上海市交大附中2020届高三下学期期中考试数学试题 Word版含解析
上海市上海中学2020届高三下学期数学综合练习卷5含答案
上海中学高三综合数学试卷052020.04一、填空题1.已知z =复数则z 的虚部为___. 2.若(3,4),a =-r 则与(3,4)a =-r共线的单位向量为___.3.设221,x y +=则x+y 的最小值为____.4.已知矩阵1324106,05170A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭则AB=___. 5.若点55(cos,sin )66M ππ在角α的终边上,则tan2α=____. 6.将函数1y x a=+的图像向左平移一个单位后得到y= f(x)的图像,再将y= f(x)的图像绕原点旋转180°后仍与y= f(x)的图像重合,则a=__.7.已知函数210(),(1)10x x f x f x x ⎧-≤=⎨-+>⎩则方程f(x)=x 在区间(0,10)内所有实根的和为__.8.20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里,要求每个盒子内的球数不小于它的编号数,则不同的放法种数为____.9.已知数列{}{}n n a b 、满足:12,nn n n n a b a a +==+则{}n b 的前n 项和n S =____.10.若对任意实数x,都有1021001210(2)(2)(2),xa a x a x a x =+++++++L 则3a =___.11.在△ABC 中,角A ､B ､C 所对的边为a ､b ､c,已知sin A + sin(B -C)= 2sin2C,abcosC=3,则△ABC 面积的最大值为___.12. 设112233(,),(,),(,)x y x y x y 是平面曲线2224x y x y +=-上任意三点,则12A x y =-212332x y x y x y +-的最小值为___.二、选择题13. 直线121x ty t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)的倾斜角等于( ).6A π.3B π1.arctan 2CD.arctan214. 已知a>0, b>0,若11lim5,n n n nn a b a b ++→∞-=-则a+b 的值不可能是( )A.7B.8C.9D.1015. 已知数列1234a a a a 、、、满足1411111,(1,2,3)22nn n na a a a n a a ++=-=-=,则1a 所有可能的值构成的集合为( )1.[,1]2A ±±B. [±2,±1,]1.[,2,]2C ±±1.[,1,2]2D ±±±16. 若点N 为点M 在平面α上的正投影,则记(),a N f M =如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,记平面11AB C D 为β,平面ABCD 为γ,点P 是棱1CC 上一动点(与C ､1C 不重合),12[()],[()],Q f f P Q f f P γββγ==给出下列三个结论:①线段2PQ 长度的取值范围是12[,]2； ②存在点P 使得1//PQ 平面β; ③存在点P 使得12PQ PQ ⊥； 其中,所有正确结论的序号是( A.①②③B.②③C.①③D.①②三.解答题17.如图,在平面直角坐标系xOy 中, A 为单位圆与x 轴正半轴的交点, P 为单位圆上一点,且∠AOP=α,将点P 沿单位圆按逆时针方向旋转角β后到点Q(a,b),其中2[,].63ππβ∈(1)若点P 的坐标为34π(,),554β=时,求ab 的值; (2),6πα=求22b a -的取值范围.18. 如图所示,直三棱柱111ABC A B C -中,11,AA AB AC ===E ､F 分别是1CC BC 、的中点,11,AE A B ⊥D 为棱11A B 上的点.(1)证明:DF ⊥AE;(2)是否存在一点D,使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414？若存在,说明点D 的位置,若不存在,说明理由.19.中国高铁的快速发展给群众出行带来了巨大便利,极大促进了区域经济社会发展,已知某条高铁线路通车后,发车时间间隔t (单位:分钟)满足*525,,t t ≤≤∈N 经测算,高铁的载客量与发车时间间隔t 相关:当20≤t ≤25时高铁为满载状态,载客量为1000人,当5≤t< 20时,载客量会在满载基础上减少,减少的人数与2(20)t -成正比,且发车时间为5分钟时的载客量为100人,记发车间隔时间为t 分钟时,高铁载客量为P(t).(1)求P(t)的表达式;(2)若该线路发车时间间隔t 分钟时的净收入2()()4065020004tQ t P t t t =-+-(元),当发车时间间隔为多少时,单位时间的净收益()Q t t最大.20.如图,曲线L 由曲线22122:1x y C a b +=( a>b>0, y ≤0 )和曲线22222:1x y C a b -=(y>0)组成,其中12F F 、为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点,34F F 、为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点.(1)若23(2,0)(6,0),F F -、求曲线L 的方程;(2)如图,作直线l 平行于曲线2C 的渐近线,交曲线1C 于点A ､B,求证:弦AB 的中点M 必在曲线2C 的另一条渐近线上;(3)对于(1)中的曲线L,若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点C ､D,求1CDF V的面积的最大值.21.已知数列{}n a 的前n 项积为,n T 满足(1)23n n n T -=*(),n ∈N 数列{}n b 的首项为2,且满足*1(1)()n n nb n b n +=+∈N(1)求数列{}{}n n a b 、的通项公式; (2)记集合*1{|(105)},n n n M n a b b n n λ+≤+∈N ,若集合M 的元素个数为2,求实数λ的取值范围;(3)是否存在正整数p ､q ､r,使得12q p q a a a b r a +++=+⋅L 成立?如果存在,请写出p ､q ､r 满足的条件,如果不存在,请说明理由.。
2020年上海市交大附中高考数学考前试卷(附解析)
2020年上海市交大附中高考数学考前试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. “x ∈[−π2,π2]是“sin(arcsin)=x ”的( )条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要2. 已知F 为抛物线y 2=2px(p >0)的焦点，A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)是抛物线上的不同两点，则下列条件中与“A 、F 、B 三点共线”等价的是( )A. x 1x 2=p 24 B. y 1y 2=−p 2C. 1|FA|+1|FB|=2pD. x 1x 2+y 1y 2=−3p 243. 已知曲线Γ的参数方程为{x =t 3−tcosty =ln(t +√t 2+1)，其中参数t ∈R ，则曲线Γ( )A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于原点对称D. 没有对称性4. 已知数列{a n }与{b n }前n 项和分别为S n ，T n ，且a n >0,2S n =a n 2+a n ,n ∈N ∗，b n =2n +1(2n +a n )(2n+1+a n+1)，对任意的n ∈N ∗，k >T n 恒成立，则k 的最小值是( )A. 1B. 12C. 13D. 16二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 已知集合A ={x||x|≤2,x ∈R}，B ={x|√x ≤4,x ∈Z}，则A ∩B = ______ ．6. 函数y =√3sin2x +cos2x 的最小正周期是______．7. 抛物线y =x 2的准线方程是______．8. 已知方程∣∣∣x−1bx −2∣∣∣=0的一个根是a +2i(其中a ∈R ，i 是虚数单位)，则实数b =______．9. 设x ，y 满足约束条件{2x +3y −3≤02x −3y +3≥0y +3≥0，则z =2x +y 的最小值是____________10. 若a n 是(2+x)n (n ∈N ∗,n ≥2,x ∈R)展开式中x 2项的系数，则n →∞lim(22a 2+23a 3+⋯+2na n)=______．11. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，其三视图是三个全等的等腰直角三角形，则异面直线AC与BD所成的角的余弦值为______．12.为抗击此次疫情，我市某医院从3名呼吸内科医生、4名急诊重症科医生和5名护士中选派5人组成一个抗击疫情医疗小组，则呼吸内科与急诊重症科医生都至少有一人的选派方法种数是______．13.若关于x的方程1|x−1|+|2x+2|−4=a的解集为空集，求实数a的取值范围______．14.已知函数y=f(x)为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数，函数g(x)=f(x−3)+x，数列{a n}为等差数列，且公差不为0，若g(a1)+g(a2)+⋯+g(a9)= 27，则a1+a2+⋯+a9=______．15.已知整数数列{a n}共5项，其中a1=1，a5=4，且对任意1≤i≤4，都有|a i+1−a i|≤2，则符合条件的数列个数为______．16.已知点P(0,2)，椭圆x216+y28=1上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)满足AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，则|2x1+3y1−12|+|2x2+3y2−12|的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，四棱锥O−ABCD的底面是边长为1的菱形，OA=2，∠ABC=60°，OA⊥平面ABCD，M、N分别是OA、BC的中点．(1)求证：直线MN//平面OCD；(2)求点M到平面OCD的距离．18.某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改建．如图所示，平行四边形OMPN区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙AB弧上，点M和点N分别在道路OA和道路OB上，且OA=60米，∠AOB=60°，设∠POB=θ．(1)求停车场面积S关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；(2)当θ为何值时，停车场面积S最大，并求出最大值(精确到0.1平方米)．19.对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0，满足f(−x0)=−f(x0)，则称f(x)为“M类函数”．(1)已知函数f(x)=2cos(x−π3)，试判断f(x)是否为“M类函数”？并说明理由；(2)若f(x)={log2(x2−2mx)−2,x≥3,x<3为其定义域上的“M类函数”，求实数m取值范围．20.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点N(√2,√22)．(1)求椭圆M的方程；(2)若斜率为−12的直线l1与椭圆M交于P，Q两点(点P，Q不在坐标轴上)；证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．(3)设直线l2与椭圆M交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求ABC面积的最大值．21.已知f(x)是定义在[0,+∞)上的函数，满足：①对任意x∈[0,+∞)，均有f(x)>0；②对任意0≤x1<x2，均有f(x1)≠f(x2).数列{a n}满足：a1=0，a n+1=a n+1f(a n)，n∈N∗．(1)若函数f(x)=a⋅2x−1(x≥0)，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，求证：对任意正实数M，均存在n0∈N∗，使得n>n0时，均有a n>M；(3)求证：“函数f(x)在[0,+∞)上单调递增”是“存在n∈N∗，使得f(a n+1)<2f(a n)”的充分非必要条件．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵y=arcsinx的定义域为[−1,1]，∴sin(arcsinx)=x⇔x∈[−1,1]，∵x∈[−π2,π2]推不出x∈[−1,1]，x∈[−1,1]⇒x∈[−π2,π2 ]，∴“x∈[−π2,π2]是“sin(arcsin)=x”的必要非充分条件．故选：B．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．2.【答案】B【解析】解：P(p2,0)，若A，B，F三点共线，设直线AB的方程为：x=my+p2，代入y2=2px可得：y2−2pmy−p2=0，∴y1y2=−p2，∴x1x2=y12y224p =p24．∴x1x2+y1y2=p24−p2=−3p24，又|FA|=x1+p2，|FB|=x2+p2，∴1|FA|+1|FB|=1x1+p2+1x2+p2=x1+x2+px1x2+p2(x1+x2)+p24=x1+x2+pp22+p2(x1+x2)=x1+x2+pp2(x1+x2+p)=2p，设B关于x轴的对称点为B′(x2,−y2)，显然A，F，B′满足条件x1x2=p24，且|FB|=|FB′|，但此时A，F，B′三点不共线，故A，C错误；若x1x2+y⋅y2=−3p24，则y12y224p2+y1y2+3p24=0，解得y1y2=−p2或y1y2=−3p2，故D错误，故选：B．当A，B，F共线时计算各结论，再根据对称点的坐标关系判断是否等价．本题考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．3.【答案】C【解析】 【分析】本题考查曲线的参数方程，属于基础题型．设出当t =t 0时，对应点的坐标为(x 0,y 0)，判断出(−x 0,−y 0)也在曲线上，进而求出结果． 【解答】解：设当t =t 0时，对应点的坐标为(x 0,y 0)， 此时有{x 0=t 03−t 0cost 0y 0=ln(t 0+√t 02+1), 设x =f(t)=t 3−tcost ，y =g(t)=ln(t +√t 2+1)， 对于每一个参数t ，都有唯一对应的x 和y ， 则当t =−t 0时，有{(−t 0)3−(−t 0)cos (−t 0)=−(t 03−t 0cost 0)=−x 0ln[(−t 0)+√(−t 0)2+1]=−ln(t 0+√t 02+1)=−y 0, 即点(−x 0,−y 0)也在曲线Γ上，而点(x 0,y 0)和点(−x 0,−y 0)关于原点对称， 故曲线Γ关于原点对称． 故选：C ．4.【答案】C【解析】解：数列{a n }的前n 项和分别为S n ，且a n >0,2S n =a n 2+a n ,n ∈N ∗， 当n ≥2时，2S n−1=a n−12+a n−1，两式相减得2a n =a n 2−a n−12+a n −a n−1，所以(a n +a n+1)(a n −a n−1−1)=0，整理得a n −a n−1=1(常数)．当n =1时，2a 1=a 12+a 1，解得a 1=1(a 1=0舍去)，故数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列．所以a n =n(首项符合通项)． 所以b n =2n +1(2n +an )(2n+1+an+1)=12n +n −12n+1+n+1，所以T n =(13−16)+(16−111)+⋯+12n +n −12n+1+n+1=13−12n+1+n+1<13， 所以对任意的n ∈N ∗，k >T n 恒成立，只需k ≥13即可． 即k 的最小值为13．故选C．首先利用已知条件利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法、放缩法和恒成立问题的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法和恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．5.【答案】{0,1，2}．【解析】解：∵集合A={x||x|≤2,x∈R}={x|−2≤x≤2}，B={x|√x≤4,x∈Z}={0,1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，∴A∩B={0,1，2}．故答案为：{0,1，2}．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．6.【答案】π【解析】解：y=√3sin2x+cos2x=2(√32sin2x+12cos2x)=2sin(2x+π6)，∵ω=2，∴T=2π2=π．故答案为：π函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及周期公式，将函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．7.【答案】4y+1=0【解析】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=12，所以：p2=14，∴准线方程y=−p2=−14，即4y+1=0．故答案为：4y+1=0．先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=1，再直接代入即可求出其准线方程．本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．8.【答案】5【解析】解：方程∣∣∣x −1b x −2∣∣∣=0可化为 x(x −2)+b =0，把x =a +2i 代入方程，得(a +2i)(a −2+2i)+b =0， 即(a 2−2a −4+b)+(4a −4)i =0，所以{a 2−2a −4+b =04a −4=0， 解得a =1，b =5； 所以实数b =5． 故答案为：5．根据行列式列出方程，把根代入方程，利用复数的运算性质列出方程组求出a 、b 的值． 本题考查了行列式与复数的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．9.【答案】−15【解析】解：x ，y 满足约束条件{2x +3y −3≤02x −3y +3≥0y +3≥0的可行域如图：z =2x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值， 由{y =−32x −3y +3=0，解得A(−6,−3)， 则z =2x +y 的最小值是：−15． 故答案为：−15．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可． 本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．10.【答案】8【解析】解：∵a n 是(2+x)n (n ∈N ∗,n ≥2,x ∈R)展开式中x 2项的系数，又(2+x)n 的展开式的通项公式为T r+1=C n r ⋅2n−r ⋅x r ，令r =2，可得x 2项的系数为C n 2⋅2n−2．∴a n =C n 2⋅2n−2．∴n →∞lim(22a 2+23a 3+⋯+2n a n )=n →∞lim(221+23C n 2⋅2+⋯+2n C n 2⋅2n−2)=n →∞lim(221+22C 32+⋯+22C n 2)=n →∞lim4⋅(11+1C 32+⋯+1C n2)=n →∞lim4⋅(11+22×3+23×4…+2n(n−1))=n →∞lim8⋅(1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1−1n)=n →∞lim8⋅(1−1n)=8，故答案为：8．由题意可得x 2项的系数为C n 2⋅2n−2，即a n =C n 2⋅2n−2.再把要求的式子 n →∞lim(22a 2+23a 3+⋯+2n a n) 化为n →∞lim4⋅(11+1C 32+⋯+1Cn2)，即n →∞lim8⋅(1−1n)，从而得到结果．本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，极限及其运算，属于中档题．11.【答案】√33【解析】解：由三视图可知AB ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，且AB =BD =CD ，以D 为原点建立空间坐标系如图所示：设AB =1，则A(1,0，1)，B(1,0，0)，C(0,1，0)，D(0,0，0)，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−1)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)， ∴cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗ ||DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−1√3×1=−√33． 设AC 与BD 所成的角为α，则cosα=|cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√33． 故答案为：√33．根据三视图得出三棱锥的结构特征，建立空间坐标系，利用平面向量计算异面直线所成角．本题考查了异面直线所成角的计算，属于基础题．12.【答案】611【解析】解：根据题意，有3名呼吸内科医生、4名急诊重症科医生和5名护士共12人，从中选出5人，有C 125=792种选法，其中没有内科医生的选法有C 95=126种，没有重症科医生的选法有C 85=56种， 内科医生和重症科医生都没有，即只有护士的选法有1种， 则有792−126−56+1=611种选派方法；故答案为：611根据题意，首先计算从12人中选出5人的选法，进而计算其中“没有内科医生”、“没有重症科医生”和“内科医生和重症科医生都没有”的选法，分析可得答案．本题考查排列组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题．13.【答案】(−12,0]【解析】解：由已知设y=1|x−1|+|2x+2|−4={13x−3,x≥11 x−1,−1<x<11−3x−5,x≤−1，所以函数的值域为{y|y>0，或y≤−12}，要使1|x−1|+|2x+2|−4=a的解集为空集，只要函数y=1|x−1|+|2x+2|−4与y=a没有交点，所以满足条件的a的取值范围为−12<a≤0．故答案为：(−12,0]．设y=1|x−1|+|2x+2|−4，得到函数的值域，利用y=a在函数值域的补集中即可．本题考查了方程解的个数问题；关键是正确求出函数的值域．14.【答案】27【解析】解：因为函数f(x)为定义域上的奇函数，则f(x)关于(0,0)对称．设ℎ(x)=f(x−3)+x−3，所以ℎ(x)关于(3,0)对称，则ℎ(x)+ℎ(6−x)=0．由g(a1)+g(a2)+⋯…+g(a9)=27可得：f(a1−3)+a1+f(a2−3)+a2+⋯…+f(a9−3)+a9=27，所以f(a1−3)+a1−3+f(a2−3)+a2−3+⋯…+f(a9−3)+a9−3=0即ℎ(a1)+ℎ(a2)+⋯…+ℎ(a9)=0又数列{a n}为等差数列，且ℎ(x)在R上是单调递增函数，所以必有ℎ(a1)+ℎ(a9)=0，则有a1−3+a9−3=0，所以2a5=a1+a9=6，即a5=3所以a1+a2+⋯…+a9=9a5=27故答案为：27．设ℎ(x)=f(x−3)+x−3，则可得ℎ(a1)+ℎ(a2)+⋯…+ℎ(a9)=0，综合等差数列的性质可得；a1+a9=a2+a8=⋯…=a5+a5，再利用函数ℎ(x)的单调性和对称性，即可计算得出．本题主要考查函数综合，函数概念与性质以及等差数列，属于中档题．15.【答案】52【解析】解：根据题意，设x 1=a 2−a 1，x 2=a 3−a 2，x 3=a 4−a 3，x 4=a 5−a 4，x 5=a 5−a 4，∴x 1+x 2+x 3+x 4=3且x 1、x 2、x 3、x 4∈{−2,−1,0，1，2}， 不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4，则(x 1,x 2,x 3,x 4)=(−2,1，2，2)，(−1,1，1，2)，(−1,0，2，2)，(0,0，1，2)，(0,1，1，1)共五类，则符合条件的数列个数为4C 42C 21+4=52，故答案为：52．根据题意，设x 1=a 2−a 1，x 2=a 3−a 2，x 3=a 4−a 3，x 4=a 5−a 4，x 5=a 5−a 4，可得x 1+x 2+x 3+x 4=3且x 1、x 2、x 3、x 4∈{−2,−1,0，1，2}，再利用组合知识进行求解．本题考查排列组合的应用，涉及数列的表示方法，属于基础题．16.【答案】24【解析】解：如图所示，满足AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，可得：λ∈[3−2√2,1]． 直线l 的方程为：2x +3y −12=0． 点A ，P ，B 到直线l 的距离分别为：d 1=|2x 1+3y 1−12|√13，d 0=√13=√13，d 2=22√13．∴|2x 1+3y 1−12|+|2x 2+3y 2−12|=√13(d 1+d 2).λ=1时，d 1+d 2=2d 0=√13，可得√13(d 1+d 2)=12． λ=3−2√2时，d 1+d 2=√2√13+√3√13=√13.可得√13(d 1+d 2)=24．λ∈[3−2√2,1].可得：d 1+d 2∈[12,24]．则|2x 1+3y 1−12|+|2x 2+3y 2−12|的最大值为24． 故答案为：24．如图所示，满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，可得：λ∈[3−2√2,1].直线l 的方程为：2x +3y −12=0.点A ，P ，B 到直线l 的距离分别为：d 1=11√13，d 0=√13=√13，d 2=22√13.|2x 1+3y 1−12|+|2x 2+3y 2−12|=√13(d 1+d 2).λ=1时，d 1+d 2=2d 0.λ=3−2√2时，可得√13(d 1+d 2)=24.进而得出结论．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】(1)证明：取OD 的中点P ，连接PC 、PM ，∵M 、N 分别是OA 、BC 的中点，∴PM//AD ，且PM =12AD ，NC//AD ，且NC =12AD ，∴PM//NC ，且PM =NC ，则PMNC 是平行四边形，得MN//PC ，∵PC ⊂平面OCD ，MN ⊄平面OCD ， ∴直线MN//平面OCD ；(2)解：连接ON 、ND ，设点M 到平面OCD 的距离为d ， 由(1)得，点N 到平面OCD 的距离为d ，设三棱锥O −CDN 的体积为V ，则V =13×S △CDN ×OA =13×S △OCD ×d ， 依题意，S △CDN =12×CD ×CN ×sin∠BCD =√38， ∵AC =AD =CD =1，∴OC =OD =√5，则S △OCD =12×CD ×√5−14=√194．由13×√38×2=13×√194×d ，得点M 到平面OCD 的距离d =√5719．【解析】(1)取OD 的中点P ，连接PC 、PM ，由三角形的中位线定理可得PMNC 是平行四边形，得MN//PC ，再由直线与平面平行的判定可得直线MN//平面OCD ； (2)连接ON 、ND ，设点M 到平面OCD 的距离为d ，可得点N 到平面OCD 的距离为d ，然后利用等体积法求点M 到平面OCD 的距离．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．18.【答案】解：(1)△OPN 中，由正弦定理得，OPsin2π3=ONsin(π3−θ)，即√32=ONsin(π3−θ)，解得ON =40√3sin(π3−θ)；所以停车场面积S 关于θ的函数关系式为S =40√3sin(π3−θ)⋅60sinθ=2400√3sin(π3−θ)sinθ，其中θ∈(0,π3)；(2)由S =2400√3sin(π3−θ)sinθ=2400√3(√32cosθ−12sinθ)⋅sinθ =1200√3(√3sinθcosθ−sin 2θ) =1200√3(√32sin2θ+12cos2θ−12) =1200√3[sin(2θ+π6)−12]；当2θ+π6=π2，即θ=π6时，停车场面积S 最大，最大值为： 1200√3×(1−12)=600√3=600×1.732=1039.2(平方米)．【解析】(1)由正弦定理求得ON ，再计算停车场面积S 关于θ的函数关系式； (2)化简函数解析式S ，求出S 的最大值以及取最大值时对应θ的值． 本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由题意，函数f(x)在定义域内存在实数x 0，满足f(−x 0)=−f(x 0)，可得2cos(−x 0−π3)=−2cos(x 0−π3)，即cos(−x 0−π3)=−cos(x 0−π3)，整理得√3cosx 0=0，所以存在x 0=π2满足f(−x 0)=−f(x 0)所以函数f(x)=2cos(x −π3)是“M 类函数”．(2)由x 2−2mx >0在x ≥3上恒成立，可得m <32，因为f(x)={log 2(x 2−2mx)−2x ≥3x <3为其定义域上的“M 类函数”，所以存在实数x 0使得f(−x 0)=−f(x 0)，①当x 0≥3时，则−x 0≤−3，所以−2=−log 2(x 02−2mx 0)，所以x 02−2mx 0=4，即m =12x 0−2x 0，因为函数y =12x −4x ，x ≥3为单调增函数，所以m ≥56； ②当−3<x 0<3时，−3<−x 0<3，此时−2=2，不成立；③当x 0≤−3，则−x 0≥3，所以log 2(x 02+2mx 0)=2，所以m =−12x 0+2x 0因为函数y =−12x +4x (x ≤−3)为单调减函数，所以m ≥56； 综上所述，求实数m 取值范围[56,32)．【解析】(1)根据题意只需2cos(−x 0−π3)=−2cos(x 0−π3)有解，即可判断f(x)是否为“M 类函数”．(2)由对数函数的性质可得由x 2−2mx >0在x ≥3上恒成立，即m <32；若是“M 类函数”，则存在实数x 0使得f(−x 0)=−f(x 0)，分①当x 0≥3时，②当−3<x 0<3时，③当x 0≤−3，三种情况分析方程f(−x 0)=−f(x 0)，能否有解，即可得m 的取值范围． 本题考查函数的新定义，“M 类函数”，解题中注意三角形数性质的应用，属于中档题． 20.【答案】解：(1)根据题意，设椭圆的上下顶点为B 1(0,b)，B 2(0,−b)，左焦点为F 1(−c,0)， 则△B 1B 2F 1是正三角形，所以2b =√c 2+b 2=a ，则椭圆方程为x 24b 2+y 2b 2=1．将(√2,√22)代入椭圆方程，可得24b 2+12b 2=1，解得a =2，b =1．故椭圆的方程为x 24+y 2=1．(2)证明：设直线u 的方程为y =−12x +m ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 由{y =−12x +mx 24+y 2=1，消去y ，得x 2−2mx +2(m 2−1)=0则△=4m 2−8(m 2−1)=4(2−m 2)>0，且x 1+x 2=2m >0，x 1x 2=2(m 2−1)>0； 故y 1y 2=(−12x 1+m)(−12x 2+m) =14x 1x 2−12m(x 1+x 2)+m 2=m 2−12，k OP k OQ =y 1y 2x 1x 2=14x 1x 2−12m(x 1+x 2)+m 2x 1x 2=14=k PQ2． 即直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列．(3)由题意，设直线v 的方程为x =ky +n ，联立{x 24+y 2=1x =ky +n ，消去x 得(k 2+4)y 2+2kny +n 2−4=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则有y 1+y 2=−2knk 2+4，y 1y 2=n 2−4k 2+4， 因为以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C(2,0)，所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 由CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2,y 1)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−2,y 2)，则(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=0， 将x 1=ky 1+n ，x 2=ky 2+n 代入上式并整理得(k 2+1)y 1y 2+k(n −2)(y 1+y 2)+(n −2)2=0， 则(k 2+1)(n 2−4)k +4+−2k 2n(n−2)k +4+(n −2)2=0，化简得(5n −6)(n −2)=0，解得n =65或n =2， 因为直线x =ky +n 不过点C(2,0)，所以n ≠2，故n =65.所以直线l 恒过点D(65,0)． 故S ABC =12|DC||y 1−y 2|=12×(2−65)√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =25√(−125k k 2+4)2−4(3625−4)k 2+4=825√25(k 2+4)−36(k 2+4)2，设t =1k 2+4(0<t ≤14)，则S ABC =825√−36t 2+25t 在t ∈(0,14]上单调递增， 当t =14时，S ABC =825√−36×116+25×14=1625，所以ABC 面积的最大值为1625．【解析】(1)设椭圆的上下顶点为B 1(0,b)，B 2(0,−b)，左焦点为F 1(−c,0)，椭圆方程为x 24b 2+y 2b 2=1．将(√2,√22)代入椭圆方程，解得a ，b ，即可得到椭圆方程．(2)设直线u 的方程为y =−12x +m ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，由{y =−12x +m x 24+y 2=1，消去y ，得x 2−2mx +2(m 2−1)=0利用韦达定理，转化求解直线的斜率乘积，然后说明直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列．(3)设直线v 的方程为x =ky +n ，联立{x 24+y 2=1x =ky +n，消去x 得(k 2+4)y 2+2kny +n 2−4=0.设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用韦达定理，结合斜率的数量积为0，转化求解n ，得到直线恒过的定点，推出三角形的面积，然后求解最大值．本题考查椭圆方程的求法直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.【答案】解：(1)由f(x)=a ⋅2x −1>0，即a >(12)x 对一切x ∈[0,+∞)恒成立，所以a >1，当a >1时，f(x)在x ∈[0,+∞)上单调递增，所以对任意0≤x 1<x 2，均有f(x 1)≠f(x 2)， 综上，实数a 的取值范围为：a >1；证明(2)：由函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，即对一切x ∈[0,+∞)，均有f(x)≤f(0)， 所以对一切n ∈N ∗，均有f(a n )≤f(0)，可得：a n+1=a n +1f(a n)≥a n +1f(0)，所以：a n =a n −a n−1++a 2−a 1+a 1≥n−1f(0)，对一切n ≥2， 对任意正实数M ，取n 0=[Mf(0)]+2∈N ∗， 当n >n 0时，a n ≥n−1f(0)>n 0−1f(0)>Mf(0)+1−1f(0)=M ；证明：(3)非必要性：取f(x)={x +13−x ，x ∈[0,1]∪[2,+∞)x ∈(1,2)，在[0,+∞)不为增函数，但a 1=0，a 2=a 1+1f(a 1)=1，a 3=a 2+1f(a 2)=32，f(a 2)=2，f(a 3)=32<2f(a 2)，充分性：假设对一切n ∈N ∗，均有f(a n+1)≥2f(a n )>0， 所以：f(a n )≥2n−1f(a 1)=2n−1f(0)，①由递推式a n+1=a n +1f(a n)≤a n +12n−1f(0)≤≤a 1+1f(0)(12n−1++12+1)<2f(0)，因为f 为增函数，所以f(a n+1)≤f(2f(0))，②由①②可知：2n f(0)≤f(2f(0))对一切n ∈N ∗，n ≥2均成立，又A =f(0)>0，B =f(2f(0))>0可知，当n >log 2(AB )时，上述不等式不成立， 所以假设错误，即存在n ∈N ∗，使得f(a n+1)<2f(a n ).【解析】(1)根据定义可得a >(12)x 对一切x ∈[0,+∞)恒成立，即可求出a 的范围； (2)根据函数的单调性可得对一切n ∈N ∗，均有f(a n )≤f(0)，即可证明； (3)分别从必要性和充分性两个方面证明即可．本题考查了数列的函数特征，不等式的证明，充分性和必要性，考查了转化与化归能力，逻辑推理能力，属于难题．。
上海市交大附中2020-2021学年高一下学期期中数学试题
11．函数 的值域是_______
12．设函数 ，其中 、 为已知实常数， .
下列所有正确命题的序号是____________．
①若 ，则 对任意实数 恒成立；
②若 ，则函数 为奇函数；
③若 ，则函数 为偶函数；
④当 时，若 ，则 .
17．在 ，角A，B，C所对的边分别为 ，b，c，已知 ， ，且 .
（1）当 ， 时，求 ，c的值；
（2）若B为锐角，求实数 的取值范围.
18．已知函数 ， .
（1）若直线 是函数 的图像的一条对称轴，求 的值；
（2）若 ，求 的值域.
19．如图，摩天轮上一点P在时刻t（单位:分钟)距离地面的高度y(单位:米)满足 ，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处.
5．函数 的单调递增区间是________
6．已知 ，将 从小到大排列___________
7．若 是偶函数,则有序实数对( )可以
是.
8．若函数 的图像与直线 有且仅有四个不同的交点，则 的取值范围是______
9．将 图像上所有点向右平移 个单位，再把所得的图像上各点横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），这样得到的图像对应的函数解析式为________
本题考查余弦定理的应用，考查基本运算求解能力，属于基础题．
4．
【分析】
利用诱导公式化简所给的式子，即可得答案．
【详解】
因为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查诱导公式应用，求解时注意函数名和符号问题，属于基础题．
5．
【分析】
上海市交大附中2019-2020学年高三下学期期中数学试题
上海市交大附中2019-2020学年高三下学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．计算矩阵的乘积：()300c a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____. 2．计算：012393n n nn n n C C C C ++++=L _____. 3．已知sin cos 22θθ+=，则sin θ=_____. 4．若双曲线2214x y m-=的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为_____. 5．在首项为21，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第________项 6．如图，二面角l αβ--的大小是3π，线段AB ⊂α，B l ∈，AB 与l 所成的角为6π，则AB 与平面β所成的角是_____（用反三角函数表示）7．已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )b A B +-=()sin c b C -，则△ABC 面积的最大值为_____.8．已知函数()lg(1)f x x =+，()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()g x =()f x ，则函数()y g x = ([1,2]x ∈)的反函数是y =_____.9．已知()y f x =是定义在R 上的函数，方程(2019)(2020-)0f x f x +⨯=恰好有7个解，则这7个解的和为_____.10．设0.ab ••是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中a 和b 分别为10以内的非负整数，且a b ¹，0b ≠，若集合••1{|0.,}A n ab n n *==∈N ，则A 中所有元素的和为_____. 11．已知数列{}n a 满足1312n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数（*n ∈N ），127k a =⋅（k 是一个已知的正整数），若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p =_____.12．若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xy x y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________ 13．已知函数()y f x =是R 上的增函数，则对任意12,x x ∈R ，“12x x <”是“12()()f x f x <”的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．非充分非必要 14．已知11z ≠-，111i 1z b z -=+（b ∈R ），2141(+1)z z =-，则z 对应的点在（ ） A ．圆上 B ．抛物线上 C ．双曲线上 D ．椭圆上15．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足2OA OB OA OB ==⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v ，由点集{P |OP uuu v ＝λOA u u u v ＋μOB uuu v，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )A． B．C．D．16．已知1a ，{}234,,1,2,3,4a a a ∈，()1234,,,N a a a a 为1234,,,a a a a 中不同数字的种类，如(1123)3N ，，，，=(1221)2N =，，，，求所有的256个()1234,,,a a a a 的排列所得的()1234,,,N a a a a 的平均值为（ ）A ．8732B ．114C ．17764D ．1756417．如图所示，用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒．（1）求该圆锥的表面积S 和体积V ；（2）求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d ．18．已知函数()sin()f x A x b ωϕ=++（0A >，，2πϕ<）的图象如下图所示（1）求出函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象向右移动3π个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的14（纵坐标不变）得到函数()y g x =的图象，求出函数()y g x =的单调增区间及对称中心.19．若函数()y f x =满足“存在正数λ，使得对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在2x ，使12()()f x f x λ=成立”，则称该函数为“依附函数”．（1）分别判断函数①()2x f x =，②2()log g x x =是否为“依附函数”，并说明理由； （2）若函数()y h x =的值域为[,]m n ，求证：“()y h x =是‘依附函数’”的充要条件是“0[,]m n ∉”．20．如图，已知点P 是x 轴下方（不含x 轴）一点，抛物线2:C y x =上存在不同的两点A 、B 满足PD DA λ=uu u r uu u r ，PE EB λ=uur uu r ，其中λ为常数，且D 、E 两点均在C 上，弦AB 的中点为M ．（1）若P 点坐标为(1,2)-，3λ=时，求弦AB 所在的直线方程；（2）在（1）的条件下，如果过A 点的直线1l 与抛物线C 只有一个交点，过B 点的直线2l 与抛物线C 也只有一个交点，求证：若1l 和2l 的斜率都存在，则1l 与2l 的交点N 在直线PM 上；（3）若直线PM 交抛物线C 于点Q ，求证：线段PQ 与QM 的比为定值，并求出该定值．21．设{}n a 是公差不为零的等差数列，满足6713a a a +=，2224967a a a a +=+，设正项数列{}n b 的前n 项和为n S ，且423n n S b +=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1b 、11x 、2b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数21x 、22x ，使2b 、21x 、22x 、3b 成等差数列；⋅⋅⋅；在n b 和1n b +之间插入n 个数1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x ，使n b 、1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x 、1n b +成等差数列．① 求11212212n n n nn T x x x x x x =+++++++L L ；② 对于①中的n T ，是否存在正整数m 、n ，使得12m n ma T a +=成立？若存在，求出所有的正整数对(,)m n ；若不存在，请说明理由．参考答案1．(3,)a ac【解析】【分析】直接利用矩阵的乘积公式求解即可.【详解】由题得()3(30,0)(3,)00c a b a b a c b a ac ⎛⎫=+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 故答案为：(3,)a ac【点睛】本题主要考查矩阵的乘积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．4n【解析】【分析】先把原式写成0011223333n n n n n n C C C C ++++L ，再利用二项式定理得解.【详解】由题得原式=0011223333(13)4n n n n n n n n C C C C ++++=+=L .故答案为：4n【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．13【解析】【分析】把等式sincos 22θθ+=两边同时平方化简即得解. 【详解】 由题得221sin cos +2sin cos ,sin 2222343θθθθθ+=∴=. 故答案为：13【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式的应用，考查同角的平方关系的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．【解析】【分析】由题得243,m +=解方程即得解.【详解】由题得20,43,5m m m >+=∴=.所以双曲线的虚轴长为故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5．5【解析】【分析】先求出等比数列的通项，再列举出数列的前几项，比较即得解.【详解】 由题得等比数列的通项为112341212121=21(),21,,,,2248n n a a a a a -⨯∴==== 5621211.31,0.66,1632a a =≈=≈ 所以521 1.3116a =≈与1最接近. 所以最接近于1的项是第5项.故答案为：5【点睛】本题主要考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6． 【解析】【分析】 如图，过点A 作AO β⊥,垂足为O ,过点A 作AC l ⊥，垂足为C ,连接,OB OC ，证明3ACO π∠=，不妨设1,AC =根据已知求出2,2AB AO ==求出sin 4ABO ∠=即得解.【详解】如图，过点A 作AO β⊥,垂足为O ,过点A 作AC l ⊥，垂足为C ,连接,OB OC .因为AO β⊥，所以AO l ⊥，因为AC l ⊥，,AO AC ⊂平面AOC ,AO AC A =I ,所以l ⊥平面AOC ，所以l OC ⊥,所以ACO ∠就是二面角l αβ--的平面角，所以3ACO π∠=.由题得6ABC π∠=,不妨设1,2,AC AB AO =∴== 由题得AB 与平面β所成的角是ABO ∠,所以2sin 24ABO ∠==.所以ABO ∠=.故答案为：【点睛】 本题主要考查空间二面角的平面角的作法和计算，考查空间直线和平面所成的角的作法和计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7【解析】【分析】由正弦定理化简已知可得222a b c bc -=-，结合余弦定理可求A 的值，由基本不等式可求4bc „，再利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】因为(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-(2)()()b a b c b c ∴+-=-2222a b ab b c bc ∴-+-=-，又因为2a =， 所以2222222221,,cos ,223b c a a b c bc b c a bc A A bc π+--=-∴+-=∴==∴=，ABC ∆面积1sin 2S bc A ==， 而222b c a bc +-=222b c bc a ∴+-=2242b c bc bc bc ∴+-=≥-4bc ∴„所以1sin 2S bc A =„ABC ∆【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式和三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力． 8．310([0,lg 2])x x -∈【解析】【分析】先根据偶函数性质求出[1x ∈-，0]上的解析式，再根据周期为2求出[1x ∈，2]上的解析式，最后求出反函数．【详解】当10x -剟时，01x -剟，()()(1)f x f x lg x ∴=-=-+， 当12x 剟时，120x --剟，()(2)[(2)1](3)f x f x lg x lg x ∴=-=--+=-+． ()(3)(12)g x lg x x ∴=-+剟，()310g x x ∴-+=，()310g x x ∴=-，所以1()310x g x -=-，()(3)(12)g x lg x x =-+Q 剟是减函数，()[0,lg 2]g x ∈所以1()310x g x -=-，(02)x lg 剟. 故答案为：310([0,lg 2])x x -∈【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查根据函数的奇偶性周期性求解析式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．3.5【解析】【分析】先分析出原方程的两根应满足(1)1αα+-=，再得到原方程的这7个根为11,,1,,1,2ααββγλ---，,即得解.【详解】若α满足(2019)0f α+=，则取1x α=-，则(2020)(2019)0f x f α-=+=，则1α-也是原方程的一根.所以原方程的两根应满足(1)1αα+-=，既然有7个根，所以应有一根满足1(1),2ααα=-∴=. 所以这7个根为11,,1,,1,2ααββγγ---，, 所以它们的和为13+=3.52. 故答案为：3.5【点睛】 本题主要考查方程的零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 10．143【解析】【分析】由无限循环小数可写成等比数列的无穷项和，可得分数形式，再由列举法可得集合A ，求和可得所求．【详解】0.ab&&是一个循环节长度为两位的循环纯小数， 即0.0.ab =&&0.100.001991100ab a b ab ab ⨯+++⋯==-， 1{|0.A n ab n==&&，*110}{|99a b n N n n +∈==，*}n N ∈， a 和b 分别为10以内的非负整数，且a b ¹，0b ≠，可得0a =，1b =，99n =；0a =，3b =，33n =；0a =，9b =，11n =； 0a ≠时，不存在满足题意的n ，则A 中所有元素的和为993311143++=．故答案为：143【点睛】本题考查无限循环小数化为分数的方法和集合中元素的求法，注意运用列举法，考查化简运算能力，属于基础题．11．1【解析】【分析】先分析出当1k =时，当2k =时，得1p =，再说明127k a =⋅时，17k a +=，222,k a +=列举出该数列，即得解. 【详解】由题得127k a =⋅是一个偶数，所以112272722k k a a -===g g ，当1k =时，234567897,22,11,34,17,52,26,13,a a a a a a a a ========101112131415161718192040,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,a a a a a a a a a a a =========== 211,a =L L ，所以1p =；当2k ≥时，1227k a -=g 是偶数，所以223272k a a -==g ， 当2k =时，同理可得1p =；L L ； 所以127k a =⋅时，17k a +=，222,k a +=所以从第1k +项起的数列为7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,L 所以1p =. 故答案为：1 【点睛】本题主要考查递推数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 12．1.4【解析】 【分析】根据等式两边范围确定,x y 满足条件，再根据二次函数性质求xy 的最小值. 【详解】∵()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+，∴10x y -+＞，()()()()2221121111111x y xyx y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+Q()1121x y x y ∴-++≥=-+,当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥Q ，当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xyx y x y x y ，即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈，即()12k x y k Z π+==∈， 因此21124k xy π+⎛⎫=≥⎪⎝⎭（当且仅当0k =时取等号）， 从而xy 的最小值为1.4【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 13．C 【解析】 【分析】先证明充分性，再证明必要性，即得解. 【详解】当12x x <时，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以12()()f x f x <，所以“12x x <”是“12()()f x f x <”的充分条件；当12()()f x f x <时，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以12x x <，所以所以“12x x <”是“12()()f x f x <”的必要条件.综合得“12x x <”是“12()()f x f x <”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，考查函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．B 【解析】 【分析】先求出214+1bi z b z =-，再求出12221+1biz b+=+，代入得22z b bi =--，设,z x yi =+即得解. 【详解】由题得22111111122211111123(23)31341(+1)(+1)(+1)+1+1+1z z z z z z z z bi z z z z z z --+-+-+-+=-===-=-⋅g 211111444()+1+1+1z bibi bi bi b z z z -+=-⋅=--⋅=-. 所以214+1biz b z =-因为111i 1z b z -=+，所以21112121i(1),1b bi z b z z b-+-=+∴=+. 所以12221+1bi z b+=+，代入214+1bi z b z =-得22z b bi =--. 设2,(,),,2z x yi x y R x b y b =+∈∴=-=-， 消去b 得24y x =-. 所以z 对应的点在抛物线上. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.15．D 【解析】由2OA OB OA OB u u u v u u u v u u u v u u u v==⋅=知：21cos ,,,2223OA OB OA OB OA OB OA OBπ⋅===∴=⨯⨯u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v . 不妨设()(()2,0,,,OA OB OP x y ===u u u v u u u v u u u v ，则：2x y λμ=+⎧⎪⎨=⎪⎩.解得12x μλ⎧=⎪⎪⎨⎛⎪=⎪⎝⎩由|λ|＋|μ|≤1得2y y -+≤作出可行域，如图所示．则所求面积1242S =⨯⨯=本题选择D 选项.16．D 【解析】 【分析】本题首先可以确定()1234,,,N a a a a 的所有可能取值分别为1234、、、，然后分别计算出每一种取值所对应的概率，最后根据每一种取值所对应的概率即可计算出()1234,,,N a a a a 的平均值。
上海市交通大学附属中学2019-2020学年高一下学期数学期中考试卷(word,简答)
上海交通大学附属中学2019-2020学年度第二学期高一数学期中考试试卷(满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上)一、填空题(本大题共14题，每题4分，满分56分)1、若52arcsin(2),43xπ-=则x=____.2、在公差d不为零的等差数列{}n a中，617,a=且31143,,a a a成等比数列,则d=____3、已知等比数列{}n a中，160,4,na a a>=则22232425log log log loga a a a+++=____4、前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是____5、在△ABC中，2220a b mc+-=(m为常数)，且cos cos cos,sin sin sinA B CA B C+=则m的值是____6、已知等比数列{}n a的各项都是正数,n S为其前n项和,若488,24,S S==则16S=___7、已知函数f(x)=3sinx+4cosx12,[0,],x xπ∈则12()()f x f x-的最大值是_____8、在△ABC中,角A、B、C所对应边分别为a、b、c，∠ABC=90°,∠ABC的平分线交AC于点D,且22,BD=则a+4c的最小值为____9、已知数列{}n a的前n项和2212,nS n n=-数列{||}na的前n项和,nT则nTn的最小值____10、在等差数列{}n a中,若10100110100,910,S S S===___11、设函数|sin|,0(),2,0xx xf xx<⎧=⎨≥⎩函数2lg(),0(),0x xg xx x-<⎧=⎨≥⎩则方程f(x)=g(x)根的数量为___个.12、已知两个等差数列{}n a和{}n b的前n项和分别为n S和,n T且736,2nnS nT n+=+则使得2kkab为整数的正整数k有_____个.13、设等差数列{}n a的各项都是正数,公差为d,前n项和为,n S若数列{}n S也是公差为d的等差数列,则{}na的前6项和为_____14、若等差数列{}n a满足22120110,a a+≤则201202203401M a a a a=++++L的最大值为_____二、选择题(本大题共20题，每题3分，满分60分)15、已知数列{}n a为等差数列,若1598,a a aπ++=则28cos()a a+的值为()1.2A -.2B -1.2C2D16、△ABC 的内角A,B,C 所对应边分别为a,b,c 若a 6,,b B A ==，C 成等差数列,则B=().6A π5.6B π.6C π或56π2.3D π 17、若等差数列{}{}n n a b 和的公差均为d(d≠0),则下列数列中不为等差数列的是().{}n A a λ(λ为常数) .{}n n B a b +22.{}n n C a b -.{}n n D a b ⋅18、在△ABC 中,角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c,若a=15,b=24,A=60°,则这样的三角形解的个数为()A.1B.2C.0D.不确定19、已知函数()2tan().23f x x ππ=-+下列说法中错误的是()A.函数f(x)的定义域是1{|2,}3x x k k Z ≠+∈ B.函数f(x)图象与直线12,3x k =+k ∈Z 没有交点 C.函数f(x)的单调增区间是51(2,2),33k k k -++∈Z D.函数f(x)的周期是2 20、函数cos(2),[0,]32y x x ππ=+∈的值域为()A.[0,1]1.[1,]2B -1.[]22C -11.[,]22D -21、函数y=sinx,3[,]22x ππ∈的反函数是()A.y=arcsinx,x ∈[-1,1]B.y=-arcsinx,x ∈[-1,1]C.y=π+arcsinx,x ∈[-1,1]D.y=π-arcsinx,x ∈[-1,1]22、在△ABC 中,若△ABC 的面积为S,且2244,S b c =+-a=2,则△ABC 的外接圆的面积为()4Aπ.2B πC.2πD.4π23、已知曲线122:cos ,:sin(2),3C y x C y x π==+则下面结论正确的是() A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6π个单位,得到曲线2C B.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12π个单位,得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1,2纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移12π个单位,得到曲线2C D.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1,2纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12π个单位,得到曲线2C 24、已知()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象关于直线6x π=对称,若存在12,,x x R ∈使得对于任意x 都有12()()(),f x f x f x ≤≤且12||x x -的最小值为,2π则φ等于().12A π.6B π.4C π.3D π25、若等比数列{}n a 的前n 项和3(2),nn S m =+则22212n a a a +++=L () 41.3n A - B.4n -1.3(41)n C -D.无法确定26、已知等差数列{}n a 的首项为4,公差为4,其前n 项和为,n S 则数列1{}nS 的前n 项和为() .2(1)nA n +1.2(1)B n n +2.(1)C n n +2.1nD n + 27、已知函数f(x)是定义在R 上的单调递减函数,且f(x)为奇函数,数列{}n a 是等差数列,1580,a >则123313314315()()()()()()f a f a f a f a f a f a ++++++L 的值()A.恒为负数B.恒为正数C.恒为0D.可正可负28、已知函数f(x)=asinx+cosx 的一条对称轴为,11x π=则函数g(x)=sinx-acosx 的一条对称轴可以为()9.22A x π=13.22B x π=10.11C x π=13.11D x π=29、《周髀算经》有这样一个问题:从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，已知一文为十尺，一尺为十寸.问芒种日影长为()A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸30、已知等差数列{},{},n n a b 其前n 项和分别为23,,,31n n n n a n S T S n +=-则1111ST =() 15.17A25.32B C.1D.231、已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,若存在m ∈N *满足22519,1m m m m S a m S a m +==-，则数列{}n a 的公比为()B.2CD.432、已知数列{}n a 是等比数列,其前n 项和为,n S 则下列结论正确的是() A.若120,a a +>则130a a +> B.若130,a a +>则120a a +> C.若a>0,则20210S >D.若10,a >则20200S >33、设等比数列{}n a 的公比为q,其前n 项之积为,n T 并且满足条件:2019120192020202011,1,0,1a a a a a ->><-给出下列结论:①02019202120191;10;q a a T <<->②③是数列{}n T 中的最大项;④使1n T >成立的最大自然数等于4039;其中正确结论的序号为()A.①②B.①③C.①③④D.①②③④34、对于无穷数列{},n a 给出下列命题:①若数列{}n a 既是等差数列,又是等比数列,则数列{}n a 是常数列. ②若等差数列{}n a 满足||2020,n a ≤则数列{}n a 是常数列. ③若等比数列{}n a 满足||2020,n a ≤则数列{}n a 是常数列.④若各项为正数的等比数列{}n a 满足12020,n a ≤≤则数列{}n a 是常数列. 4.1B.2C.3D.4三、解答题(本大题共2题，满分34分)35、(本题满分16分,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题6分) 已知函数f(x)=a(|sinx|+|cosx|)+4sin2x+9,满足9()134f π=- (1)求a 的值;(2)求f(x)的最小正周期;(3)是否存在正整数n,使得f(x)=0在区间[0,)4n π内恰有2020个根.若存在,求出n 的值,若不存在,请说明理由.36、(本题满分18分,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分) 已知{},{},n n a b 前n 项和分别记为,.n n S T(1)若{},{}n n a b 都是等差数列，且满足2,4,n n n n b a n T S -==求30S ； (2)若{}n a 是等比数列,{}n b 是等差数列,1302,1,n n b a n a T -==求(3)数列{},{}n n a b 都是等比数列,且满足n≤3时,2,n n b a n -=若符合条件的数列{}n a 唯一,则在数列{}n a 、{}n b 中是否存在相等的项,即*1(,),k a b k l N =∈若存在请找出所有对应相等的项,若不存在,请说明理由.。
2020-2021学年上海市交大附中高一下学期期中考数学试卷含详解
上海交通大学附属中学2020-2021学年度第二学期高一数学期中试卷（本试卷共4页，满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）一、填空题（本题满分54分，其中1~6每题4分，7~12每题5分）1.已知平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，其终边上有一点()512P -，，则=αtan ．2.计算：=+)31arctan 21tan(arctan ____________. 3.若53sin =α，且)2,0(πα∈，则tan α= ．4.已知2tan =α，则=+αααcos sin sin 22___________．5.把ααcos 3sin -化为)),(,0)(sin(ππϕϕα-∈>+A A 其中的形式：_________．6.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin 2πx y 的最小正周期为___________. 7.已知：32)3sin(-=+πθ，则 tan(5)cos(2)sin(3)2tan(6)cos()7tan()sin(4)cot()22πθθππθπθπθππθπθθ--⋅-⋅--+-⋅-++⋅-+⋅--=______.8.若54)sin(=+βα，43)sin(=-βα，则=βαtan tan ． 9.小瑗在解决问题“已知锐角α与锐角β的值，求βα+的正弦值”时误将两角和的正弦公式错记成了“βαβαβαsin sin cos cos )sin(+=+ ”，解得的结果为426+ . 发现恰好与标准答案一致. 那么原题中的锐角α的值为__________（写出所有的可能值）. 10.如右图，平面上有一条走廊宽为3米，夹角为120°，地面是水平的，走廊两端足够长. 那么能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为_________米. 11.设对任意]2,0[πθ∈，不等式046cos 3sin 2<--+m m θθ恒成立，则实数m 的范围是____________.12.如右图，已知等腰三角形ABC 的顶角7π=A ，D 是腰AB 上一点. 若1=AD ，2=CD ，则=BC ____________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分.13.一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是 （ ） A.2弧度B.3弧度C.4弧度D.5弧度 14.方程2tan =x 的解集是（ ）A.},2arctan 2|{Z k k x x ∈+=πB. },2arctan 2|{Z k k x x ∈±=πC.},2arctan |{Z k k x x ∈+=πD. },2arctan )1(|{Z k k x x k∈⋅-+=π 15.角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限16.已知定义域是全体实数的函数()y f x =满足(2)()f x f x π+=，且()g x =()()2f x f x +-，()()()2f x f x h x --=，现定义函数(),()y p x y q x ==为：()p x =()()()()()()2cos 22sin 22,(),0()0()22g x g x h x h x k x k x x x q x k x k x ππππππππ-+++⎧⎧≠+≠⎪⎪⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎩其中k Z ∈，那么下列关于(),()y p x y q x ==叙述正确的是（ ）A.都是偶函数且周期为πB.都是奇函数且周期为πC.都是周期函数但既不是奇函数又不是偶函数D.都不是周期函数三、解答题（本大题满分76分）17.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）设(0,)3πα∈，(,)62ππβ∈，且,αβ满足5cos 82ααββ⎧+=⎪+=，（1）求cos()6πα+的值；（2）求cos()αβ+的值．18.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，一条河的两岸相互平行. 两岸边各有一个小镇A与B，它们的直线距离为2千米，河宽AC为1千米.根据规划需在线段BC上选择一个点D，沿AD铺设水下电缆，沿BD 铺设地下电缆．建立数学模型寻找如何铺设电缆费用最低．（1）模型建立：我们假设：1. B、D之间的地下电缆沿________铺设，每千米地下电缆的铺设费用不变，不妨设为1；2. A、D之间的水下电缆沿________铺设，每千米水下电缆的铺设费用不变，根据调查为每千米地下电缆铺设费用的两倍；∠=；则θ的取值范围为_____________．可以将该项工程的总费用如果设ADCθy表示为θ的函数，这个函数的解析式为_____________．因此，原实际问题的数学模型为：求___________，该项工程的总费用y最低．（2）模型求解：请求解上述模型．AC D B19.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题10分）已知三角形ABC 中，A tan 、B tan 是方程042=++ax x 的两个实数根.（1）若8-=a ，求C tan 的值；（2）求C tan 的最小值，并指出此时对应的实数a 的值.20.（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分） 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中D C B A ,,,是抛物线2x y =上的四个不同的点，且BD AC ⊥（点A 、B 在第二象限，且点A 在点B 的左上方）．AC 、BD 交于点1(0,)4F ．点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角．设线段AF 的长为m ． (1) 用m 与α表示点A 的横坐标； (2) 将m 表示为α的函数；(3) 求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时α的大小？21.（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 设()y f x =是定义在D 上的函数，若对任何实数(0,1)α∈以及D 中的任意两数1x 、2x ，恒有()1212(1)()(1)()fx x f x f x αααα+-≤+-，则称()f x 为定义域上的C 函数．（1）判断函数1,(,0)y x x=∈-∞是否为定义域上的C 函数，请说明理由； （2）函数3,(,)y x x M =∈+∞是定义域上的C 函数，求实数M 的最小值；（3）若()y f x =是定义域为R 的周期函数，且最小正周期为T ．试判断()y f x =是否可能为定义域上的C 函数．如果可能，请给出至少一个符合条件的函数()y f x =；如果不可能，请说明理由.上海交通大学附属中学2020-2021学年度第二学期高一数学期中试卷（本试卷共4页，满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）一、填空题（本题满分54分，其中1~6每题4分，7~12每题5分）1.【答案】512-2.计算：=+)31arctan 21tan(arctan ____________.【解析】1111tan arctan tan arctan 112323tan arctan arctan 111112311tan arctan tan arctan 2323⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+=== ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3.【答案】434.已知2tan =α，则=+αααcos sin sin22___________．【解析】2222222sin sin cos 2tan tan 2sin sin cos 2sin cos tan 1ααααααααααα+++===++. 5.【答案】)3sin(2πα-6.【答案】π7.已知：2sin(3)3θπ+=-，则 tan(5)cos(2)sin(3)2tan(6)cos()7tan()sin(4)cot()22πθθππθπθπθππθπθθ--⋅-⋅--+-⋅-++⋅-+⋅--=______.【解析】由2sin(3)3θπ+=-得2sin 3θ=，所以原式tan cos sin 2(tan )(cos )3sin 2cot sin tan θθθθθθθθθ-⋅⋅=+--==-⋅⋅.8.若54)sin(=+βα，43)sin(=-βα，则=βαtan tan ． 【解析】由题意得3sin cos cos sin ,sin cos cos sin 544αβαβαβαβ+=-=， 解得1sin cos ,cos 31sin 4040αβαβ==，所以tan sin cos 31tan cos sin ααββαβ==. 9.小瑗在解决问题“已知锐角α与锐角β的值，求βα+的正弦值”时误将两角和的正弦公式错记成了“βαβαβαsin sin cos cos )sin(+=+”，解得的结果为426+. 发现恰好与标准答案一致. 那么原题中的锐角α的值为__________（写出所有的可能值）. 【解析】由题意得sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβ+=+， 所以sin cos cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβ-=-， 所以(sin cos )(sin cos )0ααββ--=，又α和β为锐角，所以4πα=或4πβ=，若4πα=，满足题意； 若4πβ=，则6257sin sin sin441212πππα+⎛⎫+=== ⎪⎝⎭，所以6πα=或3π， 综上，原题中的锐角α的值为6π或4π或3π. 10.如右图，平面上有一条走廊宽为3米，夹角为120°，地面是水平的，走廊两端足够长. 那么能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为_________米. 【解析】如图，设能通过走廊的钢筋的长度为AB ，设0,60BAQ ABQ αα∠=∠=-， 则033sin sin(60)AB AP PB αα=+=+- 0001166sin sin(60)1[cos(260)cos60]2ααα≥=⋅---2612112≥=-，当且仅当030α=时取等号，故能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为12米.11.设对任意]2,0[πθ∈，不等式046cos 3sin 2<--+m m θθ恒成立，则实数m 的范围是__________.【解析】由题意得21cos3cos 640m m θθ-+--<对任意20,πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以2cos 373cos 24cos 2cos 2m θθθθ+>=-++--恒成立， 令[]cos 22,1t θ=-∈--，因为7()4f t t t=++在[2,1]--上严格减， 所以max3()2f t =-，所以332m >-，故21->m .12.如右图，已知等腰三角形ABC 的顶角7π=A ，D 是腰AB 上一点. 若1=AD ，2=CD ，则=BC ____________.【解析】设ACD α∠=，则7sin 21sin πα=BCD ∆中，ααπ3sin )7sin(+=CD BC ，按计算器得=BC 1.证明；因为7A π=，设14πα=，则2A α=，且72πα=，即342παα=-，所以ααπα4cos )42sin(3sin =-=（1），设,,AD m AC n BC a ===，则m CD 2=， 在ACD ∆中由余弦定理得22222)2cos 2cos 22n m m n mn mnαα-=+-⇒=（2）在等腰三角形ABC 中，na AC BC221sin ==α （3）将（1）整理为()22321sin 213sin 4sin ααα--=-，展开得4328sin 4sin 8sin 3sin 10αααα+--+=，()32(sin 1)8sin 4sin 10ααα+-+=，所以24sin cos 24sin10ααα--+=，将（2），（3）代入上式得()222220()0am an ma mn m a am n m a --+=⇒-+=⇒=，即AD BC =. 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分.13.一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是 （ A ） A.2弧度B.3弧度C.4弧度D.5弧度【解析】设半径为r ，圆心角为θ，弧长为l ， 由题意得224lr l r =⎧⎨+=⎩，解得21l r =⎧⎨=⎩，所以2lr θ==，故选A.14.方程2tan =x 的解集是（ C ）A.},2arctan 2|{Z k k x x ∈+=πB. },2arctan 2|{Z k k x x ∈±=πC.},2arctan |{Z k k x x ∈+=πD. },2arctan )1(|{Z k k x x k∈⋅-+=π15.角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是 （ D ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】根据等分象限法，得3α的终边在第一、二、三象限，故选D. 16.已知定义域是全体实数的函数()y f x =满足(2)()f x f x π+=，且()g x =()()2f x f x +-，()()()2f x f x h x --=，现定义函数(),()y p x y q x ==为：()p x =()()()()()()2cos 22sin 22,(),0()0()22g x g x h x h x k x k x x x q x k x k x ππππππππ-+++⎧⎧≠+≠⎪⎪⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎩其中k Z ∈，那么下列关于(),()y p x y q x ==叙述正确的是（ A ）A.都是偶函数且周期为πB.都是奇函数且周期为πC.都是周期函数但既不是奇函数又不是偶函数D.都不是周期函数【解析】因为()()()2f x f x g x +-=，所以()()()()2f x f xg x g x -+-==， 且()()()()()()22f x f x f x f xg x g x ππππππ++---+-++===-， 即()g x 的一个周期为2π， 当2x k ππ≠+时，()()()()()2cos()2cos g x g x g x g x p x x xππ---+---==-()()2cos g x g x xπ-+=()p x =，且()(2)()2cos()g x g x p x x ππππ+-++=+()()()2cos g x g x p x x π+-==-，当2x k ππ=+时，()0p x =，所以()y p x =是偶函数且周期为π；同理，()()()2f x f x h x --=，所以()()()()2f x f x h x h x ---==-，且()()()()()()22f x f x f x f x h x h x ππππππ+------++===-，即()h x 的一个周期为2π， 当2x k ππ≠+时，()()()()()2sin 2()2sin 2h x h x h x h x q x x xππ---+-+--==--()()()()()2sin 22sin 2h x h x h x h x q x x xππ---+===，且()(2)()()()()2sin 2()2sin 2h x h x h x h x q x q x x xπππππ++++++===+，当2x k ππ=+时，()0q x =，所以()y q x =是偶函数且周期为π；综上所述，选A.三、解答题（本大题满分76分）17.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）设(0,)3πα∈，(,)62ππβ∈，且,αβ满足5cos 82ααββ⎧+=⎪+=，（1）求cos()6πα+的值；（2）求cos()αβ+的值．【解析】（1）因为，所以 因为，所以，所以．5cos 8αα+=4sin()65πα+=(0,)3πα∈(,)662πππα+∈3cos()65πα+=（2,所以，因为，所以，所以所以sin cos cos sin 636310ππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以 18.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，一条河的两岸相互平行. 两岸边各有一个小镇A 与B ，它们的直线距离为2千米，河宽AC 为1千米.根据规划需在线段BC 上选择一个点D ，沿AD 铺设水下电缆，沿BD 铺设地下电缆．建立数学模型寻找如何铺设电缆费用最低． （1）模型建立：我们假设：1. B 、D 之间的地下电缆沿________铺设，每千米地下电缆的铺设费用不变，不妨设为1；2. A 、D 之间的水下电缆沿________铺设，每千米水下电缆的铺设费用不变，根据调查为每千米地下电缆铺设费用的两倍；如果设ADC θ∠=；则θ的取值范围为_____________． 可以将该项工程的总费用y 表示为θ的函数，这个函数的解析式为_____________．因此，原实际问题的数学模型为：求___________，该项工程的总费用y 最低．2ββ+=sin()32πβ+=(,)62ππβ∈5(,)326πππβ+∈cos()3πβ+=cos()sin[()]sin[()()]263πππαβαβαβ+=++=+++cos()αβ+=（2）模型求解：请求解上述模型．【解析】（1）由题设cot CD θ=，1sin AD θ=，223CB AB AC =-=，3cot DB θ=- 所以θθθθsin cos 23)cot 3(sin 212-+=-+=⋅+=BD AD y （]2,6[ππθ∈）1. B 、D 之间的地下电缆沿线段BD （直线）铺设，每千米地下电缆的铺设费用不变，不妨设为1；2. A 、D 之间的水下电缆沿线段AD （直线）铺设，每千米水下电缆的铺设费用不变，根据调查为每千米地下电缆铺设费用的两倍； 如果设ADC θ∠=；则θ的取值范围为]2,6[ππθ∈. 可以将该项工程的总费用y 表示为θ的函数，这个函数的解析式为θθsin cos 23-+=y .因此，原实际问题的数学模型为：求θ，该项工程的总费用y 最低. （2）设tan2t θ=(tan151)t ︒≤≤，则22sin 1t t θ=+，22tan 1tt θ=-代入（1）的结论，得ACDB222121123sin cos 23t t t t y ++--+=-+=θθ32321232122322≥++=+-++=tt t t t当且仅当3122t t=时取等号，即t =时，32min =y再由tan 2t θ=得3πθ=答：当3πθ=时，工程总费用y 最低为32.19.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题10分）已知三角形ABC 中，A tan 、B tan 是方程042=++ax x 的两个实数根.（3）若8-=a ，求C tan 的值；（4）求C tan 的最小值，并指出此时对应的实数a 的值. 【解析】（1）8tan tan =-=+a B A ，4tan tan =B A .所以38418tan tan 1tan tan )tan())(tan(tan =--=-+-=+-=+-=B A B A B A B A C π（2）因为方程有两个实数根，所以0162≥-=∆a ，又因为4tan tan =B A ，所以A tan 与B tan 同号，而三角形中不可能有两个钝角. 所以A tan 与B tan 都大于0，所以0tan tan >-=+a B A . 解得4-≤a .34341tan tan 1tan tan )tan())(tan(tan ≥-=---=-+-=+-=+-=a a B A B A B A B A C π当且仅当4-=a ，即2tan tan ==B A 时，C tan 取到最小值为34. 20.（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分） 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中D C B A ,,,是抛物线2x y =上的四个不同的点，且BD AC ⊥（点A 、B 在第二象限，且点A 在点B 的左上方）．AC 、BD 交于点1(0,)4F ．点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角．设线段AF 的长为m ． （1）用m 与α表示点A 的横坐标； （2）将m 表示为α的函数；（3）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时α的大小？ 【解析】（1）作AH 垂直y 轴于H ，则αsin m AH =，所以点A 的纵坐标为αsin m -（2）点)41cos ,sin (+-ααm m A所以)cos 41()sin (2ααm m +=-，即041cos sin 22=--ααm m ，解得αα2sin 21cos ±=m ，由于0m ＞， 所以))2,0((sin 21cos 2πααα∈+=m（3）同理αα2cos 2sin 1-=BF ，αα2cos 2sin 1+=DF ，αα2sin 2cos 1-=CF “蝴蝶形图案”的面积：))2,0(()cos (sin 4cos sin 121212πααααα∈-=⋅+⋅=+=∆∆DF CF BF AF S S S CFD AFB 令]21,0(,cos sin ∈=t t αα, 所以),2[1+∞∈t则161211414122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=t t t S ，所以21=t ，即4πα=时，“蝴蝶形图案”的面积取最大值为21. 21.（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 设是定义在D 上的函数，若对任何实数()y f x =(0,1)α∈以及D 中的任意两数1x 、2x ，恒有()1212(1)()(1)()f x x f x f x αααα+-≤+-，则称()f x 为定义域上的C 函数． （1）判断函数1,(,0)y x x=∈-∞是否为定义域上的C 函数，请说明理由； （2）函数3,(,)y x x M =∈+∞是定义域上的C 函数，求实数M 的最小值；（3）若()y f x =是定义域为R 的周期函数，且最小正周期为T ．试判断()y f x =是否可能为定义域上的C 函数．如果可能，请给出至少一个符合条件的函数()y f x =；如果不可能，请说明理由. 【解析】（1）()()210f x x x=<不是C 函数， 说明如下(举反例)： 取13x =-，21x =-，12α=， 则()()()()()121211f x x f x f x αααα+----()()()11111231022262f f f =-----=-++>， 即()()()()()121211f x x f x f x αααα+->+-， 所以()()210f x x x=<不是C 函数； （2）0M =时，对任何实数(0,1)α∈以及(0,)+∞中的任意两数1x 、2x ，有33311x x αα<，33311(1)(1)x x αα-<-，所以()33322223312112122(1)3(1)3(1)(1)x x x x x x x x αααααααα+-=+-+-+-3333331212(1)(1)x x x x αααα<+-<+-即()1212(1)()(1)()f x x f x f x αααα+-≤+-， 所以3,(,)y x x M =∈+∞是定义域上的C 函数； 而0M <时，取12M x =，20x =，12α=， 则311(1)022264M M f ⎛⎫⋅+-⋅= ⎪⎝⎭，311()(1)(0)22216M M f f +-=，由于0M <，所以336416M M >，故3,(,)y x x M =∈+∞不是定义域上的C 函数；综上，实数M 的最小值为0. （3）假设()y f x =是R 上的C 函数，若存在m n <且[),0,m n T ∈，使得()()f m f n ≠. （i ）若()()f m f n <，记1x m =，2x m T =+，1n mTα-=-，则01α<<，且()121n x x αα=+-，那么()()()()()()121211f n f x x f x f x αααα=+-≤+-()()()()1f m f m T f m αα=+-+=，这与()()f m f n <矛盾； （ii ）若()()f m f n >， 记1x n =，2x n T =-，1n mTα-=-，同理也可得到矛盾； 所以()f x 在[)0,T 上是常数函数， 又因为()f x 是周期为T 的函数，所以()f x 在R 上是常数函数，这与()f x 的最小正周期为T 矛盾.f x不是R上的C函数.所以()。
2020-2021学年上海市交大附中高一(下)期中数学复习卷(含答案解析)
2020-2021学年上海市交大附中高一(下)期中数学复习卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1. 有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°(坡高不变)，则斜坡长为( )千米A. 1B. 2sin10°C. 2cos10°D. cos20°2. 下列各组函数中，表示同一函数的是( )A. y =1和y =xx B. y =x 和y =lg10x C. y =lnx 2和y =2lnxD. y =|x|和y =(√x)23. 为了得到函数的图象y =sin3x ，只需把函数y =sin(3x +1)的图象上所有的点( )A. 向左平移1个单位长度B. 向右平移1个单位长度C. 向左平移13个单位长度D. 向右平移13个单位长度4. 已知α∈R ，2sinα−cosα=√102则tan2α=( )A. −34B. 43C. −7D. 17二、单空题（本大题共12小题，共36.0分） 5. −2312πrad 化为角度应为______ ．6. 对于函数f(x)(x ∈D)，若存在两条距离为d 的直线y =kx +m 1和y =kx +m 2，使任意x ∈D 都有kx +m 1≤f(x)≤kx +m 2恒成立，则称函数f(x)(x ∈D)有一个宽度为d 的通道． 下列函数： ①f(x)=1x ；②f(x)=sinx ； ③f(x)=√x 2−1； ④f(x)=x 3+1．其中[1,+∞)上通道宽度可以为1的函数的序号是______ (填上所有正确答案的序号) 7. 如图，在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =b(sinC +cosC)，若A =π2，D 为△ABC 外一点，DB =3，DC =2，则平面四边形ABDC 面积的最大值为______．8. 若sin(−α)=13，α∈(−π2,π2)，则cos(π+α)= ______ ．9. 已知函数f(x)=log 12(4x −x 2)，则函数f(x)的单调增区间为______． 10. 满足sinx >√32的x 的集合为______ ．11. 若函数f(x)=bx+2x+a为奇函数，则a = ______ ，b = ______ ．12. 已知a =sin20°，b =tan30°，c =cos40°，则a ，b ，c 从大到小的顺序是______． 13. 定义运算∣∣∣ab cd ∣∣∣=ad −bc ，设函数y =f(x)=∣∣∣sinx √3cosx 1∣∣∣，将函数y =f(x)向左平移m(m >0)个单位长度后，所得到图象关于y 轴对称，则m 的最小值是______ ．14. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b =4，B =30°，C =45°，则△ABC 的面积为________．15. 在△ABC 中，若cos(A +2C −B)+sin(B +C −A)=2，且AB =2，则BC = ______ ． 16. 已知a >0且a ≠1，下列函数不是奇函数的有：______(只填对应函数的序号)．①y =x 3−2x ；②y =x|x|；③y =a x+a −x ；④y =a x−a−x ；⑤y=a x −1a x +1；⑥y =a log a x ；⑦y =log a (√1+x 2+x)．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17. (本题满分12分)在中，角所对的边分别为且满足(1)求角的大小；(2)求的最大值，并求取得最大值时角的大小．18. 已知函数f(x)=√3sinxcosx −cos 2x +m(m ∈R)的图象过点M(π12,0)．(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)将函数f(x)的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移π个单位，得3函数g(x)的图象，若a、b、c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a+c=4，且当x=B时，g(x)取得最大值，求b的取值范围．19.一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．(1)建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度ℎ(单位：米)表示为时间t(单位：秒)的函数；(2)在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？20.观测站C处在目标A的南偏西20°方向，从A出发有一条南偏东40°走向的公路，在C处观测到与C相距31km公路上的B处有一人正沿此公路向A走去，走20km到达D处，此时测得CD距离21km，求此人在D处距A还有多远？21.定义：设函数f(x)的定义域为D，若存在实数m，M，对任意的实数x∈D，有f(x)≤M，则称函数f(x)为有上界函数，M是f(x)的一个上界；若f(x)≥m，则称函数f(x)为有下界函数，m 是f(x)的一个下界；若m≤f(x)≤M，则称函数f(x)为有界函数；若函数f(x)有上界或有下界，则称函数f(x)具有有界性．(1)判断下列函数是否具有有界性：①y=−x2+2x；②y=2x；③y=tanx；(2)已知函数f(x)=log24x定义域为[2,+∞)，若M为函数f(x)的上界，求M的取值范围；x−1(3)若函数g(x)=4x+2a(a>0)定义域为[2,4]，m是函数g(x)的下界，求m的最大值．2x【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了解三角形的应用，属于基础题． 根据坡长，坡角与坡高的关系列方程解出． 解：设坡高为h ，则ℎ=1⋅sin20°=sin20°， 设新斜坡长为x ，则x ⋅sin10°=ℎ=sin20°， ∴x =sin20°sin10∘=2cos10°， 故选：C ．2.答案：B解析：解：对于A ，y =1的定义域为R ，y =xx =1的定义域为{x|x ≠0}，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B ，y =x 的定义域为R ，y =lg10x =x 的定义域为R ，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于C ，y =lnx 2=2ln|x|的定义域是{x|x ≠0}，y =2lnx 的定义域是(0,+∞)，两函数的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；对于D ，y =|x|的定义域为R ，y =(√x)2=x 的定义域为[0,+∞)，两函数的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数． 故选：B ．根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数． 本题考查了函数的三要素：定义域、对应法则、值域，是基础题．3.答案：D解析：解由y =sin(3x +1)=sin3(x +13)，∴要得到y =sin3x 的图象，只需将y =sin3(x +13)向右平移13个单位长度． 故答案选：D ．根据三角函数图象变换，“左加右减”只要将y =sin(3x +1)向右平移13个单位长度． 本题考查三角函数图象变换，属于基础题．4.答案：A解析：本题考查二倍角的正切公式，以及同角三角函数的基本关系的灵活应用，属于中档题，将2sinα−cosα=√102两边平方后，利用同角三角函数的基本关系化简得关于tanα的方程，求出tanα的值代入二倍角的正切公式求出tan2α的值． 解：由题意得，2sinα−cosα=√102，两边平方得，4sin 2α−4sinαcosα+cos 2α=52， 即4sin 2α−4sinαcosα+cos 2αsin 2α+cos 2α=52，则4tan 2α−4tanα+1tan 2α+1=52，解得tanα=3或−13，所以tan2α=2tanα1−tan 2α=−34， 故选A ．5.答案：−345°解析：解：∵π rad =180°，∴两边同时乘以−2312，得−2312πrad =−345° 故答案为：−345°利用角的弧度数与角的度数之间的换算关系：π rad =180°，求出结果即可．本题考查利用角的弧度数与角的度数之间的互化，利用角的弧度数与角的度数之间的换算关系：π rad =180°．6.答案：①③解析：解：对于①，当x∈[1,+∞)时，0<1x≤1，故在[1,+∞)有一个宽度为1的通道，两条直线可取y=0，y=1；对于②，当x∈[1,+∞)时，−1≤sinx≤1，故在[1,+∞)不存在一个宽度为1的通道；对于③，当x∈[1,+∞)时，f(x)=√x2−1表示双曲线x2−y2=1在第一象限的部分，双曲线的渐近线为y=x，故可取另一直线为y=x−2，满足在[1,+∞)有一个宽度为√2的通道；对于④，当x∈[1,+∞)时，f(x)∈[2,+∞)，故在[1,+∞)不存在一个宽度为1的通道；故答案为：①③对于①，只需考虑反比例函数在[1,+∞)上的值域即可，对于②，要分别考虑函数的值域和图象性质，对于③，则需从函数图象入手，寻找符合条件的直线，对于④，考虑幂函数的图象和性质，才可做出正确判断本题主要考查了对新定义性质的理解和运用，熟知已知四个函数的图象和性质，是解决本题的关键，7.答案：134+3√2解析：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识的应用，考查了运算求解能力，考查了化归与转化思想，属于中档题．(1)利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得cosBsinC=sinBsinC，结合sinC≠0，可求tanB=1，结合范围B∈(0,π)，即可求得B的值，(2)由已知利用余弦定理可得BC，由已知及(Ⅰ)可知∠ABC=π4，利用三角形面积公式可求S△ABC，S△BDC，从而可求S四边形ABDC =13−12cosD4+3sinD=13+12√2sin(D−π4)4，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值．解：在△ABC中，∵a=b(sinC+cosC)，∴sinA=sinB(sinC+cosC)，∴sin(π−B−C)=sinB(sinC+cosC)，∴sin(B+C)=sinB(sinC+cosC)．∴sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC，∴cosBsinC=sinBsinC．又∵C ∈(0,π)，故sinC ≠0， ∴cosB =sinB ，即tanB =1. 又∵B ∈(0,π)， ∴B =π4.在△BCD 中，DB =3，DC =2，∴BC 2=22+32−2×3×2×cosD =13−12cosD ． 又A =π2，B =π4，∴△ABC 为等腰直角三角形， ∴S △ABC =14BC 2=13−12cosD4，又∵S △BDC =12×BD ×DC ×sinD =3sinD ， ∴S 四边形ABDC =13−12cosD4+3sinD =13+12√2sin(D−π4)4.∴当D =3π4时，四边形ABDC 的面积有最大值，最大值为134+3√2． 故答案为：134+3√2．8.答案：−2√23解析：解：∵sin(−α)=−sinα=13，α∈(−π2,π2)， ∴sinα=−13，cosα=√1−sin 2α=2√23，则cos(π+α)=−cosα=−2√23． 故答案为：−2√23由已知等式求出sinα，进而求出cosα的值，原式利用诱导公式化简即可求出值． 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．9.答案：[2,4)解析：解：令t =4x −x 2>0，求得0<x <4，故函数的定义域为(0,4)，且f(x)=g(t)=log 12t ， 故本题即求函数t 在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得t 在定义域内的减区间为[2,4)，故答案为：[2,4)．令t=4x−x2>0，求得函数的定义域为(0,4)，且f(x)=g(t)=log12t，本题即求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性值可得结论．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．10.答案：{x|π3+2kπ<x<2π3+2kπ}(k∈z)解析：解：∵sinπ3=√32，sin2π3=√32，∴由正弦函数的图象和性质可得：在一个周期内[0,2π]上，sinx>√32，可解得π3<x<2π3，∴可得：2kπ+π3<x<2kπ+2π3，k∈Z，故不等式的解集为{x|π3+2kπ<x<2π3+2kπ}(k∈z)故答案为：{x|π3+2kπ<x<2π3+2kπ}(k∈z)根据正弦函数的图象，找到√32所对应的正弦函数值，进而根据正弦函数的单调性求得x的范围，即不等式的解集．本题主要考查了正弦函数的图象．考查了学生对正弦函数单调性及数形结合的数学思想的运用，属于基本知识的考查．11.答案：0；0解析：解：∵函数f(x)=bx+2x+a为奇函数，∴f(−x)=−f(x)，即−bx+2−x+a =−bx+2x+a，即(x+a)(2−bx)=(bx+2)(x−a)，即−bx2+(2−ab)x+2a=bx2+(2−ab)x−2a，则−b=b且2a=−2a，解得a=0，b=0，故答案为：0，0根据函数奇偶性的定义和性质进行求解即可．本题主要考查函数奇偶性的应用，根据条件f(−x)=−f(x)，进行对比即可．12.答案：c >b >a解析：解：a =sin20°，b =tan30°，c =cos40°=sin50°， 且sin20°<tan20°<tan30°<sin45°<sin50°， ∴a <b <c ，即a ，b ，c 从大到小的顺序是c >b >a ． 故答案为：c >b >a ．根据同角的三角函数关系和正弦、正切函数的单调性，判断大小即可． 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．13.答案：5π6解析：解：由已知可得y =f(x)=∣∣∣sinx √3cosx1∣∣∣=sinx −√3cosx =2sin(x −π3)． 函数y =f(x)向左平移m(m >0)个单位长度后，所得函数解析式为y =2sin(x +m −π3). ∵所得到图象关于y 轴对称， ∴m −π3=π2+kπ，得m =5π6+kπ，k ∈Z ．当k =0时，m 的最小值是5π6． 故答案为：56π．由已知求得f(x)的解析式，再由函数的图象平移得到y =2sin(x +m −π3)，由所得到图象关于y 轴对称得m −π3=π2+kπ，取k =0得答案．本题考查y =Asin(ωx +φ)型函数的图象平移和性质，是基础题．14.答案：4√3+4解析：由正弦定理可得c =b⋅sinC sinB的值，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． ∵b =4，B =30°，C =45°， ∴由正弦定理：bsinB =csinC ， 可得：c =b⋅sinC sinB =4×√2212=4√2，∴S △ABC =12bcsinA =12×4×4√2×sin(180°−30°−45°)=8√2×√6+√24=4√3+4．故答案为：4√3+4．15.答案：2√2解析：解：∵cos(A +2C −B)+sin(B +C −A)=2，cos(A +2C −B)≤1，sin(B +C −A)≤1， ∴cos(A +2C −B)=1，sin(B +C −A)=1， ∵A ，B ，C ∈(0,π)，∴A +2C −B ∈(−π,3π)，B +C −A ∈(−π,2π)，∴由正弦函数，余弦函数的图象和性质可得：A +2C −B =0或2π，B +C −A =π2， ∴结合三角形内角和定理可得：{A +2C −B =0B +C −A =π2A +B +C =π①，或{A +2C −B =2πB +C −A =π2A +B +C =π②， 由①可得：A =π4，B =7π12，C =π6，由②可得：A =π4，B =−π12，C =5π6，(舍去)，∴由AB =2，利用正弦定理可得：2sin π6=BCsin π4，解得：BC =2√2． 故答案为：2√2．由cos(A +2C −B)+sin(B +C −A)=2，可得cos(A +2C −B)=1，sin(B +C −A)=1，由范围A ，B ，C ∈(0,π)，结合三角形内角和定理，三角函数的图象和性质可得：{A +2C −B =0B +C −A =π2A +B +C =π①，或{A +2C −B =2πB +C −A =π2A +B +C =π②，可解得A ，B ，C ，利用正弦定理可得BC 的值．本题主要考查了正弦定理，正弦函数，余弦函数的图象和性质，三角形内角和定理的综合应用，考查了转化思想和计算能力，利用三角函数的图象和性质求三角形的三个内角是解题的关键，属于中档题．16.答案：③⑥解析：【试题解析】解：根据题意，依次分析所给的函数：对于①y =x 3−2x ，其定义域为R ，有f(−x)=(−x)3−2(−x)=−(x 3−2x)=−f(x)，函数f(x)为奇函数；②y =x|x|，其定义域为R ，有f(−x)=(−x)|−x|=−x|x|=−f(x)，函数f(x)为奇函数； ③y =a x +a −x ，其定义域为R ，有f(−x)=a −x +a x =a x +a −x =f(x)，函数f(x)为偶函数，不是奇函数；④y =a x −a −x ，其定义域为R ，有f(−x)=a −x −a x =−(a x −a −x )=−f(x)，函数f(x)为奇函数； ⑤y =a x −1a x +1，其定义域为R ，有f(−x)=a −x −1a −x +1=1−a x a x +1=−a x −1a x +1=−f(x)，函数f(x)为奇函数；⑥y =a log a x ，其定义域为(0,+∞)，不是奇函数，⑦y =log a (√1+x 2+x).其定义域为R ，有f(−x)+f(x)=log a (√1+x 2−x)+log a (√1+x 2+x)=log a 1=0，即f(−x)=−f(x)，函数f(x)为奇函数； 其中③⑥不是奇函数； 故答案为：③⑥．根据题意，依次分析所给的函数是否是奇函数，综合即可得答案． 本题考查函数的奇偶性的判断，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．17.答案：(1)，(2)解析：试题分析：(1)因为是求角的大小，故用正弦定理把条件中的边化成角，可得，然后可求出的值，从而求出角的大小。
2020年上海交通大学第二附属中学高三数学文联考试题含解析
2020年上海交通大学第二附属中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知公差不为零的等差数列等于A．4 B．5 C．8 D．10参考答案：A由得，即。
所以，所以,选A.2. （2）设，则“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：A3. 若直线被圆所截得的弦长为,则实数的值为（）A．或 B．或 C．或D．或参考答案：【知识点】直线与圆的位置关系. H4【答案解析】D 解析：圆心的直线的距离d=，由垂径定理得解得a=-1或a=3，故选 D.【思路点拨】根据点到直线的距离及垂径定理求解.4. 在△ABC中，tan A是以-2为第三项，6为第七项的等差数列的公差，tan B是以为第二项，27为第七项的等比数列的公比，则这个三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．以上都不对参考答案：B，都是锐角。
故选：B5. 已知两个平面α，β和三条直线，若，且，，设和所成的一个二面角的大小为θ1，直线和平面β所成的角的大小为θ2，直线所成的角的大小为θ3，则A．θ1=θ2≥θ3 B．θ3≥θ1=θ2C．θ1≥θ3，θ2≥θ3 D．θ1≥θ2，θ3≥θ2参考答案：D6. (文科)某中学有学生3000人，其中高一、高三学生的人数是1200人、800人，为了解学生的视力情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个480人的样本，则样本中高一、高二学生的人数共有（）人。
A.288B.300C.320D.352参考答案：略7. 已知直线l：y=x+m与曲线y=有两个公共点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣1，1）C．[1，）D．（﹣，）参考答案：C【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】画出图象，当直线l经过点A，C时，求出m的值；当直线l与曲线相切时，求出m．即可．【解答】解：画出图象，当直线l经过点A，C时，m=1，此时直线l与曲线y=有两个公共点；当直线l与曲线相切时，m=．因此当时，直线l：y=x+m与曲线y=有两个公共点．故选C．8. 函数的零点个数是（）A．个 B．个 C．个D．个参考答案：A9. 已知集合A={﹣1，1，3}，B={1，a2﹣2a}，B?A，则实数a的不同取值个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【分析】根据题意，分析可得：若B?A，必有a2﹣2a=﹣1或a2﹣2a=3，分2种情况讨论可得答案．【解答】解：∵B?A，∴a2﹣2a=﹣1或a2﹣2a=3．①由a2﹣2a=﹣1得a2﹣2a+1=0，解得a=1．当a=1时，B={1，﹣1}，满足B?A．②由a2﹣2a=3得a2﹣2a﹣3=0，解得a=﹣1或3，当a=﹣1时，B={1，3}，满足B?A，当a=3时，B={1，3}，满足B?A．综上，若B?A，则a=±1或a=3．故选：B．【点评】本题考查集合间包含关系的运用，注意分情况讨论时，不要漏掉情况．10. 如图平行四边形ABCD中， =， =，F是CD的三等分点，E是BC中点，M是AB中点，MC∩EF=N，若=λ1+λ2，则λ1+λ2=（）A．B．1 C．D．﹣参考答案：A【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】使用不同方法用表示出，结合平面向量的基本道理列出方程解出．【解答】解： ==， =，设，，则， =，∵==+=（）+（），∴，解得．∴λ1+λ2==．故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若实数x，y满足x2+x+y2+y=0，则x+y的范围是．参考答案：[﹣2，0]【考点】圆的一般方程．【分析】将圆x2+x+y2+y=0，化为参数方程，进而根据正弦型函数的图象和性质，可得x+y 的范围．【解答】解：∵实数x，y满足x2+x+y2+y=0，∴（x+）2+（y+）2=，即2（x+）2+2（y+）2=1，令（x+）=cosθ，（y+）=sinθ，∴x=，y=，x+y==sin（）﹣1∈[﹣2，0]，故x+y的范围是[﹣2，0]，故答案为：[﹣2，0]【点评】本题考查的知识点是圆的方程，其中将一般方程化为参数方程，进而转化求三角函数的最值，是解答的关键．12. 在实数集上定义运算，并定义：若存在元素使得对，有，则称为上的零元，那么，实数集上的零元之值是参考答案：；根据“零元”的定义，，故13. 已知，且，则与夹角的取值范围是.参考答案：14. 已知函数为上的偶函数，当时，，则▲，▲ .参考答案：．，15. 用符号表示超过的最小整数，如，记．（1）若，则不等式的解集为；（2）若，则方程的实数解为．参考答案：。
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交大附中高三期中数学试卷一． 填空题1.计算矩阵的乘积：()300c ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____. 【答案】(3,)a ac【解析】【分析】直接利用矩阵的乘积公式求解即可. 【详解】由题得()3(30,0)(3,)00c a b a b a c b a ac ⎛⎫=+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 故答案为：(3,)a ac【点睛】本题主要考查矩阵的乘积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2.计算：012393n n n n n n C C C C ++++=_____.【答案】4n【解析】【分析】先把原式写成0011223333n n n n n n C C C C ++++，再利用二项式定理得解.【详解】由题得原式=0011223333(13)4n n n n n n n n C C C C ++++=+=. 故答案为：4n【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3.已知23sincos 22θθ+=，则sin θ=_____. 【答案】13【解析】【分析】 把等式23sin cos 22θθ+=两边同时平方化简即得解. 【详解】由题得221sin cos +2sin cos ,sin 2222343θθθθθ+=∴=.故答案为：13【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式的应用，考查同角的平方关系的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.若双曲线2214x y m-=的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为_____.【答案】【解析】【分析】由题得243,m +=解方程即得解.【详解】由题得20,43,5m m m >+=∴=.所以双曲线的虚轴长为故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5.在首项为21，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第________项 【答案】5【解析】【分析】先求出等比数列的通项，再列举出数列的前几项，比较即得解. 【详解】由题得等比数列的通项为112341212121=21(),21,,,,2248n n a a a a a -⨯∴==== 5621211.31,0.66,1632a a =≈=≈ 所以521 1.3116a =≈与1最接近. 所以最接近于1项是第5项.故答案为：5【点睛】本题主要考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6.如图，二面角l αβ--的大小是3π，线段AB ⊂α，B l ∈，AB 与l 所成的角为6π，则AB 与平面β所成的角是_____（用反三角函数表示）【答案】3arcsin【解析】【分析】 如图，过点A 作AO β⊥,垂足为O ,过点A 作AC l ⊥，垂足为C ,连接,OB OC ，证明3ACO π∠=，不妨设1,AC =根据已知求出32,,2AB AO ==求出3sin 4ABO ∠=即得解. 【详解】如图，过点A 作AO β⊥,垂足为O ,过点A 作AC l ⊥，垂足为C ,连接,OB OC . 因为AO β⊥，所以AO l ⊥，因为AC l ⊥，,AO AC ⊂平面AOC ,AO AC A ⋂=,所以l ⊥平面AOC ，所以l OC ⊥,所以ACO ∠就是二面角l αβ--的平面角，所以3ACO π∠=. 由题得6ABC π∠=,不妨设31,2,,2AC AB AO =∴== 由题得AB 与平面β所成的角是ABO ∠,所以2sin 24ABO ∠==.所以arcsin 4ABO ∠=.故答案为：arcsin 4【点睛】本题主要考查空间二面角的平面角的作法和计算，考查空间直线和平面所成的角的作法和计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )b A B +-=()sin c b C -，则△ABC 面积的最大值为_____.【解析】【分析】由正弦定理化简已知可得222a b c bc -=-，结合余弦定理可求A 的值，由基本不等式可求4bc ，再利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】因为(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-(2)()()b a b c b c ∴+-=-2222a b ab b c bc ∴-+-=-，又因为2a =， 所以2222222221,,cos ,223b c a a b c bc b c a bc A A bc π+--=-∴+-=∴==∴=，ABC ∆面积1sin 24S bc A ==， 而222b c a bc +-=222b c bc a ∴+-=2242b c bc bc bc ∴+-=≥-4bc ∴所以1sin 32S bc A ==，即ABC ∆．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式和三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．8.已知函数()lg(1)f x x =+，()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()g x =()f x ，则函数()y g x = ([1,2]x ∈)的反函数是y =_____.【答案】310([0,lg 2])x x -∈【解析】【分析】先根据偶函数性质求出[1x ∈-，0]上的解析式，再根据周期为2求出[1x ∈，2]上的解析式，最后求出反函数．【详解】当10x -时，01x -，()()(1)f x f x lg x ∴=-=-+，当12x 时，120x --，()(2)[(2)1](3)f x f x lg x lg x ∴=-=--+=-+．()(3)(12)g x lg x x ∴=-+，()310g x x ∴-+=，()310g x x ∴=-，所以1()310x g x -=-，()(3)(12)g x lg x x =-+是减函数，()[0,lg 2]g x ∈所以1()310x g x -=-，(02)x lg .故答案为：310([0,lg 2])x x -∈【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查根据函数的奇偶性周期性求解析式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知()y f x =是定义在R 上的函数，方程(2019)(2020-)0f x f x +⨯=恰好有7个解，则这7个解的和为_____.【答案】3.5【解析】【分析】先分析出原方程的两根应满足(1)1αα+-=，再得到原方程的这7个根为11,,1,,1,2ααββγλ---，,即得解.【详解】若α满足(2019)0f α+=，则取1x α=-，则(2020)(2019)0f x f α-=+=，则1α-也是原方程的一根. 所以原方程的两根应满足(1)1αα+-=，既然有7个根，所以应有一根满足1(1),2ααα=-∴=. 所以这7个根为11,,1,,1,2ααββγγ---，, 所以它们的和为13+=3.52. 故答案为：3.5 【点睛】本题主要考查方程的零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.设0.ab ••是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中a 和b 分别为10以内的非负整数，且a b ，0b ≠，若集合••1{|0.,}A n ab n n *==∈N ，则A 中所有元素的和为_____. 【答案】143【解析】【分析】由无限循环小数可写成等比数列的无穷项和，可得分数形式，再由列举法可得集合A ，求和可得所求．【详解】0.ab 是一个循环节长度为两位的循环纯小数，即0.0.ab =0.100.001991100ab a b ab ab ⨯+++⋯==-， 1{|0.A n ab n==，*110}{|99a b n N n n +∈==，*}n N ∈， a 和b 分别为10以内的非负整数，且a b ，0b ≠， 可得0a =，1b =，99n =；0a =，3b =，33n =；0a =，9b =，11n =； 0a ≠时，不存在满足题意的n ，则A 中所有元素的和为993311143++=．故答案为：143【点睛】本题考查无限循环小数化为分数的方法和集合中元素的求法，注意运用列举法，考查化简运算能力，属于基础题．11.已知数列{}n a 满足1312n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数（*n ∈N ），127k a =⋅（k 是一个已知的正整数），若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p =_____.【答案】1【解析】【分析】先分析出当1k =时，当2k =时，得1p =，再说明127k a =⋅时，17k a +=，222,k a +=列举出该数列，即得解.【详解】由题得127k a =⋅是一个偶数， 所以112272722k k a a -===， 当1k =时，234567897,22,11,34,17,52,26,13,a a a a a a a a ========101112131415161718192040,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,a a a a a a a a a a a =========== 211,a =，所以1p =； 当2k ≥时，1227k a -=是偶数， 所以223272k a a -==， 当2k =时，同理可得1p =；； 所以127k a =⋅时，17k a +=，222,k a +=所以从第1k +项起的数列为7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1, 所以1p =.故答案为：1【点睛】本题主要考查递推数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xy x y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________ 【答案】1.4【解析】【分析】根据等式两边范围确定,x y 满足条件，再根据二次函数性质求xy 的最小值.【详解】∵()()()2221122cos 11x y xy x y x y ++--+-=-+，∴10x y -+＞， ()()()()2221121111111x y xy x y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+()1121x y x y ∴-++≥=-+, 当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥，当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xy x y x y x y ，即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈，即()12k x y k Z π+==∈， 因此21124k xy π+⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭（当且仅当0k =时取等号）， 从而xy 的最小值为1.4【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.二． 选择题13.已知函数()y f x =是R 上的增函数，则对任意12,x x ∈R ，“12x x <”是“12()()f x f x <”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 非充分非必要【答案】C【解析】【分析】先证明充分性，再证明必要性，即得解.【详解】当12x x <时，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以12()()f x f x <，所以“12x x <”是“12()()f x f x <”的充分条件；当12()()f x f x <时，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以12x x <，所以所以“12x x <”是“12()()f x f x <”的必要条件.综合得“12x x <”是“12()()f x f x <”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，考查函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14.已知11z ≠-，111i 1z b z -=+（b ∈R ），2141(+1)z z =-，则z 对应的点在（ ） A. 圆上B. 抛物线上C. 双曲线上D. 椭圆上 【答案】B【解析】【分析】 先求出214+1bi z b z =-，再求出12221+1bi z b+=+，代入得22z b bi =--，设,z x yi =+即得解. 【详解】由题得22111111122211111123(23)31341(+1)(+1)(+1)+1+1+1z z z z z z z z bi z z z z z z --+-+-+-+=-===-=-⋅211111444()+1+1+1z bi bi bi bi b z z z -+=-⋅=--⋅=-. 所以214+1bi z b z =- 因为111i 1z b z -=+，所以21112121i(1),1b bi z b z z b-+-=+∴=+. 所以12221+1bi z b+=+，代入214+1bi z b z =-得22z b bi =--. 设2,(,),,2z x yi x y R x b y b =+∈∴=-=-，消去b 得24y x =-.所以z 对应的点在抛物线上.故选：B【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.15.在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足2OA OB OA OB ==⋅=，由点集{P |OP ＝λOA ＋μOB ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )A. B. C. 2 D. 43【答案】D【解析】 由2OA OB OA OB ==⋅=知： 21cos ,,,2223OA OBOA OB OA OB OA OB π⋅===∴=⨯⨯. 不妨设()()()2,0,1,3,,OA OB OP x y ===，则：2x y λμ=+⎧⎪⎨=⎪⎩. 解得312x μλ⎧=⎪⎪⎨⎛⎪= ⎪⎝⎩由|λ|＋|μ|≤1得3223x y y -+≤.作出可行域，如图所示．则所求面积1243432S =⨯⨯⨯=. 本题选择D 选项.16.已知1a ，{}234,,1,2,3,4a a a ∈，()1234,,,N a a a a 为1234,,,a a a a 中不同数字的种类，如(1123)3N ，，，，=(1221)2N =，，，，求所有的256个()1234,,,a a a a 的排列所得的()1234,,,N a a a a 的平均值为（ ）A.8732B.114C.17764D.17564【答案】D 【解析】 【分析】本题首先可以确定()1234,,,N a a a a 的所有可能取值分别为1234、、、，然后分别计算出每一种取值所对应的概率，最后根据每一种取值所对应的概率即可计算出()1234,,,N a a a a 的平均值．【详解】由题意可知：当()1234,,,1N a a a a =时，14114464P =⨯=； 当()1234,,,2N a a a a =时，()1214442468421425664C C C P ⨯++===；当()1234,,,3N a a a a =时，()34436+3+31449425616P ⨯===；当()1234,,,4N a a a a =时，4444243==425632A P =，综上所述，所有的256个()1234,,,a a a a 的排列所得的()1234,,,N a a a a 的平均值为：121931751+2+3+4=6464163264⨯⨯⨯⨯，故选D ． 【点睛】本题考查了平均值的计算，能否通过题意得出()1234,,,N a a a a 的所有可能情况并计算出每一种可能情况所对应的概率是解决本题的关键，考查推理能力与计算能力，是难题． 三． 解答题17.如图所示，用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒．（1）求该圆锥的表面积S 和体积V ；（2）求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d ． 【答案】（1）=50S π厘米，12533V π=立方厘米；（2）53h =厘米． 【解析】 【分析】（1）设底面半径为r 厘米，母线的长为l 厘米，求出圆锥的高，利用公式即可求出该圆锥的表面积S 和体积V ；（2）根据圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米即可求出最高点到桌面的距离d ． 【详解】（1）设底面半径为r 厘米，母线的长为l 厘米，则10l =厘米，且r l 2π=π， 解得：=5r 厘米，表面积=50S rl ππ=（平方厘米）， 圆锥的高2253h l r =-=（厘米）， ∴体积21125333V r h ππ==（立方厘米）． （2）∵圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米，∴最高点到底面的距离为等边三角形的高，53h =厘米．【点睛】本题主要考查圆锥的表面积和体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知函数()sin()f x A x b ωϕ=++（0A >，，2πϕ<）的图象如下图所示（1）求出函数()f x 的解析式； （2）若将函数()f x 的图象向右移动3π个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的14（纵坐标不变）得到函数()y g x =的图象，求出函数()y g x =的单调增区间及对称中心. 【答案】（1）1()4sin()223f x x π=++；（2）[,],36k k k Z ππππ-+∈，(,2),212k k Z ππ-∈.【解析】 【分析】（1）通过函数的图象求出振幅，周期，以及b ．求出函数f （x ）的解析式；（2）利用平移变换的运算求出函数y ＝g （x ）的解析式，通过正弦函数的单调增区间求解函数单调增区间及对称中心．【详解】（1） 6422A b A A b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-+=-=⎩⎩由图可得212422T T πππωω=⇒==⇒= 且()62,362f k k Z πππϕπ=⇒+=+∈而2πϕ<,故3πϕ=综上1()4sin()223f x x π=++（2）显然()4sin(2)26g x x π=++ 由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得()g x 的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈.. 由2,(,2),6212k x k k Z k Z ππππ+=∈⇒-∈. 【点睛】本题考查三角函数的解析式的求法，平移变换以及正弦函数的单调区间，对称中心的求法，考查计算能力．19.若函数()y f x =满足“存在正数λ，使得对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在2x ，使12()()f x f x λ=成立”，则称该函数为“依附函数”．（1）分别判断函数①()2x f x =，②2()log g x x =是否为“依附函数”，并说明理由； （2）若函数()y h x =的值域为[,]m n ，求证：“()y h x =是‘依附函数’”的充要条件是“0[,]m n ∉”．【答案】（1）①是，②不是；理由详见解析（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）①可取1λ=，说明函数()2x f x =是“依附函数”； ②对于任意正数λ，取11x =，此时关于2x 的方程12()()g x g x λ=无解，说明2()log g x x =不是“依附函数”；（2）先证明必要性，再证明充分性，即得证.【详解】（1）①可取1λ=，则对任意1x ∈R ，存在21x x =-∈R ，使得12221x x ⋅=成立， （说明：可取任意正数λ，则221log x x λ=-） ∴()2x f x =是“依附函数”，②对于任意正数λ，取11x =，则1()0g x =，此时关于2x 的方程12()()g x g x λ=无解，∴2()log g x x =不是“依附函数”． （2）必要性：（反证法）假设0[,]m n ∈，∵()y h x =的值域为[,]m n ，∴存在定义域内的1x ，使得1()0h x =， ∴对任意正数λ，关于2x 的方程12()()h x h x λ=无解， 即()y h x =不是依附函数，矛盾， 充分性：假设0[,]m n ∉，取0mn λ=>，则对定义域内的每一个值1x ，由1()[,]h x m n ∈，可得1[,][,]()m n h x n mλλλ∈=， 而()y h x =的值域为[,]m n ， ∴存在定义域内的2x ，使得21()()h x h x λ=，即12()()h x h x λ=成立，∴()y h x =是“依附函数”．【点睛】本题主要考查函数的新定义，考查充分必要条件的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.如图，已知点P 是x 轴下方（不含x 轴）一点，抛物线2:C y x =上存在不同的两点A 、B满足PD DA λ=，PE EB λ=，其中λ为常数，且D 、E 两点均在C 上，弦AB 的中点为M ．（1）若P 点坐标为(1,2)-，3λ=时，求弦AB 所在的直线方程；（2）在（1）的条件下，如果过A 点的直线1l 与抛物线C 只有一个交点，过B 点的直线2l 与抛物线C 也只有一个交点，求证：若1l 和2l 的斜率都存在，则1l 与2l 的交点N 在直线PM 上；（3）若直线PM 交抛物线C 于点Q ，求证：线段PQ 与QM 的比为定值，并求出该定值． 【答案】（1）230x y -+=；（2）详见解析；（3）证明详见解析，定值为1+λλ． 【解析】 【分析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，得到211230x x --=和222230x x --=，即得,A B 的坐标，即得弦AB 所在的直线方程；（2）先求出1:690l x y --=，2:210l x y ++=，再求出交点(1,3)N -，即得证；（3）先求出直线PM 的方程为0x x =，得到200(12)(1)M x y y λλλ+-+=，20Q y x =，即得线段PQ 与QM 的比. 【详解】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由3PD DA =，3PE EB =，可得111323(,)44x y D +-+，221323(,)44x y E +-+， 由D 点在C 上可得：2112313()44y x -++=，化简得：211230x x --=，同理可得：222230x x --=，∵A 、B 两点不同，不妨设(3,9)A ，(1,1)B -， ∴弦AB 所在的直线方程为230x y -+=．（2）由（1）可知，(3,9)A ，(1,1)B -，设11:9(3)l y k x -=-，与2:C y x =联立，并令0∆=，可得16k =，同理2l 的斜率22k =-，∴1:690l x y --=，2:210l x y ++=，解方程组得交点(1,3)N -，而直线PM 的方程为1x =，得证．（3）设00(,)P x y ，211(,)A x x ，222(,)B x x ，由PD DA λ=，得20101(,)11x x y x D λλλλ++++，代入2yx ，化简得：22101002(1)0x x x y x λλλ-++-=，同理可得：22202002(1)0x x x y x λλλ-++-=，显然12x x ≠，∴1x 、2x 是方程220002(1)0x x x y x λλλ-++-=的两个不同的根，∴1202x x x +=，20012(1)y x x x λλ+-⋅=，∴1202M x x x x +==，即直线PM 的方程为0x x =， ∵2220012(12)(1)2M x y x x y λλλ+-++==，20Q y x =， ∴200(1)(1)M Q x y y y λλλ+-+-=，200Q P y y x y -=-，所以线段PQ 与QM 的比为200200(1)(1)1Q PM Q y y x y y x y y λλλλλ-==+-+--+∴线段PQ 与QM 的比为定值1λλ+．【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线方程的求法，考查抛物线的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.设{}n a 是公差不为零的等差数列，满足6713a a a +=，2224967a a a a +=+，设正项数列{}n b 的前n 项和为n S ，且423n n S b +=． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1b 、11x 、2b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数21x 、22x ，使2b 、21x 、22x 、3b 成等差数列；⋅⋅⋅；在n b 和1n b +之间插入n 个数1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x ，使n b 、1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x 、1n b +成等差数列． ① 求11212212n n n nn T x x x x x x =+++++++；② 对于①中的n T ，是否存在正整数m 、n ，使得12m n ma T a +=成立？若存在，求出所有的正整数对(,)m n ；若不存在，请说明理由．【答案】（1）n a n =，1123n n b -=⋅；（2）①123(3)43nnn T +=-；②存在符合题意的正整数对(,)m n ，它们为(3,3)和(9,2)．【解析】 【分析】（1）求出等差数列的首项和公差即得数列{}n a 的通项公式，由题得当2n ≥时，423n n S b +=，11423n n S b --+=，相减即得{}n b 的通项公式；（2）①1223112()()()222n n n nT b b b b b b +=++++++，再利用错位相减法求和得解；②假设存在正整数,m n ，使得12m n m a T a +=，化简得2(23)23(23)nn m n +=+-+，令()33(23)n f n n =-+，证明4n ≥时，2(23)3(23)n n n +∉-+Z ，列举得解.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为()d d ≠0，则由6713a a a +=可得1a d =，再由2224967a a a a +=+化简得：244d d =，解得：1d =，∴n a n =，当1n =时，11423S b +=得：112b =；当2n ≥时，423n n S b +=，11423n n S b --+=， 两式相减得113n n b b -=，∴1123n n b -=⋅．（2）①1223112()()()222n n n nT b b b b b b +=++++++，123121113521[35(21)][1]243333n n n n n nb b b n b nb +--=++++-+=+++++， 设2135211333n n P --=++++，所以2311352133333nn P -=++++， 上面两式错位相减得23122222211++333333n n n P --=+++-， 所以1111[1()]2211211331+22()=2()(22)13333313n n n n n n n P n -----=⨯-=---⨯+- 所以13313=333n n n n P -++=--，∴123(3)43n n n T +=-． ②假设存在正整数,m n ，使得12m n ma T a +=， 代入化简得23(23)3n nn m -+=，即2(23)23(23)n n m n +=+-+， 令()33(23)n f n n =-+，则由(1)()2(33)0n f n f n +-=-≥可得：(1)(2)(3)(4)()f f f f f n =<<<<<．当4n ≥时，()(4)480f n f ≥=>，∴3(23)2(23)nn n -+>+，即2(23)3(23)nn n +∉-+Z ，舍去； 当1n =时，3m =-，舍去； 当2n =时，9m =，符合题意； 当3n =时，3m =，符合题意；综上：存在符合题意的正整数对(,)m n ，它们为(3,3)和(9,2)．【点睛】本题主要考查数列通项的求法和数列求和，考查数列的存在性问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。