无穷级数整理
无穷级数知识点总结考研
无穷级数知识点总结考研一、无穷级数的概念无穷级数是由无穷多个数的和组成，通常用符号∑表示。
其一般形式为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...... + a_n + ......其中a_n是一个数列，称为级数的通项。
无穷级数是由级数的部分和组成的序列，即S_n = a_1 + a_2 + ...... + a_n，所以求无穷级数的和，就是求该序列的极限，即lim(S_n)。
在实际运用中，我们通常是通过研究级数的部分和的性质，来求级数的和或证明级数的敛散性。
二、无穷级数的敛散性1. 收敛与发散的定义级数的和S = ∑a_n，如果级数的部分和S_n = a_1 + a_2 + ...... + a_n存在极限L，即lim(S_n) = L，那么称级数收敛，其和为L，记作∑a_n = L。
如果级数的部分和S_n的极限不存在，或者极限为无穷大，即lim(S_n) = ±∞，那么称级数发散。
2. 收敛级数的判定（1）正项级数收敛判定对于正项级数∑a_n，即a_n≥0，根据级数的部分和单调递增有界的结论，若存在常数M，使得对一切n始终成立S_n ≤ M，那么级数收敛；如果对于任意的M > 0，总存在n_0，使得对一切n > n_0有S_n > M，那么级数发散。
（2）比较判别法若对于所有的n，总有0 ≤ a_n ≤ b_n，且∑b_n收敛，那么∑a_n也收敛；若对于所有的n，总有a_n ≥ b_n ≥ 0，且∑b_n发散，那么∑a_n也发散；若∑b_n发散，且对于足够大的n，总有a_n＞b_n，则∑a_n发散。
（3）比值判别法若存在常数0 < q < 1及整数n_0，使得当n > n_0时，有a_n_+1/a_n ≤ q，那么级数收敛；若a_n_+1/a_n≥1，那么级数发散；若a_n_+1/a_n不满足以上两个条件，那么比值判别法无法判断级数的敛散性。
无穷级数知识点
⽆穷级数知识点⽆穷级数知识点⽆穷级数1. 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯⼀，即：1lim n k n k S u ∞→∞==∑存在，称级数收敛。
2.若任意项级数1n n u ∞=∑收敛，1n n u ∞=∑发散，则称1n n u ∞=∑条件收敛，若1n n u ∞=∑收敛，则称级数1nn u ∞=∑绝对收敛，绝对收敛的级数⼀定条件收敛。
. 2. 任何级数收敛的必要条件是lim 0n n u →∞=3.若有两个级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑，11,n n n n u s v σ∞∞====∑∑则①1()n n n u v s σ∞=±=±∑，11n n n n u v s σ∞∞===∑∑。
②1n n u ∞=∑收敛，1n n v ∞=∑发散，则1()n n n u v ∞=+∑发散。
③若⼆者都发散，则1()n n n u v ∞=+∑不确定，如()111, 1k k ∞∞==-∑∑发散，⽽()1110k ∞=-=∑收敛。
4．三个必须记住的常⽤于⽐较判敛的参考级数：a) 等⽐级数：0111n n ar ar r ∞=?-=??≥?∑,收敛，r 发散，b) P 级数： 11p n n ∞=>?=?≤?∑收敛，p 1发散，p 1c) 对数级数： 21ln pn n n ∞=>?=?≤?∑收敛，p 1发散，p 15.三个重要结论①11()n n n a a ∞-=-∑收敛lim n n a →∞存在②正项（不变号）级数n a ∑收2n a ?∑收，反之不成⽴，③2n a ∑和2n b ∑都收敛n n a b ?∑收，n na b n n∑∑或收6．常⽤收敛快慢正整数 ln (0)(1)!n n n n a a n n αα→>→>→→由慢到快连续型 ln (0)(1)x x x x a a x αα→>→>→由慢到快7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常⽤技巧1.达朗贝尔⽐值法 11,lim 1,lim 0)1,n n n n n n l u l l u l µµ+→∞→+∞=>≠??=??收发（实际上导致了单独讨论（当为连乘时）2. 柯西根值法 1,1,1,n n n n l u l l n l µ=>??=?收发（当为某次⽅时）单独讨论3. ⽐阶法①代数式 1111n n n n n n n n n n u v v u u v ∞∞∞∞====≤∑∑∑∑收敛收敛，发散发散②极限式 lim nn nu A v →∞=，其中：1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数。
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无穷级数整理一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛）3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若0lim >=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容） 另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.常用度量： ①等比级数：∑∞=0n nq，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数：∑∞=--111)1(n pn n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. （4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n nu，设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断. （6）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数（一）幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 （1）柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛，在Rx x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径. （2）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n nn x x a在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.（3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和 （1）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，x ∈(-∞, +∞).②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞=0n n x ，x ∈(-1, 1). 从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ，x ∈(-∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ，x ∈(-∞, +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1]. ⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，x ∈(-1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ，x ∈[-1, 1]. ⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, 1].（2）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立） 若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛. 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（1）在[-l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；（2）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分： （1）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（2）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（3）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin n nxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；； （4）C nx n nx a e n a nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e ax ax +++=⎰)cos sin (1cos 22； （5）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.。
无穷级数知识点总结专升本
无穷级数知识点总结专升本一、概念无穷级数是由无限多个项组成的级数，其中每个项都是一个数字或者变量的表达式。
无穷级数通常用符号∑表示，其中∑表示总和，表示对所有项进行求和。
无穷级数可以是收敛的，也可以是发散的。
对于收敛的无穷级数，其和可以用极限来表示；对于发散的无穷级数，其和不存在。
二、级数的性质1.级数的部分和级数的部分和是指级数前n项的和，用Sn表示。
当n趋向无穷大时，级数的部分和就是级数的和。
当级数的部分和的极限存在时，级数收敛；当级数的部分和的极限不存在时，级数发散。
2.级数的收敛与发散级数的收敛指的是级数的部分和的极限存在，也就是级数的和存在；级数的发散指的是级数的部分和的极限不存在，也就是级数的和不存在。
3.级数的敛散性级数敛散性指的是级数的收敛性或发散性。
级数的敛散性可以通过级数的部分和的极限是否存在来判断。
4.级数的比较性级数的比较性是指通过级数的部分和与其他级数的部分和进行比较来判断级数的敛散性。
可以通过比较原则、比值原则、根值原则等方法来比较级数的敛散性。
5.级数的运算性质级数满足加法、数乘、绝对收敛、收敛性与级数重新排列等运算性质。
三、收敛级数1.正项级数对于所有项均为非负数的级数，称为正项级数。
正项级数通常采用单调有界数列的性质来判断是否收敛。
2.幂级数幂级数是形式为∑an*x^n的无穷级数，其中an为常数系数，x为自变量。
幂级数通常需要通过收敛半径来判断其收敛性。
3.级数的收敛判别法级数的收敛判别法是用来判断级数是否收敛的方法，包括比较法、审敛法、根值法、比值法、积分法等。
4.级数收敛性的应用无穷级数的收敛性可以应用于数学和物理等领域，如泰勒级数、傅立叶级数等。
四、发散级数1.发散级数的定义对于发散级数而言，其和不存在，无法通过有限项之和来表示。
发散级数可能是几何级数、调和级数、交错级数等。
2.级数的发散判别法级数的发散判别法是用来判断级数是否发散的方法，例如：项数发散法、数值发散法、微分法等。
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1无穷级数整理一、数项级数（一） 数项级数的基本性质1•收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2•收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数 ，总存在N 使得对于任何两个 N大于的正整数 m 和n 总有S m S n•（即部分和数列收敛）3•收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛） ，而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散4•对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变 5•在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性 （二） 数项级数的性质及敛散性判断 1•正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛 （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数U nn 1V n 收敛时，级数 U n 亦收敛；若I ，则当级数1n 1n 散时，级数V n 亦发散•n 1V n 之间自某项以后成立着关系:n 1存在常数c0，使 U n CV n (n 1,2,），那么 （i ）当级数V n 收敛时，级数1U n 亦收敛;n 1（ii ）当级数U n 发散时，级数 n 1V n 亦发散•推论：设两个正项级数U n 和 n 1V n ，且自某项以后有1U n 1 U n4，那么V n（i ）当级数n V n 收敛时，级数1U n 亦收敛;n 1（ii ）当级数U n 发散时, n 1V n 亦发散•（3）比较判别法的极限形式 （比阶法）：给定两个正项级数Un n 1和 V n ，若 lim U nn 1nV n那么这两个级数敛散性相同（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容）另外，若I 0,则当级数U n 发常用度量:①等比级数：q n，当q 1时收敛，当q 1时发散；n 01②P-级数：丄，当p 1时收敛，当p 1时发散（p 1时称调和级数）;n 1 n p1③广义P-级数：p，当p 1时收敛，当p 1时发散•n 2 n In n④交错p-级数：（1）n12，当p 1时绝对收敛，当Op 1时条件收敛•n 1 n pu（4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数u n，当lim 口r 1时n U nn 1级数u n收敛；当1血乩r 1时级数u n发散；当r 1或r 1时需进一步判断• n 1 n U n n 1（5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数u n，设r lim n u n，那么r 1nn 1时此级数必为收敛，r 1时发散，而当r 1时需进一步判断•（6 ）柯西积分判别法：设u n为正项级数，非负的连续函数 f （x）在区间［a,）上单调n 1下降，且自某项以后成立着关系：f（U n） U n，则级数U n与积分° f（X）dx同敛散.n 12•任意项级数的理论与性质（1 ）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然；②对于级数U n，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数V n，其中n 1 n 1 Un| U nV n 一!-------- ；将它的所有负项变号而将正项换为0,也组成一个正项级数W n ,其中2 n 1U n| U nW n 一!------- ，那么若级数U n绝对收敛，则级数V n和W.都收敛；若级数U n 2n 1 n 1 n 1 n 1条件收敛，则级数V n和W n都发散.n 1 n 1③ 绝对收敛级数的更序级数(将其项重新排列后得到的级数)仍绝对收敛，且其和相同④若级数 U n 和 V n 都绝对收敛，它们的和分别为 U 和V ，则它们各项之积按照任何方n 1n 1式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积 U nV n 也绝对收敛，且和也为UV .n 1n 1注:C nU nV n ，这里C nUN n U 2V n 1U n 1V 2 U n V 1n 1n 1n 1且U n 单调减少(即U n U n J,则 (1)"勺山收敛，其和不超过第一项，且余和的符号n 1与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值二、函数项级数(一)幕级数1•幕级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 (1)柯西-阿达马定理：幕级数 a n (x x 0)n 在x x oR 内绝对收敛，在 x x 0 Rn 0内发散，其中R 为幕级数的收敛半径•(2)阿贝尔第一定理：若幕级数a n (xx 0)n 在x 处收敛，则它必在x x 0 x 0n 0内绝对收敛；又若a n (x x 0)n 在x处发散，则它必在 x x 0 x 0也发散•n 0推论1：若幕级数a n x n 在x (0)处收敛，则它必在 x 内绝对收敛；又若幕n 0级数a n X n 在x( 0)处发散，则它必在 x 时发散•n 0推论2：若幕级数a n (x X 0)n 在x处条件收敛，则其收敛半径 R I X 。
无穷级数总结
无穷级数总结无穷级数是数学中的重要概念，常出现在分析学、代数学、数论等领域。
它的形式为一列数相加的无穷和。
无穷级数的研究对于了解数学的发展历程和数学的基本思想方法具有重要意义。
本文将对无穷级数的定义、性质、收敛与发散的判定方法以及一些典型的无穷级数进行介绍和总结。
无穷级数的定义意味着\[S_n=a_1+a_2+...+a_n\]\[S=a_1+a_2+a_3+...\]其中，$S_n$表示级数的前n项和，S表示整个级数的和，$a_n$表示级数的第n项。
我们称一个无穷级数收敛或发散取决于它的部分和序列。
具体来说，如果存在一个有限的实数 S，使得对于任意给定的正数 $\varepsilon $，当 n 大于一些自然数 N 时，总有\[ ，S-S_n，< \varepsilon \]那么我们说该级数是收敛的，并把这个实数S叫做级数的和，记做\[ S=\sum_{n=1}^{+ \infty } a_n\]如果上述性质不成立，即对于任意给定的正数S，当n大于一些自然数N时，总存在\[ ，S-S_n， \geq \varepsilon \]那么我们说该级数是发散的。
在判断无穷级数是否收敛时，可以运用收敛的充分条件。
其中，比较判别法、比值判别法、根值判别法是最常用的方法之一1.比较判别法：如果存在一个收敛的级数 $\sum b_n$，使得对于所有的正整数 n，有 $，a_n， \leq b_n$，那么级数 $\sum a_n$ 收敛。
反之，如果级数$\sum a_n$ 发散，那么对于所有的正整数 n，必有 $，a_n， \geqb_n$ 对一些发散的正项级数 $\sum b_n$ 成立。
2.比值判别法：对于正项级数 $\sum a_n$，如果存在一个常数 L，使得当 n 大于一些正整数 N 时，总有 $\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq L < 1$，那么级数$\sum a_n$ 收敛。
无穷级数知识点总结
无穷级数知识点总结一、无穷级数的定义无穷级数是指由无限个实数或复数项组成的数列之和。
一般地，我们用数列 {a_n} 来表示无穷级数的各项，那么无穷级数就可以表示为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...其中 S 代表无穷级数的和，而 a_1, a_2, a_3, ... 分别代表无穷级数的各项。
无穷级数通常可以用极限的概念来进行定义，即无穷级数的和就是数列的极限。
如果数列 {S_n} 的部分和数列收敛到某个数 L，那么无穷级数 S 的和便为 L，即：S = lim (n->∞) S_n = L这里的 S_n 代表无穷级数的部分和数列，它可以写成：S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n无穷级数的定义是无穷数列极限的推广，它引入了无穷个数的概念，因此无穷级数的性质和收敛性等问题相对于有限级数来说更加复杂和多样。
二、无穷级数的性质无穷级数在数学中有着许多重要的性质，这些性质对于研究无穷级数的收敛性、计算方法以及应用等方面都有着重要的作用。
下面我们将详细介绍无穷级数的一些重要性质。
1. 无穷级数的有限项相加结果相同如果无穷级数的有限项相加的结果相同，那么这个无穷级数的和也相同。
即如果无穷级数S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的前 n 项之和等于 S_n，而无穷级数 T = b_1 + b_2 + b_3 + ... 的前 n 项之和等于 T_n，并且 S_n = T_n，那么这两个无穷级数的和也相等，即 S = T。
2. 无穷级数的倒序相加结果相同如果无穷级数的倒序相加的结果与原来的无穷级数相同，那么这个无穷级数的和同样相同，即如果无穷级数 S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的倒序相加的结果也等于 S，那么这个无穷级数的和就等于 S。
3. 无穷级数的部分和数列的有界性如果无穷级数的部分和数列 {S_n} 是有界的，即存在一个正数 M，使得对于所有的正整数n，都有 |S_n| <= M，那么这个无穷级数是收敛的。
无穷级数知识点汇总
无穷级数知识点汇总无穷级数是由无穷多个数的和组成的数列。
它是数学中的基本概念，具有广泛的应用，涉及到数学分析、物理学、工程学等领域。
无穷级数的收敛与发散是无穷级数研究的核心问题。
收敛意味着无穷级数的和存在，而发散则意味着无穷级数的和不存在。
接下来，我们将介绍几个与无穷级数收敛与发散相关的知识点。
1.部分和的概念：对于给定的无穷级数，在给定的位置截取有限个数进行求和，这个和称为部分和。
部分和序列是由部分和构成的数列。
在研究无穷级数收敛与发散时，通常先分析部分和序列的性质。
2.等比级数：等比级数是指形如a+ar+ar^2+...的级数，其中a是首项，r是公比。
当公比，r，<1时，等比级数收敛，和为a/(1-r)。
当，r，≥1时，等比级数发散。
3.绝对收敛与条件收敛：如果一个无穷级数的各项绝对值组成的级数收敛，那么这个级数是绝对收敛的。
如果一个级数是收敛的但不是绝对收敛的，那么这个级数是条件收敛的。
4. 正项级数：如果一个无穷级数的各项都是非负数，或者说对于所有的n，an≥0，那么这个级数是正项级数。
正项级数的部分和序列是递增的，且如果部分和序列有上界，则该级数收敛。
5.收敛判别法：为了判断一个无穷级数的收敛性，数学家发展了多种不同的方法。
其中一些著名的判别法包括比值判别法、根值判别法、积分判别法等。
这些方法根据级数项之间的关系，通过判断级数的部分和序列是否满足一些特定条件，进而判断级数的收敛性。
6.绝对收敛级数的性质：绝对收敛级数在加法和乘法运算下具有良好的性质。
例如，绝对收敛级数可以无限重排项而不改变其和。
此外，对于绝对收敛级数，我们可以通过将级数分拆成两部分再进行求和，这样的重排不改变级数的和。
除了以上内容，无穷级数还涉及到级数的收敛半径、幂级数、Fourier级数等等一系列的概念和方法。
-收敛半径是幂级数中重要的一个概念，指的是幂级数在哪些点上收敛的临界点。
可以使用柯西－阿达玛公式来计算收敛半径。
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无穷级数整理一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛）3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1(Λ=≤n cv u n n ，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv，若0lim>=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容）另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.常用度量： ①等比级数：∑∞=0n nq，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n pn，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)；③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数：∑∞=--111)1(n p n n，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. （4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u n n n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n nu，设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断. （6）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=--Λ.（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数（一）幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 （1）柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛，在Rx x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径. （2）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim 1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在Rx x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.（3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和 （1）常用的幂级数展开：①ΛΛ+++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，x ?(??, +?).②=11x -1+x +x 2+···+x n+··· =∑∞=0n n x ，x ?(?1, 1). 从而，∑∞=-=+0)(11n n x x ，∑∞=-=+022)1(11n nn x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ΛΛ，x ?(??, +?).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ΛΛ，x ?(??, +?). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ΛΛ，x ?(?1, 1]. ⑥ΛΛΛ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，x ?(?1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ΛΛ，x ?[?1,1].⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ΛΛ，x ?[?1, 1]. （2）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立） 若)(x f 以l 2为周期，且在[?l , l ]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[?l , l ]上处处收敛. 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（1）在[?l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；（2）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分： （1）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（2）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（3）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin n nxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；； （4）C nx n nx a e n a nxdx e ax ax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e ax ax +++=⎰)cos sin (1cos 22； （5）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性；③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.。