概率统计试题及答案(本科完整版)

填空题（每题2分，共20分）

A1、记三事件为A ，B

，C . 则用A ，B ，C 及其运算关系可将事件，“A ，B ，C 中只有一个发

生”表示为 .

A3、已知P(A)=0.3，P （B ）＝0.5，当A ，B 相互独立时，06505P(A B )_.__,P(B |A )_.__⋃==。 A4、一袋中有9个红球1个白球，现有10名同学依次从袋中摸出一球（不放回），则第6

位同学摸出白球的概率为 1/10 。

A5、若随机变量X 在区间 (,)a b 上服从均匀分布，则对a c b <<以及任意的正数0e >，必

有概率{}P c x c e <<+ ＝⎧+<⎪⎪

-⎨-⎪+>⎪-⎩

e

,c e b b a b c ,c e b b a

A6、设X 服从正态分布2(,)N μσ，则~23X Y -= N ( 3-2μ , 4σ2 ) .

A7、设1128363

X B EX DX ~n,p ),n __,p __==（且＝

，＝，则 A8、袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以X 表示取出3只球中的最大号码。则X 的数学期望=)(X E 4.5 。 A9、设随机变量(,)X Y 的分布律为

则条件概率 ===}2|3{Y X P 2/5 .

A10、设121,,X X 来自正态总体)1 ,0(N , 2

129285241⎪⎭⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===i i i i i i X X X Y ,当常数k =

1/4 时，kY 服从2χ分布。

A 二、计算题（每小题10分，共70分）

A1、三台机器因故障要人看管的概率分别为0.1，0.2，0.15，求： （1）没有一台机器要看管的概率

（2）至少有一台机器不要看管的概率 （3）至多一台机器要看管的概率

解：以A j 表示“第j 台机器需要人看管”，j =1，2，3，则:

P ( A 1 ) = 0.1 , P ( A 2 ) = 0.2 , P ( A 3 ) = 0.15 ,由各台机器间的相互独立性可得

()()()()()123123109080850612P A A A P A P A P A ....=⋅⋅=⨯⨯=

ABC ABC ABC

()()()12312321101020150997P A A A P A A A ....⋃⋃=-=-⨯⨯= ()()

()()()()

123

123

123

1231231231231233010808509020850908015090808500680153010806120941

P A A A A A A A A A A A A P A A A P A A A P A A A P A A A .................=+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+++=

A2、甲袋中有n 只白球、m 只红球；乙袋中有N 只白球、M 只红球。今从甲袋任取一球放入乙袋后，再从乙袋任取一球。问此球为白球的概率是多少？ 解：以W 甲表示“第一次从甲袋取出的为白球”，R 甲表示“第一次从甲袋取出的为红球”， W 乙表示“第二次从乙袋取出的为白球”，

则所求概率为 ()()()()P W P W W R W P W W P R W ==+乙甲乙

甲乙甲乙甲乙

()()()()

P W P W W P R P W R =+甲乙甲甲乙甲

11

111111111

n m N N n m N M n m N M C C C C C C C C +++++++=⋅+⋅ ()()()()()()

111n N mN

n m N n n m N M n m N M ++++==

++++++

A3、设随机变量X 的概率密度为cos , ||()2 0 , A x x f x π⎧

<

⎪=⎨⎪⎩其它, 试求（1）常数A ;

(2) 分布函数()F x ; (3) 概率{ 0 }4P X π<<。

解：（1） 由归一性可得：()22

12f x dx Acos xdx A

π

π+∞

-∞

-

===⎰

⎰，从而 12A =

()()()()()()22

22222x

x

x

x f x dx,x .F x f x dx f x dx,x f x dx,x ππππππ-∞-∞

-

⎧<-⎪⎪⎪

==-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩⎰⎰

⎰⎰ ()021122212,x sin x ,x ,x ππππ⎧<-⎪

⎪=+-≤<⎨⎪⎪≥⎩

()4

1304

24

.P{X }cos xdx ππ<<==⎰

A4、（1）已知X 的分布律为

X

-1 0 1 2 3

P

121 61 31 12

1

3

1

计算)21(2X D -。（5分）

解：()()(){

}

2

2242

1244D(X )D X E X E X ⎡⎤-==-⎣⎦

115225235

44

164⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ （2）、设)1,0(~N X ，求2X Y =的概率密度.（5分）

解：Y

的密度函数为：2000

y

,y f (y ),y -⎧>=≤⎩

A5、设(,)X Y 的概率密度为 00

0 , (),,(,)x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它

.

(1) 试求分布函数),(y x F ；

(2) 求概率{}(,)P x y G ∈其中区域G 由X 轴, Y 轴以及直线1=+y x 所围成.

解: ()()()000010x y

(x y )x

y

e

dxdy,x ,y .F x,y f x,y dxdy ,-+-∞-∞

⎧>>⎪==⎨⎪⎩

⎰⎰⎰⎰其他

()()11000x y e e ,x ,y ,--⎧-->>⎪=⎨⎪⎩

其他

(){}()2G

.P (x,y )G f x,y dxdy ∈=⎰⎰1110012x

(x y )e dy dx e --+-⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎰⎰

A6、设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(1),01

(,)0,k x y x f x y -<<<⎧=⎨⎩

其它,求常数k 及边缘概

率密度.并讨论随机变量Y X ,的相互独立性。 解：由归一性知：()01

11(,)y x f x y dxdy k x dxdy +∞+∞

-∞

-∞

<<<==

-⎰

⎰

⎰⎰

()100116x k dx x dy k =⋅-=⎰⎰

6k ∴=

()(,)X f x f x y dy +∞-∞

=⎰()061010x x dy x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩

⎰，，其他()6101

0x x x ⎧-<<=⎨⎩，，其他

()(,)Y f y f x y dx +∞-∞

=⎰()1

61010y x dx y ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩

⎰，，其他()23101

0⎧⎪<<=⎨⎪⎩-，，其他y y

显然 ()()(,)X Y f x y f x f y ≠⋅，故X 与Y 不相互独立。