2020-2021学年上海交大附中高三(上)期末数学试卷(一模)
专题07 数列(习题)-2021届沪教版高考数学一轮复习(上海专用)
2021届高考数学一轮复习 专题07 数列一、填空题1．（2020·上海高三其他）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =，则249a a a ++= ________．【答案】24 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则，∴148a d +=． ∴．故答案为24．2．（2020·上海高三其他）设无穷等比数列n a 的公比为q ，首项10a >，则公比q 的取值范围是________． 【答案】 【解析】 因为21231lim()211n n a a qa a a a q q→∞•+++==>--，又10a >且01q <<， 解得2,13q ⎛⎫∈⎪⎝⎭． 3．（2017·上海闵行高三一模）已知数列的前n 项和为，则此数列的通项公式为___________． 【答案】 【解析】当1n =时,11211a S ==-=,当2n ≥时,()11121212n n n n n n a S S ---=-=---=,又1121-=,所以12n n a .故答案为:12n na .4．（2020·宝山上海交大附中高三其他）若n a 是()()*2,2,nx n N n x R +∈≥∈展开式中2x 项的系数，则 ． 【答案】8 【解析】 由题意，，∴88n =-，∴23232228lim()lim(8)8n n n n a a a n →∞→∞++⋅⋅⋅+=-=．5．（2020·上海高三其他）已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________. 【答案】(－3，＋∞) 【解析】因为数列{a n }是单调递增数列， 所以a n ＋1－a n >0 (n ∈N *)恒成立．又a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)，所以(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )>0恒成立，即2n ＋1＋λ>0.所以λ>－(2n ＋1) (n ∈N *)恒成立．而n ∈N *时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)，所以λ的取值范围为(－3，＋∞)．6．（2020·上海嘉定高三二模）设各项均为正数的等比数列的前n 项和为，则6S =______． 【答案】63. 【解析】 由，得()661126312S -⇒==-．故答案为: 637．（2020·上海普陀高三二模）设n S 是等差数列的前n 项和（n *∈N ）若86286S S -=-，则2lim 2→∞=nn S n ______.【答案】12-【解析】∵数列{}n a 是等差数列，21()22n d dS n a n ∴=+-（其中d 是公差），，∵86286S S -=-， (86)22d∴-=-，2d =-． 即 21(1)n S n a n =-++，．故答案为：12-8．（2020·上海高三其他）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有01011012n na n S -=-，则1a =___ 【答案】1- 【解析】由011101011(2)1021212n n n n n na a a S n n S nn S -=-=++=---，令1n =，得11(2)10a a ++=，解得11a =-。
上海交通大学附属中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题
交大附中高一期末数学试卷2022.01一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1. 函数1sin 22y x =的最小正周期T =__________； 【答案】π 【解析】【详解】分析：直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可 详解：由三角函数的周期公式可知： 函数122y sin x =的最小正周期22T ππ== 故答案为π点睛：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题． 2. 已知函数()22f x ax x =+是奇函数，则实数a =______．【答案】0 【解析】【分析】由奇函数定义入手得到关于变量的恒等式后，比较系数可得所求结果． 【详解】∵函数()f x 为奇函数， ∴()()f x f x -=-， 即2222ax x ax x -=--， 整理得20ax =在R 上恒成立， ∴0a =． 故答案为0．【点睛】本题考查奇函数定义，解题时根据奇函数的定义得到恒等式是解题的关键．另外，取特殊值求解也是解决此类问题的良好方法，属于基础题． 3. 若集合{}2A x x =<，101B xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，则A B =______．【答案】{}12x x -<<## ()1,2- 【解析】【分析】求解绝对值不等式解得集合A ，求解分式不等式求得集合B ，再求交集即可. 【详解】因为{}2A x x =<{|22}x x =-<<，101B xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭{}1x x =-，故可得A B ={|12}x x -<<.故答案：{}12x x -<<.4. 方程()lg 21lg 1x x ++=的解为______. 【答案】2. 【解析】 【分析】由对数的运算性质可转化条件为()21100210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩，即可得解.【详解】方程()lg 21lg 1x x ++=等价于()lg 2110210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩，所以()21100210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩，解得2x =.故答案为：2.【点睛】本题考查了对数方程的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.5. 设函数21(0)()2(0)x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩，那么1(10)f -=_____【答案】3 【解析】 【分析】欲求1(10)f-,根据原函数的反函数为1()f x -知,只要求满足于()10f x =的值即可,故只解方程()10f x =即得.【详解】解答：令()10f t =,则1(10)t f -=,当0t <有2105t t =⇒=不合,当0t ≥有21103t t +=⇒=±,3t =-（舍去） 那么1(10)3f-=故答案为3【点睛】本题主要考查了反函数,一般地,设函数()()y f x x A =∈的值域是C ,根据这个函数中,x y 的关系,用y 把x 表示出,得到()x f y =.6. 若集合{}3cos23,xA x x x R π==∈，{}21,B y y y R ==∈，则A B ⋂=_______．【答案】{}1 【解析】【分析】易知{}1,1B =-，分别验证1,1-和集合A 的关系即可得结果. 【详解】因为{}{}21,1,1B y y y R ==∈=-，13cos 23π=，()13cos 23π--≠，即1A ∈，1A -∉，所以{}1A B ⋂=， 故答案为：{}1.7. 幂函数y x α=，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点(1,0)(0,1)A B 、，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数12y x y x αα==、的图像三等分，即有BM MN NA ==．那么12αα=_______．【答案】1 【解析】【分析】求出,M N 的坐标，不妨设1y x =α，2y x =α，分别过12(,)33M ，21(,)33N ，分别代入点的坐标，变形可解得结果.【详解】因为(1,0)A ，(0,1)B ，BM MN NA ==， 所以12(,)33M ，21(,)33N ，不妨设1y x =α，2y x =α，分别过12(,)33M ，21(,)33N ，则12133⎛⎫= ⎪⎝⎭α，21233⎛⎫= ⎪⎝⎭α，则112212333⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα1223⎛⎫= ⎪⎝⎭αα，所以121=αα． 故答案为：18. 已知函数()()1201x f x a a a +=->≠，，的图象不经过第四象限，则a 的取值范围为__________． 【答案】[2,)+∞. 【解析】 【分析】根据01a <<和1a >两种情况讨论，令()0f x ≥，得出不等式，即可求解.【详解】当01a <<时，令()0f x ≥，可得20a -≥，此时不等式的解集为空集，（舍去）；当1a >时，令()0f x ≥，可得20a -≥，即2a ≥，即实数a 的取值范围[2,)+∞， 综上可得，实数a 的取值范围[2,)+∞. 故答案为：[2,)+∞.9. 已知函数()sin cos f x a x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，则实数a 的值为_________． 【答案】-2 【解析】【分析】根据函数()sin cos f x a x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，分()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，递减和不单调，利用三角函数的性质求解. 【详解】因为函数()sin cos f x a x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，所以当()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增时，()f x 的最小值为(0)12f =≠-，不成立； 当()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减时，()f x 的最小值为()22f a π==- ， 此时()()2sin cos 5,04f x x x x πϕϕ⎛⎫=-+=--<< ⎪⎝⎭， 因为 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则,22x ππϕ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，而sin y x =在 ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，成立； 当()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调时，()2()sin cos 1sin ϕ=+=++f x a x x a x ， 令212a -+=-，解得 3a =3a =当 3a =()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以 2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以 min ()1f x =，不成立；当3a = ()2sin 6f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，因为 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以 ,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，min ()3f x =-，不成立；故实数a 的值为-2， 故答案为：-210. 给出四个命题：①存在实数α，使sin cos 1αα=；②存在实数α，使3sin cos 2αα+=；③5sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数；④8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程；⑤若αβ、是第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>． 其中所有正确命题的序号是_____________． 【答案】③④ 【解析】【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；利用特殊值法可判断⑤的正误.【详解】对于命题①，111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，所以，不存在实数α使得sin cos 1αα=，①错误；对于命题②，sin cos 22,24πααα⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，所以，不存在实数α使得3sin cos 2αα+=，②错误； 对于命题③，si o 5s 2n c 2i s n 222x y x x ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝-⎭-⎭=⎝，因为()cos 2cos2x x -=， 所以函数5sin 22y x π⎛⎫⎪⎝=⎭-是偶函数，③正确；对于命题④，当8x π=时，min 53sin 2sin 1842y y πππ⎛⎫=⨯+==-= ⎪⎝⎭， 所以，8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程，命题④正确；对于命题⑤，取9244παππ=+=，4πβ=，αβ>，但2sin sin 2==αβ，⑤错误.因此，正确命题的序号为③④. 故答案为：③④.11. 某同学向王老师请教一题：若不等式4ln 1x x e a x x --≥+对任意()1,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．王老师告诉该同学：“1x e x ≥+恒成立，当且仅当0x =时取等号，且()4ln g x x x =-在()1,+∞有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中a 的取值范围是__________． 【答案】(],4-∞- 【解析】 【分析】由参变量分离法可得出41ln x x e x a x---≤，利用已知条件求出函数41ln x x e x y x ---=在()1,+∞上的最小值，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】1x >，ln 0x ∴>，由4ln 1x x e a x x --≥+可得44ln 11ln ln x x x x e x e x a x x------≤=， 由于不等式1x e x ≥+恒成立，当且仅当0x =时取等号，且存在01x >，使得()0004ln 0g x x x =-=，所以，()4ln 4ln 1114ln ln x x x x x e x x x--+----≥=-，当且仅当0x x =时，等号成立，4a ∴≤-.因此，实数a取值范围是(],4-∞-.故答案为：(],4-∞-.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.12. 设二次函数()()22,f x mx x n m n =-+∈R ，若函数()f x 的值域为[)0,∞+，且()12f ≤，则222211m n n m +++的取值范围为___________. 【答案】[1,13] 【解析】【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m 与n 的关系，化简222211m n n m +++后利用不等式即可求出其范围.【详解】二次函数f (x )对称轴为1x m=， ∵f (x )值域为[]0,∞+，∴0m >且21121001f m n n mn m m mm ⎛⎫⎛⎫=⇒⋅-+=⇒=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n ＞0.()12224f m n m n ≤⇒-+≤⇒+≤，∵()()()()2222224422222222221111111m m n n m n m n m n n m m n m n m n +++++++==+++++++ =()22222222222m n m n m n m n +-++++=()()222222222m n mn m n +++-++=()()222222212mn m n m n +++-++=221mn +-∴221211m n mn +-≥-=，22221()34313m n m n +-=+-≤-=，∴222211m n n m +++∈[1,13]. 故答案为：[1,13].二、选择题（本大题共4题，满分20分）13. 一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是（ ）弧度 A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】【分析】结合扇形面积公式及弧长公式可求l ，r ，然后结合扇形圆心角公式可求.【详解】设扇形半径r ，弧长l ，则24 112l r lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1r =，2l =， 所以圆心角为 2lr=， 故选：A.14. 对于函数f （x ）=asinx+bx+c(其中，a,b ∈R,c ∈Z),选取a,b,c 的一组值计算f （1）和f （-1），所得出的正确结果一定不可能是 A. 4和6 B. 3和1C. 2和4D. 1和2【答案】D 【解析】【详解】试题分析：求出f （1）和f （﹣1），求出它们的和；由于c和Z ，判断出f （1）+f （﹣1）为偶数．解：f （1）=asin1+b+c 和 f （﹣1）=﹣asin1﹣b+c 和 和+和得：f （1）+f （﹣1）=2c 和c和Z和f （1）+f （﹣1）是偶数 故选D考点：函数的值．15. 设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 A. 当0a <时，12120,0x x y y +<+> B. 当0a <时，12120,0x x y y +>+< C. 当0a >时，12120,0x x y y +<+< D. 当0a >时，12120,0x x y y +>+> 【答案】B 【解析】【详解】令()()f x g x =,可得21ax b x =+． 设21(),F x y ax b x ==+ 根据题意()F x 与直线y ax b =+只有两个交点， 不妨设12x x <，结合图形可知，当0a >时如右图，y ax b =+与()F x 左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，根据对称性可得12||>x x ，即120->>x x ，此时120x x +<，21122111,0y y y y x x =>=-∴+>-， 同理可得，当0a <时如左图，120x x +>，120y y +< 故选：B ．【点睛】本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论思想，函数与方程思想等，难度较大，不易入手,具有很强的区分度. 16. 设函数3()22,||1xxf x x x -=-+∈+R ，对于实数a ､b ，给出以下命题：命题1:0p a b +；命题22:0p a b -；命题:()()0q f a f b +.下列选项中正确的是（ ）A. 12p p ､中仅1p 是q 的充分条件B. 12p p ､中仅2p 是q 的充分条件C. 12p p ､都不是q 的充分条件D. 12p p ､都是q 的充分条件 【答案】D 【解析】【分析】令3()()(),()=22(),||,1x xf xg xh x g x h x x x -=+-=∈+R ，g (x )是奇函数，在R 上单调递增，h (x )是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h (x )＞0，根据这些信息即可判断.【详解】令3()()(),()=22(),||,1x xf xg xh x g x h x x x -=+-=∈+R ，g (x )是奇函数，在R 上单调递增，h (x )是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h (x )＞0.()()0()()f a f b f a f b +≥⇒≥-，即g (a )＋h (a )≥－g (b )－h (b )， 即g (a )＋h (a )≥g (－b )＋[－h (b )]，①当a ＋b ≥0时，a ≥－b ，故g (a )≥g (－b )，又h (x )＞0，故h (a )＞－h (b )，∴此时()()0f a f b +，即1p 是q 的充分条件；②当220a b a b ≥-⇒≥时，a ≥0，a b a ≤≤a b a -≤-≤(i)当a ≥1时，a a b ≤a ，故g (a )≥g (－b )；此时，h (a )＞0，－h (b )＜0，∴h (a )＞－h (b )，∴()()0f a f b +成立； (ii)当a ＝0时，b ＝0，f (0)＋f (0)＝6≥0成立，即()()0f a f b +成立； (iii)∵g (x )在R 上单调递增，h (x )在(－∞，0)单调递增， ∴()()()f x g x h x =+在(－∞，0)单调递增， ∵f (－1)＝0，∴f (x )＞0在(－1，0)上恒成立；又∵x ≥0时，g (x )≥0，h (x )＞0，∴f (x )＞0在[0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )＞0在(－1，＋∞)恒成立，故当0＜a ＜1时，a a ＜1，11a b a -<≤≤，∴f (a )＞0，f (b )＞0， ∴()()0f a f b +成立.综上所述，20a b -时，均有()()0f a f b +成立，∴2p 是q 的充分条件. 故选：D.【点睛】本题的关键是将函数f (x )拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考察对函数基本性质的掌握与熟练运用.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 已知函数()1ln 1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆. 和1）求实数a取值范围；和2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数. 【答案】和1和[1,0]- ;和2和见解析. 【解析】【详解】试题分析和和1和由对数的真数大于0，可得集合A ，再由集合的包含关系，可得a的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得()f x 的定义域，计算()f x -与()f x 比较，即可得到所求结论． 试题解析和和1）令101xx+>-，解得11x -<<和所以()1,1A =-和 因为B A ⊆，所以111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10a -≤≤和即实数a 的取值范围是[]1,0-和2和函数()f x 的定义域()1,1A =-，定义域关于原点对称()()()1ln 1x f x x ---=+- ()1111ln ln ln 111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭而1ln32f ⎛⎫=⎪⎝⎭和11ln 23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数.18. 如图，在半径为20cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上．和1和①设BOC θ∠=，矩形ABCD 的面积为()S g θ=，求()g θ表达式，并写出θ的范围：②设(cm)BC x =，矩形ABCD 的面积为()S f x =，求()f x 表达式，并写出x 的范围： 和2和怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积． 【答案】（1）①400s ()in 2g θθ=()2cm，π02θ<<；②24()200x g x θ=-()2cm ，020x <<.（2）当截取202cm AB =，102BC =cm 时能使截得矩形ABCD 的面积最大，最大面积为4002cm 【解析】【分析】（1）①用BOC θ∠=和半径表达出边,AB BC ，进而表达出面积并写出θ的取值范围，②用(cm)BC x =表达出222400AB OB x ==-x 的取值范围；（2）利用三角函数的有界性求面积最大值.【小问1详解】①连接OC ，则20OC =cm ，sin 20sin BC OC θθ=⋅=cm ，cos 20cos OB OC θθ=⋅=cm ，则40cos AB θ=cm ，则800sin cos 400)2(sin g AB BC θθθθ⋅===()2cm ，π02θ<<.②连接OC ，则20OC =cm ，由勾股定理得：2400OB x =- cm ，222400AB OB x ==-cm ，则20()240AB BC x x g θ⋅==-()2cm ，020x <<，【小问2详解】由（1）知：400s ()in 2g θθ=，π02θ<<，所以()20,πθ∈，当π22θ=，即π4θ=时，400s ()in 2g θθ=取得最大值，最大值为4002cm ，此时π40cos202cm 4AB ==，π20sin1024BC ==cm ，所以当截取202cm AB =，102BC =cm 时能使截得的矩形ABCD 的面积最大，最大面积为4002cm19. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：()e e sinh 2x xx --=，双曲余弦函数：()e e cosh 2x xx -+=．（e 是自然对数的底数，e 2.71828=）．和1和解方程：()cosh 2x =；和2和类比两角和的正弦公式，写出两角和的双曲正弦公式：()sinh x y +=________，并证明；和3和若对任意[]0,ln 2t ∈，关于x 的方程()()sinh cosh t x a +=有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(ln 23x =+或(ln 23x =；（2）()()()()()sinh sinh cosh cosh sinh x y x y x y +=+，证明见解析；（3）74a ≥. 【解析】【分析】（1）由已知可得出2e 4e 10x x -+=，求出e x 的值，即可求得x 的值；（2）类比两角和的正弦公式可得出两角和的双曲正弦公式，再利用指数的运算性质可证得结论成立；（3）分析可知e e 12t t a --≥+恒成立，利用函数的单调性可求得实数a 的取值范围.【小问1详解】解：由()e e cosh 22x xx -+==，可得2e 4e 10x x -+=，可得e 23x =±(ln 23x =或(ln 23x =.【小问2详解】解：()()()()()sinh sinh cosh cosh sinh x y x y x y +=+， 右边()()()()()()()()e e e e e +e e e sinh cosh cosh sinh 4xx y y x x y y x y x y ----=-++-+=()e e e e e e e e e e sinh 42x y x y y x x y x y x y y x x y x y x yx y +----+----+--+--+-+--===+.【小问3详解】解：[]0,ln 2t ∈，则1e 2t≤≤，则()()e e e e sinh cosh 22t t x xa t x ---+=+=+， 所以，e e e e e e 122t t x xx x a ----+-=≥⋅=，当且仅当0x =时，等号成立，则e e 12t ta --≥+恒成立，因为函数e ty =、e ty -=-均为[]0,ln 2上增函数，故函数()e e 12t tg t --=+在[]0,ln 2上为增函数，所以，()()max 7ln 24a g t g ≥==. 20. 对闭区间I ，用I M 表示函数()y f x =在I 上的最大值． 和1和对于4()f x x x=+，求[1,4]M 的值：和2和已知()sin cos 32f x a x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()y f x =偶函数，[,]3a b M =b a -的最大值：和3和已知()sin f x x =，若有且仅有一个正数a 使得[0,][,2]a a a M kM =成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）5 （2）43π（3）112k << 【解析】【分析】小问1：判断()y f x =的单调性即可求解；小问2：由偶函数求得2a =，根据()y f x =的最大值判断,a b 范围，即可求解； 小问3：讨论01k <<与1k ≤，当[0,][,2]a a a M kM =时，判断正数a 的取值个数，即可求解．【小问1详解】对任意[]12,1,2x x ∈，且12x x <时， 由()()()121212121244410f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意[]12,2,4∈x x ，且12x x <时， 由()()()121212121244410f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以4()f x x x=+在[]1,2上单调递减，在[]2,4上单调递增； 又44(1)15(4)4514f f =+=+＝，＝ 所以[1,4]5M = 【小问2详解】由于()y f x =偶函数，所以()()66f f ππ-= 则sin cos sin cos 63626362a a ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得2a =则()2sin cos 332f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为[,]3a b M =522,33k a b k k Z ππππ+≤<≤+∈ 故b a -的最大值为43π. 【小问3详解】①当01k <<时，由于[0,][,2]a a a M kM =，则[0,][,2]a a a M M <，所以02a π<<，若04a π<<时，有[0,]sin a M a =，[,2]sin 22sin cos a a a a a M ==所以sin 2sin cos a k a a =，得1cos 2a k=； 若102k <≤时，有[)1cos 1,2a k=∈+∞，此时a 无解； 若122k <<时，有12cos ,122a k ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，此时a 有一解； 21k ≤<时，有112cos 22a k ⎛=∈ ⎝⎦，此时a 无解； 若42a ππ≤<时，有[0,]sin a M a =，[,2]sin12a a M π==所以sin a k =，因为2sin a ⎫∈⎪⎪⎣⎭若102k <≤时，此时a 无解，若1222k <<时，此时a 无解； 若212k ≤<时，此时a 有一解； ②当1k ≤时，由于[0,][,2]a a a M kM =，则[0,][,2]a a a M M ≥，所以2a π≤，有[0,]sin12a M π==，则[,2]1a a kM =若1k =，则[,2]1a a M =得π2a 或54a π=等，若1k <，[,2]1a a k M =，则1sin a k =或1sin 2a k =，在5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦a必有两解．综上所述：112k << 21. 定义域为R 的函数()y f x =，对于给定的非空集合A ，A ⊆R ，若对于A 中的任意元素a ，都有()()f x a f x +≥成立，则称函数()y f x =是“集合A 上的Z -函数”. （1）给定集合{}1,1A =-，函数()y f x =是“集合A 上的Z -函数”，求证：函数()y f x =是周期函数；（2）给定集合{}1A =，()2g x ax bx c =++，若函数()y g x =是“集合A 上的Z -函数”，求实数a 、b 、c 所满足的条件；（3）给定集合[]0,1A =，函数()y h x =是集合A 上的Z -函数，求证：“()y h x =是周期函数”的充要条件是“()y h x =是常值函数”． 【答案】（1）证明见解析； （2）0a =，0b ≥，R c ∈； （3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）推导出()()1f x f x ≥+且()()1f x f x +≥，可得出()()1f x f x =+，由此可证得结论成立；（2）由已知可得20ax a b ++≥对任意的R x ∈恒成立，由此可得出a 、b 、c 所满足的条件；（3）利用Z -函数的定义、函数周期性的定义结合充分条件、必要条件的定义可证得结论成立.【小问1详解】证明：由题意可知，对任意的R x ∈，()()1f x f x -≥，可得()()1f x f x ≥+， 对任意的R x ∈，()()1f x f x +≥，所以，()()1f x f x =+， 因此，函数()y f x =为周期函数. 【小问2详解】解：由题意可知，对任意的R x ∈，()()1g x g x +≥，即()()2211a x b x c ax bx c ++++≥++，可得20ax a b ++≥对任意的R x ∈恒成立，所以，200a a b =⎧⎨+≥⎩，即0a =，0b ≥，R c ∈.【小问3详解】证明：若函数()y h x =是周期函数，设其周期为()0T T >， 因为函数()y h x =是集合A 上的Z -函数，则存在()10,1a ∈、N k *∈，使得()111ka T k a ≤≤+， 所以，1101T ka a ≤-≤<，()1011k a T a ≤+-≤<， 对任意的0R x ∈，()()()()()()0010101100h x h x a h x ka h x ka T ka h x T h x ≤+≤≤+≤++-=+=⎡⎤⎣⎦，所以，()()()()001010h x h x a h x ka h x T =+==+=+，所以，对任意的[]00,x x x T ∈+，()()0h x h x =， 对任意的Z n ∈，()()00h x h x nT =+， 并且[][][]000000R 2,,,x T x T x T x x x T =---+，所以，对任意的R x ∈，()()0h x h x C ==为常数， 即“()y h x =是周期函数”⇒“()y h x =是常值函数”；若函数()y h x =是常值函数，对任意的R x ∈、a A ∈，()()h x a h x +≥成立， 且()12h x h x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以，函数()y h x =是周期函数. 即“()y h x =是周期函数”⇐“()y h x =是常值函数”.综上所述，“()y h x =是周期函数”的充要条件是“()y h x =是常值函数”.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，本题第三问的难点在于利用函数的周期性推导出函数为常值函数，需要充分利用题中“Z -函数”的定义结合函数值的不等关系以及函数的周期性来进行推导.。
2020-2021学年上海市浦东新区高三(上)期末数学试卷(一模)
2020-2021学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）n→∞n2n+1=___ ．2.（填空题，4分）半径为2的球的表面积为___ ．3.（填空题，4分）抛物线x 2=-4y 的准线方程为___ ．4.（填空题，4分）已知集合A={x|x ＞0}，B={x|x 2≤1}，则A∩B=___ ．5.（填空题，4分）已知复数z 满足z （1-i ）=4（i 为虚数单位），则|z|=___ ．6.（填空题，4分）在△ABC 中，若AB=2，∠B= 5π12 ，∠C= π4 ，则BC=___ ． 7.（填空题，5分）函数f （x ）=1+log 2x （x≥4）的反函数的定义域为___ ．8.（填空题，5分）在（x+ √2 ）7的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为___ ．（用数字作答）9.（填空题，5分）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE=AF ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ． 10.（填空题，5分）若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足 |an+1S n11|=2 ，则数列{a n }的前n 项和为S n 为___ ．11.（填空题，5分）设函数f （x ）=|x-a|- 2x +a ，若关于x 的方程f （x ）=1有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为___ ． 12.（填空题，5分）对于任意的正实数a ，b ，则2√2a+√a 2+9b 25a+3b的取值范围为___ ． 13.（单选题，5分）若a 、b 是实数，则a ＞b 是2a ＞2b 的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.（单选题，5分）若某线性方程组的增广矩阵为 (1282416) ，则该线性方程组的解的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.无数个D.不确定15.（单选题，5分）下列命题中正确的是（ ） A.三点确定一个平面B.垂直于同一直线的两条直线平行C.若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l⊥αD.若a 、b 、c 是三条直线，a || b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面 16.（单选题，5分）已知函数 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，则以下4个命题：① f （x ）是偶函数；② f （x ）在[0，+∞）上是增函数； ③ f （x ）的值域为R ；④ 对于任意的正有理数a ，g （x ）=f （x ）-a 存在奇数个零点． 其中正确命题的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.317.（问答题，14分）如图，直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB=AC=1， ∠BAC =π2，A 1A=4，点M 为线段A 1A 的中点．（1）求直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积；（2）求异面直线BM 与B 1C 1所成的角的大小．（结果用反三角表示）18.（问答题，14分）已知函数 f (x )=sin (ωx +π6) （ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω与f （x ）的单调递增区间；（2）在△ABC 中，若 f (A2)=1 ，求sinB+sinC 的取值范围．19.（问答题，14分）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前n （n=1，2，3，…，12）个月对某种食材的需求总量S n （公斤）近似地满足S n ={635n (1≤n ≤6)−6n 2+774n −618(7≤n ≤12) ．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量．（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．20.（问答题，16分）已知椭圆C 1： x 24+y 2 =1，F 1、F 2为C 1的左、右焦点．（1）求椭圆C 1的焦距；（2）点Q （ √2 ， √22 ）为椭圆C 1一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆C 1交于两点A 、B ，若△QAB 面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆C 1与双曲线C 2：x 2-y 2=1在第一象限的交点为M （x M ，y M ），椭圆C 1和双曲线C 2上满足|x|≥|x M |的所有点（x ，y ）组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．21.（问答题，18分）已知函数f （x ）的定义域是D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），则称函数f （x ）在D 上为非减函数．（1）判断f 1（x ）=x 2-4x ，（x∈[1，4]）与f 2（x ）=|x-1|+|x-2|，（x∈[1，4]）是否是非减函数？（2）已知函数g （x ）=2x + a2x−1 在[2，4]上为非减函数，求实数a 的取值范围．（3）已知函数h （x ）在[0，1]上为非减函数，且满足条件： ① h （0）=0， ② ℎ(x 3)=12h （x ）， ③ h （1-x ）=1-h （x ），求 ℎ(12020) 的值．2020-2021学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）n→∞n2n+1=___ ．【正确答案】：[1] 12 【解析】：由 n 2n+1 = 12+1n，再利用极限运算法则即可得出．【解答】：解： lim n→∞n 2n+1 = lim n→∞12+1n= 12 ， 故答案为： 12 ．【点评】：本题考查了极限运算法则、乘法公式，属于基础题． 2.（填空题，4分）半径为2的球的表面积为___ ． 【正确答案】：[1]16π【解析】：利用球的面积公式，直接求解即可．【解答】：解：球的半径为2，所以球的表面积为：4πr 2=16π 故答案为：16π【点评】：本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题． 3.（填空题，4分）抛物线x 2=-4y 的准线方程为___ ． 【正确答案】：[1]y=1【解析】：由抛物线x 2=-4y 焦点在y 轴的负半轴上，则 p2 =1，即可求得抛物线的准线方程．【解答】：解：抛物线x 2=-4y 焦点在y 轴的负半轴上，则 p 2 =1， ∴抛物线的焦点坐标为（0，-1），准线方程：y=1， 故答案为：y=1．【点评】：本题考查抛物线的方程，考查抛物线的简单几何性质，属于基础题．4.（填空题，4分）已知集合A={x|x＞0}，B={x|x2≤1}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]（0，1]【解析】：可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={x|x＞0}，B={x|-1≤x≤1}，∴A∩B=（0，1]．故答案为：（0，1]．【点评】：本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．5.（填空题，4分）已知复数z满足z（1-i）=4（i为虚数单位），则|z|=___ ．【正确答案】：[1]2 √2【解析】：直接利用复数的模的运算求出结果．【解答】：解：复数z满足z（1-i）=4，则z=41−i，所以|z|=4|1−i|=√2=2√2．故答案为：2 √2【点评】：本题考查的知识要点：复数的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.（填空题，4分）在△ABC中，若AB=2，∠B= 5π12，∠C= π4，则BC=___ ．【正确答案】：[1] √6【解析】：由三角形的内角和即B，C的值，求出A角的值，再由正弦定理可得边BC的值．【解答】：解：A=π−B−C=π−5π12−π4=π3，由正弦定理得ABsinC =BCsinA，所以BC=ABsinAsinC=2sinπ3sinπ4=√6．故答案为：√6．【点评】：本题考查正弦定理的应用，属于基础题．7.（填空题，5分）函数f（x）=1+log2x（x≥4）的反函数的定义域为___ ．【正确答案】：[1][3，+∞）【解析】：直接利用反函数的定义域和值域的关系求出结果．【解答】：解：函数f （x ）=1+log 2x （x≥4）的值域为[3，+∞）， 故其反函数的定义域为[3，+∞）．【点评】：本题考查的知识要点：反函数的定义域与原函数的值域的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.（填空题，5分）在（x+ √2 ）7的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为___ ．（用数字作答） 【正确答案】：[1] 12【解析】：先求出展开式的通项公式，然后根据通项公式判断系数为有理数的情况的个数，再根据古典概率的求法艰苦求解．【解答】：解：因为 (x +√2)7展开式的通项为 T r+1=C 7r x 7−r(√2)r =C 7r 2r2x 7−r，当且仅当r 为偶数时，该项系数为有理数， 而r∈[0，7]（r∈N ），故有r=0，2，4，6满足题意， 所以所求概率 P =48=12 ， 故答案为： 12 ．【点评】：本题考查了二项式定理的简单应用，涉及到古典概率的求法，属于基础题． 9.（填空题，5分）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE=AF ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ． 【正确答案】：[1][0，1]【解析】：由题意取EF 中点为，然后结合图形的性质和平面向量的运算法则即可求得 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．【解答】：解：取EF 中点为O ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO 2−OE 2 ， 因为正方形的边长为2，所以 AO =√2，OE ∈[1，√2] ， 所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[0，1] ．故答案为：[0，1]．【点评】：本题主要考查平面向量的运算法则，平面向量的数量积运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．10.（填空题，5分）若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足 |an+1S n11|=2 ，则数列{a n }的前n 项和为S n 为___ ． 【正确答案】：[1]S n =2n+1-2【解析】：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，由 |an+1S n11|=2 变形可得a n+1-S n =2，令n=1和n=2可得a 2-S 1=a 2-a 1=2和a 3-S 2=a 3-（a 1+a 2）=2，联立两式可得a 1、q ，由等比数列的前n 项和公式可得答案．【解答】：解：根据题意，数列{a n }为等比数列，设等比数列{a n }的公比为q ， 数列{a n }满足 |a n+1S n11|=2 ，则有a n+1-S n =2， 当n=1时，有a 2-S 1=a 2-a 1=2，即a 1q-a 1=2 ①当n=2时，有a 3-S 2=a 3-（a 1+a 2）=2，即a 1q 2-（a 1+a 1q ）=2 ② 联立 ① ② 可得：a 1=2，q=2， 则数列{a n }的前n 项和为S n = a 1(1−q n )1−q =2n+1-2，故答案为：S n =2n+1-2．【点评】：本题考查等比数列的前n 项和，涉及数列的递推公式的应用，属于基础题． 11.（填空题，5分）设函数f （x ）=|x-a|- 2x +a ，若关于x 的方程f （x ）=1有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为___ ． 【正确答案】：[1] {1−2√22，1+2√22，2} 【解析】：由题意，转化为两个函数问题，即设 ℎ(x )=|x −a |+a ，g (x )=2x +1 ，作出图，即可求解实数a 的取值构成的集合．【解答】：解：由方程f （x ）=1，得 |x −a |+a =2x +1 有两个不同的解， 令 ℎ(x )=|x −a |+a ，g (x )=2x +1 ， 则h （x ）=|x-a|+a 的顶点（a ，a ）在y=x 上，而y=x 与 g (x )=2x +1 的交点坐标为（2，2），（-1，-1），联立 {y =−x +2a y =2x +1 得x 2+（1-2a ）x+2=0，由Δ=（1-2a ）2-8=0，解得 a =1−2√22 或 1+2√22， 作出图象，数形结合，要使得 |x −a |+a =2x +1 有两个不同的解， 则实数a 的取值范围是 a =1−2√22 或 1+2√22或2．故答案为 {1−2√22，1+2√22，2} ．【点评】：本题考查了方程有实根问题转化为有交点问题，数形结合思想，和作图的能力，属于中档题． 12.（填空题，5分）对于任意的正实数a ，b ，则2√2a+√a 2+9b 25a+3b的取值范围为___ ．【正确答案】：[1] [√22，1)【解析】：首先利用直线和曲线的位置关系，求出直线的斜率的最小值，进一步求出结果．【解答】：解： 2√2a+√a 2+9b 25a+3b =2√2+√1+9(b a)25+3⋅b a，故可看作 A (3×ba，√1+9(b a)2) 与 B(−5，−2√2) 两点的斜率，其中点A 在y 2-x 2=1（x ＞0，y ＞0）上，故k AB 最小值在相切时取得， 设 y +2√2=k (x +5) ，联立 {y +2√2=k (x +5)y 2−x 2=1，消去y ，可得（k 2-1）x 2+2k （5k-2 √2 ）x+（5k-2 √2 ）2-1=0， 由Δ=26k 2-20 √2 k+7=0，解得 k 1=√22，k 2=713√2 （舍）当 ba →+∞时， k AB =2√2+√1+9(b a)25+3×b a →1，故 2√2a+√a 2+9b 25a+3b 的取值范围是 [√22，1) ． 故答案为： [√22，1) ．【点评】：本题考查的知识要点：基本不等式，关系式的变换，极限的求法，属于中档题．13.（单选题，5分）若a、b是实数，则a＞b是2a＞2b的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【正确答案】：C【解析】：根据题意，结合指数函数的性质，分析可得若a＞b，必有2a＞2b，反之若2a＞2b，必有a＞b，由充分必要条件的定义即可得答案．【解答】：解：根据题意，因为y=2x是增函数，若a＞b，必有2a＞2b，反之若2a＞2b，必有a＞b，则a＞b是2a＞2b的充要条件，故选：C．【点评】：本题考查充分必要条件的判断，涉及指数函数的性质，属于基础题．)，则该线性方程组的解的个数14.（单选题，5分）若某线性方程组的增广矩阵为(1282416为（）A.0个B.1个C.无数个D.不确定【正确答案】：C【解析】：首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出x，y即可．【解答】：解：该线性方程组可化为方程x+2y=8，故有无数组解；故选：C．【点评】：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的含义，计算量小，属于较容易的题型．15.（单选题，5分）下列命题中正确的是（）A.三点确定一个平面B.垂直于同一直线的两条直线平行C.若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l⊥αD.若a 、b 、c 是三条直线，a || b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面 【正确答案】：D【解析】：利用平面的基本性质及推论可知A ，B 错误，D 正确，再利用直线与平面垂直的判定定理可知选项C 错误．【解答】：解：对于选项A ：不共线的三点确定一个平面，故A 错误， 对于选项B ：由墙角模型可知，显然B 错误，对于选项C ：根据线面垂直的判定定理，若直线l 与平面α内的两条相交直线垂直，则直线l 与平面α垂直，若直线l 与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线l 与平面α不垂直，故C 错误，对于选项D ：因为a || b ，所以a 与b 唯一确定一个平面，设为平面α，又c 与a 和b 都相交，所以c 也在平面α内，即直线a 、b 、c 共面，故选项D 正确， 故选：D ．【点评】：本题主要考查了平面的基本性质及推论，考查了空间中线与线的位置关系，是基础题．16.（单选题，5分）已知函数 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，则以下4个命题：① f （x ）是偶函数；② f （x ）在[0，+∞）上是增函数； ③ f （x ）的值域为R ；④ 对于任意的正有理数a ，g （x ）=f （x ）-a 存在奇数个零点． 其中正确命题的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3【正确答案】：B【解析】： ① 由偶函数的定义，举例即可判断； ② 举例即可判断； ③ F （x ）的值域中不含负无理数，故可判断； ④ 根据函数零点即是方程的解，观察解的个数即可判断．【解答】：解： ① 因为 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，所以f （1）=1，f （-1）=-1，所以f （x ）不是偶函数，故错误；② 因为f （3）=3＜f （ √5 ）=5，所以f （x ）在[0，+∞）不是增函数，故错误； ③ 因为 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，显然F （x ）的值域中不含负无理数，故f （x ）的值域不为R ，故错误；④ g （x ）=f （x ）-a 的零点即x=a ，x 为有理数或x 2=a ，x 为无理数， 对于x=a ，x 为有理数，必有解x=a ，对于x 2=a ，x 为无理数，必有解x=± √a 或无解， 故g （x ）=f （x ）-a 有三个零点或一个，故正确； 故选：B ．【点评】：本题主要考查了特殊函数的性质的理解和运用，函数的奇偶性和周期性，属于中档题．17.（问答题，14分）如图，直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB=AC=1， ∠BAC =π2 ，A 1A=4，点M 为线段A 1A 的中点．（1）求直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积；（2）求异面直线BM 与B 1C 1所成的角的大小．（结果用反三角表示）【正确答案】：【解析】：（1）由V=S △ABC •A 1A ，即可得解；（2）易知∠MBC 或其补角即为所求，再在△MBC 中，由余弦定理求得cos∠MBC 的值，即可．【解答】：解：（1）∵ S △ABC =12×1×1=12 ， ∴V=S △ABC •A 1A= 12 ×4=2． （2）∵BC || B 1C 1，∴∠MBC 或其补角是异面直线BM 与B 1C 1所成的角， 在△MBC 中，BM=CM= √5 ，BC= √2 ，由余弦定理得，cos∠MBC= BM 2+BC2−CM22BM•BC= √1010，∴∠MBC=arccos √1010，故异面直线BM与B1C1所成的角为arccos√1010．【点评】：本题考查棱柱的体积、异面直线夹角的求法，利用平移的思想找出异面直线的夹角是解题的额关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．18.（问答题，14分）已知函数f(x)=sin(ωx+π6)（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω与f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，若f(A2)=1，求sinB+sinC的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由函数的最小正周期可得ω的值，进而求出函数的单调递增区间；（2）由（1）及f（A2）=1可得A的值，由三角形的内角和为π及A的值可得B用C的角表示，再由B的范围，求出sinB+sinC的取值范围范围．【解答】：解：（1）因为f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0)的最小正周期为π，所以T=2πω=π，所以ω=2，f（x）=sin（2x+ π6），令2kπ- π2≤2x+ π6≤2kπ+ π2，k∈Z，解得：kπ- π3≤x≤kπ+ π6，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间是[kπ- π3，kπ+ π6]，k∈Z．（2）在△ABC中，若f(A2)=1，由（1）得，f(x)=sin(2x+π6)，所以sin(A+π6)=1因为0＜A＜π，所以A+π6=π2，解得：A= π3，即sinB+sinC=sinB+sin(2π3−B)=32sinB+√32cosB=√3sin(B+π6)，因为0＜B＜2π3，所以π6＜B+π6＜5π6；所以12＜sin(B+π6)≤1，√32＜√3sin(B+π6)≤√3，所以sinB+sinC 的取值范围 (√32，√3] ．【点评】：本题考查三角函数的性质，三角形的角的求法，属于中档题．19.（问答题，14分）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前n （n=1，2，3，…，12）个月对某种食材的需求总量S n （公斤）近似地满足S n ={635n (1≤n ≤6)−6n 2+774n −618(7≤n ≤12) ．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量．（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）当1≤n≤6时，每月食材显然都够用，当n=7时，因为646×7-S 7=16＞0，第7个月该食材够用，所以，前7个月每月该食材都够用．（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式pn≥S n 对n=1，2，…，12恒成立，分两种情况，分别求出p 的最小值，再取较大者即可求出结果．【解答】：解：（1）当1≤n≤6时，每月需求量635公斤，每月进货646公斤，1到6月都够用，当n=7时，因为646×7-S 7=646×7-（-6×49+774×7-618）=16＞0，第7个月该食材够用， 所以，前7个月每月该食材都够用．（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式pn≥S n 对n=1，2，…，12恒成立， ① 当1≤n≤6时，pn≥635n 恒成立，可得p≥635，② 当7≤n≤12时，pn≥-6n 2+774n-618恒成立，即 p ≥774−6(n +103n) 恒成立， 因为774-6（n+ 103n） ≤774−6×2√n •103n≈652.2，当且仅当n=103n，即n= √103 ≈10.15时，等号成立，又因为n∈N *，且n≤12，所以当n=10时， 774−6(n +103n) 的最大值为652.2，综上所述，p≥652.2，所以为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p 的最小值为652.2公斤．【点评】：本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题． 20.（问答题，16分）已知椭圆C 1： x 24+y 2 =1，F 1、F 2为C 1的左、右焦点． （1）求椭圆C 1的焦距；（2）点Q （ √2 ， √22）为椭圆C 1一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆C 1交于两点A 、B ，若△QAB 面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆C 1与双曲线C 2：x 2-y 2=1在第一象限的交点为M （x M ，y M ），椭圆C 1和双曲线C 2上满足|x|≥|x M |的所有点（x ，y ）组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求得椭圆的a ，b ，c ，可得焦距2c ；（2）设 l ：y =12x +m ，代入x 2+4y 2=4，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，三角形的面积公式，解方程可得m ，进而得到直线方程；（3）求得M 的坐标，设N （x ，y ）是曲线C 上一点，运用向量的坐标运算，可得 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3 ，分别讨论M 在椭圆上和双曲线上，化简整理可得所求范围．【解答】：解：（1）由椭圆C 1： x 24+y 2 =1， 可得a=2，b=1，c= √a 2−b 2 = √3 ， 则椭圆C 1的焦距为 2c =2√3 ；（2）由k OQ = 12 ，设 l ：y =12x +m ，代入x 2+4y 2=4得x 2+2mx+2m 2-2=0， 由Δ=4m 2-8（m 2-1）=8-4m 2＞0，得 |m |＜√2 ， x A +x B =-2m ，x A x B =2m 2-2，所以|AB|= √1+14 • √(−2m )2−4(2m 2−2) = √5 • √2−m 2 ， 又Q 到直线l 的距离为 d =√52由 S △QAB =12d |AB |=|m |√2−m 2=1，m =±1 ，所以 l ：y =12x ±1 ；（3）由 { x 2+4y 2=4 x 2−y 2=1 ，解得 {x M =2√105 y M =√155 ，设N （x ，y ）是曲线C 上一点，则 F 1(−√3 ， 0) ， F 2(√3 ， 0) ， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3−x ， −y) ， NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3−x ， −y) ， 所以 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3 ；当点N 在曲线x 2+4y 2=4（|x|≥|x M |）上时， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1−3y 2 ， 当 y =√155时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−45 ，当y=0时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )max =1 ，所以 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， 1] ；当点N 在曲线x 2-y 2=1（|x|≥|x M |）上时， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y 2−2 ； 当 y =√155时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−45， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， +∞) ；综上， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， +∞) ．【点评】：本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 21.（问答题，18分）已知函数f （x ）的定义域是D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），则称函数f （x ）在D 上为非减函数．（1）判断f 1（x ）=x 2-4x ，（x∈[1，4]）与f 2（x ）=|x-1|+|x-2|，（x∈[1，4]）是否是非减函数？（2）已知函数g （x ）=2x + a2x−1 在[2，4]上为非减函数，求实数a 的取值范围．（3）已知函数h （x ）在[0，1]上为非减函数，且满足条件： ① h （0）=0， ② ℎ(x3)=12 h （x ）， ③ h （1-x ）=1-h （x ），求 ℎ(12020) 的值．【正确答案】：【解析】：（1）结合非减函数的定义，即可得出答案．（2）根非减函数的定义，推出2≤x 1＜x 2≤4，则g （x 1）-g （x 2）≤0恒成立，即可得a 的取值范围．（3）由h（1）+h（0）=1，推出h（1）=1，h（13）=h（23）= 12，根据题意可得12≤h（x）≤ 12，推出∀x∈[ 13，23]，h（x）≡ 12，再结合由② 推出，h（12020）= 12h（32020）=…= 164h（7292020）的值．【解答】：解：（1）f1（x）不是，f2（x）是．因为f1（1）＞f1（2），则f1（x）不是[1，4]上的非减函数，f2（x）= {1，1≤x≤2 2，2＜x≤4，∀x1，x2∈[1，2]，且设1≤x1＜x2≤2，则f2（x1）=f2（x2），显然满足f2（x1）≤f2（x2），∀x1，x2∈（2，4]，且设2＜x1＜x2≤4，则f2（x1）=2x1-3＜2x2-3=f2（x2），显然满足f2（x1）≤f2（x2），∀x1∈[1，2]，∀x2∈（2，4]，则f2（x1）=1，f2（x2）=2x2-3＞1，显然满足f2（x1）≤f2（x2），综上所述，f2（x）是[1，4]上的非减函数．（2）∀x1，x2∈[2，4]，设2≤x1＜x2≤4，则g（x1）-g（x2）≤0，g（x1）-g（x2）=2 x1 + 2a2x1 -（2 x2 + 2a2x2）=2 x1 -2 x2 +（2a2x1 - 2a2x2）=2 x1 -2 x2 + 2a2x12x2（2 x2 -2 x1）=（2 x1 -2 x2）（1- 2a2x12x2）≤0，则∀x1，x2∈（2，4]，设2≤x1＜x2≤4，不等式1- 2a2x12x2≥0恒成立，即2a≤2 x1 2 x2，则a≤8．（3）h（1）+h（0）=1，所以h（1）=1，所以h（13）= 12h（1）= 12，h（23）=1-h（13）= 12，得出h（13）=h（23）= 12，∀x∈（13，23），因为函数h（x）在[0，1]上为非减函数，所以h（13）≤h（x）≤h（23），所以12≤h（x）≤ 12，得到∀x∈[ 13，23]，h（x）≡ 12，由② h（x3）= 12h（x）知，h（x）= 12h（3x），h（12020）= 12h（32020）=…= 164h（7292020），所以h（12020）= 1128．【点评】：本题考查函数的非减函数的定义，函数的单调性，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．。
2020-2021学年北京交大附中高一(上)期中数学试卷
2020-2021学年北京交大附中高一（上）期中数学试卷试题数：20，总分：1201.（单选题，4分）已知集合P={x∈R||x|＜2}，Q={x∈R|-1≤x≤3}，则P∩Q=（）A.[-1，2）B.（-2，2）C.（-2，3]D.[-1，3]2.（单选题，4分）已知命题p：∃c＞0，方程x2-x+c=0有解，则￢p为（）A.∀c＞0，方程x2-x+c=0无解B.∀c≤0，方程x2-x+c=0有解C.∃c＞0，方程x2-x+c=0无解D.∃c＜0，方程x2-x+c=0有解3.（单选题，4分）如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（）A. 1a ＜1bB.a2＞b2C.a|c|＞b|c|D. ac2+1＞bc2+14.（单选题，4分）下面四组函数中，f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A. f(x)=x2−1x+1，g(x)=x−1B. f(x)=|x|，g(x)={x (x≥0)−x(x＜0)C. f(x)=√x2，g(x)=(√x)2D.f（x）=x0，g（x）=15.（单选题，4分）下列函数中，在区间[1，+∞）上为增函数的是（）A.y=-（x-1）2B.y=-（x+1）2C.y=|x-1|D.y= 1x+16.（单选题，4分）a＞-1是关于x的方程x2+2x-a+1=0有两个负根的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件的图象大致为（）7.（单选题，4分）函数y= 4xx2+1A.B.C.D.8.（单选题，4分）已知函数f（x）=|x-m|与函数g（x）的图象关于y轴对称．若g（x）在区间（1，2）内单调递减，则m的取值范围为（）A.[-1，+∞）B.（-∞，-1]C.[-2，+∞）D.（-∞，-2]9.（单选题，4分）一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁．事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确．已知前四次输入密码分别为3406，1630，7364，6173，则正确的密码中一定含有数字（）A.4，6B.3，6C.3，7D.1，710.（单选题，4分）设集合A是集合N*的子集，对于i∈N*，定义φi(A)={1，i∈A0，i∉A，给出下列三个结论：① 存在N*的两个不同子集A，B，使得任意i∈N*都满足φi（A∩B）=0且φi（A∪B）=1；② 任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*都有φi（A∩B）=φi（A）•φi（B）；③ 任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*都有φi（A∪B）=φi（A）+φi（B）．其中，所有正确结论的序号是（）A. ① ②B. ② ③C. ① ③D. ① ② ③11.（填空题，4分）函数f（x）= 1√x2−2x的定义域为___ ．12.（填空题，4分）方程组{x 2=1y2=x的解集中元素的个数为___ ．13.（填空题，4分）若不等式x2-ax-2＜0在x∈（1，2）内恒成立，则a的取值范围是___ ．14.（填空题，4分）已知函数y=f（x），y=g（x）的对应关系如表：x 1 2 3f（x） 1 3 1x 1 2 3 g（x） 3 2 1则f（g（1））的值为___ ；满足f（g（x））＞g（f（x））的x的值是___ ．15.（填空题，4分）对任意的x1＜0＜x2，若函数f（x）=a|x-x1|+b|x-x2|的大致图象为如图所示的一条折线（两侧的射线均平行于x轴），试写出a、b应满足的条件___ ．16.（问答题，12分）已知集合A={x|x2-4x-5＞0}，B={x|x−(a+3)x−a＜0}．（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．17.（问答题，12分）已知函数f(x)=1+x21−x2．（1）求函数f（x）的定义域；（2）用函数单调性定义证明：f（x）在（1，+∞）上是增函数．18.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R．（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）若f（x）为偶函数，且a＞0，设F(x)={f(x)，x＞0，−f(x)，x＜0.，mn＜0，m+n＞0，判断F（m）+F（n）是否大于零，请说明理由．19.（问答题，12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P（单位：元/102kg）与上市时间t（单位：天）的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q（单位：元/102kg）与上市时间t（单位：天）的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系．（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P=f（t），写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；（2）若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？20.（问答题，12分）对于定义域为D的函数y=f（x），若有常数M，使得对任意的x1∈D，=M，则称M为函数y=f（x）的“均值”．存在唯一的x2∈D满足等式f(x1)+f(x2)2（1）判断1是否为函数f（x）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”，请说明理由；（2）若函数f（x）=ax2-2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数f（x）的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）．2020-2021学年北京交大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：20，总分：1201.（单选题，4分）已知集合P={x∈R||x|＜2}，Q={x∈R|-1≤x≤3}，则P∩Q=（）A.[-1，2）B.（-2，2）C.（-2，3]D.[-1，3]【正确答案】：A【解析】：解关于x的不等式，求出P、Q的交集即可．【解答】：解：∵P={x∈R，||x|＜2}={x|-2＜x＜2}，Q={x∈R|-1≤x≤3}，则P∩Q=[-1，2），故选：A．【点评】：本题考查了集合的运算，考查绝对值不等式问题，是一道基础题．2.（单选题，4分）已知命题p：∃c＞0，方程x2-x+c=0有解，则￢p为（）A.∀c＞0，方程x2-x+c=0无解B.∀c≤0，方程x2-x+c=0有解C.∃c＞0，方程x2-x+c=0无解D.∃c＜0，方程x2-x+c=0有解【正确答案】：A【解析】：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃c＞0，方程x2-x+c=0 有解，则￢p为∀c＞0，方程x2-x+c=0无解．故选：A．【点评】：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3.（单选题，4分）如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（）A. 1a ＜1bB.a2＞b2C.a|c|＞b|c|D. ac2+1＞bc2+1【正确答案】：D【解析】：由不等式的基本性质逐一判断即可．【解答】：解：若a＞0＞b，则1a ＞1b，故A错误；取a=-1，b=-2，满足a＞b，但a2＜b2，故B错误；若c=0，a|c|=b|c|，故C错误，因为c2+1＞0，a＞b，∴ ac2+1＞bc2+1，故D正确．故选：D．【点评】：本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．4.（单选题，4分）下面四组函数中，f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A. f(x)=x2−1x+1，g(x)=x−1B. f(x)=|x|，g(x)={x (x≥0)−x(x＜0)C. f(x)=√x2，g(x)=(√x)2D.f（x）=x0，g（x）=1【正确答案】：B【解析】：看两个函数是不是同一个函数，要观察三个方面，A选项，f（x）的定义域{x|x≠-1}，定义域不同，不是同一个函数，选项C是定义域不同，前者是全体实数，后者是非负数，选项D 也是定义域不同，后者是全体实数，后者是不等于0【解答】：解：∵对于A选项，f（x）的定义域{x|x≠-1}，定义域不同，不是同一个函数，选项C也是定义域不同，前者是全体实数，后者是非负数，选项D 也是定义域不同，后者是全体实数，后者是不等于0，故选：B．【点评】：本题考查判断两个函数是不是同一个函数，本题解题的关键是判断两个函数的定义域是否相同，本题是一个基础题．5.（单选题，4分）下列函数中，在区间[1，+∞）上为增函数的是（）A.y=-（x-1）2B.y=-（x+1）2C.y=|x-1|D.y= 1x+1【正确答案】：C【解析】：结合基本初等函数的单调性分别检验各选项即可判断．【解答】：解；根据二次函数的性质可知，y=-（x-1）2，y=-（x+1）2在区间[1，+∞）上为减函数，A，C不符合题意；在区间[1，+∞）上为减函数，D 不符合题意；根据反比例函数的性质可知，y= 1x+1故选：C．【点评】：本题主要考查了函数单调性的判断，属于基础试题．6.（单选题，4分）a＞-1是关于x的方程x2+2x-a+1=0有两个负根的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：关于x的方程x2+2x-a+1=0有两个负根，则△=4-4（-a+1）≥0，且-a+1＞0，解得a范围，即可判断出结论．【解答】：解：关于x的方程x2+2x-a+1=0有两个负根，则△=4-4（-a+1）≥0，且-a+1＞0，解得：1＞a≥0，∴a＞-1是关于x的方程x2+2x-a+1=0有两个负根的必要不充分条件．故选：B．【点评】：本题考查了简易逻辑的判定方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.（单选题，4分）函数y= 4xx2+1的图象大致为（）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．【解答】：解：函数y= 4xx2+1的定义域为实数集R，关于原点对称，函数y=f（x）= 4xx2+1，则f（-x）=- 4xx2+1=-f（x），则函数y=f（x）为奇函数，故排除C，D，当x＞0时，y=f（x）＞0，故排除B，故选：A．【点评】：本题考查了函数图象的识别，属于基础题．8.（单选题，4分）已知函数f（x）=|x-m|与函数g（x）的图象关于y轴对称．若g（x）在区间（1，2）内单调递减，则m的取值范围为（）A.[-1，+∞）B.（-∞，-1]C.[-2，+∞）D.（-∞，-2]【正确答案】：D【解析】：根据题意，分析可得f（x）在区间（-2，-1）上递增，将f（x）写成分段函数的形式，分析可得f（x）在区间（m，+∞）上为增函数，据此可得m的取值范围．【解答】：解：根据题意，函数f（x）=|x-m|与函数g（x）的图象关于y轴对称．若g（x）在区间（1，2）内单调递减，则f（x）在区间（-2，-1）上递增，而f（x）=|x-m|= {x−m，x≥m−x+m，x＜m，在区间（m，+∞）上为增函数，则有m≤-2，即m的取值范围为（-∞，-2]；故选：D．【点评】：本题考查函数的单调性，涉及函数之间的对称性、不等式的解法，属于基础题．9.（单选题，4分）一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁．事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确．已知前四次输入密码分别为3406，1630，7364，6173，则正确的密码中一定含有数字（）A.4，6B.3，6C.3，7D.1，7【正确答案】：D【解析】：若正确的密码中一定含有数字3，6，而3，6在第1，2，3，4的位置都有，与它们各自的位置均不正确矛盾．同理正确的密码中一定含有数字4，6，或3，7不正确．正确的密码中一定含有数字1，7．【解答】：解：若正确的密码中一定含有数字3，6，而3，6在第1，2，3，4的位置都有，与它们各自的位置均不正确矛盾．同理正确的密码中一定含有数字4，6，或3，7不正确．若正确的密码中一定含有数字1，7，而3，6在第1，2，3，4的位置都有，根据它们各自的位置均不正确，可得1在第三位置，7在第四位置．故选：D．【点评】：本题考查了合情推理，考查了推理能力，属于中档题．10.（单选题，4分）设集合A 是集合N*的子集，对于i∈N*，定义 φi (A )={1，i ∈A 0，i ∉A，给出下列三个结论：① 存在N*的两个不同子集A ，B ，使得任意i∈N*都满足φi （A∩B ）=0且φi （A∪B ）=1； ② 任取N*的两个不同子集A ，B ，对任意i∈N*都有φi （A∩B ）=φi （A ）•φi （B ）； ③ 任取N*的两个不同子集A ，B ，对任意i∈N*都有φi （A∪B ）=φi （A ）+φi （B ）． 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ① ② B. ② ③ C. ① ③ D. ① ② ③ 【正确答案】：A【解析】：对题目中给的新定义要充分理解，对于i∈N*，φi （A ）=0或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．【解答】：解：∵对于i∈N*，定义 φi (A )={1，i ∈A0，i ∉A，∴ ① 例如A={正奇数}，B={正偶数}，∴A∩B=∅，A∪B=N*，∴φi （A∩B ）=0；φi （A∪B ）=1，故 ① 正确；② 若φi （A∩B ）=0，则i∉（A∩B ），则i∈A 且i∉B ，或i∈B 且i∉A ，或i∉A 且i∉B ；∴φi （A ）•φi （B ）=0；若φi （A∩B ）=1，则i∈（A∩B ），则i∈A 且i∈B ；∴φi （A ）•φi （B ）=1；∴任取N*的两个不同子集A ，B ，对任意i∈N*都有φi （A∩B ）=φi （A ）•φi （B ）；正确，故 ② 正确；③ 例如：A={1，2，3}，B={2，3，4}，A∪B={1，2，3，4}，当i=2时，φi （A∪B ）=1；φi （A ）=1，φi （B ）=1；∴φi （A∪B ）≠φi （A ）+φi （B ）； 故 ③ 错误；∴所有正确结论的序号是： ① ② ； 故选：A ．【点评】：本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11.（填空题，4分）函数f （x ）=√x 2−2x的定义域为___ ．【正确答案】：[1]（-∞，0）∪（2，+∞）【解析】：根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可．【解答】：解：由题意得： x 2-2x ＞0，解得：x ＞2或x ＜0，故函数的定义域是（-∞，0）∪（2，+∞）， 故答案为：（-∞，0）∪（2，+∞）．【点评】：本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题． 12.（填空题，4分）方程组 {x 2=1y 2=x 的解集中元素的个数为___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：通过解方程组得到所求解集和元素个数．【解答】：解：解方程组 {x 2=1y 2=x 得到： {x =1y =1 或 {x =1y =−1 ．所以原方程组解集为{（1，1），（1，-1）}， 则解集的元素个数为2． 故答案是：2．【点评】：本题集合的表示方法，考查运算能力，属于基础题．13.（填空题，4分）若不等式x 2-ax-2＜0在x∈（1，2）内恒成立，则a 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1][1，+∞）【解析】：不等式x 2-ax-2＜0在x∈（1，2）内恒成立⇔a ＞x- 2x 在x∈（1，2）内恒成立，令t （x ）=x- 2x ，x∈（1，2），由函数的单调性求得t （x ）的范围得答案．【解答】：解：由不等式x 2-ax-2＜0在x∈（1，2）内恒成立， 得ax ＞x 2-2，即a ＞x- 2x 在x∈（1，2）内恒成立，令t （x ）=x- 2x ，x∈（1，2），该函数为增函数，则t （x ）＜t （2）=1． 可得a≥1．∴a 的取值范围是[1，+∞）． 故答案为：[1，+∞）．【点评】：本题考查二次函数的性质，考查不等式恒成立问题的求解方法，训练了利用函数单调性求最值，是基础题．14.（填空题，4分）已知函数y=f（x），y=g（x）的对应关系如表：x 1 2 3f（x） 1 3 1x 1 2 3 g（x） 3 2 1则f（g（1））的值为___ ；满足f（g（x））＞g（f（x））的x的值是___ ．【正确答案】：[1]1; [2]2【解析】：根据题意，对于第一空：由函数y=f（x）的对应关系求出g（1）的值，结合f（x）的图象可得f（g（1））的值，对于第二空：分别将x=1，2，3代入f[g（x）]，g[f（x）]，判断出满足f[g（x）]＞g[f（x）]的x．【解答】：解：根据题意，由f（x）的表格可得：g（1）=3，则f（g（1））=f（3）=1，当x=1时，f[g（1）]=1，g[f（1）]=g（1）=3，不满足f[g（x）]＞g[f（x）]，当x=2时，f[g（2）]=f（2）=3，g[f（2）]=g（3）=1，满足f[g（x）]＞g[f（x）]，当x=3时f[g（3）]=f（1）=1，g[f（3）]=g（1）=3，不满足f[g（x）]＞g[f（x）]，故满足f[g（x）]＞g[f（x）]的x的值是2，故答案为1；2．【点评】：本题考查函数的表示方法，涉及函数值的计算，属于基础题．15.（填空题，4分）对任意的x1＜0＜x2，若函数f（x）=a|x-x1|+b|x-x2|的大致图象为如图所示的一条折线（两侧的射线均平行于x轴），试写出a、b应满足的条件___ ．【正确答案】：[1]a＞0且a+b=0；（该结论的等价形式都对）【解析】：将f（x）化为分段函数，逐段与图象对应，根据图象在各段上的变化规律：常数函数、正比例函数、常数函数确定解析式的各项系数．找出共同条件．【解答】：解：当x≤x 1时，f （x ）=-a （x-x 1）-b （x-x 2）=-（a+b ）x+（ax 1+bx 2） 由图可知 {a +b =0 ① ax 1+bx 2＜0 ②当x 1＜0＜x 2时，f （x ）=a （x-x 1）-b （x-x 2）=（a-b ）x-ax 1+bx 2 由图可知 {a −b ＞0 ①′−ax 1+b x 2=0②′当x≥x 2时，f （x ）=a （x-x 1）+b （x-x 2）=（a+b ）x-（ax 1+bx 2） 由图又可得出 ① ② 两式． 由 ① ， ① ′两式可得a=-b ＞0，同时使得 ② ， ② ′成立． 故答案为：a ＞0且a+b=0 （或a=-b ＞0）【点评】：本题考查绝对值函数的图象，以及识图能力、逆向思维能力． 16.（问答题，12分）已知集合A={x|x 2-4x-5＞0}， B ={x|x−(a+3)x−a＜0} ． （1）若A∩B=∅，求实数a 的取值范围； （2）若B⊆A ，求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）先化简集合A ，B ，再根据A∩B=∅，即可求得a 的值． （2）B⊆A ，即B 是A 的子集，即可求得a 的取值范围．【解答】：解：B={x|（x-a ）[x-（a+3）]＜0}={x|a ＜x ＜a+3}，A={x|x 2-4x-5＞0}={x|x ＜-1或x ＞5}，（1）要使A∩B=∅，则需满足下列不等式组 {a +3≤5a ≥−1 ，解此不等式组得-1≤a≤2， 则实数a 的取值范围为[-1，2]， （2）要使B⊆A ，即B 是A 的子集， 则需满足a+3＜-1或a ＞5， 解得a ＞5或a ＜-4，即a 的取值范围是{a|a ＞5或a ＜-4}．【点评】：本题考查了集合间的关系和运算，深刻理解集合间的关系和运算法则是解决此题的关键．17.（问答题，12分）已知函数f(x)=1+x21−x2．（1）求函数f（x）的定义域；（2）用函数单调性定义证明：f（x）在（1，+∞）上是增函数．【正确答案】：【解析】：（1）由分母1-x2≠0，求出函数的定义域{x|x≠±1}；（2）证明：为了便于证明，先整理函数f(x)=1+x 21−x2 = 2−(1−x2)1−x2= 21−x2-1，然后利用函数单调性定义证明，设1＜x1＜x2，作差（x1）-f（x2）变形，直到容易判断符号为止，从而证明函数单调性．【解答】：解：（1）由1-x2≠0，得x≠±1，即f（x）的定义域{x|x≠±1}（2）证明：整理函数f(x)=1+x 21−x2 = 2−(1−x2)1−x2= 21−x2-1，设1＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）= 21−x12−1−21−x22+1 = 2(x1−x2)(x1+x2)(1−x1)(1−x2)(1+x1)(1+x2)∵1＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，1-x2＜0，1-x1＜0，1+x2＞0，1+x1＞0，x2+x1＞0，则f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．【点评】：本题考查了分式函数求定义域的方法，利用函数单调性定义证明函数单调性，属于基础题．18.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R．（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）若f（x）为偶函数，且a＞0，设F(x)={f(x)，x＞0，−f(x)，x＜0.，mn＜0，m+n＞0，判断F（m）+F（n）是否大于零，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）利用f （-1）=0和值域为[0，+∞），结合二次函数的性质可建立方程组求出a ，b 的值，进而可以求解，（2）由（1）可得函数g （x ）解析式，利用已知可得函数的对称轴在区间外，建立不等式即可求解，（3）由已知函数是偶函数可得b=0，进而可得函数F （x ）的解析式，再假设m ＞n ，由已知可得m ＞-n ＞0，进而可得|m|＞|-n|，即可判断F （m ）+F （n ）与0的关系．【解答】：解：（1）由f （-1）=0可得a-b+1=0，又函数的值域为[0，+∞），所以 {a ≠0△=b 2−4a =0 ，解得a=1，b=2，故函数f （x ）的解析式为：f （x ）=x 2+2x+1；（2）由（1）可得g （x ）=f （x ）-kx=x 2+（2-k ）x+1， 对称轴为x= k−22，因为函数g （x ）在区间[-2，2]上单调，则有k−22≤−2或k−22≥2 ，解得k≥6或k≤-2，故k 的取值范围为（-∞，-2]∪[6，+∞）； （3）大于零，理由如下：因为f （x ）是偶函数，所以f （x ）=ax 2+1， 则F （x ）= {ax 2+1，x ＞0−ax 2−1，x ＜0，不妨设m ＞n ，则n ＜0，由m+n ＞0得m ＞-n ＞0， 所以|m|＞|-n|，又a ＞0，所以F （m ）+F （n ）=f （m ）-f （n ）=（am 2+1）-（an 2+1）=a （m 2-n 2）＞0， 故F （m ）+F （n ）大于零．【点评】：本题考查了二次函数的解析式与性质，考查了学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.（问答题，12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P （单位：元/102kg ）与上市时间t （单位：天）的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q （单位：元/102kg ）与上市时间t （单位：天）的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系．（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P=f （t ），写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g （t ）；（2）若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？【正确答案】：【解析】：（1）分0＜t≤200和200＜t≤300两种情况，结合一次函数分段写出P=f （t ）；根据二次函数的顶点式来写Q=g （t ）；（2）设纯收益为W ，则W=f （t ）-g （t ），然后分0＜t≤200和200＜t≤300两种情况，并利用配方法来求W 的最大值．【解答】：解：（1）P=f （t ）= {−t +300，0＜t ≤2002t −300，200＜t ≤300，Q=g （t ）= 1200 （t-150）2+100，0＜t≤300． （2）设纯收益为W ，则W=f （t ）-g （t ）， 若0＜t≤200，W=-t+300- 1200 （t-150）2-100 =- 1200 t 2+ 12 t+1752 =- 1200 （t-50）2+100， ∴当t=50时，纯收益W 最大，为100元/102kg ， 若200＜t≤300， W=2t-300-1200（t-150）2-100=-1200 t 2+ 72 t- 10252 =- 1200（t-350）2+100， ∴当t=300时，纯收益W 最大，为87.5元/102kg ，综上所述，当t=50，即从2月1日开始的第50天上市，西红柿的纯收益最大．【点评】：本题考查分段函数和二次函数的实际应用，选择合适的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.（问答题，12分）对于定义域为D 的函数y=f （x ），若有常数M ，使得对任意的x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D 满足等式f (x 1)+f (x 2)2=M ，则称M 为函数y=f （x ）的“均值”．（1）判断1是否为函数f （x ）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”，请说明理由；（2）若函数f （x ）=ax 2-2x （1＜x ＜2，a 为常数）存在“均值”，求实数a 的取值范围； （3）若函数f （x ）是单调函数，且其值域为区间I ．试探究函数f （x ）的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I 之间的关系，写出你的结论（不必证明）．【正确答案】：【解析】：（1）根据均值的定义，要判断1是函数f （x ）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”，即要验证f (x 1)+f (x 2)2=x 1+x 2+1=1 ；（2）函数f （x ）=ax 2-2x （1＜x ＜2，a 为常数）存在“均值”，当a=0时，f （x ）=-2x （1＜x ＜2）存在“均值”，且“均值”为-3；当a≠0时，由f （x ）=ax 2-2x （1＜x ＜2）存在均值，可知对任意的x 1，都有唯一的x 2与之对应，从而有f （x ）=ax 2-2x （1＜x ＜2）单调，从而求得实数a 的取值范围；（3）根据（1），（2）的结论对于当I=（a ，b ）或[a ，b]时，函数f （x ）存在唯一的“均值”；当I 为（-∞，+∞）时，函数f （x ）存在无数多个“均值”，当为半开半闭区间时，函数f （x ）不存在均值．【解答】：解：（1）对任意的x 1∈[-1，1]，有-x 1∈[-1，1]， 当且仅当x 2=-x 1时，有f (x 1)+f (x 2)2=x 1+x 2+1=1 ，故存在唯一x 2∈[-1，1]，满足f (x 1)+f (x 2)2=1 ，所以1是函数f （x ）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”．（2）当a=0时，f （x ）=-2x （1＜x ＜2）存在“均值”，且“均值”为-3；当a≠0时，由f（x）=ax2-2x（1＜x＜2）存在均值，可知对任意的x1，都有唯一的x2与之对应，从而有f（x）=ax2-2x（1＜x＜2）单调，故有1a ≤1或1a≥2，解得a≥1或a＜0或0＜a≤12，综上，a的取值范围是a≤12或a≥1．（3）① 当I=（a，b）或[a，b]时，函数f（x）存在唯一的“均值”．这时函数f（x）的“均值”为a+b2；② 当I为（-∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；③ 当I=（a，+∞）或（-∞，a）或[a，+∞）或（-∞，a]或[a，b）或（a，b]时，函数f（x）不存在“均值”．① 当且仅当I形如（a，b）、[a，b]其中之一时，函数f（x）存在唯一的“均值”．这时函数f（x）的“均值”为a+b2；② 当且仅当I为（-∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；③ 当且仅当I形如（a，+∞）、（-∞，a）、[a，+∞）、（-∞，a]、[a，b）、（a，b]其中之一时，函数f（x）不存在“均值”．【点评】：此题是个中档题，考查函数单调性的理解，和学生的阅读能力，以及分析解决问题的能力，其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．。
2020-2021学年上海交大附中高一(上)期中数学试卷
2020-2021学年上海交大附中高一（上）期中数学试卷一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题4分，共54分）1．（4分）已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩＝．2．（4分）函数y＝a x+2020+2022（a＞0，a≠1）的图象恒过定点．3．（4分）已知幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2）（n∈Z）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上时减函数，则n的值为．4．（4分）函数y＝的图象的对称中心是．5．（4分）函数y＝的定义域是．6．（4分）已知实数a满足（2a﹣1）＞（a+1），则实数a的取值范围是．7．（5分）已知x＜6，求，的最大值．8．（5分）设log c a、log c b是方程x2+5x﹣3＝0的两个实根，则log c＝．9．（5分）著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是．10．（5分）若关于x的方程22x+a•2x+2a+1＝0（a∈R）有实根，则实数a的取值范围是．11．（5分）已知函数f（x）＝lg（+ax）的定义域为R，则实数a的取值范围是．12．（5分）若实数x、y满足4x+4y＝2x+1+2y+1，则S＝2x+2y的取值范围是．二、选择题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知a，b∈R，则“3a＞3b”是“a3＞b3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（5分）已知函数f（x）＝log a（x+b）的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）＝a x+b的大致图象是（）A．B．C．D．15．（5分）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割（M，N），下列选项中，不可能成立的是（）A．M没有最大元素，N有一个最小元素B．M没有最大元素，N也没有最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M有一个最大元素，N没有最小元素16．（5分）设函数y＝f（x）的定义域D，若对任意的x1∈D，总存在x2∈D，使得f（x1）•f （x2）＝1，则称函数y＝f（x）具有性质M下列结论：①函数y＝3x具有性质M；②函数y＝x3﹣x具有性质M；③若函数y＝log8（x+2），x∈[0，t]具有性质M，则t＝510．其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个三、解答题（共5题，满分76分）17．（14分）已知函数y＝f（x）满足f（x）＝|x﹣a2|+|x﹣2a+1|（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥4的解集；（2）若f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围．18．（14分）有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝log3﹣lgx0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（1）若x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km/min，雌鸟的飞行速度为1km/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？（lg2≈0.3）19．（14分）柯西不等式具体表述如下：对任意实数a1，a2，……a n和b1，b2，……b n，（n∈Z，n≥2）都有（a12+a22+……+a n2）（b12+b22+……+b n2）≥（a1b1+a2b2+……+a n b n）2.当且仅当＝＝……＝时取等号．（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a，b，x，y，不等式+≥成立，（并指出等号成立条件）；（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数x1，x2，……x n，且x1+x2+……+x n＝1．求证：++……+≥（并写出等号成立条件）．20．（16分）已知函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝a x（a＞0，a≠1），且f（﹣2）＝．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）若log2（（m﹣f（x））2+4f（x））＝0在区间[0，2]上有解，求实数m的取值范围；（3）已知≤k＜1，若方程|f（x）﹣1|﹣k＝0的解分别为x1、x2（x1＜x2）方程|f（x）﹣1|﹣＝0的解分别为x3、x4（x3＜x4）求x1﹣x2+x3﹣x4的最大值．21．（18分）对于正整数集合A＝{a1，a2，……，a n}（n∈N*，n≥3），如果任意去掉其中一个元素a i（i＝1，2，……，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”；（Ⅰ）判断集合{1，2，3，4，5}和{1，3，5，7，9，11，13}是否是“可分集合”（不必写过程）；（Ⅱ）求证：五个元素的集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}一定不是“可分集合”；（Ⅲ）若集合A＝{a1，a2，……，a n}（n∈N*，n≥3）是“可分集合”．①证明：n为奇数；②求集合A中元素个数的最小值．2020-2021学年上海交大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题4分，共54分）1．【解答】解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，∴，．故答案为：{1}．2．【解答】解：∵函数y＝a x+2020+2022，∴令x+2020＝0得：x＝﹣2020，此时y＝2023，∴函数的图象恒过定点（﹣2020，2023）．故答案为：（﹣2020，2023）．3．【解答】解：函数f（x）＝（n2+2n﹣2）（n∈Z）为幂函数，∴n2+2n﹣2＝1，解得n＝1或n＝﹣3；当n＝1时，f（x）＝x﹣2，其图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数；当n＝﹣3时，f（x）＝x18，其图象关于y轴对称，但在（0，+∞）上是增函数；∴n的值应为1．故答案为：1．4．【解答】解：因为＝＝﹣3+即y+3＝，可设y′＝y+3，x′＝x+2得到y′＝所以y′与x′成反比例函数关系且为奇函数，则对称中心为（0，0）即y′＝0，x′＝0得到y＝﹣3，x＝﹣2所以函数y的对称中心为（﹣2，﹣3）故答案为（﹣2，﹣3）5．【解答】解：函数y＝中，令＞0，所以0＜＜1，即，所以，解得，即x＞7，所以函数的定义域是（7，+∞）．故答案为：（7，+∞）．6．【解答】解：∵实数a满足，∴，解得0.5＜a＜2，∴实数a的取值范围是（0.5，2）．故答案为：（0.5，2）．7．【解答】解：由＝＝（x﹣6）+，∵x＜6，∴＝﹣[（6﹣x）+]＝﹣16，当且仅当x＝﹣2时，取等号；∴由＝＝（x﹣6）+≤0．即的最大值为0．故答案为：0．8．【解答】解：根据题意，log c a、log c b是方程x2+5x﹣3＝0的两个实根，则，变形可得：（log c a﹣log c b）2＝（log c a+log c b）2﹣4×（log c a log c b）＝37，则log c a﹣log c b＝±，即log c＝±，则log c＝＝±，故答案为：±．9．【解答】解：由反证法的定义得假设的内容为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和，故答案为：存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和10．【解答】解：令2x＝t（t＞0），则方程22x+a•2x+2a+1＝0化为t2+at+2a+1＝0，要使原方程有实根，则方程t2+at+2a+1＝0有大于0的实数根，转化为a＝＝＝，∵t＞0，∴t+2＞2，则＝，当且仅当t+2＝，即t＝时上式等号成立．∴实数a的取值范围是（﹣∞，4﹣2]．故答案为：（﹣∞，4﹣2]．11．【解答】解：函数f（x）＝lg（+ax）的定义域为R，∴+ax＞0恒成立，∴＞﹣ax恒成立，设y＝，x∈R，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦点在y轴上的双曲线的一只，且渐近线方程为y＝±x；令y＝﹣ax，x∈R；它表示过原点的直线；由题意知，直线y＝﹣ax的图象应在y＝的下方，画出图形如图所示∴0≤﹣a≤1或﹣1≤﹣a≤0，解得﹣1≤a≤1；∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．12．【解答】解：∵4x+4y＝（2x+2y）2﹣2••2x2y＝s2﹣2•2x2y，2x+1+2y+1＝2（2x+2y）＝2s，故原式变形为s2﹣2•2x2y＝2s，即2•2x2y＝s2﹣2s，∵0＜2•2x2y≤2•（）2，即0＜s2﹣2s≤，当且仅当2x＝2y，即x＝y时取等号；解得2＜s≤4，故答案为（2，4]．二、选择题（每小题5分，共20分）13．【解答】解：由3a＞3b是得a＞b，由“a3＞b3”得a＞b，即“3a＞3b”是“a3＞b3”的充要条件，故选：C．14．【解答】解：由函数f（x）＝log a（x+b）的图象为减函数可知0＜a＜1，f（x）＝log a（x+b）的图象由f（x）＝log a x向左平移可知0＜b＜1，故函数g（x）＝a x+b的大致图象是B故选：B．15．【解答】解：若M＝{x∈Q|x＜0}，N＝{x∈Q|x≥0}；则M没有最大元素，N有一个最小元素0；故A正确；若M＝{x∈Q|x＜}，N＝{x∈Q|x≥}；则M没有最大元素，N也没有最小元素；故B 正确；M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，故C不正确；若M＝{x∈Q|x≤0}，N＝{x∈Q|x＞0}；M有一个最大元素，N没有最小元素，故D正确；故选：C．16．【解答】解：函数y＝f（x）的定义域D，若对任意的x1∈D，总存在x2∈D，使得f（x1）•f（x2）＝1，则称函数y＝f（x）具有性质M．对于①：f（x）＝3x的定义域为R，所以，则x1+x2＝0．对任意的x1∈D，总存在x2∈D，使得f（x1）•f（x2）＝1，所以函数y＝3x具有该性质．对于②：函数f（x）＝x3﹣x，在R上的定义域为R，所以若取x1＝0，则f（x1）＝0，此时不存在x2∈R，使得f（x1）•f（x2）＝1．对于③：函数f（x）＝log8（x+2），在x∈[0，t]的值域为[，则：，解得t＝510．故③正确．故选：C．三、解答题（共5题，满分76分）17．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝|x﹣4|+|x﹣3|，f（x）≥4等价为或或，解得x≤或x∈∅或x≥，则不等式f（x）≥4的解集为{x|x≤或x≥}；（2）f（x）≥4恒成立等价为f（x）min≥4．由f（x）＝|x﹣a2|+|x﹣2a+1|≥|x﹣a2﹣x+2a﹣1|＝a2﹣2a+1，当（x﹣a2）（x﹣2a+1）≤0时，上式取得等号，则a2﹣2a+1≥4，解得a≥3或a≤﹣1．18．【解答】解：（1）将x0＝5，v＝0代入函数v＝log3﹣lgx0，得：，即＝2（1﹣lg2）≈1.40，所以，所以x＝466．故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为x1，雌鸟每分钟耗氧量为x2，由题意可得：，两式相减可得：，所以，即，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．19．【解答】证明：（1）对任意正实数a，b，x，y，由柯西不等式得，当且仅当时取等号，∴．（2）∵x1+x2+…+x n＝1，∴n+1＝（1+x1）+（1+x2）+…+（1+x n），∵＝，当且仅当时取等号，∴．20．【解答】解：（1）由f（﹣2）＝，可得a﹣2＝，又a＞0，∴a＝2，∴f（x）＝2x；（2）由log2（（m﹣f（x））2+4f（x））＝0可得：（m﹣f（x））2+4f（x）＝1，令t＝f（x），x∈[0，2]，则有t2+（4﹣2m）t+m2﹣1＝0，t∈[1，4]，∵log2（（m﹣f（x））2+4f（x））＝0在区间[0，2]上有解，∴t2+（4﹣2m）t+m2﹣1＝0在t∈[1，4]上有解，令g（t）＝t2+（4﹣2m）t+m2﹣1＝0，t∈[1，4]，可得：△＝（4﹣2m）2﹣4（m2﹣1）＝20﹣16m，对称轴方程为：t＝m﹣2，∵g（1）＝m2﹣2m+4＞0，g（4）＝m2﹣8m+31＞0，∴，解得：m∈∅；（3）由|f（x）﹣1|﹣k＝0，得f（x）＝1﹣k，或f（x）＝1+k，所以，，∴，由|f（x）﹣1|﹣＝0，得，＝，∴，∴＝﹣3+；又因为≤k＜1，所以﹣3+≥3；∴x2﹣x1+x4﹣x3≥log23，∴x1﹣x2+x3﹣x4≤﹣log23．即x1﹣x2+x3﹣x4的最大值为﹣log23．21．【解答】解：（Ⅰ）集合{1，2，3，4，5}不是“可分集合”，集合{1，3，5，7，9，11，13}是“可分集合”；（Ⅱ）不妨设a1＜a2＜a3＜a4＜a5，若去掉的元素为a2，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5＝a3+a4①，或者a5＝a1+a3+a4②；若去掉的元素为a1，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5＝a3+a4③，或者a5＝a2+a3+a4④．由①、③，得a1＝a2，矛盾；由①、④，得a1＝﹣a2，矛盾；由②、③，得a1＝﹣a2，矛盾；由②、④，得，a1＝a2矛盾．因此当n＝5时，集合一定不是“可分集合”；（Ⅲ）①设集合A＝{a1，a2，…，a n}的所有元素之和为M．由题可知，M﹣a i（i＝1，2，…，n）均为偶数，因此a i（i＝1，2，…，n）均为奇数或偶数．如果M为奇数，则M﹣a i（i＝1，2，…，n）也均为奇数，由于M＝a1+a2+…+a n，所以n为奇数．如果M为偶数，则M﹣a i（i＝1，2，…，n）均为偶数，此时设a i＝2b i，则{b1，b2，…，b n}也是“可分集合”．重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”．此时各项之和也为奇数，则集合A中元素个数n为奇数．综上所述，集合A中元素个数为奇数．②当n＝3时，显然任意集合{a1，a2，a3}不是“可分集合”．当n＝5时，第（Ⅱ）问已经证明集合A＝{a1，a3，a4，a5}不是“可分集合”．当n＝7时，集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}，因为：3+5+7+9＝11+13，1+9+13＝5+7+11，9+13＝1+3+7+11，1+3+5+11＝7+13，1+9+11＝3+5+13，3+7+9＝1+5+13，1+3+5+9＝7+11，则集合A是“可分集合”．所以集合A中元素个数n的最小值是7．。
2020-2021学年山东师大附中高三(上)第一次模拟数学试卷
2020-2021学年山东师大附中高三（上）第一次模拟数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知复数z满足（2-i）z=i+i2，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.（单选题，5分）已知集合A={x|y=2x-1}，集合B={y|y=x2}，则集合A∩B=（）A.（1，1）B.{（1，1）}C.{1}D.[0，+∞）3.（单选题，5分）已知x，y∈（0，+∞），2x-4=（1）y，则xy的最大值为（）4A.2B. 98C. 32D. 944.（单选题，5分）若不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，则不等式a（x2+1）+b （x-1）+c＜2ax的解集为（）A.{x|-2＜x＜1}B.{x|x＜-2或x＞1}C.{x|x＜0或x＞3}D.{x|0＜x＜3}5.（单选题，5分）设f0（x）=sinx，f1（x）=f0'（x），f2（x）=f1'（x），…，f n+1（x）=f n'（x），n∈N，则f2020（x）等于（）A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx6.（单选题，5分）某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有（）A.72B.36C.24D.187.（单选题，5分）若幂函数f（x）的图象过点(√22，12)，则函数g(x)=f(x)e x的递增区间为（）A.（0，2）B.（-∞，0）∪（2，+∞）C.（-2，0）D.（-∞，-2）∪（0，+∞）8.（单选题，5分）设函数f（x）=mx2-mx-1，若对于x∈[1，3]，f（x）＞-m+2恒成立，则实数m的取值范围是（）A.（3，+∞）B. (−∞，37)C.（-∞，3）D. (37，+∞)9.（多选题，5分）若复数z= 21+i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.z的虚部为-1B.|z|= √2C.z2为纯虚数D.z的共轭复数为-1-i10.（多选题，5分）下列命题正确的是（）A.“a＞1”是“ 1a＜1”的必要不充分条件B.命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0-1”的否定是“∀x∈（0，+∞），lnx≠x-1”C.若a，b∈R，则ba +ab≥2√ba•ab=2D.设a∈R，“a=1”，是“函数f(x)=a−e x1+ae x在定义域上是奇函数”的充分不必要条件11.（多选题，5分）关于（a-b）11的说法，正确的是（）A.展开式中的二项式系数之和为2048B.展开式中只有第6项的二项式系数最大C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D.展开式中第6项的系数最小AB=2，E为AB中12.（多选题，5分）如图直角梯形ABCD，AB || CD，AB⊥BC，BC=CD= 12点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC=2 √3．则（）A.平面PED⊥平面EBCDB.PC⊥EDC.二面角P-DC-B的大小为π4D.PC与平面PED所成角的正切值为√213.（填空题，5分）从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选三人中男生人数为ξ，则数学期望E（ξ）=___ ．14.（填空题，5分）如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'的中点为M，CD的中点为N，异面直线AM与D'N所成的角是___ ．15.（填空题，5分）在（1-2x）5（2+x）展开式中，x4的系数为___ ．−1=0在（0，e]上有两个不相等的实根，则实16.（填空题，5分）关于x的方程kx−lnxx数k的取值范围为 ___ ．17.（问答题，10分）据某市地产数据研究显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，为抑制房价过快上涨，政府从8月开始采用宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（1）地产数据研究院发现，3月至7月的各月均价y （万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程；（2）若政府不调控，依此相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价．参考数据： ∑5i=1 x i =25， ∑5i=1 y i =5.36， ∑5i=1 （x i - x ）（y i - y ）=0.64；回归方程 y ̂ = b ̂ x+ a ̂ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂ = ∑(x i −x )ni=1(y i −y )∑(x i −x )2n i=1 ， a ̂ = y - b ̂ x ．18.（问答题，12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，四边形ABEF 为等腰梯形，且AB || EF ，AF=2，EF=2AB=4AD=4 √2 ，平面ABCD⊥平面ABEF ．（1）求证：BE⊥DF ；（2）求三棱锥C-AEF 的体积V ．19.（问答题，12分）某新建公司规定，招聘的职工须参加不小于80小时的某种技能培训才能上班．公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200名职工中，参加这种技能培训服务时间不少于90小时的人数，并估计从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率；（Ⅱ）从招聘职工（人数很多）中任意选取3人，记X为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数．试求X的分布列和数学期望E（X）和方差D（X）．20.（问答题，12分）设f（x）=ax3+xlnx．的单调区间；（1）求函数g(x)=f(x)x＜1，求实数a的取值范围．（2）若∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，f(x1)−f(x2)x1−x221.（问答题，12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，M为棱A1B1的中点．（Ⅰ）求证：C1M⊥B1D；（Ⅱ）求二面角B-B1E-D的正弦值；（Ⅲ）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=e x（lnx-ax+a+b）（e为自然对数的底数），a，b∈R，x是曲线y=f（x）在x=1处的切线．直线y= e2（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）是否存在k∈Z，使得y=f（x）在（k，k+1）上有唯一零点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．2020-2021学年山东师大附中高三（上）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知复数z满足（2-i）z=i+i2，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】：C【解析】：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出z的坐标得答案．【解答】：解：由（2-i）z=i+i2，得z=i+i22−i =(−1+i)(2+i)(2−i)(2+i)=−35+15i，∴ z=−35−15i，∴ z在复平面内对应的点的坐标为（−35，−15），位于第三象限角．故选：C．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.（单选题，5分）已知集合A={x|y=2x-1}，集合B={y|y=x2}，则集合A∩B=（）A.（1，1）B.{（1，1）}C.{1}D.[0，+∞）【正确答案】：D【解析】：先分别求出集合A，集合B，由此能求出集合A∩B．【解答】：解：∵集合A={x|y=2x-1}=R，集合B={y|y=x2}={y|y≥0}，∴集合A∩B={y|y≥0}=[0，+∞）．故选：D．【点评】：本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.（单选题，5分）已知x，y∈（0，+∞），2x-4=（14）y，则xy的最大值为（）A.2B. 98C. 32D. 94【正确答案】：A【解析】：由已知结合指数的运算性质可得x+2y=4，然后结合基本不等式即可求解．【解答】：解：因为x，y∈（0，+∞），2x−4=(14)y=（12）2y，所以x-4=-2y即x+2y=4，由基本不等式可得，4=x+2y ≥2√2xy，当且仅当x=2y时取等号，解可得xy≤2，故选：A．【点评】：本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．4.（单选题，5分）若不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，则不等式a（x2+1）+b （x-1）+c＜2ax的解集为（）A.{x|-2＜x＜1}B.{x|x＜-2或x＞1}C.{x|x＜0或x＞3}D.{x|0＜x＜3}【正确答案】：C【解析】：由已知结合二次方程与不等式的关系可得a，b，c的关系，然后结合二次不等式的求法即可求解．【解答】：解：由ax 2+bx+c ＞0的解集为{x|-1＜x ＜2}可得x=-1，x=2是ax 2+bx+c=0的解，由方程的根与系数关系可得， { −1+2=−b a −1×2=c a a ＜0， ∴b=-a ，c=-2a ，a ＜0，则不等式a （x 2+1）+b （x-1）+c ＜2ax 可得ax 2+a-ax+a-2a ＜2ax ，整理可得，x 2-3x ＞0，解可得x ＞3或x ＜0．故选：C ．【点评】：本题主要考查了一元二次不等式与二次方程的关系的相互转化，还考查了二次不等式的求解，体现了转化思想的应用．5.（单选题，5分）设f 0（x ）=sinx ，f 1（x ）=f 0'（x ），f 2（x ）=f 1'（x ），…，f n+1（x ）=f n '（x ），n∈N ，则f 2020（x ）等于（ ）A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx【正确答案】：A【解析】：由题意知f 0（x ）=sinx ，f 1（x ）=f 0'（x ），f 2（x ）=f 1'（x ），…，f n+1（x ）=f n '（x ），n∈N ，所以列举出各项发现周期为4，即可得到答案．【解答】：解：由题意知f 0（x ）=sinx ，f 1（x ）=f 0'（x ），f 2（x ）=f 1'（x ），…，f n+1（x ）=f n '（x ），n∈N ，所以由题意知f 0（x ）=sinx ，f 1（x ）=cosx ，f 2（x ）=-sinx ，f 3（x ）=-cosx ，f 4（x ）=sinx ，所以发现f n （x ）周期为4，所以2021÷4=505••1，所以f 2020（x ）=f 0（x ）=sinx ，故选：A．【点评】：本题考查了导数公式以及函数的周期性，属于简单题．6.（单选题，5分）某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有（）A.72B.36C.24D.18【正确答案】：B【解析】：根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可．【解答】：解：2名内科医生，每个村一名，有2种方法，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，若甲村分1名外科，2名护士，则由C31C32 =3×3=9若甲村分2名外科医生和1名护士，C32C31 =3×3=9，则分组方法有2×（9+9）=36，故选：B．【点评】：本题主要考查排列组合的应用，根据条件进行分类讨论是解决本题的关键．7.（单选题，5分）若幂函数f（x）的图象过点(√22，12)，则函数g(x)=f(x)e x的递增区间为（）A.（0，2）B.（-∞，0）∪（2，+∞）C.（-2，0）D.（-∞，-2）∪（0，+∞）【正确答案】：A【解析】：先求幂函数f（x），再利用导数判定函数g（x）的单调递增区间．【解答】：解：设幂函数f（x）=xα，它的图象过点（√22，12），∴（√22）α= 12，∴α=2；∴f（x）=x2；∴g（x）= x2e x ，g′（x）= x(2−x)e x，令g′（x）＞0，即2-x＞0，解得：0＜x＜2，故g（x）在（0，2）递增，故选：A．【点评】：本题考查了幂函数的定义以及利用导数判定函数的单调区间问题，是中档题．8.（单选题，5分）设函数f（x）=mx2-mx-1，若对于x∈[1，3]，f（x）＞-m+2恒成立，则实数m的取值范围是（）A.（3，+∞）B. (−∞，37)C.（-∞，3）D. (37，+∞)【正确答案】：A【解析】：由题意可得m＞3x2−x+1在x∈[1，3]恒成立，即m＞（3x2−x+1）max，运用y=3x2−x+1在[1，3]递减，即可得到所求范围．【解答】：解：函数f（x）=mx2-mx-1，若对于x∈[1，3]，f（x）＞-m+2恒成立，则mx2-mx-1＞-m+2恒成立，即m＞3x2−x+1恒成立，由y= 3x2−x+1在[1，3]递减，可得x=1时，y取得最大值3，可得m＞3，即m的取值范围是（3，+∞）．故选：A．【点评】：本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和函数的单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．9.（多选题，5分）若复数z= 21+i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.z的虚部为-1B.|z|= √2C.z2为纯虚数D.z的共轭复数为-1-i【正确答案】：ABC【解析】：利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．【解答】：解：∵z= 21+i = 2(1−i)(1+i)(1−i)=1-i，∴z的虚部为-1，|z|= √2，z2=（1-i）2=-2i为纯虚数，z的共轭复数为1+i．∴正确的选项为：ABC．故选：ABC．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10.（多选题，5分）下列命题正确的是（）A.“a＞1”是“ 1a＜1”的必要不充分条件B.命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0-1”的否定是“∀x∈（0，+∞），lnx≠x-1”C.若a，b∈R，则ba +ab≥2√ba•ab=2D.设a∈R，“a=1”，是“函数f(x)=a−e x1+ae x在定义域上是奇函数”的充分不必要条件【正确答案】：BD【解析】：对于A：直接利用不等式的解法求出解集，进一步利用充分条件和必要条件的应用求出结果．对于B：直接利用命题的否定的应用判定结果；对于C：直接利用基本不等式的应用和不等式的成立的条件的应用判定结果；对于D：直接利用奇函数的性质的应用判定结果．【解答】：解：对于选项A：1a ＜1，整理得1−aa＜0，即a（a-1）＞0，解得a＞1或a＜0，所以“a＞1”是“ 1a＜1”的充分不必要条件，故A错误；对于B：命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0-1”的否定是“∀x∈（0，+∞），lnx≠x-1”故B正确；对于C：当ab＞0时，ba +ab≥2√ba•ab=2，故C错误．对于D：设a∈R，“a=1”时“函数f(x)=a−e x1+ae x =1−e x1+e x在定义域上是奇函数”，当函数f(x)=a−e x1+ae x在定义域上是奇函数，利用f（-x）=-f（x），则a=±1，故“a=1”，是“函数f(x)=a−e x1+ae x在定义域上是奇函数”的充分不必要条件，故D正确．故选：BD．【点评】：本题考查的知识要点：不等式的解法和应用，命题的否定，基本不等式，函数的奇偶性，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．11.（多选题，5分）关于（a-b）11的说法，正确的是（）A.展开式中的二项式系数之和为2048B.展开式中只有第6项的二项式系数最大C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D.展开式中第6项的系数最小【正确答案】：ACD【解析】：对于A，B，C选项，分别利用赋值法，二项式系数的性质即可解决；对于选项D，先根据通项写出其系数的表达式，构造不等式即可．【解答】：解：对于A：二项式系数之和为211=2048，故A正确；对于B、C：展开式共12项，中间第6、7项的二项式系数最大，故B错误，C正确；对于D：展开式中各项的系数为C k+1=(−1)k C11k，k=0，1，……，11，（注：用C k+1表示展开式中第k+1项的系数．）易知当k=5时，该项的系数最小．故D正确．故选：ACD．【点评】：本题考查了二项式展开式二项式系数的性质、以及系数与二项式系数的关系，需要熟记公式才能解决问题．同时考查了学生的计算能力和逻辑推理能力．12.（多选题，5分）如图直角梯形ABCD，AB || CD，AB⊥BC，BC=CD= 12AB=2，E为AB中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC=2 √3．则（）A.平面PED⊥平面EBCDB.PC⊥EDC.二面角P-DC-B的大小为π4D.PC与平面PED所成角的正切值为√2【正确答案】：AC【解析】：在A中，四边形EBCD是边长为2的正方形，PE=2，推导出PE⊥DE，PE⊥CE，从而PE⊥平面EBCD，进而平面PED⊥平面EBCD；在B中，由DE || BC，BC⊥PB，得BC与PC 不垂直，从而PC与ED不垂直；在C中，推导出BE⊥平面PDE，BE || CD，从而CD⊥平面PDE，进而∠PDE是二面角P-DC-B的平面角，进而求出二面角P-DC-B的大小为π4；在D中，PC与平面PED所成角的正切值为tan∠CPD= CDPD =2√2=√22．【解答】：解：直角梯形ABCD，AB || CD，AB⊥BC，BC=CD= 12AB=2，E为AB中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC=2 √3．在A中，四边形EBCD是边长为2的正方形，PE=2，∴PE⊥DE，CE= √22+22 =2 √2，∴PE2+CE2=PC2，∴PE⊥CE，∵DE∩CE=E，∴PE⊥平面EBCD，∵PE⊂平面PED，∴平面PED⊥平面EBCD，故A正确；在B中，∵DE || BC，BC⊥PB，∴BC与PC不垂直，∴PC与ED不垂直，故B错误；在C中，∵BE⊥PE，BE⊥DE，PE∩DE=E，∴BE⊥平面PDE，∵BE || CD，∴CD⊥平面PDE，∴∠PDE是二面角P-DC-B的平面角，∵PE⊥平面BCD，PE=DE，∴∠PDE= π4，∴二面角P-DC-B的大小为π4，故C正确；在D中，∵CD⊥平面PDE，∴∠CPD是PC与平面PED所成角，PD= √PC2−CD2 = √(2√3)2−22 =2 √2，∴PC与平面PED所成角的正切值为tan∠CPD= CDPD =2√2=√22，故D错误．故选：AC．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是中档题．13.（填空题，5分）从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选三人中男生人数为ξ，则数学期望E（ξ）=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：随机变量随机ξ的所有可能的取值为1，2，3．分别求出其对应的概率，列出分布列，求期望即可．【解答】：解：随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3．P（ξ=1）= C41C22C63 = 15．P（ξ=2）= C42C21C63 = 35．P（ξ=3）= C43C63 = 15．所有随机变量ξ的分布列为：ξ 1 2 3P 153515所以ξ的期望E（ξ）=1× 15 +2× 35+3× 15=2．故答案为：2．【点评】：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14.（填空题，5分）如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'的中点为M，CD的中点为N，异面直线AM与D'N所成的角是___ ．【正确答案】：[1]90°【解析】：取CC′中点M′，连接DM′，利用三角形全等证明DM′⊥D′N即可得出答案．【解答】：解：取CC′中点M′，连接DM′，则AM || DM′，由△DCM′≌△D′DC可知∠CDM′=∠DD′N，∴∠CDM′+∠D′ND=∠DD′N+∠D′ND=90°，∴DM′⊥D′N，∴AM⊥D'N，∴异面直线AM与D'N所成的角为90°．故答案为：90°．【点评】：本题考查了异面直线所成角的计算，属于基础题．15.（填空题，5分）在（1-2x）5（2+x）展开式中，x4的系数为___ ．【正确答案】：[1]80【解析】：从展开式中求出含有x4的项，找出对应的系数，即可求解．【解答】：解：由已知可得：含有x4的项为C 54(−2x)4×2+C53(−2x)3×x =160x4-80x4=80x4，所以x4的系数为80，故答案为：80．【点评】：本题考查了二项式定理的展开式的系数问题，属于基础题．16.（填空题，5分）关于x的方程kx−lnxx−1=0在（0，e]上有两个不相等的实根，则实数k的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1] [e+1e2，1)【解析】：把kx−lnxx −1=0变形为k= lnxx2+1x，先利用导数研究函数f（x）=f（x）= lnxx2+1x，x∈（0，e]的单调性与极值，结合题意得答案．【解答】：解：kx−lnxx −1=0可变形为：k= lnxx2+1x，设f（x）= lnxx2+1x，x∈（0，e]f′（x）= 1−2lnx−xx3，设g（x）=1-2lnx-x，x∈（0，e]g′（x）= −2x−1＜0，即y=g（x）为减函数，又g（1）=0，即0＜x＜1时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，1＜x ＜e 时，g （x ）＜0，f′（x ）＜0，即y=f （x ）在（0，1）为增函数，在（1，e ）为减函数， 又x→0+时，f （x ）→-∞， f （1）=1，f （e ）= e+1e 2 ． 关于x 的方程 kx −lnx x −1=0 在区间（0，e]上有两个不相等的实根，等价于y=f （x ）的图象与直线y=k 的交点个数有两个，由上可知，当 e+1e 2 ≤k ＜1时，关于x 的方程 kx −lnx x−1=0 在区间（0，e]上有两个不相等的实根，故答案为： [e+1e 2，1) ．【点评】：本题考查了导数的综合应用，利用导数研究函数的大致图象，属中档题． 17.（问答题，10分）据某市地产数据研究显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，为抑制房价过快上涨，政府从8月开始采用宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（1）地产数据研究院发现，3月至7月的各月均价y （万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程；（2）若政府不调控，依此相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价．参考数据： ∑5i=1 x i =25， ∑5i=1 y i =5.36， ∑5i=1 （x i - x ）（y i - y ）=0.64；回归方程 y ̂ = b ̂ x+ a ̂ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂ = i −x )ni=1i −y )∑(x −x)2n ， a ̂ = y - b ̂ x ．【正确答案】：【解析】：（1）由题意，计算 x 、 y ，求出回归系数 b ̂ 、 a ̂ ，即可写出回归方程； （2）利用（1）中回归方程，计算x=12时 y ̂ 的值即可．【解答】：解：（1）由题意，得出下表；月份x 3 4 5 6 7 均价y0.950.981.111.121.20计算 x = 15 × ∑5i=1 x i =5， y = 15 × ∑5i=1 y i =1.072， ∑5i=1 （x i - x ）（y i - y ）=0.64， ∴ b ̂ = ∑(x i −x )ni=1(y i −y )∑(x i−x )2n i=1= 0.64(3−5)2+(4−5)2+(5−5)2+(6−5)2+(7−5)2 =0.064， a ̂ = y - b̂ x =1.072-0.064×5=0.752， ∴从3月到6月，y 关于x 的回归方程为 y ̂ =0.064x+0.752；（2）利用（1）中回归方程，计算x=12时， y ̂ =0.064×12+0.752=1.52； 即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.52万元/平方米．【点评】：本题考查了回归直线方程的求法与应用问题，正确计算是解题的关键．18.（问答题，12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，四边形ABEF 为等腰梯形，且AB || EF ，AF=2，EF=2AB=4AD=4 √2 ，平面ABCD⊥平面ABEF ． （1）求证：BE⊥DF ；（2）求三棱锥C-AEF 的体积V ．【正确答案】：【解析】：（1）取EF 的中点G ，连结AG ，推导出四边形ABEG 为平行四边形，AG || BE ，且AG=BE=AF=2，再求出AG⊥AF ，AD⊥AB ，从而AD⊥平面ABEF ，AD⊥AG ，进而AG⊥平面ADF ，再由AG || BE ，得BE⊥平面ADF ，由此能证明BE⊥DF ；（2）首先证明CD || 平面ABEF ，可得V C-AEF =V D-AEF ，由（1）得DA⊥平面ABEF ，再求出三角形AEF的面积，代入棱锥体积公式得答案．【解答】：（1）证明：取EF的中点G，连结AG，∵EF=2AB，∴AB=EG，又AB || EG，∴四边形ABEG为平行四边形，∴AG || BE，且AG=BE=AF=2，在△AGF中，GF= 12EF=2 √2，AG=AF=2，∴AG2+AF2=GF2，∴AG⊥AF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴AD⊥平面ABEF，又AG⊂平面ABEF，∴AD⊥AG，∵AD∩AF=A，∴AG⊥平面ADF，∵AG || BE，∴BE⊥平面ADF，∵DF⊂平面ADF，∴BE⊥DF；（2）解：∵CD || AB且CD⊄平面ABEF，BA⊂平面ABEF，∴CD || 平面ABEF，∴V C-AEF=V D-AEF，由（1）得，DA⊥平面ABEF，∵ S△AEF=12×4√2×√2=4，∴V C-AEF=V D-AEF= 13×4×√2=4√23．【点评】：本题考查线线垂直的证明，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.（问答题，12分）某新建公司规定，招聘的职工须参加不小于80小时的某种技能培训才能上班．公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200名职工中，参加这种技能培训服务时间不少于90小时的人数，并估计从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率；（Ⅱ）从招聘职工（人数很多）中任意选取3人，记X 为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数．试求X 的分布列和数学期望E （X ）和方差D （X ）．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）依题意，参加这种技能培训时间在时间段[90，95）小时的职工人数为60，在时间段[95，100）小时的职工人数为20，由此能求出从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率．（Ⅱ）依题意，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列、数学期望与方差．【解答】：解：（Ⅰ）依题意，参加这种技能培训时间在时间段[90，95）小时的职工人数为：200×0.04×5=40，在时间段[95，100）小时的职工人数为200×0.02×5=20，∴抽取的200位职工中，参加这种技能培训时间不少于90小时的职工人数为60， ∴从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率估计为： p= 60200 = 310 ．（Ⅱ）依题意，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，P （X=0）= C 30(35)3 = 27125 ， P （X=1）= C 31(25)(35)2 = 54125 ，P（X=2）= C32(25)2(35) = 36125，P（X=3）= C33(25)3=8125，∴随机变量X的分布列为：∵X～B（3，5），EX= 3×5=5，DX=3×5×5=25．【点评】：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．20.（问答题，12分）设f（x）=ax3+xlnx．（1）求函数g(x)=f(x)x的单调区间；（2）若∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，f(x1)−f(x2)x1−x2＜1，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为a≤−lnx3x2，设ℎ(x)=−lnx3x2，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】：解：（1）g（x）=ax2+lnx（x＞0），g′(x)=2ax+1x =2ax2+1x(x＞0)，① 当a≥0时，g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增；② 当a＜0时，若x∈(0，√−12a )，则g'（x）＞0，若x∈(√−12a，+∞)，则g'（x）＜0，所以g（x）在(0，√−12a )上单调递增，在(√−12a，+∞)上单调递减．综上，当a≥0时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，函数g（x）在(0，√−12a )上单调递增，在(√−12a，+∞)上单调递减．（2）因为x1＞x2＞0，所以f（x1）-f（x2）＜x1-x2，即f（x1）-x1＜f（x2）-x2恒成立，设F（x）=f（x）-x在（0，+∞）上为减函数，即F'（x）≤0恒成立．所以F'（x ）=3ax 2+lnx≤0，即 a ≤−lnx3x 2，设 ℎ(x )=−lnx3x 2， ℎ′(x )=−3+6lnx9x 3(x ＞0) ， 当 x ∈(0，√e) ，h'（x ）＜0，h （x ）单减，当 x ∈(√e ，+∞) ，h'（x ）＞0，h （x ）单增， ℎ(x )≥ℎ(√e)=−16e ，所以 a ≤−16e ．【点评】：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．21.（问答题，12分）如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC⊥BC ，AC=BC=2，CC 1=3，点D ，E 分别在棱AA 1和棱CC 1上，且AD=1，CE=2，M 为棱A 1B 1的中点． （Ⅰ）求证：C 1M⊥B 1D ；（Ⅱ）求二面角B-B 1E-D 的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）方法一：根据线面垂直的性质定理和判定定理即可证明； 方法二：建立空间坐标系，根据向量的数量积等于0，即可证明；（Ⅱ）先平面DB 1E 的法向量 n ⃗ ，再根据向量的夹角公式，求出二面角B-B 1E-D 的正弦值； （Ⅱ）求出cos ＜ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， n ⃗ ＞值，即可求出直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．【解答】：解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ， 则该三棱柱是个直三棱柱（各侧棱均垂直底面，各侧面均与底面垂直） ∵C 1A 1=C 1B 1=2，M 为 M 为棱A 1B 1的中点， ∴C 1M⊥A 1B 1，又平面C 1A 1B 1⊥平面A 1B 1BA ， ∴C 1M⊥平面A 1B 1BA ， ∵B 1D⊂A 1B 1BA ， ∴C 1M⊥B 1D ； 方法二：（Ⅰ）以C 为原点， CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则C （0，0，0），A （2，0，0），B （0，2，0），C 1（0，0，3），A 1（2，0，3），B 1（0，2，3），D （2，0，1），E （0，0，2），M （1，1，3）， ∴C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，1，0）， B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，-2，-2）， ∴ C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2-2+0=0，∴C 1M⊥B 1D ；（Ⅱ）依题意， CA⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0，0）是平面BB 1E 的一个法向量， EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，1）， ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0，-1）， 设 n ⃗ =（x ，y ，z ）为平面DB 1E 的法向量， 则 {n ⃗ •EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即 {2y +z =02x −z =0 ，不妨设x=1，则 n ⃗ =（1，-1，2）， ∴cos ＜ CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， n ⃗ ＞= CA ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ |CA ⃗⃗⃗⃗⃗|•|n⃗ | = √66 ， ∴sin ＜ CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， n ⃗ ＞= √1−16 = √306 ，∴二面角B-B 1E-D 的正弦值√306； （Ⅲ）依题意， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，2，0），由（Ⅱ）知， n ⃗ =（1，-1，2）为平面DB 1E 的一个法向量，∴cos ＜ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， n ⃗ ＞= AB ⃗⃗⃗⃗⃗•n ⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|n ⃗ | =- √33，∴直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为√33．【点评】：本题考查了空间向量在几何中的应用，线线平行和二面角和线面角的求法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=e x（lnx-ax+a+b）（e为自然对数的底数），a，b∈R，直线y= e2x是曲线y=f（x）在x=1处的切线．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）是否存在k∈Z，使得y=f（x）在（k，k+1）上有唯一零点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，解方程可得所求值；（Ⅱ）求得f（x）的导数，设g（x）=lnx-x+ 1x + 12，求得导数，判断单调性，求得g（1），g（2）的符号，判断g（x）的零点范围，可得f（x）的零点范围，即可得到所求k的值．【解答】：解：（Ⅰ）f（x）=e x（lnx-ax+a+b）的导数为f′（x）=e x（lnx-ax+ 1x+b），由已知，有f（1）=eb= e2，f′（1）=e（b-a+1）= e2，解得a=1，b= 12；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x（lnx-x+ 32），则f′（x）=e x（lnx-x+ 1x + 12），令g（x）=lnx-x+ 1x + 12，则g′（x）=- x2−x+1x2＜0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，又因为g（1）= 12＞0，g（2）=ln2-1＜0，所以存在唯一的x0∈（1，2），使得g（x0）=0，且当x∈（0，x0）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减．又因为当x→0时，f（x）＜0，f（1）= e2＞0，f（2）=e2（ln2- 12）＞0，f（e）=e e（52-e）＜0，所以存在k=0或2，使得y=f（x）在（k，k+1）上有唯一零点．【点评】：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查函数零点存在定理和构造函数法，考查化简运算能力，属于中档题．。
2021-2022学年上海交大附中高一(上)期末数学试卷
2021-2022学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）函数 $y=\frac{1}{2}sin2x$ 的最小正周期T=___ ．2.（填空题，4分）已知函数f（x）=ax2+2x是奇函数，则实数a=___ ．3.（填空题，4分）已知集合A={x||x|＜2}，B={x| $\frac{1}{x+1}$ ＞0}，则A∩B=___ ．4.（填空题，4分）方程lg（2x+1）+lgx=1的解集为 ___ ．5.（填空题，4分）设函数 $f(x)=\left\{{\left.\begin{array}{l}{{x^2}+1(x≥0)}\\{2x(x＜0)}\end{array}\right.}\right.$ ，那么f-1（10）=___ ．6.（填空题，4分）若集合A={x|3cos2πx=3x，x∈R}，B={y|y2=1，y∈R}，则A∩B=___ ．7.（填空题，5分）幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么αβ=___ ．8.（填空题，5分）已知函数f（x）=a x+1-2（a＞0且a≠1）的图象不经过第四象限，则a的取值范围为___ ．9.（填空题，5分）已知函数f（x）=asinx+cosx在 $[{0，\frac{π}{2}}]$上的最小值为-2，则实数a的值为 ___ ．10.（填空题，5分）给出四个命题：其中所有的正确命题的序号是___① 存在实数α，使sinαcosα=1；② 存在实数α，使$sinα+cosα=\frac{3}{2}$ ；③ $y=sin(\frac{5π}{2}-2x)$ 是偶函数；④ $x=\frac{π}{8}$是函数 $y=sin(2x+\frac{5π}{4})$的一条对称轴方程；⑤ 若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ．11.（填空题，5分）某同学向王老师请教一题：若不等式x-4e x-alnx≥x+1对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．王老师告诉该同学：“e x≥x+1恒成立，当且仅当x=0时取等号，且g（x）=x-4lnx在（1，+∞）有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中a的取值范围是___ ．12.（填空题，5分）设二次函数f（x）=mx2-2x+n（m，n∈R），若函数f（x）的值域为[0，+∞），且f（1）≤2，则 $\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}+1}$ + $\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}+1}$ 的取值范围为 ___ ．13.（单选题，5分）一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是（）弧度A.2B.3C.4D.514.（单选题，5分）对于函数f（x）=asinx+bx+c（其中，a，b∈R，c∈Z），选取a，b，c 的一组值计算f（1）和f（-1），所得出的正确结果一定不可能是（）A.4和6B.3和1C.2和4D.1和215.（单选题，5分）设函数f（x）= $\frac{1}{x}$ ，g（x）=ax2+bx（a，b∈R，a≠0）若y=f （x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（）A.当a＜0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0B.当a＜0时，x1+x2＞0，y1+y2＜0C.当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＜0D.当a＞0时，x1+x2＞0，y1+y2＞016.（单选题，5分）设函数f（x）=2x-2-x+ $\frac{3}{|x|+1}$ ，x∈R，对于实数a、b，给出以下命题：命题p1：a+b≥0；命题p2：a-b2≥0；命题q：f（a）+f（b）≥0．下列选项中正确的是（）A.p1、p2中仅p1是q的充分条件B.p1、p2中仅p2是q的充分条件C.p1、p2都不是q的充分条件D.p1、p2都是q的充分条件17.（问答题，15分）已知函数 $f(x)=lg\frac{1+x}{1-x}$ 的定义域为集合A，集合B=（a，a+1），且B⊆A．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：函数y=f（x）是奇函数但不是偶函数．18.（问答题，15分）如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：① 设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S=g（θ），求g（θ）的表达式，并写出θ的范围．② 设BC=x（cm），矩形ABCD的面积为S=f（x），求f（x）的表达式，并写出x的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．19.（问答题，15分）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦： $sinh(x)=\frac{{e^x}-{e^{-x}}}{2}$ ，双曲余弦函数： $cosh(x)=\frac{{e^x}+{e^{-x}}}{2}$ ．（e是自然对数的底数，e=2.71828⋯）．（1）解方程：cosh（x）=2；（2）类比两角和的正弦公式，写出两角和的双曲正弦公式：sinh（x+y）=___ ，并证明；（3）若对任意t∈[0，ln2]，关于x的方程sinh（t）+cosh（x）=a有解，求实数a的取值范围．20.（问答题，15分）对闭区间I，用M I表示函数y=f（x）在I上的最大值．（1）对于 $f(x)=x+\frac{4}{x}$ ，求M[1，4]的值；（2）已知 $f(x)=asin({x+\frac{π}{3}})+cos({x+\frac{π}{2}})$，且y=f（x）偶函数，${M_{[a，b]}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求b-a的最大值；（3）已知f（x）=sinx，若有且仅有一个正数a使得M[0，a]=kM[a，2a]成立，求实数k的取值范围．21.（问答题，16分）定义域为R的函数y=f（x），对于给定的非空集合A，A⊆R，若对于A 中的任意元素a，都有f（x+a）≥f（x）成立，则称函数y=f（x）是“集合A上的Z-函数”．（1）给定集合A={-1，1}，函数y=f（x）是“集合A上的Z-函数”，求证：函数y=f（x）是周期函数；（2）给定集合A={1}，g（x）=ax2+bx+c，若函数y=g（x）是“集合A上的Z-函数”，求实数a、b、c所满足的条件；（3）给定集合A=[0，1]，函数y=h（x）是“集合A上的Z-函数”，求证：“y=h（x）是周期函数”的充要条件是“y=h（x）是常值函数”．2021-2022学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）函数 $y=\frac{1}{2}sin2x$ 的最小正周期T=___ ．【正确答案】：[1]π【解析】：直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可．【解答】：解：由三角函数的周期公式可知，函数y= $\frac{1}{2}$ sin2x的最小正周期为T= $\frac{2π}{2}$=π故答案为：π．【点评】：本题考查三角函数的周期公式的应用，是基础题，送分题．函数f（x）=Asin （ωx+φ）的最小正周期为；T= $\frac{2π}{|ω|}$．2.（填空题，4分）已知函数f（x）=ax2+2x是奇函数，则实数a=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：由奇函数定义入手寻找特殊值是解决此问题的最简解法．【解答】：解：由奇函数定义有f（-x）=-f（x），则f（-1）=a-2=-f（1）=-（a+2），解得a=0．【点评】：本题考查奇函数定义．3.（填空题，4分）已知集合A={x||x|＜2}，B={x| $\frac{1}{x+1}$ ＞0}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{x|-1＜x＜2}【解析】：利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合A，B，再根据集合交集运算法则，即可求出答案．【解答】：解：∵集合A={x||x|＜2}=（-2，2）B={x| $\frac{1}{x+1}$ ＞0}=（-1，+∞）∴A∩B=（-1，2）={x|-1＜x＜2}故答案为：{x|-1＜x＜2}【点评】：本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据绝对值不等式及分式不等式的解法，求出集合A，B，是解答本题的关键．4.（填空题，4分）方程lg（2x+1）+lgx=1的解集为 ___ ．【正确答案】：[1]{2}【解析】：在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的和等于乘积的对数去掉对数符号，求解一元二次方程得答案．【解答】：解：∵lg（2x+1）+lgx=1，∴lg（x（2x+1））=lg10，∴ $\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{2x+1＞0}\\{x(2x+1)=10}\end{array}\right.$ ，解得：x=2．故答案为：{2}．【点评】：本题考查了对数的运算性质，关键是注意对数式本身有意义，是基础题．5.（填空题，4分）设函数 $f(x)=\left\{{\left.\begin{array}{l}{{x^2}+1(x≥0)}\\{2x(x＜0)}\end{array}\right.}\right.$ ，那么f-1（10）=___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：欲求f-1（10），根据原函数的反函数为f-1（x）知，只要求满足于f（x）=10的x 的值即可，故只要解方程f（x）=10即得．【解答】：解：令f（t）=10，则t=f-1（10），当t＜0有2t=10⇒t=5，不合，当t≥0有t2+1=10⇒t=-3（舍去）或t=3，那么f-1（10）=3故答案为：3．【点评】：本题主要考查了反函数，一般地，设函数y=f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x=f（y）．若对于y在C中的任何一个值，通过x=f（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=f（y）就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x=f（y）（y∈C）叫做函数y=f（x）（x∈A）的反函数，记作y=f-1（x）．6.（填空题，4分）若集合A={x|3cos2πx=3x，x∈R}，B={y|y2=1，y∈R}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{1}【解析】：利用余弦函数和指数函数的图象化简集合A，求解二次方程化简集合B，然后直接取交集运算．【解答】：解：函数y=3cos2πx与y=3x的图象如图，所以A={x|3cos2πx=3x，x∈R}={x1，x2，1}，B={y|y2=1，y∈R}={-1，1}，所以A∩B={x1，x2，1}∩{-1，1}={1}．故答案为{1}．【点评】：本题考查了交集及其运算，考查了余弦函数和指数函数的图象，解答的关键是由余弦函数和指数函数的图象化简集合A．是基础题．7.（填空题，5分）幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么αβ=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：先确定M、N的坐标，然后求得α，β；再求αβ的值．【解答】：解：BM=MN=NA，点A（1，0），B（0，1），所以M $(\frac{1}{3}，\frac{2}{3})$N $(\frac{2}{3}，\frac{1}{3})$ ，分别代入y=xα，y=xβ$α={log}_{\frac{2}{3}}^{\frac{1}{3}}，\;\;\;β={log}_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}$$αβ={log}_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}\bullet {log}_{\frac{2}{3}}^{\frac{1}{3}}=1$故答案为：1【点评】：本题考查指数与对数的互化，幂函数的图象，是基础题．8.（填空题，5分）已知函数f（x）=a x+1-2（a＞0且a≠1）的图象不经过第四象限，则a的取值范围为___ ．【正确答案】：[1][2，+∞）【解析】：根据指数函数的图象与性质，求出f（x）恒过定点，结合题意列不等式求出a的取值范围．【解答】：解：函数f（x）=a x+1-2（a＞0且a≠1）中，令x+1=0，得x=-1，所以f（-1）=1-2=-1，即f（x）的图象过定点（-1，-1）；由f（x）的图象不经过第四象限，则f（0）=a-2≥0，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】：本题主要考查了指数型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．9.（填空题，5分）已知函数f（x）=asinx+cosx在 $[{0，\frac{π}{2}}]$上的最小值为-2，则实数a的值为 ___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：f（x）=asinx+cosx在 $[{0，\frac{π}{2}}]$上的最小值为-2，可分a≥0与a＜0两类讨论，结合题意求得实数a的值．【解答】：解：∵函数f（x）=asinx+cosx在 $[{0，\frac{π}{2}}]$上的最小值为-2，① 若a≥0，则y=asinx≥0，y=cosx≥0，f（x）≥0，与题意不符；② 若a＜0，则y=asinx与y=cosx均在 $[{0，\frac{π}{2}}]$上单调递减，∴f（x）=asinx+cosx在 $[{0，\frac{π}{2}}]$上单调递减，∴f（x）min=f（ $\frac{π}{2}$）=a=-2，符合题意，故答案为：-2．【点评】：本题考查三角函数的单调性与最值，考查分类讨论思想与逻辑思维能力及运算求解能力，属于中档题．10.（填空题，5分）给出四个命题：其中所有的正确命题的序号是___① 存在实数α，使sinαcosα=1；② 存在实数α，使$sinα+cosα=\frac{3}{2}$ ；③ $y=sin(\frac{5π}{2}-2x)$ 是偶函数；④ $x=\frac{π}{8}$是函数 $y=sin(2x+\frac{5π}{4})$的一条对称轴方程；⑤ 若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ．【正确答案】：[1] ③ ④【解析】：根据二倍角公式得到sinαcosα= $\frac{1}{2}$ sin2α，结合正弦函数的值域可判断① 正误；根据两角和与差的正弦公式可得到sinα+cosα= $\sqrt{2}$ sin（α+ $\frac{π}{4}$）结合正弦函数的可判断② 正误；根据诱导公式得到 $y=sin(\frac{5π}{2}-2x)$ =sin（ $\frac{π}{2}$ -2x）=cos2x，再由余弦函数的奇偶性可判断③ 正误；将 $x=\frac{π}{8}$代入到 $y=sin(2x+\frac{5π}{4})$得到sin（2× $\frac{π}{8}$ +$\frac{5π}{4}$）=sin $\frac{3π}{2}$ =-1，根据正弦函数的对称性可判断④ 正误．利用反例判断⑤ 的正误，即可．【解答】：解：对于① ，由sinα•cosα=1，得sin2α=2，矛盾；① 错误．对于② ，由$sinα+cosα=\frac{3}{2}$ ，得 $\sqrt{2}$ sin（α+ $\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{2}$ ，矛盾；② 错误．对于③ ， $y=sin(\frac{5π}{2}-2x)$ =sin（ $\frac{π}{2}$ -2x）=cos2x，是偶函数；③ 正确．对于④ ，将 $x=\frac{π}{8}$代入到 $y=sin(2x+\f rac{5π}{4})$得到sin（2× $\frac{π}{8}$ + $\frac{5π}{4}$）=sin $\frac{3π}{2}$ =-1， $x=\frac{π}{8}$是函数$y=sin(2x+\frac{5π}{4})$的图象的一条对称轴方程．④ 正确．对于⑤ ，不妨取β=60°，α=390°，α＞β但是sinα＜sinβ．∴ ⑤ 不正确．故③ ④ 正确故答案为：③ ④ ．【点评】：本题主要考查二倍角公式、两角和与差的公式、诱导公式和三角函数的对称性．考查三角函数公式的综合应用．三角函数的公式比较多，很容易记混，平时要注意积累．是基础题．11.（填空题，5分）某同学向王老师请教一题：若不等式x-4e x-alnx≥x+1对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．王老师告诉该同学：“e x≥x+1恒成立，当且仅当x=0时取等号，且g（x）=x-4lnx在（1，+∞）有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，-4]【解析】：根据函数h（x）=x-4lnx在（1，+∞）有零点，设为x0，得到x0=4lnx0，e x0=x04，根据函数h（x）的单调性求出x0的范围，根据f（x0）=-（a+4）lnx0≥0，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】：解：x-4e x-alnx≥x+1，即 $\frac{{e}^{x}}{{x}^{4}}$ -alnx≥x+1，令f（x）= $\frac{{e}^{x}}{{x}^{4}}$ -alnx-x-1，（x＞1），函数h（x）=x-4lnx在（1，+∞）有零点，设为x0，则h（x0）=x0-4lnx0=0，则x0=4lnx0，则e x0= ${{x}_{0}}^{4}$ ，h′（x）=1- $\frac{4}{x}$ = $\frac{x-4}{x}$ ，令h′（x）＞0，解得：x＞4，令h′（x）＜0，解得：1＜x＜4，故h（x）在（1，4）递减，在（4，+∞）递增，而h（1）=1，h（4）=4-4ln4＜0，故1＜x0＜4，故f（x0）= $\frac{{e}^{{x}_{0}}}{{{x}_{0}}^{4}}$ -alnx0-x0-1=$\frac{{{x}_{0}}^{4}}{{{x}_{0}}^{4}}$ -alnx0-4lnx0-1=-（a+4）lnx0≥0，∵lnx0＞0，∴a+4≤0，故a≤-4，故a的取值范围是（-∞，-4]，故答案为：（-∞，-4]．【点评】：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．12.（填空题，5分）设二次函数f（x）=mx2-2x+n（m，n∈R），若函数f（x）的值域为[0，+∞），且f（1）≤2，则 $\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}+1}$ + $\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}+1}$ 的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1][1，13]【解析】：根据二次函数的性质以及基本不等式的性质求出代数式的取值范围即可．【解答】：解：二次函数f（x）=mx2-2x+n（m，n∈R），若函数f（x）的值域为[0，+∞），则Δ=4-4mn=0，解得：mn=1，且m＞0，又f（1）=m-2+n≤2，n= $\frac{1}{m}$ ，则m+ $\frac{1}{m}$ ≤4，∴ $\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}+1}$ + $\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}+1}$= $\frac{{m}^{2}}{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$ + $\frac{\frac{1}{{m}^{2}}}{1{+m}^{2}}$= $\frac{{m}^{6}+1}{{m}^{2}(1{+m}^{2})}$= $\frac{{m}^{4}{-m}^{2}+1}{{m}^{2}}$=m2+ $\frac{1}{{m}^{2}}$ -1，而由m+ $\frac{1}{m}$ ≤4，m＞0，得2≤m2+ $\frac{1}{{m}^{2}}$ ≤14，故m2+ $\frac{1}{{m}^{2}}$ -1的取值范围是[1，13]，即 $\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}+1}$ + $\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}+1}$ 的取值范围是[1，13]，故答案为：[1，13]．【点评】：本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质，是中档题．13.（单选题，5分）一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是（）弧度A.2B.3C.4D.5【正确答案】：A【解析】：结合扇形面积公式及弧长公式可求l，r，然后结合扇形圆心角公式可求．【解答】：解：设扇形半径r，弧长l，则$\left\{\begin{array}{l}{l+2r=4}\\{\frac{1}{2}lr=2}\end{array}\right.$ ，解得r=1，l=2，所以圆心角为 $\frac{l}{r}$ =2．故选：A．【点评】：本题主要考查了扇形面积公式及弧长公式，属于基础题．14.（单选题，5分）对于函数f（x）=asinx+bx+c（其中，a，b∈R，c∈Z），选取a，b，c 的一组值计算f（1）和f（-1），所得出的正确结果一定不可能是（）A.4和6C.2和4D.1和2【正确答案】：D【解析】：求出f（1）和f（-1），求出它们的和；由于c∈Z，判断出f（1）+f（-1）为偶数．【解答】：解：f（1）=asin1+b+c ①f（-1）=-asin1-b+c ②① + ② 得：f（1）+f（-1）=2c∵c∈Z∴f（1）+f（-1）是偶数故选：D．【点评】：本题考查知函数的解析式求函数值、考查偶数的特点．15.（单选题，5分）设函数f（x）= $\frac{1}{x}$ ，g（x）=ax2+bx（a，b∈R，a≠0）若y=f （x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（）A.当a＜0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0B.当a＜0时，x1+x2＞0，y1+y2＜0C.当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＜0D.当a＞0时，x1+x2＞0，y1+y2＞0【正确答案】：B【解析】：画出函数的图象，利用函数的奇偶性，以及二次函数的对称性，不难推出结论．【解答】：解：当a＜0时，作出两个函数的图象，若y=f（x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点，必然是如图的情况，因为函数f（x）= $\frac{1}{x}$ 是奇函数，所以A与A′关于原点对称，显然x2＞-x1＞0，即x1+x2＞0，-y1＞y2，即y1+y2＜0，同理，当a＞0时，有当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0【点评】：本题考查的是函数图象，直接利用图象判断；也可以利用了构造函数的方法，利用函数与导数知识求解．要求具有转化、分析解决问题，由一般到特殊的能力．题目立意较高，很好的考查能力．16.（单选题，5分）设函数f（x）=2x-2-x+ $\frac{3}{|x|+1}$ ，x∈R，对于实数a、b，给出以下命题：命题p1：a+b≥0；命题p2：a-b2≥0；命题q：f（a）+f（b）≥0．下列选项中正确的是（）A.p1、p2中仅p1是q的充分条件B.p1、p2中仅p2是q的充分条件C.p1、p2都不是q的充分条件D.p1、p2都是q的充分条件【正确答案】：D【解析】：令f（x）=g（x）+h（x），g（x）=2x-2-x，h（x）= $\frac{3}{|x|+1}，x∈R$，g （x）是奇函数，在R上单调递增，h（x）是偶函数，在（-∞，0）单调增，在（0，+∞）单调减，且h（x）＞0，根据这些信息即可判断．【解答】：解：令f（x）=g（x）+h（x），g（x）=2x-2-x，h（x）= $\frac{3}{|x|+1}，x∈R$，g（x）是奇函数，在R上单调递增，h（x）是偶函数，在（-∞，0）单调增，在（0，+∞）单调减，且h（x）＞0，f（a）+f（b）≥0⇒f（a）≥-f（b），即g（a）+h（a）≥-g（b）-h（b），即g（a）+h（a）≥g（-b）+[-h（b）]，① 当a+b≥0时，a≥-b，故g（a）≥g（-b），又h（x）＞0，故h（a）＞-h（b），∴此时f（a）+f（b）≥0，可得p1是q的充分条件；② 当a-b2≥0时，则有：a≥0， $-\sqrt{a}≤b≤\sqrt{a}$ ， $-\sqrt{a}≤-b≤\sqrt{a}$ ，（i）当a≥1时，a≥ $\sqrt{a}$ ，则-b≤a，故g（a）≥g（-b）；此时，h（a）＞0，-h（b）＜0，∴h（a）＞-h（b），∴f（a）+f（b）≥0成立；（ii）当a=0时，b=0，f（0）+f（0）=6≥0成立，即f（a）+f（b）≥0成立；（iii）∵g（x）在R上单调递增，h（x）在（-∞，0）单调递增，∴f（x）=g（x）+h（x）在（-∞，0）单调递增，∵f（-1）=0，∴f（x）＞0在（-1，0）上恒成立；又∵x≥0时，g（x）≥0，h（x）＞0，∴f（x）＞0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）＞0在（-1，+∞）恒成立，故当0＜a＜1时，a＜ $\sqrt{a}$ ＜1，-1＜- $\sqrt{a}≤b≤\sqrt{a}＜1$ ，∴f（a）＞0，f（b）＞0，∴f（a）+f（b）≥0成立．综上所述，a-b2≥0时，均有f（a）+f（b）≥0成立，∴p2是q的充分条件．故选：D．【点评】：本题的关键是将函数f（x）拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考查对函数基本性质的掌握与熟练运用．17.（问答题，15分）已知函数 $f(x)=lg\frac{1+x}{1-x}$ 的定义域为集合A，集合B=（a，a+1），且B⊆A．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：函数y=f（x）是奇函数但不是偶函数．【正确答案】：【解析】：（1）由 $\frac{1+x}{1-x}$ ＞0可求得f（x）的定义域A，由B=（a，a+1），且B⊆A，列式计算可求得答案；（2）可证得f（x）+f（-x）=0，从而可得结论成立．【解答】：解：（1）由 $\frac{1+x}{1-x}$ ＞0得-1＜x＜1，∴函数 $f(x)=lg\frac{1+x}{1-x}$ 的定义域A=（-1，1）；又B=（a，a+1），且B⊆A，∴ $\left\{\begin{array}{l}{a≥-1}\\{a+1≤1}\end{array}\right.$ ，解得-1≤a≤0，即a∈[-1，0]；（2）证明：∵f（x）+f（-x）=lg $\frac{1+x}{1-x}$ +lg $\frac{1-x}{1+x}$ =lg（ $\frac{1+x}{1-x}$ • $\frac{1-x}{1+x}$ ）=lg1=0，∴f（-x）=-f（x），f（-x）≠f（x），∴函数y=f（x）是奇函数但不是偶函数．【点评】：本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查推理能力与运算求解能力，属于中档题．18.（问答题，15分）如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：① 设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S=g（θ），求g（θ）的表达式，并写出θ的范围．② 设BC=x（cm），矩形ABCD的面积为S=f（x），求f（x）的表达式，并写出x的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．【正确答案】：【解析】：（1）① 连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=2OB•BC=900sin2θ，由三角函数的知识，得出S的最大值以及对应BC的值．② 连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则S=AB•BC=2x $\sqrt{400-{x}^{2}}$ =2 $\sqrt{{x}^{2}(400-{x}^{2})}$ ，由基本不等式可得S的最大值以及对应的x的取值；（2）根据（1）问的解答，即可得出怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大及最大值．【解答】：解：如图所示，（1）① 连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S，则BC=20sinθ，OB=20cosθ（其中0＜θ＜ $\frac{π}{2}$）；∴S=AB•BC=2OB•BC=400sin2θ，且当sin2θ=1，即θ= $\frac{π}{4}$时，S取最大值为400，此时BC=10 $\sqrt{2}$ ；所以，取BC=10 $\sqrt{2}$ 时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．② 连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则AB=2 $\sqrt{400-{x}^{2}}$ （其中0＜x＜20），∴S=2x $\sqrt{400-{x}^{2}}$ =2 $\sqrt{{x}^{2}(400-{x}^{2})}$ ≤x2+（400-x2）=400，当且仅当x2=400-x2，即x=10 $\sqrt{2}$ 时，S取最大值400；所以，取BC=10 $\sqrt{2}$ cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．（2）由（1）知，取∠BOC= $\frac{π}{4}$时，得到C点，从而截得的矩形ABCD，此时截得的矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．【点评】：本题综合考查了二次函数、三角函数的最值问题，这里应用了基本不等式的方法求出了函数的最值．19.（问答题，15分）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦： $sinh(x)=\frac{{e^x}-{e^{-x}}}{2}$ ，双曲余弦函数： $cosh(x)=\frac{{e^x}+{e^{-x}}}{2}$ ．（e是自然对数的底数，e=2.71828⋯）．（1）解方程：cosh（x）=2；（2）类比两角和的正弦公式，写出两角和的双曲正弦公式：sinh（x+y）=___ ，并证明；（3）若对任意t∈[0，ln2]，关于x的方程sinh（t）+cosh（x）=a有解，求实数a的取值范围．【正确答案】：sinh（x）cosh（y）+cosh（x）sinh（y）【解析】：（1）cosh（x）=2，即e x+e-x=4，化简得（e x）2-4e x+1=0，即可求解，（2）sinh（x+y）=sinh（x）cosh（y）+cosh（x）sinh（y），将双曲正弦与双曲余弦函数分别代入左右两边验证，即可证明，（3）分析可知a≥ $\frac{{e}^{t}-{e}^{-t}}{2}$ +1有解，利用函数的单调性可求得实数a的取值范围．【解答】：解：（1）cosh（x）=2，即：e x+e-x=4，整理得（e x）2-4e x+1=0，解得：x=ln（2± $\sqrt{3}$ ）．（2）sinh（x+y）=sinh（x）cosh（y）+cosh（x）sinh（y），理由：左边=sinh（x+y）= $\frac{{e}^{x+y}-{e}^{-x-y}}{2}$ ，右边=sinh（x）cosh（y）+cosh（x）sinh（y）= $\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$ ×$\frac{{e}^{y}+{e}^{-y}}{2}$ + $\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$ × $\frac{{e}^{y}-{e}^{-y}}{2}$ = $\frac{{e}^{x+y}+{e}^{x-y}-{e}^{y-x}-{e}^{-x-y}}{2}$ × $\frac{1}{2}$ +$\frac{{e}^{x+y}+{e}^{y-x}-{e}^{x-y}-{e}^{-x-y}}{4}$ = $\frac{{e}^{x+y}-{e}^{-x-y}}{2}$ ，左边等于右边，于是sinh（x+y）=sinh（x）cosh（y）+cosh（x）sinh（y）成立．（3）因为t∈[0，ln2]，则1≤e t≤2，则a=sinh（t）+cosh（x）= $\frac{{e}^{t}-{e}^{-t}}{2}$ + $\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$ ，所以a- $\frac{{e}^{t}-{e}^{-t}}{2}$ = $\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$ ≥ $\sqrt{{e}^{x}\bullet {e}^{-x}}$ =1，当且仅当x=0时取等号，则a≥ $\frac{{e}^{t}-{e}^{-t}}{2}$ +1有解，因为函数y=e t，y=-e-t均为[0，ln2]上的增函数，故函数g（t）= $\frac{{e}^{t}-{e}^{-t}}{2}$ +1在[0，ln2]上为增函数，所以a≥g（t）min=g（0）=1，故实数a的取值范围为[1，+∞）．【点评】：本题考查的知识要点：函数的性质，函数的单调性，基本不等式，构造函数的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．20.（问答题，15分）对闭区间I，用M I表示函数y=f（x）在I上的最大值．（1）对于 $f(x)=x+\frac{4}{x}$ ，求M[1，4]的值；（2）已知 $f(x)=asin({x+\frac{π}{3}})+cos({x+\frac{π}{2}})$，且y=f（x）偶函数，${M_{[a，b]}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求b-a的最大值；（3）已知f（x）=sinx，若有且仅有一个正数a使得M[0，a]=kM[a，2a]成立，求实数k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）判断y=f（x）的单调性即可求解；（2）由偶函数求得a=2，根据y=f（x）的最大值判断a，b范围，即可求解；（3）讨论0＜k＜1与1≤k，当M[0，a]=kM[a，2a]时，判断正数a的取值个数，即可求解．【解答】：解：（1）对任意x1，x2∈[1，2]，且x1＜x2时，由 $f(x_{1})-f(x_{2})=x_{1}+\frac{4}{x_{1}}-(x_{2}+\frac{4}{x_{2}})=(x_{1}-x_{2})(1-\frac{4}{x_{1}x_{2}})＞0$ ，对任意x1，x2∈[2，4]，且 x1＜x2时，由 $f(x_{1})-f(x_{2})=x_{1}+\frac{4}{x_{1}}-(x_{2}+\frac{4}{x_{2}})=(x_{1}-x_{2})(1-\frac{4}{x_{1}x_{2}})＜0$ ，所以 $f(x)=x+\frac{4}{x}$ 在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增；又 $f(1)=1+\frac{4}{1}=5，f(4)=4+\frac{4}{4}=5$ ，所以M[1，4]=5；（2）由于y=f（x）是偶函数，所以 $f(-\frac{π}{6})=f(\frac{π}{6})$，则 $asin(-\frac{π}{6}+\frac{π}{3})+cos(-\frac{π}{6}+\frac{π}{2})=asin(\frac{π}{6}+\frac{π}{3})+cos(\frac{π}{6}+\frac{π}{2})$，解得a=2；则 $f(x)=2sin(x+\frac{π}{3})+cos(x+\frac{π}{2})=\sqrt{3}cosx$ ，因为 ${M}_{[a，b]}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，所以 $\f rac{π}{3}+2kπ≤a＜b≤\frac{5π}{3}+2kπ，k∈Z$，故b-a的最大值为 $\frac{4π}{3}$．（3）① 当0＜k＜1时，由于M[0，a]=kM[a，2a]，则M[0，a]＜M[a，2a]，所以 $0＜a＜\frac{π}{2}$，若 $0＜a＜\frac{π}{4}$时，有M[0，a]=sina，M[a，2a]=sin2a=2sinacosa，所以sina=2ksinacosa，得 $cosa=\frac{1}{2k}$ ；若 $0＜k≤\frac{1}{2}$ 时，有 $cosa=\frac{1}{2k}∈[1，+∞)$，此时a无解；若 $\frac{1}{2}＜k＜\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，有 $cosa=\frac{1}{2k}∈(\frac{\sqrt{2}}{2}，1)$ ，此时a有一解；若 $\frac{\sqrt{2}}{2}≤k＜1\;\\;时，\\;\\;有cosa=\frac{1}{2k}∈(\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$ 时有 $cosa=\frac{1}{2k}∈(\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$ ，此时 a 无解；若$\frac{π}{4}≤a＜\frac{π}{2}$时，有$M_{[0，a]}=sina，M_{[a，2a]}=sin\frac{π}{2}=1$，所以sina=k，因为$sina∈[\frac{\sqrt{2}}{2}，1)$ ，若 $0＜k≤\frac{1}{2}$ 时，此时a无解；若 $\frac{1}{2}＜k＜\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，此时a无解；若 $\frac{\sqrt{2}}{2}≤k＜1$ 时，此时a有一解；② 当k≥1时，由于M[0，a]=kM[a，2a]，则M[0，a]≥M[a，2a]，所以 $\frac{π}{2}≤a$，有 $M_{[0，a]}=sin\frac{π}{2}=1$，则 $M_{[a，2a]}=\frac{1}{k}$ ，若k=1，则M[a，2a]=1 得 $a=\frac{π}{2}$或 $a=\frac{5π}{4}$等，若 $1＜k，M_{[a，2a]}=\frac{1}{k}$ ，则 $sina=\frac{1}{k}$ 或 $sin2a=\frac{1}{k}$ ，在$[\frac{π}{2}，\frac{5π}{4}]$上，a 必有两解．综上所述： $\frac{1}{2}＜k＜1$ ，即k的取值范围是（ $\frac{1}{2}$ ，1）．【点评】：本题考查了三角函数的最值问题，用到分类讨论的思想，属于难题．21.（问答题，16分）定义域为R的函数y=f（x），对于给定的非空集合A，A⊆R，若对于A 中的任意元素a，都有f（x+a）≥f（x）成立，则称函数y=f（x）是“集合A上的Z-函数”．（1）给定集合A={-1，1}，函数y=f（x）是“集合A上的Z-函数”，求证：函数y=f（x）是周期函数；（2）给定集合A={1}，g（x）=ax2+bx+c，若函数y=g（x）是“集合A上的Z-函数”，求实数a、b、c所满足的条件；（3）给定集合A=[0，1]，函数y=h（x）是“集合A上的Z-函数”，求证：“y=h（x）是周期函数”的充要条件是“y=h（x）是常值函数”．【正确答案】：【解析】：（1）推导出f（x）≥f（x+1）且f（x+1）≥f（x），可得出f（x）=f（x+1），由此能证明结论成立；（2）由已知可得2ax+a+b≥0对任意x∈R恒成立，由此能求出实数a、b、c所满足的条件；（3）利用Z-函数的定义、函数的周期性的定义，结合充分条件、必要条件的定义，能证明结论成立．【解答】：解：（1）证明：由题意得对任意x∈R，f（x-1）≥f（x），可得f（x）≥f（x+1），对任意的x∈R，f（x+1）≥f（x），∴f（x）=f（x+1），∴函数y=f（x）是周期函数．（2）由题意可知，对任意的x∈R，g（x+1）≥g（x），即a（x+1）2+b（x+1）+c≥ax2+bx+c，∴2ax+a+b≥0对任意的x∈R恒成立，∴ $\left\{\begin{array}{l}{2a=0}\\{a+b≥0}\end{array}\right.$ ，∴a=0，b≥0，c∈R．（3）证明：若函数y=h（x）是周期函数，设其周期为T（T＞0），∵函数y=h（x）是集合Ah的Z-函数，则存在a1∈（0，1），k∈N*，使得ka1≤T≤（k+1）a1，∴0≤T-ka1≤a1≤1，0≤（k+1）a1-T≤a＜1，对任意的x0∈R，h（x0）≤h（x0+a1）≤•••≤h（x0+ka1）≤h[（x0+ka1）+T-ka1]=h（x0+T）=h（x0），∴h（x0）=h（x0+a1）=•••=h（x0+ka1）=h（x0+T），∴对任意的x∈[x0，x0+T]，h（x）=h（x0），对任意的n∈Z，h（x0）=h（x0+nT），且R=•••∪[x0-2T，x0-T]∪[x0-T，x0]∪[x0，x0+T]∪•••，∴对任意的x∈R，h（x）=h（x0）=C为常数，即”y=h（x）是周期函数“⇒”y=h（x）是常值函数“，若函数y=h（x）是常值函数，对任意的x∈R，a∈A，h（x+a）≥h（x）成立，且h（x+ $\frac{1}{2}$ ）=h（x），∴函数y=h（x）是周期函数，即”y=h（x）是常值函数“⇒”y=h（x）是周期函数“，综上，“y=h（x）是周期函数”的充要条件是“y=h（x）是常值函数”．【点评】：本题考查周期函数、充要条件的证明，考查满足条件的实数的求法，考查函数的周期性、函数值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
2020-2021学年上海市金山区高三(上)期末数学试卷(一模)
2020-2021学年上海市金山区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）若函数y=sin （2x+ π4 ），则它的最小正周期T=___ ． 2.（填空题，4分）若复数z= 2+i1−2i （i 为虚数单位），则z 的模|z|=___ ． 3.（填空题，4分）若矩阵A= (sinθm n cosθ) ，B= (msinθcosθn) ，且A=B ，则m 2+n 2=___ ． 4.（填空题，4分）若函数y=log 2（x-m ）+1的反函数的图象经过点（1，3），则实数m=___ ．5.（填空题，4分）已知集合M={y|y=3sinx ，x∈R}，N={x||x|＜a}，若M⊆N ，则实数a 的取值范围是___ ．6.（填空题，4分）已知F 1、F 2是椭圆 x 225 + y 216 =1的两个焦点，AB 是过点F 1的弦，则△ABF 2的周长是 ___ ．7.（填空题，5分）在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是___ （结果用数值表示）．8.（填空题，5分）在直角三角形ABC 中，AB=5，AC=12，BC=13，点M 是△ABC 外接圆上的任意一点，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是___ ． 9.（填空题，5分）已知实数a 、b 、c 成等差数列，则点P （-1，0）到直线ax+by+c=0的最大距离是___ ．10.（填空题，5分）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 16 ，以这3个点为顶点构成的三角形的周长为18，则此球的半径为___ ．11.（填空题，5分）关于x 的方程x 2+ax+b-3=0（a ，b∈R ）在[1，2]上有实根，则a 2+（b-4）2的最小值为___ ．12.（填空题，5分）若f （x ）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2020|+|x -1|+|x-2|+…+|x -2020|，x∈R ，且f （a 2-3a+2）=f （a-1），则满足条件的所有整数a 的和是___ ．13.（单选题，5分）在（1+2x ）4的二项展开式中，二项式系数的和为（ ） A.8 B.16 C.27 D.8114.（单选题，5分）“|x -1|＜2成立”是“x （x-3）＜0成立”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件15.（单选题，5分）已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，且满足f （x+3）=f （x ），f （1）=-3，数列{a n }满足S n =2a n +n （其中S n 为{a n }的前n 项和），则f （a 5）+f （a 6）=（ ） A.-3 B.-2 C.3 D.216.（单选题，5分）已知△ABC 的外接圆圆心为O ，∠A=120°，若 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ （x ，y∈R ），则x+y 的最小值为（ ） A. 12 B. 23 C. 32 D.217.（问答题，14分）已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，a=4 √3 ，b=6，cosA=- 13 ． （1）求c ；（2）求cos2B 的值．18.（问答题，14分）如图，在三棱锥P-ABC 中，PA⊥底面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，侧棱PB 与底面所成的角为 π4． （1）求三棱锥P-ABC 的体积V ；（2）若D 为PB 的中点，求异面直线PA 与CD 所成角的大小．19.（问答题，14分）已知定义域为R 的函数f （x ）= 1−2x1+2x ．（1）试判断函数f （x ）= 1−2x1+2x 在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）若对于任意t∈R ，不等式f （t 2-2t ）+f （t 2-k ）＜0恒成立，求实数k 的取值范围．20.（问答题，16分）已知点P 在抛物线C ：y 2=4x 上，过点P 作圆M ：（x-3）2+y 2=r 2（0＜r≤ √2 ）的两条切线，与抛物线C 分别交于A 、B 两点，切线PA 、PB 与圆M 分别相切于点E 、F ．（1）若点P 到圆心M 的距离与它到抛物线C 的准线的距离相等，求点P 的坐标； （2）若点P 的坐标为（1，2），且r= √2 时，求 PE⃗⃗⃗⃗⃗ • PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； （3）若点P 的坐标为（1，2），设线段AB 中点的纵坐标为t ，求t 的取值范围．21.（问答题，18分）若数列{a n }满足 1λ ≤ a n+1a n≤λ（λ＞1，且λ为实常数），n∈N*，则称数列{a n }为B （λ）数列．（1）若数列{a n }的前三项依次为a 1=2，a 2=x ，a 3=9，且{a n }为B （3）数列，求实数x 的取值范围；（2）已知{a n }是公比为q （q≠1）的等比数列，且a 1＞0，记T n =|a 2-a 1|+|a 3-a 2|+…+|a n+1-a n |．若存在数列{a n }为B （4）数列，使得 lim n→∞T n+1−tT nT n ≤0成立，求实数t 的取值范围；≤λ-1”是“{a n}为B （λ）数列”（3）记无穷等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，证明：“0≤ da1的充要条件．2020-2021学年上海市金山区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）若函数y=sin （2x+ π4 ），则它的最小正周期T=___ ． 【正确答案】：[1]π【解析】：根据正弦函数的性质周期公式即可求解．【解答】：解：函数 y =sin (2x +π4) 的最小正周期为 T =2π2=π ．故答案为：π．【点评】：本题主要考查正弦函数的性质．周期的求法． 2.（填空题，4分）若复数z= 2+i1−2i（i 为虚数单位），则z 的模|z|=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：由复数的除法运算化简z ，由复数的模的计算公式即可求解．【解答】：解：复数z= 2+i1−2i = (2+i )(1+2i )(1−2i )(1+2i ) = 5i5 =i ， 所以|z|=1． 故答案为：1．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题． 3.（填空题，4分）若矩阵A= (sinθm n cosθ) ，B= (m sinθcosθn) ，且A=B ，则m 2+n 2=___ ． 【正确答案】：[1]1【解析】：利用矩阵相等的性质进行求解，可得m=sinθ，n=cosθ，即可得到答案．【解答】：矩阵A= (sinθm ncosθ) ，B= (m sinθcosθn) ，且A=B ， 可得A 、B 矩阵对应位置上的元素相等， 故m=sinθ，n=cosθ， m 2+n 2=sin 2θ+cos 2θ=1；故答案为：1．【点评】：本题主要考查了矩阵相等的性质，以及同角三角函数的关系，是基础题．4.（填空题，4分）若函数y=log2（x-m）+1的反函数的图象经过点（1，3），则实数m=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：由题意可得函数y=log2（x-m）+1过（3，1），从而可求得m．【解答】：解：∵函数y=log2（x-m）+1的反函数的图象经过点（1，3），∴函数y=log2（x-m）+1的图象过点（3，1），∴1=log2（3-m）+1∴log2（3-m）=0，∴3-m=1，∴m=2．故答案为：2．【点评】：本题考查反函数，掌握互为反函数的两个函数之间的关系是解决问题的关键，属于基础题．5.（填空题，4分）已知集合M={y|y=3sinx，x∈R}，N={x||x|＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（3，+∞）【解析】：分别求出集合M，N，再由M⊆N，可得关于a的不等式，解之即可得结论．【解答】：解：集合M={y|y=3sinx，x∈R}=[-3，3]，N={x||x|＜a}=（-a，a），因为M⊆N，所以a＞3，即实数a的取值范围是（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．【点评】：本题主要考查集合的包含关系即应用，考查三角函数的值域及绝对值不等式的解法，属于基础题．6.（填空题，4分）已知F 1、F 2是椭圆 x 225 + y 216 =1的两个焦点，AB 是过点F 1的弦，则△ABF 2的周长是 ___ ． 【正确答案】：[1]20【解析】：根据椭圆的方程算出a=5，由椭圆的定义得到|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a=10，由此将△ABF 1的周长分成|AF 1|+|AF 2|、|BF 1|+|BF 2|两部分，即可得到所求△ABF 2的周长．【解答】：解：∵椭圆的方程为 x 225 + y 216=1，∴a=5，根据椭圆的定义，得|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a=10，∴△ABF 2的周长|AF 2|+|BF 2|+|AB|=（|AF 1|+|AF 2|）+（|BF 1|+|BF 2|）=20， 故答案为：20．【点评】：本题给出椭圆经过右焦点的弦AB 与左焦点F 1构成的三角形，求△ABF 1的周长．着重考查了椭圆的定义与标准方程的知识，属于基础题．7.（填空题，5分）在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是___ （结果用数值表示）． 【正确答案】：[1]0.3【解析】：由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是从5个数字中选3个，共有C 53种结果满足条件的是剩下两个数字都是奇数，即取出的三个数为两偶一奇有C 22C 31种结果，根据古典概型公式得到结果．【解答】：解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生的所有事件是从5个数字中选3个，共有C 53种结果 满足条件的是剩下两个数字都是奇数， 即取出的三个数为两偶一奇有C 22C 31种结果， ∴剩下两个数字都是奇数的概率是 P =C 22C 31C 53=310=0.3 ．故答案为：0.3【点评】：本题主要考查古典概型，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题8.（填空题，5分）在直角三角形ABC 中，AB=5，AC=12，BC=13，点M 是△ABC 外接圆上的任意一点，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是___ ． 【正确答案】：[1]45【解析】：解法一、由平面向量的线性运算法则，计算 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值即可； 解法二、建立平面直角坐标系，用圆的方程设点M 的坐标，计算 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值．【解答】：解：解法一、Rt△ABC 的外心即斜边BC 中点O ， 由平面向量的线性运算知， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AO ⃗⃗⃗⃗⃗ + OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •（ AO ⃗⃗⃗⃗⃗ + OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）= AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AO ⃗⃗⃗⃗⃗ + AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由图可知： AB⃗⃗⃗⃗⃗ • AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×| AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠BAO=| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×| AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin∠C=5× 132× 513= 252， 当 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 时， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为5× 132 = 652 ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 252 + 652=45． 解法二、建立平面直角坐标系，如图所示：A （0，0），B （5，0），C （0，12）， △ABC 外接圆（x- 52 ）2+（y-6）2=1694， 设M （ 52 + 132 cosθ，6+ 132 sinθ）， 则 AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 52+ 132cosθ，6+ 132sinθ）， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（5，0）， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 252 + 652 cosθ≤45，当且仅当cosθ=1时取等号． 所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是45． 故答案为：45．【点评】：本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了三角形外接圆应用问题，是中档题．9.（填空题，5分）已知实数a、b、c成等差数列，则点P（-1，0）到直线ax+by+c=0的最大距离是___ ．【正确答案】：[1]2 √2【解析】：根据题意，过点P作直线ax+by+c=0的垂线，Q为垂足，分析可得直线ax+by+c=0恒过定点M（1，-2），又由恒过定点M（1，-2），分析可得△PQM为直角三角形，即可得Q的轨迹，结合点与圆的位置关系可得答案．【解答】：解：根据题意，过点P作直线ax+by+c=0的垂线，Q为垂足，若a，b，c成等差数列，即2b=a+c，则直线ax+by+c=0为2ax+（a+c）y+2c=0，即a（2x+y）+c（y+2）=0，恒过定点M（1，-2）又由PQ垂直于直线ax+by+c=0，故△PQM为直角三角形，则Q的轨迹是以PM为直径的圆，即x2+（y+1）2=2，则点P（-1，0）到直线ax+by+c=0的距离即|PQ|的长，其最大值为|PM|=2 √2，故答案为：2 √2．【点评】：本题考查圆的方程的应用，涉及与圆的轨迹问题，属于综合题．，以这3 10.（填空题，5分）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16个点为顶点构成的三角形的周长为18，则此球的半径为___ ．【正确答案】：[1]6【解析】：因为正三角形ABC的外径r=2 √3，故可以得到高，D是BC的中点．在△OBC中，又可以得到角以及边与R的关系，即可解出R．，△ABC 【解答】：解：因为球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16是正三角形，三角形的周长为18，可得边长为6，故正三角形ABC 的外径2r= 6sin60° =4 √3 ⇒r=2 √3 ，故高AD= 32 r=3 √3 ，D 是BC 的中点． 在△OBC 中，BO=CO=R ，∠BOC= π3，所以BC=BO=R ，BD= 12BC= 12R ． 在Rt△ABD 中，AB=BC=R ，所以由AB 2=BD 2+AD 2，得R 2= 14R 2+27， 所以R=6． 故答案为：6．【点评】：本题考查学生的空间想象能力，以及对球的性质认识及利用，是基础题．11.（填空题，5分）关于x 的方程x 2+ax+b-3=0（a ，b∈R ）在[1，2]上有实根，则a 2+（b-4）2的最小值为___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：根据题意可得b=-x 2-ax+3，推出a 2+（b-4）2=（x 2+1）（x+a ）2+x 2+1≥x 2+1≥2，x∈[1，2]，即可得出答案．【解答】：解：由x 2+ax+b-3=0，知b=-x 2-ax+3，所以a 2+（b-4）2=a 2+（-x 2-ax-1）2=a 2+（x 2+1）2+2ax （x 2+1）+a 2x 2 =（x 2+1）（x 2+1+2ax+a 2）=（x 2+1）（x+a ）2+x 2+1， 因为x∈[1，2]，所以a 2+（b-4）2≥x 2+1≥2， 当x=1，a=-1，b=3时，等号成立， 所以a 2+（b-4）2的最小值为2． 故答案为：2．【点评】：本题考查函数的最值及其几何意义，考查转化思想，解题中需要一定的运算能力，属于中档题．12.（填空题，5分）若f （x ）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2020|+|x -1|+|x-2|+…+|x -2020|，x∈R ，且f （a 2-3a+2）=f （a-1），则满足条件的所有整数a 的和是___ ． 【正确答案】：[1]6【解析】：通过函数的奇偶性，即可得到关系式，然后求出a的值．【解答】：解：f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2020|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2020|，则f（-x）=|x-1|+|x-2|+…+|x-2020|+|x+1|+|x+2|+…+|x+2020|，可得f（-x）=f（x），∴函数是偶函数，若f（a2-3a+2）=f（a-1）则a2-3a+2=a-1 ① 或a2-3a+2=-（a-1）②由① ，得a2-3a+2=（a-1）（a-2）=a-1，即（a-1）（a-3）=0，解得a=1或a=3；由② ，得a2-3a+2=（a-1）（a-2）=-（a-1），即（a-1）（a-1）=0，解得a=1；∴a=1或a=3，又f（0）=f（1）=f（-1），∴当a=2时，也满足要求，∴a的值有3个，可得1+2+3=6．故答案为：6．【点评】：本题考查带绝对值的函数；函数的值．函数的奇偶性的应用，考查计算能力．属于基础题．13.（单选题，5分）在（1+2x）4的二项展开式中，二项式系数的和为（）A.8B.16C.27D.81【正确答案】：B【解析】：由题意利用二项式系数的性质，求得二项式系数的和．【解答】：解：在（1+2x）4的二项展开式中，二项式系数的和为2n=24=16，故选：B．【点评】：本题主要考查二项式系数的性质，属于基础题．14.（单选题，5分）“|x-1|＜2成立”是“x（x-3）＜0成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：利用绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法分别解出，即可判断出关系．【解答】：解：由|x-1|＜2解得：-2+1＜x＜2+1，即-1＜x＜3．由x（x-3）＜0，解得0＜x＜3．“|x-1|＜2成立”是“x（x-3）＜0成立”必要不充分条件．故选：B．【点评】：本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.（单选题，5分）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（x+3）=f（x），f （1）=-3，数列{a n}满足S n=2a n+n（其中S n为{a n}的前n项和），则f（a5）+f（a6）=（）A.-3B.-2C.3D.2【正确答案】：C【解析】：由S n=2a n+n，可得出a n=2a n-1-1，从而求出a5=-31，a6=-63，而由f（x+3）=f （x）可知f（x）的周期为3，从而可以得出f（a5）+f（a6）=f（-1）+f（0），而f（x）为R上的奇函数可得f（-1）=3，f（0）=0，从而可得出f（a5）+f（a6）的值．【解答】：解：数列{a n}满足S n=2a n+n，当n=1时，a1=S1=2a1+1，解得a1=-1，∴当n≥2时，S n-1=2a n-1+n-1，则a n=2a n-2a n-1+1，即a n=2a n-1-1，∴a n-1=2（a n-1-1）（n≥2），又∵a1-1=-2，∴数列{a n-1}是首项为-2，公比为2的等比数列，∴a n-1=-2×2n-1=-2n，∴a n=1-2n，此式对n=1也成立，∴数列{a n}的通项公式为a n=1-2n，∴a5=-31，a6=-63，由定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（x+3）=f（x），f（1）=-3，可知，f （x ）的周期为3，且f （-1）=-f （1）=3，f （0）=0， ∴f （a 5）+f （a 6）=f （-31）+f （-63）=f （-1）+f （0）=3． 故选：C ．【点评】：本题主要考查数列与函数的综合，考查由数列的递推公式求数列的通项公式，考查函数的周期性与奇偶性，属于中档题．16.（单选题，5分）已知△ABC 的外接圆圆心为O ，∠A=120°，若 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ （x ，y∈R ），则x+y 的最小值为（ ） A. 12B. 23C. 32D.2【正确答案】：D【解析】：由已知结合锐角三角定义及平面向量基本定理可得，x= b 3c+23，y= c 3b+23，然后结合基本不等式可求x+y 的最小值．【解答】：解：设| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=c ， |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ | =b ， 则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = −12bc ， 分别取AB ，AC 的中点D ，E ，连接OD ，OE ，则OD⊥AB ，OE⊥AC ， ∴ AO ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =| AO ⃗⃗⃗⃗⃗ || AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠BAO= 12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 = 12c 2 ， 同理 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = 12b 2 ， ∵ AO⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ AO ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ 12c 2=xc 2−bcy ，即 12c =cx −12by ① ， 同理， 12b =−12cx +by ② ， ① ② 联立得，x=b3c+23 ，y=c 3b+23，∴ x +y =b3c +c3b +43 ≥2√b3c •c3b +43 =2，当且仅当 b3c =c3b 即b=c 时取等号，此时x+y 取得最小值2， 故选：D ．【点评】：本题主要考查了平面向量基本定理的应用及基本不等式求解最值，属于中档题．17.（问答题，14分）已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a=4 √3，b=6，cosA=- 13．（1）求c；（2）求cos2B的值．【正确答案】：【解析】：（1）由余弦定理即可求得c的值；（2）先由同角三角函数的平方关系求得sinA的值，再由正弦定理求出sinB的值，最后根据cos2B=1-2sin2B，得解．【解答】：解：（1）由余弦定理知，a2=b2+c2-2bccosA，即48=36+c2-2×6×c×（- 13），整理得，c2+4c-12=0，解得c=2或-6（舍负），故c=2．（2）∵cosA=- 13，且A∈（0，π），∴sinA= √1−cos2A = 2√23，由正弦定理知，asinA = bsinB，即√32√23= 6sinB，∴sinB= √63，∴cos2B=1-2sin2B=- 13．【点评】：本题考查解三角形与三角恒等变换的综合运用，熟练掌握正弦定理、余弦定理和二倍角公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18.（问答题，14分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，侧棱PB与底面所成的角为π4．（1）求三棱锥P-ABC的体积V；（2）若D为PB的中点，求异面直线PA与CD所成角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）由已知求得PA，再求出底面三角形ABC的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）取AB的中点O，连接OD，则OD || PA，得∠CDO为异面直线PA与CD所成角，再由已知求解直角三角形得答案．【解答】：解：（1）∵PA⊥底面ABC，∴∠PBA为侧棱PB与底面所成的角等于π4，则△PAB为等腰直角三角形，且PA=AB，又AB=2，则PA=2，∵△ABC是边长为2的正三角形，∴ S△ABC=12×2×2×√32=√3，∴三棱锥P-ABC的体积V= 13S△ABC×PA=13×√3×2=2√33；（2）取AB的中点O，连接OD，则OD || PA，∴∠CDO为异面直线PA与CD所成角，∵PA⊥底面ABC，PA || OD，∴OD⊥底面ABC，则OD⊥OC，在Rt△COD中，OD= 12PA=1，OC= √22−12=√3，∴tan ∠CDO=OCOD =√3，得∠CDO=π3．即异面直线PA与CD所成角的大小为π3．【点评】：本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．19.（问答题，14分）已知定义域为R的函数f（x）= 1−2x1+2x．（1）试判断函数f（x）= 1−2x1+2x在R上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）若对于任意t∈R，不等式f（t2-2t）+f（t2-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）f（x）在R上递减，运用单调性的定义和指数函数的单调性和值域，可得证明；（2）首先判断f（x）为奇函数，结合单调性，原不等式化为t2-2t＞k-t2，分离参数，由二次函数的最值求法，即可求实数k的取值范围．【解答】：解：（1）函数f（x）= 1−2x1+2x 即f（x）=-1+ 21+2x在R上递减，理由：设x1＜x2，f（x1）-f（x2）= 21+2x1 - 21+2x2= 2(2x2−2x1)(1+2x1)(1+2x2)，由x1＜x2，可得2x1＜2x2，即2x2-2x1＞0，又1+2x1＞0，1+2x2＞0，则2(2x2−2x1)(1+2x1)(1+2x2)＞0，所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故f（x）在R上递减；（2）由f（-x）= 1−2−x1+2−x = 2x−12x+1=-f（x），可得f（x）为奇函数，f（t2-2t）+f（t2-k）＜0即为f（t2-2t）＜-f（t2-k）=f（k-t2），由f（x）在R上递减，可得t2-2t＞k-t2，对于任意t∈R ，不等式f （t 2-2t ）+f （t 2-k ）＜0恒成立， k ＜2t 2-2t 恒成立，2t 2-2t=2（t- 12）2- 12，当t= 12时，2t 2-2t 取得最小值- 12， 则k ＜- 12 ，即k 的取值范围是（-∞，- 12 ）．【点评】：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20.（问答题，16分）已知点P 在抛物线C ：y 2=4x 上，过点P 作圆M ：（x-3）2+y 2=r 2（0＜r≤ √2 ）的两条切线，与抛物线C 分别交于A 、B 两点，切线PA 、PB 与圆M 分别相切于点E 、F ．（1）若点P 到圆心M 的距离与它到抛物线C 的准线的距离相等，求点P 的坐标； （2）若点P 的坐标为（1，2），且r= √2 时，求 PE⃗⃗⃗⃗⃗ • PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； （3）若点P 的坐标为（1，2），设线段AB 中点的纵坐标为t ，求t 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由已知得圆心M （3，0），抛物线准线方程为x=-1，设P （x 0，y 0），又PM=PC ，推出（x 0-3）2+y 02=（x 0+1）2 ① ，y 02=4x 0 ② ，由 ① ② 推出x 0，y 0，进而可得点P 坐标．（2）设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），写出 PE⃗⃗⃗⃗⃗ ， ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 坐标，由 PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 推出x 12-4x 1+3+y 12-2y 1=0，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，y 1+y 2，y 1y 2，再计算 PE ⃗⃗⃗⃗⃗ • PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得出答案． （3）设切线PA 的方程为y=k 1（x-1）+2，切线PB 的方程为y=k 2（x-1）+2，计算圆心M 到切线PA 的距离d=r ，得k 1，k 2是方程（r 2-4）k 2-8k+r 2-4=0的两个根，由韦达定理得k 1+k 2，k 1k 2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 中点为D ，联立直线PA 与抛物线方程，得关于y 的一元二次方程，再结合韦达定理可得y 1，同理可得y 2，再得到点D 的纵坐标为t=2（k 1+k 2）-2，再求范围即可．【解答】：解：（1）由圆的方程知圆心M （3，0）， 由抛物线方程知，准线方程为x=-1， 设P （x 0，y 0），又PM=PC ，所以PM 2=PC 2，即（x 0-3）2+y 02=（x 0+1）2， ① 又点P 在抛物线C 上， 所以y 02=4x 0， ②将 ② 代入 ① ，得（x 0-3）2+4x 0=（x 0+1）2， 解得x 0=2，所以y 0=± √4x 0 =±2 √2 ， 所以点P 坐标为（2，2 √2 ）或（2，-2 √2 ）． （2）设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），则 PE⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 1，y 1）-（1，2）=（x 1-1，y 1-2）， ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 1，y 1）-（3，0）=（x 1-3，y 1），又 PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 PE ⃗⃗⃗⃗⃗ • ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 1-1）（x 1-3）+（y 1-2）y 1=0， 所以x 12-4x 1+3+y 12-2y 1=0，所以x 1+x 2=4，x 1x 2=3，y 1+y 2=2，y 1y 2=0， 所以 PE ⃗⃗⃗⃗⃗ • PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 1-1）（x 2-1）+（y 1-2）（y 2-2） =x 1x 2-（x 1+x 2）+1+y 1y 2-2（y 1+y 2）+4， =3-4+1+0-4+4=0． PE⃗⃗⃗⃗⃗ • PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为0； （3）由题意知，过点P 引圆（x-3）2+y 2=r 2的切线斜率存在， 设切线PA 的方程为y=k 1（x-1）+2， 则圆心M 到切线PA 的距离d=1√k 1+1=r ，整理得（r 2-4）k 12-8k 1+r 2-4=0， 设切线PB 的方程为y=k 2（x-1）+2， 同理可得（r 2-4）k 22-8k 2+r 2-4=0，所以k 1，k 2是方程（r 2-4）k 2-8k+r 2-4=0的两个根， 所以k 1+k 2= 8r 2−4 ，k 1k 2=1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 中点为D ， 联立得 {y =k 1(x −1)+2y 2=4x，整理得k 1y 2-4y-4k 1+8=0，所以2•y 1= 8−4k 1k 1，即y 1=4−2k 1k 1 = 4k 1-2=4k 2-2， 同理可得y 2=4k 1-2， 点D 的纵坐标为t=y 1+y 22 = 4k 2−2+4k 1−22=2（k 1+k 2）-2， 又k 1+k 2= 8r 2−4 （0＜r≤ √2 ），所以t=2× 8r 2−4 -2= 16r 2−4 -2，所以0＜r 2≤2，所以-4＜r 2-4≤-2，所以-8≤ 16r 2−4 ＜-4， 所以-10≤16r 2−4-2＜-6，所以t 的取值范围为[-10，-6）．【点评】：本题考查圆与圆锥曲线的综合问题，考查了转化思想，解题中需要一定的运算化简能力，属于中档题．21.（问答题，18分）若数列{a n }满足 1λ ≤ a n+1a n≤λ（λ＞1，且λ为实常数），n∈N*，则称数列{a n }为B （λ）数列．（1）若数列{a n }的前三项依次为a 1=2，a 2=x ，a 3=9，且{a n }为B （3）数列，求实数x 的取值范围；（2）已知{a n }是公比为q （q≠1）的等比数列，且a 1＞0，记T n =|a 2-a 1|+|a 3-a 2|+…+|a n+1-a n |．若存在数列{a n }为B （4）数列，使得 lim n→∞T n+1−tT nT n ≤0成立，求实数t 的取值范围；（3）记无穷等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，证明：“0≤ da 1≤λ-1”是“{a n }为B （λ）数列”的充要条件．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得 13 ≤ a n+1a n≤3，可得x 的不等式组，解得x 的范围；（2）由题意可得 14 ≤a n+1a n=q ＜1或1＜q≤4，分别讨论q 的范围，结合等比数列的通项公式和数列极限的公式，即可得到所求范围；（3）先证充分性，讨论d 是否为0，结合等差数列的通项公式和不等式的性质，以及B （λ）数列的定义，可得证明；再证必要性，同样讨论d 是否为0，结合等差数列的通项公式和首项与公差的符号，即可得证．【解答】：解：（1）因为{a n }为B （3）数列，所以 13 ≤a n+1a n≤3， 则 {13≤x2≤313≤9x≤3，解得3≤x≤6，即x 的取值范围是[3，6]；（2）由数列{a n }为B （4）数列，可得 14 ≤a n+1a n=q ＜1或1＜q≤4，当 14 ≤q ＜1时，由a 1＞0，a n+1-a n =a 1q n-1（q-1）＜0，所以|a n+1-a n |=a n -a n+1． 则T n =a 1-a 2+a 2-a 3+…+a n -a n+1=a 1-a n+1=a 1（1-q n ），所以 lim n→∞ T n+1−tT n T n= lim n→∞ 1−t−(q−t )q n1−q n =1-t≤0，即t≥1；当1＜q≤4时，由a 1＞0，a n+1-a n =a 1q n-1（q-1）＞0，所以|a n+1-a n |=a n+1-a n ． 则T n =a 2-a 1+a 3-a 2+…+a n+1-a n =a n+1-a 1=a 1（q n -1），所以 lim n→∞ T n+1−tT n T n= lim n→∞ (q−t )q n −1+t q n −1 = lim n→∞ q−t−1−tqn 1−1q n =q-t≤0，即t≥q ，所以t ＞1，则t 的取值范围是（1，+∞）；（3）先证充分性．因为0≤ da 1≤λ-1，所以a 1≠0，{a n }为等差数列，所以当d=0时，a n =a 1≠0，此时 a n+1a n=1， 由λ＞1，所以 1λ ≤ a n+1a n=1≤λ成立，所以{a n }为B （λ）数列；当d≠0时，a n+1a n = a 1+nd a 1+(n−1)d = a 1+(n−1)d+d a 1+(n−1)d =1+ d a 1+(n−1)d =1+ 1a 1d+n−1， 因为0≤ da 1≤λ-1，所以 a 1d ≥ 1λ−1 ，所以0≤ 1a 1d+n−1≤ λ−1(n−1)(λ−1)+1 ，即有1≤a n+1a n≤ n (λ−1)+1(n−1)(λ−1)+1 ， 因为λ＞1，所以 n (λ−1)+1(n−1)(λ−1)+1 = (n−1)(λ−1)+(λ−1)+1(n−1)(λ−1)+1=1+ λ−1(n−1)(λ−1)+1 =1+ 1n−1+1λ−1≤1+ 11λ−1=λ，所以 1λ ≤1≤a n+1a n≤λ恒成立，所以{a n }为B （λ）数列，综上可得，{a n }为B （λ）数列；再证必要性．因为{a n }为B （λ）数列，所以 1λ ≤ a n+1a n≤λ恒成立，所以a 1≠0，当d=0时，0≤ d a 1≤λ-1显然成立； 当d≠0时，因为a n+1a n ≥ 1λ ＞0，所以{a n }的每一项同号，所以a 1与d 也同号，所以 da 1≥0，因为 1λ≤ a n+1a n≤λ恒成立，所以n=1时， 1λ≤ a 2a 1≤λ成立，因为{a n }为等差数列，a 2=a 1+d ， a2a 1=a 1+d a 1 =1+ da 1， 所以 1λ ≤1+ da 1≤λ，即为 1λ -≤ da 1≤λ-1，0≤ da 1≤λ-1，综上可得，“0≤ da 1≤λ-1”是“{a n }为B （λ）数列”的充要条件．【点评】：本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用、数列的极限的求法和充要条件的证明，考查分类讨论思想和转化思想、运算求解能力和逻辑推理能力，是一道综合题．。
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2020-2021学年上海交大附中高三（上）期末数学试卷（一模）一、填空题本大题共有12题,只要求直接填写结果,其中1-6题每题填对得4分,7-12题每题填对得5分,否则一律得零分｡
1．（4分）设A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|m+1≤x≤2m+4，m∈R}，A⊆B，则m的取值范围是．
2．（4分）已知复数z＝（i是虚数单位），则|z|＝．
3．（4分）已知实数集合{1，2，3，x}的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x＝．4．（4分）若x＞1，则函数y＝的最小值为．
5．（4分）方程lgx+lg（7﹣x）＝1的解集为．
6．（4分）已知点A（﹣1，1），B（2，﹣2），若直线l：x+my+m＝0与线段AB相交（包含端点的情况），则实数m的取值范围是．
7．（5分）函数f（x）＝x2﹣2x+2（x≤0）的反函数f﹣1（x）＝．8．（5分）行列式的最小值为．
9．（5分）某小区有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法共有种．
10．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积为cm3，表面积为cm2．
11．（5分）已知平面直角坐标系中两点A（a1，a2）、B（b1，b2），O为原点，有
，设M（x1，y1）、N（x2，y2）、P（x3，y3）是平面曲线x2+y2
＝2x﹣4y上任意三点，则T＝x1y2﹣x2y1+x2y3﹣x3y2的最大值为．
12．（5分）由“无穷等比数列各项的和“可知，当0＜|x|＜1时，有，若对于任意的，都有，
则a11＝．
二、选择题本大题共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得5分,否则一律得零分｡
13．（5分）若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
14．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则角A 的范围是（）
A．B．C．D．
15．（5分）已知无穷数列{a n}满足，且a1＝1，a2＝x（x∈Z），
若数列{a n}的前2020项中有100项是0，则下列哪个不能是x的取值．（）
A．1147B．1148C．﹣1142D．﹣1143
16．（5分）已知函数|，给出下列四个判断：
①函数f（x）的值域是[0，2]；
②函数f（x）的图像是轴对称图形；
③函数f（x）的图像是中心对称图形；
④方程有实数解．
其中正确的判断有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
三、解答题（共5小题）
17．（14分）如图，AB是圆柱体OO′的一条母线，BC过底面圆的圆心O，D是圆O上不与点B，C重合的任意一点，已知棱AB＝5，BC＝5，CD＝3．
（1）求直线AC与平面ABD所成的角的大小；
（2）将四面体ABCD绕母线AB转动一周，求△ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．
18．（14分）已知函数f（x）＝3x+λ•3﹣x（λ∈R）
（1）根据λ的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若不等式f（x）≤6在x∈[0，2]上恒成立，求实数λ的取值范围．
19．（16分）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为（∠ACB＝），墙AB的长度为6米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记∠ABC＝θ．
（1）若θ＝，求△ABC的周长（结果精确到0.01米）；
（2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积△ABC的面积尽可能大，问当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积．
20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆＝1的右焦点为双曲线C：＝
1（a＞0，b＞0）的右顶点，直线x+2y+1＝0与C的一条渐近线平行．
（1）求C的方程；
（2）如图，F1、F2为C的左右焦点，动点P（x0，y0）（y0≥1）在C的右支上，且∠F1PF2的平分线与x轴、y轴分别交于点M（m，0）（﹣＜m＜）、N，试比较m与的大小，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，设过点F1、N的直线l与C交于D、E两点，求△F2DE的面积最大值．
21．（16分）对于一组向量，令
，如果存在，使得| |，那么称是该向量组的“h向量”．
（1）设，若是向量组的“h向量”，求实数x 的取值范围；
（2）若，向量组是否存在“h向量”？给出你的结论并说明理由；
（3）已知、、均是向量组的“h向量”，其中＝（sin x，cos x），＝（2cos x，2sin x）．设在平面直角坐标系中有一点列Q1，Q2，Q3，…，Q n满足：Q1为坐标原点，Q2为的位置向量的终点，且Q2k+1与Q2k关于点Q1对称，Q2k+2与Q2k+1（k∈N*）关于点Q2对称，求||的最小值．
参考答案
一、填空题本大题共有12题,只要求直接填写结果,其中1-6题每题填对得4分,7-12题每题填对得5分,否则一律得零分｡
1．[，0]；2．；3．﹣3；4．3；5．{2，5}；6．（﹣∞，]∪[2，+∞）；7．；8．﹣5；9．120；10．100；124+2；11．20；12．﹣682；
二、选择题本大题共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得5分,否则一律得零分｡
13．D；14．B；15．B；16．B；。