第3章参数估计习题解答

σ 12 的 置 信 度 为 0.9 的 置 信 区 间 为 2 σ2
（0.032,1.29） .(已知 F0.05 (4, 4) = 6.39, F0.95 (4, 4) = 0.1565 ) 三． 应用计算题 26. 设 X 1 , X 2 ,L , X n 是来自二项分布 B ( m, p ) 总体的一个样本， x1 , x2 ,L , xn 为其样本 求未知参数 p 的矩估计； 观测值，其中 m 是正整数且已知， p ( 0 < p < 1 )是未知参数.（1）
i =1 i =1
.
22. 设 X 1 , X 2 ,L , X n 是来自总体 X 数 L( µ , σ ) =
2
− 1 e ∏ 2π i =1 σ n ( xi − µ )2 2σ
2
N ( µ , σ 2 ) 的样本， 则有关于 µ 及 σ 2 的似然函
− n 2 − n 2 − 1 2σ
2
= (2π ) (σ 2 ) e
1/ 2
ˆ 是µ 的 时µ
1/ 2
.
其中未知参数 0 < p < 1 , ( X 1 , X 2 , L , X n ) 是 X 的样本， 则p 21. 设总体 X ~ B (1, p ) ， 的 矩 估
n
计
为
ˆ =X p
n x
，
样
本
(1− xi )
似
然
函
数
为
L( p ) = ∏(C1xi p xi (1 − p )1− xi ) = (∏ C1xi ) p ∑ i (1 − p )∑
两边取对数
xi ln L( p ) = ∑ ln(Cm ) + ∑ xi ln p + ∑ (m − xi )ln(1 − p ) i =1 i =1 i =1 n n n
求导
d ln L( p ) = dp
∑ x ∑ (m − x )
i =1 i
n
n
p
−
i =1
i
∑ x ∑ (m − x )
，由
i =1 i
A1 是 θ 的矩估计量. 1 − A1
A. A1 是 θ 的矩估计量.
B.
C.
2 A2 是 θ 的矩估计量. 1 − A2
D.
3 A3 是 θ 的矩估计量. 1 − A3
8. 样本 ( X 1 , X 2 , L , X n ) 取自总体 X ， µ = E ( X ) ，σ 2 = D ( X ) ，则以下结论不成立 的是( D ).
∑ ( xi − µ )2
i =1
n
.
23.
设（ ( X 1 , X 2 , L , X n ) ）是抽自总体 X : N ( µ , σ ) 的随机样本， a , b 为常数，且
2
0<a<b ， 则 随 机 区 间 ⎜
nσ 2 nσ 2 − a b
( X i − µ )2 n ( X i − µ )2 ⎞ ⎟ 的长度的数学期望为 ∑ b ,∑ a i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎛
2Leabharlann Baidu
D. X 12 是 p 的有偏统计量.
ˆ1 = 11. 设 X 1 , X 2 是来自正态总体 N ( µ ,1) 的样本，则对统计量 µ ˆ2 = µ
2 1 X1 + X 2 ， 3 3
1 3 1 1 ˆ 3 = X 1 + X 2 ，以下结论中错误的是( B ). X1 + X 2 ， µ 4 4 2 2
2.5128) .
D. (2 −
2 × 1.96 2 × 1.96 ,2+ ) . 25 25 X− µ 服从 σ/ n
13. 设( X 1 , X 2 , L , X n )是正态总体 X
N ( µ , σ 2 ) 的样本，统计量 Z =
N (0, 1) ，又知 σ 2 = 0.64, n = 16 ，及样本均值 X ，利用 Z 对 µ 作区间估计，若已指定置
16. 设某种元件的寿命 X : N ( µ , σ ) ,其中参数 µ , σ 未知,为估计平均寿命 µ 及方
2 2
差 σ 2 ,随机抽取 7 只元件得寿命为(单位:小时):1575,1503,1346,1630,1575,1453,1950.则
µ 的矩估计为
ˆ2 = σ
ˆ= µ
1 n ∑ xi = x = 1576 n i =1
n
n
1− p
% p
−
i =1
i
% 1− p
= 0得
%= p 最大似然估计为 p
x . m
27.设总体 X 的概率密度函数为 p ( x, θ ) = ⎨
⎧(θ + 1) xθ , 0 < x < 1 ⎩ 0,
其他
,其中 θ 未知，
X 1 , X 2 ,L , X n 是来自该总体的一个样本， x1 , x2 ,L , xn 为其样本观测值.（1）求未知参
4. 通过矩估计法求出的参数估计量( C A. 是唯一的. C. 不一定唯一 . 5. 若似然函数存在，则下列命题错误的是( A. 最大似然估计可能不唯一. C. 最大似然估计一定存在. ). B. 是无偏估计量. D. 不唯一，但是无偏估计. D ). B. 最大似然估计不一定是无偏估计. D. 似然函数是样本 x1 , x 2 , L , x n 的函数.
25. 设A和B两批导线是用不同的工艺生产的，今随机地从每批导线中抽取 5 根测量电
2 2 阻，算得 S A = 1.07 × 10−7 , S B = 5.3 × 10 −7 ，若A批导线的电阻服从正态分布 N ( µ1 , σ 12 ) ，A
批 导 线 的 电 阻 服 从 正 态 分 布 N (µ2 , σ 22 ) ， 则
ˆ ,θ ˆ ) 是参数 θ 的置信水平为 1 − α 的区间估计，则以下结论正确的是( C ). 3. 设 (θ 1 2 ˆ ,θ ˆ ) 之内的概率为 1 − α . A. 参数 θ 落在区间 (θ 1 2 ˆ ,θ ˆ ) 之外的概率为 α . B. 参数 θ 落在区间 (θ 1 2 ˆ ,θ ˆ ) 包含参数 θ 的概率为 1 − α . C. 区间 (θ 1 2 ˆ ,θ ˆ ) 的长度相同. D. 对不同的样本观测值，区间 (θ 1 2
1 n ∑ (X i − X )2 . n + 1 i =1
2
10. 容量为 确的是( A ).
的样本 X 1 来自总体 X ~ B (1, p ) ，其中参数 0 < p < 1 ，则下述结论正
A. X 1 是 p 的无偏统计量.
B. X 1 是 p 的有偏统计量.
C. X 12 是 p 的无偏统计量.
6. 设总体 X 服从 [0,
θ ] 上的均匀分布， X 1 , X 2 ,L , X n 为样本，记 X 为样本均值，
).
则下列统计量不是 θ 的矩估计量的是( A
1
A.
θˆ1 =
1 X. 2
ˆ = B. θ 2
12 n (X i − X )2 . ∑ n i =1
ˆ = C. θ 3
3 n 2 Xi . ∑ n i =1
A. X i (
)均是 µ 的无偏估计.
B. X =
1 n ∑ X i 是 µ 的无偏估计. n i =1
C.
1 ( X 1 + X 2 ) 是 µ 的无偏估计. 2
样本 X 1 , X 2 , L , X n 来自总体 N ( µ ,
D.
1 n ∑ X i 是 µ 的无偏估计. n − 1 i =1
9.
σ 2) ， 则总体方差 σ 2 的无偏估计为( A ).
1 n ( X i − X )2 . ∑ n − 2 i =1
A.
S12 =
1 n (X i − X )2 . ∑ n − 1 i =1
B.
2 S2 =
C. S 3 =
2
1 n ∑ (X i − X )2 . n i =1
D.
2 S4 =
2 2
1 n n −1 2 σ ）偏估 ( X i − X ) 2 是 σ 2 的__ 有___（ E ( S*2 ) = ∑ n i =1 n
计.
ˆ1 = 18. 设总体 X : N ( µ ,1) ， µ 是未知参数， X 1 , X 2 是样本，则 µ ˆ2 = µ 1 1 X 1 + X 2 都是 µ 的无偏估计，但 2 2
第 3 章参数估计习题解答
一． 选择题 1. 当样本量一定时，置信区间的长度( A. 随着 α 的提高而变长. C. 与置信水平 1 − α 无关 . 2. 置信水平 1 − α 表达了置信区间的( A. 准确性. C. 显著性. D ). B. 精确性. D. 可靠性. D ). B. 随着置信水平 1- α 的降低而变长. D. 随着置信水平 1- α 的降低而变短.
5
（2）求未知参数 p 的最大似然估计. 解： （1）矩估计
ˆ = X ，得矩估计 p ˆ= E ( X ) = mp ， mp
X m
x x （2） P ( X = x ) = Cm p (1 − p ) m − x , x = 0,1
所以样本似然函数
xi xi xi L( p ) = ∏(Cm p (1 − p ) m − xi ) = (∏ Cm ) p ∑ i (1 − p )∑ x i =1 i =1 n n (m − xi )
（ E ( X 1 ) = θ ）估计. 20. 设 ( X 1 , X 2 ) 是 取 自 正 态 总 体 X
N ( µ , 1) 的 一 个 样 本 ， 则 易 证
4
ˆ = α X 1 + β X 2 ,(其中 α + β = 1 )是 µ 的无偏估计量，且当 α = µ
最小方差估计量，最小方差为
信水平 1 − α ,并查得为 zα / 2 = 1.96 ,则 µ 的置信区间为( C ).
A. ( X , X + 0.396) .
B. ( X − 0.196, X + 0.196) .
3
C. ( X − 0.392, X + 0.392) .
D. ( X − 0.784, X + 0.784) .
ˆ1 ， µ ˆ2 ， µ ˆ 3 都是 µ 的无偏估计量. A. µ ˆ3 比 µ ˆ1 ， µ ˆ 2 更有效. C. µ
ˆ1 ， µ ˆ2 ， µ ˆ 3 都是 µ 的一致估计量. B. µ
1 ˆ 3 更有效. ˆ1 + µ ˆ 2 ) 不比 µ (µ 2
D.
12.
现有容量为 n = 25 的样本来自总体 X ， 若 X = 2 , D ( X ) = 4 ,已知标准正态分布
n
.
24. 从某超市的货架上随机的抽得 9 包 0.5kg装的食糖，计算得食糖的平均重量为
x = 0.5089 kg。从长期的实践中知道，该品牌的食糖重量服从正态分布 N ( µ , σ 2 ) ，已知
σ 2 = 0.012 ，则 µ 的 95%的置信区间为 （0.5023，0.5154） .(已知 Z 0.025 = 1.96 )
ˆ = 2X . D. θ 4
7.
设总体 X 的密度函数为 P ( x,
⎧θx θ −1 0 < x < 1 ， θ > 0 , ( X 1 , X 2 ,L , X n ) θ) = ⎨ ⎩o 其它
为样本，记 Ak =
1 n k ∑ X i , k = 1,2.3 ，则以下结论中错误的是( A ). n i =1
的分布函数 Φ ( x ) 的函数值：Φ (1.645) = 0.95 ，Φ (1.96) = 0.975 ，Φ (1.282) = 0.90 .则在 显著水平 α = 0.05 ， E ( X ) 的置信区间为( A ).
A. (1.216, 2.784) .
B. (1.342,
2.658) .
C. (1.4872,
.
， σ 2 的矩估计为
1 n ∑ ( xi − x )2 = 30878.85714 n i =1
17. 样 本 方 差 S =
2
1 n ( X i − X )2 是 总 体 X : N (µ ,σ 2 ) 中 σ 2 的 ∑ n − 1 i =1
2
无
（ E ( S ) = σ ）偏估计， S* =
2 1 X1 + X 2 及 3 3
ˆ 2比µ ˆ1 µ
有效.
19. X 1 是总体 参数 θ 的 偏 有偏
中抽得的容量n=1 的样本，当X服从 [0, θ ] 上均匀分布时， X 1 是未知
_ （ E ( X1 ) =
θ
2
估计， 当X ≠θ ）
N (θ , σ 2 ) 时，X 1 是未知参数 θ 的 无
二．填空题
14. 设 θ 和 X 1 , X 2 , L , X n 是总体 的未知参数及样本， θ1 和 θ 2 是由样本确定的两个
统计量，满足 P (θ1 < θ < θ 2 ) = 1 − α ，则称随机区间 (θ1 , θ 2 ) 为 θ 的置信区间，其置信水平 为
1−α
.
15. 通常用的三条评选估计量的标准是__无偏性，有效性，一致性_______.