高中数学《2.1.1-2指数幂及运算》课件新人教A版必修

要求给出结果，但结果中不能同时含有根号和分数指数，
也不能既有分母又含有负指数，即结果必须化为最简形 式．
思路分析：在进行幂和根式的化简时，一般先将根式
化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，化负指数
为正指数，再利用幂的运算性质进行化简运算．
温馨提示：对于(2)的结果可用根式表示，但必须进行化 3 6 2 简为 b ab ，对于(3)进行恒等变形若公式熟可以先用公 2 式化简再进行负指数变化，最终结果分母不能既含字母 也含负指数．
性质．
(1)aras＝ar＋s ；(2)(ar)s＝ars ； (3)(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r，s∈R)．
思路分析：由题目可获得以下主要信息：本例三个小
题均含有根式．解答本题可将根式化为分数指数幂形式，
根据分数指数幂的运算性质求解．
m n m 温馨提示： 此类问题应熟练应用 a ＝ a (a>0， m， n∈N*， n 且 n>1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数， 由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．
第2课时 指数幂及运算
目标要求
热点提示
本节学习指数与指数幂的运算 1.了解分数指数幂的模型 时，应注意以下几点： (1)应联系实际问题情境，体会 的实际背景，体会引入 分数指数幂的必要性． 引入分数指数幂的必要性 2．能进行分数指数幂与 (2)通过回顾乘方的定义，并推 根式之间的相互转化， 广到分数指数幂，利用根式的 了解分数指数幂的运算 具体实例理解有理数指数幂的 性质，能借助计算器计 意义，由乘方的运算性质，类 算分数指数幂的值. 比例子，得到有理数指数幂的 运算性质.
思路分析：利用立方和公式、平方差公式、完全平方
公式，将所求的式子拼凑出已知的式子．
解：(1)令2x＝t，则2－x＝t－1，∴t＋t－1＝a.①
解法一：由①两边平方得t2＋t－2＝a2－2，
∴8x＋8－x＝t3＋t－3 ＝(t＋t－1)(t2－t·t－1＋t－2) ＝a(a2－2－1)＝a3－3a. 解法二：8x＋8－x＝t3＋t－3
的基础上，这就是现行教科书采用的方法．
我国是人口大国，2007年底有13亿人口．政府现在实 行计划生育政策，人口年增长率较低．若按年增长率1%计 算，到 2008 年底，中国人口将增加多少？ 10 年以后 2017 年 底我国人口总数将达到多少？如果年增长率是2%，甚至是 5%，那么结果将会怎样？能带来灾难性后果吗？
4 ．无理数指数幂的运算性质同有理数指数幂的运算
n个相同的因数相乘，即a·a·a·„·a记作an，an叫做a
的n次幂，其中a叫做底数，n叫做指数． 本来幂的指数总是正整数，后来随着数的扩充，指数 的概念也不断发展．
正整数指数幂， 特别是与面积、 体积密切联系的平方 和立方概念， 在一些文明古国很早就有． 我国汉代曾有人 提出过负整数指数的概念， 可惜未曾流传开来.15 世纪末， 法国数学家休凯引入了零指数的概念.17 世纪英国瓦利士 在他的《无穷小算术》中提出负指数，他写到：“平方指 1 1 1 数倒数的数列 ， ， ，„的指数是－2，立方指数倒数的 1 4 9 1 1 1 数列 ， ， „的指数是－3，两者相乘，就得到‘五次 1 8 27 1 1 1 幂倒数’的数列 ， ， „， 它的指数显然是(－2)＋(－ 1 32 243 1 1 1 3)＝－5，同样，‘平方根倒数’的数列 ， ， ，„ 1 2 3 1 的指数是－ ，„.” 2
3 ．适当地选用换元，能使公式应用更清晰，过程更
简捷．
化简：
a2 b
b3 4 a . a b3
计算下列各式： 3 4 (1)( 25－ 125)÷ 5； a2 巧：根据分数指数幂和根式的关系，
根式的运算可以与分数指数幂的运算相互转化，对于运算 的结果，不统一要求用什么形式来表示，没有特别要求， 可以用分数指数幂的形式表示；有特殊要求可以根据要求 给出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能
18 世 纪 以 后 ， 人们发现复数 a ＋ bi 还可以用三角式
r(cosθ＋isinθ)及指数式reiθ表示(r是模，θ是辐角)，从而得到
了一般复数指数的概念． 1679年，莱布尼茨写信给荷兰数学家惠更斯讨论方程： xx－x＝24，xz＋zx＝b，xx＋zz＝c， 这是引入变指数的开始．
指数概念形成后，欧拉才把对数建立在指数的逆运算
思路分析：当式子中既有根式又有分数指数幂时，应
将根式统一化到分数指数幂的形式，便于运算．
温馨提示：(1)在进行幂和根式的化简时，一般是先将
根式化成幂的形式，小数指数幂化为分数指数幂，并尽可
能统一成分数指数幂形式，再利用幂的运算性质进行运 算． (2)对于根式计算结果，并不强求统一的表示形式，一 般地用分数指数幂的形式来表示，如果有特殊要求，则按
＝(t＋t－1)(t2－t·t－1＋t－2)
＝a[(t＋t－1)2－3t·t－1] ＝a(a2－3)＝a3－3a.
温馨提示： 1.对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为
底数是质数的指数幂，再考虑同底数幂的运算法则及乘法
公式． 2．一般不采用分别把x、y、2x的值求出来代入求值的 方法．应先将原式进行分母有理化并用乘法公式变形，把 2x＋2－x、x＋y及xy整体代入后再求值．
既有分母又含有负指数．
2 ．对于利用分数指数幂的运算性质化简求值的问题，
一般有三种思路：将条件用结论表示，直接解出结论；将
结论用条件表示，直接将条件代入，然后求出结果；找到 条件和结论的中间量、借助中间量求解，注意利用整体代 换及平方差、立方差、立方和公式，利用转化、换元等方 法．
指数的发展
这是一个巨大的进步，不过瓦利士没有真正使用指数 1 1 1 符号 ，只是说 ， ， „的指数是－2，－3 4 8 2 1 和－2，„. 分数指数幂最早出现在奥力森的《比例算法》中， 他使用的符号并不简洁．现行的分数指数和负数指数符号 是牛顿创设的，他在 1676 年 6 月 13 日写信给莱布尼茨， 里面说到，“因为代数学家将 aa，aaa，aaaa 等写成 a2， 1 1 1 3 4 3 a， a 等等， 所以我将 a， a 写成 ； 又将 ， ， a aa aaa 写成 a－1，a－2，a－3，信中的“ a”，“ a3”，就是现在 的 a， a3.而且，牛顿还首先使用了任意实数指数．