一元二次方程根的分布教学设计

一元二次方程根的分布教学设计

大庆一中高中部孙庆夺

一、教学分析

（一）教学内容分析

本节课所讲的内容是高中数学必修一第三章第一节《函数与方程》之后的一个专题内容，是中学数学的重要内容之一。这段内容与一元二次不等式，二次函数等内容有着紧密的联系。它是在前面学习了函数与方程，二次方程，二次不等式基础上对函数与方程内容的深化和拓展，通过根的分布的不同情况，充分体现了由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。从而提升学生对数学知识的应用能力。通过学习一元二次方程根的分布，有助于学生进一步理解二次方程，二次函数，加深函数与方程思想，数形结合思想在数学学习中的应用的认识，同时也为以后数学的学习打下扎实的基础。

（二）教学对象分析

高中一年级的学生已经有了一定的观察识图能力及分析判断能力，有利用已有知识解决新问题的愿望。学生学习了函数与方程，二次方程，二次函数的知识，已经具有用数学知识解决实际问题的能力。学生抽象逻辑思维很大程度上还属于经验型，需要感性经验的直接支持。通过学习，抽象逻辑思维逐步成熟，能够用理论作为指导来分析、综合各种事实材料，从而不断扩大自己的知识领域。

（三）教学环境分析

由于本节课涉及到根的分布情况较多，对老师的的作图提出了很高的要求。采用传统的板式教学，根本就无法向学生演示动态过程，很难满足学生的求知欲，达不到教学的最佳效果。多媒体网络教学，是现代高中数学教学全新的教育技

术，使传统的教学方式得到补充。在计算机的帮助下，利用制作好的几何画板课件，操作演示，感受根的分布的不同情况，加深学生的认识和理解，同时也符合学生认识事物从感性认识到理想认识的认知过程。

（四）教学手段

采用多媒体网络教学。《普通高中数学课程标准》指出：“现代信息技术的广泛应用真正对数学教学、数学学习方面产生深刻的影响，数学课程的设计应重视运用现代信息技术，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，提倡实现信息技术与课程内容的有机结合。”本节课涉及到的图象信息较多，利用多媒体网络教学可以实现最大容量地向学生提供图象信息，并让学生整理归纳信息，增强学生的动手能力、思考能力和自主学习能力，也能实现数学课堂中学生的高参与度，从而实现资源、时间、效率的最优化。

（五）教学方式

自主式探究，学案式导学。自主探究，学案导学的教学方式，能够激发学生的学习兴趣、突出学生的主题地位，培养学生的数学应用意识、合作精神，这与《新课标》的要求是吻合的。

二、教学目标

１.知识与能力

加深对一元二次方程，二次函数图象与性质的认识；会利用函数知识，方法重新审视一元二次方程．

２.过程与方法

体验“观察-猜想-验证”探究问题的方法，领会由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，加深对函数与方程，数形结合思想的理解。

３.情感态度与价值观

培养学生不断发现，探索新知的精神。体会数学严谨细致之美，简洁朴实之美． 激发学生积极思考、勇于探索，提高学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学分析和解决问题的意识。 三、教学重点，难点

1．重点：利用函数图象求解有关一元二次方程根的分布问题 2．难点：函数与方程，数形结合思想的渗透 四、教法与教具选择：

1．教学方法：学案式导学、开放式探究、启发式引导、互动式讨论. 2．教学手段：运用几何画板、多媒体. 五、教学过程

（一）、创设情景，导入新课：

若x 230mx m --+=的两根都大于12

，求参数m 的取值范围

学生给出两种常见的解答方法，方法一：12120

114

x x x x ⎧

∆≥⎪⎪+>⎨⎪

>⎪⎩

问题1：不等式组和方程两根都大于12

等价吗？

方法二：0

12

∆≥⎧> 问题2：不等式好解吗？

【设计意图】从学生最熟悉的二次方程根的问题出发，直达学生知识的薄弱点。使学生认识到用初中所学的韦达定理解决前后不等价，而解不等式会出现好想不好解的情况，激发学生研究该问题的兴趣。

问题3：那么，对于这样的问题如何求解呢？

【设计意图】激发兴趣，直接切入研究的课题。（板书课题：一元二次方程根的分布）

（二）、教师引导，发现规律： 从学生最熟悉的0分布着手：

求使方程x 2-mx-m+3=0的两根满足下列条件的实数m 的取值范围. (1)两个正根;

学生给出如下答案：12120

00

x x x x ∆≥⎧⎪

+>⎨⎪⋅>⎩ ⇒ 24(3)0030m m m m ⎧-->⎪>⎨⎪->⎩

⇒ 23m <<

问题1：这种方法借助于初中所学习的韦达定理，在前面的学习中我们学习了函数与方程知识，此题是否还有其他解法呢？

【设计意图】引导学生积极思考，提示学生能否用函数与方程知识解决根的分布问题。

问题2：方程的根等价于函数的零点，所以研究二次方程的根可以转化为研究二次函数的零点。问题转化为f(x)=x 2-mx-m+3有两个正零点，如何保证二次函数有两个正零点呢，决定二次函数图象的因素有哪些呢？

【设计意图】引导学生用函数零点研究方程根的分布，考虑初中所学习的影响二次函数图象的因素。

开口方向，对称轴位置，判别式，与y轴交点

设f(x)=x2-mx-m+3 ，

2

(0)0

m

f

∆≥

⎧

⎪⎪

>

⎨

⎪

>

⎪⎩

⇒23

m

<<

问题3：对于方程有两个负根的情况，以上的方法是否适用呢？

【设计意图】引导学生用两种方法解决该问题，通过结果检验方法依旧成立

方法一：

12

12

x x

x x

∆≥

⎧

⎪

+<

⎨

⎪⋅>

⎩

⇒6

m≤-；方法二:

2

(0)0

m

f

∆≥

⎧

⎪⎪

<

⎨

⎪

>

⎪⎩

⇒6

m≤-

问题4：对于方程有一个正根，一个负根的情况，以上的方法是否适用呢？

【设计意图】引导学生用两种方法解决该问题，通过结果检验方法依旧成立

方法一：

12

x x

∆>

⎧

⎨

⋅<

⎩

⇒3

m>；方法二: (0)0

f<⇒3

m>

问题5：思考:处理一元二次方程根的分布问题, 通常要考虑哪些因素呢？