故答案为：4． 【点睛】本题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，属于基础题． 5．7- 【分析】先画出二元一次不等式所表示的可行域，目标函数为截距形，3y x z =-，直线的截距越大，z 值越小，可见最优解为(2,1)-，则3z x y =-的最小值为7-.【点睛】请在此输入点睛！ 【详解】请在此输入详解！ 6．24 【分析】根据题意，先使用捆绑法，将甲乙看成一个“元素”，再将丙、丁单独排列，进而将若甲、乙与第5个元素分类讨论，分析丙丁之间的不同情况，由乘法原理，计算可得答案． 【详解】根据题意，先将甲乙看成一个“元素”，有2种不同的排法， 将丙、丁单独排列，也有2种不同的排法，若甲、乙与第5个元素只有一个在丙丁之间，则有1224C ⨯=种情况，若甲、乙与第5个元素都在丙丁之间，有2种不同的排法， 则不同的排法共有22(24)24⨯⨯+=种情况. 故答案为：24． 【点睛】本题考查排列、组合的综合运用，涉及相邻与不能相邻的特殊要求，注意处理这几种情况的特殊方法．7．64 【分析】由等差数列的性质可得：195182a a a +==，解得5a ．可得188458()4()2a a S a a +==+． 【详解】解：由等差数列的性质可得：195182a a a +==，解得59a =． 又47a =， 则188458()4()4(97)642a a S a a +==+=⨯+=． 故答案为：64． 【点睛】本题考查等差数列的下标和性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8．-2. 【详解】令21x +=，即令1x =-得()()9201211112112a a a a ⎡⎤⎡⎤++++=-+⋅⨯-+=-⎣⎦⎣⎦.9．136+ 【解析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥， 半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1，可得2R =故2R =故半球的体积为：32 )326π⋅=，棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积13V =，故组合体的体积为136+即答案为136+ 【点睛】本题考查由三视图还原几何体，并求其体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键． 10．1或-1 【分析】函数2()2x x a f x a+=-为奇函数，可得2222x x x x a aa a --++=---，化简即可得出结论．【详解】解：函数2()2x x af x a+=-为奇函数，()()f x f x ∴-=-即2222x x x x a aa a--++=---，∴122122x x x x a a a a++=---， ()2120x a ∴-⋅=即210a -=1a 或1-．故答案为：1或1-． 【点睛】本题考查了奇函数的性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 11．[)1,+∞ 【分析】构造函数||y x =，1y ax =+，在坐标系内作出函数图象，通过数形结合求出a 的范围． 【详解】解：令||y x =，1y ax =+，在坐标系内作出函数图象， 方程||1x ax =+有一个负根，但没有正根， 由图象可知1a 故答案为：1a【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数形结合思想，计算能力，属于基础题． 12．2【分析】要求直线OM 的斜率的最大值，由直线的斜率公式可知应求点M 的横、纵坐标之间的关系。
高三数学9月开学摸底考试试题含解析 试题
【点睛】此题主要考察排列组合的应用，考察古典概型，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理计算才能.
的方程 恰有3个实数根 ， ， ，那么 __________．
【答案】2
【解析】
【分析】
令f〔x〕＝x2+arcsin〔cosx〕+a，判断f〔x〕的奇偶性，由题意可得f〔0〕＝0，求得a，再由反三角函数的定义和性质，化简函数，求得f〔x〕＝0的解，即可得到所求和．
【答案】
【解析】
【分析】
胡涂涂同学掷了3轮，要使得 ，分两种情况讨论，再利用古典概型求 的概率.
【详解】胡涂涂同学掷了3轮，要使得 ，有两种情况，①一轮点数为1，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1；②一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1；
∴由古典概型得所求的概率为 .
【详解】由二项式定理系数的性质可得 ，
．
故答案为： ．
【点睛】此题考察二项式定理系数的性质，数列的极限的运算法那么的应用，考察计算才能，是根底题
的前 项的和 ，那么当 为正偶数时， ______．
【答案】
【解析】
【分析】
由求得 ，当n≥2且n为正偶数时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣[2〔n﹣1〕﹣1]＝2n﹣2n+3，验证a2＝3合适，由此可得当n为正偶数时的an．
那么有tanθ ，且0°≤θ＜180°，
那么θ＝120°；
故答案为：120°．
【点睛】此题考察直线的参数方程，关键是将直线的参数方程变形为普通方程,熟记斜率与倾斜角的关系是关键，是根底题
3. _______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用二项式定理系数的性质，求解分子，然后利用数列极限的运算法那么求解即可．
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2021交大附中高三开学摸底考试卷2020.09一.填空题1. 已知集合 A = (-1,0,1,2｝, B = ｛0,2,3),则 AI B =2. 已知i 是虚数单位，则复数z = (l + i)(2-i)的虚部是3. 己知一组数据4、2a 、3 — a 、5、6的平均数为4,则a 的值是4. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 25. (x +匕)(x+ 4的展开式中x 3/的系数为6. 如果方程Ig 2x + (lg6)lgx + lg2-lg3 =。
的两个根为也、工2,那么 扣易的值为7. 设亿“｝是公差为d 的等差数列，｛妇是公比为0的等比数列，已知数列｛a n +b n ｝的前〃项和S “顼一“ + 2"-1 (n e N* ),贝I ］ d + q 的值是 _______8. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的，已知螺帽的底面正六边形少 边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是 cm9. 将函数y = 3sin(2x + -)的图像向右平移生个单位长度，则平移后的图像中与y 轴最近4 6的对称轴的方程10. 己知5x 2y 2+9y 4=l (%,yeR),则x 2 + y 2的最小值是 11. 在△A5C 中，AB = 4, AC = 3, ZBAC = 90°,Z>在边BC 上，延长AZ )到P,使得AP = 9,若丽= m^+G-ni)元(m 为常数)，则CD 的长度是AB = BC = AC = OO if 则球。
的表面积为( )A. 64TTB. 4所C. 36兀D. 32》 12. 在平面直角坐标系xQy 中，已知P(g,Q), A 、B 是C:x 2+(y-|)2 =36±的两个不同的动点，满足PA = PB, 且网• PB < a 恒成立，则实数。
最小值是二.选择题13. 函数y = xcosx + sinx 在区间［-勿,兀］上的图像可能是( )14.已知A 、B 、。
为球0的球面上的三个点，0 0x A ABC 的外接圆，若。
Q 的面积为4兀,15.若点P（x0,y0）（x o y o ^0）在函数y = y（x）的图像上，y = 函数_y = /（.r）的反函数，设^（y0,x0） > 乌（-知吒）、E（y。
，—此）、4（—知―X。
），则有（）A.点打、R、4、乙有可能都在函数y = f-\x）的图像上B.只有点R不可能在函数y = f-\x）的图像上C.只有点旦不可能在函数y = T\x｝的图像上D.点孔、旦都不可能在函数y = f-'（x）的图像上16,设集合S、T, S c N*, TgN*, S、T中至少有2个元素，且S、T满足：①对于任意的x,yeS,若x/y,则.ryeT；②对于任意的x,y &T ,若x<v，则〉eS；下列命题正确的是（）xA,若S有4个元素，则SUT有7个元素B,若S有4个元素，则SUT有6个元素C,若S有3个元素，则SUT有5个元素D,若S有3个元素，则SUT有4个元素三.解答题17.在三棱锥A-BCD中，已知CB = CD = 0 BD = 2, O为BD的中点，AO±平面BCD, AO = 2, E为AC 的中点.（1）求直线A3与£>E所成角的余弦值；（2）若点F在BC±，满足BF = -BC ,设二面角F-DE-C的大小为0,求sin。
的值.418.在锐角/XABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c ,已知2bsin A 一屈 =0 .（1）求角8的大小；（2）求cos A+cosB+cosC的取值范围.19.已知函数/(x)=|3x + l|-2|x-l|.(1)画出y = /'(x)的图像;(2)求不等式/(x)>/(x + l)的解集；2(3)若不等式/(%) >-t2+at-—,对于任意的xeR ,任意的a e[-1,1]恒成立,求实数f的取值范围.20,在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆E:j + ； = 1的左、右焦点分别为乙，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2LF X F2,直线与椭圆E相交于另一点3.(1)求的周长；(2)在x轴上任取一点P,直线AP与直线x = 4相交于点Q,求矛•歹的最小值；(3)设点M在椭圆E上，记与△肱43的面积分别为&，若=3S P求点M的坐标.21,已知数列｛%｝(neN* )的首项％=1,前"项和为S”,设人与上是常数，若对一切正整数兀，均有1 j_ j_s"-sj = 成立，则称此数列为~k”数列.(1)若等差数列｛%｝是"人~1”数列，求人的值；(2)若数列｛%｝是“手~2”数列，且为>0,求数列｛%｝的通项公式；(3)对于给定的人，是否存在三个不同的数列｛%｝为“人~3”数列，且a…>0 ?若存在，求人的取值范围; 若不存在，说明理由.参考答案5. 156.17.48.12 右 y625TC1 18 — 9. x = ---- 10.—11.—或012. 4924 35・选择题13. A 14. A15. D16. A17. 解答题（1）连结OC, ,: CB=CD,。
为BZ ）中点，CO±BD, 又AO_L 平面BCD, :.AOLOB, AOLOC,以面，OC,而｝为基底，建立空间直角坐标系。
-砂,BD = 2, CB — CD — A /5 , AO = 2,：.B (1, 0, 0) , 。
(-1, 0, 0) , C (0, 2, 0) , A (0, 0, 2),•:E^JA C 的中点，:.E (0, 1, 1),则而=(1,0,-2)，Dt = (1,1,1)..••即＜ 戒而＞|=需=潟淄直线与庞所成角的余弦值为匝.15(2) •.•点尸在3C 上，BF = -BC ,而= (-1,2,0)，4 .••* = j 而=(-甘,0)，又而= (2,0,0)，=+ = (^<.0).设叫=（冲y x , Z]）为平面。
EF 的一个法向量,工1 + 丹 + Z] =0， 7 1 八 _ 而—y =0 [4 1 2 1取玉=2,得叫=—7，Z] =5，—7,5），设％=32，力，Z2）为平面DEC 的一个法向量，又DC = （1,2,0）.二；；京。
，取…，得—I,…，.•.％=（2，T ，T ） {0,2}2. 13. 2三. —.填空题1. • n z = 0即.• n 2 = 0y = y (x)的图像与y = f(x + l)的图像的交点坐标为(_7, —11),6 67由图像可知当且仅当X<--时，y = /(x)的图像在y = /(x + 1)的图像上方,6.. n . \n,-n 2\ |4 + 7-5| J13 . ._ , • I cos 01= ------------ = —7=—— ----------- ，• • I ----------------------- 2 J39 •| % | • I 〃21 A /78 x^6 13 sin 。
= A /1 -cos 2 0 = ----------------1318. (1)由正弦定理得：2sin3sinA = J^sinA,sinB = —,由题意得B = ~.2 3(2)由A+B + C =兀得：。
=四—A,由MBC 是锐角三角形得A e(-,-) 3 6 2 Iz —,/ 2兀 4\ 1 . y 3 . . yp. 由 cosC = cos( ------ A)=——cos A ------- sin A 得3 2 2同 E > 厂 A /3 A 141 . , 4 兀、1 z*x/3 +1 3cos A + cos B + cos C =——sin A + — cos A + — = sm(A + —) + — € ( --- , —J,2 2 2 6 2 2 2cos A +cos B+cosC 的取值范围是19. (1)由题设知f(x)= <—x —3, x < —,3U 、1，5x-l,——<x<i,y = /(%)的图像如图所示.x + 3,x>l.(2)函数y = /(%)的图像向左平移1个单位长度后得到函数y = f(x+1)的图像,不等式 f (x )> y (x+i )的解集为(—oo,—7).61 Q(3)由函数图像性质可知，当% = 时，/(尤)取得最小值-§,Q 2则原问题转化为—5 Z —产+ Q ，—对任意a G [-1,1]恒成立,记函数g (•) = -ta +户一 2,要使g (") 2 0对任意a e[-l,l]恒成立,2 220. (1)椭圆E: —+ ^ = 1的长轴长为2a,短轴长为2A,焦距为2c,4 3 .•.△A 摩 的周长为2。
+ 2c = 6.(2) 设户(x,0),Q(4,y),则 OP = (x, 0)，/=(x-4.-y), 0? ■= x(x - 4) = (x - 2)2 - 4 > -4,在 x = 2 时取等号,：.OP QP 的最小值为2 2(3) ...椭圆E:j + ； = 1的左、右焦点分别为F 、E ，3点* 在椭圆 E 上且在第一象限内，AF 2±F ｝F 2,则 §(—l,0)，E (L0),A(l ，a )，直线 AB-.3x-4y + 3 = 0.设M(x,y) , ...$2=351，点M 到直线AB 距离等于点。
到直线AB 距离的3倍， 由此得：I3x —：y + 3|=3.|3x0 —：x0 + 3|,贝ij3》—4y + 12 = 0或3x —4y —6 = 0 ,3i — 4y + 12 = 0,由 亍 2 得：7X 2 + 24X + 32 = 0,此方程无解；—+ —= 1〔433x-4y-6 = 0,由 < *2 v 2 得：7x~ — 12x —4 = 0 ,x = 2 或 x =—,土 + 匕=1 7〔4 3122 12代入直线Z:3x —4y —6 = 0,对应分别得y = 0或、=一了点M 的坐标为(2,0)或(―,,—了).21. (1) ..•等差数列｛%｝是，〜1”数列，则Sg —& =如,而，即。
“+1=如“+1， 也即(2-1)«…+1 = 0,此式对一切正整数〃均成立，只需<g ⑴润g(-1)20解得：Z<-2,或t>2.则。