数学北师大版七年级下册完全平方公式--长城学校苏爽
北师大版完全平方公式
(a b)2 a2+2ab+b2
用完全平方公式计算: (x+2y)2 ( a+ b)2=a2+2 a b+ b2
探索（a-b)2的规律
自选方法 ：1.计算法
2.图形面积法
图形面积法验证完全平方公式
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
文字叙述：
两个数的和的平方，等于它们的平方和， 加上它们的积的2倍。
你能用图形解释公式：(a+b)2= a2 +2ab+b2吗？
思考：
1.你会作一条线段，使它等于线段a+线段b吗？
2.代数式a2可以代表哪种图形面积？ 代数式（a+b)2呢？
完全平方公式的图形解释
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
完全平方公式：
(a+b) 2=a2+2ab+b2 (a－b) 2=a2－2ab+b2
慧眼识错
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 错 (2)(x -y)2 =x2-2xy -y2 错 (3) (2x-y)2 =2x2 -2·2x·y +y2 错
利用完全平方公式计算： (1) (4x+5y)2 ; (2) (mn−a)2
谢谢合作
祝大家开心快乐每一天！
闯关要求：先独立完成后，小组交流， 全体成员会做，闯关成功！
随堂练习
由学委、科代表各出一道题，
大家计算，看哪一组成绩好？
口算：1012
1.3乘法公式课时4-完全平方公式(课件)北师大版(2025)数学七年级下册
=9 216.
(2) (a-b-3)(a-b+3)
=(a-b)2-32
=a2-2ab+b2-9.
(2) (a-b-3)(a-b+3).
随堂练习
4.计算：
(1)(x + 1)2-(x+2)(x-2)；
(2)(3x-2y + 1)(3x + 2y-1)．
例1 利用乘法公式计算：
(1)982-101×99；
a2- 2ab+b2
(2)20162-2016×4030+20152.
解：(1)原式＝(100-2)2-(100+1)(100-1)
＝1002-400+4-1002+1
＝-395；
(2)原式＝20162-2×2016×2015+20152
＝(2016-2015)2
乘法公式的几种常见的恒等变形有：
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab.
(2)4ab＝2[(a＋b)2－(a2＋b2)]＝(＋)2－(－)2.
(3)(a＋b)2＋(a－b)2＝2a2＋2b2.
பைடு நூலகம்
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a -b)2=a2- 2ab+b2
随堂练习
＝1.
知识点2
完全平方公式的综合应用
例2 计算：(1) (x+3)2 - x2；
(2)(a+b+3)(a+b-3) ；
(3) (x+5)2–(x-2)(x-3)； (4) [(a+b)(a-b)]2.
解：(1)方法一 (x+3)2-x2
《完全平方公式》第2课时示范公开课PPT教学课件【七年级数学下册北师大版】
平方差公式是怎样的呢？
平方差公式
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
(a+b)(ab)=a2b2
完全平方公式又是怎样的呢？
完全平方公式
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
解：(1)原式= (x+3)2-x2
=6x+9
= x2+6x+9－x2
例2 计算：
分析：(2)把a+b看作整体(一项)，再利用平方差公式求解即可.
解：(2)原式= [(a+b)+3][(a+b)-3]
= (a+b)2-32
=a2+2ab+b2－9.
a+b看作整体.
(1) (x+3)2-x2； (2) (a+b+3)(a+b-3)； (3) (x+5)2-(x-2) (x-3)．
a2-ab+b2=(a2+b2)-ab
=37-(-6)=43.
完全平方公式的常见变形：
应用：
完全平方公式的应用
①用于简便运算时，关键是找到与原数接近的类似整十、整百的数，再将原数变形成(a+b)2 或者(a−b)2 的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解．
②对于两个三项式相乘的式子，可将相同的项或互为相反数的项添括号视为一个整体，转化成平方差公式的形式，再利用平方差公式和完全平方公式进行计算.
=m2+2mn+n21=n源自2nm2+1看作一项
完全平方公式 -七年级数学下册课件(北师大版)
两数差的完全平方公式：
b ab
b2
a
(a+b)²
(a－b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2 a2 2ab b2
ab
例3 计算：(1)(2x－1)2－(3x＋1)2； (2)(a－b)2·(a＋b)2； (3)(x＋y )(－x＋y )(x 2－y 2)．
导引：对于(1)可分别利用完全平方公式计算，再合并同类项；
11 利用完全平方公式计算：
(1)(x＋y )2－4(x＋y )(x－y )＋4(x－y )2；
解：(1)原式＝x 2＋2xy＋y 2－4(x 2－y 2)＋4(x 2－2xy＋y 2) ＝x 2－6xy＋9y 2.
(2)
60
1 60
2
;
(3)2 0162－4 032×2 015＋2 0152.
知识点 3 完全平方公式的应用
例5 已知a 2＋b 2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值.
导引：将两数的和(差)的平方式展开，产生两数的平 方和与这两数积的两倍，再将条件代入求解．
解：因为a 2＋b 2＝13，ab＝6， 所以(a＋b)2＝a 2＋b 2＋2ab＝13＋2×6＝25； (a－b)2＝a 2＋b 2－2ab＝13－2×6＝1.
9 若x＋y＝10，xy＝1，则x 3y＋xy 3的值是
___9__8___．
10 如图，将完全相同的四张长方形纸片和一张正方形纸片 拼成一个较大的正方形，则可得出一个等式为( D )
A．(a＋b)2＝a 2＋2ab＋b 2 B．(a－b)2＝a 2－2ab＋b 2 C．a 2－b 2＝(a＋b)(a－b) D．(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab
所以y＝－1，x＝－1.
1.6完全平方公式课件北师大版数学七年级下册(1)
第一章 整式的乘除 6 完全平方公式（1）
导入
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n)=am +an +bm +bn （x ＋ 3)( x＋3） =x2＋3x ＋3x ＋9 =x2 ＋6x ＋9
a+b
a
a-b a
b
b
(a b)(a b) a2 b2
b b
（2）( 4 x + 5 y )2 = (4x)2+(5y)2+2×20xy= 16x2+25y2+40xy
（3）( mn - a )2 = (mn)2+a2-2mna = m2n2+a2-2mna
明辨是非，知错能改。
①(2a + 1)2 = 4a2 + 1 ②(a－2)2 = a2－ 4 －4a ③(a + 2)2 = a2 + 4+ 4a ④(2a－1)2 =2a2+ 1 －4a
• 口算下列各题:
(1) (x+3)(x−3) ；==xx22−−932; ; (2) (1+2a)(1−2a) ；=1−2−4(a22a;)2 ; (3) (x+4y)(x−4y) ；=x22−1(46yy)22;; (4) (y+5z)(y−5z) ；==yy22−−2(5zz2)2; .
新课 思考: 图1和图2中的面积说明些什么吗?
拓展练习
4.完全平方公式的变形应用： (1) 已知：x +y =3 ; x y =2 求 x2+y2 ； (x −y)2 的值. (2)已知：a −b =1 ； a2 +b2 =25 求 ab 的值. (3)已知：(x +y )2 =9 ; ( x − y)2= 5 求 xy ; x2+y2 的值.
北师大版七年级数学下《完全平方公式》
例题讲解
⑵ (a+b+3)(a-b-3)
解：原式=[a+(b+3)][a-(b+3)] = a2-(b+3)2 =a2-(b2+6b+9) =a2-b2-6b-9
跟踪练习一
计算下列各题. ⑴ （x-2)(x+2) - (x+3)2
⑵ (a+b+3)(a+b-3)
例题讲解
例2、已知x2+mx+9是完全平方式，求m 的值.
1.6 完全平方公式(2)
复习回顾
1、完全平方公式是什么？
复习回顾
两数和的平方ห้องสมุดไป่ตู้
（a+b）2＝ a2 +2ab+b2
两数和的平方，等于这两数的平 方和，加上这两数积的2倍.
复习回顾
两数差的平方
（a － b）2＝ a2 － 2ab + b2
两数差的平方，等于这两数的平 方和，减去这两数积的2倍.
完全平方公式的数学表达式：
（a ± b）2＝ a2 ± 2ab + b2 口诀
首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方 完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
复习回顾
2.填空.
⑴（ x + 3）2=（ x）2+2·x·3+（3 ）2 ⑵ （3x - 2y）2=（3x）2-2（3x）（2y）+（2y）2
2、已知 a ，求
a的2 值a12.
随堂测试
解答下列各题 (1)1022 ； (2) (x − 2y)2
(3) (2x+5y)2 ⑷ (n +1)2 − （n-2）2 ⑸已知x2+2kx+16是完全平方式，则k= .
北师大版数学七年级下册 1.6 完全平方公式 课件
例题
例1 利用完全平方公式计算： （1）( 2 x - 3 ) 2 ； （2）( 4 x + 5 y )2 ； （3）( mn - a ) 2 ．
例题
解：（1）(2x-3)2 = (2x)2-2·2x·3+32=4x2-12x+9； （2）(4x+5y)2= (4x)2+2·4x·5y+(5y)2=16x2+40xy+25y2 ； （3）( mn-a)2=(mn)2-2·mn·a+a2=m2n2-2amn+a2．
新课
怎样计算1022 ，1972 更简单呢？
（1）1022 ；
（2）1972 ．
新课
解：（1）1022=(100+2)2 = 1002+2×100×2+22 = 10000+400+4 =10404； （2）1972=(200-3)2 =2002-2×200×3+32 =40000-1200+9 =38809．
3
新课 思考:
你能根据图1和图2中的面积说明完全平
方
公式吗?bba Nhomakorabeaa
b
图1
a
b a 图2
4
新课 完全平方公式的数学表达式： (a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2 完全平方公式的文字叙述： 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平 方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
1.6 完全平方公式
导入
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n)=am +an +bm +bn （x ＋ 3)( x＋3） =x2＋3x ＋3x ＋9 =x2 ＋6x ＋9
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 整式的乘除
1.6 完全平方公式（1）
菏泽市牡丹区长城学校 苏爽
教学过程设计
本节课设计了七个教学环节：知识回顾、规律探究、初识完全平方公式、再
识完全平方公式、又识完全平方公式、课堂小结、布置作业.
第一环节 知识回顾
活动内容：
利用多项式乘多项式法则计算各题
(1)(m+3)2
(2)(2+3x)2
(3)(a+2b)2
活动目的：本堂课的学习方向仍是引导鼓励学生通过已学习的知识经过个人
思考、小组合作等方式推导出本课新知，进一步发展学生的符号感和推理能
力.而这个过程离不开旧知识的铺垫，
实际教学效果：在复习过程中，学生能够根据图形顺利地回答出平方差公式
的内容，而对于其结构特点及应用时的注意事项，通过学生之间的相互补充，绝
大多数学生也得以掌握.在复习中既把旧知识得以复习，同时学生也会主动的去
回顾平方差公式一节的学习过程，从而为本节课的类比学习奠定了基础.
第二环节 规律探究
活动内容：
1
利用多项式乘多项式法则计算下列各题
(1)(m+3)2=m2 +2.3m +32 =m2+6m+9
(2)(2+3x)2=22 +2.2.3x+(3x)2=4+12x+9x2
(3)(a+2b)2=a2 +2.a.2b+(2b)2=a2+4ab+4b2
2.把你的发现用自己的语言试着说给同组
的同学听。
3.根据你的发现你能猜出(a+b)2的结果吗？
4. 你能进行验证吗？
活动目的：通过对式子和结果的观察，自主思考、小组合作发现规律。
第三环节 初识完全平方公式
活动内容：1. (a－b)2=？你是怎样做的？.
2.你能自己设计一个图形解释这一公式吗？
3.分析完全平方公式的结构特点，并用语言来描述完全平方公式.
结构特点：左边是二项式（两数和（差））的平方；
右边是两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
语言描述：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）
这两数积的两倍.
活动目的：第一个活动是让学生从代数运算的角度，推导出两数差的完全平
方公式，培养学生有条理的思考和语言表达能力.
第二个活动使学生再次从几何的角度来验证两数差的完全平方公式.从而学
生经历了几何解释到代数运算，再到几何解释的过程，学生的数形结合意识得以
培养，并且从不同的角度推导出了公式，并且加以巩固.
第三个活动在前面的基础上，加以总结，使得学生从形式上初步地认识了完
全平方公式.
实际教学效果：此环节的设计符合学生的认知水平和认知过程.在第一个活动
的教学中学生采用了不同的方法：①运用多项式的乘法法则②把两数差看作两数
和，再运用两数和的公式.教师应重视学生对于算理的理解，让学生尝试说出每
一步运算的道理，有意识地培养他们有条理的思考和语言表达能力.第二个活动
既是对于第二环节用几何解释验证两数和的完全平方公式的巩固，同时也是对于
学生数形结合意识的一种培养，绝大多数学生能够通过交流合作得以掌握.通过
几个活动学生能够初步地掌握了完全平方公式，并在推导过程中培养了数学的基
本能力.
第四环节 再识完全平方公式
活动内容：例1用完全平方公式计算：
(1) (2x−3)2； (2) (4x+5y)2 ; (3) (mn−a)2
2. 巩固练习.
（1）计算：
2)221(yx；2
)512(xxy
；(n+1)2－n2；(4x+0.5)2；(2x2－3y2)2
（2）纠错练习：指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1) (2a−1)2＝2a
2
−2a+1;
(2) (2a+1)2＝4a2 +1；
(3) (a−1)2＝a
2
−2a−1.
活动目的：应用完全平方公式进行简单的计算.同时例1三个题目的设计上有
一定的梯度，从而加以巩固落实.
实际教学效果：对照公式，进行独立的简单计算，体会公式在解题中的应用，
进一步熟悉公式.并通过小组交流，自我检验，巩固反馈.考察个人的实际运用能
力，并及时查漏补缺.
第五环节 又识完全平方公式
活动内容：利用完全平方公式计算：
(1) (-1-2x)2； (2) (-2x+1)2
活动目的：本活动是对课本内容的补充，从而使得学生从更深的一个角度来
认识完全平方公式，防止解题时中间项的符号出现问题，并能在解题中通过灵活
的变形来运用公式，解决问题.
实际教学效果：首先放手让学生独立来解决第一个题目，学生出错较多，且
都集中在中间项的符号上，由此引出有进一步认识公式的必要，从而教师引导学
生再次观察题目，仔细分析题目当中谁相当于公式当中的a与b，从而运用不同
的方法和思路，解决问题.在活动中学生认识到了解决问题之前恰当选择公式和
正确分析题目的必要性，学习的积极性再次被激发.
第六环节 课堂小结
活动内容：1. 完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同．
结果不同：完全平方公式的结果是三项，即 (a b)2＝a22ab+b2;平方差公式
的结果是两项， 即(a+b)(a−b)＝a2−b2.
2. 解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错
符号、2ab时不少乘2.
活动目的：课堂小结并不只是课堂知识点的回顾，要尽量让学生畅谈自己的
切身感受，教师对于发言进行鼓励，进一步梳理本节所学，更要有所思考，达到
对所学知识巩固的目的.
实际教学效果：学生畅所欲言自己的实际收获，达到了本节课的教学目标.
第七环节 布置作业
分层作业
1. 必做题
2. 选做题