宜昌市数学期中考试试卷
湖北省宜昌市五中教联体2023-2024学年八年级上学期期中数学试题
湖北省宜昌市五中教联体2023-2024学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若一个三角形的三边长分别为2、6、a ，则a 的值可以是（）A ．3B ．4C ．7D ．82．下列图形中是轴对称图形是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，某中学的电动伸缩校门利用的数学原理是（）A ．三角形的稳定性B ．两点之间，线段最短C ．三角形两边之和大于第三边D ．四边形的不稳定性4．已知点A 的坐标为()3,4-，则点A 关于y 轴对称的点的坐标为（）A ．()3,4B ．()3,4--C ．()3,4-D ．()3,4-5．在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1:2:3,则△ABC 为()A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形6．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（）A ．3B ．4C ．5D ．67．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，CE 是AB 边上的高，若AB ＝4，6ADC S △＝，则CE 的长度为（）A ．4B ．58．如图，在已知的ABC 中，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，以大于12BC ②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD 若,50CD AC A =∠=︒，则ACB ∠的度数为（A ．90︒B ．95︒9．如图，在ABC 中，AB AC =．过点连接CD ．若140BAD ∠=︒，则ACD ∠A ．50︒B ．60︒10．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒CD 交于点M ，AE 与BF 交于点N ，下面说法正确的有（①2BCD CAE ∠=∠；②CME CEM ∠=∠则9AB =．A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④13．如图的三角形纸片中，AB 得点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为为．14．如图，在ABC 中，A ∠作BD 的垂线交BD 的延长线于点三、问答题17．在ABC 中，80A ∠=︒，40B C ∠-∠=︒，求B ∠与C ∠的度数．四、证明题18．如图，,AC BC BD AD ⊥⊥，垂足分别为C ，D ，AC BD =．求证BC AD =．19．已知点A 、E 、F 、C 在同一直线上，已知AD BC ∥，AD BC =，AE CF =，试说明BE 与DF 的关系．20．如图，ABC 的两条高AD ，CE 交于点F ，AF BC =．(1)求证：BE EF =；(2)若4BE =，5CF =，求ACF △的面积．五、作图题21．如图，在99⨯的网格中建立如图的平面直角坐标系，点()30A -,，点()1,5B -．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图．（1）在y 轴上找一点P 使PA PB +的值最小（保留画图过程的痕迹）；（2）在x 轴的正半轴上找一点Q ，使45ABQ ∠=︒（保留画图过程的痕迹）；（3）画出BQ 边上的高AH （保留画图过程的痕迹）．六、证明题22．四边形ABCD 中，AB CD ∥，DE 平分ADC ∠．(1)求证：2CEF B ∠=∠；(2)如图1，求证：EC EF =；(3)如图2，如果10AF =，AC m =，当CE 正好平分ACB ∠时，直接写出BC _____．（用含m 的代数式表示）24．如图，在平面直角坐标系中，点(),0A n ，点()0,B m 且满足(4n m +--(1)求出A ，B 两点坐标．(2)如图1，点()0,2C 为线段OB 上一点，连AC ，①试证明：CD OD AC +=．②直接写出BOD ∠和ACD ∠的数量关系为．(3)如图2，过O 作OF AB ⊥于F ，以OB 为边在于点N ，试探究AM ，AN ，ON 之间的数量关系，并说明理由．。
湖北省宜昌市东山中学2022-2023学年七年级上学期期中考试数学试题
湖北省宜昌市东山中学2022-2023学年七年级上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．2022的相反数是（ ） A ．2022B ．2022-C ．12022D ．12022-2．下列四个数中，在3-到0之间的数是（ ） A ．2-B ．2C ．4-D ．43．一个数和它的倒数相等，则这个数是（ ） A ．1B ．1-C ．±1D ．±1和04．在有理数（﹣1）2、3()2-- 、﹣|﹣2|、（﹣2）3中负数有（ ）个．A ．4B ．3C ．2D ．15．在式子：35ab -，225x y，2x y +，2a bc -，1，223x x -+，3a ，11x +中，整式个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．66．下列运算正确的是( ) A ．434317777⎛⎫-+=-+=- ⎪⎝⎭B ．73510560--⨯=-⨯=-C ．54331345÷⨯=÷=D ．15410462-÷+=-+=-7．“天问一号”在经历了7个月的“奔火”之旅和3个月的“环火”探测，完成了长达5亿千米的行程，登陆器“祝融”号火星车于2021年5月15日7时18分从火星发来“短信”，标志着我国首次火星登陆任务圆满成功，请将5亿这个数用科学记数法表示为（ ） A ．7510⨯B ．8510⨯C ．9510⨯D ．10510⨯8．下列说法正确的是（ ） A ．23ab -的系数是－3B ．34a b 的次数是3C ．21a b +-的各项分别为2a ，b ，1D ．多项式21x -是二次三项式9．实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．a b >B ．a b -<C ．||||a b <D ．0a b +<10．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2022厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的个数是( ) A ．2021B ．2022C ．2021或2022D ．2022或2023二、填空题11．比较大小：5______ 67-．（用“>”，“<”，“=”表示） 12．如果代数式223y y -=，那么代数式21563y y -+的值等于______． 13．多项式332321x mx x x -++-+是关于x 的二次三项式，则m =______． 14．已知5x =，216y =，且0x y +>，那么x y -=______．15．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”．中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，每一行的三个数、每一列的三个数．斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方．如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中的字母m 表示的数是_________．三、解答题 16．计算：(1)()()()7121318-++-+--；(2)(22110.5()[22).2⎤-÷-⨯--⎦ 17．计算（1）222243244a b ab a b ++-- （2）221123422⎡⎤-+--+⎢⎥⎣⎦x x x x18．先化简,再求值：()()()2222222323242xy x y xy x y xy x y ---+-,其中2x =-,1y =-．19．宜昌市有关部门对“十一”国庆放假期间七天本市某景区客流变化量进行了不完全统计，数据如下(用正数表示客流量比前一天增加，用负数表示客流量比前一天下降)：请通过计算解决以下问题：(1)请判断这7天中，______日人数最多，______日人数最少；(2)如果9月30的客流量为0.6万人，据统计平均每人每天消费200元，请问该景区在“十一”七天国庆假期的总收入为多少万元？20．两船从B港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时．(1)4小时后两船相距多远？(2)若甲船由B港到A港用了4小时36分钟，再立即由A港返回B港时，共花10小时，试求水流速度a．21．有理数a，b在数轴上的位置如图所示：(1)用“＞”或“＜”填空：b+1 0，a+b0，b﹣a0；(2)化简：|b+1|+2|a+b|﹣|b﹣a|．22．某餐厅中，一张桌子可以坐6人，如果把多张桌子摆在一起，可以有以下两种摆放方式．(1)当有4张桌子时，第一种摆放方式能坐＿＿＿＿人，第二种摆放方式能坐＿人；(2)当有n张桌子时，第一种摆放方式能坐＿＿人，第二种摆放方式能坐＿＿＿人；(3)一天中午餐厅要同时接待98位顾客共同就餐（即桌子要摆在一起），但餐厅只有25张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算选择上述两种方式中的哪种来摆放餐桌？为什么？23．将图①中的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形和5号长方形．(1)设3号正方形的边长为x ，4号正方形的边长为y ，求1号，2号正方形的边长分别是多少？（用x ，y 的代数式表示）(2)若图①中长方形的周长为48，试求3号正方形的边长；(3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图①的方式放入周长为100的长方形中，求阴影部分的周长．24．在数轴上，点A 表示数a ，点B 表示数b ，已知a 、b 满足2(4)80a b b ++-=．(1)求a 、b 的值；(2)若在数轴上存在一点C ，使得C 到B 的距离是C 到A 的距离的4倍，求点C 表示的数；(3)若动点P 从点A 处以1个单位长度/秒的速度向右运动，同时动点Q 从点B 处以2个单位长度/秒的速度也向左运动． （①）求当OP OQ =时所对应的时间t ； （①）当10BP AQ +=时，求此时PQAB的值．。
2024-2025学年宜昌市高二数学上学期期中考试卷附答案解析
2024-2025学年宜昌市高二数学上学期期中考试卷一、单选题（本大题共8小题）1．直线:230l x y -+=和直线:230m x y +-=的位置关系为（）A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直2．已知向量(2,1,1)x =a ，(1,4,2)b =- ，且a b ⊥ ，则x =（）A ．3-B ．1-C ．1D ．03．已知直线l 的一个方向向量为，则直线l 的倾斜角为（）A ．0B ．π6C ．π4D ．π34．袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（）A ．0.64B ．0.72C ．0.76D ．0.825．如图，已知,,A B C 是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P 为平面ABC 外一点，且,,120AP AB AP AC 〈〉=〈〉=︒ ，||3AP = ，若AO AB AC =+，则||OP = （）A ．B ．C ．6D ．6．已知向量(2,3,0)a =-，(0,3,4)b =，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为（）A ．1827,,01313⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1827,,01313⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．27360,,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．27360,,2525⎛⎫-- ⎪⎝⎭7．若平面内两条平行线1l ：()120x a y +-+=与2l ：210ax y ++=间的距离为，则实数a =（）A ．-1B ．2C ．-l 或2D ．-2或l 8．在正三棱锥P -ABC 中，AB ==O 为球心的球面上，设点O 到平面PAB 的距离为m ，到平面ABC 的距离为n ，则mn=（）A ．B ．C ．D ．3二、多选题（本大题共3小题）9．已知直线:2310l x y -+=，则（）A ．l 不过原点B ．l 在x 轴上的截距为12C ．l 的斜率为23D ．l 与坐标轴围成的三角形的面积为11210．甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签.其中甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋中有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签.现从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响.记事件A ：从甲袋中抽取号签1；事件B ：从乙袋中抽取号签5；事件C ：抽取的两个号签和为4；事件D ：抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确的是（）A ．()2()P A PB =B ．1()6P C =C ．事件C 与D 互斥D ．事件A 与事件D 相互独立11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别是1DD ，11A B ，CD ，BC 的中点，则下列说法正确的有（）A ．E ，F ，G ，H 四点共面B ．BD 与EF 所成角的大小为π3C ．在线段BD 上存在点M ，使得MC 1⊥平面EFGD ．在线段1A B 上任取一点N ，三棱锥N EFG -的体积为定值三、填空题（本大题共3小题）12．已知直线l 的方程为143x y-=，则坐标原点到直线l 的距离为.13．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若122AB AA BC ===，则直线BD 1与CD 之间的距离为.14．九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1~9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a ，b ，c ，d ，e 这5个数字未知，且b ，d 为偶数，则8c d +>的概率为.9a 7b c d 4e6四、解答题（本大题共5小题）15．在平面直角坐标系xOy 中，ABC V 的顶点(3,3)A ，(2,1)B ，B ，C 关于原点O 对称.(1)求BC 边上的高所在直线的一般式方程；(2)已知过点B 的直线l 平分△ABC 的面积，求直线l 的方程.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB a=，AC b = ，1AA c = ，点D 满足12C D DC = .(1)用,,a b c表示1B D ；(2)若三棱锥1A ABC -的所有棱长均为2，求1B D 及11AC B D ⋅ .17．在荾形ABCD 中，π3BAD ∠=，2AB =，将菱形ABCD 沿着BD 翻折，得到三棱锥A BCD -如图所示，此时AC =(1)求证：平面ABD ⊥平面BCD ；(2)若点E 是CD 的中点，求直线BE 与平面ABC 所成角的正弦值．18．为培养学生的核心素养，协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了数学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式．现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是23和12．假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响．(1)若乙回答了4个问题，求乙至少有1个回答正确的概率；(2)若甲、乙两人各回答了3个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率；(3)假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛，求甲恰好回答5次被退出比赛的概率．19．在空间直角坐标系Oxyz 中，定义：过点()000,,A x y z ，且方向向量为()(),,0m a b c abc =≠的直线的点方向式方程为000x x y y z z a b c---==；过点()000,,A x y z ，且法向量为()()222,,0m a b c a b c =++≠的平面的点法向式方程为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=，将其整理为一般式方程为0ax by cz d ++-=，其中000d ax by cz =++．(1)求经过()()1,2,4,2,0,1A B -的直线的点方向式方程；(2)已知平面1:2310x y z α-+-=，平面1:240x y z β+-+=，平面()()()1:123250m x m y m z γ+-+++-=，若111,l l αβγ=⊄ ，证明：1l γ∥；(3)已知斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 所在平面2α经过三点()4,0,0P -，()()3,1,1,1,5,2Q H ----，侧面11BCC B 所在平面2β的一般式方程为40y z ++=，侧面11ACC A 所在平面2γ的一般式方程为()22110x my m z -+++=，求平面11ABB A 与平面11ACC A 的夹角大小．参考答案1．【答案】A【详解】直线:230l x y -+=和直线:230m x y +-=的斜率分别为12，2-，因为1(2)12⨯-=-，所以l m ⊥.故选：A 2．【答案】C【详解】因为a b ⊥，故2420x ⋅=-+=a b ，即1x =.故选：C 3．【答案】D【详解】因为直线l 的一个方向向量为，所以l 的斜率k =又tan k θ=，所以tan θ=[0,π)θ∈，所以π3θ=.故选：D.4．【答案】C【详解】设摸出红球的概率为()P A ，摸出白球的概率为()P B ，摸出黑球的概率为()P C ，所以()()0.56P A P B +=，()()0.68P A P C +=，且()()()1P A P B P C ++=，所以()()()10.44P C P A P B =--=，()()()10.32P B P A P C =--=，所以()()0.76P B P C +=，即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76．故选C ．5．【答案】B【详解】因为AO AB AC =+ ，所以OP OA AP AB AC AP =+=--+，则22222||()222OP AB AC AP AB AC AP AB AC AB AP AP AC=--+=+++⋅-⋅-⋅2221123302232333722⎛⎫⎛⎫=+++-⨯⨯⨯--⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以||OP = 故选：B.6．【答案】D【分析】根据投影向量的定义求解即可.【详解】因为(2,3,0)a =-，(0,3,4)b =，所以2033049a b ⋅=⨯-⨯+⨯=-，5b == ，则向量a 在向量b 上的投影向量为：99(0,3,4)52736055,,25252a b b b b b⋅-⋅⎪⎫=⨯=-⎛-- ⎝⎭= .故选D.7．【答案】A【详解】①当1a =时，可得1:20l x +=，2:210l x y ++=，由1012≠，则此时不符合题意；②当1a ≠时，可得直线1l 的斜率111k a =-，直线2l 的斜率22a k =-，由112aa =--，整理可得220a a --=，则()()210a a -+=，解得2a =或1-，当2a =时，可得1:20l x y ++=，2:2210l x y ++=，整理2l 的方程可得102x y ++=，由两平行直线之间的距离324=≠当1a =-时，可得1:220l x y -+=，2:210l x y -++=，整理2l 的方程可得210x y --=，由两平行直线之间的距离=.综上可得1a =-.故选：A.8．【答案】B【详解】在正三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，又1PA =，AB =所以222PA PB AB +=，所以PA PB ⊥，同理可得PA PC ⊥，PC PB ⊥，即,,PA PB PC 两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，易得12m =，如图，建立空间直角坐标系，则1,0,0，()0,1,0B ，()0,0,1C ，111,,222O ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1,1,0AB =- ，()1,0,1AC =-，111,,222AO ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，设平面ABC 的法向量为(),,s x y z =，则00s AB x y s AC x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x =，则1y z ==，所以()1,1,1s = ，则点O 到平面ABC的距离||||s AO n s ⋅==，所以mn故选B.9．【答案】ACD【详解】因为203010⨯-⨯+≠，所以l 不过原点，所以A 正确；令0y =，得12x =-，所以l 在x 轴上的截距为12-，所以B 错误；把2310x y -+=化为2133y x =+，所以l 的斜率为23，所以C 正确；把2310x y -+=化为11123x y +=-，所以直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为111122312⨯-⨯=，所以D 正确.故选：ACD.10．【答案】ABD【详解】对于A ，样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共18种可能的结果，则61()183P A ==，31()186P B ==，A 正确；对于B ，事件C 包含的样本点有(1,3)，(3,1)，(2,2)，共3种可能的结果，则31()186P C ==，故B 正确；对于C ，事件D 包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共15种可能的结果，故事件C 与D 不互斥，C 错误：对于D ，155()186P D ==，由515()()()1836P AD P A P D ==⨯=，得A ，D 相互独立，D 正确.故选：ABD.11．【答案】AD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的共面定理可判断A 选项，利用坐标法求异面直线夹角可直接判断B 选项，假设在线段BD 上存在点M ，设BM BD λ=，01λ≤≤，利用坐标法验证线面垂直，可判断C 选项；分别证明EFG 与1A B 上的所有点到平面EFG 的距离为定值，即可判断D 选项.【详解】以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()12,0,2B ，()10,2,2D ，()0,2,1E ，()1,0,2F ，()2,1,0H ，()1,2,0G ，设AH xAE y AF z AG =++，则()()()()2,1,00,2,11,0,21,2,0x y z =++，所以222120y z x z x y +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得11232x y z ⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，故1x y z ++=，即E ，F ，G ，H 四点共面，故A 正确；因为()2,2,0BD =-uu u r，()1,2,1EF =- ，所以cos ,BD EF BD EF BD EF⋅==⋅所以BD 与EF 所成角的大小为π6，故B 错误；假设在线段BD 上存在点M ，符合题意，设BM BD λ=（01λ≤≤），则()1112,22,2MC BC BM BC BD λλλ=-=-=- ，若MC 1⊥平面EFG ，则10MC EF ⋅= ，10MC EG ⋅=,因为()1,2,1EF =- ，()1,0,1EG =-，所以24420220λλλ-++=⎧⎨-=⎩，此方程组无解，所以在线段BD 上不存在点M ，使得MC 1⊥平面EFG ，故C 错误；因为()12,0,22A B EG =-=，所以1//A B EG ，又1⊄A B 平面EFG ，EG ⊂平面EFG ，所以1//A B 平面EFG ，故1A B 上的所有点到平面EFG 的距离即为B 到平面EFG 的距离，是定值，又EFG 的面积是定值，所以在线段1A B 上任取一点N ，三棱锥N EFG -的体积为定值，故D 正确；故选ABD.12．【答案】125/2.4【详解】将直线143x y-=化为一般方程可得34120x y --=，由点到直线距离公式可得坐标原点()0,0到直线l的距离为125d =.故答案为：12513．【答案】【详解】以AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直线坐标系Axyz，则1(2,1,2)BD =- ，(2,0,0)CD =-，(0,1,0)BC = ，设与1BD ，CD 都垂直的一个向量(,,)n x y z =，则122020BD n x y z CD n x ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1z =，则0x =，2y =-，所以与BD 1，CD 都垂直的一个向量(0,2,1)n =-，所以直线1BD 与CD之间的距离为||||BC n n ⋅故答案为：25514．【答案】12/0.5【详解】这个试验的等可能结果用下表表示：a 113355113355b 222222888888c 355113355113d 888888222222e531531531531共有12种等可能的结果，其中8c d +>的结果有6种，所以8c d +>的概率为61122P ==，故答案为：12.15．【答案】(1)290x y +-=(2)1y =【详解】（1）因为B ，C 关于原点O 对称，所以(2,1)C --，1(1)12(2)2BC k --==--，所以BC 边上高所在直线的斜率为2-，因为(3,3)A ，所以BC 边上高所在直线的方程为32(3)y x -=--，所以BC 边上高所在直线的一般式方程为290x y +-=.（2）因为过点B 的直线l 平分ABC V 的面积，所以直线l 经过边AC 的中点12,1，又(2,1)B ，所以直线l 的方程1y =16．【答案】(1)23a b c-+-(2)2133，103【详解】（1）因为12C D DC = ，所以1123C D C C =，所以1111123B D BC CD BC C C =+=+12233AB AC AA a b c =-+-=-+-.（2）因为三棱锥1A ABC -的所有棱长均为2，所以2a b c === ，所以π,,,3a b b c a c === ，所以12222a b b c a c ⋅=⋅=⋅=⨯⨯= ，所以1B D == =所以()2211225333A C B D b c a b c b c a b b c a c ⎛⎫⋅=-⋅-+-=+-⋅-⋅+⋅ ⎪⎝⎭ 81010422333=+--+=.17．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）取BD 的中点O ，由已知得到OA 和OC 的长，由勾股定理的逆定理得到OA OC ⊥，再结合OA BD ⊥证明OA ⊥平面BCD ，由此证明平面ABD ⊥平面BCD ；（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，分别写出直线BE 的方向向量和平面ABC 的法向量，利用空间坐标求出角的正弦值.【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 是菱形，π3BAD ∠=，所以BAD 与BCD △均为正三角形，取BD 的中点O ，连结OA ，OC ，则OA BD ⊥，OC BD ⊥因为2AB =，所以OA OC ==因为2226OA OC AC +==，所以OA OC ⊥，又BD OC O ⋂=，,BD OC ⊂平面BCD ，所以OA ⊥平面BCD ，因为OA ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCD ；（2）由（1）可知，OA ，OB ，OC 两两垂直，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(A ，()1,0,0B，()C ，()1,0,0D -，因为E 是CD的中点，所以12E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以(BA =-，()BC =-，3,022BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设(),,m x y z =为平面ABC 的一个法向量，则0,0,BA m x BC m x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1y =，得x =1z =，所以)m =，设直线BE 与平面ABC 所成角为θ，所以sin cos ,5BE m BE m BE mθ⋅===⋅ ，所以直线BE 与平面ABC所成角的正弦值为5.18．【答案】(1)1516(2)16(3)16243【详解】（1）记“乙至少有1个回答正确”为事件M ，所以()()111115111111222216P M P M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--⨯-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即乙至少有1个回答正确的概率是1516．（2）记“甲答对i 个问题”为事件()1,2,3i A i =，“乙答对i 个问题”为事件()1,2,3i B i =，则甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件123123123123123123123123123123123123A A AB B B A A A B B B A A A B B B A A A B B B A A A B B B A A A B B B +++++所以()123123123123123123123123123123123123P A A A B B B A A A B B A A A B B A A A B B B A A B B B A A A B B B +++++32323211211211111113223223222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-⨯+⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2332322122212211111113323332332⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⨯⨯-+⨯-⨯⨯-+⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭16=，即甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率是16．（3）记“甲答对第i 个问题”为事件()1,2,3,4,5i C i =，则甲恰好回答5次被退出比赛为事件123451234512345C C C C C C C C C C C C C C C ++，所以()()()()123451234512345123451234512345P C C C C C C C C C C C C C C C P C C C C C P C C C C C P C C C C C ++=++3222222222222211111333333333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-⨯⨯-+⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭16243=，即甲恰好回答5次被退出比赛的概率是16243．19．【答案】(1)124323x y z +--==--(2)证明见解析(3)π6【详解】（1）由()()1,2,4,2,0,1A B -得，直线AB 的方向向量为()3,2,3m AB ==-- ，故直线AB 的点方向式方程为124323x y z +--==--．（2）由平面1:2310x y z α-+-=可知，平面1α的法向量为()12,3,1m =-uu r，由平面1:240x y z β+-+=可知，平面1β的法向量为()21,1,2m =-uu r，设交线l 的方向向量为()000,,n x y z = ，则1000200023020m n x y z m n x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令01z =，则001,1x y ==，可得()1,1,1n =，由平面()()()1:123250m x m y m z γ+-+++-=可知，平面1γ的法向量为()31,23,2m m m m =+--+uu r，因为()()()311231210m n m m m ⋅=+⨯-+⨯++⨯=uu r r ，即3m n ⊥uu r r，且1l γ⊄，所以1l γ∥．（3）因平面2α经过三点()()()4,0,0,3,1,1,1,5,2P Q H -----，可得()()1,1,1,5,5,2PQ PH =-=--，设侧面11ABB A 所在平面2α的法向量()1111,,n x y z =，则1111111105520PQ n x y z PH n x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令11x =，解得111,0y z ==，可得()1110,,n = ，由平面2:40y z β++=可知，平面2β法向量为()20,1,1n =，设平面2α与平面2β的交线的方向向量为()2422,,m x y z =uu r，则412242220m n x y m n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令21x =，则221,1y z =-=，可得()41,1,1m =- ，由平面()2:22110x my m z γ-+++=可知，平面2γ的法向量为()52,,21m m m =-+uu r，因为452210m m m m ⋅=+++=uu r uu r，解得1m =-，即()52,1,1m =-uu r ，则151515cos ,n m n m n m ⋅〈==〉⋅u r uu ru r uu r u r uu r ，故平面11ABB A 与平面11ACC A 夹角的大小为π6．。
2023-2024学年湖北省宜昌市宜都一中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖北省宜昌市宜都一中高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N ＝{x |x 2﹣x ﹣6≥0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0，1}B ．{0，1，2}C ．{﹣2}D ．{2}2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．y ＝|x |（x ∈R ） B ．y =1x (x ≠0)C ．y ＝﹣x 2（x ∈R ）D ．y ＝﹣x （x ∈R ）3．下列命题中，正确的是（ ） A ．若a ＜b ＜0，则a 2＜ab ＜b 2 B ．若ab ＜0，则|b a +ab |≥4 C ．若b ＜a ＜0，c ＜0，则ca＜cbD ．若a ，b ∈R ，则a 4+b 4≥2a 2b 24．若命题：“∃x ∈R ，使x 2﹣x ﹣m ＝0”是真命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[−14，0] B ．[0，14]C ．[−14，+∞)D ．(−∞，14]5．集合M ＝{x |x =k 2−14，k ∈Z }，N ＝{x |x =k 4+12，k ∈Z }，则（ ） A ．M ＝NB ．M ⫋NC ．N ⫋MD ．M ∩N ＝∅6．已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f （2x ﹣1）＜f （13）的x 取值范围是（ ） A ．（13，23）B ．[13，23）C ．（12，23）D ．[12，23）7．已知p ：x 2﹣x ＜0，那么命题p 的一个必要不充分条件是（ ） A ．0＜x ＜1B ．﹣1＜x ＜1C ．12＜x ＜23D ．12＜x ＜28．用C （A ）表非空集合A 中元素的个数，定义A ∗B ={C(A)−C(B)，C(A)≥C(B)C(B)−C(A)，C(A)＜C(B)，若A ＝{1}，B ＝{x |x （x 2+ax +2）＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则C （S ）＝（ ） A ．4B ．3C ．2D ．9二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
湖北省宜昌市部分省级示范高中2023-2024学年高一上学期11月期中考试数学试卷含解析
宜昌市部分省级示范高中2023秋季学期高一年级上学期11月考试数学试卷（答案在最后）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,3A =，{}3,4,5,6B =，则()U A B =ð（）A.{}1,2 B.{}2,3 C.{}1,2,3 D.{}0,1,2,3【答案】A 【解析】【分析】由题中条件，根据交集和补集的概念，即可求出结果.【详解】因为全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，{}3,4,5,6B =，所以{}0,1,2U B =ð，又{}1,2,3A =，所以(){}1,2U A B = ð.故选：A.2.下列选项中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A.3y x =-B.1y x=-C.2xy = D.y x x=【答案】D 【解析】【分析】由奇函数和增函数的性质一一分析即可.【详解】对于A ，3y x =-在R 上单调递减，故A 错误；对于B ，1y x=-在()(),0,0,-∞+∞上单调递增，但在定义域内不是增函数，故B 错误；对于C ，1222xxx -⎛⎫=≠- ⎪⎝⎭，所以不是奇函数，故C 错误；对于D ，由-=--x x x x ，可知y x x =在定义域内是奇函数，又22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，2y x =在[)0,∞+上是增函数，2y x =-在(),0∞-上单调递增，且在R 上连续不断，故y x x =在定义域内既是奇函数又是增函数，故D 正确；故选：D3.已知0.22a =，0.20.4b =，0.60.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c >>B.a c b>> C.c a b>> D.b c a>>【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数的单调性结合中间量“1”即可得解.【详解】解：因为函数0.4x y =为减函数，所以00.20.610.40.40.4=>>，又因为0.20221a =>=，所以a b c >>.故选：A.4.已知函数()22()1x x x f x x --=-，则()f x 的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性判断A 选项；由102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭可以判断B 、C 选项，即可求解.【详解】函数()f x 的定义域为{}|1x x ≠±，在定义域内有()()()()222211x xxxx x f x f x x x ------===---，所以函数()f x 在定义域{}|1x x ≠±上是偶函数，则A 选项错误；又112212221012212f -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-< ⎪⎝⎭-，则B 、C 选项错误；故选：D.5.设,a b 是实数，则“a b >”的一个必要不充分条件是（）A.11a b> B.122a b +> C.22a b > D.33a b >【答案】B 【解析】【分析】结合幂函数及指数函数的单调性以及特殊值逐项判断即可.【详解】选项A ，11a b>可得0b a >>或0a b >>或0b a >>，反之若a b >则，有取2,1a b ==时11112a b<⇒<，故11a b>是a b >的既不充分也不必要条件，故A 错误，选项B ，因为122a b +>，且函数2x y =在R 上单调递增，所以1a b +>，不能得出a b >，例如0.9,0.9a b ==，满足1a b +>，但此时a b =，反之a b >，则1a b +>也即122a b +>，故B 正确，选项C ，22a b >推不出a b >，比如2,1a b =-=，反之若a b >则有取1,2a b ==-时22a b <，故22a b >是a b >的既不充分也不必要条件，故C 错误，选项D ，33>⇒>a b a b ，同时33a b a b >⇒>，所以33a b >是a b >的充要条件，故D 错误，故选：B.6.若函数()y f x =是R 上的奇函数，且函数()()1F x af x bx =++在()0,∞+上有最大值2，则函数()y F x =在(),0∞-上有（）A.最小值2-B.最大值2- C.最小值1- D.最小值0【答案】D 【解析】【分析】设()()()1,R g x F x af x bx x =-=+∈，判断其奇偶性，根据()F x 在()0,∞+上有最大值，可确定()g x 的最值，结合奇函数性质，即可求得答案.【详解】由题意可设()()()1,R g x F x af x bx x =-=+∈，而函数()y f x =是R 上的奇函数，故()()()()g x af x bx af x bx g x -=--=--=-，即()g x 为奇函数，函数()()1F x af x bx =++在()0,∞+上有最大值2，即()g x 在()0,∞+上有最大值1，故()g x 在(),0∞-上有最小值-1，则函数()y F x =在(),0∞-上有最小值0，故选：D7.车厘子是一种富含维生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到众人的喜爱．根据车厘子的果径大小，可将其从小到大依次分为6个等级，其等级()1,2,3,4,5,6x x =与其对应等级的市场销售单价y （单位：元/千克）近似满足函数关系式e ax b y +=．若花同样的钱买到的1级果比5级果多3倍，且3级果的市场销售单价为55元/千克，则6级果的市场销售单价约为（） 1.414≈）A.156元/千克 B.158元/千克C.160元/千克D.164元/千克【答案】A 【解析】【分析】利用指数运算54e e 31ea ba ab ++==+，化简求6e a b +的值.【详解】由题意可知54e e 31e a b a a b++==+，解得e a=，由3e 55a b +=，可得()3633eee55156a ba ba++=⋅=⨯=≈．故选：A.8.若实数x ，y 满足2023202420232024x y y x --+<+，则（）A.1x y> B.1x y< C.0x y -< D.0x y ->【答案】C【解析】【分析】构造函数()20232024x x f x -=-，然后利用单调性可求解.【详解】因2023202420232024x y y x --+<+，故2023202420232024x x y y ---<-，故可构造函数()20232024x x f x -=-，根据指数函数的性质可得：2023x y =在R 上单调递增，而函数2024x y -=在R 上单调递减，故函数()f x 在R 上单调递增，又由2023202420232024x x y y ---<-可得()()f x f y <，故x y <，所以0x y -<，故选：C.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列命题正确的是（）A.函数()2f x =与函数()g x =B.若函数()f x 的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()2xy f =的定义域为[]1,1-C.若x ∈R ，则函数()f x =2D.若21x y -<<<，则30x y -<-<【答案】BD 【解析】【分析】根据函数的定义域不同判断A ；由抽象函数定义域求法可判断B ；利用基本不等式求函数最值，由等号取得条件判断C ；利用不等式性质计算D.【详解】对于A ，()2f x =的定义域为[)0,∞+，()g x =R ，两函数定义域不相同，故不是相同的函数，故A 错误；对于B ，因为函数()f x 的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以1222x≤≤，解得11x -≤≤，所以函数()2xy f =的定义域为[]1,1-，故B 正确；对于C ，因为x ∈R ，所以()2f x =≥=时等号成立，由=无实数根，故()f x 取不到最小值2，故C 错误；对于D ，由题意21y -<<，所以12y -<-<，又因为2<<1x -，所以33x y -<-<，又x y <，则30x y -<-<，故D 正确.故选：BD10.下列命题正确的是（）A.若a<0，则=B.若13a a-+=，则1122a a-+=C.函数()()120,1x f a a a x -=+>≠的图象过定点()1,3D.若函数()22x axf x -+=在(),1-∞内单调递增，则实数a 的取值范围是2a ≥【答案】BCD 【解析】【分析】选项A 根据所给条件化简根式即可，B 选项利用完全平方公式计算即可，C 选项利用指数型函数过定点判断即可，D 选项根据指数（型）函数单调性求参数的取值范围.【详解】选项A ，因为a<0，所以==，故A 错误，选项B ，因为13a a -+=，所以0a >，由222111122222a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12325a a -=++=+=，所以1122a a -+=，故B 选项正确，选项C ，当1x =时，()13f =，所以函数()f x 恒过()1,3，故选项C 正确，选项D ，由函数()22xaxf x -+=是由()22,ty t x x ax ==-+复合而成，由()2tf x =在(),-∞+∞上单调递增，故由函数()22xaxf x -+=在(),1-∞内单调递增，则可知函数()2t x x ax =-+在(),1-∞内单调递增，所以12a≥，即2a ≥，故D 正确，故选：BCD.11.已知函数12xy a b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象过原点，且无限接近直线=2y -但又不与该直线相交，则下列说法正确的是（）A.2a b ==B.函数()f x 为偶函数C.函数()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增D.函数()f x 的值域为(]2,0-【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，由指数函数的性质分析a 、b 的值，即可得函数的解析式，据此分析选项，作出函数图象，综合即可得答案．【详解】根据题意，函数12xy a b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象过原点，即(0)0f a b =-=，则有a b =，又由()f x 的图象无限接近直线=2y -但又不与该直线相交，则2b =，故2a b ==，则1122,01()22222,0xx x x f x x -+⎧-≥⎛⎫=⨯-=⎨ ⎪-<⎝⎭⎩，故A 正确；()f x 的定义域为R ，且1()22()2xf x f x ⎛⎫-=⨯-= ⎪⎝⎭，()f x 为偶函数，故B 正确；函数()f x 的图象如下：由图可得函数()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，值域为(]2,0-，故C 错误，D 正确.故选：ABD .12.若实数x ，y 满足1221x y ++=，m x y =+，11122x y n -⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A.0x <且1y <-B.m 的最大值为3-C.n 的最小值为7D.22m n ⋅<【答案】ABD 【解析】【分析】根据指数函数的性质判断A ，利用基本不等式判断BC ，根据指数幂的运算判断D ；【详解】对于A ：因为1221x y ++=，若0x ≥，则21x ≥，又120y +>，显然不成立，即0x <，同理可得10y +<，所以1y <-，即0x <且1y <-，故A 正确；对于B ：1111222222x y x y x y ++++=+≥⋅=1222x y ++-≤，所以3x y +≤-，当且仅当11222xy +==，即=1x -，=2y -时取等号，即m 的最大值为3-，故B 正确；对于C ：()111111112222222244x y x y x y x y n +-++⎛⎫=+=+=+⋅+ ⎪⎝⎭11114455922222222y x y xx y xy ++++⋅⋅=⋅+≥++，当且仅当1142222y xx y ++⋅=，即2log 3x =-，22log 13y =-时取等号，故C 错误；对于D ：()11111222222222x y mx yx y x y y x n -+--+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为1221x y ++=，所以()12222x y ++=，即12222x y +++=，即12422x y ++⨯=，即122322x y y ++⨯=+，因为302y ⨯>，所以1222x y +<+，即22m n ⋅<，故D 正确；故选：ABD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.计算21232927()()(1.5)48---+得________．【答案】32【解析】【分析】利用指数的运算性质即可求解.【详解】21232927()((134432.5942)89--+--=+=.故答案为：32【点睛】本题考查了指数的运算性质，考查了基本运算求解能力，属于基础题.14.若2()21xf x a =-+为奇函数，则(1)f =_______.【答案】13【解析】【分析】先根据函数是奇函数求出a 的值，再求解.【详解】由题得函数的定义域为R ,因为函数是奇函数，所以02(0)0,121f a a =-=∴=+.所以2()121x f x =-+，所以1221(1)112133f =-=-=+.故答案为：13【点睛】本题主要考查奇函数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.15.关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是______．【答案】[)(]2,13,4--【解析】【分析】不等式化为()()10x x a --<，讨论a 与1的大小解出不等式即可得出.【详解】关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<可化为()()10x x a --<，当1a >时，解得1x a <<，要使解集中恰有两个整数，则34a <≤，当1a =时，不等式化为()210x -<，此时无解，当1a <时，解得1<<a x ，要使解集中恰有两个整数，则21a -≤<-，综上，实数a 的取值范围是[)(]2,13,4-- .故答案为：[)(]2,13,4-- .16.设0a >，(),3313,333x a a x a f x x a x a x a ⎧+-<<⎪=⎨+≤-≥⎪⎩或，若()()1f x f x -<恒成立，则实数a 的取值范围是______.【答案】10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】作出()y f x =，()1y f x =-的大致图象，由()()1f x f x -<恒成立，利用数形结合可得到关于a 的不等式()91a a ---<，解不等式即可得解.【详解】(),3,33,313,3313,3333x a a x ax a a x a x a a x a f x x a x a x a x a x a x a ---<<-⎧⎧+-<<⎪+-≤<⎪⎪==⎨⎨+≤-≥⎪⎪+≤-≥⎩⎪⎩ 或或作出函数()y f x =的图像，向右平移一个单位得到()1y f x =-的图像，如图所示.要使()()1f x f x -<恒成立，必有()91a a ---<，即18a <，又0a >，所以108a <<.故答案为：10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是正确作出函数()f x 的大致图象，然后根据函数()y f x =与()1y f x =-的图象的关系，数形结合判段a 的取值范围，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，属于较难题.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知集合{}46264x x A x +=≥，{}22150B x x x =+-≤.（1）求集合A 和()R A B ð；（2）集合122C x x k ⎧⎫=-≤-≤⎨⎬⎩⎭，若C B ⊆，求实数k 的取值范围.【答案】（1）{}3A x x =≤；()()R 53,3,2A B ⎡⎤=-+∞⎢⎥⎣⎦ð（2）[]1,2-【解析】【分析】（1）根据指数函数的性质得到关于x 的不等式，求出集合A ，再求出A 的补集，求出()R A B ð即可；（2）根据C B ⊆，得到关于k 的不等式组，求出即可.【小问1详解】由集合{}46264x x A x +=≥可知，46622x x +≥，得466x x +≥，解得3x ≤，所以{}3A x x =≤，因为{}R |3A x x =>ð，{}()(){}252150325032B x x x x x x x x ⎧⎫=+-≤=+-≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，所以()()R 53,3,2A B ⎡⎤=-+∞⎢⎥⎣⎦ð【小问2详解】由题意可得112222C x x k x k x k ⎧⎫⎧⎫=-≤-≤=-≤≤+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，因为C B ⊆，所以231522k k -≥-⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解得12k -≤≤，所以实数k 的取值范围为[]1,2-18.已知幂函数()()()225222Z k k f x m m x k -=-+∈是偶函数，且在()0,∞+上单调递增.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()212f x f x -<-，求x 的取值范围；（3）若正实数a ，b 满足4a b m +=，求1411a b +++的最小值.【答案】18.()2f x x=19.()1,1-20.32【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义求得m ，由单调性和偶函数求得k 得解析式；（2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性求解；（3）由基本不等式求得最小值．【小问1详解】由()f x 为幂函数得：22211m m m -+=⇒=，且()f x 在()0,∞+上单调递增，所以2552002k k k ->⇒<<，又Z k ∈，所以1k =或2k =，当1k =时，()3f x x =为奇函数，不满足题意，当2k =时，()2f x x =为偶函数，满足题意，所以()2f x x =.【小问2详解】由函数()f x 为偶函数，所以()()()()212212f x f x fx f x -<-⇔-<-且在()0,∞+上单调递增，所以212x x -<-，即()()222212111x x x x -<-⇒<⇒-<<，所以x 的取值范围为：()1,1-，【小问3详解】因为0,0a b >>且44a b m +==，所以()()()11116166b a a b +++++=⇒+=，所以11164161a a b b ++⎛⎫+ ⎪⎛⎫+⎝++⎝⎭⎭⎪112661611314b a a b +++⋅⋅+++=+55236632≥+=+=，当且仅当()()()2121061311b a b a b a +=-++++⇒=且4a b +=，即1,3a b ==时取等号，所以1411a b +++的最小值为32.19.已知函数()22,0,0x ax x f x mx nx x ⎧-+≥=⎨+<⎩是定义在R 上的奇函数.（1）当4a =时，求m ，n 的值：（2）若函数()f x 在[)0,∞+上单调递减.（i ）求实数a 的取值范围：（ii ）若对任意实数u ，不等式()()210f u f u t -++<恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（1）1,4m n ==（2）（i ）(],0-∞；（ii ）5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性得到0x <时的解析式，求出m ，n 的值；（2）（i ）根据函数开口方向，对称轴，得到不等式，求出0a ≤；（ii ）根据函数的奇偶性和单调性得到不等式，转化为2215124t u u u ⎛⎫>--+=-++ ⎪⎝⎭恒成立，求出答案.【小问1详解】当0x ≥时，()24f x x x =-+，当0x <时，0x ->，()()2244f x x x x x -=---=--，因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，故()24f x x x -=--，所以()24f x x x =+，所以1,4m n ==；【小问2详解】（i ）()f x 在[)0,∞+上单调递减，()2f x x ax =-+，开口向下，对称轴为22a a x =-=-，所以02a ≤，解得0a ≤，（ii ）()f x 为定义在R 上的奇函数，故()()()()()221011f u f u t f u t f u f u -++<⇒+<--=-，又()f x 在[)0,∞+上单调递减，故()f x 在R 上单调递减，故21u t u +>-，即2215124t u u u ⎛⎫>--+=-++ ⎪⎝⎭恒成立，由于()2155244g u u ⎛⎫=-++≤ ⎪⎝⎭，故54t >，实数t 的取值范围为5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.20.已知函数()()R,0k f x x k k x=+∈<.（1）判断函数()f x 的奇偶性与单调性，并加以证明；（2）设函数()22422F x x a x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，[]1,2x ∈，R a ∈，利用（1）中的结论求函数()F x 的最小值()g a .【答案】（1）奇函数；()f x 在(0,)+∞，(,0)-∞上皆为增函数，证明见解析（2）252,1()4,1152,1a a g a a a a a +≤-⎧⎪=-+-<<⎨⎪-≥⎩【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义即可判断()f x 的奇偶性，利用单调性定义判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，再结合其奇偶性即可判断(,0)-∞上的单调性；（2）化简()22422F x x a x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，并换元[]2,1,2t x x x =-∈，确定t 的范围，将()F x 化为2()24,[1,1]h t t at t =-+∈-，讨论二次函数对称轴和给定区间的位置关系，即可求得答案.【小问1详解】判断()f x 为奇函数，()f x 在(0,)+∞，(,0)-∞上皆为增函数，证明如下：由题意知函数()()R,0k f x x k k x=+∈<的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，()()k f x x f x x -=-+=--，故()f x 为奇函数；任取120x x <<，则()()121212121212()()x x x x k k k f x f x x x x x x x ---=+--=，因为120x x <<，0k <，所以1212120,0,0,0x x k x x x x k -<->>->，则121212()()0x x x x k x x --<，所以()()12f x f x <，即()f x 在(0,)+∞上为增函数，又()f x 为奇函数，故()f x 在(,0)-∞上也为增函数.【小问2详解】()22242222()24F x x a x x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设[]2,1,2t x x x =-∈，由（1）知2t x x=-在[]1,2上单调递增，故[1,1]t ∈-，故()F x 即为2()24,[1,1]h t t at t =-+∈-，其图象对称轴为t a =，当1a ≤-时，()h t 在[1,1]-上单调递增，则()(1)52g a h a =-=+；当11a -<<时，()h t 在(1,)a -上单调递减，在(,1)a 上单调递增，则2()()4g a h a a ==-+；当1a ≥时，()h t 在[1,1]-上单调递减，则()(1)52g a h a ==-；故252,1()4,1152,1a a g a a a a a +≤-⎧⎪=-+-<<⎨⎪-≥⎩.21.某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线AB 是以点E 为圆心的圆的四分之一部分，其中()()0,025E t t <≤，AF x ⊥轴，垂足为F ；曲线BC 是抛物线()2500y ax a =-+>的一部分；CD OD ⊥，垂足为D ，且CD 恰好等于E 的半径，假定拟建体育馆的高50OB =（单位：米，下同）.（1）试将DF 用a 和t 表示；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围.【答案】（1）50DF t =-()025t <≤（2）1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据抛物线方程求得()0,50B ，从而可得半径，即50CD t =-，进而求解出C 点坐标后，可知50DF t =-()025t <≤；（2）根据题意，5075DF t =-+≤恒成立，即162550a t t≥++恒成立，再根据基本不等式求最值即可得答案.【小问1详解】解：由抛物线方程得：()0,50B 50BE t ∴=-，∵BE ，CD 均为圆的半径，50CD t ∴=-，圆E 的半径为：50t -，∴(),50C C x t -，入抛物线方程可得25050C t ax -=-+，解得C x =∵曲线AB 是以点E 为圆心的圆的四分之一部分，其中()0,E t ，AF x ⊥轴，垂足为F ，∴50OF AE t ==-，∴50DF OF OD t =+=-+()025t <≤.【小问2详解】解：∵要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，5075DF t ∴=-≤，整理可得：()216252550t a t t t≥=+++，(]0,25t ∈，62550t t ∴+≥=（当且仅当25t =时取等号），1162510050t t ∴≤++，1100a ∴≥.∴a 的取值范围为：1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭22.已知函数()421421x x x x k f x +⋅+=++.（1）若对任意的x R ∈，()0f x >恒成立，求实数k 的取值范围；（2）若()f x 的最小值为2-，求实数k 的值；（3）若对任意的123,,x x x R ∈，均存在以()1f x ，()2f x ，()3f x 为三边长的三角形，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2k >-；（2）8k =-；（3）142k -≤≤【解析】【详解】分析：（1）问题等价于4210x x k +⋅+>恒成立，分类参数后转化为求函数的最值即可；（2）由()421111421212x x x x x x k k f x +⋅+-==+++++，令12132x x t =++≥，分1,1,1k k k >=<三种情况进行讨论求出()f x 的最小值，令其为2-，即可求出k 的值.（3）由题意()()()123f x f x f x +>对任意123,,x x x R ∈恒成立，当1k =时容易判断，当1,1k k ><时转化为函数的最值问题即可求解.详解：（1）2k >-（2）()421111421212x x x x x x k k f x +⋅+-==+++++，令12132x x t =++≥，则()113k y t t -=+≥，当1k >时，21,3k y +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦无最小值，舍去；当1k =时，1y =最小值不是2-，舍去；当1k <时，2,13k y +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，最小值为2283k k +=-⇒=-，综上所述，8k =-.（3）由题意，()()()123f x f x f x +>对任意123,,x x x R ∈恒成立.当k 1>时，因()()122k 42f x f x 3+<+≤且()3k 21f x 3+<≤，故k 223+≤，即1k 4<≤；当k 1=时，()()()123f x f x f x 1===，满足条件；当1k <时，()()122423k f x f x +≤+<且()3213k f x +≤<，故2413k +≤，112k -≤<；综上所述，14 2k-≤≤.。
湖北省宜昌市部分省级示范高中2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷含答案
宜昌市部分省级示范高中2024年春季学期高二年级期中考试数学试卷（答案在最后）命题学校：考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等比数列{}n a 中，0n a >，且11027a a =，则3239log log a a +等于（）A.9 B.6C.3D.2【答案】C 【解析】【分析】由等比数列的性质可得29110a a a a =，再利用对数运算性质即可得出结果.【详解】解：因为2911027a a a a ==，所以()3323932933log log log log 27log 33a a a a +====.故选：C.2.已知两条直线1:3210l x y -+=和2:210l ax y ++=相互垂直，则=a （）A.2 B.3C.43 D.43-【答案】C 【解析】【分析】根据两直线垂直的斜率表示可得3122a -⨯=-，解得43a =.【详解】易知1:3210l x y -+=的斜率为32，所以2:210l ax y ++=的斜率一定存在，即为2a-，所以3122a -⨯=-；解得43a =.故选：C3.已知空间向量(),1,2a λ= ，()2,1,b λλ=+ ，若a b，则实数λ=（）A.0 B.2C.1- D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量平行的性质求解即可.【详解】由a b，可设b a μ= ，则()()2,1,,,2μμμλλλ+=，所以21122μλμλμλλμ=⎧=-⎧⎪+=⇒⎨⎨=-⎩⎪=⎩，故选：D4.已知椭圆221210x y m m+=--的焦点在x 轴上，焦距为4，则m 等于（）A.8 B.7 C.6D.5【答案】A 【解析】【分析】根据方程表示椭圆，及焦点的位置得不等关系，从而得出结论．【详解】解： 椭圆221210x ym m+=--的焦点在x 轴上，2100m m ∴->->，即610m <<，且22a m =-，210b m =-，c ∴===，又焦距为4，∴2=，得8m =．故选：A ．5.有A 、B 、C 、D 、E 五位学生参加数学建模比赛，决出了第一到第五的名次，A 、B 两位学生去问成绩，老师对A 说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B 说：你是第三名.请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为（）A.6B.18C.20D.24【答案】B 【解析】【分析】利用特殊元素优先安排原则可求五位学生的名次的排法种数.【详解】B 只能排第3名有1种排法，A 可在2，4，5三个名次有13A 种排法，再排,,C D E 有33A 种排法，故五位学生的名次的排法种数有1333A ·A 18=种.故选：B.6.已知函数()1xf x e mx =-+的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ex =垂直的切线，则实数m 的取值范围是A.1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.1e e⎛⎫ ⎪⎝⎭, D.(),e +∞【答案】B 【解析】【详解】函数f （x ）=e x -mx+1的导数为f′（x ）=e x -m ，若曲线C 存在与直线y=ex 垂直的切线，即有1xe m e-=-有解，即1xm e e =+由e x ＞0，则m ＞1e 则实数m 的范围为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故选B7.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F .短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E于A ，B 两点.若4AF BF +=，点M 到直线的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（）A.0,2⎛ ⎝⎦B.0,4⎛ ⎝⎦C.3,12⎫⎪⎣⎭D.,14⎫⎪⎪⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】F '为椭圆的左焦点，连接AF '，BF '，根据对称性知AFBF '为平行四边形，即可求参数a ，由M 到直线的距离不小于45，结合点线距离公式有1b ≥，进而可求离心率e 的范围.【详解】取椭圆的左焦点F '，连接AF '，BF '，则根据对称性有OF OF '=，OA OB =，故AFBF '为平行四边形，24AF BF AF AF a '+=+==，2a =，点M 到l 的距离45d =，1b ≥，由2c e a ===，故0,2e ⎛∈ ⎝⎦.故选：A.【点睛】关键点点睛：过原点的直线与椭圆的两交点关于原点对称确定AFBF '为平行四边形，，结合椭圆的定义求参数a ，点线距离公式结合条件得到b 的范围，由椭圆离心率公式及参数关系求离心率范围.8.已知O 为正方形ABCD 的中心，E F ，分别为BC AD ，的中点，若将正方形ABCD 沿对角线BD 翻折，使得二面角A BD C --的大小为60 ，则此时cos EOF ∠的值为（）A.14-B.13-C.12-D.34-【答案】A 【解析】【分析】由二面角的概念，结合空间向量的数量积运算即可求得结果.【详解】如图所示，易知,OA BD OC BD ⊥⊥，所以结合已知有π,,,π,,3OA OB OC OD OB OD OA OC ⊥⊥==，易知()()11,22OE OB OC OF OA OD =+=+，设正方形边长为2，所以1OA OB OC OD OE OF ======，cos ,OE OF OE OF OE OF ⋅==⋅0210144-++==-,故选：A.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（）A.如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法B.如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法C.如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法D.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法【答案】CD 【解析】【分析】按照排列组合的要求依次判断选项即可.【详解】A ：如果4人中全部为男生，选法有46C 15=种，故A 错误；B ：如果4人中男生女生各有2人，男生的选法有2615C =种，女生的选法有24C 6=种，则4人中男生女生各有2人选法有15690⨯=种，B 错误；C ：如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，有2828C =种，故C 正确；D ：在10人中任选4人，有410C 210=种，甲乙都不在其中的选法有4870C =，故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有21070140-=种，故D 正确.故选：CD.10.已知e 是自然对数的底数，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()f x '是()f x 的导函数，且()ln ()0f x x f x x'+⋅>，则（）A.1(e)0e f f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭B.10e f ⎛⎫< ⎪⎝⎭C.(e)0f >D.(1)0f =【答案】AC【解析】【分析】构造函数()ln ()g x x f x =⋅，借助新函数的单调性，即可判断.【详解】令函数()ln ()g x x f x =⋅，则()()ln ()0f x g x x f x x''=+⋅>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，又(1)0g =，所以(e)ln e (e)(e)0,g f f =⋅=>1111ln 0e e e e g f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即10e f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以11(e)0,0e e f f f ⎛⎫⎛⎫+>> ⎪ ⎝⎭⎝⎭，而(1)f 的大小不确定．故选：AC.11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线:1l x =-，过F 的直线交抛物线C 于()()1122A x y B x y ，，，两点，交直线l 于点12M MA AF MB BF λλ==，，，则（）A.ABO 的面积的最大值为2B.124y y =-C.121=x xD.120λλ+=【答案】BCD 【解析】【分析】设直线:1AB x my =+，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理，依次判断判断各选项即可求得答案.【详解】设直线:1AB x my =+，由214x my y x=+⎧⎨=⎩得：2440y my --=.选项A ：1211·4222ABO S OF y y =-==≥⨯= ，应是最小值为2，故A 错误；选项B ：12-4y y =，故B 正确；选项C ：22212121212(),14416y y y y x x x x ====，则，故C 正确；选项D ：由1MA AF λ= ，2MB BF λ= ，21,M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，得：1112y y m λ+=-，2222y y mλ+=-，12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--⋅24204mm =--⋅=-，故D 正确.故选：BCD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有______种.【答案】243##53【解析】【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理计算得解.【详解】每封电子邮件可以选择3个电子邮箱中的任意一个发送，有3种方法，所以发5封不同的电子邮件的不同发送方法有53243=（种）.故答案为：24313.数列{}n a 的通项公式为()()1143n n a n -=--，则它的前100项之和100S 等于______.【答案】200-【解析】【分析】根据并项求和得出答案.【详解】()()()()()()()100413423433410034123499100S ⎡⎤=⨯--⨯-+⨯--⋅⋅⋅-⨯-=⨯-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦()450200=⨯-=-故答案为：200-14.已知e 是自然对数的底数，则1D n =+的最小值为______.【答案】2【解析】【分析】根据表达式特征，可将D 转化为曲线e xy =上的点(),emM m于曲线y =(,N n 之间的距离加上抛物线()240y x y =≥上的点(,N n 到定直线=1x -的距离，构造函数利用函数单调性可得当0x =时，1D n =+的最小值为2.可以看成点(),emm 和点(,n 之间的距离，即表示曲线e x y =上的点(),emM m 和曲线y =上的点(,N n 之间的距离MN ，而1n +可以看成抛物线()240y x y =≥上的点(,N n 到定直线=1x -的距离NP ，如下图所示：易知抛物线()240y x y =≥的焦点为()1,0F ，准线方程为=1x -，利用抛物线定义可得NP NF =；所以1D n MN NP MN NF MF =+=+=+≥，即求出MF 的最小值即可，由(),emM m 和()1,0F 可得()()()222221e 0e 1m m MFm m =-+-=+-，令()()22e 1x f x x =+-，则()()()222e 212e 1xx f x x x =+-=+-'，令()2e1xg x x =+-，则()22e 10x g x '=+>恒成立，因此()g x 为单调递增函数，即()f x '为单调递增函数，又()00f '=，所以(),0x ∞∈-时，()()00f x f ''<=，即()f x 在(),0∞-上单调递减，当()0,x ∞∈+时，()()00f x f ''>=，即()f x 在()0,∞+上单调递增，因此()f x 在0x =处取得极小值，也是最小值，即()()()20min 0e 012f x f ==+-=；即可得1D n =+的最小值为2.故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据表达式特征，利用数形结合将表达式转化为曲线上两点距离之和再加上抛物线上的点到准线距离，构造函数并求单调性即可得出最小值.四、解答题：本大题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设函数()321132a f x x x =-+.（1）若0a >，求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()2g x f x x =+，且()g x 在区间()2,1--内单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调增区间为()(),0,,a -∞+∞；单调减区间为()0,a ；（2）)⎡-+∞⎣【解析】【分析】（1）求函数的导数，分别令()0f x ¢>和()0f x '<解不等式即可（2）表达函数()()2g x f x x =+，求()g x 的导数，且()g x 在区间()2,1--单调递增，转换成()2,1x ∈--，使不等式()0g x '≥恒成立，分离参数求最值可得实数a 的取值范围【小问1详解】由()321132a f x x x =-+，得()()2f x x ax x x a '=-=-，又0a >，令()0f x ¢>，得x a >，或0x <，令()0f x '<，得0x a <<，故若0a >时，函数()f x 的单调增区间为()(),0,,a -∞+∞，函数()f x 的单调减区间为()0,a ；【小问2详解】因为()()32121232a g x f x x x x x =+=-++，所以()22g x x ax '=-+，又()g x 在区间()2,1--内单调递增，所以()0g x '≥在()2,1--恒成立，即220x ax -+≥恒成立，所以2max2x a x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，而()2222x x x x x x +⎡⎤⎛⎫=+=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当且仅当2x x=且()2,1x ∈--时，即x =时，取等号，所以实数a的取值范围为a ≥-16.已知圆C 的圆心在直线2y x =上且与x 轴相切，圆C 被直线10x y +-=截得的弦长为4.（1）求圆C 的标准方程；（2）从圆C 外一点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且PM PO =，求PM 的最小值.【答案】（1）()()223636x y -+-=（2【解析】【分析】（1）设圆心(),2,0C a a a ≠，半径为2a ，则圆方程为()()22224x a y a a -+-=，通过弦长公式列方程求得a 值，即可得圆的方程；（2）由PM PO =，得点P 的轨迹方程2430x y +-=，将PM 的最小值转化为PO 的最小值，即O 点到直线2430x y +-=的距离为所求.【小问1详解】因为圆心在2y x =上且与x 轴相切，所以设圆心(),2,0C a a a ≠，半径为2a ，所以圆方程为()()22224x a y a a -+-=，又圆心到直线10x y +-=距离d =，圆C 被直线10x y +-=截得弦长为4，所以有：22224a +=，解得3a =，所以圆方程为：()()223636x y -+-=；【小问2详解】解法一：因为222PMPC MC =-，又因为PM PO =，所以2236PO PC =-，设(),P x y ，则()()22223636x y x y +=-+--，即2430x y +-=，所以P 点轨迹方程为2430x y +-=.因为PM PO =，所以PM 的最小值就是PO 的最小值，即为O 点到直线2430x y +-=的距离3510d ==，所以PM 的最小值为10.解法二：因为222PMPC MC =-，又因为PM PO =，所以2236PO PC =-，设(),P x y ，则()()22223636x y x y +=-+--，即2430x y +-=，322x y =-+，22222223925624PM PO x y y y y y ⎛⎫==+=-++=-+ ⎪⎝⎭，当35y =时，2PM 取得最小值：920，所以PM .17.设{}n a 是各项都为正的单调递增数列，已知11a =，且n a 满足关系式：11n n a a ++=+*n ∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()()()21121nn n a b n n n -=++，求数列{}n b 的前n 项积nT.【答案】（1）2*,N n n a n =∈（2）()()1121n T n n =++【解析】【分析】（1）利用递推公式11n n a a ++=+是公差为1d =的等差数列，代入可求通项公式；（2）由（1）可知21121n n n b n n -=⨯++，各项相乘即可求出前n 项积n T .【小问1详解】根据题意，将11n n a a ++=+1+-；即21=1-=±，又{}n a 是单调递增数列，所以1n n a a +>1=；可知数列是以1=为首项，公差为1d =的等差数列，()1n d n=-=，所以2na n=；即数列{}n a的通项公式为2*,Nnna n=∈；【小问2详解】由（1）可知，()()()()()()212121121121121nnn a n n n nbn n n n n n n---===⨯++++++，因此数列{}n b的前n项积12111233152335721124n n nTnb bnb n nb-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⨯+⎭⎭+⎝()()21111211211211231351234357n nn n n n n n⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅=-⨯⨯=+⎪+⎪⎭++⎝+⎭+⎝即可得()()1121nTn n=++.18.在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，在梯形ABEF中，//AF BE，AF AB⊥，22AB BE AF===，平面ABEF⊥平面ABCD.（1）证明：BD CF⊥；（2）若直线BC与平面ACF所成的角为60︒，M为棱BE上一点（不含端点），试探究BE上是否存在一点M，使得平面ACF与平面CFM夹角的余弦值为14？若存在，求出BM的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，1【解析】【分析】（1）由平面ABEF⊥平面ABCD推出AF BD⊥，再由BD AC⊥推出BD⊥平面ACF，进而推出BD CF⊥；（2）建立空间直角坐标系，设出点M坐标，利用向量法表示出平面ACF与平面CFM夹角的余弦值即可求解.【小问1详解】因为平面ABEF⊥平面ABCD，AF AB⊥，AF⊂平面ABEF，平面ABEF ⋂平面ABCD AB =，所以AF ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，故AF BD ⊥，因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，又AF AC A = ，AF，AC ⊂平面ACF ，所以BD ⊥平面ACF ，又因为CF ⊂平面ACF ，所以BD CF ⊥；【小问2详解】设AC BD O = ，由（1）可知，BO ⊥平面ACF ，故直线BC 与平面ACF 所成的角为BCO ∠，所以60BCO ∠=︒，则ACB △与ACD 均为边长为2的等边三角形，以O 为原点，OC ，OB 分别为x ，y 轴建立空间直角坐标系，如下图：由BD ⊥平面ACF ，可得平面ACF 的法向量为()10,1,0n =，而()1,0,0C ，()1,0,1F -，()2E，()B 设BM t =（02t <<），则()M t ，()2,0,1CF =-，()CM t =- ，设平面CFM 的法向量()2,,n x y z =，则22200n CF x z n CE x tz ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取x =，可得z =，12y t =-，故22,n t =-，所以平面ACF 与平面CFM 夹角的余弦值为1212121cos ,4n n n n n n ⋅===⋅ ，解得1t =或0（舍去），所以存在一点M 使得平面ACF 与平面CFM夹角的余弦值为14，此时BM 的长为1..19.已知点F 1、F 2为双曲线222y C x 1b-=：（b ＞0）的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且∠MF 1F 2=30°，圆O 的方程是x 2+y 2=b 2．（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1、P 2，求12PP PP ⋅uu u v uuu v的值；（3）过圆O 上任意一点Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：|AB|=2|OM|．【答案】（1）22y x 12-=；（2）-29；（3）见解析【解析】【分析】（1）解：设F 2，M 的坐标分别为))00y ,再通过双曲线的定义和解三角形得到双曲线C 的方程为22y x 12-=；（2）设双曲线C 上的点P （x 0，y 0），设两渐近线的夹角为θ，再求出12PP PP 、和cosθ的值，即得12PP PP ⋅的值；（3）由题意，即证：OA ⊥OB ，分y 0≠0和y 0=0两种情况证明1212OA OB x x y y 0⋅=+=，原题即得证.【详解】（1）解：设F 2，M 的坐标分别为))0y 因为点M 在双曲线C 上，所以2202y 1b 1b +-=，即20y b =±，所以22MF b=在Rt △MF 2F 1中，012MF F 30∠=，22MF b =，所以21MF 2b=由双曲线的定义可知：212MF MF b 2-==故双曲线C 的方程为：22y x 12-=（2）解：由条件可知：两条渐近线分别为12l y 0l y 0-=+=；设双曲线C 上的点P （x 0，y 0）则点P 到两条渐近线的距离分别为12PP PP ==，因为P （x 0，y 022y x 12-=上，所以22002x y 2-=，又1cosθ3=，所以12PP PP ⋅•cos （π-θ）=-22002x y 3-•13=-29（3）证明：由题意，即证：OA ⊥OB ．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），切线l 的方程为：x 0x+y 0y=2①当y 0≠0时，切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：()()222200002y x x 4x x 2y 40-+-+=所以：()()()2001212222200002y 44x x x x x 2y x 2y x ++=-=---，，又()()()20102201201201222200002x x 2x x 82x 1y y 42x x x x x x y y y 2y x ---⎡⎤=⋅=-++=⎣⎦-所以()()()2222000012122222220000002y 442x y 82x OA OB x x y y 02y x 2y x 2y x +-+-⋅=+=-+==---②当y 0=0时，易知上述结论也成立．所以1212OA OB x x y y 0⋅=+=综上，OA ⊥OB ，所以|=2||AB O |M uu u r uuu r．【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质和双曲线方程的求法，考查直线和双曲线与圆的位置关系，考查平面向量的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
湖北省宜昌市兴山县2023-2024学年七年级上学期期中数学试题
湖北省宜昌市兴山县2023-2024学年七年级上学期期中数学试题一、单选题1．某中学积极响应“双减”政策，开展丰富多彩的课余活动，购买了一批足球．如图，小杨同学检测了4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（）A．B．C．D．2．如果80 m表示向东走80 m，则－60 m表示（）．A．向东走60 m B．向西走60 m C．向南走60 m D．向北走60 m3．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，2-的相反数是（）A．2B．2-C．12D．12-4．餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为（）A ．10510⨯千克B ．110.510⨯千克C ．14510⨯千克D ．9510⨯千克5．单项式223x y-的系数和次数分别是（ ）A ．﹣2，3B ．﹣2，2C ．﹣23，3D ．﹣23，26．下列说法正确的是（ ） A ．0是最小的整数 B ．任何一个有理数都有相反数 C ．若a b =，则a b =D ．一个有理数不是正数就是负数7．4个球队进行单循环比赛（参加比赛的每一个队都与其他所有的队各赛一场），总的比赛场数是（ ） A ．4B ．6C ．8D ．128．下列各组数的大小比较的式子：（1）30-< ；（2）()22--=--；（3）4354->-．其中正确的有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．下列计算正确的是（ ） A ．422b b -= B ．22385a a a -=- C ．22223m n nm m n -=-D ．33a b ab +=10．七年级一班有x 个同学，若每4个人为一个学习小组，则有一个学习小组少1人，用代数式表示这个班分成的学习小组组数是（ ）A ．x 14+ B ．x 14- C ．x4 +1D ．x 4-1二、填空题11．如果“节约10%”记作10%+，那么“浪费6%”记作．12．潍坊冬季里某一天最高气温是7C ︒，最低气温是5-C ︒，这一天潍坊最高气温与最低气温的温差是13．用四舍五入法得到的近似数为3.59万，精确到 位 ． 14．34-的倒数是．15．一个两位数的个位上的数字是a ，十位上的数字为b ，列式表示这个两位数为． 16．在数轴上，与表示1-的点距离为3的点所表示的数是．三、解答题 17．计算：(1)7(5)(4)(10)--++---；(2)3124623⎛⎫⎛⎫-÷-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18．计算：(1)()()32211234-+⨯-+-(2)()()42314334⎛⎫⎡⎤-⨯--+÷- ⎪⎣⎦⎝⎭19．在数轴上表示下列各数，并用<将他们连接起来．5-，142，0， 2.5--，7+．20．已知a ，b 互为相反数，m ，n 互为倒数，x 的绝对值等于3． (1)由题意可得，a b +=，mn =，x =． (2)求多项式()()()2023202422x a b mn x a b mn -+++++-的值．21．老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了多项式，形式如下：()222224452a ab b a b +-+=+(1)求手捂住的多项式； (2)若a ，b 满足：()21102a b ++-=，请求出所捂住的多项式的值． 22．某巡警骑摩托车在一条南北大道上来回巡逻，一天早晨，他从岗亭出发，中午停留在A 处，规定向北方向为正，当天上午连续行驶情况记录如下（单位：千米）：5+，4-，3+，6-，4+，8-，2+，1-．(1)A 处在岗亭何方？距离岗亭多远？(2)在巡逻过程中，该巡警离开岗亭最远的距离是多少千米？（计算或用数轴均可） (3)若摩托车每行驶1千米耗油0.2升，这一天上午共耗油多少升？23．某商场销售一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．国庆节期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一套西装送一条领带；方案二：西装和领带都按定价的90%付款．现某客户要到该商场购买西装20套，领带()20x x >条．(1)若该客户按方案一购买，需付款多少元（用含x 的式子表示）？若该客户按方案二购买，需付款多少元（用含x 的式子表示）？(2)若30x =，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算；(3)当30x =时，你能给出一种更为省钱的购买方法吗？试写出你的购买方法和所需费用． 24．数轴上A 在原点的左侧，A 表示的数是a ，距离原点18个单位，B 在原点右侧，B 所表示的数是b ，距离A 点24个单位． (1)=a ______，b =______．(2)P ，Q 是数轴上的两个动点，P 点从A 出发，速度2个单位每秒，同时Q 点从B 点出发，速度1个单位每秒，若两点相向而行，经过一段时间在C 点相遇，求出点C 表示数． (3)在（2）的条件下，经过几秒钟，P ，Q 两点相距6个单位长度．。
2023-2024学年湖北省宜昌市部分省级示范高中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖北省宜昌市部分省级示范高中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线mx ﹣y +1＝0的倾斜角为60°，则实数m 的值为（ ） A ．√3B ．√33C ．−√33D ．−√32．已知向量a →=(0，1，0)，b →=(2，0，−2)，则（a →+b →）•a →=（ ） A ．0B ．2C ．1D ．﹣13．在某次演讲比赛大赛上，七位评委为某位选手打出的分数分别为79，84，84，84，86，87，89，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ） A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，1.6D ．85，44．已知从甲袋内摸出1个红球的概率是13，从乙袋内摸出1个红球的概率是12，从两袋内各摸出1个球，则23等于（ ）A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．2个球中至少有1个红球的概率D ．2个球中恰好有1个红球的概率5．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，BB 1的中点，则B 1点到平面D 1EF 的距离为（ ） A ．√3B ．√22C ．√23D ．√556．若椭圆C 的中心为坐标原点、焦点在y 轴上；顺次连接C 的两个焦点、一个短轴顶点构成等边三角形，顺次连接C 的四个顶点构成四边形的面积为4√3，则C 的方程为（ ） A ．y 24+x 23=1 B ．y 26+y 22=1C ．y 28+x 24=1D ．y 28+x 26=17．若圆（x ﹣1）2+（y +2）2＝r 2（r ＞0）上有且仅有两个点到直线2x ﹣y +6＝0的距离等于√5，则r 的取值范围是（ ） A ．（0，2√5）B ．（√5，3√5）C ．（√5，2√5）D ．（2√5，3√5）8．阅读材料：空间直角坐标系O ﹣xyz 中，过点P （x 0，y 0，z 0）且一个法向量为n →=(a ，b ，c)的平面α的方程为a （x ﹣x 0）+b （y ﹣y 0）+c （z ﹣z 0）＝0，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为3x ﹣5y +z ﹣7＝0，直线l 是两平面x ﹣3y +7＝0与4y +2z +1＝0的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（ ） A ．√1035B ．√75C ．√715D ．√1455二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A 和B ，其中n （Ω）＝24，n （A ）＝12，n （B ）＝8，n （A ∪B ）＝16，下列运算结果，正确的有（ ）A ．n （AB ）＝4B ．P(AB)=16C ．P(A ∪B)=23D ．P(AB)=1210．已知圆O ：x 2+y 2＝4，过点M （﹣1，0）直线l 与圆O 交于P ，Q 两点．下列说法正确的是（ ） A ．|PQ |的最小值为2√2B ．|PQ |的最大值为4C ．OP →⋅OQ →的最大值为﹣2D ．线段PQ 中点的轨迹为圆11．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是圆x 2+y 2＝a 2上且不在x 轴上的一点，△PF 1F 2的面积为b 2，设C 的离心率为e ，∠F 1PF 2＝θ，则（ ） A ．|PF 1|+|PF 2|＞2a B ．PF 1→⋅PF 2→=ab C ．e ∈[√5−12，1)D ．tan θ＝212．如图，棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱A 1D 1、AA 1的中点，G 为面对角线B 1C 上一个动点，则（ ）A ．三棱锥A 1﹣EFG 的体积为定值B ．线段B 1C 上存在点G ，使平面EFG ∥平面BDC 1C ．当CG →=34CB 1→时，直线EG 与BC 1所成角的余弦值为13D ．三棱锥A 1﹣EFG 的外接球半径的最大值为3√22三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．直线l 1：mx +2y ﹣3＝0与直线l 2：3x +（m ﹣1）y +m ﹣6＝0平行，则m ＝ ． 14．圆P ：（x +3）2+（y ﹣4）2＝1关于直线x +y ﹣2＝0对称的圆Q 的方程是 ．15．如图，在平行六面体中，AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝4，∠DAB ＝90°，∠DAA 1＝∠BAA 1＝60°，点M 为棱CC 1的中点，则线段AM 的长为 ．16．过椭圆x 236+y 227=1上一动点P 分别向圆C 1：（x +3）2+y 2＝4和圆C 2：（x ﹣3）2+y 2＝1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM |2+2|PN |2的取值范围为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）菱形ABCD 中，A （﹣4，7），C （2，﹣3），BC 边所在直线过点P （3，﹣1）．求： （1）AD 边所在直线的方程； （2）对角线BD 所在直线的方程．18．（12分）某校为了提高学生安全意识，利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛（满分150分），加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五组，并画出了其频率分布直方图．（1）根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的第80百分位数；（2）估计乙组20名同学成绩的平均分（同组中的每个数据用该组区间的中点值代表替）；（3）现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点． （1）求证：平面AEF ⊥平面PBC ．（2）试确定点F 的位置，使平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°．20．（12分）已知点A （0，3），直线l ：y ＝2x ﹣4，又圆C 的半径为2，圆心C 在直线l 上． （1）若圆心C 又在x 轴上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2）若在圆C 上存在点M ，满足|MO |＝2|MA |，求圆心C 的横坐标的取值范围．21．（12分）甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时甲获胜的概率； （2）求乙最终以2分获胜的概率．22．（12分）已知定点P(√3，0)，圆Q ：(x +√3)2+y 2=16，N 为圆Q 上的动点，线段NP 的垂直平分线和半径NQ 相交于点M ． （1）求点M 的轨洂Γ的方程；（2）直线l ：x ＝ky +n 与曲线Γ相交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆经过点C （2，0），求△ABC 面积的最大值．2023-2024学年湖北省宜昌市部分省级示范高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线mx ﹣y +1＝0的倾斜角为60°，则实数m 的值为（ ） A ．√3B ．√33C ．−√33D ．−√3解：直线mx ﹣y +1＝0化为斜截式为：y ＝mx +1，∴m ＝tan60°=√3， 故选：A ．2．已知向量a →=(0，1，0)，b →=(2，0，−2)，则（a →+b →）•a →=（ ） A ．0B ．2C ．1D ．﹣1解：因为向量a →=(0，1，0)，b →=(2，0，−2)，则a →+b →=(2，1，−2)，则（a →+b →）•a →=0+1+0＝1． 故选：C ．3．在某次演讲比赛大赛上，七位评委为某位选手打出的分数分别为79，84，84，84，86，87，89，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ） A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，1.6D ．85，4解：七位评委打出的分数去掉一个最高分和一个最低分后为84，84，84，86，87， 平均分为：84+84+84+86+875=85，方差为：15[(84−85)2+(84−85)2+(84−85)2+(86−85)2+(87−85)2]=1.6． 故选：C ．4．已知从甲袋内摸出1个红球的概率是13，从乙袋内摸出1个红球的概率是12，从两袋内各摸出1个球，则23等于（ ）A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．2个球中至少有1个红球的概率D ．2个球中恰好有1个红球的概率解：从甲袋内摸出1个红球的概率是13，从乙袋内摸出1个红球的概率是12， 从两袋内各摸出1个球，对于A ，2个球不都是红球的概率为P ＝P ＝1−13×12=56，故A 错误；对于B ，2个球都是红球的概率为P =13×12=16，故B 错误； 对于C ，2个球中至少有1个红球的概率为P ＝1﹣（1−13）（1−12）=23，故C 正确； 对于D ，2个球中恰好有1个红球的概率为P =13×(1−12)+(1−13)×12=12，故D 错误． 故选：C ．5．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，BB 1的中点，则B 1点到平面D 1EF 的距离为（ ） A ．√3B ．√22C ．√23D ．√55解：如图，连接FC 1，过B 1作B 1H ⊥FC 1于点H ，∵E ，F 分别为棱AA 1，BB 1的中点，∴易得EF ∥D 1C 1，∴平面D 1EF 即为平面D 1EFC 1， ∵D 1C 1⊥平面BCC 1B 1，又B 1H ⊂平面BCC 1B 1， ∴B 1H ⊥D 1C 1，又B 1H ⊥FC 1，且D 1C 1∩FC 1＝C 1， ∴B 1H ⊥平面D 1EFC 1，∴B 1点到平面D 1EF 的距离为B 1H ， 又易知B 1C 1＝1，B 1F =12，∴FC 1=√52，∴B 1H =B 1C 1×B 1F FC 1=1×12√52=√55， 故B 1点到平面D 1EF 的距离为√55． 故选：D ．6．若椭圆C 的中心为坐标原点、焦点在y 轴上；顺次连接C 的两个焦点、一个短轴顶点构成等边三角形，顺次连接C 的四个顶点构成四边形的面积为4√3，则C 的方程为（ ） A ．y 24+x 23=1 B ．y 26+y 22=1C ．y 28+x 24=1D ．y 28+x 26=1解：设椭圆的标准方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)，由题可知，{a =2c12⋅2a ⋅2b =4√3a 2=b 2+c 2，解得a ＝2，b ＝3，故椭圆的标准方程为y 24+x 23=1．故选：A ．7．若圆（x ﹣1）2+（y +2）2＝r 2（r ＞0）上有且仅有两个点到直线2x ﹣y +6＝0的距离等于√5，则r 的取值范围是（ ） A ．（0，2√5）B ．（√5，3√5）C ．（√5，2√5）D ．（2√5，3√5）解：∵圆（x ﹣1）2+（y +2）2＝r 2（r ＞0）的圆心到直线2x ﹣y +6＝0的距离为d ：d =|2×1−(−2)+6|√5=2√5，当r =√5时，圆上只有一个点到直线的距离等于√5，当r ＝3√5时，圆上有三个点到直线的距离等于√5， ∴圆（x ﹣1）2+（y +2）2＝r 2（r ＞0）上有且仅有两个点到直线2x ﹣y +6＝0的距离等于√5时， 圆的半径r 的取值范围是：√5＜r ＜3√5， 故选：B ．8．阅读材料：空间直角坐标系O ﹣xyz 中，过点P （x 0，y 0，z 0）且一个法向量为n →=(a ，b ，c)的平面α的方程为a （x ﹣x 0）+b （y ﹣y 0）+c （z ﹣z 0）＝0，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为3x ﹣5y +z ﹣7＝0，直线l 是两平面x ﹣3y +7＝0与4y +2z +1＝0的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（ ） A ．√1035B ．√75C ．√715D ．√1455解：∵平面α的方程为3x ﹣5y +z ﹣7＝0，∴平面α的法向量可取m →=(3，−5，1)， 平面x ﹣3y +7＝0的法向量为a →=(1，−3，0)，平面4y +2z +1＝0的法向量为b →=(0，4，2)， 设两平面的交线l 的方向向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅a →=x −3y =0n →⋅b →=4y +2z =0，令x ＝3，则y ＝1，z ＝﹣2，所以n →=(3，1，−2)， 则直线l 与平面α所成角的大小为θ，sinθ=|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →||m →||n →|=2√14×√35=√1035．∴θ=arcsin √1035，故选：A ．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A 和B ，其中n （Ω）＝24，n （A ）＝12，n （B ）＝8，n （A ∪B ）＝16，下列运算结果，正确的有（ ）A ．n （AB ）＝4B ．P(AB)=16C ．P(A ∪B)=23D ．P(AB)=12解：对于A ，∵n （A ∪B ）＝n （A ）+n （B ）﹣n （AB ）， ∴n （AB ）＝n （A ）+n （B ）﹣n （A ∪B ）＝4．故A 正确； 对于B ，P(AB)=n(AB)n(Ω)=424=16，故B 正确； 对于C ，P(A ∪B)=n(A∪B)n(Ω)=1624=23，故C 正确； 对于D ，∵n(AB)=n(Ω)−n(A ∪B)=24−16=8， ∴P(AB)=n(AB)n(Ω)=824=13，故D 错误． 故选：ABC ．10．已知圆O ：x 2+y 2＝4，过点M （﹣1，0）直线l 与圆O 交于P ，Q 两点．下列说法正确的是（ ） A ．|PQ |的最小值为2√2B ．|PQ |的最大值为4C ．OP →⋅OQ →的最大值为﹣2D ．线段PQ 中点的轨迹为圆解：对于A ：当l ⊥x 轴时，PQ 最小，|PQ |min ＝2√4−|OM|2=2√4−1=2√3，故A 错误； 对于B ：当直线l 过圆心O 时，|PQ |最大，即|PQ |的最大值为直径4，故B 正确； 对于C ：当直线l 的斜率为0时，OP →⋅OQ →=2×2cos π＝﹣4，当直线l 的斜率不为0时，设l ：x ＝my ﹣1，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 联立{x =my −1x 2+y 2=4，得（m 2+1）y 2﹣2my ﹣3＝0，∴{y 1+y 2=2mm 2+1y 1y 2=−3m 2+1， OP →⋅OQ →=（m 2+1）y 1y 2﹣m （y 1+y 2）+1 ＝（m 2+1）×（−3m 2+1）﹣m ×2m m 2+1+1=−3(m 2+1)−2m 2m 2+1+1 =−4m 2−2m 2+1=−4(m 2+1)+2m 2+1=−4+2m 2+1， ∵m 2+1≥1，∴0＜2m 2+1≤2，∴﹣4＜﹣4+2m 2+1≤−2，∴OP →⋅OQ →∈[−4，−2]，∴OP →⋅OQ →的最大值为﹣2， 当且仅当m ＝0，即l ：x ＝﹣1时取等号，故C 正确；对于D ：设线段PQ 中点为N ，则MN ⊥ON ，则点N 在以MO 为直径的圆上，圆心为 (−12，0)，半径为12，则点N 的轨迹方程为(x +12)2+y 2=14，∴线段PQ 中点的轨迹为圆，故D 正确．故选：BCD ． 11．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是圆x 2+y 2＝a 2上且不在x 轴上的一点，△PF 1F 2的面积为b 2，设C 的离心率为e ，∠F 1PF 2＝θ，则（ ） A ．|PF 1|+|PF 2|＞2a B ．PF 1→⋅PF 2→=ab C ．e ∈[√5−12，1)D ．tan θ＝2解：如图所示，连接PF 1，PF 2，设PF 2交椭圆与Q ，则|QF 1|+|QF 2|＝2a ， 所以|PF 1|+|PF 2|＝|PF 1|+|PQ |+|QF 2|＞|QF 1|+|QF 2|＝2a ，故A 正确； 设P （a cos α，a sin α），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），所以PF 1→=(−c −acosα，−asinα)，PF 2→=(c −acosα，−asinα)， 所以PF 1→⋅PF 2→=a 2cos 2α−c 2+a 2sin 2α=a 2﹣c 2＝b 2＜ab ，故B 错误； 设P （x P ，y P ），则S △PF 1F 2=12|F 1F 2|⋅|y P |=|ac ⋅sinα|⩽ac ，又△PF 1F 2的面积为b 2，所以b 2≤ac ，即a 2﹣c 2≤ac ，所以e 2+e ﹣1≥0，又0＜e ＜1， 所以e ∈[√5−12，1），故C 正确； 由PF 1→⋅PF 2→=||PF 1→||PF 2→|cosθ=b 2S △PF 1F 2=12|PF 1→||PF 2→|sinθ=b 2， 两式作商可得tan θ＝2，故D 正确； 故选：ACD ．12．如图，棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱A 1D 1、AA 1的中点，G 为面对角线B 1C 上一个动点，则（ ）A ．三棱锥A 1﹣EFG 的体积为定值B ．线段B 1C 上存在点G ，使平面EFG ∥平面BDC 1C ．当CG →=34CB 1→时，直线EG 与BC 1所成角的余弦值为13D ．三棱锥A 1﹣EFG 的外接球半径的最大值为3√22解：对于A ，VA 1﹣EFG ＝VG ﹣A 1EF =13•12•1•1•2=13，所以A 正确；对于B ，若存在G ∈线段B 1C ，使平面EFG ∥平面BDC 1G ∈线段B 1C ，因为平面A 1B 1CD 交平面EFG 与平面BDC 1分别为NG 与DM ，于是NG ∥DM ，G 应在CB 1的延长线上，所以B 错； 对于C ，以在为原点建立如图所示的空间直角坐标系，当CG →=34CB 1→时，则G （32，2，32），E （1，0，2）B （2，2，0），C 1（0，2，2），所以EG →=（12，2，−12），BC 1→=（﹣2，0，2），所以cos ＜EG →，BC 1→＞=EG →⋅BC 1→|EG →|⋅|BC 1→|=−23√22×22=−13，所以直线EG 与BC 1所成角的余弦值为13，所以C 正确；对于D ，当G 在C 点时，三棱锥A 1﹣EFG 外接球半径最大，连接A 1D 交EF 于点N ，则N 为EF 的中点，因为三角形AEF 为直角三角形，所以外接球的球心在过点N 且垂直于面A 1EF 的直线NH 上，NH 与B 1C 交于H ，设球心为O ，如平面展开图，设半径OC ＝OA 1＝R ，因为A 1N =12EF =√22，A 1D ＝2√2，所以CH ＝DN =3√22， 所以ON =√OA 12−A 1N 2=√R 2−(22)2，OH =√OC 2−CH 2=√R 2−(322)2，由ON +OH ＝2，可得√R 2−(22)2+√R 2−(322)2=2，解得R =3√22，所以D 正确，故选：ACD ．三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．直线l 1：mx +2y ﹣3＝0与直线l 2：3x +（m ﹣1）y +m ﹣6＝0平行，则m ＝ ﹣2 ． 解：由l 1：mx +2y ﹣3＝0，得到l 1：y =−m2x +32，因为l 1∥l 2，所以m ﹣1≠0，由3x +（m ﹣1）y +m ﹣6＝0，得到y =−3m−1x −m−6m−1所以{−m2=−3m−132≠−m−6m−1，即{m 2−m −6=0m ≠3，解得m ＝﹣2． 故答案为：﹣2．14．圆P ：（x +3）2+（y ﹣4）2＝1关于直线x +y ﹣2＝0对称的圆Q 的方程是 （x +2）2+（y ﹣5）2＝1 ．解：圆p ：（x +3）2+（y ﹣4）2＝1，圆心（﹣3，4），半径1， 关于直线x +y ﹣2＝0对称的圆半径不变，设对称圆的圆心为（a ，b ），则{a−32+b+42−2=0b−4a+3=1，解得{a =−2b =5， 所求圆的标准方程为（x +2）2+（y ﹣5）2＝1． 故答案为：（x +2）2+（y ﹣5）2＝1．15．如图，在平行六面体中，AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝4，∠DAB ＝90°，∠DAA 1＝∠BAA 1＝60°，点M 为棱CC 1的中点，则线段AM 的长为 √15 ．解：如图，在平行六面体中，AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝4，∠DAB ＝90°， ∠DAA 1＝∠BAA 1＝60°，点M 为棱CC 1的中点， ∴AM →=AB →+BC →+CM →=AB →+AD →+12AA 1→，∴AM →2=（AB →+AD →+12AA 1→）2=AB →2+AD →2+14AA 1→2+2AB →⋅AD →+AB →⋅AA 1→+AD →⋅AA 1→ ＝4+1+14×42+2×2×2×0+2×4×12+1×4×12＝15，∴线段AM 的长为√15． 故答案为：√15．16．过椭圆x 236+y 227=1上一动点P 分别向圆C 1：（x +3）2+y 2＝4和圆C 2：（x ﹣3）2+y 2＝1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM |2+2|PN |2的取值范围为 [90，165] ． 解：根据题意可知椭圆x 236+y 227=1的左右焦点分别为圆心C 1（﹣3，0），C 2（3，0），∴|PM|2=|PC 1|2−4，|PN|2=|PC 2|2−1，且|PC 1|+|PC 2|＝2a ＝12， ∴设t ＝|PC 2|，则|PC 1|＝12﹣t ，且t ∈[a ﹣c ，a +c ]，即t ∈[3，9]， ∴|PM |2+2|PN |2＝（12﹣t ）2﹣4+2（t 2﹣1） ＝3t 2﹣24t +138＝3（t ﹣4）2+90，t ∈[3，9]， ∴当t ＝4时，|PM |2+2|PN |2取得最小值90； 当t ＝9时，|PM |2+2|PN |2取得最大值165， 故|PM |2+2|PN |2的取值范围为[90，165]． 故答案为：[90，165]．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）菱形ABCD 中，A （﹣4，7），C （2，﹣3），BC 边所在直线过点P （3，﹣1）．求： （1）AD 边所在直线的方程； （2）对角线BD 所在直线的方程． 解：（1）k BC =−1−(−3)3−2=2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2 ∴直线AD 方程为y ﹣7＝2（x +4），即2x ﹣y +15＝0 （2）k AC =−3−72−(−4)=−53∵菱形对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴k BD =35而AC 中点（﹣1，2），也是BD 的中点，∴直线BD 的方程为y ﹣2=35（x +1），即3x ﹣5y +13＝0．18．（12分）某校为了提高学生安全意识，利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛（满分150分），加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五组，并画出了其频率分布直方图．（1）根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的第80百分位数；（2）估计乙组20名同学成绩的平均分（同组中的每个数据用该组区间的中点值代表替）；（3）现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率．解析：（1）∵20×80%＝16，∴甲组20名同学成绩的第80百分位数为132+1342=133；（2）由频率分布直方图可知：乙组20名同学成绩的平均数分为：（105×0.010+115×0.020+125×0.025+135×0.030+145×0.015）×10＝127分； （3）甲组20名同学的成绩不低于140分的有2个，乙组20名同学的成绩不低于140分的有0.015×10×20＝3个， 记事件A 为“取出的2个成绩不是同一组”，任意选出2个成绩的所有样本点共C 52=10个， 其中两个成绩不是同一组的样本点共C 21⋅C 31=6个，∴P （A ）=610=35． 19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点． （1）求证：平面AEF ⊥平面PBC ．（2）试确定点F 的位置，使平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°．（1）证明：解法一：因为P A ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥BC ．因为ABCD 为正方形，所以AB ⊥BC ， 又因为P A ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面P AB ． 因为AE ⊂平面P AB ， 所以AE ⊥BC ．因为P A ＝AB ，E 为线段PB 的中点， 所以AE ⊥PB ， 又因为PB ∩BC ＝B ， 所以AE ⊥平面PBC ． 又因为AE ⊂平面AEF ， 所以平面AEF ⊥平面PBC ．解法二：因为P A ⊥底面ABCD ，P A ⊂平面P AB ， 所以平面P AB ⊥底面ABCD ，又平面P AB ∩底面ABCD ＝AB ，BC ⊥AB ，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面P AB ．因为AE ⊂平面P AB ，所以AE ⊥BC ．因为P A ＝AB ，E 为线段PB 的中点，所以AE ⊥PB ． 因为PB ∩BC ＝B ，所以AE ⊥平面PBC ． 又因为AE ⊂平面AEF ， 所以平面AEF ⊥平面PBC ．（2）因为P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，以A 为坐标原点，分别以AB →，AD →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A ﹣xyz ，设正方形ABCD 的边长为2，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2），E （1，0，1）， 所以AE →=(1，0，1)，PC →=(2，2，−2)，PD →=(0，2，−2)．设点F 的坐标为（2，λ，0）（0≤λ≤2），所以AF →=(2，λ，0)． 设n →=（x 1，y 1，z 1）为平面AEF 的法向量，则{n ⋅AE →=0，n →⋅AF →=0，所以{x 1+z 1=0，2x 1+λy 1=0，取y 1＝2，则n →=（﹣λ，2，λ）．设m →=（x 2，y 2，z 2）为平面PCD 的法向量，则{m →⋅PC →=0，m →⋅PD →=0，所以{x 2+y 2−z 2=0，y 2−z 2=0，取y 2＝1，则m →=（0，1，1）．因为平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°，所以|cos30°|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=|2+λ|√2⋅√2λ+4=√32，解得λ＝1，故当点F 为BC 中点时，平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°．20．（12分）已知点A （0，3），直线l ：y ＝2x ﹣4，又圆C 的半径为2，圆心C 在直线l 上． （1）若圆心C 又在x 轴上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2）若在圆C 上存在点M ，满足|MO |＝2|MA |，求圆心C 的横坐标的取值范围． 解：（1）因为圆C 在直线l ：y ＝2x ﹣4上，又在x 轴上， 则圆心C （2，0），又圆C 的半径为2， 故圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2＝4， 点A （0，3）不在圆C 上，当切线的斜率不存在时，切线方程为x ＝0，符合题意；当切线的斜率存在时，设切线方程为y ﹣3＝k （x ﹣0），即kx ﹣y +3＝0， 所以√k 2+1=2，解得k =−512， 故切线方程为−512x −y +3=0，即5x +12y ﹣36＝0． 综上所述，切线方程为x ＝0或5x +12y ﹣36＝0； （2）因为圆心C 在直线l ：y ＝2x ﹣4上， 设圆心C （a ，2a ﹣4），则圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣2a +4）2＝4， 设M （x ，y ）， 因为|MO |＝2|MA |，则√x 2+y 2=2√x 2+(y −3)2， 化简整理可得x 2+（y ﹣4）2＝4，所以点M 的轨迹为以D （0，4）为圆心，半径R ＝2的圆， 由题意可知，圆C 和圆D 有公共点，故2﹣2≤|CD |≤2+2，即0≤√a 2+(2a −4−4)2≤4，即5a 2﹣32a +48≤0， 解得125≤a ≤4，所以圆心C 的横坐标的取值范围为[125，4]． 21．（12分）甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时甲获胜的概率； （2）求乙最终以2分获胜的概率．解：（1）由题知，每局比赛中，甲获胜的概率为12，不获胜的概率为12，设事件A 为“第三局结束时甲获胜”，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况： （胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）， 所以P(A)=12×12×12+12×12×12=14； （2）由题知，每局比赛中，乙获胜的概率为13，平的概率为16，负的概率为12， 设事件B ＝“乙最终以2分获胜”，若第二局结束时乙获胜，则乙两局连胜，此时概率P 1=13×13=19，若第三局结束时乙获胜，则乙第三局必定获胜总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜），此时概率P 2=13×23×13+23×13×13=427，若第四局结束时，乙以2分获胜，则乙第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平 胜），（平，胜，负，胜），（平，负，胜，胜），（负，胜，平，胜），（负，平，胜，胜），此时概率P 3=13×16×16×13×3+13×16×12×13×6=7108， 所以P(B)=P 1+P 2+P 3=19+427+7108=35108． 22．（12分）已知定点P(√3，0)，圆Q ：(x +√3)2+y 2=16，N 为圆Q 上的动点，线段NP 的垂直平分线和半径NQ 相交于点M ． （1）求点M 的轨洂Γ的方程；（2）直线l ：x ＝ky +n 与曲线Γ相交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆经过点C （2，0），求△ABC 面积的最大值．解：（1）因为N 为圆Q 上的动点，线段NP 的垂直平分线和半径NQ 相交于点M ，所以由线段垂直平分线的性质可得：|MP |＝|MN |，所以|MQ|+|MP|=|MQ|+|MN|=4＞|PQ|=2√3， 故点M 的轨迹是以P 、Q 为焦点的椭圆．其中a ＝2，c =√3， ∴b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣3＝1， 故点M 的轨迹Γ的方程为x 24+y 2=1．（2）由题意，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x 24+y 2=1x =ky +n，整理可得：（4+k 2）y 2+2kny +n 2﹣4＝0，所以Δ＝4k 2n 2﹣4（k 2+4）（n 2﹣4）＝16k 2﹣16n 2+64＞0， y 1+y 2=−2kn 4+k2，y 1y 2=n 2−44+k2，因为以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C （2，0），所以CA →⋅CB →=0， 由CA →=(x 1−2，y 1)，CB →=(x 2−2，y 2)， 则（x 1﹣2）（x 2﹣2）+y 1y 2＝0． 将x 1＝ky 1+n ，x 2＝ky 2+n代入上式并整理得(1+k 2)y 1y 2+k(n −2)(y 1+y 2)+(n −2)2=0， 则(1+k 2)(n 2−4)4+k 2+−2k 2n(n−2)4+k 2+(n −2)2=0，化简可得（5n ﹣6）（n ﹣2）＝0，解得：n =65，或n ＝2， 因为直线x ＝ky +n 不过点C （2，0），所以n ≠2，故n =65，所以直线l 恒过点D(65，0)．故S △ABC=12|DC||y 1−y 2|=12(2−65)√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=25√(−125k 4+k 2)2−4(3625−4)4+k2 =825√25(4+k 2)−36(4+k 2)2， 设t =14+k2(0＜t≤14)，则S △ABC =825√−36t 2+25t 在t ∈(0，14]上单调递增， 当t =14时，S △ABC =825√−36×116+25×14=1625， 所以△ABC 的面积的最大值为1625．。
2023宜昌市数学七年级上册期中试卷
2023宜昌市数学七年级上册期中试卷一、选择题1．3-的倒数是（ ） A ．13B ．13-C ．3D ．12．精确到万位，并用科学记数法表示5109500≈________． 3．下列运算正确的是（ ） A ．235x x B ．2()x x -= C ．23()x x x -+=D ．22(1)21x x x -+=-+4．()()2x m x +-的积中x 的一次项系数为零，则m 的值是（ ） A ．1B ．－1C ．－2D ．25．如图所示是一个数值转换机，若输入数2x =-，则输出结果是（ ）．A ．13-B ．0C ．13D ．16．已知381P ax x =-+，23Q x ax =--，无论x 取何值时，329P Q -=恒成立，则a 的值为（ ） A ．3-B ．2-C ．0D ．27．如果在数轴上表示a ，b 两个有理数的点的位置如图所示，那么a b a b --+化简的结果为（ ）A ．2aB ．2a -C ．0D ．2b8．若符号“*”是新规定的某种运算符号，设x y xy x y *=--，则()23-*的值为（ ） A ．1B ．-1C ．5D ．-79．将一根绳子对折1次后从中间剪一刀，绳子变成3段；将一根绳子对折2次后从中间剪一刀，绳子变成5段,…将一根绳子对折n 次后从中间剪一刀，绳子变成的段数是（ ） A ．2n +B ．21nC ．21n +D ．21n +10．记S n ＝a 1+a 2+…+a n ，令T n ＝12nS S S n+++，称T n 为a 1，a 2，…，a n 这列数的“神秘数”．已知a 1，a 2，…，a 500的“神秘数”为1503，那么6，a 1，a 2，…，a 500的“神秘数”为（ ） A ．1504B ．1506C ．1508D ．1510二、填空题11．某天杭州市天气预报显示：我市的最高气温是零上5℃，最低气温是零下2℃我们把零上5℃记为+5℃，那么零下2℃可记为______℃．12．单项式23xy 的系数是__________、次数是__________．13．利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 输入 … 1 2 3 4 5 … 输出…1225- 310417- 526…当输入数据是n 时，输出的数据是_____．14．东华初级中学教工宿舍为了鼓励教师节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20立方米时，按1.8元/立方米计费；月用水量超过20立方米时，其中的20立方米仍按1.8元/立方米收费，超过部分按2.6元/立方米计费．某教师最近三个月用水量如下表：月份 8月份 9月份 10月份 用水量1225x (x >20)8月份水费为________元；9月份水费为_______元；10月份(x >20)水费为______元；(用x 的式子表示)15．现有五种说法：①几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；②37.5666（精确到0.001）37.567≈；③用“⊕”和“”定义两种新运算，对于任意的有理数a ，b 都有2a b a b ⊕=+，2ab a b =⨯-，则()123⊕的值为5；④当x x =-时，0x ≤．⑤若3m =，7n =，且0mn >，则10m n +=．其中正确的说法是______．（填序号） 16．有理数a 、b 在数轴上的对应点位置如图所示，下列式子： ①a ˃b -；②a ﹣b ＜0；③a a b b --=-；④a ˃a b -． 其中正确的是_________．（填写正确的序号）17．如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母A ，B ，C ，D ，先让正方形上的顶点A 与数轴上的数-2所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数200将与正方形上的字母________重合．18．已知21(1,2,3,)(1)n a n n ==+，则()1121b a =-，()()212211b a a =--，()()()122111n n b a a a =---，则2021b =_____．三、解答题19．在数轴上把下列各数表示出来，并用 “＜” 连接各数 .2019(1)-, | 2.5|--， 2(2)-，0，122⎛⎫-- ⎪⎝⎭20．有理数计算： (1)20357-++- (2)11112426⎛⎫-+⨯ ⎪⎝⎭(3)2108(2)(4)(3)-+÷---⨯-21．先化简，再求值：()()()2a b a b a b +---，其中12a =，1b =-． 22．计算：（1）x 2y ﹣3x 2y ﹣6xy+5xy+2x 2y ； （2）4a 3﹣（7ab ﹣1）+2（3ab ﹣2a 3）23．某路公交车从起点经过A ，B ，C ，D 站到达终点，一路上下乘客如下表所示．（用正数表示上车的人数，负数表示下车的人数）起点 A B C D 终点 上车人数 16 15 12 7 8 0下车人数-3-4-10-11（1）到终点下车还有多少 人；（2）车行驶在____站至___ 站之间时，车上的乘客最多；（3）若每人乘坐一站需买票0.5元，问该车出车一次能收入多少钱？列式计算． 24．如图，四边形ABCD 和ECGF 都是正方形，边长分别为a 和6．（1）写出表示阴影部分面积的代数式；（结果要求化简） （2）当a ＝3.5时，求阴影部分的面积． 25．观察下列等式： 第1个等式：a 1＝114⨯＝13×（11﹣14）； 第2个等式：a 2＝147⨯＝13×（14﹣17）； 第3个等式：a 3＝1710⨯＝13×（11710-）； 第4个等式：a 4＝11013⨯＝13×（111013-）； …请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a 5＝ ＝ ；第n （n 为正整数）个等式：a n ＝ ＝ ；（2）求a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100的值；（3）数学符号1nx =∑f （x ）＝f （1）+f （2）+f （3）+…+f （n ），试求10x=13(3)x x +∑的值． 二26．如图，在数轴上A 点表示数a ，B 点表示数b ，C 点表示数c ，其中39a c ==、．若点A 与点B 之间的距离表示为ABa b ，点B 与点C 之间的距离表示为BC b c =-，点B在点A C 、之间，且满足2BC AB = ．（1）b = ；（2）若点M N 、分别从A 、C 同时出发，相向而行，点M 的速度是1个单位/秒，点N 的速度是2个单位秒，经过多久后M N 、相遇．（3）动点M 从A 点位置出发，沿数轴以每秒1个单位的速度向终点C 运动，设运动时间为t 秒，当点M 运动到B 点时，点N 从A 点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向C 点运动，N 点到达C 点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A ，问：在点N 开始运动后，M N 、两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出运动的时间t 的值以及此时对应的M 点所表示的数；如果不能，请说明理由．【参考答案】一、选择题 1．B 解析：B 【分析】乘积是1的两个数叫做互为倒数，求分数的倒数把分子和分母调换位置即可．据此解答． 【详解】3-的倒数为13-故选B 【点睛】此题考查的目的是理解倒数的意义，掌握求一个数的倒数的方法．2．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数，且比原数的整数位少一位；取精确度时，需要精确到哪位就数到哪位，然后根据四舍五入的原理进行取舍． 【详解】 ，故答案为：．此题主 解析：65.1110⨯【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，且比原数的整数位少一位；取精确度时，需要精确到哪位就数到哪位，然后根据四舍五入的原理进行取舍． 【详解】665109500 5.109510 5.1110=⨯≈⨯， 故答案为：65.1110⨯． 【点睛】此题主要考查了科学记数法与有效数字，注意对一个数进行四舍五入时，若要求近似到个位以前的数位时，首先要对这个数用科学记数法表示． 3．D 【分析】根据相应运算的基本法则逐一计算判断即可 【详解】 ∵()236x x -=,∴A 计算错误;∵||x ,∴B 计算错误; ∵2()x -+x 无法运算, ∴C 计算错误; ∵22(1)21x x x -+=-+, ∴D 计算错误; 故选D ． 【点睛】本题考查了幂的乘方，二次根式的化简，完全平方公式，熟练掌握各类公式的计算法则是解题的关键． 4．D 【分析】将代数式写成多项式的形式，根据x 的一次项系数为零即可求得m 【详解】()()2x m x +-222x x mx m =-+- 2(2)2x m x m =+--x 的一次项系数为零20m ∴-=故答案为D 【点睛】本题考查了多项式的乘法运算，多项式的项，次数，理解多项式的项是解题的关键． 5．A 【分析】根据题意，输入2x =-，计算-2的平方得到4，再计算与5的差为-1，最后除以3，据此解题即可． 【详解】()()212534533⎡⎤--÷=-÷=-⎣⎦． 故选A ． 【点睛】本题考查程序流程图与有理数的混合运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．6．D 【分析】根据题意可以得到关于a 的等式，从而可以求得a 的值，本题得以解决． 【详解】解：∵P=3ax-8x+1，Q=x-2ax-3，无论x 取何值时，3P-2Q=9恒成立， ∴3P-2Q =3（解析：D 【分析】根据题意可以得到关于a 的等式，从而可以求得a 的值，本题得以解决． 【详解】解：∵P =3ax -8x +1，Q =x -2ax -3，无论x 取何值时，3P -2Q =9恒成立， ∴3P -2Q=3（3ax -8x +1）-2（x -2ax -3） =9ax -24x +3-2x +4ax +6 =13ax -26x +9 =（13a -26）x +9 =9， ∴13a -26=0， 解得，a =2， 故选：D ． 【点睛】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式的加减的计算方法．7．D 【分析】根据点在数轴的位置可得且，故，化简即可． 【详解】解：根据点在数轴上的位置可得且， ∴， 故选：D ． 【点睛】本题考查数轴、绝对值的性质，根据点在数轴上的位置确定出且是解题的关键．解析：D 【分析】根据点在数轴的位置可得0a b <<且a b >，故()()a b a b a b a b --+=--++，化简即可． 【详解】解：根据点在数轴上的位置可得0a b <<且a b >， ∴()()2a b a b a b a b b --+=--++=， 故选：D ． 【点睛】本题考查数轴、绝对值的性质，根据点在数轴上的位置确定出0a b <<且a b >是解题的关键．8．D 【解析】 【分析】根据新规定的的方法进行计算; 【详解】 =. 故选D. 【点睛】考查了有理数的运算，解题关键是根据题意找出新运算的计算方法，再根据新运算计算解答．解析：D 【解析】 【分析】根据新规定的*x y xy x y =--的方法进行计算;【详解】()2*3-⨯---=-+-=-.-=23(2)36237故选D.【点睛】考查了有理数的运算，解题关键是根据题意找出新运算的计算方法，再根据新运算计算解答．9．D【分析】分析可得：将一根绳子对折1次从中间剪断，绳子变成3段；有21+1=3．将一根绳子对折2次，从中间剪断，绳子变成5段；有22+1=5．依此类推，将一根绳子对折n次，从中间剪一刀全部剪断后解析：D【分析】分析可得：将一根绳子对折1次从中间剪断，绳子变成3段；有21+1=3．将一根绳子对折2次，从中间剪断，绳子变成5段；有22+1=5．依此类推，将一根绳子对折n次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成2n+1段．【详解】∵对折1次从中间剪断，有21+1=3；对折2次，从中间剪断，有22+1=5，∴对折n次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成2n+1段．故选D．【点睛】本题考查了图形的变化类，培养学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．10．B【分析】先根据已知求出T500的值，再设出新的理想数为Tx，列出式子，把得数代入，即可求出结果．【详解】∵Tn＝，∴n×Tn＝（S1+S2+…+Sn），∵a1，a2，…，a500的“神解析：B【分析】先根据已知求出T500的值，再设出新的理想数为T x，列出式子，把得数代入，即可求出结果．【详解】∵T n ＝12nS S S n+++，∴n×T n ＝（S 1+S 2+…+S n ），∵a 1，a 2，…，a 500的“神秘数”为1503， ∴T 500＝1503设6，a 1，a 2，…，a 500的“神秘数”为T x ， 则501×T x ＝6×501+500×T 500， ∴T x ＝（6×501+500×T 500）÷501 ＝65015001503501⨯+⨯＝6+500×3 ＝1506， 故选B ． 【点睛】此题考查了数字的变化类，解题的关键是掌握“神秘数”这个新概念，找出其中的规律，再根据新概念对要求的式子进行变形整理即可．二、填空题 11．-2 【分析】气温零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可． 【详解】解：∵零上5℃记为+5℃， ∴零下2℃应记为-2℃． 故答案为：-2． 【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表解析：-2 【分析】气温零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可． 【详解】解：∵零上5℃记为+5℃， ∴零下2℃应记为-2℃． 故答案为：-2． 【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．12．【解析】解：的系数是，的次数是所有字母的指数和是．故答案为：，3．解析：13【解析】解：23xy 的系数是13，23xy 的次数是所有字母的指数和是123+=．故答案为：13，3．13．【分析】根据表格给出的已知数据，得出一般规律即可求解． 【详解】解：根据已知数据得出规律：输出数字的分母是输入数字的平方加1，分子是输出数字，输入数字为偶数，则输出数字为负数，输入数字为奇数， 解析：()1211n n n +-+ 【分析】根据表格给出的已知数据，得出一般规律即可求解． 【详解】解：根据已知数据得出规律：输出数字的分母是输入数字的平方加1，分子是输出数字，输入数字为偶数，则输出数字为负数，输入数字为奇数，则输出数字为正数． 当输入数据为n 时，输出数据为()1211n nn +-+， 故答案为：()1211n nn +-+． 【点睛】本题主要考查的是找规律，通过给出的已知数据推断出一般规律，正确的找出其中规律是解题的关键．14．6 49 2.6x-16 【分析】利用已知月用水量不超过20立方米时，按1.8元/立方米计费；月用水量超过20立方米时，其中的20立方米仍按1.8元/立方米收费，超过部分按2.解析：6 49 2.6x-16 【分析】利用已知月用水量不超过20立方米时，按1.8元/立方米计费；月用水量超过20立方米时，其中的20立方米仍按1.8元/立方米收费，超过部分按2.6元/立方米计费，进而求出即可． 【详解】解：8月份水费为12×1.8=21.6元；9月份水费为20×1.8+（25-20）×2.6=49元；10月份（x ＞20）水费为20×1.8+2.6（x-20）=2.6x-16（元）， 故答案为：21.6；49；2.6x-16． 【点睛】此题主要考查了列代数式，利用题意得出代数式是解题关键．15．②④【分析】①利用有理数乘法法则进行判断；②根据近似值的取值方法时进行判断；③根据定义的新运算法则计算结果进行判断；④⑤根据绝对值的代数意义进行判断．【详解】解：①几个有理数相乘，当负因数有解析：②④【分析】①利用有理数乘法法则进行判断；②根据近似值的取值方法时进行判断；③根据定义的新运算法则计算结果进行判断；④⑤根据绝对值的代数意义进行判断．【详解】解：①几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负，当其中一个有理数是0时，积为0，此项错误；②37.5666（精确到0.001）≈37.567，此项正确；③()()123=1+223=53=53213⊕⨯⨯-=，此项错误；④由于正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，所以当x x =-时，0x ≤，此项正确；⑤若3,7m n ==，且mn ＞0，则m ＝3，n ＝7或m ＝－3，n ＝－7，所以m ＋n ＝10或 －10，此项错误．故答案为：②④【点睛】本题考查了有理数的乘法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键．16．②③【分析】结合图形得到a ＜0＜b 且|a|＞|b|，由此对题中的四个式子进行判断．【详解】①如图所示：a ＜0＜b 且|a|＞|b|，则a ＜﹣b ，故①错误．②如图所示：a ＜0＜b 且|a|＞|b解析：②③【分析】结合图形得到a ＜0＜b 且|a |＞|b |，由此对题中的四个式子进行判断．【详解】①如图所示：a ＜0＜b 且|a |＞|b |，则a ＜﹣b ，故①错误．②如图所示：a ＜0＜b 且|a |＞|b |，则a ﹣b ＜0，故②正确．③如图所示：a ＜0＜b 且|a |＞|b |，则|a |﹣|a ﹣b |=﹣a +a ﹣b =﹣b ，故③正确． ④如图所示：a ＜0＜b 且|a |＞|b |，则|a |＜|a ﹣b |，故④错误．故答案为：②③．【点睛】本题考查了有理数的混合运算和数轴的相关知识；用到的知识点为：数轴上左边的数比右边的数小；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号．17．C【分析】正方形滚动一周的周长为4，从-2到200共滚动202，由202÷4=50…2，即可作出判断．【详解】解：∵正方形边长为1，∴正方形的周长为4，∴正方形滚动一周的长度为4，∵正解析：C【分析】正方形滚动一周的周长为4，从-2到200共滚动202，由202÷4=50…2，即可作出判断．【详解】解：∵正方形边长为1，∴正方形的周长为4，∴正方形滚动一周的长度为4，∵正方形起点在-2处，∴200+2=202，∵202÷4=50…2，∴数轴上的数200将与正方形上的C点重合；故答案为：C．【点睛】本题考查了实数与数轴；根据正方形的特点，找到循环规律：4个单位长度正方形滚动一周是解题的关键．18．【分析】根据随给公式找出bn的规律进行计算．【详解】解：n＝1时a1＝，b1＝2（1−a1）＝，n＝2时，a2＝，b2＝2（1−a1）（1−a2）＝，n＝3时，a3＝，b3＝2（1−a1解析：2023 2022根据随给公式找出b n 的规律进行计算．【详解】解：n ＝1时a 1＝14，b 1＝2（1−a 1）＝32， n ＝2时，a 2＝19，b 2＝2（1−a 1）（1−a 2）＝43， n ＝3时，a 3＝116，b 3＝2（1−a 1）（1−a 2）（1−a 3）＝54，…， b n ＝21n n ++， ∴2021b =20232022． 故答案为：20232022． 【点睛】本题考查数字的变化规律，解题关键是通过题干所给算式找出b n 的规律．三、解答题19．见解析，＜＜0＜＜.【分析】首先化简各数，进而在数轴上表示出来，即可得出大小关系．【详解】解：∵=-1，=-2.5，=4，==2.5，∴用数轴表示为：，∴用“＜”连接各数为：＜＜0＜＜解析：见解析，| 2.5|--＜2019(1)-＜0＜122⎛⎫-- ⎪⎝⎭＜2(2)-. 【分析】首先化简各数，进而在数轴上表示出来，即可得出大小关系．【详解】解：∵2019(1)-=-1，| 2.5|--=-2.5，2(2)-=4，122⎛⎫-- ⎪⎝⎭=122=2.5， ∴用数轴表示为：，∴用“＜”连接各数为：| 2.5|--＜2019(1)-＜0＜122⎛⎫-- ⎪⎝⎭＜2(2)-．本题考查有理数的大小比较，以及在数轴上表示数的方法，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键．20．(1)-19;(2) ) -1;(3) -20【分析】(1)按照有理数加减法进行计算即可；（2）根据乘法的分配律进行计算即可；【详解】解：(1)原式=(2) )原式===-1(3解析：(1)-19;(2) ) -1;(3) -20【分析】(1)按照有理数加减法进行计算即可；（2）根据乘法的分配律进行计算即可；【详解】解：(1)原式=20735=-27+8=-19--++(2) )原式=111121212 426⨯-⨯+⨯=362-+=-1(3) 原式=108412-+÷-=10212-+-=-20【点睛】本题考查了有理数的加减乘除运算，掌握运算法则是解题的关键.21．；【分析】先利用平方差公式和完全平方公式将式子化简，然后代值计算即可.【详解】解：当，时原式.【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，解题的关键在于能够熟解析：222ab b -；3-【分析】先利用平方差公式和完全平方公式将式子化简，然后代值计算即可.【详解】解：()()()2a b a b a b +--- ()22222a b a ab b =---+22222a b a ab b =--+-222ab b =- 当12a =-，1b =时原式21212132⎛⎫=⨯-⨯-⨯=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.22．（1）﹣xy ；（2）﹣ab+1．【分析】（1）直接合并同类项即可得出答案；（2）直接去括号进而合并同类项即可得出答案．【详解】解：（1）原式＝（x2y ﹣3x2y+2x2y ）+（﹣6xy+5解析：（1）﹣xy ；（2）﹣ab+1．【分析】（1）直接合并同类项即可得出答案；（2）直接去括号进而合并同类项即可得出答案．【详解】解：（1）原式＝（x 2y ﹣3x 2y+2x 2y ）+（﹣6xy+5xy ）＝﹣xy ；（2）原式＝4a 3﹣7ab+1+6ab ﹣4a 3＝﹣ab+1．【点睛】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．23．（1）30；（2）B ，C ；（3）71.5元．【分析】（1）根据正负数的意义，上车为正数，下车为负数，求出A 、B 、C 、D 站以及终点站的人数，即可得解；（2）根据（1）的计算解答即可；（3）根据解析：（1）30；（2）B ，C ；（3）71.5元．【分析】（1）根据正负数的意义，上车为正数，下车为负数，求出A、B、C、D站以及终点站的人数，即可得解；（2）根据（1）的计算解答即可；（3）根据各站之间的人数，乘票价0.5元，然后计算即可得解．【详解】解：（1）根据题意可得：到终点前，车上有16+15-3+12-4+7-10+8-11=30，即30人；故到终点下车还有30人．故答案为：30；（2）根据图表：A站人数为：16+15-3=28（人）B站人数为：28+12-4=36（人）C站人数为：36+7-10=33（人）D站人数为：33+8-11=30（人）易知B和C之间人数最多．故答案为：B；C；（3）根据题意：（16+28+36+33+30）×0.5=71.5（元）．答：该出车一次能收入71.5元．【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的混合运算，读懂图表信息，求出各站点上的人数是解题的关键．24．（1）－3a＋18 ；（2）【分析】（1）阴影部分面积可视为大小正方形减去空白部分（即△ABD和△BFG），把对应的三角形面积代入即可得S=-3a+18；（2）直接把a=3.5代入（1）中可求解析：（1）22a－3a＋18 ；（2）1098【分析】（1）阴影部分面积可视为大小正方形减去空白部分（即△ABD和△BFG），把对应的三角形面积代入即可得S=22a-3a+18；（2）直接把a=3.5代入（1）中可求出阴影部分的面积．【详解】（1）S=a2+62-22a-12（a+6）×6=a2+62-12a2-12a×6-12×62=12a2-3a+18．（2）当a=3.5时，S=12×3.52-3×3.5+18=1098． 【点睛】本题考查列代数式．要求对图形间的关系准确把握，找到阴影部分的面积是哪些规则图形的面积差是解题的关键．在考查代数式的同时也考查了学生的读图能力，培养了思维的缜密性和数形结合能力．25．（1），×（）；，×（）；（2）；（3）【分析】（1）根据题干中的规律可得第5个等式，再总结规律可得的值等于和的差再乘以；（2）将a1+a2+a3+a4+…+a100用各自的算式替换，再根据解析：（1）11316⨯，13×（111316-）；1(32)(31)n n -+，13×（113231n n --+）； （2）100301；（3）905572【分析】 （1）根据题干中的规律可得第5个等式，再总结规律可得1(32)(31)n n -+的值等于132n -和131n +的差再乘以13； （2）将a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100用各自的算式替换，再根据（1）中归纳的等式进行拆项计算；（3）依据数学符号1n x =∑的概念，可得10x=13(3)x x +∑对应的算式，再利用前两问得到的拆项算法计算即可.【详解】解：（1）按以上规律知第5个等式为a 5＝11316⨯＝13×（111316-）， 第n 个等式a n ＝1(32)(31)n n -+＝13×（113231n n --+） （2）a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100 ＝114⨯+ 147⨯+ 1710⨯+…+ 1(31002)(31001)⨯-⨯⨯+ ＝13×（1﹣14）+13×（1147-）+ 13×（11710-）+…+13×（11298301-） ＝13×（1﹣111447+-+ 11710-+…+11298301-） ＝13×（1﹣1301）＝13×300301＝100301； （3）()10x=133x x +∑ ＝314⨯+ 325⨯+ 336⨯+…+11013⨯. ＝3×（111142536++⨯⨯⨯+…+11013⨯） ＝3×[13×（1﹣ 14 ）+ 13×（1125-）+13×（1136-）+…+13×（111013-）] ＝1﹣14+ 12﹣15+ 13﹣16+ 14﹣17+ 15﹣18+ 16﹣19 + 17﹣11018+﹣ 111 +11912-+111013- ＝1+ 12 + 13﹣111﹣112﹣113＝905572． 【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，理解拆分数字的变化，利用变化的规律解决问题．二26．（1）5；（2）2秒；（3）当t 的值为6或2时，M 、N 两点之间的距离为2个单位，此时点M 表示的数为5或9．【分析】（1）用b 表示BC 、AB 的长度，结合BC=2AB 可求出b 值；（2）根据相遇时间解析：（1）5；（2）2秒；（3）当t 的值为6或2时，M 、N 两点之间的距离为2个单位，此时点M 表示的数为5或9．【分析】（1）用b 表示BC 、AB 的长度，结合BC=2AB 可求出b 值；（2）根据相遇时间=相遇路程÷速度和，即可得出结论；（3）用含t 的代数式表示出点M ，N 表示的数，结合MN=2，即可得出关于t 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）∵39a c ==、．又∵点B 在点A 、C 之间，且满足BC=2AB ，∴9-b=2（b-3），∴b=5．（2）AC=9-3=66÷（2+1）=2，即两秒后相遇．（3）M 到达B 点时t=（5-3）÷1=2（秒）；M 到达C 点时t=（9-3）÷1=6（秒）；N 到达C 时t=（9-3）÷2+2=5（秒）N 回到A 点用时t=（9-3）÷2×2+2=8（秒）当0≤t≤5时，N 没有到达C 点之前，此时点N 表示的数为3+2（t-2）=2t-1；M 表示的数为3+t MN=21(3)4t t t --+=-=2解得6t = （舍去）或2t =此时M 表示的数为5当5≤t≤6时，N 从C 点返回，M 还没有到达终点C点N 表示的数为9-2（t-5）=-2t+19；M 表示的数为3+t MN=219(3)316t t t -+-+=-=2解得6t =或143t =（舍去） 此时M 表示的数为9当6≤t≤8时，N 从C 点返回，M 到达终点C此时M 表示的数是9点N 表示的数为9-2（t-5）=-2t+19；MN=9(219)210t t --+=-=2解得6t =此时M 表示的数是9综上所述：当t 的值为6或2时，M 、N 两点之间的距离为2个单位，此时点M 表示的数为5或9．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离以及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．。
湖北省宜昌市夷陵区2023-2024学年九年级下学期期中数学试题(解析版)
2024年中考适应性训练九年级数学试题（满分：120分 时限：120分钟）一、选择题（在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填写符合要求的选项前面的字母，本大题共10小题，每题3分，计30分）1. 以下四个数中，最小的数是（ ）A. B. 0C. 2D. 【答案】D 【解析】【分析】本题考查的是有理数的大小比较，熟知正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解答此题的关键．【详解】解：，∴最小的数为，故选D ．2. 如图，神奇自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为．这体现了数学中的（）A. 平移B. 中心对称C. 轴对称D. 黄金分割【答案】D 【解析】【分析】本题考查了黄金分割的定义，解题的关键是掌握黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体，约等于．【详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618，这体现了数学中的黄金分割，故选：D ．3. 已知的半径为5，点P 在内，则的长可能是（ ）A. 7 B. 6C. 5D. 4【答案】D的2-4-4202-<-<<4-0.6180.618O O OP【解析】【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．【详解】解：∵的半径为5，点P 在内，∴．故选：D ．4. 中华鲟是地球上最古老的脊椎动物之一，距今约有140000000年的历史，是国家一级保护动物和长江珍稀特有鱼类保护的旗舰型物种．3月28日是中华鲟保护日，有关部门进行放流活动，实现鱼类物种的延续并对野生资源形成持续补充．将140000000用科学记数法表示应为（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】本题考查科学记数法表示较大数，将一个数表示为的形式，其中，n 为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【详解】解：，故选：C ．5. 下列运算正确的是（ ）A.B. C.D.【答案】D 【解析】，），），合并同类二次根式，据此进行计算即可．【详解】解：A，结论错误，不符合题意；B ．，结论错误，不符合题意；C，结论错误，不符合题意；D，结论正确，符合题意；故选：D ．的O O 5OP <71410⨯90.1410⨯81.410⨯91.410⨯10n a ⨯110a ≤<8140000000 1.410=⨯5=±1-=9÷=6==0a ≥0b ≥()()()0000a a a a a a ⎧>⎪===⎨⎪-<⎩=0a ≥0b >5=3==6===【点睛】本题考查了二次根式运算，掌握公式是解题的关键．6. 如图，在中，于D ，如果和的面积比为，那么的长是（ ）A. 8B. 12C. 16D. 4【答案】C 【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，先证明，根据相似三角形的性质求出．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵和的面积比为，∴，∵，∴．故选：C ．7. 如图，在中，，将绕顶点C 顺时针方向旋转至的位置，且A ，C ，三点在同一条直线上，则点A 所经过的最短路线的长为（ ）Rt ABC △90ABC BD AC ∠=︒⊥，BCD △ABD △9:1612CD =，BD ABD BCD ∽ BD 90ABC ∠=︒90ABD CBD ∠+∠=︒BD AC ⊥9090ABD A ADB BDC ∠+∠=︒∠=∠=︒，CBD A ∠=∠ABD BCD ∽ BD ADCD BD=BCD △ABD △916：43BD CD =12CD =16BD =ABC 90304cm B A AC ∠=︒∠=︒=，，ABC A B C ''△B 'cmA.B.C. D. 【答案】B 【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，弧长的计算，直角三角形的两锐角互余的性质，根据直角三角形两锐角互余求出的度数，然后求出旋转角，再根据弧长公式列式进行计算即可得解．【详解】解：∵，∴，∵绕顶点C 顺时针方向旋转至的位置，∴，∴旋转角，又∵，∴点A 所经过的最短路线的长．故选：B ．8. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，先利用根与系数的关系分别得到和的值，整体代入即可．【详解】根据根与系数的关系得：，所以故选：A ．9. 如图，在中，，以点A 为圆心，以的长为半径作弧交于点43π83π4π2πACB ∠ACA ∠'9030B A ∠=︒∠=︒，90903060ACB A ∠=-∠=-︒=︒︒︒ABC A B C ''' 60A CB ACB ''∠=∠=︒180********ACA A CB '''∠=︒-∠=︒-︒=︒4cm AC =12048cm 1803ππ⋅==x 2210x x +-=1x 2x 1212x x x x ++⋅3-1-2-012,x x ()200ax bx c a ++=≠1212,·b cx x x x a a+=-=12x x +12·x x 122x x +=-12·1x x =-()1212213x x x x ++⋅=-+-=-ABC 9030ABC C ∠=︒∠=︒，AB ACD ，连接，再分别以点B ，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线交于点E ，连接，则下列结论中不正确的是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可以判断①的正确；利用等边三角形的性质结合①的结论和等腰三角形的三线合一的性质可以判断②正确；利用直有三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半判断③的正确；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断④的错误．【详解】解：由题意得：，为的平分线，，，，为等边三角形，为的垂直平分线，，故A 的结论正确；为等边三角形，，，，，，，．，，，，BD 12BD AP BC DE BE DE =AE CE =2CE BE=EDC ABC S S =△△AB AD =AP BAC ∠90ABC ∠=︒ 30C ∠=︒60BAC ∴∠=︒ABD ∴ AP ∴BD BE DE ∴=ABD 60ABD ∴∠=︒60ADB ∠=︒30DBE ∴∠=︒BE DE = 30EDB EBD ∴∠=∠=︒90ADE ADB EDB ∴∠=∠+∠=︒DE AC ∴⊥90ABC ∠=︒ 30C ∠=︒2AC AB ∴=AB AD =，垂直平分线段，，故B 的结论正确；中，，，，，故C 的结论正确．，，，，，，故D 的结论错误；故选：D ．【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，角平分线，线段垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．10. 已知抛物线是常数且经过，下列四个结论：①若此抛物线顶点在第四象限，则；②若抛物线经过，则对称轴为直线；③若二次函数的图象与x 轴只有一个公共点，则；④若，此抛物线与x 轴交于两点，当时，有．其中正确的结论是（ ）A. ①② B. ①②③C. ①②④D. ①③④【答案】C 【解析】AD CD ∴=DE ∴AC AE CE ∴=Rt CDE 30C ∠=︒2CE DE ∴=BE DE = 2CE BE ∴=90EDC ABC ∠=∠=︒ C C ∠=∠CDE CBA ∴ ∽∴2(CDE CBA S DE S AB∆∆== AD AB ∴tan tan 30DE DE DAE AB AD==∠=︒=∴21(3CDE CBA S DE S AB ∆∆==30︒30︒2(,,y ax bx c a b c =++0)a ≠()10-，0a >()30，1x =2y cx bx a =++0a c +=2b a =-()()120,0A x B x ，，121x -<<-234x <<【分析】本题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，把点代入解析式得出，再根据抛物线顶点在第四象限得出；根据抛物线经过，，得出对称轴；根据函数的图象与x 轴只有一个公共点可得，再根据得出；根据二次函数的对称性，即可判断．【详解】解：①把点代入，得，∴，∵此抛物线顶点在第四象限，∴，∴，故①正确；②∵抛物线经过，，∴抛物线对称轴为直线，故②正确；③当时，∵函数的图象与x 轴只有一个公共点，∴，∵，∴，即，∴；故③错误；④∵，∴，∴二次函数的图象关于直线对称，与x 轴交于两点，且，∴，故④正确；()10-，b ac =+0a >()30，()10-，2y cx bx a =++Δ0=b a c =+a c =()10-，2y ax bx c =++0a b c -+=b a c =+()()222440444ac a c a c ac b a a a-+---==<0a >()30，()10-，3112x -==0c ≠2y cx bx a =++240b ac ∆=-=b a c =+()240a c ac +-=()20a c -=a c =2b a =-12ba-=2y ax bx c =++1x =()()120,0A x B x ，，121x -<<-234x <<综上，正确的结论是①②④．故选：C ．二、填空题（请在答题卷上指定的位置填空．本大题共5小题，每题3分，计15分）11. 计算：_____．【答案】2【解析】【分析】本题考查分式的加减，掌握同分母分式的加减法则解题即可．【详解】解：，故答案为：2．12. 有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是________．【答案】【解析】【分析】根据列表法求概率即可求解．【详解】解：列表如下，清风朗月清清清清风清朗清月风风清风风风朗风月朗朗清朗风朗朗朗月月月清月风月朗月月共有16中等可能结果，其中，抽取的两张卡片上的汉字相同的情形有4种，∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是，故答案：．【点睛】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键．为422x x x x--=--()2244222222x x x x x x x x x x ----=+==-----14141413. 为了给山顶供水，决定在山脚A 处开始沿山坡铺设水管．现测得斜坡与水平面所成角为，为使出水口高度为35m ，那么需要准备____长的水管．（结果保留整数）（）【答案】113【解析】【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解直角三角形进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，∴；故答案为：113．14. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x 株，则可列分式方程为________．【答案】【解析】【分析】根据题意可知：x 株需要6210文，株的运费一株椽的价钱，从而可以列出相应的方程．【详解】解：设这批椽的数量为x 株，由题意可得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．15. 如图，在中，，，以为直径的圆交的外角平分线于点E ，D 为的中点，则_____．AB 18︒sin180.31cos180.95tan180.32︒≈︒≈︒︒≈，，ABC 90,18,35ACB A BC ∠=︒∠=︒=35113sin180.31BC AB ==≈︒()621031x x=-()1x -=()621031x x =-()621031x x=-ABC 7AB =5AC =AC BAC ∠BC DE =【答案】6【解析】【分析】本题考查圆的直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理．延长交的延长线于点F ，则可得到，进而得到是的中点，然后根据三角形的中位线定理求出长即可．【详解】解：延长交的延长线于点F ，∵是圆的直径，∴，又∵平分，∴，∴，∴，∴是的中点，又∵D 为的中点，∴，故答案为：6．三、解答题（本大题共9小题，计75分）16.计算：．【答案】3【解析】【分析】本题考查了绝对值，负整数指数幂，先计算绝对值，负整数指数幂，再按照有理数运算顺序计算即可．【详解】解：原式BA CE 5AC AF ==E CF DE BA CE AC 90AEC ∠=︒AE CAF ∠CAE FAE ∠=∠ACF F ∠=∠5AC AF ==E CF BC ()()111756222DE BF BA AF ==+=⨯+=11224--+⨯1142=+⨯12=+3=17. 如图，将矩形沿对角线折叠，与交于点E ，求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了矩形与折叠、等腰三角形的判定，根据矩形与折叠的性质得，进而可求证结论，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题的关键．【详解】证明：∵四边形为矩形，，，将沿对角线折叠得到，，，∴．18. 某品牌新能源纯电动汽车的电池容量为80千瓦时，小王把车充满电后驾驶汽车从家到300公里外的省城接客人，接到客人后立即返回，请回答相关问题：小王以平均每千米耗电0.2千瓦时的速度驾驶汽车到达省城，返程时由于气温原因，需要开空调，此时平均每千米的耗电量增加了一倍，如果小王往返保持车速不变，不充电能否到家？如果不能，至少还要充多少千瓦时的电量？【答案】不能，至少需要加电才能到家．【解析】【分析】本题主要一元一次方程的应用，首先计算出到省城的用电量，求出剩余电量，设需要加电量为，运用两种方式表示返回用电量，列出方程求解即可．【详解】解：不能到家，因为到家需要电量为：，而剩下电量为：，设需要加电量为，ABCD BD BC AD BE DE =EBD EDB ∠=∠ABCD AD BC ∴∥ADB DBC ∠=∠∴ BDC BD BDC ' DBC DBC '∴∠=∠EBD EDB ∴∠=∠BE DE =()kw h ⋅()km 100kw h ⋅kw h y ⋅()0.4300120kw h ⨯=⋅()800.230020kw h -⨯=⋅kw h y ⋅则有，解得．答：至少需要加电才能到家．19. 某市开展茶文化论坛，为了解两种绿茶的亩产量，工作人员从两种类型的绿茶产区中各随机抽取亩，在完全相同条件下试验，统计了茶叶的亩产量（单位：千克亩），并进行整理、描述和分析（亩产量用表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：亩型绿茶的亩产量：．亩型绿茶中“良好”等级包含的所有数据为：．抽取的型绿茶亩产量统计表：型号平均数中位数众数方差“优秀”等级所占百分比根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：_________，__________，__________；（2）根据以上数据，你认为哪款绿茶更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若该市今年种植型绿茶亩，估计今年型绿茶亩产量在“良好”等级及以上的有多少亩？【答案】（1），，；（2）款茶叶更好， 理由见解析；（3）亩．【解析】【分析】()根据众数、中位数概念可求出的值，由型中“良好”等级占，“优秀”等级所()203000.4y +=⨯100y =100kw h ⋅A B 、10/x 5055x ≤<5560x ≤<60x ≥10A 50545555555757585960，，，，，，，，，10B 57575759，，，A B 、A B 565656b a 577.415.810%20%=a b =m =B 3000B 555740B 18001a b 、B 40%占百分比为，可求出的值；()比较型、型的平均数、中位数、众数可得答案(答案不唯一)；()用乘“良好”等级及以上的百分比即可得答案；本题考查了统计表和扇形统计图，众数、中位数、平均数，样本估计总体，看懂统计图表是解题的关键．【小问1详解】解：在中，出现次数最多的是，∴众数，∵型中“良好”等级有个，占，“优秀”等级所占百分比为，∴“合格”等级占，即，把型数据从小到大排列后，第个和第个数都是，∴，故答案：，，；【小问2详解】解：款茶叶更好， 理由：两款茶叶的平均数相同，但款茶叶的中位数和众数都大于款茶叶的，所以款茶叶更好；【小问3详解】解：，答：估计今年B 型绿茶亩产量在“良好”等级及以上的有亩．20. 如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点，连接、．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；为20%m 2A B 3300050545555555757,585960，，，，，，，，5555a =B 440%20%140%20%40%--=40m =B 56575757572b +==555740B B A B ()300040%20%1800⨯+=1800y kx b =+(0,4)A -(2,0)B (0)m y x x=>(3,)C a P (03)n n <<PQ y ∥AB Q OP OQ（2）求面积的最大值．【答案】（1）； （2）面积的最大值是【解析】【分析】（1）由、的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点的坐标，代入，求得反比例函数解析式；（2）设点，点，得出关于与的关系式，进而根据三角形面积公式求解，根据二次函数的性质即可求得最大值．【小问1详解】解：把、代入一次函数得：，解得：，∴一次函数的关系式为，将点代入，得，∴点，将点代入，得出∴，【小问2详解】∵点在反比例函数的图象上，点在一次函数的图象上，，设点，点，∴，OPQ △24y x =-6y x =OPQ △4(0,4)A -(2,0)B C (0)m y x x=>6,P n n ⎫⎛ ⎪⎝⎭(),24Q n n -PQ n (0,4)A -(2,0)B y kx b =+420b k b =-⎧⎨+=⎩24k b =⎧⎨=-⎩24y x =-(3,)C a 24y x =-2342a =⨯-=()3,2C ()3,2C (0)m y x x =>326m =⨯=6y x=P Q 03n <<6,P n n ⎫⎛ ⎪⎝⎭(),24Q n n -()624PQ n n=--∴，∵，∴当时，，所以，面积的最大值是．【点睛】本题考查反比例函数、一次函数的解析式，将面积用函数的数学模型表示出来，利用函数的最值求解是解决问题的基本思路．21. 如图，是的直径，半径，C 为上任意一点，D 为弦上一点，且．（1）当，时，求．（2）求证：为等腰直角三角形．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查圆周角定理，全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定：（1）直接根据线段的和差关系求出的长即可；（2）根据垂径定理证明根据证明得出,再证明即可得出结论【小问1详解】解：∵；【小问2详解】解：连接如图，()()22162423142POQ S n n n n n n △=--ù=-+=éêú+--úëû+ê10-<1n =4S =最大OPQ △4AB O OE AB ⊥»AE BC BD AC =5AC =12BC =CD CDE 7CD =CD ,AE BE =SAS ,ACE BDE ≌ CE DE =90DEC ∠=︒5,12,BD AC BC ===1257CD BC BD ∴=-=-=,,AE BE∵所对的圆周角是，∴，∵，∴点是弧的中点，∴又∴∴，∵是的直径，∴，∵∴∴为等腰直角三角形．22. 纸飞机是同学们很喜欢的娱乐项目，纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，其中纸飞机上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径是一条线段，滑行距离受纸飞机滑行比的影响（若纸飞机在1米的高度开始滑行，滑行的水平距离为米，则滑行比为）．如图所示，若小明玩纸飞机，其起抛点A 的高度为，当纸飞机的最大高度达到时，它的水平飞行距离为．（1）求这条抛物线的解析式；（2）小明的前方有一堵高的墙壁，小明至少距离墙壁多远，纸飞机才会顺利飞过墙壁？（不考虑墙CE,CAE CBE ∠∠CAE CBE ∠=∠OE AB ⊥E ABC ,AE BE =,AC BD =,ACE BDE ≌ CE DE =,ACE BDE ∠=∠AB O 90ACB ∠=︒,BDE CED DCE ∠=∠+∠,ACE ACB DCE ∠=∠+∠90,DEC ACB ∠=∠=︒CDE n 1:n 1.9m 2.8m 3m 2.5m壁的厚度）（3）小明根据多次实验得到其折叠的纸飞机的滑行比为1:2.5（受空气阻力的影响，纸飞机开始滑行的高度不超过），纸飞机开始滑行时的高度为多少米时，才能使水平飞行距离至少为10米？【答案】（1）（2）米（3）在米时，开始滑行【解析】【分析】（1）根据题意得抛物线经过，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可；（2）将代入解析式求解即可；（3）设滑行高度为h 米，则水平滑行的距离为米，根据题意列出方程求解即可．【小问1详解】解：根据题意得抛物线经过，∴设抛物线的解析式为，将点代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为，【小问2详解】∵高的墙壁，∴将代入解析式得：，解得：，，∴小明至少距离墙壁米；【小问3详解】设滑行高度为h 米，则水平滑行的距离为米，由（1）得，解得：（舍去），，为纸飞机飞行得距离，1.4m ()20.132.8y x =--+(31.2()()0,1.9,3,2.8()23 2.8y a x =-+2.5y = 2.5h ()()0,1.9,3,2.8()23 2.8y a x =-+()0,1.9()21.9032.8a =-+0.1a =-()20.13 2.8y x =--+2.5m 2.5y =()20.13 2.8 2.5x --+=13x =23x =(3- 2.5h ()20.13 2.8x h --+=13x =-23x =2x∴，解得：（舍去），，∴在米时，开始滑行．【点睛】题目主要考查二次函数的应用及一元二次方程的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．23. 已知，以三边为斜边向外作等腰直角三角形．（1）如图1，当为等边三角形时，①填空： ；②证明：．（2）如图2，当为直角三角形，时，证明：．【答案】（1）①；②见解析（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识 ：（1）①证明是的垂直平分线，根据是等边三角形可得，由是等腰直角三角形得，可得结论；②连接，证明，得，证出，可得结论；（2）取的中点，连接设交于点，交于点，得出垂直平分垂直平分证明四边形是平行四边形，得出由均为等腰直角三角形再证明可得出结论【小问1详解】解：①∵是等边三角形，∴2 2.53 2.510x h h +==114 1.45h =>265h =1.2ABC DAB ECB FAC ，，ABC DAE ∠=AE DF =ABC 90ABC ∠=︒AE DF =75︒AE BC ABC 30BAE ∠=︒ADB 45DAE =︒∠DE ≌DBE DAF DE DF =EDA EAD ∠=∠AC N ,,,DN EN BN DN AB G NE BC H DN ,AB NE ,BC NGBH 90,GNH GBH ∠=∠=︒,,ABD BEC AFC ,DN NE =ANE DNF ≌ ABC ,60,AB AC BAC ABC ACB =∠=∠=∠=︒又是等腰直角三角形，∴∴垂直平分，∴∵是等腰直角三角形，且∴∴故答案为：；②连接如图，∵是等边三角形，∴∵均为等腰直角三角形，且∴∴∴∴，∴∵∴BEC ,BE CE =AE BC 130,2BAE BAC ∠=∠=︒ADB 90,ADB ∠=︒45,DAB DBA ∠=∠=︒453075,DAE DAB BAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒75︒,DE ABC ,60,AB AC BC BAC ABC ACB ==∠=∠=∠=︒,,ABD BEC AFC 90,ADB BEC AFC ∠=∠=∠=︒,,,AD DB AB BE CE AF CF AC ======45,45,45,DAB DBA EBC ECB FAC FGA ∠=∠=︒∠=∠=︒∠=∠=︒,AF AD DB BE ===,FAC BAC DAB DBA ABC EBC ∠+∠+∠=∠+∠+∠150,DAF EBD ∠=∠=︒DAF EBD ≌ ,DE DF =135,,DBE BD BE ∠=︒=()()1118018015015,22BDE DBE ∠=︒-∠=︒-︒=︒∴∴∴∴；【小问2详解】证明：取的中点，连接设交于点，交于点，如图，，为的中点，∴∵∴垂直平分垂直平分∴为中点，为的中点，∵为的中点，∴分别是的中位线，∴∴四边形是平行四边形，∴∵均为等腰直角三角形，∴∴∵的901575,EDA BDA BDE ∠=∠-∠=︒-︒=︒,EDA DAE ∠=∠,DE AE =AE DF =AC N ,,,DN EN BN DN AB G NE BC H 90ABC ∠=︒ N AC ,AN CN BN ==,,AD BD BE CE ==DN ,AB NE ,BC G AB H BC N AC ,GN HN ABC 11,,22GN BC NH AB ==,,GN BC NH AB ∥∥NGBH 90,GNH GBH ∠=∠=︒,,ABD BEC AFC 111,,90,,222DG AB FN AN CN AC FNA EH BC ====∠=︒=11,22DN DG NG AB BC NH EH NE =+=+=+=90,DNE FNA ∠=︒=∠∴∴，∴24. 如图，平面直角坐标系中，，，，点为上一点，交于点，且，点是点关于原点的对称点．（1）求点的坐标；（2）求的值；（3）已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，且对于任意实数的同一个值，这三个函数所对应的函数值，，，都有成立？若存在，求出函数的解析式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）3（3）存在，．【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质得，进而在中，解直角三角形得，从而即可得解；（）由点是点关于原点的对称点得，利用待定系数法求得直线：，直线为：，联立求得，从而根据，列方程求解得，，利用面积公式即可得解；,ANE DNE ∠=∠,AN NF ∴=ANE DNF ≌ AE DF=4AB =AC BC =1tan 2OCB ∠=D BC AD OC E 59AOE EDC S S =V V (0,)F m E O C ACE S 1y 2x =22y x m =+23y ax bx c =++(5,2)-x 1y 2y 3y 1y ≤3y ≤2y 3y 0,4-（）23141333y x x =++2OB OA ==Rt BOC 24OC OB ==2(0,)F m E O ()0,E m -BC 24y x =-AD 2m y x m =--828,44m m D mm -⎛⎫- ⎪++⎝⎭59AOE EDC S S =V V 1m =-0,1E-（）（）由得，由二次函数，其图象经过点，得，当时，，，对于任意实数的同一个值，都有成立．从而得，，于是二次函数，当时，，同理，当时，解得，进而即可求得二次函数．【小问1详解】解：∵，，，∴，∵在中，，∴，∴点的坐标为；【小问2详解】解：点是点关于原点的对称点．∴，∵，∴，，设直线为：，把，代入得，，解得，∴直线：，设直线为：，把，代入得，，3()2221y x =+23y ax bx c =++()5,2-2552a b c -+=1x =212y y ==3y a b c =++x 132y y y ≤≤4b a =25c a =-()23425y ax ax a =++-13y y ≤13a =32y y ≤13a =23141333y x x =++4AB =AC BC =OC AB ⊥2OB OA ==Rt BOC 1tan 2OB OCB OC ∠==24OC OB ==C 0,4-（）(0,)F m E O ()0,E m -2OB OA ==(2,0)B (2,0)A -BC y kx n =+(2,0)B 0,4C -（）y kx n =+024k n n =+⎧⎨-=⎩24k n =⎧⎨=-⎩BC 24y x =-AD y px q =+(2,0)A -0,E m -（）y px q =+02p q m q =-+⎧⎨-=⎩解得，∴直线为：，联立和得，，解得，∴，∵，∴，解得或（舍去），经检验是原方程的解，∴，∴；【小问3详解】解：存在满足条件的二次函数．由得，∴二次函数，即∵，∴对于取任意实数时，总有，二次函数，其图象经过点，∴，当时，，，对于任意实数的同一个值，都有成立．2m k q m⎧=-⎪⎨⎪=-⎩AD 2m y x m =--24y x =-2m y x m =--224m y x m y x ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩82484m x m m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩828,44m m D mm -⎛⎫- ⎪++⎝⎭59AOE EDC S S =V V 151********m m m m-⨯⨯-=⨯⨯⨯-+1m =20m =-1m =0,1E -（）112421322ACE ACO AOE S S S =-=⨯⨯-⨯⨯= ()21m =22y x m =+221y x =+()22212110y y x x x -=-+=-≥21y y ≥23y ax bx c =++()5,2-2552a b c -+=1x =212y y ==3y a b c =++x 132y y y ≤≤∴，解得，，二次函数，当时，，即∴>，，∴∴，同理，当时，解得综述：，，，所以，存在二次函数，其图象经过点，且对于任意实数的同一个值，这三个函数所对应的函数值，都有成立．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，待定系数法求一次函数，求二次函数的解析式，一元二次方程根的判别式，解直角三角形，等腰三角形的性质，二元一次方程组的解与两直线交点，熟练掌握二次函数的图像及性质，待定系数法求一次函数，求二次函数的解析式，一元二次方程根的判别式以及解直角三角形是解题的关键．2a b c ++=4b a =25c a =-()23425y ax ax a =++-13y y ≤()22425x ax ax a ≤++-()()242250ax a x a +-+-≥a 0()()2424250a a a ---≤()2310a -≤13a =32y y ≤13a =13a =43b =13c =23141333y x x =++()5,2-x 123y y y ，，132y y y ≤≤。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
题目简单更要仔细哟！
2009年秋宜昌市期中考试
数 学 试 题
命题：薛会福 审题：向文金
（考试形式：闭卷 全卷共五大题24小题 卷面分数：120分 考试时限：120分钟）
考生注意:.本试卷分为两卷，解答第I 卷（1～2页）时请将解答结果填写在第II 卷（3～6页）
上指定的位置，否则答案无效，交卷时只交第II 卷.
第Ⅰ卷（选择题、填空题
共45分）
一、选择题：（下列各小题都给出了四个选项，其中只有一项是符合题目要求的，请将符合要求
的选项前面的字母代号填写在第II 卷上指定的位置. 本大题共10小题，每小题3分，计30分） 1. 方程2
2x x =的解是（ ） A 、2x =
B
、1x =20x =
C 、12x =，20x =
D 、0x =
2.下列一组几何体的俯视图是（ ）
3. 到△ABC 的三边距离相等的点是△ABC 的 ( )
A 、三条中线的交点
B 、三条角平分线的交点
C 、三条高的交点
D 、三条边的垂直平分线的交点
4. 下列运算正确的是( ).
（A ）x 3·x 2＝x 6 （B ）2a ＋3b ＝5ab （C ）a 3÷a 2=a (a ≠0) （D ）（ab 2）3＝ab 6
5. 小强拿了一张正方形的纸沿虚线对折两次，并在如图的位置上剪去一个小正方形，打开后是( )
6. 三角形中，若一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是 ( )
A 、钝角三角形
B 、直角三角形
C 、锐角三角形
D 、等腰三角形
7. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是( ) （A ） 对角线相等 （B ） 对角线互相垂直平分 （C ） 对角线平分一组对角 (D ） 四条边相等
8. 已知三角形两边的长分别是4和6，第三边的长是一元二次方程（x-6）(x-10)=0的一个实数
根，则该三角形的周长是（ ）
A 、 20
B 、 16
C 、20或16
D 、18或21
9. 方程2
650x x +-=的左边配成完全平方后所得方程为（ ）.
A.14)3(2=-x
B. 2(3)4x +=
C.2
1
)6(2
=
+x D.14)3(2=+x . 10. 在同一直角坐标系中，函数y= －kx+1与y=
x
k
(k ≠0)的图象大致是（ ）
二、填空题：（请将答案填写在第II 卷上指定的位置．本大题共5小题，每小题3分，计15分）
11. 命题：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题为 .
12. 如果关于x 的方程x 2
-6x+m=0有两个相等的实数根，那么m 的值为 13.如图等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=1100,.若将腰AB 沿A →D 的方向平移到DE 的位置，则∠DE C= 度
（13题图）
14.已知一元二次方程x 2
－5x ＋6＝0两根为1x 、2x ，则=+21x x ..
15.四边形每一个顶点可以引1条对角线，五边形每一个顶点可以引2条对角线，六边形每一个顶点可以引3条对角线，则n 边形每一个顶点可以引 条对角线
A
B
C
D
2009年秋宜昌市猇亭中学期中考试答题卷
第Ⅱ卷 （解答题 共75分）
二、
三、（本大题共4小题，16、17题每小题6分，18、19题每小题7分，计26分） 16. 解下列方程： 1)1(2-=-x x x
17.楼房,旗杆在路灯下的影子如图所示。
试确定路灯灯炮的位置，再作出小树在路灯下的影子。
（不写作法，保留作图痕迹）
18. 已知：如图在矩形ABCD 中，点E 为CD 的中点，连接EA 、EB. 求证：∠EAB=∠EBA
19.如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为2540m ，求道路的宽．（部分参考数据：2321024=，2522704=，2482304=）
四．解答题：（本大题共5小题，第20、21题每题8分，第22题10分，第23题11分，第24题12分，计49分）
20. 已知关于x 的一元二次方程（a+1）x 2+（a 2
-1）x+2=0的一次项系数为0，
请你求出a 的值。
21. 2004年我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税.某乡今年人均上缴农业税30元，
若两年后人均上缴农业税为10.8元，假设这两年降低的百分率相同. （1）求降低的百分率；（2分） （2）若小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？（3分）
（3）小红所在的乡约有16000农民，问该乡农民明年减少多少农业税.（3分）
.
22. 据资料显示我国西部山区贫困中小学生上学的费用，小学生平均每年支出约600元（按6
年
计），初中生平均每年支出约800元（按3年计）.
（1）中东部地区“先进”市2007年小学、中学、高中学生共计约7.2万人，若平均每2人每周从零花钱中节约1元钱（一年按52周计算），用来帮助西部山区贫困中小学生读完一至九年级，可以帮助多少人？(4分) （2）到2009年，“先进”市小学、中学、高中学生的总数降为5.832万人，而平均每人每周从零花钱中节约的钱将翻两番（原来的4倍）.2009年，由于国家对西部山区小学初中生采取免除学杂费和书本费的政策，因此使得他们上学支出的费用减少。
以2007年为基础计算，他们上学支出费用平均每年降低的百分数将比“先进”市小学、中学、高中学生总人数平均每年降低的百分比还多1个百分比（1％）.请算一算：2009年“先进”市小学、中学、高中学生从零花钱中节约出来的钱，用来帮助西部山区贫困中小学生读完一至九年级，可以达到多少人？（结果保留整数）（6分）
23.如图1，在四边形ABCD 中，已知AB=BC=CD ,∠BAD 和∠CDA 均为锐角，点P 是对角线BD 上的一点，PQ ∥BA 交AD 于点Q ，PS ∥BC 交DC 于点S,四边形PQRS 是平形四边形. （1）当点P 与点B 重合时，图1变为图2，若∠ABD=90°，求证：△AB R ≌△CRD ；（5分） (2)对于图1，若四边形PRDS 也是平形四边形，此时，你能推出四边形ABCD 还应满足什么条件？ （6分）
C B
D
P R
Q
A A
B
C
D
R 图1
图2 S
不要放弃,努力就有机会!
25.如图，在直角坐标平面内，函数y =
X
m
（x ＞0,m 是常数）的图像经过A(1,4)、B(a,b)，其中 a ＞1，过A 点作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D ，连接A D 、DC 、CB 。
（1）若△ABD 的面积为4，求点B 的坐标；（3分） （2）求证：D C ∥AB (4分)
（3）当AD=BC 时，求直线AB 的函数解析式。
（5分）
祝贺你已经上高峰,
再回头
检查一遍吧.。