无穷级数求和问题的几种方法
无穷级数的求和方法及实际应用
无穷级数的求和方法及实际应用无穷级数是数学中的一个重要概念，其是指由无限个项所组成的数列之和。
在数学领域中，无穷级数的求和方法及实际应用具有很高的研究价值。
本文将为您全面介绍无穷级数的求和方法及实际应用。
一、无穷级数的表示方法无穷级数的表示方法有数列求和法和函数求和法两种。
数列求和法是指将每个项加起来得到的和。
可以表示为S=a1+a2+...+an+...。
当数列有收敛的极限值时，就称这个级数收敛，当数列的极限值不存在或无穷大时，就称这个级数发散。
函数求和法则是用函数的形式来表示无穷级数。
对于动态无穷级数来说，函数求和法较为常见，它可以表示为S=f(n)。
在函数求和法中，一个级数的求和值被等价于它所描述的函数之和在某个范围内的极限值。
当函数收敛到一个固定的值时，就可以说这个无穷级数收敛。
如果函数的极限不存在或分明无反应，则称级数发散。
二、无穷级数的求和方法1、和式变换法和式变换法是一种求解级数和的方法。
它的主要思想是将原来的级数转化为一个更熟悉的级数，以便更容易解决。
比如，将级数S=1+1/2+1/4+1/8+...转换为S=2，从而快速得出级数S的和。
2、换序求和法如果一个级数的每个数列都是绝对收敛的，那么它是允许换序的。
换序求和法是指通过交换级数中每个项的位置，从而使级数的求和更具效率。
但是，当级数不绝对收敛时，换序不会得到正确的求和结果。
3、比较判别法比较判别法是一种判断无穷级数收敛与发散的方法，其基本思想是将一个无穷级数与另一个已知的级数进行比较。
如果已知的级数是收敛的，那么它就可以作为一个新的级数的上界或下界。
如果新的级数的和小于已知级数的和，那么新的级数也会收敛。
4、积分判别法积分判别法是一种判断无穷级当前后发散的方法之一。
它建立在函数积分的基础之上，通过计算两个函数之间的积分，然后将结果与一个已知级数比较，从而得出级数的收敛与发散。
三、无穷级数的实际应用无穷级数在很多实际应用中都有广泛的应用。
无穷级数的收敛性与求和方法
无穷级数的收敛性与求和方法在数学中，无穷级数是由无限多个项相加而成的。
它们在许多领域中都有广泛的应用，例如物理学、工程学和计算机科学。
然而，要确定一个无穷级数是否收敛（即总和是有限的）以及如何求和并不总是容易的。
本文将介绍无穷级数的收敛性，并讨论一些常见的求和方法。
一、无穷级数的收敛性一个无穷级数可以表示为：\[S = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots\]其中，\(a_n\) 是序列的第 \(n\) 个项。
要确定无穷级数的收敛性，我们需要考虑它的部分和序列。
部分和序列是通过将前 \(n\) 个项相加而得到的，表示为：\[S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n\]如果部分和序列 \(\{S_n\}\) 收敛（即有限），那么我们说无穷级数\(S\) 收敛。
反之，如果部分和序列发散（即无穷大或无穷小），那么我们说无穷级数 \(S\) 发散。
二、常见的收敛判别法1. 比较判别法比较判别法是判断一个无穷级数收敛性的常用方法。
它基于比较一个给定的级数与一个已知的级数。
如果一个级数的每一项都大于（或小于）一个已知级数的对应项，并且这个已知级数收敛，那么我们可以得出该级数也收敛。
反之，如果一个级数的每一项都大于（或小于）一个已知级数的对应项，并且这个已知级数发散，那么我们可以得出该级数也发散。
2. 比值判别法比值判别法是通过比较一个级数的相邻项的比值与一个给定数值来判断其收敛性。
假设有一个级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)，计算相邻项的比值 \(r = \frac{a_{n+1}}{a_n}\)。
如果 \(r\) 小于 1，那么级数收敛；如果 \(r\)大于 1，那么级数发散；如果 \(r\) 等于 1，则无法判断。
3. 根值判别法根值判别法也是一种常见的收敛判别法，它是通过计算一个级数的相邻项的根值来判断其收敛性。
假设有一个级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)，计算相邻项的根值 \(r = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|}\)。
求级数的和的方法总结
求级数的和的方法总结前言在数学中，级数是由一列项按照一定的规律相加而得到的无穷和。
求解级数的和是数学中经典的问题之一，在实际的计算和应用中有着重要的意义。
本文将总结几种常用的方法和技巧，用于求解级数的和。
1. 等差数列求和公式等差数列是最简单的一种级数形式，其项之间的差值是一个常数。
对于等差数列来说，可以使用简便的求和公式来求解其和。
假设等差数列的首项为 a，公差为 d，需要求和的项数为 n。
则等差数列的和Sn 可以通过以下公式计算：Sn = n * (2a + (n - 1) * d) / 22. 等比数列求和公式等比数列是另一种常见的级数形式，其项之间的比值是一个常数。
对于等比数列来说，同样可以使用简便的求和公式来求解其和。
假设等比数列的首项为 a，公比为 r(0 < r < 1)，需要求和的项数为 n。
则等比数列的和 Sn 可以通过以下公式计算：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)3. 几何级数求和公式几何级数是一种特殊的等比数列，它的首项为 1，公比为 r(0 < r < 1)。
几何级数是一种无穷级数，需要通过求和公式来获得其和。
几何级数的和 Sn 可以通过以下公式计算：Sn = 1 / (1 - r)需要注意的是，几何级数的公比必须在 0 和 1 之间才能使用该公式。
4. 泰勒级数求和泰勒级数是一种将函数表示为无限次可导的多项式的级数形式。
它是数学中重要的工具，在近似计算和函数拟合中有广泛的应用。
而求解泰勒级数的和可以通过不断迭代计算项的累加值来完成。
泰勒级数的和计算过程中需要指定求和的项数，通常情况下，项数越多，计算结果越接近原函数的值。
5. 变形与分解对于一些复杂的级数，求和的方法可能不是直接适用的，此时可以通过变形和分解的方式来简化求解的过程。
比如，对于某些级数可以将其拆分成多个子级数，然后分别求解每个子级数的和，最后再汇总得到原级数的和。
无穷级数的求和法及其应用
无穷级数的求和法及其应用无穷级数是数学中一个非常重要的概念，我们可以利用无穷级数来求和，得到一些非常有用的结果。
本文将介绍无穷级数的求和法及其应用。
一、无穷级数的定义无穷级数是指一个数列的和，该数列包含无穷多个数。
无穷级数的一般形式为：a1 + a2 + a3 + … + an + …其中，a1、a2、a3、…、an是数列中的前n项，...表示剩余项，也就是前n项之后的无穷多项。
二、等比级数首先，我们来看一个特殊的无穷级数——等比级数。
等比数列是指数列中每一项之比都相等的数列，比如1，2，4，8，16，…就是一个等比数列，因为每一项之比都为2。
等比级数是等比数列的和。
对于等比数列a1，a2，a3，…，an，…以及其公比q（q≠0），则它的等比级数为：S = a1 + a2q + a3q2 + … + an-1qn-2 + an-1qn-1 + …等比级数有一个非常重要的性质：当|q|<1时，S可以求和，也就是说，等比级数可以收敛。
三、收敛级数的求和法1.调和级数我们先来看一个非常经典的例子，即调和级数：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … + 1/n + …这个级数的和是一个无穷大的数，但是它却收敛。
这是怎么回事呢？事实上，调和级数虽然无穷大，但是它增长的速度非常缓慢。
我们可以把调和级数分成很多个小组，每个小组包含2^k个数，其中k为自然数。
例如，第一个小组为1+1/2，第二个小组为1/3+1/4+1/5+1/6，依此类推。
通过这种方式，我们可以得到一个新的级数：1 + (1/2) + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) + … + 1/n上述级数的和为2。
因此，我们可以得出调和级数的和为无穷大的结论。
2. 几何级数几何级数也是一个非常常见的级数，其形式为：a + ar + ar^2 + ar^3 + … + ar^n + …其中，a为首项，r为公比。
等比无穷级数求和公式
等比无穷级数求和公式无穷级数是数学中的重要概念，它可以描述一系列无限多个数的和。
而等比无穷级数则是其中一种特殊的无穷级数，它的每一项与前一项的比值保持不变。
在本文中，我们将介绍等比无穷级数的求和公式，并通过具体的例子来说明其应用。
等比无穷级数的求和公式可以用以下方式表示：S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...其中，a是首项，r是公比。
当公比r的绝对值小于1时，等比无穷级数收敛，其和可以通过以下公式计算：S = a / (1 - r)当公比r的绝对值大于等于1时，等比无穷级数发散，没有有限和。
下面我们通过几个具体的例子来说明等比无穷级数的求和公式的应用。
例1：计算1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...的和。
这个无穷级数的首项a是1，公比r是1/2。
由于公比r的绝对值小于1，所以该级数收敛。
根据求和公式，我们可以计算出：S = 1 / (1 - 1/2) = 2所以，1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...的和是2。
例2：计算2 + 4 + 8 + 16 + ...的和。
这个无穷级数的首项a是2，公比r是2。
由于公比r的绝对值大于等于1，所以该级数发散，没有有限和。
通过上述例子，我们可以看到等比无穷级数的求和公式在计算无穷级数的和时非常有用。
但需要注意的是，公比r的绝对值必须小于1才能保证级数的收敛性。
除了等比无穷级数的求和公式，我们还可以通过其他方法来计算无穷级数的和，比如递归求和法、部分和数列法等。
这些方法在不同的情况下都有其适用性。
总结起来，等比无穷级数的求和公式是一个重要的数学工具，可以帮助我们计算无穷级数的和。
通过本文的介绍，相信读者对等比无穷级数的求和公式有了更加清晰的认识，并能够灵活运用它来解决实际问题。
关于无穷级数求和问题的探讨
关于无穷级数求和问题的探讨
无穷级数求和是一个重要的数学问题，它涉及到无限分之一，级数求和成为近代数学中许多科学研究的重要研究对象，包括经典分析、数论、复分析等。
级数求和研究主要从聚类级数、梯形级数、反复级数等不同方面来分析并证明结论，比较关键的问题就是证明该级数是收敛的，或者陈述当某一项的绝对值小于某个给定的某个数常数的时候，级数的前面几项的和就接近此无穷级数的实际和，以此来验证级数的收敛性。
无穷级数的求和最重要的方法是极限法。
极限法的根本思想是利用极限的概念，如果一个级数的项的绝对值越来越小，当项的绝对值小于一个指定的任意小数时，累加前面的项就可用来估计这个无穷级数的和了。
另一种方法是通过收敛性这一性质来求得级数的和。
将级数分解成多项式，用收敛定理来证明级数的收敛性，并可以用不同的方法来求得精确的结果。
另一种求得无穷级数和的方法是由Cauchy-Hadamard公式定理，即极限公式。
通过极限公式可以直接确定无穷级数的收敛性，然后求得该级数的和。
极限公式是一个很好用的概念，在实际应用中也有很多有效的方式，比如利用它可以用来证明有限级数收敛，且可以求得这个级数的和。
以上概括了常用的几种计算无穷级数和的方法，虽然这些方法简单易懂，但也存在很多的不可避免的困难，比如如何判断某一级数的收敛性、如何求得精确的结果等问题。
因此，计算无穷级数的计算和证明仍然是非常重要的数学问题，需要继续进行更多的研究来改善现有的方法，使其更精确有效地求得无穷级数的和。
定积分的无穷级数求和
定积分的无穷级数求和定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来求曲线和坐标轴之间的面积以及各种物理量。
在实际应用中，我们常常遇到需要求解无穷级数的问题。
无穷级数是一个数列的和，它包含了无限个数。
在数学中，有很多方法可以求解无穷级数，其中一种基本的方法就是使用定积分来求和。
一.无穷级数的定义在数学中，如果一个数列有无限多项，那么称这个数列是无穷数列。
一般地，一个无穷数列可以记作：$a_{1}, a_{2}, a_{3},...,a_{n},...$其中每个$a_{n}$称为数列的第n项。
如果一个无穷数列的每个后继项都是前一项的某个常数倍，则称这个数列是等差数列，这个常数称为数列的公差。
如果一个无穷数列的每个后继项都是前一项的某个常数次幂，则称这个数列是等比数列，这个常数称为数列的公比。
而无穷级数则是数列的和。
若数列{an}是一个数列，那么无穷级数就可以写成$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}...$其中$S_{n}$是前n项的和。
而有限的级数称为部分和数列。
在许多情况下，我们还需要讨论一个无穷级数是否收敛。
如果一个无穷级数的部分和数列有一个有限的极限，那么这个无穷级数是收敛的，反之则为发散的。
二.使用定积分求和定积分和无穷级数是两个不同的数学概念，但是它们之间存在着一定的联系。
考虑以下无穷级数：$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}+...$我们称之为调和级数。
在数学上经过证明可以得出调和级数是发散的。
但这个级数的和可以用定积分求解出来。
事实上，如果我们定义函数$f(x)=\frac{1}{x}$，则$f(x)$在$x>0$的区间上是连续的。
我们可以将定义域分成若干份，然后在每一个小区间上进行计算。
如图所示，我们可以将$f(x)=\frac{1}{x}$在区间$[1,n]$上的积分进行如下的变形：$\int_{1}^{n+1}\frac{1}{x}dx=\ln(n+1)$$\int_{n}^{n+1}\frac{1}{x}dx\leq\int_{n}^{n+1}dx$$\frac{1}{n+1}\leq\ln(n+1)-\ln(n)\leq\frac{1}{n}$对上述式子进行求和，我们可以得到：$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}\leq\ln(n)+1$$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}\geq\ln(n)+0.5$于是我们可以得到：$\lim_{n\to\infty}(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}-\ln(n))=0$这就意味着，调和级数的和可以用$ln(n)$来近似表示。
无穷级数求和公式大全
无穷级数求和公式大全摘要：一、无穷级数求和公式简介1.无穷级数的定义2.无穷级数求和的意义二、常见无穷级数求和公式1.级数求和公式的一般步骤2.几何级数求和公式3.调和级数求和公式4.交错级数求和公式5.幂级数求和公式三、级数求和公式的应用1.数学分析中的应用2.物理学中的应用3.工程学中的应用正文：一、无穷级数求和公式简介无穷级数是数学中一种特殊的概念，它是由一系列项按照一定规律排列组成的。
无穷级数的求和则是指将所有项相加得到一个有限的和。
无穷级数求和公式是解决这类问题的工具，它可以帮助我们快速、准确地计算出无穷级数的和。
二、常见无穷级数求和公式1.级数求和公式的一般步骤求解无穷级数和的过程通常包括以下几个步骤：（1）确定级数的收敛性：根据级数的定义和性质，判断级数是否收敛，即是否有极限。
（2）写出级数的和：根据收敛性，写出级数的和。
（3）求解：对级数求和公式进行求解，得到级数的和。
2.几何级数求和公式几何级数是指各项的比值为常数的级数，如1, 2, 4, 8, ...。
几何级数的求和公式为：S = a / (1 - r)其中，S 表示级数的和，a 表示第一项，r 表示比值。
3.调和级数求和公式调和级数是指各项为1, 1/2, 1/3, 1/4, ...的级数。
调和级数的求和公式为：S = π^2 / 64.交错级数求和公式交错级数是指各项正负相间的级数，如1, -1, 2, -2, ...。
交错级数的求和公式为：S = (-1)^n * a_n其中，S 表示级数的和，a_n 表示第n 项，n 表示项的位置。
5.幂级数求和公式幂级数是指各项为x^n 的级数，如x^0, x^1, x^2, x^3, ...。
幂级数的求和公式为：S = f(x)其中，S 表示级数的和，f(x) 表示幂级数对应的函数。
三、级数求和公式的应用无穷级数求和公式在数学分析、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
无穷级数求和的若干方法
陕西理工学院函授本科毕业论文题目无穷级数求和的若干方法学生姓名专业名称数学与应用数学无穷级数求和的若干方法摘 要：本文介绍了十种无穷级数求和的方法，并通过举例说明这些方法的应用.关键词：无穷级数；级数收敛；级数发散；求和无穷级数包括数项级数和函数项级数.它是表示函数性质的一个重要工具，也是对函数进行数值计算的一个重要手段.我们较常见到的无穷级数求和多为数项级数和幂级数的求和，无穷级数求和问题是无穷级数中的难点，因此这里给出的十种方法主要是针对上述两种级数，并通过例题讲述这些求和方法的应用.1 定义法[1]这是利用无穷级数和的定义来求级数和的一种方法，这种方法用于级数前n 项部分和数列比较好求的级数，在此我又把其分为以下三类.(1) 直接法：适用于1k k u ∞=∑为等差或等比级数或通过简单变换易化为这两种级数.例1 求级数()1121n n n q∞-=-∑的和，()1q <.解 ()2113521n n S q q n q -=++++- (1) n S 中各项的系数1、3、5、是公差为2的等差数列，(1)的两边同乘以q 得：()233521nn qS q q q n q =++++- (2)(1)－(2)得：()()211122221n n n q S q q q n q --=++++-- ()()211221n n q q q n q -=++++--()()1211211n n q q n q q--=+---()()()1221121111n nn q q q S n q qq --=+----- 因为1q <，所以()1121n n n q ∞-=-∑()()22121lim 111n n q qS q q q →∞+==+=---. (2) 拆项法：()()10011lim lim n n n n n n n n n a b b b b b b ∞∞-→∞→∞===-=-=-∑∑.例2 求级数1n ∞=的和.解n u==1n S n⎛=++++-⎝⎝1=即1n ∞=lim 1n n S →∞==.(3) 递推法：是利用问题本身所具有的递推关系来求解问题的一种方法. 例3 求级数211arctan2n n ∞=∑的和. 解 21111228arctan arctan arctanarctan 11283128S +=+==- 311121arctan arctan arctan arctan arctan 2818318S =++=+213318arctanarctan 2141318+==- 由数学归纳法可证： arctan 1n nS n =+πlim lim arctan arctan114n n n n S n →∞→∞===+, 故211arctan 2n n∞=∑π4=. 2 阿贝尔法[2]（即构造幂级数法）若级数0n n a ∞=∑收敛，则0n n a ∞=∑1lim nn x n a x -∞→==∑.由0n n a ∞=∑构造一个幂级数0n n n a x ∞=∑是很简单的，而幂级数的和函数可通过逐项微分或积分得到，故易得0n n a ∞=∑的和.例4 级数1212nn n ∞=-∑的和. 解 令()221212n n n n f x x ∞-=-=∑,x . 之所以这样构造幂级数,是为了消去系数中的因子()21n -.逐项积分()222101121122xxn n n n on n n f x dx x dx x ∞∞--==-==∑∑⎰⎰2112nn x x ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 22212212x xx x x ==--, 即()0xf x dx ⎰22xx =-. 上式两边对x 求导: ()()22222x f x x +=-,故1212n n n ∞=-∑=()()222112lim lim 32x x x f x x --→→+==-. 3 逐项微分法[2]由于幂函数在微分时可以产生一个常系数，这便为我们处理某些幂函数求和问题提供方法.当然从实质上讲，这是求和运算与求导（微分）运算交换次序问题，因而应当心幂级数的收敛区间（对后面的逐项积分法亦如此）.例5 级数()11nn x n n ∞=+∑ 的和函数()S x ，其中1x <.解 ()111111111n n n n n n n n x x x x n n n n n n ∞∞∞∞====⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭∑∑∑∑ 令()11n n x S x n ∞==∑,()211nn x S x n ∞==+∑.由()111n n S x x ∞-='=∑11x =-,则()()101ln 11x S x dx x x ==---⎰;类似地()()()121111ln 1ln 111n n x S x x x x x n x x+∞===--+=---⎡⎤⎣⎦+∑, 故()()()()1211ln 11S x S x S x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭.有时候，所求级数的通项为另一些函数的导数，而以这些函数为通项的级数易于求和，则可将这些函数逐项求导.例6 求级数()()21021n n n x ∞+=+∑的和函数，在区间()1,1-内.解()()21021n n n x∞+=+∑()()22121nn n n x n x x x∞∞+=='=+=∑∑210n n x x ∞+='⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ ()()222220111n n x x x x x x x x x ∞=''+⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-∑ . 4 逐项积分法同逐项微分法一样，逐项积分法也是级数求和的一种重要方法，这里当然也是运用函数积分时产生的常系数，而使逐项积分后的新级数便于求和.例7 求级数()()21021n n n x ∞+=+∑的和函数，这儿1x <.解 令()S x =()2021n n n x ∞=+∑,1x <.而()()22122211xxnn n n n n xS x dx n x dx xx x x∞∞∞+====+===-∑∑∑⎰⎰, 故()()2222111x x S x x x '+⎛⎫== ⎪-⎝⎭-, 则()()21021n n n x∞+=+∑=()()()22211x x xS x x +=-.5 逐项微分、积分有时在同一个级数求和式中既需要逐项微分,又需要逐项积分,这往往是将一个级数求和问题化为两个级数求和问题才会遇到.例8 求级数211nn n x n ∞=+∑的和函数，这儿1x <. 解 ()21111111111n n n n nn n n n n n n n x nx x n x x x n n n∞∞∞∞∞∞======+=+=+-+∑∑∑∑∑∑ ()0011111x x n n n n x n x dx x x n ∞∞==''⎡⎤⎡⎤=+-+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦∑∑⎰⎰dx ()()2120112ln 11111x n n x x x x x dx x x x x x ∞+='-⎛⎫=-+=--- ⎪----⎝⎭∑⎰ ()()2ln 11xx x =--- ()1x <.6 通过函数展开法数项级数的求和也可通过函数幂级数或傅里叶级数展开后赋值而得到（当然它们常与幂级数逐项微分、积分技巧配合使用）.(1) 幂级数的赋值法：根据所给数项级数的特点构造一个容易求和的幂级数，在此幂级数的收敛域内有一点0x ，当0x x =时所得的常数项级数恰是要求和的级数.设所求级数的和为S ，幂级数的和为()S x ，则()0S S x =.例9 求级数113nn n ∞=∑的和. 解 作()1n n x S x n ∞==∑,由()1111n n S x x x ∞-='==-∑,则()()0ln 11xdxS x x x==---⎰()1x < 令13x =,则113nn n ∞=∑123ln 1ln ln 332⎛⎫=--=-= ⎪⎝⎭. (2) 傅里叶级数的赋值法：利用函数的傅里叶级数展开再赋值是求数项级数和的一个重要手段.例10 求级数()1211n n n +∞=-∑的和.解 把()22f x x =在[]π,π-上展成余弦级数π2200242ππ3a x dx ==⎰()π220282cos 1πn n a x nxdx n==-⎰ ()1,2,n = 00b =()1,2,n =()()22128π1cos 3n n f x nx n ∞==+-∑ ()ππx -≤≤令0x =,则 ()221280π13n n n ∞==+-∑,故()1211n n n +∞=-∑2π12=. 7 复数法[1]（三角级数求和法）这是求三角级数和常用的方法，为了求级数0cos n n a nx ∞=∑及0sin n n a nx ∞=∑的和，常把它们视为复数域内的幂级数0nn n a z ∞=∑（其中ixz e =）的实部和虚部.如果0nn n a z ∞=∑的和好求，则级数0cos n n a nx ∞=∑及级数0sin n n a nx ∞=∑的求和问题就已解决.例11 求级数1sin n nxn ∞=∑的和函数. 解 ()1111sin Im Im Im nix inxnn n n n e nx e z n n nn∞∞∞∞=======∑∑∑∑,其中ix z e =令()1nn z f z n∞==∑()1z < ()111111n n n n f z zz z z∞∞-=='===-∑∑, ()()()()ln 1ln 1ln 1cos isin ix f z z e x x =--=--=---sin ln 1cos isin i arctan 1cos x x x x -⎡⎤=---+⎢⎥-⎣⎦ ()1sin ln 22cos iarctan21cos xx x=--+-, 故1sin n nx n ∞=∑()sin πIm arctan arctan cot 1cos 22x x x f z x -⎛⎫==== ⎪-⎝⎭ ()02πx <<. 8 积分法(1) [2]积分概念实际上可视为无穷级数求和概念的拓广，但相对来说，定积分较无穷级数好处理，因而有些级数求和问题可化为定积分问题去考虑，但它与定积分的递推公式有关.例12 求级数()111n n n-∞=-∑的和.解 令101n n x I dx x =+⎰,考虑到111110011n n n n n x x I I dx x dx x n---++===+⎰⎰. 当01x ≤≤时，由于1n n x x -≤，故1n n I I -≤, 于是112n n n I I I n -≤+=，即12n I n ≤，又1121n n n I I I n +≥+=+， 即122n I n ≥+.综合上两式有11222n I n n≤≤+ ()1n ≥,故lim 0n n I →∞=.再者递推可有 ()()()11101111n n n n n I I n-∞--=-=---∑, (3)又()11000ln 1ln 21dxI x x==+=+⎰.将(3)式两边取极限()n →∞且0n I → 则()111n n n-∞=-∑()100lim 1ln 2n n n I I I -→∞⎡⎤=+-==⎣⎦.(2)[3]利用公式()()101111a bn x x dx n a n b b a x -∞=-=++--∑⎰，()a b ≠. 来求无穷级数的和，当a 、b 为非负整数时，利用此公式求级数的和特别简单，下面我们验证此公式的正确性.作函数()11n a n b n x x f x b a n a n b ++∞=⎛⎫=- ⎪-++⎝⎭∑ 1x <()()1111n a n b n f x x x b a ∞+-+-='=--∑111a b x x b a x x ⎛⎫=- ⎪---⎝⎭1x <由于()00f =，故()001111a b a bxx x x x x f x dx dx b a x b a x--==----⎰⎰. 而()()11n n a n b ∞=++∑()10lim x f x →-=,所以()()101111a b n x x dx n a n b b a x -∞=-=++--∑⎰. 例13 求级数()()1112n n n ∞=++∑的和.解 此级数与上面公式比较知1,2a b ==从而()()1112n n n ∞=++∑2101211x x dx x --=--⎰1012xdx ==⎰. 9 化为微分方程求解有些级数的和函数经过微分后，再与原来的级数作某种运算后，可以组成一个简单的微分方程，这样级数求和问题就化为微分方程的求解问题.例14 求()202!nn x n ∞=∑的和函数，()x -∞<<+∞.解 设()()202!n n x S x n ∞==∑,考虑到()()()21211021!21!n n n n x x S x n n -+∞∞=='==-+∑∑, 则()()()()2210002!21!!n n nx n n n x x x S x S x e n n n +∞∞∞==='+=+==+∑∑∑,于是()12dx dx x x xS x e e e dx C e Ce --⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰.又()01S =，则12C =，这样可有 ()()12x xS x e e chx -=+=. 10 利用无穷级数的乘积[2]有些级数可视为两个无穷级数的乘积，这时便可将所求级数和问题化为先求两个级数积（当然它们应该好求），再计算它们的乘积，当然这基于下面的结论：若级数n a ∑与n b ∑均收敛，又n c ∑也收敛，其中0110n n n n c a b a b a b -=+++,则n n n c a b =⋅∑∑∑.若n a ∑,nb∑都收敛且至少其中之一绝对收敛，其中nc∑收敛于nna b ⋅∑∑.例15 求级数1111123n n x n ∞=⎛⎫++++ ⎪⎝⎭∑的和函数()S x ，其中1x <.11 解 考虑()00n n n n x a x ∞∞===∑∑为绝对收敛级数，且()100nn n n x b x n ∞∞==+=∑∑收敛，这里1x <.又()11111101123n n n n n n x x c x x x x x x n n n --⎛⎫=⋅+⋅++⋅+⋅=++++ ⎪-⎝⎭, 则()()()100n n nn n n c x a x b x ∞∞∞====⋅∑∑∑, 再由011nn x x ∞==-∑,()1ln 1n n x x n ∞==--∑, 故()()()()1ln 1ln 111n n x x S x c x x x ∞=--==-=--∑. 无穷级数求和的方法远不止这十种，还有待于继续探索和总结，有些求和问题用一种方法求解很麻烦，甚至不可能，它需要多种方法的灵活交错使用，有些题目则可以多种方法求解，比如例13用定义法求和也可以(拆项相消就可求出部分和),这就要求我们熟练掌握上述方法,根据具体的题型寻找简单可行的途径来求解.参考文献：[1] 陈文灯，黄先开，曹显兵，施明有．高等数学复习指导[M]．北京：清华大学出版社，2007：516-524．[2] 陈文灯，吴振奎，黄惠青．高等数学解题方法和技巧[M]．北京：中国财政经济出版社，2004：334-345．[3] 周翠莲，于兰芳．无穷级数求和的方法[J]．承德民族师专学报:自然科学版，1996，（2）：15-18．。
探求无穷级数求和的几种常用方法
2n − 1 2(n −1) 。 x 2n
证明 ： 级数的前项部分和 1 1 1 1 sn = + + ++ 1 ⋅ 6 6 ⋅11 11 ⋅16 (5n − 4 )(5n + 1)
解 ：级 数 的 收 敛 域 是 (− 2, 2 ) . 设 和 函 数 是 s（x） ，即 ∞ 2n − 1 2(n −1) s (x ) = ∑ n x 。 2 n =1 从 0 到 x 积分并逐项积分 ， 得到
n =1 ∞
3 5 7 例3： 证明级数 1 − + − + 收敛 ， 并求其和。 2 4 8
证明 ：sn = 1 − +
3 2
1 5 7 n −1 2n − 1 − + + (−1) ， 两边乘以 ， 再相 2 2 2 23 2n −1
. sn = ∑ uk , n = 1, 2, . 若极限 lim sn = s 存在 ， 称级数 ∑ un 收敛 ， 和
k =1
∞
n
∞
n →∞
1 ， ] gn -1 2n 加 ，得 到 3 sn = 1 - 12 + g + ]-1 gn -1 1 n -2 + -1 n 2 2 2 2 2
两边乘以
2 2 2 ， 求出 sn， 再求极限 lim sn = . 所以级数收敛 ， 和是 。 9 n →∞ 3 9
n =1
称级数 ∑ un 发散 . 本文考虑在级 是 s, ∑ un = s ; 若极限 lim sn 不存在 ， n →∞
2
2
2
3 利用错位相减法求和
对于级数 ∑ un ，写出 sn = u1 + u2 + + un . 用一个适当的数 q
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
目录摘要 (2)1无穷级数求和问题的几种方法 (2)1.1利用级数和的定义求和 (2)1.2利用函数的幂级数展开式求和 (3)1.3利用逐项求积和逐项求导定理求和 (4)1.4逐项求极限 (5)1.5利用Flourier级数求和 (7)1.6构建微分方程 (9)1.7拆项法 (9)1.8将一般项写成某数列相邻项之差 (10)2总结 (12)3参考文献 (12)无穷级数求和问题的几种方法摘要：无穷级数是数学分析中的一个重要内容，同时无穷级数求和问题，也是学生学习级数过程中较难掌握的部分.然而，无穷级数求和没有一个固定的方法可循.本文结合具体例子，根据无穷级数的不同特点，介绍几种常用的求无穷级数的和的方法和技巧. 关键词：数项级数；幂级数；级数求和无穷级数是数学分析中的一个重要内容，它是以极限理论为基础，用以表示函数，研究函数的性质以及进行数值计算的一种重要工具.然而数学分析中注重函数的敛散问题，却对无穷级数求和问题的方法介绍的比较少，所以求和问题是学生学习级数过程中较难掌握的部分.无穷级数求和没有一个固定的方法可循.本文结合具体例子，根据不同的无穷级数的不同特点，介绍几种常用的求无穷级数的和的方法和技巧. 1利用级数和的定义求和定义[1]若级数1n n u ∞=∑的部分和数列{}n S 收敛于有限值S ，即1lim lim n n n n n S u S ∞→∞→∞===∑,则称级数1n n u ∞=∑收敛，记为1n n u S ∞==∑，此时S 称为级数的和数；若部分和数数列{}n S 发散，则称级数1n n u ∞=∑发散.例1 求级数()∑∞=--1112n n q n ，1≤q 的和 .解： 2311357(21)n n S q q q n q -=+++++- (1) 2341357(23)(21)n n n qS q q q q n q n q -=+++++-+- (2)（1）-（2）得：11(1)12(21)1n n n q q S q n q q ---=+---12112(21)1(1)1n nn q q S q n q q q--=+-----212lim 1(1)n n qS q q →∞=+--即级数和2121(1)q S q q =+--. 2利用函数的幂级数展开式求和利用函数的幂级数展开式可以解决某些级数的求和问题.下面是几个重要的幂级数展开式：例01,!xnn e x x n ∞==-∞<<+∞∑1,111n n x x x ∞==-<<-∑ 01ln(1),11!nn x x x n ∞=-=--≤<∑3521sin (1),()3!5!(21)!n nx x x x x x n -=-+-+-+-∞<+∞-等等. 例2 求0(1)(21)!nn nn ∞=-+∑的和.解 : 0(1)(21)!nn n n ∞=-+∑0(21)11(1)(21)!2n n n n ∞=+-=-⨯+∑ 0111(1)2(2)!(21)!n n n n ∞=⎡⎤=--⎢⎥+⎣⎦∑=001111(1)(1)2(2)!2(21)!n n n n n n ∞∞==---+∑∑ 注意到3521sin (1),()3!5!(21)!n nx x x x x x n -=-+-+-+-∞<+∞-242cos 1(1),()2!4!(2)!nnx x x x x n =-+-+-+-∞<+∞得1(1)(cos1sin1)(21)!2nn n n ∞=-=-+∑.3利用逐项求积和逐项求导定理求和 定理[2]设幂级数()nnn a x x ∞=-∑的收敛半径为R ,其和函数为()x S ，则在00(,)x R x R -+内幂级数可以逐项积分和逐项微分.即：对00(,)x R x R -+内任意一点x ，有：10000()()()1xx nn nn x x N n a a x x x x S x dx n ∞∞+==-=-=+∑∑⎰⎰10000()()()n n n n n n d d a x x na x x S x dx dx ∞∞-==⎡⎤-=-=⎣⎦∑∑并且逐项积分和逐项求导后的级数（显然是幂级数），其收敛半径仍为R . 例3[]3 计算无穷级数()() +-++⋅-⋅+⋅-⋅-14534231215432n n x xxxxnn之和(1)x <.解：对于级数()xxnn n+=∑-∞=111(1)x <. 两边从0积分到x 得()()x nx n n n+=++∞=∑-1ln 111,(1)x <，两边从0积分到x 得()()()()()()x x x x dt t n n xn n nx++-+=+=++⎰∑-+∞=1ln 1ln 1ln 21021,(1)x <上式右边是原级数. 故级数和()()x x x x S ++-+=1ln 1ln ,(1)x <.例4 求幂级数()()x n n nn n 2112111⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∑-∞=的和函数()x S . 解：令2t x =，幂函数()11111(21)n n n t n n ∞-=⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦∑的收敛半径 '11(21)lim 11(1)(21)n n n R n n →∞+-=+++故原函数的收敛半径1R ==，从而收敛区间为(1,1)-，而知级数2122211(1)(),(1,1)1n nnn n x xx x x ∞∞-==-=--=∈-+∑∑，记1211()(1),(0)0(21)n n n x x n n ϕϕ∞-==-=-∑，'121'12()(1),(0)021n n n x x n ϕϕ∞--==-=-∑且''12212212()(1)22(1),(1,1)1n n n n n n x xx x x ϕ∞∞---===-⋅=-⋅=∈-+∑∑ 于是(1,1)x ∈-，对上式，从0到x 作积分得'''0()()()2arctan x x x d x x ϕϕ==⎰,'()()()2arctan xxx x d x xdx ϕϕ==⎰⎰=122012(arctan 2arctan ln(1)1x x dx x x x x -=-++⎰因此222()2tan ln(1),(1,1)1x f x x x x x x=+-+∈-+. 4逐项求极限如果函数在端点处无定义，那么可用求极限的方法讨论在端点处的和函数. 例5[]4 求幂级数121(1)1n nn x n +∞=--∑的和函数.解：（1）容易验证该幂级数的收敛域为[]1,1-.（2）再求幂级数在其收敛区间(1,1)-上的和函数，下面用逐项求导的方法求解.设1122()(1)1n n n x f x n +∞-==--∑，(1,1)x ∈- 则有1'12()(1)1n n n x f x n +∞-==--∑ 1(1)nnn x x n ∞==-∑再设1()(1)nnn x g x n ∞==-∑，(1,1)x ∈-又有1'11()(1)1n nn x g x n x -∞==-=-+∑于是对上式两边进行积分，得1()()(0)1xg x dt g t=-++⎰ln(1)x =-+ 并有'()()ln(1)f x xg x x x ==-+.再进行积分，又得0()ln(1)(0)xf x t t dt f =-++⎰221ln(1)224x x x x -=+-+（3）最后讨论幂级数在其收敛域上的和函数.因为函数221()ln(1)224x x x f x x -=+-+在1x =处左连续，而幂级数在1x =处收敛，所以等式1221221(1)ln(1),1224n n n x x x x x n +∞-=--=+-+-∑ 在1x =处也成立.但因()f x 在1x =-处无定义，故要改用逐项求极限来确定该幂级数在1x =-处的值，即由22111lim ()lim ln(1)224x x x x x f x x ++→-→-⎡⎤-=+-+⎢⎥⎣⎦ 11ln(1)3lim 1241x x x x +→-⎡⎤⎢⎥-+=⋅+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦ 12131lim 14(1)x x x +→-+=+-+34= 得到112123lim ((1))41n n x n x n ++∞-→-==--∑11212lim ((1))1n n x n x n ++∞-→-==--∑ 1122(1)(1)1n n n n +∞-=-=--∑2211n n ∞==-∑所以原幂级数的和函数为221ln(1),(1,1]224()3,14x x x x x S x x ⎧-+-+∈-⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩.5利用Flourier 级数求和求某些数值级数的和可选择某个特殊的函数在[]0,2π或[],ππ-上展成傅里叶级数，然后再去适当的x 值或逐项积分即可.例6[5]求21(1)nn n ∞=-∑的和.解：21(1)n n n ∞=-∑可以看作是余弦函数21(1)cos nn nx n∞=-∑在0x =时的值，因此可以考虑适当选取一个偶函数()f x ，满足21(1)()cos nf x nxdx nπππ--=⎰对于上式左端利用分部积分，得到'''22111()cos ()cos ()cos f x nxdx f x nx f x nxdx n n πππππππππ---⎡⎤=-⎣⎦⎰⎰='''(3)233111()cos ()sin ()f x nx f x nx f x n n nπππππππππ---⎡⎤-+⎣⎦⎰ 注意到cos cos()(1)nn n ππ=-=-有''(3)2311(1)1()cos ()()()sin n f x nxdx f f f x nxdx n n πππππππππ---⎡⎤=--+⎣⎦⎰⎰取21()4f x x =， 则21(1)()cos nf x nxdx nπππ--=⎰同时211()6f x dx n πππ-=⎰，这样21()4f x x =在[],ππ-上的Flourier 级数为 222111(1)cos 412nn x nx nπ∞=-==+∑ 令0x =，得221(1)112n n n π∞=-=∑ 例7[4]证明: 441190k kπ∞==∑.证明:将函数2()()2xf x π-=展成傅里叶级数222001()26xa dx ππππ-==⎰222011()cos 2k xa kxdx kπππ-==⎰， 0k b =是2221cos ()(),02212k xkxf x x k πππ∞=-==+≤≤∑由柏塞瓦尔等式（函数2()()2xf x π-=连续）2224040111()()22k k k a xa b dx k πππ∞=-++=∑⎰,有2422444011111()()2621640k xdx t dt kππππππππ∞-=-+===∑⎰⎰即441190k kπ∞==∑. 6构建微分方程如果某些级数的一般项的分母类似于阶乘的级数时，可以利用经过逐项积分或逐项积分后得到的级数之和函数与原级数的和函数构成微分方程，然后解微分方程来求其和.例8 求级数11112242462468-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅之和.解：设幂级数246821()(1)2242462468(2)!!nn x x x x x S x n -=-+-++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅则3572'1()(1)224246(2(1))!!nn x x x x S x x n -=-+-++-+⋅⋅⋅-24681()2242462468x x x x x ⎡⎤=--+-+⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎣⎦(1())x S x =-于是所得一阶微分方程：'()(1())S x x S x =-,其通解为22()1,x S x Ce-=+由(0)0S =得1C =- 因此得22121()(1)1(2)!!x nn N x S x Ce n ∞--==-=-∑ 从而121111(1)12242462468S e --+-+==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅.7拆项法无穷级数求和时，有时根据一般项的特点，将一般项进行拆分来简化运算过程.例9 求幂级数121(1)n n n n x ∞-=-∑的和函数.解:先求幂级数的收敛域.因为1n =，且级数121(1)n n n ∞-=-∑与21n n ∞=∑都发散，所以幂级数的收敛域为(1,1)-. 由于2(1)(2)3(1)1n n n n =++-++因此12111111(1)(1)(1)(2)3(1)(1)(1)n nn nnnn n n n n n n x n n x n x x ∞∞∞∞---====-=-++--++-∑∑∑∑12''11'11(1)()3(1)()1n n n n n n x xx x ∞∞-+-+===---++∑∑ 12''11'11((1)())3((1)())1n n n n n n x xx x∞∞-+-+===---++∑∑ 32'''()3()111x x x x x x =-++++ 23(1)x x x -=+,(1,1)x ∈- 因为幂级数的收敛域为，所以所求和函数为23()(1)x x S x x -=+,(1,1)x ∈-. 8将一般项写成某数列相邻项之差用这一方法求无穷级数的和，首先需要解决：已知1n n u ∞=∑，如何求n v ？当111n n n n m u b b b ++-=⋅，其中(1,2,)i b i =形成公差为d 的等差数列时，1111n n n n m v md b b b ++-=-⋅（m 为待定因子）.于常数项级数1n n u ∞=∑，如果能将一般项写某数列{}n v 的相邻两项之差:1n n n u v v +=-且极限lim n n u v ∞→∞=存在，则21321111()()()n k n n n n S u v v v v v v v v ∞++===-+-++-=-∑，所以1limn n S v v∞→∞=-.例10 求级数1n ∞=∑之和.解：一般项n u=-令n v =则1,n n n u v v +=-1v =lim n n v u ∞→∞=n =0n ==∴11n v v ∞∞==-∑10v =-=.例11 求11(1)(3)(5)(7)n n n n n ∞=++++∑的和. 解: 1(1)(3)(5)(7)n u n n n n =++++ 1118(3)(5)(7)n v n n n +=-+++ 118(1)(3)(5)n v n n n =-+++ 则1n n n u v v +=-111lim()2468n n n n u v v ∞→∞=∴=-=⋅⋅⋅∑. 总之，穷级数求和没有一个固定的方法可循，其实无穷级数求和方法很多，我们要善于发现和总结.这里只介绍了一些常用的方法和技巧，希望对大家计算求和问题有一定的帮助.参考文献 ：[1]陈传璋.数学分析[]M .北京：高等教育出版社.1983.M.北京：科学出版社.2004.[2]裘兆泰.王承国.数学分析学习指导[][3]李素峰.关于无穷级数求和问题的探讨.邢台学院学报,2008,23(4):100-101.M.北京：高等教育出版.2004.[4]吴良森.毛羽辉.数学分析学习指导书[]M.北京：高等教育出版社.1987. [5]刘玉琏.杨奎元.数学分析讲义学习辅导书[]Several Methods of Problem of Infinite Series SummationLiuYanhong 20071115051Mathematical sciences college,mathematics and applied mathematicsAdvisor Liu GuantingAbstract: The infinite series is an important part of mathematical analysis, and infinite series summation problem is a difficult part to master for students. However, infinite series summation has not a fixed method to follow. Combined with a concrete example, according to the different characteristics of the infinite series, we introduce several common methods and skills for infinite series in this paper . Keywords: Item series; Power series; Summation of Series。