高一数 学 8.2.2立体图形的直观图(2)课后练习答案
高中数学必修二 8 2 立体图形的直观图(精练)(含答案)
8.2 立体图形的直观图（精练）【题组一平面图形的直观图】1．（2020·全国高一课时练习）用斜二测画法画出下列水平放置的等腰直角三角形的直观图；（1）直角边横向；（2）斜边横向.【答案】见解析.【解析】（1）直角边横向如图①②.（2）斜边横向如图③2．（2020·全国高一课时练习）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）. （1）矩形；（2）平行四边形；（3）正三角形；（4）正五边形【答案】见解析【解析】（1）根据斜二测画法的规则，可得：（2）根据斜二测画法的规则，可得：（3）根据斜二测画法的规则，可得：（4）根据斜二测画法的规则，可得：3．（2020·全国高一课时练习）用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.【答案】见解析【解析】画法：（1）如图（1），在正六边形ABCDEF 中，取AD 所在直线为x 轴，AD 的垂直平分线MN为y 轴，两轴相交于点O .在图（2）中，画相应的x '轴与y '轴，两轴相交于点'O ，使'45x O y ''︒∠=.（2）在图（2）中，以O'为中点，在x轴上取A D AD''=，在'y轴上取12M N MN''=以点'N为中点，画B C''平行于x'轴，并且等于BC；再以'M为中点，画F E''平行于x'轴，并且等于FE.（3）连接',,,A B C D D E F A'''''''，并擦去辅助线'x轴和'y轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图'A B C D E F'''''图（3）.4．（2020·全国高一课时练习）如图所示是由正方形ABCD和正三角形CDE所构成的平面图形，请画出其水平放置的直观图.【答案】作图见解析【解析】（1）以AB所在直线为轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系（如图①所示），再建立坐标系x O y'''，使两坐标轴的夹角为45︒（如图②所示）.（2）以O'为中点，在x'轴上截取A B AB''=；分别过A'，B'作y'轴的平行线，截取12A E AE=''，12B C BC =''.在y '轴上截取12O D OD =''. （3）连接E D ''，E C ''，C D ''，得到平面图形A B C D E '''''.（4）去掉辅助线，就得到所求的直观图（如图③所示）5．（2020·全国高三专题练习（文））用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC 的直观图．【答案】见解析【解析】画法：（1）画x '轴，y '轴，使45x o y '''∠=︒；（2）在o x ''轴上取D B ''、,使3,O D O B OB ''''==，在o y ''轴上取C '，使12O C OC ''=； 在o x ''轴下方过D 作D A ''平行于o y ''，使1D A ''=；(3) 连线，连接O A A B B C ''''''、、，所得四边形即为水平放置的四边形OABC 的直观图．如图【题组二 空间几何体的直观图】1．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图并说明画法.【答案】答案见解析.【解析】(1)画轴：画Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴，45xOy ∠=(或135)，90xOz ∠=，如左图；(2)画底面：以O 为中心，在xOy 平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD ；(3)画顶点：在Oz 轴上截取OP ，使OP 的长度是原四棱锥的高；(4)成图：顺次连接PA 、PB 、PC 、PD ，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如下图.2．若给定长,宽,高分别为4cm ,3cm ,2cm 的长方体ABCD A B C D ''''-,如何用斜二测画法画出该长方体的直观图?【答案】见解析【解析】(1)画轴.如图(1),画x 轴､y 轴､z 轴,三轴相交于点O ,使45xOy ∠=︒,90xOz ∠=︒.(2)画底面.以点O 为中点,在x 轴上取线段MN ,使4cm MN =;以点O 为中点,在y 轴上取线段PQ ,使 1.5cm PQ =.分别过点M 和N 作y 轴的平行线,过点P 和Q 作x 轴的平行线,设它们的交点分别为A ,B ,C ,D ,则平面ABCD 就是长方体的底面,如图(1).(3)画侧棱.过A ,B ,C ,D 各点分别作z 轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2cm 长的线段AA ',BB ',CC ',DD ',如图(1).(4)成图.顺次连接A ',B ',C ',D ',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到了长方体的直观图,如图(2).3．（2020·全国高一课时练习）已知一棱柱的底面是边长为3cm 的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为4 cm ，试用斜二测画法画出此棱柱的直观图.【答案】见解析【解析】（1）画轴.画出x 轴、y 轴z 轴，三轴相交于点O ，使45xOy ∠=︒，90xOz ∠=︒.（2）画底面.以点O 为中点，在x 轴上画3MN cm =，在y 轴上画32PQ cm =，分别过点M ，N 作y 轴的平行线，过点P ，Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，则四边形ABCD 就是该棱柱的底面.（3）画侧棱.过点A ，B ，C ，D 分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4cm 长的线段AA '，BB '，CC '，DD '，如图①所示.（4）成图.连接A B ''，B C ''，C D ''，D A ''，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到该棱柱的直观图，如图②所示.4．（2020·全国高一课时练习）画出一个上､下底面边长分别为1,2,高为2的正三棱台的直观图.【答案】见解析【解析】①建立空间直角坐标系,画x 轴､y 轴､z 轴相交于点O .使x 轴与y 轴的夹角为45°，y 轴与z 轴的夹角为90°，②底面在y 轴上取线段OD 取6OD =，且以D 为中点，作平行于x 轴的线段AB ,使2AB =,在y 轴上取线段OC ,使3OC =.连接,BC CA ,则ABC 为正三棱台的下底面的直观图. ③画上底面在z 轴上取OO ',使2OO '=,过点O '作//O x Ox '',//O y Oy '',建立坐标系x O y '''.在x O y '''中,类似步骤②的画法得上底面的直观图A B C '''.④连线成图连接AA ',BB ',CC ',去掉辅助线,将被遮住的部分画成虚线,则三棱台ABC A B C '''-即为要求画的正三棱台的直观图.5．（2020·全国高一课时练习）画出底面是正方形,高与底面边长相等且侧棱均相等的四棱锥的直观图.【答案】见解析【解析】(1)建系:先画x 轴､y 轴､z 轴,其交点为O ,使45xOy ∠=︒,90xOz ∠=︒.(2)画底面.以O 为中心,在xOy 平面内,画出正方形水平放置的直观图ABCD ,如图.(3)画顶点.在Oz 上截取OP ,使OP AB =.(4)成图.连接PA ,PB ,PC ,PD ,并擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,得四棱锥的直观图,如图.6．（2020·全国高一课时练习）已知一个圆锥由等腰直角三角形旋转形成，画出这个圆锥的直观图.【答案】见解析.【解析】圆锥直观图如下：⇒7．（2020·全国高一课时练习）一个简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个半球，并且半球的球心就是圆柱的上底面圆心，画出这个组合体的直观图.【答案】见解析【解析】如图所示，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和球共同的轴线上确定球的半径，最后画出圆柱和半球，并标注相关字母，就得到组合体的直观图.8．（2020·全国高三专题练习）如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画出它的直观图．【答案】见解析【解析】由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示.【题组三 直观图的面积周长】1．如图,ABC 的斜二测直观图为等腰'''Rt A B C ,其中''2A B =,则ABC ∆的面积为( )A ．2B ．4C ．D ．【答案】D 【解析】由题意，ABC 的斜二测直观图为等腰Rt A B C '''，45C A B ︒'''∠=//C O y A ''''∴，2A B ''=222A C A B C B ''''''∴=+A C ''∴=由已知直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，则2AB =，AC =AC AB ⊥11222ABC S AB AC ∆∴=⋅⋅=⨯⨯= ∴原平面图形的面积是故选：D ．2．用斜二测画法画水平放置的ABC 的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A B C '''.已知点O '是斜边B C ''的中点，且1A O ，则ABC 的边BC 边上的高为（ ）A ．1B ．2C D ．【答案】D【解析】∵直观图是等腰直角三角形A B C '''，90,1B A C A O，∴2A C，根据直观图中平行于y 轴的长度变为原来的一半, ∴△ABC 的边BC 上的高222ACA C .故选D.3．如图，正方形O A B C ''''的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是（ ）A ．16cmB ．12cmC ．10cmD ．18cm【答案】A【解析】将直观图还原为平面图形，如图所示.2OB O B ''=＝2OA O A ''==，所以6AB ==，所以原图形的周长为16cm ， 故选：A.4．已知用斜二测画法得到的某水平放置的平面图形的直观图是如图所示的等腰直角O B C '''，其中1O B ''=，则原平面图形中最大边长为（ ）A ．2B ．C ．3D ．【答案】D 【解析】由斜坐标系中作A C B C ''''⊥交x '轴于A '点，由1O B ''=，O B C '''等腰直角三角形，2A C由斜二测法的纵半横不变，可将直观图在直角坐标系中还原成原平面图形如下：∴222AC A C，1OA =，∴最长边BC ==，故选：D5．如图，平行四边形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中4O A ''=，2O C ''=，30A O C '''∠=︒，则下列叙述正确的是（ ）A ．原图形是正方形B ．原图形是非正方形的菱形C ．原图形的面积是D ．原图形的面积是【答案】C【解析】过C'作C'D//y'轴，交x'轴于D ,将DC'绕 D 逆时针旋转45°，并伸长到原来的两倍，得到实际图中的点C ,将C 沿O'A'方向和长度平移得到 B ,得到水平放置时直观图还原为实际的平面图形,如下图所示:30A O C ''∠=︒,∴90,4AOC OC ∠≠≠,故原图并不是正方形,也不是菱形,故A,B 均错误,又直观图的面积11242sin 3042S =⋅⋅⋅⋅=,所以原图的面积1S ==故选:C.6．把四边形ABCD 按斜二测画法得到平行四边形''''A B C D (如图所示)，其中''''2B O O C ==，''O D =，则四边形ABCD 一定是一个（ ）A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．梯形【答案】A【解析】把平行四边形''''A B C D 还原回原图形，过程如下： 在平面直角坐标系中，在x 轴上截取4BC =，且使O 为BC 的中点，在y 轴上截取OD =D 向左左x 轴的平行线段DA ，使4DA =， 连接AB ，CD ，可得平行四边形ABCD .∵2OC =，OD =4CD ==.∴平行四边形ABCD 为菱形. 故选：A .7．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA B C '''的面积为4，则该平面图形的面积为（ ）A B ． C ．D ．【答案】C【解析】已知直观图OA B C '''的面积为4,所以原图的面积为4= 故选：C8．如图所示，正方形''''O A B C 的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）A ．6cmB ．8cmC ．2+D ．2+【答案】B【解析】先把水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形，如图：由斜二测画法得：'=1OA OA =，''=2OB O B ''=1BC BC =，=3AB OC ==，所以原图形周长为8.故选：B.9．如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形O A B C ''''，则原平面图形的周长和面积分别为（ ）A ．2a ，24a B ．8a ，2C ．a ，2aD ，22a【答案】B【解析】由直观图可得原图形，∴OA BC a ==，OB =，90BOA ∠=， ∴3AB OC a ==，原图形的周长为8a ，∴2S a =⋅=， 故选：B9．如图所示，正方形O A B C ''''的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ）A ．21 cmB ．2C ．2D ．2 cm 4【答案】B【解析】如图所示，由斜二测画法的规则知与x '轴平行的线段其长度不变， 正方形的对角线在y '轴上，，故在原平面图中其在y 轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为 所以原来的图形是平行四边形，其在横轴上的边长为1，高为所以它的面积是21)⨯=． 故选：B ．10．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）．A ．1B ．2+C ．122+D ．12+【答案】B【解析】如图，恢复后的原图形为一直角梯形，所以1(11)222S =⨯=+故选：B.11．如图，边长为1的正方形''''O A B C 是一个水平放置的平面图形OABC 的直观图，则图形OABC 的面积是（ ）A ．4B ．2C D ．【答案】D【解析】由直观图''''O A B C 画出原图OABC ，如图，因为''O B =OB =1OA =，则图形OABC 的面积是故选：D12．已知边长为1的菱形ABCD 中，3A π∠=，则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为（ ）A B C D 【答案】D【解析】菱形ABCD 中，1AB =，3A π∠=，则菱形的面积为12211sin 23ABD ABCD S S π∆==⨯⨯⨯⨯=菱形；所以用斜二测画法画出这个菱形的直观图面积为8S S ===.故选D ．13．已知正三角形ABC 的边长为2，那么ΔABC 的直观图△A 1B 1C 1的面积为（ ）A B ．12C ．4D ．4【答案】C【解析】如图所示，直观图△A 1B 1C 1的高为11116sin 45sin 452sin 60sin 45224h C D CD ===⨯⨯=， 底边长为112A B AB ==； 所以△A 1B 1C 1的面积为：1116622244S A B h =⋅=⨯⨯=． 故选：C ．14．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，则其原平面图形的面积为__________.【答案】4【解析】由斜二测画法可知原平面图形为两直角边分别为2,4的直角三角形.故面积为1244 2⨯⨯=.故答案为：4【题组四斜二测画法】1．（2020·全国高一单元测试）下列命题中正确的是（）A．正方形的直观图是正方形B．平行四边形的直观图是平行四边形C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台【答案】B【解析】选项A，正方形的直观图是平行四边形，故A错误；选项B，由斜二测画法规则知平行性不变，即平行四边形的直观图是平行四边形，故②正确；选项C，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，要注意棱柱的每相邻两个四边形的公共边互相平行，故C错误；选项D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故D错误．故选：B．2．（2020·全国高三专题练习）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（）A．原来相交的仍相交B．原来垂直的仍垂直C．原来平行的仍平行D．原来共点的仍共点【答案】B【解析】根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45︒，故原来垂直线段不一定垂直了；故选：B．3．（2020·包头市第九中学高一期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是（）①平行的线段在直观图中仍然平行；②相等的线段在直观图中仍然相等；③相等的角在直观图中仍然相等；④正方形在直观图中仍然是正方形A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】对于①，平行的线段在直观图中仍然是平行线段，所以①正确；对于②，相等的线段在直观图中不一定相等，如平行于x轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，变为原来的12，所以②错误；对于③，相等的角在直观图中不一定相等，如直角坐标系内两个相邻的直角，在斜二测画法内是45︒和135︒，所以③错误；对于④，正方形在直观图中不是正方形，是平行四边形，所以④错误；综上，正确的命题序号是①，共1个．故选：A．4．（2019·安徽合肥市·合肥一中高二月考（理））下列说法正确的是（）A．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分称为棱台B．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等C．通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线D．相等的角在直观图中对应的角仍相等【答案】C【解析】对A，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分称为棱台，所以A错误；对B，空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，所以B错误；对C ，根据母线的定义可知，正确；对D ，如等腰直角三角形，画出直观图后，不是等腰三角形，所以D 错误．故选：C ．5．（2020·全国高一课时练习）在用斜二测画法画水平放置的ABC 的直观图时，若在直角坐标系中A ∠的两边分别平行于x 轴、y 轴，则在直观图中A '∠等于（ ）A ．45︒B ．135︒C ．90︒D ．45︒或135︒ 【答案】D【解析】因为A ∠的两边分别平行于x 轴、y 轴，所以90A ︒∠=在直观图中，由斜二测画法知45x O y '''︒∠=或135x O y ︒''∠='，即45A ︒'∠=或135A ︒'∠=.故选:D6．（2020·全国高一课时练习）利用斜二测画法画直观图时，下列说法中正确的是（ ）①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正方形的直观图是平行四边形；④梯形的直观图是梯形.A ．①②B ．③④C ．①③D ．②③ 【答案】B【解析】两条相交直线的直观图仍然是相交直线，故①错；两条垂直直线的直观图是两条相交但不垂直的直线，故②错；③④正确.故选：B。
高中数学必修二 8 2 立体图形的直观图 练习(含答案)
8.2 立体图形的直观图一、选择题1．等腰三角形ABC 的直观图是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④【答案】D 【解析】由题意得，由直观图的画法可知：当045x O y '''∠=时，等腰三角形的直观图是④；当0135x O y ∠='''时，等腰三角形的直观图是③；综上，等腰三角形ABC ∆的直观图可能是③④，故选D.2．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是( )A ．水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形B ．平行四边形的直观图仍是平行四边形C ．两条相交直线的直观图可能是平行直线D ．两条垂直的直线的直观图仍互相垂直【答案】B 【解析】斜二测画法保持平行性不变，正方形的直观图是平行四边形，故选项A 错误；平行四边形的对边平行，则在直观图中仍然平行，故选项B 正确；斜二测画法保持相交性不变，故两条相交直线的直观图仍是相交直线，故选项C 错误；两条垂直直线的直观图应是夹角为45°的两条相交直线，故选项D 错误. 3．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m 、5 m 、10 m ，四棱锥的高为8 m ，若按1︰500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为 ( )A ．4 cm,1 cm, 2 cm,1.6 cmB ．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC ．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD ．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm【答案】C【解析】由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4cm,1cm,2cm 和1.6cm ，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4cm,0.5cm,2cm,1.6cm.故选C.4．如图所示，A O B '''表示水平放置的AOB 的直观图，B '在x '轴上，A O ''与x '轴垂直，且2A O ''=，则AOB 的边OB 上的高为（ ）A ．2B ．4C ．D ．【答案】D【解析】设AOB 的边OB 上的高为h ，因为S =原图形直观图，所以11222OB h O B ''⨯⨯=⨯⨯，又OB O B ''=，所以h =故选：D.5．（多选题） 给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确是 ( )A.角的水平放置的直观图一定是角；B .相等的角在直观图中仍相等；C.相等的线段在直观图中仍然相等；D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．【答案】AD 【解析】由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴D 对，A 对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴BC 错．故选AD.6．（多选题）利用斜二测画法得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是正方形；④水平放置的菱形的直观图是菱形；以上结论正确的是（ ）（多选）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】AB【解析】水平放置的n 边形的直观图还是n 边形，故①正确；因为斜二测画法是一种特殊的平行投影画法，所以②正确；因为斜二测画法中平行于纵轴的线段长度减半，所以③④错误，故选：AB .二、填空题7．【人教A 版(2019)必修第二册突围者第八章综合拓展提升】如图所示为水平放置的正方形ABCO ，在平面直角坐标系xOy 中点B 的坐标为()2,2，用斜二测画法画出它的直观图A B C O ''''，则点B '到x '轴的距离为_____________.【答案】2.【解析】在直观图A B C O ''''中，1B C ''=，45B C x '''∠=，故点B '到x '.故答案为：28．给出下列说法：① 正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2，有一内角为45°；② 水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形；③ 不等边三角形水平放置的直观图是不等边三角形；④ 水平放置的平面图形的直观图是平面图形．其中，正确的说法是________．(填序号)【答案】④【解析】对于①，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x 轴、y 轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x 轴、y 轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上，则其直观图中相邻两边长不一定符合“横不变，纵减半”的规则．对于②，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形．对于③，只要坐标系选取恰当，不等边三角形水平放置的直观图可以是等边三角形．即正确的说法是④.9．有一块四边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形,如图所示45ABC ∠=，//,1,AD BC AB AD DC BC ==⊥，则这块菜地的面积为________.【答案】2+【解析】在直观图中，45ABC ∠=︒，1AB AD ==， DC BC ⊥1AD ∴=，12BC =+∴原来的平面图形上底长为1，下底为12∴平面图形的面积为11122222⎛⎫⨯++⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭10．如图所示，水平放置的△ABC 的斜二测直观图是图中的A B C ∆'''，已知6A C ''=，4B C ''=，则AB 边的实际长度是______.，△ABC 的面积为 。
新教材人教A版必修第二册立体图形的直观图作业
8.2立体图形的直观图课后·训练提升1.水平放置的△ABC,有一边在水平线上,用斜二测画法得到它的直观图是正三角形A'B'C',则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形D.任意三角形,斜二测直观图还原为平面图形,故△ABC是钝角三角形.2.水平放置的三角形的直观图如图所示,D'是△A'B'C'中边B'C'的中点,且A'D'平行于y'轴,线段A'B',A'D',A'C'对应原图形的线段AB,AD,AC,则()A.最长的是AB,最短的是ACB.最长的是AC,最短的是ABC.AB与AC一样长,最短的是ADAD,最短的是AC3.如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6,O'C'=2,则原图形是()B.矩形C.菱形D.梯形4.如图,正方形O'A'B'C'的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长为()A.6 cmB.8 cm3√2) cm D.(2+2√3) cm,原图形为平行四边形OABC,且OA=O'A'=1 cm,OB=2O'B'=2√2cm,于是OC=AB=√(2√2)2+12=3(cm),故平行四边形OABC的周长为2×(1+3)=8(cm).5.如图,等腰梯形A'B'C'D'是一个水平放置的图形的直观图,其中∠A'B'C'=45°,A'D'∥B'C',A'B'=C'D'=A'D'=1,则原平面图形的面积是( )A.2+√2B.1+√22C.2+√22D.1+√2①,因为∠A'B'C'=45°,所以以B'C'所在直线为x'轴,A'B'所在直线为y'轴建立坐标系x'O'y'.过D'作D'E'∥A'B',交B'C'于点E',则B'E'=A'D'=1.因为梯形A'B'C'D'为等腰梯形,所以△E'D'C'为等腰直角三角形,所以E'C'=√2. 所以B'C'=1+√2.将直观图还原,如图②,可知四边形ABCD 为直角梯形,AD=1,BC=1+√2,AB=2. 故S 梯形ABCD =12AB ·(AD+BC )=12×2×(1+1+√2)=2+√2.6.用斜二测画法画水平放置的△ABC 的直观图,得到等腰直角三角形A'B'C'如图所示.已知点O'是斜边B'C'的中点,且A'O'=1,则△ABC 中BC 边上的高为 ,△ABC 的面积为 .√2 2√27.如图,一水平放置的平面图形的直观图是直角梯形,∠ABC=45°,AB=AD=1,DC ⊥BC ,则这个平面图形的面积为 .ABCD 中,由题意可知,BC=1+√22.由直观图可知,原图形为直角梯形,且上底长为1,下底长为1+√22,高为2,故面积为12×(1+1+√22)×2=2+√22.+√228.如图,△A'B'C'是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其恢复成原图形.:(1)画直角坐标系xOy ,在x 轴上取OA=O'A',即CA=C'A';(2)在图①中,过点B'作B'D'∥y'轴,交x'轴于点D',在x 轴上取OD=O'D',过点D 作DB ∥y 轴,并使DB=2D'B'.(3)连接CB ,△ABC 即为△A'B'C'原来的图形,如图②所示.,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB=4,CD=2,∠DAB=30°,AD=3,试画出它的直观图.:(1)如图①所示,在梯形ABCD 中,以边AB 所在的直线为x 轴,点A 为原点,建立平面直角坐标系.如图②所示,画出对应的x'轴,y'轴,使∠x'A'y'=45°.(2)如图①所示,过点D 作DE ⊥x 轴,垂足为点E.在x'轴上取A'B'=AB=4,A'E'=AE=32√3≈2.598;过点E'作E'D'∥y'轴,使E'D'=12ED ,再过点D'作D'C'∥x'轴,且使D'C'=CD=2.(3)连接A'D',B'C',并擦去x'轴与y'轴及其他一些辅助线,如图③所示,则四边形A'B'C'D'就是所求作的直观图.。
人教A版高中数学必修第二册课后习题 第8章 立体几何初步 8.2 立体图形的直观图
8.2 立体图形的直观图课后训练巩固提升1.水平放置的△ABC有一边在水平线上,它的斜二测直观图是正三角形A'B'C',则△ABC是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形,斜二测直观图还原为平面图形,故△ABC是钝角三角形.2.当用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边平行于x轴、y轴,且∠A=90°,则在直观图中,∠A'为( ) A.45° B.135°C.45°或135°D.90°3.如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是( )A.ABB.ADC.BCD.ACABC,即可看出△ABC为直角三角形,故其斜边AC最长.4.(多选题)下列说法正确的是( )A.水平放置的角的直观图一定是角B.相等的角在直观图中仍然相等C.相等的线段在直观图中仍然相等D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行,相交的线仍然相交,故A正确;正方形的直观图为平行四边形,角度不一定相等,故B错误;因为平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的线段长度变为原来的一半,故C错误;平行性不会改变,故D正确.5.当用斜二测画法画直观图时,原坐标系中A(0,2),B(0,8)表示的线段AB,在直观图坐标系O'x'y'中,画出线段A'B',则A'B'的长为 .6.一个水平放置的正方形ABCO 如图所示,在直角坐标系Oxy 中,点B 的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点B'到x'轴的距离为 .B'到x'轴的距离等于点A'到x'轴的距离d, 而O'A'=12OA=1,∠C'O'A'=45°(或135°),故d=√22O'A'=√22.7.如图所示,四边形O'A'B'C'是水平放置的平面图形的斜二测画法画出的直观图,四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2 cm,则在平面直角坐标系中原四边形OABC 为 (填具体形状),其面积为 cm 2.,在四边形OABC中,OA⊥OC,OA=O'A'=2cm,OC=2O'C'=4cm,故四边形OABC是矩形,其面积为2×4=8(cm2).88.用斜二测画法,画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图.过点C作CE⊥x轴,垂足为点E,如图①所示,画出对应的x'轴、y'轴,使∠x'O'y'=45°.①②③(2)如图②所示,在x'轴上分别取点B',E',使得O'B'=OB,O'E'=OE;在y'轴上取一点D',使得O'D'=12OD;过点E'作E'C'∥y'轴,使得E'C'=12EC.(3)连接B'C',C'D',并擦去x'轴与y'轴及其他一些辅助线,如图③所示,四边形O'B'C'D'即为所求的直观图.1.利用斜二测画法画边长为3 cm 的正方形的直观图,可以是下列选项中的( )2.如图所示,四边形OABC 是上底为1,下底为3,底角为45°的等腰梯形,由斜二测画法画出这个梯形的直观图O'A'B'C',则梯形O'A'B'C'的高为( )A .√24B .√23C .√22D .√2OABC是上底为1,下底为3,底角为45°的等腰梯形,所以等腰梯形OABC的高为1,设梯形O'A'B'C'的高为h,h=12×1×√22=√24,故选A.3.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形,直观图中有一边长为4,则此正方形的面积是( )A.16B.64C.16或64D.都不对4.如图,Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图,直角边O'B'=1,则这个平面图形的面积是.O'B'=1,∴O'A'=√2,即在Rt△OAB中,∠AOB=90°,OB=1,OA=2√2,∴这个平面图形的面积S△AOB=12×1×2√2=√2.√25.如图所示,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6 cm,C'D'=2 cm,则原图形是(填四边形的形状).,在原图形OABC中,应有OA=O'A'=6cm,OD=2O'D'=2×2√2=4√2(cm),CD=C'D'=2cm,则OC=√OD2+CD2=√(4√2)2+22=6(cm),即OA=OC,又OA∥BC,OA=BC,故四边形OABC是菱形.6.如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4 cm,CD=2 cm,∠DAB=30°,AD=3 cm,试画出它的直观图(√3取近似值1.732).:(1)如图①所示,在梯形ABCD中,以边AB所在的直线为x轴,点A 为原点,建立平面直角坐标系Oxy.如图②所示,画出对应的x'轴、y'轴,使∠x'O'y'=45°.√3≈2.598 (2)如图①所示,过点D作DE⊥x轴,垂足为点E.在,A'E'=AE=32ED=0.75cm,再过点D'作D'C'∥. cm;过点E'作E'D'∥y'轴,使E'D'=12(3)连接A'D',B'C',并擦去x'轴与y'轴及其他一些辅助线,如图③所示,则四边形A'B'C'D'就是所求作的直观图.①②③7.一个几何体,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,且圆锥的底面与圆柱的上底面重合,圆柱的底面直径为3,高为4,圆锥的高为3,画出此几何体的直观图.画轴.如图①,画x轴、z轴,使∠xOz=90°..利用椭圆模板画椭(2)画圆柱的两底面.在x轴上取A,B两点,使OA=OB=32圆,使其经过A,B两点,这个椭圆为圆柱的下底面.在Oz上截取点O',使OO'=4,过点O'作Ox的平行线O'x',类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.(3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P,使点P在点O'的上方,O'P=3.(4)成图.连接A'A,B'B,PA',PB',整理得到此几何体的直观图(如图②).图①图②。
8.2 立体图形的直观图(解析版)
立体图形的直观图导学案【学习目标】1.掌握斜二测画法的步骤2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图【自主学习】知识点1 斜二测画法的步骤1．画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．2．画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．3．取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半．知识点2空间几何体直观图的画法1．画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴．2．画平面：平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示竖直平面．3．取长度：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．4．成图处理：成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．【合作探究】探究一 水平放置的平面图形直观图的画法【例1】如图所示，梯形ABCD 中，AB∠CD ，AB ＝4 cm ，CD ＝2 cm ，∠DAB ＝30°，AD ＝3 cm ，试画出它的直观图．[分析] 以AB 所在直线为x 轴，以A 为原点建立平面直角坐标系．只需确定四个顶点A ，B ，C ，D 在直观图中的相应点即可．[解] 画法步骤：(1)如图甲所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy .如图乙所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在图甲中，过D 点作DE ∠x 轴，垂足为E .在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝332≈2.598(cm)；过点E ′作E ′D ′∠y ′轴，使E ′D ′＝12ED ＝12×32＝0.75(cm)，再过点D ′作D ′C ′∠x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连接A ′D ′，B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图丙所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．归纳总结：在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的平面直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点在直观图中仍是共线点；原图中的共点线，在直观图中仍是共点线；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线.本题中，关键在于点D ′的位置的确定，这里我们采用作垂线的方法，先找到垂足E 的对应点E ′，再去确定D ′的位置【练习1】画边长为1 cm 的正三角形的水平放置的直观图．解：(1)如图∠所示，以BC 边所在直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在直线为y 轴，再画对应的x ′轴与y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图∠所示．(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝0.5 cm ，在y ′轴上截取O ′A ′＝12AO ＝34 cm ，连接A ′B ′、A ′C ′，则∠A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图．(3)擦去x ′、y ′轴得直观图∠A ′B ′C ′，如图∠所示．探究二 画空间几何体的直观图【例2】用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm 、3 cm 、2 cm 的长方体ABCD A ′B ′C ′D ′的直观图． [分析] 利用画轴、画底面、画侧棱、成图进行作图．[解] (1)画轴．如图∠所示，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画底面．以点O 为中心，在x 轴上取线段MN ，使MN ＝4 cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝32cm ，分别过点M和点N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱．过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图∠)．归纳总结：(1)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，然后画出竖轴．此外，坐标系的建立要充分利用图形的对称性，以便方便、准确的确定顶点；(2)对于一些常见几何体(如柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以又快又准的画出【练习2】一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出此几何体的直观图．解：(1)画轴，如图1所示，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画圆柱的两底面，在x 轴上取A 、B 两点，使AB 的长度等于3 cm ，且OA ＝OB .选择椭圆模板中适当的椭圆过A 、B 两点，使它为圆柱的下底面．在Oz 上截取点O ′，使OO ′＝4 cm ，过O ′作Ox ，Oy 的平行线O ′x ′，O ′y ′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．(3)画圆锥的顶点．在Oz 上截取点P ，使P O ′等于圆锥的高3 cm.(4)成图．连接A ′A 、B ′B 、P A ′、P B ′，擦掉辅助线，将其被遮挡的线改为虚线，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．探究三 由直观图还原成原图【例3】如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∠O ′y ′，A 1B 1∠C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.求原四边形ABCD 的面积．[分析] 利用斜二测画法的法则得到原图和直观图的关系．[解] 如图，建立平面直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D 1＝1，OC ＝O ′C 1＝2.在过点D 的y 轴的平行线上截取DA ＝2D 1A 1＝2.在过点A 的x 轴的平行线上截取AB ＝A 1B 1＝2.连接BC ，即得到了原图形(如图)．由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰长度为AD ＝2. 所以面积为S ＝2＋32×2＝5.归纳总结：由直观图还原为平面图的关键是找与x ′轴，y ′轴平行的直线或线段，且平行于x ′轴的线段还原时长度不变，平行于y ′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可【练习3】如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．梯形【答案】C解析：将直观图还原得到平行四边形OABC，如图所示，由题意知O′D′＝2O′C′＝2 2 cm，OD＝2O′D′＝4 2 cm，C′D′＝O′C′＝2 cm，∠CD＝2 cm，OC＝CD2＋OD2＝6 cm，又OA＝O′A′＝6 cm，∠OA＝OC，∠原图形为菱形.课后作业A组基础题一、选择题1．把△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′(如图所示)，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么△ABC是一个()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．三边互不相等的三角形【答案】A[根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示：由图易得AB＝BC＝AC＝2，故∠ABC为等边三角形，故选A．]2．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m 、5 m 、10 m ，四棱锥的高为8 m ，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )A ．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB ．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC ．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD ．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm【答案】C [由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm 和1.6 cm ，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm,0.5 cm ，2 cm ，1.6 cm.]3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋ 2B ．1＋22C ．2＋22D ．1＋2【答案】A [画出其相应平面图易求，故选A ．]4．(多选题)如图，已知等腰三角形ABC，则如下所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是()A B C D【答案】CD[原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，CD两图分别为在∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图．]5．(多选题)对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述正确的是() A．三角形的直观图仍然是一个三角形B．90°的角的直观图会变为45°的角C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同【答案】ACD[对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B,90°的角的直观图会变为45°或135°的角，故B错误；C，D显然正确．]二、填空题6．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．【答案】(4,2)[在x′轴的正方向上取点M1，使O′M1＝4，在y′轴上取点M2，使O′M2＝2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则交点就是M′.]7．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．【答案】2.5[由直观图知，由原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.]8．水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图如图所示，其中D′是A′C′的中点，且∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．【答案】2[∠ABC为直角三角形，因为D为AC中点，所以BD＝AD＝CD．所以与BD的长相等的线段有2条．]三、解答题9．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．[解](1)过点C作CE∠x轴，垂足为点E，如图∠所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图∠所示．①②③(2)如图∠所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝12OD；过点E′作E′C′∠y′轴，使E′C′＝12EC．(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图∠所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．10．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC．[解](1)画法：过C′，B′分别作y′轴的平行线交x′轴于D′，E′.(2)在直角坐标系xOy中．在x轴上取两点E，D使OE＝O′E′，OD＝O′D′，再分别过E，D作y轴平行线，取EB＝2E′B′，DC＝2D′C′.连接OB，OC，BC即求出原∠ABC．B 组 能力提升一、选择题1.如图所示，△A ′O ′B ′表示水平放置的△AOB 的直观图，B ′在x ′轴上，A ′O ′和x ′轴垂直，且A ′O ′＝2，则△AOB 的边OB 上的高为( )A ．2B ．4C ．22D ．42【答案】D [设∠AOB 的边OB 上的高为h ，由题意，得S 原图形＝22S直观图，所以12OB ·h ＝22×12×2×O ′B ′.因为OB ＝O ′B ′，所以h ＝4 2.故选D ．]2．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm【答案】D [由题意可知其直观图如图，由图可知两个顶点之间的距离为5 cm.故选D ．]二、填空题3．已知用斜二测画法，画得的正方形的直观图面积为182，则原正方形的面积为________． 【答案】72 [如图所示，作出正方形OABC 的直观图O ′A ′B ′C ′，作C ′D ′∠x ′轴于点D ′.S 直观图＝O ′A ′×C ′D ′.又S 正方形＝OC ×OA ．所以S 正方形S 直观图＝OC ×OA O ′A ′×C ′D ′，又在Rt∠O ′D ′C ′中，O ′C ′＝2C ′D ′，即C ′D ′＝22O ′C ′，结合平面图与直观图的关系可知OA ＝O ′A ′，OC ＝2O ′C ′， 所以S 正方形S 直观图＝OC ×OA OA ×22O ′C ′＝2O ′C ′22O ′C ′＝2 2.又S 直观图＝182，所以S 正方形＝22×182＝72.]三、解答题4.如图是一个边长为1的正方形A ′B ′C ′D ′，已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．[解] 四边形ABCD 的真实图形如图所示，因为A ′C ′在水平位置，A ′B ′C ′D ′为正方形， 所以∠D ′A ′C ′＝∠A ′C ′B ′＝45°，所以在原四边形ABCD 中，AD ∠AC ，AC ∠BC ，因为AD ＝2D ′A ′＝2，AC ＝A ′C ′＝2，所以S 四边形ABCD ＝AC ·AD ＝2 2.5．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图． [解] (1)画轴．画x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°，如图∠. (2)画底面．以O 为中心在xOy 平面内画出正方形水平放置的直观图ABCD ．(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图．连接P A、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图如图∠.①②。
立体图形的直观图 同步练习 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
第八章立体几何初步8.2 立体图形的直观图1.(多选)关于用斜二测画法画直观图的说法不正确的是()A.在实物图中取坐标系不同,所得的直观图有可能不同B.平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴C.平行于坐标轴的线段的长度在直观图中保持不变D.斜二测坐标系中,∠x'Oy'的大小只能是45°2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对于其中的线段说法错误的是()A.原来相交的仍相交B.原来垂直的仍垂直C.原来平行的仍平行D.原来共点的仍共点3.一平面图形的直观图如下,则此平面图形可能是()A B C D4.根据斜二测画法的规则画几何体的直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O'x',O'y',O'z',则∠x'O'y'与∠x'O'z'的度数分别为()A.90°,90°B.45°,90°C.135°,90°D.45°或135°,90°5.用斜二测画法画出水平放置的等腰直角三角形的直观图.(1)直观图直角边横向放置;(2)直观图斜边横向放置.6.如图,△A'B'C'是水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图,其中O'C'=O'A'=2O'B ',则△ABC是()A.钝角三角形B.等腰三角形,但不是直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形7.若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x'O'y'平面上,则圆柱的高应画成()A.平行于z'轴且大小为10 cmB.平行于z'轴且大小为5 cmC.与z'轴成45°且大小为10 cmD.与z'轴成45°且大小为5 cm8.如图,梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD用斜二测画法画出的直观图,若A1D1∥C1D1=2√2,A1D1=√2,则四边形ABCD的面积是()O'y',A1B1∥C1D1,A1B1=23A.20B.10C.5√2D.10√29.(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,下列结论正确的是()A.梯形的直观图仍旧是梯形B.若△ABC的直观图是边长为2的等边三角形,则△ABC的面积为√6C.△ABC的直观图如图所示,A'B'在x'轴上,且A'B'=2,B'C'与x'轴垂直,且B'C'=√2,则△ABC的面积为4D.菱形的直观图可以是正方形10.水平放置的△ABC的直观图是一个如图所示的等腰直角三角形A'B'C'.点O'是斜边B'C'的中点,且O'A'=2,则△ABC边BC上的高为.11.如图,△A'B'C'是水平放置的平面图形的直观图,若C'A'=2,B'D'∥y'轴,且B'D'=1.5,画出原图形并求原平面图形△ABC的面积.12.如图所示,△A'B'C'是△ABC的直观图,其中A'C'∥y轴,A'B'∥x'轴,A'C'=A'B'=√7,那么△ABC的面积是()A.72B.7 C.7√2 D.7813.如图,一个水平放置的平面图形的直观图A'B'C'D'为矩形,其中A'D'=2A'B'=2,则原平面图形的周长为()A.3√2B.8C.14D.2+2√614.一个三角形的水平直观图在x'O'y'中是等腰三角形,底角为30°,腰长为2,如图,那么在它的原平面图形中,顶点B到x轴的距离是()A.1B.2C.√2D.2√215.(多选）对于用斜二测画法所得的直观图,以下说法错误的是()A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形16.(多选)如图,正方形O'A'B'C'的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面四边形OABC 的直观图,则下列关于平面四边形OABC的说法正确的有()A.图形为矩形B.周长为8C.边OC的长度为2D.面积为2√217.已知三角形ABC用斜二测画法画出的直观图是面积为√3的正三角形A'B'C'(如图),则三角形ABC中边长与正三角形A'B'C'的边长相等的边上的高为.18.已知一个正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为6,高为4,用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.参考答案8.2 立体图形的直观图1.答案：CD2.答案：B3.答案：C4.答案：D5.解析：(1)答案不唯一,如图①②.①②(2)答案不唯一,如图.6.答案：C7.答案：A8.答案：B9.答案：AC10.答案：4√211.解析：如图,△ABC 为△A'B'C'的原图形,∵C'A'=2,B'D'=1.5, ∴S △A'B'C'=12·A'C'·√22B'D'=3√24, ∴S △ABC =2√2S △A'B'C'=3.12.答案：B13.答案：C14.答案：D15.答案：ACD16.答案：BD17.答案：2√618.解析：(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.图①(2)画下底面.以O为中点,在x轴上取线段EF,使得EF=6,在y轴上取线段GH,使得GH=3,再过G,H分别作AB EF,CD EF,且使得AB的中点为G,CD的中点为H,连接AD,BC,这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图.(3)画上底面.在z轴上截取线段OO1=4,过O1作O1x'∥Ox,O1y'∥Oy,使∠x'O1y'=45°,建立坐标系x'O1y',在x'O1y'中仿照(2)的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图.(4)连接AA1、BB1、CC1、DD1,擦去辅助线,得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(如图②).图②。
人教版高中数学必修第二册8.2 立体图形的直观图 同步练习(含答案)
人教版高中数学必修第二册8.2立体图形的直观图同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,错误的是()A.用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B.几何体的直观图的长、宽、高与几何体的长、宽、高的比例相同C.水平放置的矩形的直观图是平行四边形D.水平放置的三角形的直观图是三角形2.AB=2CD,AB∥x轴,CD∥y轴,已知在用斜二测画法画出的直观图中,AB的直观图是A'B',CD 的直观图是C'D',则()A.A'B'=2C'D'B.A'B'=C'D'C.A'B'=4C'D'D.A'B'=12C'D'3.如图L8-2-1所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是下图中的()图L8-2-1ABCD图L8-2-24.下列直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的是()ABCD图L8-2-35.图L8-2-4是水平放置的三角形的直观图,点D'是B'C'的中点,A'B',B'C'分别与y'轴、x'轴平行,则在平面图中,三条线段AB,AD,AC中()图L8-2-4A.最长的是AB,最短的是ACB.最长的是AC,最短的是ABC.最长的是AB,最短的是ADD.最长的是AC,最短的是AD6.现有两个底面半径相等的圆锥,它们的底面重合在一起(底面平行于水平面),其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A.2cmB.3cmC.2.5cmD.5cm7.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图是一个边长为2cm的正方形,则原图的周长为()A.12cmB.16cmC.4(1+3)cmD.4(1+2)cm8.如图L8-2-5为一个水平放置的平面图形的直观图,它是底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则原平面图形为()图L8-2-5A.下底长为1+2的等腰梯形B.下底长为1+22的等腰梯形C.下底长为1+2的直角梯形D.下底长为1+22的直角梯形二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.在斜二测画法中,位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M',则点M'到x'轴的距离为.10.水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图如图L8-2-6所示,已知A'C'=8,B'C'=3,则原图中AB边上中线的长度为.图L8-2-611.正方形ABCD的边长为1,以相邻两边分别为x轴,y轴,并利用斜二测画法得到直观图A'B'C'D',则直观图的周长等于.12.如图L8-2-7所示,四边形OABC是上底为2,下底为6,底角为45°的等腰梯形,用斜二测画法画出这个梯形的直观图O'A'B'C',则在直观图中,梯形O'A'B'C'的高为.图L8-2-7三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)如图L8-2-8,在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A'B'C'D',其中对角线A'C'是水平方向.已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的实际图形,并求出其面积.图L8-2-814.(10分)如图L8-2-9所示,在平面直角坐标系中,各点坐标分别为O(0,0),A(1,3),B(3,1),C(4,6),D(2,5),试用斜二测画法画出四边形ABCD的直观图.图L8-2-915.(5分)用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图如图L8-2-10所示,其中B'O'=C'O'=1,ABC是一个()图L8-2-10A.等边三角形B.直角三角形C.三边互不相等的三角形D.钝角三角形16.(15分)泉州是一个历史文化名城,它的一些老建筑是中西建筑文化的融合,它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合,具有独特的建筑风格与空间特征.为延续泉州的建筑风格,在旧城改造中,计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”,并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格.现欲设计一个闽南式大屋,该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体,请用斜二测画法画出其直观图(尺寸自定).参考答案与解析1.B[解析]对于A,用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形,故A中说法正确;对于B,已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,长度为原来的一半,平行于z轴的线段的平行性和长度都不变,故几何体的直观图的长、宽、高与几何体的长、宽、高的比例不相同,故B中说法错误;对于C,水平放置的矩形的直观图是平行四边形,故C中说法正确;对于D,水平放置的三角形的直观图是三角形,故D中说法正确.故选B.2.C[解析]∵AB∥x轴,CD∥y轴,∴AB=A'B',CD=2C'D',∴A'B'=AB=2CD=2×2C'D'=4C'D',故选C.3.C[解析]在x轴上或与x轴平行的线段在直观图中的长度不变,在y轴上或平行于y轴的线段在直观图中的长度变为原来的12,并注意到∠xOy=90°,∠x'O'y'=45°,因此由直观图还原成原图形为选项C.4.A[解析]由题意应看到正方体的上面、前面和右面,根据几何体直观图的画法及直观图中虚线的使用,可知A正确.5.B[解析]△ABC的平面图如图所示,在图中,AB∥y轴,BC∥x轴,所以△ABC为直角三角形,故AC>AD>AB,故选B.6.D[解析]圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点之间的距离为2+3=5(cm),在直观图中与z轴平行的线段长度不变,仍为5cm.故选D.7.B[解析]原图为平行四边形,边长分别为2cm和22+(42)2=6(cm),周长为(2+6)×2=16(cm),故选B.8.C[解析]∵∠A'B'C'=45°,A'B'=1,∴B'C'=2A'B'cos45°+A'D'=1+2,∴原平面图形的下底长为1+2.由直观图可知,原平面图形为下底长为1+2的直角梯形,故选C.9.2[解析]过点M'作平行于y'轴的直线,交x'轴于点A'(图略),易知A'M'=2,∠M'A'x'=45°,故点M'到x'轴的距离为2×sin45°=2.10.5[解析]由斜二测画法的画图原则可知AC=A'C'=8,BC=2B'C'=6,∠BCA=90°,因此AB2=AC2+BC2=36+64=100,所以原图中AB边上中线的长度为12AB=5.11.3[解析]由题意可得A'D'=1,B'C'=1,A'B'=12,D'C'=12,则直观图A'B'C'D'的周长为1+1+1+1=3.12.[解析]作CD⊥OA,BE⊥OA,垂足分别为D,E(图略),则OD=EA= - 2=2,∴OD=CD=2,∴在直观图中C'D'=12×2=1,又∠C'D'A'=45°,∴13.解:四边形ABCD的真实图形如图所示.∵A'C'在水平位置,四边形A'B'C'D'是正方形,∴∠D'A'C'=∠A'C'B'=45°,∴在原四边形ABCD中,AD⊥AC,AC⊥BC,∵AD=2A'D'=2,AC=A'C'=2,∴S =AC·AD=22.四边形ABCD14.解:(1)如图①所示,分别过点A,B,C,D作x轴的垂线,垂足分别为E,G,H,F,在图②中画出相应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°;(2)在x'轴上截取O'E'=OE,作A'E'∥y'轴,截取E'A'=12EA,确定点A'.同理确定点B',C',D',其中B'G'=12BG,CH=12CH,D'F'=12DF;(3)顺次连接A',B',C',D',去掉辅助线,得到四边形ABCD的直观图,如图③所示.15.A[解析]由题中图形知,在原三角形ABC中,O为BC的中点,AO⊥BC.∵∴AO=3.∵B'O'=C'O'=1,∴BO=OC=1,则BC=2,AB=AC=2,∴△ABC为等边三角形.故选A.16.解:画法:(1)先按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图A'B'C'D'-ABCD,如图①;(2)以直棱柱的上底面ABCD为三棱柱的侧面画三棱柱的直观图ADE-BCF.可得组合体的直观图如图②.①②。
高中数学第八章立体几何初步-立体图形的直观图课件及答案
若一个平面多边形的面积为
S，其直观图的面积为
S′，则有
S′＝
2 4S
或 S＝2 2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积
求原图形面积．
【对点练清】
1．本例(1)中直观图中△O′A′B′的面积与原图形面积之比是多少？ 解：由本例(1)中直观图可得 S△O′A′B′＝12×1×1＝12，
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．正等测画法 圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆，在画直观图时一般不用斜二测画法，而采 用正等测画法．正等测画法的规则是： (1)如图①，取互相垂直的直线 Ox，Oy 作为已知图形⊙O 所在平面内的直角 坐标系的 x 轴和 y 轴，画直观图时将它们画成对应的 x′轴和 y′轴，并使 ∠x′O′y′＝120°(或 60°)，x 轴和 y 轴所确定的平面表示水平面； (2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴 或 y′轴的线段；
(2)如图所示，在原图形 OABC 中，应有 OA＝O′A′＝6 cm，OD＝2O′D′＝2×2 2＝4 2 cm，CD＝C′D′＝2 cm. 在 Rt△OCD 中，
∴OC＝ OD2＋CDຫໍສະໝຸດ ＝ 4 22＋22＝6(cm)， ∴OA＝OC.又 OA∥BC，OA＝BC， 故四边形 OABC 是菱形． ∴S 菱形 ABCO＝OA·OD＝6×4 2＝24 2(cm2)． ∴菱形 OABC 的面积为 24 2 cm2.
知识点 立体图形的直观图及其画法
(一)教材梳理填空 1．直观图：
直观图是观察者站在_某__一__点__观察一个空间几何体获得的图形．在立体几何 中，立体图形的直观图通常是在_平__行__投__影___下得到的平面图形．
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立体图形的直观图（2）课后练习题
一、基础达标
1、关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是______．（填序号） ①原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x '轴，长度不变； ②原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y '轴，长度变为原来的1
2
； ③画与直角坐标系xOy 对应的x O y '''时，x O y '''∠必须是45o ； ④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．
【解析】原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x '轴，长度不变；故①正确；原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y '轴，长度变为原来的
12
；故②正确；画与直角坐标系xOy 对应的坐标系x O y '''时，x O y '''∠也可以是135︒.故③错误；在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同；故④正确.故答案为③
2.如图所示，△A ′O ′B ′表示水平放置的△AOB 的直观图，B ′在x ′轴上，A’O’和x ′轴垂直，且A’O’＝2，则△AOB 的边OB 上的高为( )
A ．2
B ．4
C ．2 2
D ．42
答案 D 解析 由直观图与原图形中边OB 长度不变，得S 原图形＝22S 直观图，即12·OB ·h ＝22×12×2·O ′B ′，∵OB ＝O ′B ′，∴h ＝4 2.
3．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是()
答案 A 解析在直观图中，其一条对角线在y′轴上且长度为2，所以在原图形中其中一条对角线必在y轴上，且长度为22，所以A正确．
4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()
A．2 cm B．3 cm
C．2.5 cm D．5 cm
答案 D 解析两顶点间的距离为2＋3＝5(cm)，与z轴平行(或在z轴上)的线段在直观图中长度不变，仍为5 cm.故选D.
∆的边长为a，建立5、（2019·遵义航天高级中学高二月考（理））已知正ABC
如图1所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是（）
A2B2C2D2
【解析】原图是等边三角形，2，22
=，故选D.
二、能力提升
1、如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD 的面积是()
A．14 B．10 2 C．28 D．142
答案C
解析∵A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，∴原图形是一个直角梯形．
又A′D′＝4，
∴原直角梯形的上、下底及高分别是2,5,8，
故其面积为S＝1
2×(2＋5)×8＝28.
2、已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()
A.
3
4a
2 B.
3
8a
2 C.
6
8a
2 D.
6
16a
2
[解析]如图①②所示的实际图形和直观图，
由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝1
2OC＝
3
4a，
在图②中作C′D′⊥A′B′于点D′，
则C′D′＝
2
2O′C′＝
6
8a，
所以S
△A′B′C′＝
1
2A′B′·C′D′＝
1
2×a×
6
8a＝
6
16a
2.
[答案]D
3、画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
[解]画法：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz ＝90°，如图①.
(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.
(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．
(4)成图．顺次连接P A，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图如图②.
4、有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图．
解(1)先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示．
(2)过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3 cm，如图②所示．
(3)连接V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如图③所示．
(4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示．
5、(1)如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形；
(2)在(1)中若|C′A′|＝2，B′D′∥y′轴且|B′D′|＝1.5，求原平面图形△ABC的面积．
[解](1)画法：①画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′.
②在题图中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在x轴上取OD ＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.
③连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图．
(2)∵B′D′∥y′，∴BD⊥AC.
又|B′D′|＝1.5且|A′C′|＝2，
∴|BD|＝3，|AC|＝2.
∴S
△ABC ＝
1
2·|BD|·|AC|＝3.
解设原图形的高为h，则直观图的高为
2
4h.又平行于x轴的线段长度不变，
∴S′＝
2 4S.。