押新高考第20题 统计概率(新高考)(解析版)

统计概率统计概率是高考的重点和热点，从2019年高考情况来看，更是有压轴题的趋势，并且分值和题量都略有增加。

其中解答题考查涉及的主要方向有：（1）与社会生活紧密相连，紧跟时代步伐创设情境。

（2）概率的求解．同时也常渗透考查统计知识，背景新颖，体现了概率与统计的工具性和交汇性，综合考查考生的应用意识、阅读理解能力、数据处理能力和转化与化归思想的应用；（3）统计知识．其核心是样本数据的获得和分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图、样本的数字特征、线性回归方程、独立性检验，常与概率交汇命题，意在考查考生的数据分析能力和综合应用能力．1．均值与方差的性质若Y=aX+b，其中a，b是常数，X是随机变量，则（1）E（k）=k，D（k）=0，其中k为常数；（2）E（aX+b）=aE（X）+b，D（aX+b）=a2D（X）；（3）E（X1+X2）=E（X1）+E（X2）；（4）D（X）=E（X2）–（E（X））2；（5）若X1，X2相互独立，则E（X1·X2）=E（X1）·E（X2）；（6）若X服从两点分布，则E（X）=p，D（X）=p（1–p）；（7）若X服从二项分布，即X~B（n，p），则E（X）=np，D（X）=np（1–p）．2．随机变量是否服从超几何分布的判断若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：（1）该试验是不放回地抽取n次；（2）随机变量X表示抽取到的次品件数（或类似事件），反之亦然．3．求超几何分布的分布列的步骤第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；第三步，用表格的形式列出分布列．4．求超几何分布的均值与方差的方法（1）列出随机变量X的分布列，利用均值与方差的计算公式直接求解；（2）利用公式E （X ）=nMN，D （X ）=2()()(1)nM N M N n N N ---求解．1．（2021·湖南·高考真题）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个. （1）用ξ表示取到的豆沙粽的个数，求ξ的分布列； （2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率. 【详解】（1）由条件可知0,1,2ξ=，()2326105C P C ξ===，()113326315C C P C ξ===，()2326125C P C ξ===，所以ξ的分布列，如下表，ξ0 12 P153515（2）选取的2个中至少有1个豆沙粽的对立事件是一个都没有， 则选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率14155P . 2．（2021·北京·高考真题）在核酸检测中, “k 合1” 混采核酸检测是指：先将k 个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k 个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k 个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确. （I ）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测. (i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数; (ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为111.设X 是检测的总次数，求X 的 分布列与数学期望E(X).(II ）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y 是检测的总次数，试判断数学期望E(Y )与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明) 【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次； 所以总检测次数为20次； ②由题意，X 可以取20，30，()12011P X ==，()1103011111P X ==-=， 则X 的分布列: X20 30P1111011所以()1103202030111111E X =⨯+⨯=； （2）由题意，Y 可以取25，30，两名感染者在同一组的概率为232981510020499C C P C ==，不在同一组的概率为29599P =， 则()()49529502530=999999E Y E X =⨯+⨯>. 3．（2021·全国·高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【详解】（1）由题可知，X 的所有可能取值为0，20，100．()010.80.2P X ==-=；()()200.810.60.32P X ==-=；()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以X 的分布列为 X20100 P0.20.320.48（2）由（1）知，()00.2200.321000.4854.4E X =⨯+⨯+⨯=．若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100．()010.60.4P Y ==-=；()()800.610.80.12P Y ==-=； ()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以()00.4800.121000.4857.6E Y =⨯+⨯+⨯=． 因为54.457.6<，所以小明应选择先回答B 类问题．4．（2021·全国·高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)i P X i p i ===． （1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1p p p p ====，求()E X ；（2）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，求证：当()1E X ≤时，1p =，当()1E X >时，1p <； （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义． 【详解】（1）()00.410.320.230.11E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）设()()3232101f x p x p x p x p =++-+，因为32101p p p p +++=，故()()32322030f x p x p x p p p x p =+-+++，若()1E X ≤，则123231p p p ++≤，故2302p p p +≤.()()23220332f x p x p x p p p '=+-++，因为()()20300f p p p '=-++<，()230120f p p p '=+-≤， 故()f x '有两个不同零点12,x x ，且1201x x <<≤，且()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '<； 故()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上为增函数，在()12,x x 上为减函数， 若21x =，因为()f x 在()2,x +∞为增函数且()10f =，而当()20,x x ∈时，因为()f x 在()12,x x 上为减函数，故()()()210f x f x f >==，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，若21>x ，因为()10f =且在()20,x 上为减函数，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，综上，若()1E X ≤，则1p =.若()1E X >，则123231p p p ++>，故2302p p p +>. 此时()()20300f p p p '=-++<，()230120f p p p '=+->， 故()f x '有两个不同零点34,x x ，且3401x x <<<， 且()()34,,x x x ∈-∞+∞时，()0f x '>；()34,x x x ∈时，()0f x '<；故()f x 在()3,x -∞，()4,x +∞上为增函数，在()34,x x 上为减函数， 而()10f =，故()40f x <，又()000f p =>，故()f x 在()40,x 存在一个零点p ，且1p <.所以p 为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，此时1p <，故当()1E X >时，1p <.（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.1．（2022·福建·模拟预测）在某次数学考试中，共有四道填空题，每道题5分.已知某同学在此次考试中，在前两道题中，每道题答对的概率均为56，答错的概率均为16；对于第三道题，答对和答错的概率均为12；对于最后一道题，答对的概率为13，答错的概率为23.(1)求该同学在本次考试中填空题部分得分不低于15分的概率； (2)设该同学在本次考试中，填空题部分的总得分为X ，求X 的分布列. 【解析】 (1)设“第({1,2,3,4})i i ∈题答对”为事件i A ，设“得分不低于15分”为事件B ，则P (B )=()43211231241342341234P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=5512551151111511551166236623662366236623⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ =55108； (2)易知X 的取值可能为0，5，10，15，20， ()12341112106623108P X P A A A A ⎛⎫===⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，()23413412412312345P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=5112151211211116623662366236623⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯23216=； ()()242313123413142410P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()14231234P A A A A P A A A A ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=551251125111151115121111662366236623662366236623⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ =8132168=； ()432112312413423415P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=5512551151111511856623662366236623216⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=； ()()1234551125206623216P X P A A A A ===⨯⨯⨯=；则X 的分布列为： X 05 10 15 20P1108 232163885216 252162．（2022·广东深圳·二模）2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛．．．．．．．．．．．．，若甲连．续赢两场．．．．则专业队获胜；若甲连续输两场．．．．．则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为13；甲与丙比赛，丙赢的概率为p ，其中1132p <<．(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？ (2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X 万元，求X 的数学期望()E X 的取值范围． 【解析】 (1)第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为： 112153339P p p p =⨯+⨯⨯=; 第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为： ()22111213333P p p p p p =⨯+-⨯⨯=-+，因为1132p <<，所以212111103933P P p p p p ⎛⎫-=-=-> ⎪⎝⎭，所以12PP >. 所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛. (2)由已知 4.5X =万元或 3.6X =万元.由（1）知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛. 此时，业余队获胜的概率为159P p =， 专业队获胜的概率为()()3212881133399P p p p =⨯-+⨯-⨯=-，所以，非平局的概率为()13814.593P X P P p ==+=-，平局的概率为()13113.6193P X P P p ==--=+. X 的分布列为：X4.53.6()P X8193p -1193p +X 的数学期望为()81114.5 3.6 4.40.39393E x p p p ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（万元） 而1132p <<，所以()E x 的取值范围为：()4.25,4.3（单位：万元）. 3．（2022·湖南·雅礼中学二模）“不关注分数，就是对学生的今天不负责：只关注分数，就是对学生的未来不负责.”为锻炼学生的综合实践能力，长沙市某中学组织学生对雨花区一家奶茶店的营业情况进行调查统计，得到的数据如下： 月份x24681012净利润（万元〕y 0.9 2.0 4.2 3.9 5.2 5.1(1)设ln ,i i i i x v x μ==试建立y 关于x 的非线性回归方程ln y a x b =+和y m x n =（保留2位有效数字）； (2)从相关系数的角度确定哪一个模型的拟合效果更好，并据此预测次年2月（14x =计）的净利润（保留1位小数）.附：①相关系数12211()()())()niii n niii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑，回归直线ˆˆˆy bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为121()()ˆˆˆ,()niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑；②参考数据：ln 20.7,ln 3 1.1,ln 5 1.6,ln 7268 2.8≈≈≈≈≈≈，1012143322450767.1≈≈≈【解析】 (1)ln 2ln 4ln6ln8ln10ln126μ+++++=10ln 22ln3ln51.86++=≈，0.92 4.2 3.9 5.2 5.13.556y +++++==，()()()()61()() 1.1 2.650.4 1.5500.650.30.350.5 1.650.7 1.55 5.55ii i y y μμ=--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，()()622222221() 1.10.400.30.50.7 2.2i i μμ=-=-+-++++=∑，所以616215.55) 2.52(.)2(()ii i i i a y y μμμμ==---==≈∑∑， 3.55 2.5 1.80.95b =-⨯=-， 所以模型ln y a x b =+的方程为 2.5ln 0.95y x =-，246810122.556v ++=≈，()()()()()61()() 1.15 2.650.55 1.550.150.650.250.350.65 1.650.95 1.55 6.435iii v v y y =--=-⨯-+-⨯-+-⨯+⨯+⨯+⨯=∑，()()()622222221() 1.150.550.150.250.650.95 2.985ii v v =-=-+-+-+++=∑，所以 6.4352.22.985m =≈， 3.55 2.2 2.55 2.1n =-⨯≈-， 所以模型y m x n =的方程为 2.1y x =； (2)()()622222221() 2.65 1.550.650.35 1.65 1.5515.1ii y y =-=-+-++++≈∑，所以1 5.550.9645.762.215.133.22r ===≈≈⨯，2 6.4350.9596.712.98515.145.07r =≈≈≈⨯，因为1r 更接近1，所以模型 2.5ln 0.95y x =-的拟合效果更好， 则次年2月净利润为 2.5ln140.95 5.6y ≈-≈万元.4．（2022·江苏·南京市第一中学三模）设2n ≥，*N n ∈ ，甲、乙、丙三个口袋中分别装有1n -、n 、1n +个小球，现从甲、乙、丙三个口袋中分别取球，一共取出n 个球．记从甲口袋中取出的小球个数为X ． (1)当5n =时，求X 的分布列； (2)证明：0112223C C C C C C C n n n n n n n n n n +++=；(3)根据第（2）问中的恒等式，证明：()13n E X -=． 【解析】 (1)解：当5n =时，甲、乙、丙三个口袋中小球的个数分别为4、5、6， 随机变量X 的可能取值为0、1、2、3、4，()511515C 20C 13P X ===，()14411515C C 401C 91P X ===，()23411515C C 302C 91P X ===，()32411515C C 203C 143P X ===，()41411515C C 14C 143P X ===，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：X1 2 3 4P213 4091 3091 201431143(2)证明：设从乙口袋抽取的小球的个数为随机变量Y ，由超几何分布可知，随机变量Y 的分布列为()()23C C 0,N C k n k n nnnP Y k k n k -==≤≤∈， 由组合数的性质可知，当0k n ≤≤且N k ∈时，C C k n kn n -=，根据分布列的性质可知22033CCC C1CCnnn k n k t t nnnnk t n n n n--====∑∑，所以，0011222230C C C C C C C C C nnn t t nnnnnnnn n n t =+++==∑. (3)证明：由题意可知，随机变量X 的可能取值为：0、1、2、、1n -，随机变量X 的分布列为()()1213C C 01,N C k n kn n nnP X k k n k --+==≤≤-∈， 当2n ≥时，()()()()()()()1121!12C 1C !1!1!1!kk n n n n n k k n k n k k n k -----⋅-=⋅==-⋅---⋅--！，则()()()()11111222122112100103331C C 1C C C C C C C k n k m n m k n k n n n n n n n n n n n n nk k k m n n nn n k E X k P X k ----------+-+-+====--=⋅====∑∑∑∑， 设一批产品中有()312,N n n n *-≥∈件产品，其中有2n -件次品，21n 件正品，从中抽取1n -件产品，其中次品的件数记为ξ，则ξ的可能取值有0、1、2、、2n -，根据分布列的性质可得()1122111031CC 1C n mn m n n n m n m n P m ξ----+-=-=-===∑∑，所以，211221310C C C n m n m n n n n m -----+-==∑，因此，()()()()()()()()()112221310331C C 1131!2!!1C 1!2!3!3m n m n n n n n n nm n nn n C n n n n n E X C n n n -----+-=---⋅-⋅-===⋅=-⋅∑. 5．（2022·湖南永州·三模）某游乐场开展摸球有奖活动，在一个不透明的盒子中放入大小相同的10个小球，其中红球4个，黑球6个，游客花10元钱，就可以参加一次摸球有奖活动，从盒子中一次随机摸取4个小球，规定摸取到两个或两个以上的红球就中奖.根据摸取到的红球个数，设立如下的中奖等级： 摸取到的红球个数2 3 4 中奖等级 三等奖二等奖一等奖(1)求游客在一次摸球有奖活动中中奖的概率；(2)若游乐场规定：在一次摸球有奖活动中，游客中三等奖，可获得奖金15元；中二等奖，可获得奖金20元；中一等奖，可获得奖金200元.请从游乐场获利的角度，分析此次摸球有奖活动的合理性. 【解析】 (1)解：设一次摸球有奖活动中中奖为事件A ，则事件A 包含的基本事件有：223140464646115C C C C C C ++=, 基本事件总数为：410210C =，∴()1152321042P A == ∴游客在一次摸球有奖活动中中奖的概率为2342. (2)解：设游客在一次摸球有奖活动中获得的奖金为X ，X 可以取0，15，20，200，()2319014242P X ==-= ()22464103157C C P X C === ()314641042035C C P X C ===()444101200210C P X C ===故X 的分布列为X0 15 20 200 P1942374351210X 的数学期望()9341203015202004273521021E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 由于一次摸球有奖活动中支付给游客奖金的均值()2031021E X =<， 所以游乐场可获利，故此次摸球有奖活动合理.（限时：30分钟）1．2017年国家发改委､住建部发布了《生活垃圾分类制度实施方案》规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收､用率要达35%以上.某市在实施垃圾分类之前，对该市大型社区(即人口数量在1万左右)一天产生的垃圾量(单位：吨)进行了调查.已知该市这样的大型社区有200个，如图是某天从中随机抽取50个社区所产生的垃圾量绘制的频率分布直方图.现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标”社区.（1）根据上述资料，估计当天这50个社区垃圾量的平均值x (四舍五入精确到整数)；（2）若当天该市这类大型社区的垃圾量()~,9X N μ，其中μ近似为（1）中的样本平均值x ，请根据X 的分布估计这200个社区中“超标”社区的个数(四舍五入精确到整数)；（3）市环保部门决定对样本中“超标”社区的垃圾来源进行调查，现从这些社区中随机抽取3个进行重点监控，设Y 为其中当天垃圾量至少为16吨的社区个数，求Y 的分布列与数学期望. 附：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈；(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈；(33)0.9974P X μσμσ-<≤+≈.【详解】（1）由频率分布直方图得该样本中垃圾量为[)4,6，[)6,8，[)8,10，[)10,12，[)12,14，[)14,16，[]16,18的频率分别为0.08，0.1，0.2，0.24，0.18，0.12，0.08，50.0870.1090.20110.24130.18150.12170.0811.0411,x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈所以当天这50个社区垃圾量的平均值为11吨； （2）由（1）知11μ=，29σ=，3σ∴=，10.6827(14)()0.158652P X P X μσ-∴>=>+==， 所以这200个社区中“超标”社区的个数为2000.1586532⨯≈；（3）由（1）得样本中当天垃圾量为[)14,16的社区有500.126⨯=个，垃圾量为[)16,18的社区有500.084⨯=个，所以Y 的可能取值为0，1，2，3，363101(0)6C P Y C ===，21643101(1)2C C P Y C ===，12643103(2)10C C P Y C ===，343101(3)30C P Y C ===，Y ∴的分布列为 Y123P1612310130()01236210305E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=.2．到2020年年底，经过全党全国各族人民共同努力，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务．在接下来的5年过渡期，为巩固脱贫成果，将继续实行“四个不摘”，某市工作小组在2021年继续为已脱贫群众的生产生活进行帮扶，工作小组经过多方考察，引进了一种新的经济农作物，并指导一批农户于2021年初开始种植．已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1000元，根据前期各方面调查发现，由于天气、市场经济等因素的影响，近几年该经济农作物的亩产量与每千克售价具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：该经济农作物市场价格（元/kg ）1015该经济农作物每年亩产量(kg)400 600概率0.4 0.6 概率0.25 0.75（1）设2021年当地某农户种植一亩该经济农作物的纯收入为X 元，求X 的分布列；（2）已知当地某农户在2021年初种植了3亩该经济农作物，假设各亩地的产量相互独立，求该农户在2021年通过种植该经济农作物所获得的纯收入超过12000元的概率． （注：纯收入=种植收入-种植成本） 【详解】（1）由题知一亩地的种植收入可能为4000，6000，9000，故X 的所有可能取值为3000，5000，8000(3000)0.40.250.1P X ==⨯=，(5000)0.40.750.60.250.45P X ==⨯+⨯=，(8000)0.60.750.45P X ==⨯= X 的分布列为： X 3000 5000 8000 P0.10.450.45（2）纯收入超过12000元，即3亩地种植收入超过15000元， 若价格为10元/kg ，则3亩地的总产量超过1500kg ， 因为40026001500⨯+<，所以符合条件的概率为()22330.750.250.750.40.3375C ⨯⨯+⨯=． 若价格为15元/kg ，则3亩地的总产量超过1000kg ，34001000⨯>， ∴P （纯收入超过1200元）0.60.33750.9375=+=3．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京举行实践“绿色奥运、科技奥运、人文奥运”理念，举办一届“有特色、高水平”的奥运会，是中国和北京的庄严承诺，也是全世界的共同期待.为宣传北京冬奥会，激发人们参与冬奥会的热情，某市开展了关于冬奥知识的有奖问答.从参与的人中随机抽取100人，得分情况如下：（1）得分在80分以上称为“优秀成绩”，从抽取的100人中任取2人，记“优秀成绩”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）由直方图可以认为，问卷成绩值Y 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数，2σ近似为样本方差.①求(77.289.4)P Y <<；②用所抽取100人样本的成绩去估计城市总体，从城市总人口中随机抽出2000人，记Z 表示这2000人中分数值位于区间(77.2,89.4)的人数，利用①的结果求()E Z .15012.2≈14612.1≈，()0.6826P Y μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Y μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Y μσμσ-<<+=.【详解】（1）得分80以上的人数为10010(0.0080.002)10⨯⨯+=，X 可能取值为0，1，22902100C 89(0)C 110P X ===，1110902100C C 2(1)C 11P X ===，2102100C 1(2)C 110P X ===， X 分布列为： X12P89110 211 1110()012110111105E X =⨯+⨯+⨯=. （2）10(350.002450.009550.022650.033750.024850.008950.002)x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯65=22222(3565)100.002(4565)100.009(5565)100.022(7565)100.024s =-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯ 22(8565)100.008(9565)100.002150+-⨯⨯+-⨯⨯=取65x μ==，212.2s σ==①1(77.289.4)[(22)()]0.13592P Y P Y P Y μσμσμσμσ<<=-<<+--<<+= ②~(2000,0.1359)Z B ，()20000.1359271.8E Z =⨯=4．在刚刚过去的寒假，由于新冠疫情的影响，哈尔滨市的A ､B 两所同类学校的高三学年分别采用甲､乙两种方案进行线上教学，为观测其教学效果，分别在两所学校的高三学年各随机抽取60名学生，对每名学生进行综合测试评分，记综合评分为80及以上的学生为优秀学生，经统计得到两所学校抽取的学生中共有72名优秀学生.（1）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A ､B 两个学校的高三学年随机抽取3名学生，求所抽取的学生中的优秀学生数的分布列和数学期望；（2）已知A 学校抽出的优秀学生占该校抽取总人数的23，填写下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关.优秀学生非优秀学生合计 甲方案 乙方案 合计附：()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.0722.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中 n a b c d =+++.【详解】()1由已知，学生为优秀的概率为720.6120=， 记优质学生数为X ，由题意知，X 的所有可能取值为0，1，2，3.则()()3300.40.064P X C ===，()()23110.40.60.288P X C ===，()()22320.40.60.432P X C ===，()()33330.60.216P X C ===.故X 的分布列为X12 3P0.0640.2880.4320.216所以X 的数学期望为()30.6 1.8E X =⨯=.()2填写列联表如下优秀学生 非优秀学生 合计甲方案 40 20 60 乙方案 3228 60合计7248120计算()2212040282032 2.22 2.70660607248k ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关.5．为了调查A 地区200000名学生寒假期间在家的课外阅读时间，研究人员随机抽取了20000名学生作调查，所得结果统计如下表所示： 阅读时间() h []0,10(]10,20(]20,30(]30,40(]40,50(]50,60频数2003700530080002300500（1）若阅读的时间Z 近似地服从正态分布(),64N μ，其中μ为这20000名学生阅读时间的平均值，试估计这200000名学生中阅读时间在(]6,38的学生人数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）； （2）以频率估计概率，若从全体学生中随机抽取5人，记阅读时间在(]30,40中的人数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）为了调查阅读时间与性别是否具有相关性，研究人员从这20000名学生中再随机抽取500名男生和500名女生作进一步调查，所得数据如下表所示，判断是否有99.9%的把握认为阅读时间与性别具有相关性．阅读时间在[]0,30之间 阅读时间在(]30,60之间 男生 200 女生 100附：若()2~,Z Nμσ，则()0.6827P Z μσμσ-<≤+=，()220.9545P Z μσμσ-<≤+=，()330.9973P Z μσμσ-<≤+=．()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++． ()20P K k ≥ 0.1000.0500.0100.0010k2.7063.841 6.635 10.828【详解】（1）依题意，5200153700255300358000452300555003020000μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==，则()230,8ZN ，故()()0.68270.997363830.842P Z P Z μσμσ+<≤=-<≤+==，故所求人数约为2000000.84168000⨯=人．（2）由题意，可得阅读时间在(]30,40的人数所占的频率为80002200005=，所以2~5,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，X 的可能取值为0,1,2,3,4,5.所以()53243053125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()4152********C 553125625P X ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()23252310802162C 553125625P X ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3235237201443553125625P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()24523240484C 553125625P X ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()5232553125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 故X 的分布列为：X12 34 5P2433125 16262521662514462548625323125故()525E X =⨯=． （3）完善列联表如下： 阅读时间在[]0,30之间 阅读时间在(]30,60之间 总计 男生 300 200 500 女生 100 400 500 总计4006001000由于()221000300400200100166.6710.828500500400600K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为阅读时间与性别具有相关性．。