理论力学课后习题答案第8章动量定理及其应用

第8章 动量定理及其应用

8－1 计算下列图示情况下系统的动量。

(1) 已知OA ＝AB ＝l ，＝45°，为常量，均质连杆AB 的质量为m ，而曲柄OA 和滑块B 的质量不计（图a ）。

(2) 质量均为m 的均质细杆AB 、BC 和均质圆盘CD 用铰链联结在一起并支承如图。已知AB = BC = CD = 2R ，图示瞬时A 、B 、C 处于同一水平直线位置，而CD 铅直，AB 杆以角速度ω转动（图b ）。

(3) 图示小球M 质量为m 1，固结在长为l 、质量为m 2的均质细杆OM 上，杆的一端

O 铰接在不计质量且以速度v 运动的小车上，杆OM 以角速度ω绕O 轴转动（图c ）。

解：（1）p = mv C =ωml 2

5

，方向同C v （解图（a ）

）； （2）p = mv C 1 + mv C 2 = mv B = 2Rm ，方向同B v ，垂直AC （解图（b ））；

（3）j i p )60sin 2

60sin ()]60cos 2()60cos ([2121︒+︒+︒-+︒-=ωωωωl m l m l v m l v m

j i 4

23]42)[(2

12121m m l l m m v m m +++-

+=ωω（解图（c ）

）。

8－2 图示机构中，已知均质杆AB 质量为m ，长为l ；均质杆BC 质量为4m ，长为2l 。图示瞬时AB 杆的角速度为ω，求此时系统的动量。

解：杆BC 瞬时平移，其速度为v B

ω

ωωml ml l m p p p BC

AB 29

42=+=+= 方向同

v B 。

A

B

O

θ

ωC

v C

O 1

A B C

D

ω v B

C 1

C 2 v C 1

v C 2

O

M v

ω 60˚

v

v r

习题8-1解图

(a)

(b)

(c)

x

y

习题8-1图

A

B

O

θ

ω A

B

C

D

ω

O

M

v

ω 60˚

(a)

(b)

(c)

A

B

C

O ω

45˚ 45˚

习题8－2解图

v B

8－3 两均质杆AC 和BC 的质量分别为m 1和m 2，在C 点用铰链连接，两杆立于铅垂平面内，如图所示。设地面光滑，两杆在图示位置无初速倒向地面。问：当m 1= m 2和m 1= 2m 2时，点C 的运动轨迹是否相同。

解：根据受力分析知：∑

=0x F ，故系统的质心在水平方向运动守恒。

当m 1= m 2时，系统关于y 轴对称，质心位于y 轴上，且沿y 轴作铅垂直线运动，点C 的运动轨迹亦为铅垂直线。

当m 1= 2m 2时，质心位于y 轴左侧，且作铅垂直线运动，点C 的运动轨迹必为曲线。

故两种情况下，点C 的运动轨迹不相同。

8－4 图示水泵的固定外壳D 和基础E 的质量为m 1，曲柄OA =d ，质量为m 2，滑道B 和活塞C 的质量为m 3。若曲柄OA 以角速度ω作匀角速转动，试求水泵在唧水时给地面的动压力（曲柄可视为匀质杆）。

解：以整个水泵为研究对象，受力如图（a ）： 解法1：用动量定理求解 瞬时t ，系统动量 p = p 2+p 3

ω2

2222d m v m p C ⋅==，方向如图 ϕωsin 3333 d m v m p C ==，方向如图 由质系动量应理：

∑==y y y

F F t p d d (1)

∑==x x x F F t

p

d d

(2)

ϕωϕωsin sin 23232d m d m p p p y y y +⋅=+= ϕωcos 2

232d

m p p p x

x x ⋅=+=

x x x F F F ==∑

g m m m F F F )(321++-==∑y y y 代入（1）、（2），并注意到t ωϕ=得：

g m m m F t d m t d m t y )(sin sin 2d d 32132++-=⎪⎭⎫

⎝⎛+⋅ωωωω

x F t d m t =⎪⎭

⎫

⎝⎛⋅ωωcos 2d d 2

得t ωd m m g m m m F 2y ωcos 2

2)(3

2321++++= （3） t m d F 2x ωωsin 2

2-= （4）

解法2：用质心运动定理解 研究对象及受力同前： R F a =C M 32p p p +=

3

322C C C m m M v v v +=

习题8－4图

A

B

C

m 1g

m 2g

d

习题8－3解图

N A

F N B

y

O

A g 2m C

x

F y

F

g

1m g 3m D

B 3

p

p

(a)

C 2

C 3

ϕ