第12章 光的衍射
光的衍射理论
矩孔夫琅禾费衍射的积分形式：
衍射零点条件：
半角宽度为：
圆孔的夫琅禾费衍射
圆孔的衍射场存在一中心光斑，称为艾里斑。艾里斑的宽度d为 ，半角宽度 为：
8.瑞利判据
设相邻两个艾里斑中心间的角间距为 ，将 与艾里斑半角宽度 进行比较，二者相等时 ，为能分辨的最小角间距 ，即当第一个像的主极大和另一个像的第一极小重合时，这两个像刚好能分辨，称为瑞利判据。
光栅的色散范围： ，色散范围只与波长和衍射级有关。
12.闪耀光栅
两种照明方式：
入射光垂直光栅平面时的光栅方程：
入射光垂直沟槽面时的光栅方程：
13.菲涅耳波带
第m个波带边界半径为：
波带的面积为：
菲涅耳数： ，a为圆孔半径。
菲涅耳波带片：菲涅耳波带片等效透镜，其焦距为
分别表示入射光方向和场点相对曲面Q面元的法线方向的方位角； 为倾斜因子，表示次级波源发射的各向异性性。
3.亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理
在满足定态波亥姆霍兹方程的无源空间取闭合曲面，通过格林公式，推导出曲面内任一点P的场满足： ，该场可由包围这点的任一闭合球面的场确定。
4.巴比涅原理
当两个屏透光部分加起来时，正好是整个平面，这时衍射场与没有衍射屏时的场 相等
第
本章从惠更斯-菲涅耳原理出发，一步步的阐述了光的衍射理论及相关应用，大概思路如下：
惠更斯-菲涅耳原理→亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理
1.惠更斯原理
一个波阵面的每个面元，可各看做是一个产生球面子波的次级扰动中心，以后任何时刻的波阵面是所有这些子波的包络面。
2.惠更斯－菲涅耳原理
波阵面上每一个面元可看做次级波源，波场中任一点的光场，是所有次级波源发射的次级波在该场点的相干叠加。当波阵面 上面元dS足够小时，面元dS可认为是点光源，产生的次级波为球面波，那么惠更斯-菲涅耳原理可以将P点的总场表示为
第11-2章光的衍射作业-答案
第11-2章光的衍射作业-答案第11-2章光的衍射作业答案⼀．选择题1. 在单缝衍射实验中，⽤单⾊平⾏光垂直⼊射后，在光屏上产⽣衍射条纹，对于屏上的第⼆级明条纹中⼼，相应的单缝所能分成的半波带数⽬约为( C )(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 62．⼀束平⾏单⾊光垂直⼊射在光栅上，当光栅常数b+b’为下列情况(b 代表每条缝的宽度) k = 2 、4 、6 等级次的主极⼤均不出现？（ A ）(A) b+b'=2b (B) b+b'=3b (C) b+b'=4b (D) b+b'=6b3．根据惠更斯-菲涅⽿原理，若已知光在某时刻的波阵⾯为S，则S 的前⽅某点P 的光强度决定于波阵⾯S 上所在⾯积元发出的⼦波各⾃传到P 点的( B )（A）振动振幅之和；（B）振动的相⼲叠加；（C）振动振幅之和的平⽅（D）光强之和。
4．关于光学仪器的分辨率，下列说法正确的是（ C ）A．与⼊射光波长成正⽐，与透光孔径成正⽐；B．与⼊射光波长成反⽐，与透光孔径成反⽐；C．与⼊射光波长成反⽐，与透光孔径成正⽐；D．与⼊射光波长成正⽐，与透光孔径成反⽐。
5．某元素的特征光谱中，含有波长分别为1450nmλ=和2750nmλ=的光谱线，在光栅光谱中，这两种波长的光谱线有重叠现象，重叠处1λ的谱线级数是（ C ）（A）3 、6 、9 （B）2 、4 、6（ C）5 、10 、15 （D）4 、8 、126. 在图⽰的夫琅和费单缝衍射装置中，将单缝宽度a稍微变窄，同时使会聚透镜L沿y轴正⽅向作微⼩位移，则屏幕C上的中央衍射条纹将( A )(A) 变宽，同时向上移动(B) 变宽，同时向下移动(C) 变宽，不移动(D) 变窄，同时向上移动7. ⽤单⾊光垂直照射光栅，测得第⼀级主极⼤的衍射⾓为030，则在衍射⾓π?π2121<<-范围内能观察到的全部主极⼤的条纹数为 ( B ) (A) 2条 (B) 3条 (C) 4条 (D) 5条⼆．填空题1. 在复⾊光照射下的单缝衍射图样中，某⼀波长单⾊光的第2级明纹位置恰与波长λ=400nm 的单⾊光的第3级明纹位置重合，这光波的波长__560nm__。
光的衍射
sinu sinu A nA1 A0 u u I A2 sin2 u 2 I 0 A0 u2
a u sin
17
讨论： （1） 0处， I I0
I sin2 u I0 u2
a u sin
中央明纹位置（零级主极大）
a si n （2） u 0， si nu 0即si n k 时， 为暗纹位置 a
d si n2 u （3） ( ) 0即 tan u u时 ， 为明纹位置 2 du u
解 得u1 1.43即 si n 1 1.43 u2 2.46即 si n 2 2.46 u3 3.47即 si n 3 3.47
a a a
光的衍射（2）
光在传播过程中遇到 ?的障碍物时发生明显的光线 偏离直线传播的现象-------光的衍射。
本章主要内容： 一、光的衍射理论 （1）惠更斯－费涅耳原理。 （2）费涅耳半波带法。 二、几种典型的衍射 （1）单缝夫琅和费衍射。 （2）光栅衍射。 （3）圆孔衍射，光学仪器的分辨本领。 （4）晶体衍射，布喇格公式。
9
3、菲涅尔半波带法
缝平面 透镜L 透镜L A S a f Bδ 观察屏
·
p 0
S: 单色光源
*
: 衍射角
AB a (缝宽)
f
下面研究屏上P点的光强，它是由衍射角均为 的 一束平行光叠加而成。
10
G
B 由于透镜本身的性质，到达P点各光线 的光程差由波面AB到波面AC的光程差决 定。相邻两半波带上每一对应点G、G/到 AC（或P点）的相位差均为，相互抵消。
xk f tan k a sin k k 暗 纹 中 心 a sin ( 2k 1) 明 纹 中 心 k 2 （5）衍射效应与缝宽 a、入射光的波长 密切相关:
11--光的衍射
P1
x f tg 1 f sin 1 f a
l0 2 x 2 f
1
f
x O
a
5 mm
(2)第一级明纹宽度为第一级暗纹和第二级暗纹间的距离
2 f l f sin 2 f sin 1 f ( ) 2.5 mm a a a
A
1BC b sin 2
2
2个波带
bO
B
C
AO和OB波带上对应点发出的子波到达Q
点时的位相差为,相互干涉抵消----Q点 为暗纹
2 BC b sin 3
2
A
3个波带
b
A1 A2
剩余有一个波带未被抵消----Q点为明纹
B
C
3BC b sin n n 1,2n个波带
P
S
I
2 b b
2
b b
sin
2. 衍射图像的分布规律----菲涅尔半波带法
A
Q
b
A1
A2 A3
C
O
B
f
P
B点和A点的子光线的光程差： BC b sin
K t r E C cos 2 dS r T
P
P
S
S
二、惠更斯－菲涅尔原理
惠更斯原理可以定性地解释波的衍射现象,但是其不能够 定量地给出衍射波在空间各点波的强度 从同一波面上各点发出的子波是相干波,在传播到空间某 一点时,各子波进行相干叠加的结果,从而决定了该处的 波的振幅------子波想干叠加----惠更斯－菲涅尔原理 P点光矢量E的大小：
《大学物理》第十二章 光学
h
结束 返回
解：
=a
acos2
+
2
=
2asin2
=
2
asin =h
sin =4h
a 2
h
结束 返回
12-5 一平面单色光波垂直照射在厚度 均匀的薄油膜上，油 膜 覆盖在玻璃板上， 所用 单色光的波长可以连续变化，观察到 500nm与700nm这两个波长的光在反射 中消失，油的折射率为 1.30，玻璃的折射 率为1.50。试求油膜的厚度 。
第二级明纹的宽度为
Δx
´=
Δx 2
=2.73 (mm)
结束 返回
12-15 一单色平行光束垂直照射在宽 为 1.0mm 的单缝上，在缝后放一焦距为 20m的会其透镜，已知位于透镜焦面处的 屏幕上的中央明条纹宽度为2.5mm。求入 射光波长。
结束 返回
解：
=
aΔx 2D
=
1.0×2.5 2×2.0×103
sinj
=
k (a+b)
sin =0.1786k-0.5000
在 -900 < j < 900 间，
对应的光强极大的角位置列表如下：
k
sinj j
k
sinj j
0
-0.500 -300
1
2
-0.3232 -0.1464
-18051’ -8025’
3
4
0.0304 0.2072
1045’ 11057’
结束 返回
12-22 一光栅，宽为2.0cm，共有
6000条缝。如用钠光(589.3nm)垂直入射，
中央明纹的位置? 共有几级？如钠光与光
工程光学习题参考答案第十二章-光的衍射
第十二章 光的衍射1． 波长为500nm 的平行光垂直照射在宽度为0.025mm 的单缝上，以焦距为50cm 的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹的强度。
解：（1）零强度点有sin (1,2, 3....................)a n n θλ==±±± ∴中央亮纹的角半宽度为0aλθ∆=∴亮纹半宽度290035010500100.010.02510r f f m a λθ---⨯⨯⨯=⋅∆===⨯ （2）第一亮纹，有1sin 4.493a παθλ=⋅= 同理224.6r mm =（3）衍射光强20sin I I αα⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中sin a παθλ= 当sin a n θλ=时为暗纹，tg αα=为亮纹 ∴对应 级数 α 0II0 0 11 4.493 0.047182 7.725 0.01694 . . . . . . . . .2． 平行光斜入射到单缝上，证明：（1）单缝夫琅和费衍射强度公式为20sin[(sin sin )](sin sin )a i I I a i πθλπθλ⎧⎫-⎪⎪=⎨⎬⎪⎪-⎩⎭式中，0I 是中央亮纹中心强度；a 是缝宽；θ是衍射角，i 是入射角（见图12-50） （2）中央亮纹的角半宽度为λθ∆=图12-50 习题3图解：设直径为a ，则有f d aλ=4.利用第三节的结果导出外径和内径分别为a 和b 的圆环（见图12-51）的夫琅和费衍射强度公式，并求出当2ab =时，（1）圆环衍射与半径为a 的圆孔衍射图样的中心强度之比；（2）圆环衍射图样第一个暗环的角半径。
∴P 当（12449416a ca ⎫-=⎪⎭ ∴()()09016aI I = （2）第一暗纹有()()22110a J ka b J kb ka kb θθθθ-= 查表可有 3.144ka θ=4． （1）一束直径为2mm 的氦氖激光（632.8nm λ=）自地面射向月球，已知地面和月球相距33.7610km ⨯，问在月球上得到的光斑有多大？（2）如果用望远镜用作为扩束器将该扩展成直径为4m 的光束，该用多大倍数的望远镜？将扩束后的光束再射向月球，在月球上的光斑为多大？ 解：（1）圆孔衍射角半宽度为0.61aλθ=∴传到月球上时光斑直径为（2）若用望远镜扩束，则放大倍数为2000倍。
第十二章衍射详解
2
2
k 0,1,2
例题8
8.一个双缝，缝间距(a+b)0.1mm，缝宽(a)0.02mm，用波 长480nm的平行单色光垂直入射该双缝，双缝后放一焦距 为50cm的透镜，试求：（1）透镜焦平面处屏幕上干涉条 纹的间距；（2）单缝衍射中央亮纹的宽度；（3）单缝衍 射的中央包线内有多少条干涉主极大。
角（-p/2,p/2)范围内可能观察到的全部主极大的级次。
第二级主极大满足：
(a b)sin p 2
6
d a b 2.4103 mm
第三级缺级：
a b 3k a
am in
a
3
b
0.810 3 mm
( p , p )
22
(a b) sin p k (a b) sin p k
光栅方程d sin k d 0.2 2 d 6000nm
第四级缺级：d k 4, k取整数，k 0 a
am in
d 4
k m in
1500nm
k d sin p k 10
2 kmax 9
例题12
12.以波长400~760nm的白光垂直照射在光栅上，在它的 衍射光谱中，第2级和第3级发生重叠，问第2级光谱被重 叠地波长范围是多少？
双缝干涉的条纹宽度：
x f 2.4mm
d
单缝衍射的中央明纹 :
x 2 f 2.4cm
a
单缝衍射中央包线：sin ,
a a
d sin j
d j d
a
a
j 0，1， 2， 3， 4，共9条。
例题9
9.以波长为λ=500nm的单色光平行光垂直入射在 d=2.10mm光栅上，缝宽a =0.70mm，求能看到哪几级 衍射谱线。
大学物理 第十二章 波动光学2
2 又，明纹所在处x满足： x tg 1.5 0.003 , f 500
2 0.5 1.5 3 104 2ax / f 107 m A λ (2k 1) 500 2k 1 2k 1
白光波长范围4000—7000Å，满足上式的波长值即为所求：
• • • •
例题：已知单缝宽a=0.5mm，透镜焦距f=50cm，今以白光垂直照 射狭缝，在观察屏上x=1.5mm处看到明纹极大，求： （1）入射光的波长及衍射级数； （2）单缝所在处的波阵面被分成的波带数目。
[解]： （1）由明纹条件： a sin (2k 1)
x 很小 。 sin ≈ tg f
sin
中央极大值对应的明条纹称 中央明纹。 中央极大值两侧的其他明条纹称次极大。
2、明暗纹中心位置坐标
(1)中央明纹中心位置 x=0
xk t g k f
tgk sin k
x xk
k
中 O 央 明 纹
k2
k 1
(1)
(2)
f
（2）暗纹中心位置坐标
由 a sin k k 及式(1)、(2) 得
二、光学仪器的分辨本领
1.22 1 D
D
瑞 利 判 据
定义
分辨本领
D R 1.22
1
刚可分辨
非相干叠加
不可分辨
瑞利判据 : 对于两个等光强的非相
干物点,若其中一点的象斑中心恰好落 在另一点的象斑的边缘(第一暗纹处), 则此两物点被认为是刚刚可以分辨。
当 再 ， =3/2时，可将缝分成三个“半波带”，
B a A θ a B θ
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D
§12.9 光学仪器的分辨本领
1.圆孔的夫琅禾费衍射
衍射屏 L
相对光 强曲线
1
I / I0
观察屏
0 1.22(/D) sin
1
中央亮斑 (爱里斑)
爱里斑
f
圆孔孔径为D
sin 1 1.22
D
D
爱里斑变小
瑞利判据： 当一个点光源的衍射图样的中央最亮 处刚好与另一个点光源的衍射图样的第一最暗处相 重合，则正常眼睛恰能分辨出这是两个部分重叠的 爱里斑，此时，这两个点光源恰好能被分辨。
一般情况 a sin k，k 1,2,3…
——偶数个半波带，暗纹
B θ a A
a sin ( 2k 1) ， k 1,2,3… 2
λ /2
——奇数个半波带，明纹(中心) a sin 0 ——中央明纹(中心)
明纹宽度 A. 中央明纹
当 a 时， 1 级暗纹对应的衍射角
在波阵面上截取一个条状带，使它上下两边缘发的 光在屏上p处的光程差为 λ ，此带称为半波带 。 /2 当 a sin 时，可将缝分为两个“半波带”
B 半波带 θ
1 2 1′ 1 2′ 2 1′ 2′
a
半波带 半波带
半波带
A
λ /2
两相邻半波带上对应点发的光在P 处干涉相消形成暗纹。
3 •当 a sin 时,可将缝分成三个“半波带” 2
B a A λ /2 θ
*
f
S
a
B
Aδ
p · 0
f (P 处近似为明纹中心)
•当 a sin 2 时,可将缝分成四个“半波带”
B a A (P处干涉相消形成暗纹)
θ
λ /2
一般情况 a sin k，k 1,2,3…
——偶数个半波带，暗纹
B θ a A λ /2
a sin ( 2k 1) ， k 1,2,3… 2
12-7 光的衍射 惠更斯-菲涅耳原理
一、 光的衍射现象 屏幕 屏幕
阴 影
缝较大时，光是直线传播的
缝很小时，衍射现象明显
衍射屏 S
观察屏 S
衍射屏 L L
观察屏
*
a
*
10 - 3 a
线 光 源 点 光 源
在限制方向扩展
二、菲涅耳衍射和夫琅和费衍射
菲涅耳衍射
菲涅耳衍射是指当光源和观察屏，或两者之一离
2θ1：一个相斑的角宽度
<1
1
1
D sin
a、不能分辨
b、恰能分辨
c、能分辨
S1 * * S2
D
0 I
最小分辨角 分辨本领
1 1.22
1
D
D R
D R 1.22
• 已知天空中两颗星相对一望远镜的角距 离为 4.84107 rad 它们发出的光的波长是 5500A，问望远镜的直径至少要多大，才 能分辨这两颗星？
B. 次极大
a
a
f 1 x x0 a 2
前提仍然是很小
例：在一单缝夫琅禾费衍射中，缝宽为5个波长，缝后透镜焦 距为40cm，试求中央条纹和第一级条纹的宽度 一级暗纹所在位置
x1 f tan1
f sin 1 f
a
2 f sin 2 f a 中央条纹宽度
障碍物（衍射屏）的距离为有限远时，所发生的衍 射现象。
光源
· 观察屏
衍射屏
菲涅耳衍射
夫琅禾费衍射
夫琅禾费衍射指光源和观察屏离障碍物的距离 均为无限远时，所发生的衍射现象。
1
p ·
*
光源 衍射屏 观察屏
S
夫琅禾费衍射
12.8 单缝的夫琅禾费衍射
光路图：
缝平面 透镜L 观察屏 透镜L
*
f
S
B Aδ
2 f x0 2 x1 a
x2 f tan 2
*
缝平面 透镜L 透镜L B S a f
观察屏 p · 0
Aδ
衍射屏 透镜 观测屏 f x2 x1 Δx Δ x0
λ
1
0
第一级亮纹条纹宽度
0
Байду номын сангаас
I
f x1 x2 x1 a
f
§12.9 光学仪器的分辨本领
——奇数个半波带，明纹(中心) a sin 0 ——中央明纹(中心)
衍射图样 衍射图样中各级条纹的相对光强如图所示.
相对光强曲线
0.017 0.047
1
I / I0
0.047
0.017
-2( /a) -( /a) 0 /a 2( /a)
sin
中央极大值对应的明条纹称 中央明纹。 中央极大值两侧的其他明条纹称 次极大。 中央极大值两侧的各极小值称暗纹。
光栅的分类
物理光栅和计量光栅
栅线密度 物理光栅 较高（103/mm）
应用 原理 光谱分析 光衍射
计量光栅 较低（100/mm） 位移测量 ？
二、光栅的衍射规律
p · 0
a
f
S: 单色线光源
AB a：缝宽
: 衍射角
光程差的计算 单缝的两条边缘光束 A→P 和B→P 的光程差，可 由图示的几何关系得到：
a sin 0， 0 —— 中央明纹(中心)
S B p · 0 f Aδ f
*
a
衍射图样的讨论
1. 菲涅耳半波带法
1 sin 1
由 得：
衍射屏 透镜
观测屏 x2 x1
λ
Δx
Δ x0
a sin k
1
0
0
I
1
a
f
明纹宽度
衍射屏 透镜
观测屏 x2 x1 Δx
角宽度为
λ
0 21 2
线宽度为
a
1
0
0
Δ x0
I
f
x0 2 f tan 1 2 f 1 2 f
S1 * * S2
7
D
最小分辨角
1.22
D
0
I
4.8410
D=1.39m
哈勃望远镜直径：主反射镜2.54m
§12−10光栅衍射
一. 光栅
1. 光栅—大量等宽等间距的平行狭缝(或反射面) 构成的光学元件。
2. 种类：
透射光栅 d b a
反射光栅 d
3. 光栅常数 a是透光（或反光）部分的宽度 b 是不透光(或不反光)部分的宽度 d=a+b 光栅常数
2.透镜的分辩本领
( 经透镜 )
物点
象斑
瑞利判据:对于两个等光强的非相干物点,如果其一个象斑的中心 恰好落在另一象斑的边缘(第一暗纹处),则此两物点被认为是刚 刚可以分辨。 S1 * * S2 D
1
0
I δθ：两相斑中心的角距离
最小分辨角 1 1.22
D
θ1：一个相斑的半角宽度