第四章光的衍射

§2 单缝的夫琅禾费衍射
A C
a
f
o
x
B L
P
在屏幕上某点 P 距屏幕中心 o 点为 x，
对应该点的衍射角为 ，AB 间两条光线的 光程差为 。
一、半波带法
A C
a
f
o
x
B L
P
用 / 2 分割 ，过等分点作 BC 的平行线，
等分点将 AB 等分----将单缝分割成数个半 波带。
A C
a
f
o
（1）透光缝 a 的单缝衍射中央明条纹宽度 为多少？ （2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1)中央明条纹的宽度为
x 2 f 0.06m
a
(2)由光栅方程： (a b)sin k' k' (a b)x / f 2.5
取k' 2.所以共有 k' 0,1,2,5个主极大。
单缝衍射减弱条件: a sin k'
两式相比
I单
a b k m a k'
k km
(k 1，2，3 )
-2
-1
光栅衍射 光强曲线
-8
-4
0
1
2
I
单缝衍射 轮廓线
0
4
8
a b k m a k'
(m 1，2，3 )
m为整数时，光栅谱线中m、2m、3m等处 缺级。
I单
当 m=4 时
谱线中的第
求光栅常数最小是多少？
解：
(a b)sin k
在φ 41处，k1λ 1 k2λ 2
k2
k1
1
2
656 .2 410 .4
8 5
16 10
24 15
取 k1 5,k 2 8
即让1 的第5级即与2 的第8级相重合
a b k1λ 1 sin φ 5 10 4 cm
2.（1）在单缝夫琅和费衍射实验中，垂
2
x （2k 1）f
x1
3f
2a
2a (k 1,2 ) 两条，对称分布屏幕中央两侧。
其它各级明纹也两条，对称分布。
3.中央明纹宽度
A C
a
f
o
x
B L
P
为两个一级暗纹间距
l0 2x1
2f
a
3 2 1
1 l0 I
2 3
4.相邻条纹间距
•相邻暗纹间距
x
x k 1
xk
(k
1)f
a
k f
则所有光线在该方向上都满足加强条件。
用平行光垂直
k
b
照射在光栅上， a
相邻两条光线
的光程差
d
(a b)sin
d sin
f
光栅方程
(a b)sin k (k 0,1,2 ) 加强
四、谱线位置
x f tg 当 角很小时
sin tg
由光栅方程
k
b a
d
o
x
fP
a b
(k 0,1,2 ) 明纹
•缺级条件
I单
k d k a
(k 1，2，3 )
-2
-1
光栅衍射 光强曲线
0
1
2
I
单缝衍射 轮廓线
令d m a
-8
-4
0
4
8
当m为整数时，在m,2m,3m···处出现缺 级。
1.以氢放电管发出的光垂直照射在某光栅
上，在衍射角 =41 的方向上看到
1656.2nm 和 2410.1nm 的谱线相重合，
所以p点所在的位置为第三级 明纹，
由a sin (2k 1) / 2可知
当k 3时，可分成2k 1 7个半波带。
35.一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝， 每条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅 后放一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以
600nm 的单色平行光垂直照射光栅。 求：
且有sin tg x / f
所以x
x2
x1
f
d
1.8cm
3.用一束具有两种波长的平行光垂直入
射在光栅上, 1 =600 nm ,发现 2=400nm 距中央明纹 5 cm 处 1 光的第 k 级主极大 和 2 光的第 (k+1) 级主极大相重合,放置在
a
f
a
l0 2
•相邻明纹间距
x
x k 1
xk
[2(k
1) 1]f
2a
(2k 1)f
2a
f l0
a2
除中央明纹以外，衍射条纹平行等距。
•条纹间距 四、讨论
1. x
x f
a
、f 、a
衍射现象明显。
2. x
、f 、a
衍射现象不明显。
五、条纹角宽度
sin k
3a 3
2a
A C
a
B L
f
o
x
P
3 2 1
1
I
2
3
•明纹暗纹位置
k f
x
a （2k
1）f
2a
(k 1,2 ) 暗纹 (k 1,2 ) 明纹
•中央明纹宽度 •条纹间距
l0
2f
a
x f
a
2.衍射光栅
k
b a
•光栅方程
d
(a b)sin k
(k 0,1,2 ) 加强
o
x
fP
•明纹位置
x k f
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
d
(a b)sin k
k max
(a b)sin 90
o
x
fP
k max
(a b)sin 90
300
1 10 3 632 .8 10
9
5.3
取 kmax 5 能观察到的谱线为11条： 5， 4， 3， 2，1，0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5。
本章小结
光的衍射
惠更斯原理----波在媒质中传播到的各 点，都可看成新的子波源。
菲涅耳原理----波传播到某一点的光强 为各个子波在观察点的干涉叠加。
1.夫琅禾费单缝衍射 A C
a
•加强减弱条件
B L
f
o
x
P
2k
a sin
2
（2k 1）
2
(k 1,2 ) 减弱 (k 1,2 ) 加强
双缝干涉是干涉和衍射的共同效果。
§3 光栅衍射
一、光栅
大量等宽等间距的平行狭缝(或反射面) 构成的光学元件。 从工作原理分
衍射光栅 (透射光栅)
反射光栅 (闪耀光栅)
二、衍射光栅
1.光栅制作 •机制光栅
在玻璃片上刻划出一系列 平行等距的划痕刻过的地方 不透光，未刻地方透光。
•全息光栅 通过全息照相，将激光产
条纹在屏幕上的位置与波长成正比，如果用白 光做光源，中央为白色明条纹，其两侧各级都 为彩色条纹。该衍射图样称为衍射光谱。
-3 -2 -1
0
3 12
七、干涉和衍射的联系与区别
干涉和衍射都是波的相干叠加， 但干涉是 有限多个分立光束的相干叠加，衍射是波阵面 上无限多个子波的相干叠加。二者又常出现在 同一现象中。
夫琅禾费集工艺家和理论家的才干于一身，把理论与丰富的实 践经验结合起来，对光学和光谱学作出了重要贡献。1814年 他用自己改进的分光系统，发现并研究了太阳光谱中的暗线 （现称为夫琅禾费谱线），
利用衍射原理测出了它们的波长。他设计和制造了消色差透镜， 首创用牛顿环方法检查光学表面加工精度及透镜形状，对应用 光学的发展起了重要的影响。他所制造的大型折射望远镜等光 学仪器负有盛名。他发表了平行光单缝及多缝衍射的研究成果 （后人称之为夫琅禾费衍射），做了光谱分辨率的实验，第一 个定量地研究了衍射光栅，用其测量了光的波长，以后又给出 了光栅方程。
–8、 – 4、4、 8级条纹缺级。
-2
-1
光栅衍射 光强曲线
0
1
2
I
单缝衍射 轮廓线
-8
-4
0
4
8
4.斜入射时光栅方程
d sin d sin i k, k 0,1,2
正负号取法： , i在法线同侧时取正， , i在
法线异侧时取负，斜入射可提高最高级的 级次。
34.若有一波长为 600nm 的单色平行光，
x
B L
P
分割成偶数个半波带， P 点为暗纹。 分割成奇数个半波带， P 点为明纹。
二、加强减弱条件
A C
a
f
o
x
B L
P
2k
a sin
2
（2k 1）
2
(k 1,2 ) 减弱 (k 1,2 ) 加强
三、明纹暗纹位置
A C
a
f
o
x
B L
P
x ftg f sin ， 角很小
k f
五、缺级现象
1. 光栅衍射是单缝衍射与多光束干涉合
成的结果，光栅中各主极大受到单缝衍射
光强的调制。 I单
2.当光栅明纹
处恰满足单缝
衍射暗纹条件， 该处光强为 0 ， 出现缺级。
-2
-1
光栅衍射 光强曲线
0
1
2
I
单缝衍射 轮廓线
-8
-4
0
4
8
播放动画
3.缺级条件
光栅衍射加强条件：(a b)sin k
惠更斯原理只能解释波的衍射，不能 给出波的强度。
菲涅耳原理----波传播到某一点的光强 为各个子波在观察点的干涉叠加。
菲涅耳在惠更斯原理基础上加以补充， 提出子波相干叠加的概念。
三、菲涅耳与夫琅禾费衍射 1.菲涅耳衍射----发散光的衍射
S
观察比较方便，但定量计算却很复杂。
2.夫琅禾费单缝衍射----平行光的衍射
生的干涉条纹在干板上曝光， 经显影定影制成全息光栅。
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝， 相当于多光束干涉，光栅形成的光谱线， 尖锐、明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
2.光栅常数 透光缝宽度 a
k
b a
不透光缝宽度 b
d
光栅常数
d a b
三、光栅方程
f
两两相邻光线的光程差都相同。如果
在某个方向上，相邻两光线光程差为 k，
垂直入射到缝宽 a =0.6mm 的单缝上，缝后 有一焦距 f = 40 cm 透镜。 试求： （1）屏上中央明纹的宽度; （2）若在屏上 P 点观察到一明纹， op=1.4mm 问 P 点处是第几级明纹，对 P 点 而言狭缝处波面可分成几个半波带？
解：(1) 两个第一级暗纹中心间的距离即为 中央明纹的宽度
第四章 光的衍射
第4章 光的衍射
§1 光的衍射 §2 单缝的夫琅禾费衍射 §3 光栅衍射
§1 光的衍射
一、光的衍射现象 光在传播过程中遇到障碍物，光波会
绕过障碍物继续传播。
如果波长与障碍物相当，衍射现象最明显。
二、惠更斯--菲涅耳原理
惠更斯原理----波在媒质中传播到的各 点，都可看成新的子波源。
x 2 f
a
2 0.4 6 10 7 0.6 10 3
0.8 10 3 m 0.8mm (2)根据单缝衍射的明纹公 式：
a sin （2k 1) / 2(1)
在衍射角较小的条件下 sin tg x (2)
f
联立(1)和(2)式得：
k ax / f 1
2 0.6 10 3 1.4 10 3 / 0.4 6 10 7 1 / 2 3
L2 L1
S
o
计算比较简单。
夫琅禾费 (Joseph von Fraunhofer 1787—1826)
夫琅禾费是德国物理学家。1787年 3月6日生于斯特劳宾，父亲是玻璃工 匠，夫琅禾费幼年当学徒，后来自学 了数学和光学。1806年开始在光学作 坊当光学机工，1818年任经理， 1823年担任慕尼黑科学院物理陈列馆 馆长和慕尼黑大学教授，慕尼黑科学 院院士。夫琅禾费自学成才，一生勤 奋刻苦，终身未婚，1826年6月7日 因肺结核在慕尼黑逝世。
直入射的光有两种波中波长 1=400nm ， 2 =760nm.已知单缝宽度a=1.0×102cm透
镜焦距 f =50 cm，求两种光第一级衍射明 纹中心之间的距离。（2）若用光栅常数 d =1.0×103cm 的光栅替换单缝，其他条
件和上一问相同，求两种光第一级主极大 之间的距离。
解：(1)由单缝衍射明纹公式可 知：
（3）当 a 时会出现明显的衍射现象。
a <λ时条纹太暗。
六、光强
中央明纹最亮，其它明纹光强迅速下降。
1 I / I0 相对光强曲线
0.017 0.047
0.047 0.017
2
aa
0 2
aa
sin
•波长对衍射条纹的影响
•缝宽对衍射条纹的影响
•单缝位置对衍射条纹的影响
•光源位置对衍射条纹的影响
a
sin
1
(2k
1) 1
2
31
2
(取k 1)
a
sin
2
(2k
1) 2
2
32
2
tg
1
x1 f
,
tg
2
x2 f
,
由于sin 1 tg 1 , sin 2 tg 2
所以x1
3 f 1
2a
,
x2
3f 2
2a
设两第一级明纹之间的距离为
x
x2
x1
3 f
2a
0.27 cm
(2)由光栅衍射主极大公式 ：
d sin 1 k 1 1 , d sin 2 k 2 2
(a b)sin k (k 0,1,2 ) 加强
x k f
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa b
(k 0,1,2 ) 明纹
条纹特点：暗区较宽，明区较窄，d越小，各 条纹位置分得越开。光栅上的缝数越多，明条 纹变得越细越亮。
应用：能精确测定单色光的波长。
例：分光计作光栅实验，用波长 = 632.8
nm的激光照射光栅常数 d = 1/300 mm的 光栅上，问最多能看到几条谱线。
x
a （2k
1）f
2a
(k 1,2 ) 暗纹 (k 1,2 ) 明纹
1. 暗纹位置
A C
a
f
o
x
3 2 1
1
I
B L
P
2 3
x k f (k 1,2 )
a
x1
f
a
两条，对称分布屏幕中央两侧。
其它各级暗纹也两条，对称分布。
2. 明纹位置
A C
a
B L
f
o
x
P
3 2 1
2 1
11
I
2 3
2
a
1
0
I
a -1
暗纹条件
2a -2
a sin k
3a -3
1.条纹角宽度 sin k
aa
条纹角宽度
a
（1）衍射反比定律： a 越小，条纹散得越开。
（2） a>> λ时，条纹密集于中央，成为一条 亮线，相当于光的直线传播 。
几何光学是 波动光学在 a 时的极限情况。