利用向量混合积求四面体体积
纵观立体几何考题感悟向量方法解题
纵观立体几何考题感悟向量方法解题在高中数学学习中，立体几何一直是学生们非常头疼的一个部分。
立体几何的主要难点是空间的复杂性，加上几何思维本来就不易理解，许多学生解题困难。
但是，通过向量方法解题是一种很好的解决立体几何问题的方法。
本文将通过纵观立体几何考题，分享一些关于向量方法解题的经验与感悟。
一、向量的基本概念及运算向量的表示法是用箭头表示。
箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。
一个向量可以被表示为一个由有序数对$(x,y)$所确定的点A和另一个由有序数对$(x',y')$所确定的点B之间的向量$\vec{AB}$。
向量也可以表示为箭头的坐标，即$\vec{AB}=\begin{pmatrix}x'-x\\y'-y\end{pmatrix}$。
向量的大小表示为$|\vec{AB}|=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2}$。
向量的运算有向量加法和向量数乘。
向量加法的定义是：$\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\e nd{pmatrix}$。
其中，$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$，$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$。
向量数乘的定义是：$\lambda\vec{a}=(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3)$。
其中，$\lambda$是一个实数。
二、应用向量方法求解空间几何问题1.立体几何基本概念首先，我们需要掌握一些立体几何的基本概念，比如平面、线段、角等。
此外，还需要了解空间中的直线、平面、空间角、平行线等概念。
了解这些概念是建立解题基础的必要条件。
2.向量表达式的转化在解题中，我们可以通过向量的基本运算将问题转化为向量的加、减、数乘问题。
因此，我们需要能够将向量从一个表达式转化为另一个表达式，并灵活地运用向量的加、减、数乘运算法则来求解问题。
三向量的混合积
B
C
[ AB AC AD ]
3 1 9
5 4 2 2 0 14 16
A
D
故 A , B , C , D 四点共面 .
内容小结
设 a (a x , a y , a z ) , b (bx , by , bz ) , c (c x , c y , c z ) 1. 向量运算 加减: 数乘: 点积: 叉积:
a , b , c 共面
( ab )c 0
ax a y az b x b y bz 0 cx c y cz
思考与练习
1. 设 a i 2 j k , b i j , 计算 a b 及 a b , 并求 a , b 夹角 的正弦与余弦 . 答案: a b 1 ,
1 6
x2 x1 y2 y1 z2 z1 x3 x1 y3 y1 z3 z1 x4 x1 y4 y1 z4 z1
例1. 证明四点 A(1,1,1) , B( 4 , 5 , 6 ), C ( 2 , 3 , 3 ) ,
D(10 ,15 ,17 ) 共面 .
解: 因
a b (a x bx , a y by , a z bz )
a ( a x , a y , a z )
a b a x bx a y by a z bz
i j k a b ax a y az
bx b y bz
ax a y az 混合积: a b c ( a b ) c bx b y bz cx c y cz 2. 向量关系: bx b y bz ab 0 ax a y az a x bx a y by a z bz 0
ab
空间向量与立体几何测试试卷
空间向量与立体几何测试试卷空间向量与立体几何测试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则a·b的结果为：A. 4B. 14C. 32D. 562.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则a×b的结果为：A. (1,-2,1)B. (-1,2,-1)C. (1,2,1)D. (-1,-2,-1)3.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a+b的结果为：A. (5,7,9)B. (5,6,7)C. (4,7,9)D. (4,6,8)4.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a-b的结果为：A. (3,3,3)B. (-3,-3,-3)C. (-3,-1,1)D. (3,1,-1)5.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a·(a+b)的结果为：A. 42B. 56C. 70D. 846.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a×(a+b)的结果为：A. (14,-28,14)B. (-14,28,-14)C. (14,28,14)D. (-14,-28,-14)7.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量|a|的结果为：A. √6B. √14C. √26D. √468.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量|b|的结果为：A. √14B. √26C. √38D. √509.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a×b的模长为：A. √6B. √14C. √26D. √3810.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a·b的模长为：A. 14B. 26C. 38D. 50二、填空题（每题3分，共30分）1.向量(2,3,4)与向量(-1,2,-3)的夹角为______度。
向量的外积和混合积
x ( x, x )
三维空间：
x
k 1
n
2 k
设 x ( x1 , x2 , x3 )
y ( y1 , y2 , y3 )
12
则 x y x1 y1 x2 y2 x3 y3
2） 任意两向量之间的夹角定义:
( x, y) cos x y
1
平面解析几何是通过坐标法,把平面上的点与一 对有序的数对应起来，把平面上的图形和方程对应 起来，从而可以用代数方法来研究几何问题。空间 解析几何也是按照类似的方法建立起来的，它是在 三维坐标系中，用代数方法研究空间曲面和曲线性 质的一个数学分支。
2
§1 向量的外积与混合积
一、空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系。 即以右手握住 z 轴，右手的四个手指从正向 x 轴 以π/2 角度转向正向 y 轴时， 大拇指的指向就是 z 轴 z 竖轴 的正向。
z
R
M1
P
M2
Q
o
x
cos
x3 x x x
2 1 2 2 2 3
0 ,
0 ,
y
(cos , cos , cos )
0 .
表示线段OM 距离原点O 一个单位的点。
9
4、 向量的运算法则
设 x ( x1 , x2 , x3 ) y ( y1 , y2 , y3 ) 1）加法 （平行四边形法则） 即 x y ( x1 y1 , x2 y2 , x3 y3 ) 满足 a ) x y y x b) ( x y ) z x ( y z )
B(0, y , z )
四面体的六条棱长求体积公式
六条棱长分 别为 。
第二步： 由空间解析几何知，该四面体的体积 V 等于以矢 量 为棱的平行六面体的体积的
,即
将上式平方后得
V=
由于行列式转置后其值不变，将第二个行列式进行转值后再相乘， 得
V=
= (1)
解题过程 （详细过程） 第三步： 根据矢量数量积的坐标表示及数量积的定义得
故得花岗岩巨石体积近似为
（米 ）。
3
花岗岩巨石体积 数学实验 其他 可执行的文件名及其原文件；
又根据矢量数量积的坐标表示、定义及余弦定理得
第四步：将以上各式代入第二步的（1）式便得
这就是利用四面体的六条棱长去计算四面体体积的欧拉四 面体求积公式。
欧拉四面体求积公式 第五步：计算花岗岩巨石的体积。 设 l=10 米,m=15 米,n=12 米,p=14 米,q=13 米,r=11 米， 代入四面体体积计算公式得
知识点一： 知识点二：
矢量的数量积 矢量的向量积
解题方法
（解题思路、解题提 示、解题要点等）
用六条棱长表示的四面体体积公式 内容：将四面体放入直角坐标系内，利用矢量混合积的几 何意义及坐标运算公式，结合矢量数量积的坐标运算公式、 定义及余弦定理得到用六条棱长表示的四面体体积公式。
解题过程 （详细过程）
欧拉四面体求积公式
问题内容： 历史上欧拉提出了这样一个问题：如何用四面体的六条棱长去表示 它的体积。试用矢量代数知识来解决这个问题。并计算棱长分别为 10 米，15 米，12 米，14 米，13 米，11 米的四面体形状的花岗岩巨石的体积。 问题应用背景 几何
涉及的知识点
（知识点的标准说法 参见知识框架结构图）
正四面体的体积计算公式
正四面体的体积计算公式正四面体是一种很有趣的几何体，在数学学习中经常会碰到。
那咱就来聊聊正四面体的体积计算公式。
先给大家说说我曾经碰到的一件事儿。
有一次在课堂上，我给学生们讲正四面体的知识，其中一个平时很调皮的学生居然听得特别认真。
我当时就觉得很惊喜，讲完之后让大家做练习，这小家伙居然第一个做完，而且还全对！这让我深刻地体会到，只要能激发起学生的兴趣，再难的知识他们也能掌握得很好。
咱回到正四面体的体积计算公式这个正题哈。
正四面体的体积计算公式是：V = √2/12 × a³ （其中 V 表示体积，a 表示正四面体的棱长）。
要理解这个公式，咱们先来了解一下正四面体的特点。
正四面体的四个面都是全等的等边三角形，每个顶点到对面三角形的距离都相等。
想象一下，就像是四个一模一样的小三角形拼成了一个尖尖的立体图形。
那这个公式是怎么来的呢？这就得用到一些高中阶段的数学知识啦。
我们可以把正四面体放进一个正方体里面，通过正方体的体积和正四面体与正方体之间的关系来推导出来。
假设正方体的棱长是 a ，那么正方体的体积就是 a³。
而正四面体的体积正好是正方体体积的一部分。
通过一系列的计算和推导，最终就得出了正四面体的体积是√2/12 × a³ 。
可能有的同学会觉得，哎呀，推导过程太复杂啦，不好懂。
没关系，咱们多做几道题，多画几个图，慢慢地就会有感觉啦。
比如说，给你一个正四面体，棱长是6 厘米，那它的体积是多少呢？咱们就把棱长 6 厘米代入公式，V = √2/12 × 6³ ，经过计算就能得出答案啦。
在实际生活中，正四面体的体积计算也有不少用处呢。
比如建筑师在设计一些独特的建筑结构时，如果用到了正四面体的元素，就得通过这个公式来计算相关的体积，从而确定材料的用量和空间的大小。
学习正四面体的体积计算公式，就像是打开了一扇通往数学奇妙世界的门。
虽然可能会遇到一些小困难，但只要咱们不放弃，多思考，多练习，一定能掌握得妥妥的！就像那个调皮的学生一样，只要用心，啥都能学好。
已知四点坐标求四面体体积例题
已知四点坐标求四面体体积例题四面体是一种三维几何图形，由四个不在同一平面上的点组成。
它是一种重要的几何图形，在数学、物理、化学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍如何利用已知的四点坐标求解四面体的体积。
首先，我们需要了解四面体的定义和性质。
四面体是一种由四个不在同一平面上的点组成的三维几何图形。
四面体有四个面和六条棱，每个面都是一个三角形。
四面体的体积可以通过以下公式计算：V = (1/3) * S * h，其中S为底面积，h为高。
接下来，我们来看一个例题。
已知四个点的坐标分别为 A(1,2,3)，B(4,5,6)，C(7,8,9)，D(10,11,12)，求四面体ABCD的体积。
我们可以利用向量的方法来求解。
首先，我们需要求出三个向量AB、AC和AD的值。
根据向量的定义，我们可以得到：AB = B - A = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3)AC = C - A = (7-1, 8-2, 9-3) = (6, 6, 6)AD = D - A = (10-1, 11-2, 12-3) = (9, 9, 9)接下来，我们需要求出三角形ABC的面积。
根据向量的叉乘公式，我们可以得到：SABC = |AB x AC| / 2= |(3, 3, 3) x (6, 6, 6)| / 2= |(0, 18, -18)| / 2= 9然后，我们需要求出四面体的高。
我们可以利用点到平面的距离公式来求解。
四面体的高可以从点D到四边形ABC所在平面的垂线上。
根据点到平面的距离公式，我们可以得到：h = |(D - A) · n| / |n|= |(9, 9, 9) · (AB x AC)| / |AB x AC|= |(9, 9, 9) · (0, 18, -18)| / |(0, 18, -18)|= 3最后，我们可以利用四面体的体积公式来求解四面体的体积。
根据公式，我们可以得到：V = (1/3) * SABC * h= (1/3) * 9 * 3= 9因此，四面体ABCD的体积为9。
高数 向量的乘积 知识点与例题精讲
的平行四边形的面积.
ay
0
c
a
b
思考: 右图三角形面积
a
b
S＝
1 2
ab
a
b
例5
求与a
3i
2
j
4k ，b
i
j
2k 都垂
直的单位向量.
解
c
a
b
i ax
j ay
ki az 3
j 2
k
4 10 j 5k,
解 AC {0,4,3}
B
AB {4,5,0}
三角形ABC的面积为 A
DC
S 1 | AC AB | 1 152 122 162 25 ,
2
2
2
| AC | 42 (3)2 5, S 1| AC | | BD |
25 1 5 | BD |
解
(1)
a
b
11 1 (2) (4) 2
9.
(2) cos
axbx a yby azbz
ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
1 ,
2
(3)
a
b
|
b
|
Pr
jba
3 .
Pr
4
jba
a
证: 如图 . 设
C B a, C A b, AB c 则
A b
c
C
Ba
c 2 (a b)(a b) a a bb 2ab
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Calculating the volume of tetrahedron with the mixed products of vectors
ZHENG Hui
（School of Mathematics and Computer Science，Aba Teacher′s University，Wenchuan 623000，China）
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r
b - a,
rr c - a,
r c
，
rr c - a,
rr c - b,
r b
，
rr c - a,
rr c - b,
r a
，
rr b - a,
rr c - b,
r b
，
rr b - a,
rr c - b,
r c
．由混合积的运
( ) 算规律可知，这 12 个混合积的绝对值都相等，且都等于
2
高师理科学刊
第 39 卷
( ) ( ) V = 16 P1-P2P3P4
uuuur P1P2 ,
uuuur P1P3 ,
uuuur P1P4
=1 6
r a,
r b,
r c
=
( ) ( ) 1
6
uuuur P2 P1,
uuuur P2 P3 ,
uuuur P2 P4
=1 6
r -a,
rr b - a,
r a,
r b,
r c
．故四面体的体积等于以其任意不共面
的三边（向量）为棱所作的平行六面体体积的六分之一.
P1 - P2 P3P4 为一四面体（见图１），设 P1P2
= a ，P1P3
= b ，P1P4
= c ，则 P2P4
= c - a ，P2P3
=b-a，
P3P4 = c - b ．由初等几何知识可知，四面体 P1 - P2P3P4 的体积等于以其共点的三边（向量）为棱所作的平行
六面体体积的六分之一．因为平行六面体的体积等于其三边的混合积的绝对值，所以
rrrr
( ) 四面体 P1 - P2P3P4 不共点、不共面的任意三边的组合共有 12 种，其混合积分别为 a, b, c - b ，
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r r r
rrrr
rrrr
rrrr
rrrr
rrrrr
a, b, c - a ， a, c, b - a ， a, c, c - b ， b, c, a - c ， b, c, b - a ， b - a, c - a, b ，
( ) r r r
Abstract：In analytical geometry，an important application of the mixed products of vectors a, b, c is to get the volume of parallelepiped and tetrahedron with its geometric meaning．Provided a more general method to get the volume of tetrahedron with the mixed products of vectors． Key words：analytical geometry；mixed product；tetrahedron；volume
体体积进行了研究．本文给出求四面体体积的一个更一般的方法． 定理 四面体的体积等于以其任意不共面的三边（向量）为棱所作
P３
图 1 四面体 P1 - P2 P3P4
的平行六面体体积的六分之一．
uuuur r uuuur r uuuur r uuuur r r uuuur r r
证明 uuuur r r
收稿日期：2018-12-10 基金项目：国家自然科学基金项目（11861001）；四川省应用基础研究项目（2018JY0458）；四川省高校科研创新团队建设计划项目（18TD0047）；
四川省教育厅自然科学基金项目（18ZB0001）；阿坝师范学院校级课题（ASB14-21）；阿坝师范学院教学改革研究项目（20171225， 20170816） 作者简介：郑惠（1977 -），女，四川南充人，副教授，从事几何以及数论研究．E-mail：zh_9203@
（阿坝师范学院 数学与计算机科学学院，四川 汶川 623000）
( ) 摘要：在解析几何中，向量混合积
r a,
r b,
r c
的一个重要应用就是利用其几何意义求平行六面体和
四面体的体积．利用向量混合积给出了求四面体体积的一个更一般的方法． 关键词：解析几何；混合积；四面体；体积 中图分类号：O182.2 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2019.03.001
r a,
r b,
r c
rr 为以 a ，b ，
( ) r
rrr
rrr
c 为棱所作的平行六面体的体积；当 a ，b ，c 共面时， a, b, c = 0 ．混
合积应用研究的热点除了用于证明向量共面，就是求平行六面体和四面 P2
P4
体的体积．教材[1-3]对四面体体积问题进行研究时，都只是利用四面体
其共点三边（向量）混合积计算四面体的体积，文献[4-10]分别对四面
rr c-a
=
( ) ( ) 1
6
uuuur P3 P1 ,
uuuur P3P2 ,
uuuur P3 P4
=1 6
rr a - b,
r - b,
rr c-b
=
1
( ) ( ) 6
uuuur P4 P1,
uuuur P4 P2 ,
uuuur P4 P3
=1 6
rr b - c,
rr a - c,
r -c
第 39 卷 第 3 期 2019 年 3 月
高师理科学刊 Journal of Science of Teachers′College and University
文章编号：1007-9831（2019）03-0001-02
Vol. 39 No.3 Mar. 2019
利用向ห้องสมุดไป่ตู้混合积求四面体体积
郑惠
rr
r
在解析几何中 2 个向量 a ， b 先作外积，再与另一向量 c 作内积，
P1
( ) ( ) ( ) r r r
rrr rrr
称 为 三 向 量 的 混 合 积 ， 记 为 a, b, c ， 即 a, b, c = a ´ b × c ．
( ) ( ) r
a,
r b,
r c
rrr 的几何意义为：当 a ，b ，c 不共面时，