2018届人教A版抛物线检测卷

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2018届人教A版抛物线检测卷 (1)

A 卷1．(2016·宁夏银川九中月考)已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上点P (－3，m )到焦点的距离为5，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x2．(2016·洛阳统考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝5，则|BF |等于( ) A.14 B ．1 C.54D ．23．已知抛物线C ：y 2＝4x ，顶点为O ，动直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C 交于A ，B 两点，则OA →·OB →的值为( ) A ．5 B ．－5 C ．4D ．－44．若抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.18 B ．－18C ．8D ．－85．(2016·武昌调研)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)6．(2016·宁波质检)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172B ．3 C. 5D.927．抛物线x 2＝ay (a >0)的准线l 与y 轴交于点P ，若l 绕点P 以每秒π12弧度的角速度按逆时针方向旋转t 秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则t 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．48．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34 B.32 C ．1 D ．2二、填空题9．(2016·龙岩质检)已知抛物线的焦点为椭圆x 29＋y 24＝1的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线的方程为__________________．10．已知过拋物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 是坐标原点，|AF |＝2，则|BF |＝______，△OAB 的面积是________．11．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．12．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝8，|AF |<|BF |，则|BF |＝________.答案精析1．B [依题意，设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则p2－(－3)＝5，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x .]2．C [由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋1＝5⇒x 1＝4，y 21＝4x 1＝16，根据对称性，不妨取y 1＝4，所以直线AB ：y ＝43x －43，代入抛物线方程可得，4x 2－17x ＋4＝0，所以x 1＝4，x 2＝14，所以|BF |＝x 2＋1＝54.]3．A [设A ⎝⎛⎭⎫y 214，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 224，y 2，由已知得直线l 过定点E (－1,0)，因为E ，A ，B 三点共线，所以⎝⎛⎭⎫y 214＋1y 2＝⎝⎛⎭⎫y 224＋1y 1，即y 1y24(y 1－y 2)＝y 1－y 2，因为y 1≠y 2，所以y 1y 2＝4，所以OA →·OB →＝ y 1y 2216＋y 1y 2＝5.]4．B [抛物线的标准方程为x 2＝1a y .由条件得2＝－14a ，a ＝－18.]5．C [抛物线C 的方程为x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心，|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心，|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2， ∴y 0>2.]6．A [记抛物线y 2＝2x 的焦点为F (12，0)，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值．结合图形不难得相应的最小值就等于焦点F 到点(0,2)的距离．因此所求的最小值等于(12)2＋22＝172，故选A.] 7．C [由x 2＝ay 可得p 2＝a 4，故P (0，－a 4)．设l ：y ＝kx －a4，将其与x 2＝ay 联立，消去y 可得x 2a －kx ＋a4＝0，即4x 2－4akx ＋a 2＝0，由题设知Δ＝16k 2a 2－16a 2＝0，解得k ＝±1，当k ＝－1时，与逆时针旋转不合，故k ＝1，则直线的倾斜角α＝π4，又点的角速度为每秒π12弧度，故第一次与抛物线相切时，所用时间t ＝π4π12＝3，故选C.]8．D [由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6,2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，故选D.] 9．y 2＝－45x解析由c 2＝9－4＝5，得抛物线的焦点坐标为(－5，0)，又抛物线的顶点坐标为(0,0)，∴抛物线方程为y 2＝－45x . 10．2 2解析设A (x 0，y 0)，由抛物线定义知x 0＋1＝2， ∴x 0＝1，则直线AB ⊥x 轴，∴|BF |＝|AF |＝2，|AB |＝4. 故△OAB 的面积S ＝12|AB ||OF |＝12×4×1＝2.11．2 6解析如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．由题意将点A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米． 12．4＋2 2解析由y 2＝4x ，得焦点F (1,0)．又|AB |＝8，故AB 的斜率存在(否则|AB |＝4)．设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，故x 1＋x 2＝2＋4k 2，由|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝8，得x 1＋x 2＝2＋4k 2＝6，即k 2＝1，则x 2－6x ＋1＝0，又|AF |<|BF |，所以x 1＝3－22，x 2＝3＋22，故|BF |＝x 2＋1＝3＋22＋1＝4＋2 2. B 卷1．(2017·郑州质检)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为( ) A ．4 B ．8 C ．12D ．162．(2016·石家庄模拟)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，渐近线分别为l 1，l 2，点P 在第一象限内且在l 1上，若l 2⊥PF 1，l 2∥PF 2，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B ．2 C. 3D. 23．(2016·福州质检)直线y ＝x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的交点在x 轴上的投影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C 的离心率为( ) A.－1＋52B.1＋52C.3－52D.12二、填空题4．已知直线kx －y ＋1＝0与双曲线x 22－y 2＝1相交于两个不同的点A ，B ，若x 轴上的点M (3,0)到A ，B 两点的距离相等，则k 的值为________．5．(2016·云南省统一检测)已知双曲线S 与椭圆x 29＋y 234＝1的焦点相同，如果y ＝34x 是双曲线S 的一条渐近线，那么双曲线S 的方程为________．6．设F 1，F 2为椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2的公共的左，右焦点，椭圆C 1与双曲线C 2在第一象限内交于点M ，△MF 1F 2是以线段MF 1为底边的等腰三角形，且|MF 1|＝2，若椭圆C 1的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤38，49，则双曲线C 2的离心率的取值范围是________．三、解答题7．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其焦点为F 1，F 2，离心率为22，直线l ：x ＋2y －2＝0与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，(1)若点A 是椭圆E 的一个顶点，求椭圆的方程；(2)若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，求a 的取值范围．8.(2016·山东莱芜一中1月自主考试)已知椭圆E 的长轴的一个端点是抛物线y 2＝45x 的焦点，离心率是63. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知动直线y ＝k (x ＋1)与椭圆E 相交于A ，B 两点，且在x 轴上存在点M ，使得M A →·M B →与k 的取值无关，试求点M 的坐标．9．(2016·重庆巫溪中学第五次月考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点相同，且椭圆C 上一点与椭圆C 的左，右焦点F 1，F 2构成的三角形的周长为22＋2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ，m ∈R )与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△AOB 的重心G满足：F 1G →·F 2G →＝－59，求实数m 的取值范围．答案精析1． D [由题意得，抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2,0)，又直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2.代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦AB 的长应为x 1＋x 2＋4＝12＋4＝16.]2．B [∵点P 在第一象限内且在l 1上，且l 2⊥PF 1，l 2∥PF 2，∴tan ∠POF 2＝tan ∠PF 2O ＝ba且|OP |＝|OF 2|＝c ，∴△POF 2为正三角形，∴ba＝3，∴e ＝2，故选B.]3．A [设直线y ＝x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1在第一象限的交点为A ，依题意，点A 的坐标为(c ，c )，又点A 在椭圆C 上，故有c 2a 2＋c 2b 2＝1，因为b 2＝a 2－c 2，所以c 2a 2＋c 2a 2－c 2＝1，所以c 4－3a 2c 2＋a 4＝0，即e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3±52，又因为C 是椭圆，所以0<e <1，所以e ＝5－12.] 4.12解析联立直线与双曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1＝0，x 22－y 2＝1 得(1－2k 2)x 2－4kx －4＝0，∵直线与双曲线相交于两个不同的点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－2k 2≠0，Δ＝16k 2＋16(1－2k 2)＝16(1－k 2)>0，解得－1<k <1且k ≠±22. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k1－2k 2.设P 为AB 的中点，则P (x 1＋x 22，k (x 1＋x 2)2＋1)，即P (2k 1－2k 2，11－2k 2)． ∵M (3,0)到A ，B 两点距离相等， ∴MP ⊥AB ，∴k MP ·k AB ＝－1，即k ·11－2k 22k1－2k 2－3＝－1，得k ＝12或k ＝－1(舍)，∴k ＝12.5.y 29－x 216＝1 解析由题意可得双曲线S 的焦点坐标是(0，±5)．又y ＝34x 是双曲线S 的一条渐近线，所以c ＝5，a b ＝34，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝3，b ＝4，所以双曲线S 的标准方程为y 29－x 216＝1.6.⎣⎡⎦⎤32，4解析设双曲线C 2的方程为x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)，由题意知|MF 1|＝2，|F 1F 2|＝|MF 2|＝2c ，其中c 2＝a 22＋b 22＝a 21－b 21，又根据椭圆与双曲线的定义得⎩⎪⎨⎪⎧|MF 1|＋|MF 2|＝2a 1，|MF 1|－|MF 2|＝2a 2 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2＋2c ＝2a 1，2－2c ＝2a 2⇒a 1－a 2＝2c ，其中2a 1,2a 2分别为椭圆的长轴长和双曲线的实轴长．因为椭圆的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤38，49，所以38≤c a 1≤49，所以94c ≤a 1≤83c ，而a 2＝a 1－2c ，所以14c ≤a 2≤23c ，所以32≤ca 2≤4，即双曲线C 2的离心率的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，4. 7．解 (1)由椭圆的离心率为22，得a ＝2c ， ∵直线l 与x 轴交于A 点，∴A (2,0)，∴a ＝2，c ＝2，b ＝2， ∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)由e ＝22，可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋2y 2a 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋2y 2a 2＝1，x ＋2y －2＝0，得6y 2－8y ＋4－a 2＝0，若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，则线段AB 与椭圆E 有公共点，等价于方程6y 2－8y ＋4－a 2＝0在y ∈[0,1]上有解．设f (y )＝6y 2－8y ＋4－a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f (0)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥43，4－a 2≥0，∴43≤a 2≤4，故a 的取值范围是233≤a ≤2.8．解 (1)抛物线y 2＝45x 的焦点坐标为(5，0)，根据条件可知椭圆的焦点在x 轴上，且a ＝5，因为离心率e ＝63，所以c ＝ea ＝63×5＝303，故b ＝a 2－c 2＝5－103＝53，故椭圆E 的标准方程为x 25＋y 253＝1.(2)将y ＝k (x ＋1)代入x 2＋3y 2＝5，得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (m,0)，则x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1，MA →·M B →＝(x 1－m ，k (x 1＋1))·(x 2－m ，k (x 2＋1)) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－m )(x 1＋x 2)＋k 2＋m 2 ＝(k 2＋1)3k 2－53k 2＋1＋(k 2－m )(－6k 23k 2＋1)＋k 2＋m 2＝m 2＋(6m －1)k 2－53k 2＋1＝m 2＋2m －13－6m ＋143(3k 2＋1).要使上式与k 无关，则有6m ＋14＝0，解得m ＝－73，所以点M 的坐标为(－73，0)． 9．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝1，2a ＋2c ＝22＋2，a 2＝b 2＋c 2，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2－2＝0，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0⇒1＋2k 2>m 2 * ，x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2， ①x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2，设△AOB 的重心为G (x ，y )，由F 1G →·F 2G →＝－59，可得x 2＋y 2＝49.② 由重心公式可得G (x 1＋x 23，y 1＋y 23)，代入②式，整理可得(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝4⇒(x 1＋x 2)2＋[k (x 1＋x 2)＋2m ]2＝4，③ 将①式代入③式并整理，得m 2＝(1＋2k 2)21＋4k 2，代入(*)得k ≠0，则m 2＝(1＋2k 2)21＋4k 2＝1＋4k 41＋4k 2＝1＋44k 2＋1k 4. ∵k ≠0，∴t ＝1k 2>0，∴t 2＋4t >0， ∴m 2>1，∴m ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．。

2017-2018年人教A版选修1-1《2.3-1抛物线》练习含答案

第二章 2.3-1抛物线A 级基础巩固一、选择题1．若A 是定直线l 外一定点，则过点A 且与直线l 相切的圆的圆心轨迹为 ( D ) A ．直线 B ．椭圆 C ．线段D ．抛物线[解析] 因为圆过点A ，所以圆心到A 的距离为圆的半径；又圆与直线相切，所以圆心到直线的距离也等于圆的半径，且点A 是定直线l 外一定点，故圆心的轨迹为抛物线．2．如果抛物线y 2＝2px 的准线是直线x ＝－2，那么它的焦点坐标为 ( B ) A ．(1,0) B ．(2,0) C ．(3,0)D ．(－1,0)[解析] 因为准线方程为x ＝－2＝－p 2，所以焦点为(p2，0)，即(2,0)．3．(2016·贵州贵阳高二检测)抛物线x 2＝4y 的焦点到准线的距离为 ( C ) A ．12B ．1C ．2D ．4[解析] 抛物线x 2＝4y 中，P ＝2，∴焦点到准线的距离为2. 4．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是 ( C ) A ．(1,0) B ．⎝⎛⎭⎫14，0 C ．⎝⎛⎭⎫0，18 D ．⎝⎛⎭⎫0，14 [解析] 抛物线的标准方程为x 2＝12y ，∴p ＝14，且焦点在y 轴的正半轴上，故选C ．5．抛物线y 2＝4x 上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( A ) A ．0 B ．1516C ．78D ．1716[解析] 设M (x 0，y 0)，则x 0＋1＝1，∴x 0＝0，∴y 0＝0.6．从抛物线y 2＝4x 图象上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线焦点为F ，则△MPF 的面积为 ( A )A ．10B ．8C ．6D ．4[解析] 设P (x 0，y 0)，∵|PM |＝5，∴x 0＝4，∴y 0＝±4， ∴S △MPF ＝12|PM |·|y 0|＝10.二、填空题7．若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝__2__，准线方程为__x ＝－1__. [解析] 本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程. 由p2＝1知p ＝2，则准线方程为x ＝－p2＝－1. 8．以双曲线x 216－y 29＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__y 2＝－20x __.[解析] ∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，又p ＝10，∴y 2＝－20x . 三、解答题9．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 任作一条直线，交抛物线于P 1、P 2两点，求证：以P 1P 2为直径的圆和该抛物线的准线相切.[证明] 设线段P 1P 2的中点为P 0，过P 1，P 2，P 0分别向准线l 引垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，Q 0，如图所示．根据抛物线的定义，得|P 1F |＝|P 1Q 1|，|P 2F |＝|P 2Q 2|.∴|P 1P 2|＝|P 1F |＋|P 2F |＝|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|. ∵P 1Q 1∥P 0Q 0∥P 2Q 2，|P 1P 0|＝|P 0P 2|， ∴|P 0Q 0|＝12(|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|)＝12|P 1P 2|.由此可知，P 0Q 0是以P 1P 2为直径的圆P 0的半径，且P 0Q 0⊥l ，因此，圆P 0与准线相切．B 级素养提升一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于 ( B )A ． 2B ． 3C ．2D ．2 3[解析] ∵抛物线y 2＝43x 的焦点(3，0)为双曲线的右焦点，∴c ＝3，又ba ＝2，结合a 2＋b 2＝c 2，得a ＝1，∴e ＝3，故选B ． 2．抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是 ( D ) A ．2 3 B ．2 C ． 3D ．1[解析] 本题考查了抛物线y 2＝2px 的焦点坐标及点到直线的距离公式．由y 2＝8x 可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d ＝|2－3×0|12＋(3)2＝1.3．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为 ( D )A ．－2B ．2C ．－4D ．4[解析] 抛物线的焦点为F (p2，0)，椭圆中c 2＝6－2＝4，∴c ＝2，其右焦点为(2,0)，∴p2＝2，∴p ＝4.4．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为 ( C )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4[解析] 设P (x 0，y 0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF |＝x 0＋2＝42，x 0＝32代入抛物线的方程，得|y 0|＝26，S △POF ＝12|y 0|·|OF |＝23，选A ，涉及到抛物线的焦点三角形问题，要考虑焦半径公式．5．(2015·绵阳二诊)若抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为 ( B )A ．22B ．24C ．12D ．14[解析] 由题意知，抛物线准线方程为x ＝－12.设M (a ，b )，由抛物线的定义可知，点M 到准线的距离为32，所以a ＝1，代入抛物线方程y 2＝2x ，解得b ＝±2，所以S △MFO ＝12×12×2＝24.二、填空题6．点M (5,3)到抛物线x 2＝ay (a >0)的准线的距离为6，则抛物线的方程是__x 2＝12y __. [解析] 抛物线x 2＝ay 的准线方程为y ＝－a4，由题意得3－(－a4)＝6，∴a ＝12，∴x 2＝12y .7．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点M 的轨迹方程是__y 2＝16x __.[解析] 依题意可知M 点到点F 的距离等于M 点到直线x ＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p ＝8，顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，∴其方程为y 2＝16x .三、解答题8．已知抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离是5.求抛物线方程和m 的值.[解析] 解法一：∵抛物线焦点在x 轴上，且过点M (－3，m )，∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则焦点坐标F (－p2，0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p m 2＋(3－p 2)2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝4m ＝26，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4m ＝－26 .∴所求抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. 解法二：设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则焦点坐标F (－p 2，0)，准线方程x ＝p 2.由抛物线定义知，点M 到焦点的距离等于5，即点M 到准线的距离等于5，则3＋p2＝5，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x .又点M (－3，m )在抛物线上， ∴m 2＝24，∴m ＝±26，∴所求抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6.C 级能力提高1．一抛物线拱桥跨度为52 m ，拱顶离水面6.5 m ，一竹排上载有一宽4 m ，高6 m 的大木箱，则竹排__能__(填“能”或“不能”)安全通过.[解析] 如图所示建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py ，则有A (26，－6.5)，设B (2，y )，由262＝－2p ×(－6.5)，得p ＝52，所以抛物线方程为x 2＝－104y .当x ＝2时，4＝－104y ，所以y ＝－126，因为6.5－126>6，所以能安全通过．2．如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在坚直方向上高度之差至少要0.5 m ．若行驶车道总宽度AB为6 m，计算车辆通过隧道的限制高度是多少米？(精确到0.1 m)[解析]取抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，C(4，－4)，设抛物线方程x2＝－2py(p>0)，将点C代入抛物线方程得p＝2，∴抛物线方程为x2＝－4y，行车道总宽度AB＝6 m，∴将x＝3代入抛物线方程，y＝－2.25 m，∴限度为6－2.25－0.5＝3.25 m则车辆通过隧道的限制高度是3.25米．。

2018届高考数学(文)总复习跟踪检测(四十九)抛物线含解析

课时跟踪检测 (四十九) 抛物线一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：选D 由准线x ＝1知，抛物线方程为：y 2＝－2px (p >0)且p2＝1，p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝－4x ，故选D ．2．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．2 B ．12 C ．32D ．52解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32． 3．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12解析：选C 由已知，得准线方程为x ＝－2，所以F 的坐标为(2,0)．又A (－2,3)，所以直线AF 的斜率为k ＝3－0－2－2＝－34．4．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x Px P －－1 ＝12，解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2．答案：25．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________．解析：如图，根据对称性：A ，B 关于x 轴对称，故∠AOx ＝30°．直线OA 的方程y ＝33x ，代入y 2＝2x ，得x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝6．即得A 的坐标为(6,23)．∴|AB |＝43，正三角形OAB 的面积为12³43³6＝123．答案：12 3二保高考，全练题型做到高考达标1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫116a ，0 解析：选 C 将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14ay (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C ． 2．(2016²山西高三考前质量检测)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是( )A ．x 2＝2y B ．x 2＝2y C ．x 2＝yD ．x 2＝22y 解析：选A 由题意得，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，－p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p ，－p 2，∴S △FAB ＝12²2p ²p ＝1，则p ＝1，即抛物线C 1的方程是x 2＝2y ，故选A ．3．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值为( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知AB 所在的直线方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.得：x 2－5p 3x ＋p24＝0，∴x 1＋x 2＝5p 3，x 1x 2＝p24，所以x 1＝3p 2，x 2＝p 6，所以|AF ||BF |＝32p ＋p 2p 2＋p6＝3．4．已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为点M ，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫6，172，则|PA |＋|PM |的最小值是( ) A ．8 B ．192 C ．10D ．212解析：选B 依题意可知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，准线方程为y ＝－12，延长PM 交准线于点H (图略)．则|PF |＝|PH |，|PM |＝|PF |－12，|PM |＋|PA |＝|PF |＋|PA |－12，即求|PF |＋|PA |的最小值．因为|PF |＋|PA |≥|FA |，又|FA |＝62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫172－122＝10．所以|PM |＋|PA |≥10－12＝192，故选B ．5．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3x C ．y 2＝92xD ．y 2＝9x解析：选B 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则|BC |＝2a ，由定义得：|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ，所以2|AE |＝|AC |，所以3＋3a ＝6，从而得a ＝1，因为BD ∥FG ，所以1p ＝23，求得p ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ．6．抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB 2＝33p ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫±33p ，－p 2．又因为点B 在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6．答案：67．(2017²广西质检)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E (图略)，∵|PA |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3 x 1＋2 ＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53．答案：538．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．解析：由题意，可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)． ∵点(2，－2)在抛物线上，∴p ＝1，即抛物线方程为x 2＝－2y ．当y ＝－3时，x ＝±6．∴水位下降1米后，水面宽为26米．答案：2 69．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ．(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2．∴抛物线方程为y 2＝4x ． (2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又∵F (1,0)，∴k FA ＝43，∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34．又FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45． 10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9．(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ―→＝OA ―→＋λOB ―→，求λ的值．解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4．由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x ． (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设C (x 3，y 3)，则OC ―→＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2．故λ的值为0或2．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线AB ，CD 与抛物线交于A ，B ，C ，D 四点，且AB ⊥CD ，则FA ―→²FB ―→＋FC ―→²FD ―→的最大值等于( )A ．－4B ．－16C ．4D ．－8解析：选B 依题意可得，FA ―→²FB ―→＝－(|FA ―→|²|FB ―→|)．又因为|FA ―→|＝y A ＋1，|FB ―→|＝y B ＋1，所以FA ―→²FB ―→＝－(y A y B ＋y A ＋y B ＋1)．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，联立x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4＝0，所以x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4．所以y A y B ＝1，y A ＋y B ＝4k 2＋2．所以FA ―→²FB ―→＝－(4k 2＋4)．同理FC ―→²FD ―→＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋4．所以FA ―→²FB ―→＋FC ―→²FD ―→＝－⎝⎛⎭⎪⎫4k 2＋4k2＋8≤－16．当且仅当k ＝±1时等号成立．2．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．因为点P (1,2)在抛物线上，所以22＝2p ³1，解得p ＝2．故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1． (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ．则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k PA ＝－k PB ．由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)．所以y 1＋y 2＝－4．由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，y1－y2 x1－x2＝4y1＋y2＝－1(x1≠x2)．所以k AB＝。

人教版2018最新高中数学高考总复习抛物线习题及详解Word版

高中数学高考总复习抛物线习题 ( 附参照答案 ) 一、选择题1． (2010 湖·北黄冈 )若抛物线 2 x2 y2y ＝ 2px 的焦点与椭圆＋＝1 的右焦点重合，则 p 的值6 2为()A．－ 2 B ． 2C．－ 4 D ．4[答案 ] D[分析 ] 椭圆中， a 2＝ 6，b2＝ 2，∴ c＝ a2－ b2＝ 2，p∴右焦点 (2,0)，由题意知2＝ 2，∴ p＝ 4.2．已知点 M 是抛物线 y2＝ 2px(p>0)上的一点， F 为抛物线的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与 y 轴的关系是 ( )A ．订交B ．相切C．相离 D ．以上三种情况都有可能[答案 ] B[分析 ] 如图，由 MF 的中点 A 作准线 l 的垂线 AE ，交直线 l 于点 E，交 y 轴于点 B；由点 M 作准线 l 的垂线 MD ，垂足为 D ，交 y 轴于点 C，则 MD＝MF ，ON＝OF，∴AB＝ OF ＋ CM＝ ON＋ CM2 2＝DM＝ MF，22∴这个圆与 y 轴相切．3．(2010 山·东文 )已知抛物线 y 2＝2px(p>0)，过焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于A、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A ． x＝ 1B ． x＝－ 1C．x＝ 2 D ．x＝－ 2[答案 ] B[分析 ] 设 A(x1，y1) ，B(x2，y2)，则线段 AB 的中点 ( x1＋x2，y1＋ y2 y1＋ y2＝ 2，∵ A、2 2 )，∴ 2B 在抛物线 y 2＝ 2px 上，y 12＝ 2px 1 ①∴y 22＝ 2px 2 ②①－②得 y 12 －y 2 2＝ 2p( x 1－x 2 )，∴ k ＝ y 1－y 2 ＝ 2p ＝ p＝ 1，∴， p ＝2，∵ k ABABx 1－x 2 y 1＋y 2 2∴抛物线方程为 y 2＝4x ，∴准线方程为： x ＝－ 1，应选 B.x 2 － y 2＝ 1 的渐近线上一点 A 到双曲线的右焦点F 的距离等于 2，抛物线 y24．双曲线 9 4＝2px(p>0) 过点 A ，则该抛物线的方程为 ()A ． y 2＝ 9xB ． y 2＝4xC ．y 2＝4 13xD ．y 2＝2 13x1313[答案 ]C[分析 ]∵双曲线 x 2 y 2的渐近线方程为2－＝ 1y ＝ ± x ，F 点坐标为 ( 13，0)，设 A 点坐标9 43 222 2＝ 2? x ＝9，y ＝ ±62为( x ，y)，则 y ＝ ±13 ＋3x13 13 ，代入 y ＝ 2px3x ，由 |AF|＝ 2?x －得 p ＝ 2 13，所以抛物线方程为y 2＝ 4 131313 x ，所以选 C.5．已知点 P 是抛物线 2＝ 2x 上的一个动点，则点 P 到点 (0,2)的距离与点 P 到该抛物线 y 准线的距离之和的最小值为()A. 17 B ． 329 C. 5D.2[答案 ] A[分析 ]记抛物线 y 2＝ 2x 的焦点为 F1， 0 ，准线是 l ，由抛物线的定义知点 P 到焦点 F2的距离等于它到准线 l 的距离，所以要求点 P 到点 (0,2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，能够转变为求点P 到点 (0,2)的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小值，联合图形不难得悉相应的最小值就等于焦点 F 与点 (0,2)的距离，所以所求的最小值等于1 2＋ 22＝17，选 A.226．已知抛物线 C ：y 2＝ 4x 的焦点为 F ，准线为 l ，过抛物线 C 上的点 A 作准线 l 的垂线，垂足为 M ，若△ AMF 与△ AOF (此中 O 为坐标原点 ) 的面积之比为 3 1，则点 A 的坐标为 ()A ． (2,2 2)B ．(2，－ 2 2)C ．(2， ± 2)D ．(2， ±2 2)[答案 ]D[分析 ]如图，由题意可得， |OF |＝1，由抛物线定义得，|AF |＝ |AM|，∵△ AMF与△AOF (其中 O 为坐标原点)的面积之比为3∶ 1，1∴ S△AMF ＝2× |AF|× |AM|× sin ∠ MAF＝ 3，S △AOF12× |OF|× |AF|× sin π－∠ MAF22∴ |AM |＝ 3，设 A y0 ， y 0，∴ y0 ＋ 1＝ 3，4 4y 02解得 y 0＝ ±2 2，∴ 4 ＝ 2，∴点 A 的坐标是 (2， ±22)，应选 D.7． (2010 河·北许昌调研 )过点 P(－ 3,1)且方向向量为 a ＝ (2，－ 5)的光芒经直线 y ＝－ 2反射后经过抛物线 y 2＝ mx ， (m ≠ 0)的焦点，则抛物线的方程为()A ． y 2＝－ 2xB ． y 2＝－ 3x2C ．y 2＝ 4xD ．y 2＝－ 4x[答案 ] D[分析 ]→设过 P(－ 3,1)，方向向量为 a ＝ (2，－ 5)的直线上任一点 Q(x ， y)，则 PQ ∥ a ，x ＋ 3 y －1∴ 2 ＝－5 ，∴ 5x ＋ 2y ＋ 13＝ 0，此直线对于直线 y ＝－ 2 对称的直线方程为 5x ＋ 2(－ 4－ y)＋ 13＝ 0，即 5x － 2y ＋ 5＝ 0，此直线过抛物线y 2＝ mx 的焦点 Fm，0 ，∴ m ＝－ 4，应选4D.8．已知 mn ≠ 0，则方程是 mx 2＋ ny 2＝1 与 mx ＋ ny 2＝0 在同一坐标系内的图形可能是( )[答案 ] A[分析 ]22＝1 2＝－ mC 、D ；∴若 mn>0，则 mx ＋ ny 应为椭圆， y n x 应张口向左，故清除mn<0，此时抛物线2m B ，选 A.y ＝－x 应张口向右，清除n9． (2010 山·东聊城模考 )已知 A 、 B 为抛物线 C ：y 2＝4x 上的不一样两点， F 为抛物线 C 的焦点，若 → →) FA ＝－ 4FB ，则直线 AB 的斜率为 (23 A ． ±B ． ±3234 C ．±D ．±43[答案 ] D[分析 ]→ → →→∵FA ＝－ 4FB ，∴ |FA|＝4|FB|，设 |BF|＝ t ，则 |AF |＝ 4t ，∴ |BM|＝ |AA 1|－ |BB 1|＝ |AF|－ |BF|＝3t ，又 |AB|＝ |AF|＋ |BF|＝ 5t ，∴ |AM |＝ 4t ，4 4∴ tan ∠ ABM ＝，由对称性可知，这样的直线AB 有两条，其斜率为 ± .3310．已知抛物线 C 的方程为 x 2＝1y ，过点 A(0，－ 4)和点 B(t,0)的直线与抛物线 C 没有2公共点，则实数 t 的取值范围是 ()A ． (－∞，－ 1)∪(1，＋∞ )B. －∞，－ 2 ∪222 ，＋∞C ．( －∞，－ 2 2)∪ (2 2，＋∞ )D ． (－∞，－ 2 2)∪ ( 2，＋∞ )[答案 ]B21 ①x ＝ y[分析 ]由题意知方程组2无实数解x ＋ y＝1 ②t － 4由②得 y ＝4x－ 4，代入①整理得，t24x ＝ 16，2x －＋ 4＝0，∴2－ 32<0tt∴ t> 2或 t<－ 2，应选 B.22[评论 ]可用数形联合法求解，设过点A(0，－ 4)与抛物线21 x＝ y 相切的直线与抛物线2切点为 M(x 0， y 0)，则切线方程为 y －y 0＝4x 0(x － x 0)， ∵过 A 点，∴－ 4－ 2x 02＝ 4x 0(0－ x 0)，∴ x 0＝ ± 2，∴ y 0＝4，∴切线方程为 y －4＝ ±4 2x －8，令 y ＝ 0 得 x ＝ ± 2，即 t ＝± 2，2222由图形易知直线与抛物线无公共点时，t<－2 或 t> 2 .二、填空题11．已知点 A(2,0) 、B(4,0) ，动点 P 在抛物线 2→ →y ＝－ 4x 上运动，则 AP ·BP 获得最小值时的点 P 的坐标是 ______．[答案 ] (0,0)[分析 ]设 P－ y 2→y 2→y 2→ →y 24 ，y ，则 AP ＝－－ 2，y ， BP ＝－－ 4， y ， AP ·BP ＝－－ 24 4424 5 2 － y2y ＋ 8≥ 8，当且仅当 y ＝0 时取等号，此时点 P 的坐标为 (0,0)．－4 ＋ y ＝ 16 ＋ y4212． (文 )(2010 泰·安市模拟 )如图，过抛物线 y 2＝ 2px(p>0) 的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线 l ，交抛物线于A 、B 两点，且 |FA|＝ 3，则抛物线的方程是 ________．[答案 ]y 2＝ 3x[分析 ] 设抛物线准线为 l ，作 AA 1⊥ l ，BB 1⊥ l ，FQ ⊥ l ，垂足分别为 A 1 、B 1、Q ，作 BM⊥AA 1 垂足为 M ，BM 交 FQ 于 N ，则由条件易知∠ ABM ＝ 30°，设 |BF |＝ t ，则 |NF|＝ t， |MA|2＝t ＋ 3，∵ |AM |＝ |QN|，∴ 3－ t ＋ 3＝ p － t，∴ p ＝ 3，∴抛物线方程为 y 2＝ 3x. 22 2 2(理 )(2010 泰·安质检 ) 如图，过抛物线 y 2＝ 2px(p>0)的焦点的直线 l 挨次交抛物线及其准线于点 A 、 B 、 C ，若 |BC|＝ 2|BF|，且 |AF|＝ 3，则抛物线的方程是 ________．[答案 ]y 2＝ 3x[分析 ] 解法 1：过 A 、 B 作准线垂线，垂足分别为A 1 ，B 1，则 |AA 1|＝ 3， |BB 1|＝ |BF|，∵ |BC|＝ 2|BF |，∴ |BC |＝2|BB 1|，∴ |AC|＝ 2|AA 1|＝ 2|AF |＝6，∴ |CF |＝ 3，∴ p ＝1 |CF |＝3，∴抛物线方程为y 2＝3x.22解法 2：由抛物线定义， |BF|等于 B 到准线的距离，由|BC|＝ 2|BF|得∠ BCB 1＝30°，又 |AF| ＝3，进而 A p ＋ 3，3 3 在抛物线上，代入抛物线方程 3y 2＝ 2px ，解得 p ＝ .2 2 22评论：还能够由 |BC|＝ 2|BF|得出∠ BCB 1＝30°，进而求得 A 点的横坐标为1 p|OF|＋ |AF |＝223 或 p ，∴ p3 p 3＋ 3－ 2 ＋＝3－，∴ p ＝ .2 222213．已知 F 为抛物线 C ：y 2＝ 4x 的焦点，过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A 、B 两点．设|FA|>|FB|，则 |FA|与 |FB|的比值等于 ________．[答案 ] 3＋ 2 2[分析 ] 分别由 A 和 B 向准线作垂线，垂足分别为 A 1， B 1，则由条件知，|AA 1|＋ |BB 1|＝ |AB|，12＋ 2|AA |＝4|AB|2 ，解得，|AA 1|－ |BB 1|＝2 |AB||BB 1|＝ 2－ 24 |AB|∴|AA 1 |＝3＋ 2 2，即|FA|＝ 3＋ 2 2.|BB 1 ||FB |14． (文 )若点 (3,1) 是抛物线 y 2＝ 2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则 p ＝ ________.[答案 ] 2[分析 ]设弦两头点 P 1(x 1， y 1)， P 2(x 2， y 2) ，y 12＝ 2px 1 y 1－ y2＝2p＝ 2，则，两式相减得， y 22＝ 2px 2x 1－ x 2 y 1＋ y 2∵ y 1＋ y 2＝ 2，∴ p ＝ 2.(理 )(2010 衡·水市模考 )设抛物线 x 2＝ 12y 的焦点为 F ，经过点 P(2,1) 的直线 l 与抛物线相交于 A 、B 两点，又知点 P 恰为 AB 的中点，则 |AF |＋ |BF|＝ ________.[答案 ] 8[分析 ]过 A 、 B 、 P 作准线的垂线 AA 1、 BB 1 与 PP 1，垂足 A 1、 B 1、 P 1，则 |AF|＋ |BF|＝ |AA 1|＋ |BB 1 |＝ 2|PP 1|＝ 2[1 － (－ 3)] ＝ 8.三、解答题2 23，抛物线15． (文 )若椭圆 C 1： x ＋y2＝ 1(0<b<2) 的离心率等于C 2： x 2＝ 2py(p>0)的焦4 b2点在椭圆 C 1 的极点上．(1)求抛物线 C 2 的方程；(2)若过 M(－ 1,0)的直线 l 与抛物线 C 2 交于 E 、 F 两点，又过 E 、 F 作抛物线 C 2 的切线l 1、 l 2，当 l 1⊥l 2 时，求直线 l 的方程．[分析 ](1)已知椭圆的长半轴长为a ＝ 2，半焦距 c ＝ 4－b 2，由离心率 e ＝ c＝24－b＝ 3得， b 2＝1.a 2 2∴椭圆的上极点为 (0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，∴ p ＝ 2，抛物线的方程为 x 2＝ 4y.(2)由题知直线 l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为 y ＝ k(x ＋ 1)，E(x 1， y 1)，F(x 2， y 2)，1 2 1 x ，∵ y ＝ x，∴ y ′ ＝4211∴切线 l 1， l 2 的斜率分别为 2x 1， 2x 2，1 1当 l 1⊥ l 2 时， x 1·x 2＝－ 1，即 x 1 ·x 2＝－ 4，2 2y ＝k x ＋1 由得： x 2－ 4kx － 4k ＝ 0，x 2＝ 4y由＝ (－ 4k)2－ 4×( － 4k)>0，解得 k<－ 1 或 k>0.又 x 1·x 2＝－ 4k ＝－ 4，得 k ＝ 1.∴直线 l 的方程为 x －y ＋ 1＝ 0.→→ →→→→(理 )在△ ABC 中， CA ⊥ CB， OA＝ (0，－ 2)，点 M 在 y 轴上且 AM ＝1 ＋ CD )，点 C( AB2在 x 轴上挪动．(1)求 B 点的轨迹 E 的方程；(2)过点 F 0，－1的直线 l 交轨迹 E→→4于 H、E 两点， (H 在 F、G 之间 )，若 FH＝1 HG ，2求直线 l 的方程．[分析 ] (1)设 B(x， y)， C(x0,0)， M(0， y0)，x0≠0，→→π∵ CA⊥ CB，∴∠ ACB＝，2∴2 y0＝－ 2x0·1，于是 x0 ＝ 2y0①－ x0→→→M 在 y 轴上且 AM＝1(AB＋ AC)，2所以 M 是 BC 的中点，可得x0＋ xx0＝－ x ②＝ 02 ，∴y0＝yy＋ 0 ③＝ y0 22把②③代入①，得y＝ x2(x≠ 0)，所以，点 B 的轨迹 E 的方程为 y＝ x2(x≠0)．(2)点 F 0，－1 ，设知足条件的直线l 方程为：41y＝ kx－4，H (x1， y1)， G(x2， y2)，1由 y＝ kx－4 消去 y 得， x2－ kx＋1＝ 0.y＝ x2 4 ＝k2－ 1>0? k2>1，→ 1 → 1 1∵FH＝2HG，即 x1，y1＋4 ＝2(x2 － x1， y2－ y1)，1 1∴x1＝2x2－2x1? 3x1＝ x2.1 2 3，∵ x1＋ x2＝ k， x1x2＝，∴ k＝±34故知足条件的直线有两条，方程为： 8x ＋ 4 3y ＋ 3＝ 0 和 8x － 4 3y － 3＝ 0.16． (文 )已知 P(x ， y)为平面上的动点且 x ≥0，若 P 到 y 轴的距离比到点 (1,0)的距离小1.(1)求点 P 的轨迹 C 的方程；(2)设过点 M(m,0)的直线交曲线 C 于 A 、 B 两点，问能否存在这样的实数m ，使得以线段 AB 为直径的圆恒过原点．[分析 ](1)由题意得：x － 12＋ y 2－ x ＝ 1，化简得： y 2＝ 4x (x ≥ 0)．∴点 P 的轨迹方程为 y 2＝ 4x( x ≥0) ．(2)设直线 AB 为 y ＝k(x －m)， A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)， y ＝k x －m由，得 ky 2－ 4y － 4km ＝ 0，y 2＝ 4x∴ y 1＋ y 2＝4k ， y 1·y 2＝－ 4m.∴ x 1·x 2＝ m 2，∵以线段 AB 为直径的圆恒过原点，∴ OA ⊥ OB ，∴ x 1·x 2＋ y 1·y 2＝ 0.即 m 2－ 4m ＝ 0? m ＝ 0 或 4.当 k 不存在时， m ＝ 0 或 4.∴存在 m ＝ 0 或 4，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．[评论 ](1)点 P 到定点F(1,0)的距离比到y 轴的距离大1，即点P 到定点F(1,0)的距离与到定直线 l ：x ＝－ 1 的距离相等．∴ P 点轨迹是以 F 为焦点， l 为准线的抛物线，∴ p ＝ 2，∴方程为 y 2＝ 4x.(理 )已知抛物线 y 2＝ 4x ，过点 (0，－ 2)的直线交抛物线于 A 、 B 两点， O 为坐标原点．→ →的方程． (1)若 OA ·OB ＝4，求直线 AB(2)若线段 AB 的垂直均分线交x 轴于点 (n,0)，求 n 的取值范围．[分析 ] (1)设直线 AB 的方程为 y ＝kx － 222 2(k ≠ 0)，代入 y ＝ 4x 中得， k x － (4k ＋ 4)x ＋4＝ 0①4k ＋4 4设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，则 x 1＋ x 2＝ k 2 ， x 1x 2＝ k 2.y 1y 2＝( kx 1－ 2) ·(kx 2 －2)＝ k 2x 1x 2－ 2k(x 1＋ x 2)＋ 4＝－8k .→ → 4 82∵ OA ·OB ＝ (x 1 ，y 1) ·(x 2， y 2)＝ x 1x 2＋y 1y 2＝ k 2－ k ＝4，∴ k ＋ 2k － 1＝ 0，解得 k ＝－ 1± 2. 又由方程①的鉴别式＝ (4k ＋ 4)2－ 16k 2＝32k ＋ 16>0 得 k>－ 1，∴ k ＝－ 1＋ 2，2∴直线 AB 的方程为 ( 2－ 1)x － y － 2＝ 0.(2)设线段 AB 的中点的坐标为 ( x 0， y 0)，则由 (1) 知 x 0＝ x 1＋x 2 ＝ 2k ＋ 22 k 2 ， y 0＝ kx 0－ 2＝2，k∴线段 AB 的垂直均分线的方程是2 ＝－ 1 x － 2k ＋ 2 y － k 2.k k2k ＋ 2 2 2令 y ＝ 0，得 n ＝ 2＋ k 2＝k 2＋ k ＋ 21 12 3＝ 2 k ＋ 2 ＋ 2.又由 k>－1且 k ≠ 0 得1<－ 2，或 1 >0，2k k∴ n>2 0＋12 2＋ 32＝ 2.∴ n 的取值范围为 (2，＋ ∞ )．2的焦点为 F ，过点 K(－ 1,0) 的直线 l 与 C 17． (文 )(2010 全·国Ⅰ )已知抛物线 C ： y ＝ 4x 订交于 A 、 B 两点，点 A 对于 x 轴的对称点为 D .(1)证明：点 F 在直线 BD 上；→ → 8，求△ BDK 的内切圆 M 的方程．(2)设 FA ·FB ＝9[分析 ] 设 A(x 1，y 1)， B( x 2， y 2)， D(x 1，－ y 1)， l 的方程为 x ＝my － 1(m ≠ 0) (1)将 x ＝ my － 1(m ≠0)代入 y 2＝ 4x 并整理得y 2－ 4my ＋ 4＝ 0，进而 y 1＋ y 2＝ 4m ， y 1y 2＝ 4① 直线 BD 的方程为 y － y 2＝y 2＋ y 1( x －x 2)x 2－ x 1即 y － y 2＝ 4 x －y 2 2－y 1 4y 2令 y ＝ 0，得 x ＝ y 14y 2＝ 1，所以点 F(1,0)在直线 BD 上．(2)由 (1) 知，x 1＋ x 2＝ (my 1－ 1)＋ (my 2－ 1)＝ 4m 2－2， x 1x 2＝( my 1－ 1)(my 2－ 1)＝ 1→→→ →因为 FA ＝ (x 1－ 1，y 1)，FB ＝ (x 2－ 1，y 2)，FA ·FB ＝ (x 1－ 1，y 1) ·(x 2－ 1，y 2)＝ x 1x 2－ (x 1＋ x 2)＋ 1＋ 4＝ 8－ 4m 2，故 8－4m 28 4＝，解得 m ＝ ± ，93直线 l 的方程为 3x ＋ 4y ＋ 3＝ 0,3x － 4y ＋ 3＝0. 进而 y － y ＝ ±24 4m － 4×4＝ ±7，21343故 y 2－ y 1＝ ±7因此直线 BD 的方程为 3x ＋ 7y － 3＝ 0,3x － 7y － 3＝0.因为 KF 为∠ BKD 的角均分线，故可设圆心M (t,0)，(－ 1<t<1) ，M(t,0)到直线 l 及 BD 的距离分别为 3|t＋ 1|， 3|t－ 1|，5 4由3|t＋1|＝3|t－1|得 t＝1或 t＝9( 舍去 )，故圆 M 的半径为 r＝3|t＋1|＝2，5 4 9 5 3所以圆 M 的方程为x－12＋ y2＝4.9 9(理 )(20102 2＝ 9上随意两个不一样的点，揭·阳市模考 )已知点 C(1,0)，点 A、B 是⊙ O：x ＋ y→ →且知足 AC·BC＝ 0，设 P 为弦 AB 的中点．(1)求点 P 的轨迹 T 的方程；(2)尝试究在轨迹 T 上能否存在这样的点：它到直线 x＝－ 1 的距离恰巧等于到点 C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明原因．[分析 ]→ → 1|AB|，(1)法一：连接 CP，由 AC·BC＝ 0 知， AC⊥ BC，∴ |CP |＝ |AP|＝ |BP |＝2由垂径定理知|OP|2＋ |AP|2＝ |OA|2，即 |OP|2＋ |CP |2＝9，222 2设点 P(x， y)，有 (x ＋ y ) ＋[( x－ 1) ＋ y ]＝ 9，法二：设 A(x1， y1) ，B(x2， y2)， P(x， y)，依据题意知，x12＋ y12＝ 9， x22＋ y22＝9,2x＝ x1＋ x2,2y＝ y1＋ y2，∴4x2＝ x12＋ 2x1x2＋ x22,4y2＝ y12＋2y1y2＋y22故 4x2＋ 4y2＝ (x12＋ y12)＋ (2x1x2＋ 2y1y2)＋ (x22＋ y22)＝18＋ 2(x1x2＋ y1y2)①→→又∵ AC·BC＝ 0，∴ (1 －x1，－ y1) ·(1－ x2，－ y2)＝ 0∴(1－ x1)× (1－ x2)＋ y1y2＝0，故 x1x2＋ y1y2＝ (x1＋x2)－ 1＝ 2x－ 1，代入①式得，4x2＋ 4y2＝18＋ 2(2x－ 1)，化简得， x2－ x＋ y2＝ 4.(2)依据抛物线的定义，到直线x＝－ 1 的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线 y2＝2px 上，此中p＝ 1，∴ p＝ 2，故抛物线方程为 y2＝ 4x，2y2＝ 4x得， x2＋ 3x－4＝ 0，由方程组x2－ x＋ y2＝ 4解得 x1＝ 1， x2＝－ 4，因为 x≥0，故取 x＝ 1，此时 y＝±2，故知足条件的点存在，其坐标为(1，－ 2) 和(1,2)．。

专题9-7 抛物线测-2018年高考数学文一轮复习讲练测含

2018年高考数学讲练测【新课标版】【测】第九章解析几何第七节抛物线班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的．） 1.【2018届湖北省黄冈市高三9月检测】抛物线24x y =的焦点坐标是（） A. ()0,2 B. ()0,1 C. ()2,0 D. ()1,0 【答案】B【解析】242,2x y py p ==∴=，焦点坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，即为()0,1，故选B. 2.【2018届新疆呼图壁县第一中学高三9月月考】抛物线2x y a=的焦点坐标为（0，－1），实数a 的值等于（） A. 4 B. －4 C. 14 D. 14- 【答案】B3.【2018届江西省新余市第一中学毕业年级第二模拟】动点P 到点()0,2A 的距离比它到直线:4l y =-的距离小2，则动点P 的轨迹方程为（）A. 24y x = B. 28y x = C. 24x y = D. 28x y = 【答案】D4.已知F 是抛物线24y x =的焦点，A B ，是抛物线上的两点，12AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（）A. 4B. 5C. 6D. 11 【答案】B【解析】∵212A B AF BF x x +=++=，∴10A B x x +=，∴52A Bx x +=，∴线段AB 的中点到y 轴的距离为5，故选B.5.【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点A l ∈，线段AF 交抛物线C 于点B ，若3FA FB =，则AF =（） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】B【解析】由已知B 为AF 的三等分，作BH l ⊥于H ，如图，则244,333BH FK BF BH ==∴==， 34AF BF ∴==，故选B.6．【2018届广雅中学、东华中学、河南名校高三上学期第一次联考】已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在左准线上，若，且直线的斜率，则的面积为（） A.B.C. D.【答案】C7．【2017届云南省红河州高三统一检测】如果12,,,n P P P 是抛物线2:8C y x =上的点，它们的横坐标依次为12,,,n x x x ， F 是抛物线C 的焦点，若128n x x x +++=，则12n PF P F P F +++=（）A. 10n +B. 8n +C. 210n +D. 28n + 【答案】D 【解析】12,,,n P P P 是抛物线2:8C y x =上的点，它们的横坐标依次为12,,,n x x x ，F 是抛物线C 的焦点， 128n x x x +++=，12n PF P F P F ∴+++=12222n x x x ++++++（）（）（）12228n x x x n n =++++=+，故选：D ．8.【2018届安徽省屯溪第一中学高三第二次月考】已知抛物线的焦点为，点在此抛物线上，且，弦的中点在其准线上的射影为,则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】由题意知，根据重要不等式得：所以，即的最大值为，故选A.9.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（）A ．12 B ．23 C ．34 D ．43【答案】D【解析】由于点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，所以22482p p y x -=-∴=∴=，设直线AB 的方程为(3) 2......()x k y =--*，将()*与28y x =联立，即2(3)28x k y y x=--⎧⎪⎨=⎪⎩2824160......()y ky k ⇒-++=⊗，则264966402k k k =--=∴=（负值舍去），将k =2代入()⊗得y =8，即可求出x =8，故B （8,8），所以804823BFk -==-，故选D . 10.已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 得一个焦点，若FQ PF 4=，则=QF （） A.27 B. 3 C. 25D. 2 【答案】B【解析】如图所示，因为FQ PF 4=，故34PQPF =，过点Q 作QM l ⊥，垂足为M ，则//QM x 轴，所以344MQ PQ PF==，所以3MQ =，由抛物线定义知，3QF MQ ==，选B ．11.【2018届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A B 、分别在抛物线28y x =及圆()22216x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的轴长的取值范围是（）A. ()6,10B. ()8,12C. []6,8D. []8,12 【答案】B12.【押题卷【浙江卷】】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（）A 1CA.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【答案】D.【解析】如下图所示，连结1PC ，过P 作PH BC ⊥于H ，∵11C D ⊥面11BB C C ，1PC ⊂面11BB C C ，∴111PC C D ⊥，∴1PC PH =，故点P 的轨迹为以1C 为焦点，BC 所在直线为准线的抛物线，故选D.二、填空题13.【2017届浙江省高三上学期高考模拟】抛物线22y x =的焦点坐标是___________，准线方程是___________. 【答案】1(,0)2，12x =-. 【解析】由题意得，焦点坐标是1(,0)2，准线方程是12x =-，故填：1(,0)2，12x =-. 14.【2018届江苏省南京市溧水高级中学高三上学期期初模拟】已知点F 为抛物线24y x =的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则直线AF 的斜率为 . 【答案】43【解析】试题分析：由抛物线定义得： 15,4,A A x x +==又点A 位于第一象限，因此4,A y =从而404.413AF k -==- 15．平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 . 【答案】3216.【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷（一）】过点()0,3的直线与抛物线24y x =交于A ， B两点，线段AB 的垂直平分线经过点()4,0， F 为抛物线的焦点，则AF BF +的值为__________．【答案】6【解析】设AB 的中点为H ，抛物线的焦点为()1,0F ，准线为1x =-，设A 、B 、H 在准线上的射影为A B H '''、、，则1'=2AA BB '+'（），由抛物线的定义可得，,AF AA BF BB '=='， 2AF BF AA BB HH +=+=''' ，过()0,3的直线设为3y kx =+，与24y x = 联立得： ()226490k x k x +-+= ，()2264360k k ∆=--> ，计算得出13k <且0k ≠ ，又12246k x x k -+=，AB 的中点为2232,k kk -⎛⎫⎪⎝⎭线段AB 的垂直平分线过点()4,0方程为()14y x k =--过中点2232,k kk -⎛⎫ ⎪⎝⎭，则 221234k k k k -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 22320k k +-= ，解出2k =-或12k =（舍去），则()2,1H - ， 213HH '=+= ，则26AF BF AA BB HH +=+=''='.三、解答题17.【2016高考浙江文数】如图，设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |-1. （I ）求p 的值；（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.【答案】（I ）2p =；（II ）()(),02,-∞+∞.【解析】(Ⅰ)由题意可得抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x=-1的距离. 由抛物线的定义得12p=，即p=2. (Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为()24,F 1,0y x =，可设()2,2,0,1A t t t t ≠≠±.因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF:x=sy+1,()0s ≠ ,由241y xx sy ⎧=⎨=+⎩ 消去x 得2440y sy --=，故124y y =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又直线AB 的斜率为212tt -，故直线FN 的斜率为212t t--，从而的直线FN:()2112t y x t-=--，直线BN:2y t =-，所以2232,1t N t t ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭，设M(m,0),由A,M,N 三点共线得：222222231t t t t t m t t +=+--- ，于是2221t m t =-，经检验，m<0或m>2满足题意.综上，点M 的横坐标的取值范围是()(),02,-∞+∞.18.【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上学期期初联考】已知F 是抛物线2:4C x y =的焦点，点P 是不在抛物线上的一个动点，过点P 向抛物线C 作两条切线12,l l ，切点分别为()()1122,,,A x y B x y . （1）如果点P 在直线1y =-上，求11AF BF+的值；（2）若点P 在以F 为圆心，半径为4的圆上，求AF BF 的值. 【答案】（1）1（2）16【解析】试题分析：（1）根据抛物线定义得1212121221111111y y AF BF y y y y y y +++=+=+++++，设()0,1P x -，利用同一法可得切点弦AB 方程0220x x y -+=．联立切点弦方程与抛物线方程，利用韦达定理代入可得11AF BF+的值；（2）()()1211AF BF y y ⋅=++ ， AB 的方程为00220x x y y --=．4BF ==，联立切点弦方程与抛物线方程，利用韦达定理代入可得AF BF 的值.试题解析：解：因为抛物线的方程为24x y =，所以2xy '=，所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即1102x x y y --=①，同理切线PB 的方程为2202xx y y --=②，设()00,P x y ，则由①②得1010220x x y y --=以及2020220x x y y --=，由此得直线AB 的方程为00220x x y y --=．（2）由（1）知切线PA 的方程为211=24x x y x -，切线PB 的方程为222=24x x y x -，联立得点P 1212,24x x x x +⎛⎫⎪⎝⎭．设直线AB 的方程为y kx m =+，代入2:4C x y =得2440x kx m --=．因此124x x k += 12=4x x m -，所以点P 的坐标为()2,k m -，由题意4PF ==，所以()221164m k +=-，从而()()1211AF BF y y ⋅=++()()()()()221212121111kx m kx m k x x k m x x m =++++=+++++()22244116416mk k m k =-+++-=.19.如图，已知抛物线211C 4y x =：，圆222C (1)1x y +-=：，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点.（1）求点A ，B 的坐标；（2）求PAB ∆的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.【答案】（1）222222(2,),(,)11t t A t t B t t ++；（2）32t设圆2C 的圆心为(0,1)D ，点B 的坐标为00(,)x y ，由题意知，点B ，O 关于直线D P 对称，故有00001220y x t x t y ⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩，解得2002222,11t t x y t t ==++.即点22222(,)11t t B t t++. （2）由（1）知，AP =直线PA 的方程为20tx y t --=，所以点B 到直线PA的距离为2d =所以PAB ∆的面积为3122t S AP d =⋅=. 20．【2018届浙江省名校协作体高三上学期考试】如图，已知抛物线的焦点在抛物线22:1C y x =+上，点是抛物线上的动点．（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点作抛物线的两条切线， A 、B 分别为两个切点，求PAB ∆面积的最小值．【答案】(Ⅰ) 1C 的方程为24x y = 其准线方程为1y =-；(Ⅱ)2. 【解析】试题分析; （I ）由题意抛物线1C 的焦点为抛物线2C 的顶点（01，），由此算出2p =，从而得到抛物线1C 的方程，得到1C 的准线方程；（II ）设()()211222,,P t t A x y B x y （，），，则可得切线PA ， PB 的方程，进而可得所以直线AB 的方程为2420tx y t -+-=.联立2242{ 1y tx t y x =+-=+由韦达定理得122124{ 1x x t x x t +=⋅=-，可求得AB =．进而求得点P 到直线AB的距离2d = 则PAB ∆的面积(()322212312312S AB d t t ==+=+所以当0t =时， S 取最小值为2。

【人教A版】2017-2018学年数学选修1-1优化练习：2.3 2.3.1 抛物线及其标准方程 Word版含解析

[课时作业] [A 组基础巩固]1．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝8x B ．x 2＝y C ．y 2＝8x 或x 2＝yD ．无法确定解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝2py (p >0)，将点(2,4)代入可得p ＝4或p ＝12，所以所求抛物线标准方程为y 2＝8x 或x 2＝y ，故选C.答案：C2．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1，故选A. 答案：A3．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离，则M 点的轨迹方程是( ) A ．x ＋4＝0 B ．x －4＝0 C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x解析：根据抛物线定义可知，M 点的轨迹是以F 为焦点，以直线x ＝－4为准线的抛物线，p ＝8， ∴其轨迹方程为y 2＝16x ，故选D. 答案：D4．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：抛物线的焦点⎝⎛⎭⎫0，p 2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝bax ，即bx －ay ＝0，焦点到渐近线的距离为|a ×p2|a 2＋b 2＝2，即ap ＝4a 2＋b 2＝4c ，所以c a ＝p 4，双曲线的离心率为c a ＝2，所以c a ＝p4＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .故选D.答案：D5．(2015·高考浙江卷)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( ) A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知焦点F (1,0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1.答案：A6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________．解析：依题意得，直线x ＝－p 2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，因此圆心(3,0)到直线x ＝－p2的距离等于半径4，于是有3＋p2＝4，即p ＝2.答案：27．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，定点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，线段F A 的中点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 4，1，代入抛物线方程得 1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324. 答案：3248．对于抛物线y ＝4x 上任意一点Q ，点P (a,0)都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是________．解析：设Q (x 0，±2x 0)(x 0≥0)，则|PQ |＝(x 0－a )2＋4x 0≥|a |对∀x 0≥0恒成立，即(x 0－a )2＋4x 0≥a 2对∀x ≥0恒成立．化简得x 20＋(4－2a )x 0≥0.当4－2a ≥0时，对∀x 0≥0，x 20＋(4－2a )x 0≥0恒成立，此时a ≤2；当4－2a ＜0时，0＜x 0＜2a －4时不合题意．答案：(－∞，2]9．已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，且动圆P 和圆A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．解析：如图，作PK 垂直于直线x ＝1，垂足为K ，PQ 垂直于直线x ＝2，垂足为Q ，则|KQ |＝1，所以|PQ |＝r ＋1，又|AP |＝r ＋1. 所以|AP |＝|PQ |.故点P 到圆心A (－2,0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等．所以点P 的轨迹为抛物线，A (－2,0)为焦点．直线x ＝2为准线． ∴p2＝2.∴p ＝4. ∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .10.如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到整数位)解析：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，依题意有P (－1，－1)，在此抛物线上，代入得p ＝12，故得抛物线方程为x 2＝－y . 又因为B 点在抛物线上，将B (x ，－2)代入抛物线方程得x ＝2，即|AB |＝2，则水池半径应为|AB |＋1＝2＋1，因此所求水池的直径为2(1＋2)，约为5 m ，即水池的直径至少应设计为5 m.[B 组能力提升]1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|解析：|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p 2，∵2x 2＝x 1＋x 3， ∴2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|. 答案：C2．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5 解析：设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2， ∵M 在抛物线上，∴M 到焦点的距离等于到准线的距离，即2＋p2＝3，p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x ，∵M (2，y 0)在抛物线上，∴y 20＝8， ∴|OM |＝22＋y 20＝22＋8＝2 3.答案：B3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A .若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于________．解析：由抛物线定义知1＋p2＝5，∴p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝16x ，所以m 2＝16，∴m ＝4，即M (1,4)，又因为A (－a ，0)，双曲线渐近线方程为y ＝±1a x ，由题意知41＋a ＝1a ，∴a ＝19.答案：194．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则ba＝________.解析：∵正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b ，O 为AD 的中点，∴C ⎝⎛⎭⎫a 2，－a ，F ⎝⎛⎭⎫a2＋b ，b . 又∵点C ，F 在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝pa ，b 2＝2p ⎝⎛⎭⎫a 2＋b ，解得b a ＝2＋1. 答案：2＋15．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．解析：(1)证明：设A (－y 21，y 1)，B (－y 22，y 2)．则y 1＝k (－y 21＋1)，y 2＝k (－y 22＋1)，消去k 得y 1(1－y 22)＝y 2(1－y 21)．∴(y 2－y 1)＝y 1y 2(y 1－y 2)，又y 1≠y 2，∴y 1y 2＝－1，∴OA →·OB →＝y 1y 2＋y 21y 22＝y 1y 2(1＋y 1y 2)＝0， ∴OA ⊥OB .(2)S △OAB ＝12×1×|y 2－y 1|，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k (x ＋1)，得ky 2＋y －k ＝0，∴k＝±16.6．已知抛物线y2＝2px(p>0)．试问：(1)在抛物线上是否存在点P，使得点P到焦点F的距离与点P到y轴的距离相等？(2)在抛物线上是否存在点P，使得点P到x轴的距离与点P到准线的距离相等？解析：(1)假设在抛物线上存在点P，使得点P到焦点F的距离与点P到y轴的距离相等．那么根据抛物线定义，得点P到准线的距离与点P到y轴的距离相等，这显然是不可能的．所以在抛物线上不存在点P，使得点P到焦点F的距离与点P到y轴的距离相等．(2)假设在抛物线上存在点P，使得点P到x轴的距离与点P到准线的距离相等，则由抛物线定义，得点P到x轴的距离与点P到焦点的距离相等．这样的点是存在的，有两个，即当PF与x轴垂直时，满足条件.。

2018年人教版九年级数学上册二次函数测试卷及答案

人教版2018-2019学年度第一学期九年级数学二次函数测试题一.单项选择题(每小题2分，共20分，在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的。

)1 .抛物线y=-x 2+2X +3的顶点坐标是 A. ( -1 , 4) B . (1 , 3) C . (-1 , 3) D . (1 , 4)2.若抛物线y=x 2 - 2x+3不动，将平面直角坐标系 xOy 先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为2 2 2 2A. y= (x - 2) +3 B . y= (x - 2) +5 C . y=x - 1 D . y=x +423. 点 P 1 (- 1, y 1), P 2 (3, y 2), P 3 (5, y 3)均在二次函数 y =—x+2x + c 的图象上，则y 1, y , y 3的大小关系是 A .y 3 y 2 y 1B .y 3 y 1 = y 2 C .屮七 y D . y =兀 y二次函数 y = x 2 -2x - 4化为y = a(x - h)2 • k 的形式，下列正确的是4. A.2 2y =(x -1) 2 B . y =(x -1)3C. 2 2y=(x-2) 2 D . y=(x-2)4二次函数y=x 2+bx 的图象如图，对称轴为直线 (t 为实数)在-1< x v 4的范围内有解，则t A. B. C. D. 6. 5. x=1,若关于x 的一元二次方程 x 2+bx - t=0 的取值范围是t >- 1 -1< t < 3 -1< t < 8 3 < t < 8如图是抛物线 y=ax 2+bx+c (a 丰0)的部分图象，其顶点坐标为( 1, n ),且与1轴的一个交点在点(3, 0)和(4, 0)之间.则下列结AB为边作等y,能表示y2 2b > 0,抛物线y=ax +bx+a - 5a - 6为下列图形之一，则a的值为-10y c1C . :(I n}12. 将抛物线y=2 (x - 1) 2+2向左平移3个单位，再向下平移 4个单位，那么得到的抛物线的表达式为 ____________________ 13.已知二次函数 y = -ax 2 2ax ■ m 的图像与x 轴的一个交点是(3,0),则关于x 的一元二次方程一 ax 2 + 2ax + m = 0的解为 _______________214. 若 A(1,2), B(3,2) , C(0,5) , D(m,5)是抛物线 y = ax bx c 图像上的四点，则 m = 15.如图是二次函数 y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A (-3 , 0),对称轴为x=-1 .给出四个结论：①b >4ac ；②2a+b=0;③a -b+c=0 :④5a v b .其中正确结论是 ________________9.在同一平面直角坐标系中，函数 y=ax+b 与10.如图是二次函数2y =ax +bx +c 图象的一部分，图象过点A (- 3, 0),对称轴为直线x= - 1,下列给出四个结论中，正确结论的个数是 3 5②若点B (——, y 1 )、C ( 一一，y 2 )为函数图象上的两点，则2 2①c > 0;y :::③2a - b=0;④ 4ac—b2 v 0.3 D . 4 共15分)将函数 y= - 2x 2的图象先向右平移 1个单位长度，再向A. 1 B二.填空题(每小题3分， 11. 在平面直角坐标系中，上平移5个单位长度，所得图象的函数表达式是 __________________________ TA .-1 CD.解答题(6小题，共65分)16. （9分）某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店. 该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元/件•销售结束后，得知日销售量P （件）与销售时间x （天）之间有如下关系：P=- 2x+80 （Kx w30,且x1为整数）；又知前20天的销售价格Q（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q=’X +302（1W x w 20,且x为整数），后10天的销售价格Q （元/件）与销售时间x （天）之间有如下关系：Q=45 （21 w x w 30,且x为整数）.（1 ）试写出该商店前20天的日销售利润R （元）和后10天的日销售利润艮（元）分别与销售时间x （天）之间的函数关系式；（2）请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大？并求出这个最大利润.（注：销售利润=销售收入-购进成本）_ ____________ 217. （11分）已知二次函数y=2x+bx- 1 .（1）求证：无论b取什么值，二次函数y=2x2+bx - 1图象与x轴必有两个交点.（2）若两点P （- 3, m）和Q（ 1, m）在该函数图象上.①求b、m的值；②将二次函数图象向上平移多少单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点?18. （12分）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a丰0,a丰c）过点A（1,0），顶点为B,且抛物线不经过第三象限.（1）使用a、c表示b; （2）判断点B所在象限，并说明理由；c（3）若直线y2=2x+m经过点B,且交抛物线于另一点C（ ,b+8）,求当x > 1时，y1的取值范a21. (12分)如图，已知二次函数 y= - x 2+bx+c ( b ，c 为常数)的图象经过点 A (3， 1)，点 C (0，4)，顶点为点 M,过点A 作AB// x 轴，交y 轴于点D,交该二次函数图象于点 B,连结BC.(1)求该二次函数的解析式及点 M 的坐标；(2 )若将该二次函数图象向下平移m(m > 0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ ABC 的内部(不包括厶ABC 的边界)，求m 的取值范围；19. (9分)已知抛物线y --x 2 bx c 2与y 轴交于点C,与x 轴的两个交点分别为A (- 4, 0),B (1 , 0). (1) 求抛物线的解析式；(2) 已知点P 在抛物线上，连接 PC, PB,若△ PBC 是以BC 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标；20. (12分)如图，抛物线2y=x 3x+ J 与x 轴相交于A 、 B 两点，与y 轴相交于点是直线BC 下方抛物线上一点，过点 D 作y 轴的平行线，与直线 (1) 求直线BC 的解析式；(2) 当线段DE 的长度最大时，求点 D 的坐标.C,点D人教版2018-2019学年度第一学期九年级数学二次函数测试题参考答案、评分标准及题目解析一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分•在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11. y=2 (x- 1) 2+512.y=2(x 2)2- 213. x 1=-1 , X2=314. 4 15.①④三、解答题（本大题共6小题, 共65分）16. （9分）评分细则：第1小问求出R1、R2的函数关系式各2分，共4分第2小问求出R1、R2的最大值各2分，共4分，比较大小及结论1分【考点】二次函数的应用.【点评】本题需要反复读懂题意，根据营销问题中的基本等量关系建立函数关至式•根据时间段列出分段函压轴题.数，再结合自变量取值范围分别求出两个函数的最大值，并进行比较，月出结论.【分析】（1〕运用营销间题中的基本等量关系：请售利润=日销售童X—件销售利润.一件销售利间=一件的帯害价-一件的进价，建立函數关慕武;（2）分析函数关至式的类别及自变量取値范围求最犬值：其中氐是二次函数，斑是一次函数.【解答】解：〔1)根据题意，得R.i=P (Q1-2&)=十昭)[-20], •.12-201-500(. :<^20,且工为整数〕,R.Z=P (Q2-20) = C-2x+S0) (+5-2Q),•-5031+2000 ZlMMh 且E皆整数);（2） BEl<si20-且*为整数时,VRi-. （1J0）J-MMO P当孟=10时，EL的最大值为颁，3E21<X<J O*且*为It敷时.■-■R2=_i0i-200fl T50<0,尺2随x的増大而减小，A^x-2iat，的绘大值为站th7 950>90<1,■■-^x=2i即在第H天时，日销售利润最大，最大値為g即元.【点评】本题考査了二次磯与渤的交点；对干二次画数尸曲br （ii tn（:是常如2：）I A=b2-4ac^ 定删线剧蝴交点个熱A=b:-：ac>C0t，删线与谢有］个交氣Mr近时删线金椭1个交点；A事5<冊，删线与渤没有交嵐17. （11 分）评分细则：第1小问求出判别式的值及判断2分，结论1分，共3分第2小问求出函数解析式4分，m的值1分，平移后的函数解析式1分，判别式1分，k的值1分，结论1分，共8分其他方法酌情给分！【考点】删线与曲版点I二次函数图象与几廠换.【专畫】计算題［»«）⑴先计算判别刪11再褓非负数的性质可判斷"凡额根据判别轴意义可判融鳩与渤必有两个交点；（】）（S先刹用拋物线的对称性可确定物物集肘对称轴方程，从而可求出b的仙然后计J?自变量为I 所对应的函数値即可得到嗣值；②设平移后删删关系式为严川氐皿根翩别武憶义W鹤关千曲方铠懸后解方程求出蝴值即可判断抛物线平移艇离・【解容】⑴证明；TA-bUxix （.］）.bM>0*•:无毗取诃値时，二次函数戸心口聯与曲必有两个交点「（1）解；①丁馭Q*二次函如事加1瞞上的两為且两点纵坐标都畑二馭Q关千般塢对称轴对和川躺对称健直鼬7A -^-= b 解得E,2x1二掘物巍解析式为y皿七1,当E时，②设平移后般找舸关系式为产卫+収-减T平移后的團象与妨由仅有一个交点’AA-（6-S-8k=0i 解得上眄即冷二畑数釀向上平耕个单位昭函数團鮎潇仅有-个公共点・18. （12 分）评分细则：第1小问b表示正确1分；第2小问正确判断B的象限1分，理由4分（其他方法证明理由酌情给分），结论1分，共6分；第3小问5分其他方法酌情给分！二次函數练會题.【直评】此駐要鞋了訣碱牆合应刪及诙隸碾肺我函黑二縫数交帥题制认f 压轴题.（】〕抛物线经过亠（B OJ -把点代入國数即可得到b=-a-c；〔J判斯点在哪亍象限，需要根馆题意画圉，由条件：图象不经过弟三象限就可以推岀开口向上，■>0-只需要知道盹物枝与X轴有几于交点即可解决，判断与工轴有两亍交点，一牛可以考虑△"由色就可以判断出与上轴有两于交点，浙讽在第四象限；或者宜接用公式法（或十宇相痢法〕舜出，由两个不同的解列=1, X2=~,（J=c）进而锯出点B所在氤眼:（（酣当圧1时，y：的取值範围・只雯把图象画出来就清晰了，难点在于要观察出口2 尸歸是54物釀与皿的另一个交点,理由是Al=u 贮=亍（3=c）,由这里可以发现，XAh b=-S, a^c=S, 还可以役现〔在代的右豪h可具确定直誌经过氏£两点，看韜掠可亂得到，©I时，刃大于等千最小苗，此时算出二次函数最小值即可，即求出弘即可已经知Jfib=.s T a -e=S,算岀釦c即可，即4白可得出X的取值范围.【編答】解：（1）抛物建、•严江J J TXP Ca=D. a-c）*经过玄【4（0,把点代入函数即引得到：b=-a-c;（2）B在弟四象限.理由却下：T 抛删线ymJbxY t a-Oi a»e）过点A （1> 0）・• ■C.X1B X2=—>1gr'+ J 1 —1 1 X2=~f片t、所以it物枝島E轴有两个交点，製叮葩物第不媪过第三叛限，m且顶点在弟四象隈；门〕丁口2 W）,且在抽物线上,3当b+g=O时.解得匕=一缶":a亠t=-b*A a^c=S T把E57)v C b-SJ两点忙人直线解析或谒* 2s 4s sfb~¥="C"會去）a剤图阱示，瓷在人的右訓,•:当它1时，竺迪1=一兀4 3尸斗A-冬£=4；1：在用也和，沁 M 中，设直毀陛的解析式为心丄卞+心= AfF+f 疋3 = ^ + 2^ =20,fiC 2 = (XT 2 + OB 2 +r 2又■； AB 2 =5^ =25 把风1 ◎代入得h ^~~.'.AC 2 + BC 2 = AB 2 1 [.'.AACfi 杲直角三肃形「•呱=^A -o.-■ ZACB =90 V _J_X _2 •:当点片与点4重合时，即弓(—4,0)时，梓E 是直角三角形.I =2 ~2注二:在RtAAOC 和R 应OE 中， “2--A +2AO OC AO OC 2 2» = _ £•】 =—£ '■ _ ---- =2OC OB OC OB 解得〔舍去)，1.-.Rf^AOC “ ZCAO = ZOCB ,v i = 0 l 儿=-3又'；Z 匸AO + z_ACO =r..-."匸甘=90°综上所述•存在点吃VQ),鬥(-5, -3) •:当点片与点-4重合时，即乐—4,0)时，呼E 是直角三角形19. ( 9分)求出函数解析式 4分，写出P 点坐标的其中一种情况 2分，两种4分，结论1 (1)il ：把分别代入 _v =—丄 x 2+bx + c 2'仝一劲十〔=0得］1 . ___+乃+亡=0I 2 32解得心— 1 2 3 *V = -—22 2 法二:■/ ^(-4n 0),B(l j0) 设$ = 一扌住+ 4)〔工一1)得 ¥=一丄 A -2_-.V +2Q ■>⑵存在令工=0得=2 匚〔0,2) OC = 2 ②当三尸「“二90。

高考数学复习---抛物线综合运用练习题(含答案)

1 [过点 A，B 向抛物线的准线 x＝－p2作垂线，垂足分别为 C，D，过点 B
向 AC 作垂线，垂足为 E(图略)，∵A，B 两点在抛物线上，∴|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|.
O92
∵BE⊥AC，∴|AE|＝|AF|－|BF|，
∵直线 AB 的倾斜角为 60°，
∴在 Rt△ABE 中，2|AE|＝|AB|＝|AF|＋|BF|，即 2(|AF|－|BF|)＝|AF|＋|BF|，∴|AF|＝3|BF|. ∵|AF|＝2，∴|BF|＝23，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝83. 设直线 AB 的方程为 y＝ 3x－p2，代入 y2＝2px，得 3x2－5px＋34p2＝0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴x1＋x2＝53p，∵|AB|＝x1＋x2＋p＝83，∴p＝1.]
①若 AB 的斜率为 1，则|AB|＝4； ②|AB|min＝2； ③yM＝－1； ④若 AB 的斜率为 1，则 xM＝1； ⑤xA·xB＝－4. 以上结论正确的所有序号是( ) A．①②④ B．③④⑤ C．①②⑤ D．③⑤
D [由题意得，焦点 F(0，1)，对于①，lAB 的方程为 y＝x＋1，与抛物线的方程联立，
y＝x＋1，得y＝14x2，消去 x，得 y2－6y＋1＝0，
所以 yA＋yB＝6，则|AB|＝yA＋yB＋p＝8，则①错误；对于②，|AB|min＝2p＝4，则②错误；因为 y′＝2x，则 lAM：y－yA＝x2A(x－xA)，即 y＝12xAx－x42A，lBM：y－yB＝x2B(x－xB)，即 y＝12xBx－x42B，
x＝1， x＝4，
得 x2－5x＋4＝0，解得 x＝1 或 x＝4，所以
或
不妨设 M(1，2)，

2018年高考数学(人教A版)一轮复习课时分层提升练五十二8-7抛物线Word版含解析

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课时分层提升练五十二抛物线(25分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.设抛物线y=x2上的一点P到x轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离为( ) A.3 B.4 C.5 D.6【解题提示】由题意可得点P的纵坐标为4,由抛物线的定义可得点P 到该抛物线焦点的距离等于点P到准线y=-1的距离,由此求得结果. 【解析】选C.由于抛物线y=x2上的一点P到x轴的距离是4,故点P 的纵坐标为4.再由抛物线y=x2的准线为y=-1,结合抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离,故点P到该抛物线焦点的距离是4-(-1)=5.2.(2017·邢台模拟)已知圆C:(x+1)2+y2=r2与抛物线D:y2=16x的准线交于A,B两点,且=8,则圆C的面积为( )A.5πB.9πC.16πD.25π【解析】选D.设抛物线的准线交x轴于点E,则CE=3,所以r2=32+42=25,所以圆C的面积为25π.3.已知抛物线y2=4x的焦点F,A,B是抛物线上横坐标不相等的两点,若AB的垂直平分线与x轴的交点是(4,0),则|AB|的最大值为( )A.2B.4C.6D.10【解题提示】可将|AB|与|AF|,|BF|之间的关系联系起来,再利用抛物线的定义求解.【解析】选C.因为抛物线y2=4x的焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),因为线段AB的垂直平分线恰过点M(4,0),所以|MA|2=|MB|2,即(4-x1)2+=(4-x2)2+,又=4x1,=4x2,代入并展开得:16-8x1++4x1=-8x2+16+4x2,即-=4x1-4x2,又x1≠x2,所以x1+x2=4,所以线段AB中点的横坐标为(x1+x2)=2,所以AB≤AF+BF=+=4+2=6(当A,B,F三点共线时取等号),即|AB|的最大值为6.4.(2017·南昌模拟)已知抛物线C的顶点在坐标原点,准线方程为x=-1,直线l与抛物线C相交于A,B两点.若线段AB的中点为(2,1),则直线l的方程为( ) A.y=2x-3 B.y=-2x+5C.y=-x+3D.y=x-1【解析】选A.易知抛物线的方程为y2=4x.设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得:(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),所以AB的斜率k====2,从而直线AB的方程为y-1=2(x-2).即y=2x-3.【加固训练】(2017·郑州模拟)已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为-2,则该抛物线的准线方程为( ) A.x=1 B.x=2C.x=-1D.x=-2【解析】选C.由题意可设直线方程为y=-,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程整理得y2+2py-p2=0,所以y1+y2=-2p.因为线段AB的中点的纵坐标为-2,所以=-2.所以p=2.所以抛物线的准线方程为x=-1.二、填空题(每小题5分,共15分)5.顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,且经过点M(2,-4)的抛物线方程是________.【解析】满足题意的抛物线应有两条,设为y2=ax或x2=by,将点M(2,-4)的坐标代入求得y2=8x或x2=-y.答案:y2=8x或x2=-y6.(2017·株洲模拟)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为________.【解析】不妨设抛物线方程为y2=2px(p>0).因为当x=时,|y|=p,所以p===6.又P到AB的距离始终为p,所以S△ABP=×12×6=36.答案:36【加固训练】已知直线l1:4x-3y+11=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________.【解析】因为x=-1恰为抛物线y2=4x的准线,所以可画图观察.如图,连接PF,过F作FQ⊥l1于点Q,d2=PF,所以d1+d2=d1+PF≥FQ===3.答案:37.已知过点P(4,0)的直线与抛物线y2=4x相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则+的最小值是________.【解析】当直线的斜率不存在时,直线方程为x=4,代入y2=4x,得交点为(4,4),(4,-4),所以+=16+16=32;当直线的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-4),与y2=4x联立,消去x得ky2-4y-16k=0,由题意,知k≠0,则y1+y2=,y1y2=-16.所以+=(y1+y2)2-2y1y2=+32>32.综上知,(+)min=32.答案:32【误区警示】本题易出现最小值不存在的错误结论.其原因是忽略直线的斜率不存在的情况,从而得出错误的结论.三、解答题(每小题10分,共20分)8.(2017·焦作模拟)已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点F(0,c)(c>0)到直线y=2x的距离是.(1)求抛物线C的方程.(2)若直线y=kx+1(k≠0)与抛物线C交于A,B两点,设线段AB的中垂线与y轴交于点P(0,b),求实数b的取值范围.【解析】(1)由题意,=,故c=.所以抛物线C的方程为x2=2y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则由得x2-2kx-2=0.所以Δ=4k2+8>0.所以x1+x2=2k,所以线段AB的中点坐标为(k,k2+1).线段AB的中垂线方程为y=-(x-k)+k2+1,即y=-x+k2+2.令x=0,得b=k2+2.所以b∈(2,+∞).9.(2017·淮南模拟)已知抛物线y2=4ax(a>0)的焦点为A,以B(a+4,0)为圆心,|AB|长为半径画圆,在x轴上方交抛物线于M,N两点.(1)求a的取值范围.(2)求|AM|+|AN|的值.【解析】(1)由题意知抛物线的焦点坐标为A(a,0),则|AB|=4,圆的方程为[x-(a+4)]2+y2=16,将y2=4ax(a>0)代入上式,得x2+2(a-4)x+8a+a2=0.所以Δ=4(a-4)2-4(8a+a2)>0,解得0<a<1,即a∈(0,1).(2)因为A为焦点,设M(x1,y1),N(x2,y2),根据(1)中的x2+2(a-4)x+8a+a2=0,得x1+x2=8-2a.所以|AM|+|AN|=(x1+a)+(x2+a)=x1+x2+2a=8-2a+2a=8.【加固训练】(2014·陕西高考)如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1,C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.(1)求a,b的值.(2)过点B的直线l与C1,C2分别交于P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.【解析】(1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左右顶点.设C1的半焦距为c,由=及a2-c2=b2=1得a=2.所以a=2,b=1.(2)由(1)知,上半椭圆C1的方程为+x2=1(y≥0).易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k≠0),代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0. (*)设点P的坐标为(x P,y P),因为直线l过点B,所以x=1是方程(*)的一个根,由求根公式,得x P=,从而y P=,所以点P的坐标为.同理,由得Q点的坐标为(-k-1,-k2-2k).所以=(k,-4),=-k(1,k+2).因为AP⊥AQ,所以·=0,即[k-4(k+2)]=0,因为k≠0,所以k-4(k+2)=0,解得k=-.经检验,k=-符合题意,故直线l的方程为y=-(x-1).(20分钟40分)1.(5分)设抛物线C:y2=3px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( )A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x【解析】选C.由抛物线定义得:|MF|=x M+=5,x M=5-⇒=15p-,以MF为直径的圆的方程为(x-x M)(x-x F)+(y-y M)·(y-y F)=0,又该圆过(0,2),所以+(2-y M)(2-0)=0⇒y M=2+-=2+⇒y M=4⇒15p-=16,p=或p=,C的方程为y2=4x或y2=16x.【加固训练】(2017·忻州模拟)若抛物线C:y2=2px(p>0)上一点到焦点和x轴的距离分别为5和3,则此抛物线的方程为( )A.y2=2xB.y2=(-4)xC.y2=2x或y2=18xD.y2=3x或y2=(-4)x【解析】选C.因为抛物线y2=2px(p>0)上一点到x轴的距离为3, 所以设该点为P,则点P的坐标为(x0,±3),因为点P到抛物线的焦点F的距离为5,所以由抛物线的定义,得x0+=5 (1)因为点P是抛物线上的点,所以2px0=9 (2)由(1)(2)联立,解得p=1,x0=或p=9,x0=,则抛物线方程为y2=2x或y2=18x.2.(5分)(2016·四川高考)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM斜率的最大值为( ) A. B. C. D.1【解题提示】设出点P的坐标,表示出点M坐标,从而表示出直线OM 的斜率,进而求出其最大值.【解析】选C.如图,由题可知F,设P点坐标为显然,当y0<0时,k OM<0;y0>0时,k OM>0,要求k OM的最大值,不妨设y0>0. 则=+=+=+(-)=+=k OM==≤=,当且仅当=2p2时等号成立.【加固训练】设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,若·=-4,则点A的坐标为( )A.(2,±2)B.(1,±2)C.(1,2)D.(2,2)【解析】选B.设A(x0,y0),F(1,0),=(x0,y0),=(1-x0,-y0),·=x0(1-x0)-=-4.因为=4x0,所以x0--4x0+4=0⇒+3x0-4=0,x0=1或x0=-4(舍).所以x0=1,y0=±2.3.(5分)(2017·廊坊模拟)已知抛物线y2=4x的交点为F,准线为直线l,过抛物线上一点P作PE⊥l于点E,若直线EF的倾斜角为150°,则|PF|=________.【解析】由抛物线方程y2=4x,可得焦点F(1,0),准线l的方程为:x=-1. 因为直线EF的倾斜角为150°,所以k1=tan150°=-.所以直线EF的方程为:y=-(x-1),联立解得y=. 所以E.因为PE⊥l于点E,所以y P=,代入抛物线的方程可得=4x P,解得x P=.所以|PF|=|PE|=x P+1=.答案:4.(12分)(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求.(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.【解析】(1)由已知得M(0,t),P,又N为M关于点P的对称点,故N,故直线ON的方程为y=x,将其代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=,因此H,所以N为OH的中点,即=2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下:直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外,直线MH与C没有其他公共点.【加固训练】(2017·安阳模拟)如图,已知抛物线y2=2px(p>0)上点(2,a)到焦点F 的距离为3,直线l:my=x+t(t≠0)交抛物线C于A,B两点,且满足OA ⊥OB.圆E是以(-p,p)为圆心,p为直径的圆.(1)求抛物线C和圆E的方程.(2)设点M为圆E上的任意一动点,求当动点M到直线l的距离最大时的直线方程.【解析】(1)由题意得2+=3,得p=2,所以抛物线C和圆E的方程分别为y2=4x;(x+2)2+(y-2)2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程整理得y2-4my+4t=0,由根与系数的关系得①则x1x2=(my1-t)(my2-t)=m2y1y2-mt(y1+y2)+t2,由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,即(m2+1)y1y2-mt(y1+y2)+t2=0,将①代入上式整理得t2+4t=0,由t≠0得t=-4.故直线AB过定点N(4,0). 所以当MN⊥l,动点M经过圆心E(-2,2)时到直线l的距离d取得最大值.由k MN==-,得k l=3.此时的直线方程为l:y=3(x-4),即3x-y-12=0.5.(13分)(2017·兰州模拟)如图,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点坐标为F(1,0),过点F的直线交抛物线C于A,B两点,直线AO,BO分别与直线m:x=-2相交于M,N两点.(1)求抛物线C的方程.(2)证明:△ABO与△MNO的面积之比为定值.【解析】(1)由焦点坐标为(1,0)可知=1,所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)当直线AB垂直于x轴时,△ABO与△MNO相似,所以==;当直线AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1),设M(-2,y M),N(-2,y N),A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y并整理得k2x2-(4+2k2)x+k2=0,所以x1x2=1.所以==·=·=.综上,=,即△ABO与△MNO的面积之比为定值.【加固训练】(2015·福建高考)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程.(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.【解析】方法一:(1)由抛物线的定义得=2+,因为=3,即2+=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),所以k GA==,k GB==-,所以k GA+k GB=0,且∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.方法二:(1)同方法一.(2)设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2),由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0,从而r==.又直线GB的方程为2x+3y+2=0,所以点F到直线GB的距离d===r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.关闭Word文档返回原板块。

高二数学人教A版习题练习2-3-1抛物线及其标准方程Word版含答案

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十五抛物线及其标准方程基础全面练 (20分钟 35分)1．下列抛物线中，其方程形式为y 2＝2px(p>0)的是( )【解析】选A.根据方程形式为y 2＝2px(p>0)，可得其图象关于x 轴对称，且x≥0，故可得该抛物线对称轴为x 轴，开口朝右．【补偿训练】抛物线y ＝14 x 2的准线方程是( ) A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2【解析】选A.因为y ＝14 x 2，所以x 2＝4y ，所以抛物线的准线方程是y ＝－1.2．抛物线y ＝2x 2的焦点到准线的距离为( )A ．18B ．12C ．14D ．4【解析】选C.根据题意，抛物线的方程为y ＝2x 2，其标准方程为x 2＝12 y ，其中p ＝14 ，则抛物线的焦点到准线的距离p ＝14 .3．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4 2 x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|＝4 2 ，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4【解题指南】由|PF|＝4 2 及抛物线的定义求出点P 的坐标，进而求出面积．【解析】选C.抛物线C 的准线方程为x ＝－ 2 ，焦点F( 2 ，0)，由|PF|＝4 2 及抛物线的定义知，P 点的横坐标x P ＝3 2 ，从而y P ＝±2 6 ，所以S △POF ＝12 |OF|·|y P |＝12 × 2 ×2 6 ＝2 3 .4．已知抛物线的方程为x ＝136 y 2，则该抛物线的准线方程是________．【解析】x ＝136 y 2，焦点在x 轴上，且p 2 ＝9，所以抛物线的准线方程是x＝－9.答案：x＝－95．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－ 3 ，那么|PF|＝________．【解析】如图，∠AFE＝60°，因为点F(2，0)，所以点E(－2，0)，则|AE||EF|＝tan 60°，即|AE|＝4 3 ，所以点P的坐标为(6，4 3 )，故|PF|＝|PA|＝6＋2＝8.答案：86．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)准线方程为2y＋4＝0；(2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．【解析】(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)，又p2＝2，所以2p＝8，故抛物线方程为x2＝8y.(2)因为点(3，－4)在第四象限，所以设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0). 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，即2p＝163，2p1＝9 4.所以所求抛物线的标准方程为y2＝163x或x2＝－94y.(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.所以抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0).所以所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.综合突破练(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2021·柳州高二检测)已知点A⎝⎛⎭⎫2，a为抛物线y2＝4x图象上一点，点F为抛物线的焦点，则||AF等于()A．3 B．2 2 C．2 D． 2【解析】选A.由抛物线方程知F⎝⎛⎭⎫1，0，所以||AF＝2＋1＝3.2．若点P到定点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是()A．y2＝－16xB．y2＝－32xC．y2＝16xD．y2＝16x或y＝0(x＜0)【解析】选C.因为点F(4，0)在直线x＋5＝0的右侧，且P点到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，所以点P到F(4，0)的距离与它到直线x＋4＝0的距离相等．故点P的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p＝8，故P点的轨迹方程为y2＝16x.3．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A．172B．3 C． 5 D．92【解析】选A.由抛物线的定义知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，如图，所以点P 到准线x ＝－12 的距离d ＝|PF|，易知点A(0，2)在抛物线y 2＝2x 的外部，连接AF ，当A ，P ，F 三点共线时取最小值，又|PA|＋d ＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝⎝⎛⎭⎪⎫0－122＋（2－0）2 ＝172 ，故最小值为172 .4．过点A(1，0)且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹为( )A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【解析】选D.设P 为满足条件的点，则点P 到点A 的距离等于点P 到y 轴的距离，即点P 在以点A 为焦点，y 轴为准线的抛物线上，所以点P 的轨迹为抛物线．5．抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点F ，其准线与双曲线x 23 －y 23 ＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝( )A ．3B ．4C ．6D ．8【解析】选C.如图，在正三角形ABF 中，DF ＝p ，BD ＝33 p ，所以B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫33p ，－p 2 ，又点B 在双曲线上，故13p 23 －p 243 ＝1，解得p ＝6.二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 是抛物线上的点且||MF ＝3，N ⎝⎛⎭⎫－2，0 ，则直线MN 的斜率为________．【解析】设M(x ，y)，抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，由||MF ＝3，则x ＋2＝3，得x ＝1，y ＝±2 2 ，故MN 的斜率为±221－（－2）＝±223 .答案：±2237．以椭圆x 216 ＋y 29 ＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．【解析】因为椭圆的方程为x 216 ＋y 29 ＝1，所以右顶点为(4，0).设抛物线的标准方程为y 2＝2px(p>0)，则p 2 ＝4，即p ＝8，所以抛物线的标准方程为y 2＝16x.答案：y2＝16x8．已知P为抛物线y2＝4x上的任意一点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4，5)，|PA|＋d的最小值为________．【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线l：x＝－1.由题意得d＝|PF|－1，所以|PA|＋d≥|AF|－1＝（4－1）2＋52－1＝34 －1，当且仅当A，P，F三点共线时，|PA|＋d取得最小值34 －1.答案：34 －1三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知抛物线y2＝2px经过点M(4，－4 2 )，双曲线x2a2－y2b2＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且双曲线的离心率为2，求抛物线与双曲线的方程．【解析】由抛物线y2＝2px经过点M(4，－4 2 )得，8p＝32，解得p ＝4，所以抛物线焦点为(2，0)，又因为双曲线x2a2－y2b2＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，故c＝2，又由双曲线的离心率为2，可得a＝1，b＝c 2－a 2 ＝ 3 ，所以抛物线方程为：y 2＝8x ，双曲线方程为：x 2－y 23 ＝1.10．若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 的距离比它到y 轴的距离大12 .求点M 的轨迹方程．【解题指南】把|MF|比M 到y 轴的距离大12 ，转化为|MF|与点M 到x ＝－12 的距离相等，从而利用抛物线定义求解．【解析】由于位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 的距离比它到y 轴的距离大12 ，所以动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 的距离与它到直线l ：x ＝－12 的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程应为y 2＝2px(p>0)的形式，而p 2 ＝12 ，所以p ＝1，2p ＝2，故点M 的轨迹方程为y 2＝2x(x≠0).创新迁移练1．已知曲线C 的方程为F(x ，y)＝0，集合T ＝{(x ，y)|F(x ，y)＝0}，若对于任意的(x 1，y 1)∈T ，都存在(x 2，y 2)∈T ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称曲线C 为Σ曲线．下列方程所表示的曲线中，是Σ曲线的有________．(写出所有Σ曲线的序号)①x2＝1；②x2－y2＝1；③y2＝2x；2＋y2④|y|＝||x＋1.＝1的图象既关于x轴对称，也关于y轴对称，且【解析】①x22＋y2图象是封闭图形，所以对于任意的点P⎝⎛⎭⎫x2，y2x1，y1，存在着点Q⎝⎛⎭⎫使得OP⊥OQ，所以①满足；②x2－y2＝1的图象是双曲线，且双曲线的渐近线斜率为±1，所以渐近线将平面分为四个夹角为90°的区域，当P，Q在双曲线同一支上，此时∠POQ<90°，当P，Q不在双曲线同一支上，此时∠POQ>90°，所以∠POQ≠90°，OP⊥OQ不满足，故②不满足；③y2＝2x的图象是焦点在x轴上的抛物线，且关于x轴对称，连接OP，再过O点作OP的垂线，则垂线一定与抛物线交于Q点，所以∠POQ＝90°，所以OP⊥OQ，所以③满足；④取P⎝⎛⎭⎫0，1，若OP⊥OQ，则有y2＝0，显然不成立，所以此时OP⊥OQ 不成立，所以④不满足．答案：①③2．某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20 m，拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18 m，目前吃水线上部分中央船体高5 m，宽16 m，且该货船在现在状况下还可多装1 000 t货物，但每多装150 t货物，船体吃水线就要上升0.04 m，若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？【解析】如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．因为拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m，所以A(10，－2).设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，则102＝－2p(－2)，所以p＝25，所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－150x2.若货船沿正中央航行，船宽16 m，而当x＝8时，y＝－150×82＝－1.28 m，即船体在x＝±8之间通过，B(8，－1.28)，此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(m)，而船体高为5 m，所以无法通行，又因为5－4.72＝0.28(m)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1050(t)，即若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050 t，而船最多还能装1 000 t货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．关闭Word文档返回原板块。

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考点测试54抛物线一、基础小题1．已知抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为()A.10 B．4 C.15 D．5答案 D解析由题意知，抛物线的准线方程为y＝－1，所以由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离为5.2．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C 交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为()A．18 B．24 C．36 D．48答案 C解析如图，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．∵当x ＝p2时，|y |＝p ， ∴p ＝|AB |2＝122＝6.又P 到AB 的距离始终为p ， ∴S △ABP ＝12×12×6＝36.3．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )A.π6或5π6B.π4或3π4 C.π3或2π3 D.π2答案 B解析焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，当斜率不存在时，弦长为2p ＝6，不符合题意，故此弦所在直线斜率存在设为k ，所以方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，代入y 2＝6x ，得k 2x 2－(3k 2＋6)x ＋94k 2＝0，设弦的两端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 1＋x 2＋p ＝12，即3k 2＋6k 2＋3＝12，k 2＝1.∴k ＝tan α＝±1，结合x ∈[0，π)，可得α＝π4或34π.4．已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( )A. 3B. 5 C ．2 D.5－1 答案 D解析由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22＋(－1)2＝5，所以d ＋|PF |－1的最小值为5－1.5．抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．2x －y －1＝0答案 C解析 ∵点A 在抛物线上，∴4＝2p ，p ＝2. 抛物线方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)．设点B (x 1，y 1)，点C (x 2，y 2)，则有y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②由①－②，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2)，得k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.又∵y 1＋y 2＋23＝0，∴y 1＋y 2＝－2. ∴k BC ＝－2.又∵x 1＋x 2＋13＝1，∴x 1＋x 2＝2. ∴BC 中点为(1，－1)，则BC 所在直线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即2x ＋y －1＝0.6．若抛物线y 2＝2x 上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋b 对称，且y 1y 2＝－1，则实数b 的值为( )A ．－52 B.52 C.12 D ．－12 答案 A解析直线AB 的斜率为 k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 212y 21－12y22＝－1，所以y 1＋y 2＝－2，y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝6.线段AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 21＋y 224，－1＝⎝⎛⎭⎪⎫32，－1，代入y ＝x ＋b ，得b ＝－52.故选A.7．已知动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．答案 y 2＝4x解析设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .8．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝________.答案 π6解析过N 作准线的垂线，垂足是P ，则有PN ＝NF ，∴PN ＝32MN ，∠NMF ＝∠MNP .又cos ∠MNP ＝32，∴∠MNP ＝π6，即∠NMF ＝π6.二、高考小题9．[2015·浙江高考]如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1答案 A解析过A ，B 点分别作y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，则|AM |＝|AF |－1，|BN |＝|BF |－1.可知S △BCF S △ACF＝12·|CB |·|CF |·sin ∠BCF 12·|CA |·|CF |·sin ∠BCF ＝|CB ||CA |＝|BN ||AM |＝|BF |－1|AF |－1，故选A.10．[2016·全国卷Ⅰ]以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析不妨设C ：y 2＝2px (p >0)，A (x 1,22)，则x 1＝(22)22p ＝4p ，由题意可知|OA |＝|OD |，得⎝ ⎛⎭⎪⎫4p 2＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋5，解得p ＝4.故选B.11．[2016·四川高考]设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22 D ．1 答案 C解析设P (x ，y )，∵|PM |＝2|MF |，∴|PM ||MF |＝2，又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x M ＝x ＋2×p21＋2＝x ＋p 3，y M ＝y 1＋2＝y 3，∴k OM ＝y M x M ＝yx ＋p ，由题易知k OM 最大时y >0，∴k OM ＝2px x ＋p ＝2p x ＋p x ≤2p 2p ＝22，当且仅当x ＝p 时取等号．12．[2016·浙江高考]若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．解析设M (x 0，y 0)，由抛物线方程知焦点F (1,0)．根据抛物线的定义得|MF |＝x 0＋1＝10，∴x 0＝9，即点M 到y 轴的距离为9.13．[2016·天津高考]设抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数，p >0)的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________．答案6解析由已知得抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则|FC |＝3p ，∴|AF |＝|AB |＝32p ，则A (p ，2p )(不妨设A 在第一象限)．易证△EFC ∽△EAB ，所以|EF ||AE |＝|FC ||AB |＝|FC ||AF |＝2，所以|AE ||AF |＝13，所以S △ACE ＝13S △AFC ＝13×32p ×2p ＝22p 2＝32，所以p ＝ 6.三、模拟小题14．[2017·沈阳监测]抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0) C.⎝⎛⎭⎪⎫0，116a D.⎝⎛⎭⎪⎫116a ，0答案 C解析将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C. 15．[2017·豫南九校联考]已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8,7)，则|P A |＋|PQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.∴|P A|＋|PQ|＝|P A|＋|PM|－1＝|P A|＋|PF|－1≥|AF|－1＝82＋(7－1)2－1＝10－1＝9.当且仅当A、P、F三点共线时，等号成立，则|P A|＋|PQ|的最小值为9.故选C.16．[2016·广东广州模拟]如果P1，P2，…，P n是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋x n＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P n F|＝() A．n＋10 B．n＋20 C．2n＋10 D．2n＋20答案 A解析由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|P n F|＝x n＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P n F|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋x n＋1＝(x1＋x2＋…＋x n)＋n＝n＋10.故选A.17．[2016·江西南昌一模]已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若|FP|＝3|FQ|，则|QF|＝()A.83B.52 C ．3 D ．2 答案 A解析设l 与x 轴的交点为M ，如图所示，过Q 作QN ⊥l ，垂足为N ，则△PQN ∽△PFM ，所以|NQ ||MF |＝|PQ ||PF |＝23，因为|MF |＝4，所以|NQ |＝83，故|QF |＝|QN |＝83，故选A.18．[2016·湖南岳阳二模]直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 、圆x 2＋(y －1)2＝1从左至右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则|CD ||AB |的值为________．答案 16解析如图所示，抛物线x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，直线3x －4y＋4＝0过点(0,1)，由⎩⎨⎧x 2＝4y ，3x －4y ＋4＝0，得4y 2－17y ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝174，y 1y 2＝1，解得y 1＝14，y 2＝4，则|CD ||AB |＝|FD |－1|AF |－1＝(y 2＋1)－1(y 1＋1)－1＝16.一、高考大题1．[2016·江苏高考]如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值范围．解 (1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p2－0－2＝0，即p ＝4. 所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点M (x 0，y 0)．因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b .①证明：由⎩⎨⎧ y 2＝2px ，y ＝－x ＋b 消去x ，得y 2＋2py －2pb ＝0.(*)因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以y 1≠y 2，从而Δ＝(2p )2－4×(－2pb )>0，化简得p ＋2b >0.方程(*)的两根为y 1,2＝－p ±p 2＋2pb ，从而y 0＝y 1＋y 22＝－p . 因为M (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝2－p .因此，线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )．②因为M (2－p ，－p )在直线y ＝－x ＋b 上，所以－p ＝－(2－p )＋b ，即b ＝2－2p .由①知p ＋2b >0，于是p ＋2(2－2p )>0，所以p <43.因此，p 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，43. 2．[2016·全国卷Ⅲ]已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解由题设知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛ －12，⎭⎪⎪⎫a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.(1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －ba 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)，或x 1＝1.设AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.二、模拟大题3．[2017·邯郸模拟]已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线C 于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆M 与直线y ＝－1相切于点N .(1)求C 的方程；(2)若圆M 与直线x ＝－32相切于点Q ，求直线l 的方程和圆M 的方程．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝y 1＋y 2＋p .又∵以AB 为直径的圆M 与直线y ＝－1相切，∴|AB |＝y 1＋y 2＋2，故p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入x 2＝4y 并整理，得x 2－4kx －4＝0.∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2，∴圆心M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22的坐标为M (2k,2k 2＋1)． ∵圆M 与直线x ＝－32相切于点Q ，∴|MQ |＝|MN |，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k ＋32＝|2k 2＋2|，解得k ＝12. 此时直线l 的方程为y ＝12x ＋1，即x －2y ＋2＝0.圆心M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，半径r ＝52，即圆M 的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝254. 4．[2017·江西师大附中质检]已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点F (1,0)，其准线与x 轴的交点为K ，过点K 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .(1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设F A →·FB →＝89，求△BDK 的内切圆M 的方程．解 (1)证明：由题可知K (－1,0)，抛物线的方程为y 2＝4x ，则可设直线l 的方程为x ＝my －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 1，－y 1)，由⎩⎨⎧ x ＝my －1，y 2＝4x ，得y 2－4my ＋4＝0，∴Δ＝(－4m )2－4×4≥0，得m 2≥1，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4，则直线BD 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)，即 y －y 2＝4y 2－y 1⎝⎛⎭⎪⎫x －y 224. 令y ＝0，得x ＝y 1y 24＝1，∴点F (1,0)，在直线BD 上．(2)由(1)可知⎩⎨⎧ y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4，∴x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2－2，x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝1.又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)故F A →·FB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋5＝8－4m 2，则8－4m 2＝89，∴m ＝±43，故直线l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0或3x －4y ＋3＝0，y 2－y 1＝±(y 2＋y 1)2－4y 1y 2＝±16m 2－16＝±473，故直线BD 的方程为3x ＋7y －3＝0或3x －7y －3＝0. 又KF 为∠BKD 的平分线，故可设圆心M (t,0)(－1<t <1)，M (t,0)到直线l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|4，由3|t ＋1|5＝3|t －1|4，得t ＝19或t ＝9(舍去)，故圆M 的半径为r ＝3|t ＋1|5＝23，∴圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －192＋y 2＝49. 5．[2017·江西重点中学联考]如图，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0,1)，取垂直于y 轴的直线与抛物线交于不同的两点P 1，P 2，过P 1，P 2作圆心为Q 的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且P 1Q ⊥P 2Q .(1)求抛物线C 和圆Q 的方程；(2)过点F 作直线l ，与抛物线C 和圆Q 依次交于M ，A ，B ，N ，求|MN |·|AB |的最小值．解 (1)因为抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0,1)，所以p 2＝1，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .由抛物线和圆的对称性，可设圆Q ：x 2＋(y －b )2＝r 2.∵P 1Q ⊥P 2Q ，∴△P 1QP 2是等腰直角三角形，不妨设P 1在左侧，则∠QP 1P 2＝45°，∴P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫22r ，b －22r ，代入抛物线方程有r 22＝4b －22r . 由题意，可知在P 1，P 2处圆和抛物线相切，对抛物线方程x 2＝4y 求导得y ′＝x 2，所以抛物线在点P 2处切线的斜率为k ＝2r 4.由∠QP 1P 2＝45°，得k ＝2r 4＝1，所以r ＝22，代入r 22＝4b －22r ，解得b ＝3.所以圆Q 的方程为x 2＋(y －3)2＝8.(2)由题意，知直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1.圆心Q (0,3)到直线l 的距离为d ＝21＋k 2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝42－11＋k 2.由⎩⎨⎧ x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，得y 2－(2＋4k 2)y ＋1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k 2＋2，由抛物线定义知，|MN |＝y 1＋y 2＋2＝4(1＋k 2)，所以|MN |·|AB |＝16(1＋k 2) 2－11＋k 2. 设t ＝1＋k 2(t ≥1)，则|MN |·|AB |＝16t2－1t ＝162t 2－t ＝162⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－18(t ≥1)，所以当t ＝1，即k ＝0时，|MN |·|AB |有最小值16.6．[2017·广东适应考试]已知抛物线C ：y 2＝4x ，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于x 轴的直线，分别交抛物线C 于点P 1，P 2和点P 3，P 4，线段P 1P 2，P 3P 4的中点分别记为M 1，M 2.(1)求△FM 1M 2面积的最小值；(2)求线段M 1M 2的中点P 满足的方程．解 (1)由题意，得抛物线的焦点坐标为F (1,0)，设直线P 1P 2的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0.联立⎩⎨⎧ y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y 并整理，得k 2x 2－2(2＋k 2)x ＋k 2＝0.(*)(*)是关于x 的一元二次方程，其判别式Δ＝[－2(2＋k 2)]2－4k 4＝16(1＋k 2)>0.设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两个不相等实根，且x 1＋x 2＝2(2＋k 2)k 2.设M 1(xM 1，yM 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ xM 1＝x 1＋x 22＝2＋k 2k 2，yM 1＝k (xM 1－1)＝2k ，类似地，设M 2(xM 2，yM 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ xM 2＝2＋1k 21k 2＝2k 2＋1，yM 2＝－1k (xM 2－1)＝－2k ，所以|FM 1|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－2＋k 2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝2k 2 1＋k 2， |FM 2|＝ (2k 2)2＋(－2k )2＝2|k |1＋k 2，因此S △FM 1M 2＝12|FM 1|·|FM 2|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1|k |＋|k |. 因为1|k |＋|k |≥2，所以S △FM 1M 2≥4，当且仅当1|k |＝|k |，即k ＝±1时，S △FM 1M 2取到最小值4.(2)设线段M 1M 2的中点为P (x ，y )，由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12(xM 1＋xM 2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2k 2＋2k 2＝1＋k 2＋1k 2，y ＝12(yM 1＋yM 2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －2k ＝－k ＋1k ，消去k ，得y 2＝x －3.∴线段M 1M 2的中点P 满足的方程为y 2＝x －3.。

2018届人教A版 抛物线 检测卷