黄金分割 (教案)数学九年级上册同步备课(北师大版)

北师版九年级上册数学4.4.4 黄金分割教学设计

自然界中美丽的蝴蝶、一片树叶，生活中的蒙娜丽

莎像、埃菲尔铁塔、埃及的金字塔等都给人以最优

美、最令人赏心悦目的视觉，为什么它们能令人有

同学们，你们想知道什么原因吗？

讲授新课 观察下图中的五角星，思考下面几个问题。

(1)从图中找出相等的角、相等的线段. (2)在图中找出两对相似比不同的相似三角形. (3)用刻度尺分别度量线段AC ，BC 的长度，计算

AC BC =.AB AC

通过计算，你发现了什么？ 黄金分割的定义：

一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC(如图)，如果

AC BC

=.AB AC

那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.

B

C A

一条线段有几个黄金分割点？ 2个

例1：计算黄金比. 解：由

AC BC

=.AB AC

得AC 2=AB ·BC. 设AB=1，AC=x ，则BC=1-x. ∴x 2

=1× (1-x). 即x 2

+x-1=0. 解这个方程，得 x 1=

-1+5,2 x 2= -1-5

,2

(不合题意，舍去). 所以，黄金比AC 5-1=≈0.618.AB 2

学生通过观察、思考、交

流,教师引导、回答问题。

学生在教师的引导下理解黄金分割的定义。

学生利用所学知识计算黄金比。

利用五角星,创设一个有利于学

生探究和综合运用线段比的情境。引入黄金分割的概念、黄金

比约为0.618.

培养学生建立数学模型的能力,让学生亲自计算,发现生活中的黄金分割,感受数学与生活的密切联系。

深挖概念,把握规律。帮助学生更深刻的理解黄金分割的定义。

拓展提高

自然界中的黄金分割

在日常生活中，黄金分割处处可见。如演员在舞台上表演，站在黄金分割点上，台下的观众看上去感觉很好。

有人发现，人的肚脐高度和人体总高度的比接近黄金比。

普通树叶的宽与长之比，蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0.618.

想一想

如图是古希腊时期的巴台农神庙，如果把图中用虚线表示的矩形画成图中的ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地

发现，BE BC

=. BC AB

思考：点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？

∵四边形AEFD是正方形，∴AD=BC=AE 教师介绍黄金

矩形将黄金分

割的意义一维

图形扩展到二

维图形,同时

通过巴台农神

庙展示黄金分

割的历史文化

价值。

在于展示黄金分

割的文化价值,

在人类历史上的

作用,运用比例

变形的一些技

巧,体会比例基

本性质的重要

性,提高解题问

题的能力。

A.

5－1

2

cm B ．2(5－1) cm C ．4(5－1) cm D ．6(5－1) cm

4.主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图所示，如果舞台AB 的长为12米，一名主持人现在站在A 处，则她至少走( A )米才最理想． A ．18－6 5 B ．65－6 C ．65＋6

D ．18－65或65－6

5.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，CE 平分∠ACB 交AB 于点E.

求证：点E 为线段AB 的黄金分割点；

证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°， ∴∠B ＝∠ACB ＝1

2(180°－36°)＝72°.

∵CE 平分∠ACB ，∴∠BCE ＝12∠ACB ＝1

2×72°＝

36°. ∴∠BCE ＝∠A.

又∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△CBE. ∴

AB CB ＝BC

BE

，即BC2＝AB ·BE. ∵∠B ＝72°，∠BCE ＝36°，∴∠BEC ＝72°＝∠B.∴BC ＝EC.

同理可得AE ＝EC ，∴BC ＝AE.∴AE2＝AB ·BE. ∴点E 为线段AB 的黄金分割点．

6.【2020·泸州】如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC

＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为( A )

A．10－4 5

B．35－5

C.5－25

2

D．20－8 5

课堂小结本节课你学到了什么？

1.点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果

AC BC

=.

AB AC

那么称线段AB被点C黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.

2.一条线段有两个黄金分割点学生在教师的引导下总结归纳。

板书课题：4.4.4 黄金分割

一、什么是黄金分割？

二、黄金分割点

三、黄金比