数学说题—2018全国卷II理科数学第20题

说题流程
题目价值
通过对空间中垂直关系的判定及空间中二面角 与线面角的求解与应用问题，考查学生的观察、 分析、空间想象及推理论证能力，体现了转化 与化归思想方法和运算素养
年份
试卷 1卷
题号 18 19 19 18
知识点 面面垂直的判定及求二面角 线面垂直的判定及求二面角 线面平行的判定及求线面角 面面垂直的判定及求二面角
变式拓展2
如图，在三棱锥P ABC 中，AB BC 2 PA PB PC AC 4，O为AC 中点. (1) : 证明PO 平面ABC ;
2 ，
( 2)若点M在棱BC上，且二面角M PA C为30 ，

求二面角M PA B的大小
说题流程
变式拓展3
变式拓展
作ME AC 于E ,
设MC x, EF PA于F ME tan 30 连接MF， EF MFE即为二面角平面角 求得x

等积转化 求C到平面PAM 距离h h sin PC
说题流程
方 法 一 向 量 法
解题过程
以O为坐标原点，分别以OB， OC ,OP为x轴、y轴、z轴正方向， 建立空间直角坐标系o xyz. 由已知得O (0,0,0), B (2,0,0) A(0,2,0), C (0,2,0), P (0,0,2 3), 取平面PAC 的法向量OB ( 2,0,0).设M ( a,2 a,0)(0 a 2) 则 AM ( a,4 a,0).设平面PAM 的法向量为n ( x, y, z ) 由AP n 0, AM n 0得 2 y 2 3z 0 取n ( 3( a 4), 3a, a ) ax ( 4 a ) y 0 3 4 8 3 4 3 4 cos OB, n a , n ( , , ) 2 3 3 3 3

BO 2 在POB中，PO OB PB
2 2
2
PO OB, 又 OB AC O, OB, AC 平面ABC , PO 平面ABC
PO OB, 又 OB AC O, OB, AC 平面ABC , PO 平面ABC
说题流程
C PAM P MAC
1 48 1 h PO S 3 9 3 h 3 h 3 sin PC 4
MAC
说题流程
变式拓展1
变式拓展
如图，在三棱锥P ABC 中，AB BC 2 2， PA PB PC AC 4，O为AC 中点. (1) : 证明PO 平面ABC ; ( 2)若点M在棱BC上，PC与平面PAM 所成角的正弦值 求二面角M PA C的大小
2
说来自百度文库流程
方法三 方法四
解题过程
证明：连接OB, 在PBC 中 PA PC 4且O为AC 中点 PO AC ，PO 2 3 在ABC 中，AB AC 2 2, AC 4 AB BC AC ABC 90
2 2 2
证明：连接OB, 在PBC 中 PA PC 4且O为AC 中点 PO AC ，PO 2 3 PO PO OB OA PAC POB PA PB POB POA 90
说题流程
解题思路
在PAC 中，易证PO AC 还需要证明PO垂直平面PAB 内另一条直线
方法一 方法三
在PAB 中 PM AB , 要证PO AB
PO, OB, OM , PM数量可求， 考虑勾股定理逆定理
只需证AB 平面POM
即证AB OM 等腰三角形
方法二
PO OB PB PO OB
2 2 2
PO OM PM PO OM
2 2 2
PA, PB , PC长度已知夹角可求 向量法 PO AB
方法四
POA POB PO OB
说题流程
方法一 方法二
解题过程
证明：在PAC中，PA PC, O为AC中点 PO AC 取AB中点Q, 连接PQ, OQ 在PAB中, PA PB，Q为AB中点 PQ AB, 又 AB BC 2 2 AC 4 ABC为等腰直角三角形 OB OA AB OM OQ PQ Q, AB 平面POQ AB PO, AB, AC 平面ABC 且AB AC A PO 平面ABC

求PC 与平面PAM 所成角的正弦值
仔细审题，明确已知 与所求
线线垂直→线面垂直 线 面 垂 直 等 腰 三 角 形 底 边 中 线 勾 股 定 理 的 逆 定 理 向 量 方 法
调用相关知识
PAC , PBC , PAB , ABC OAB , OBC
等 腰 三 角 形
数 量 关 系
解题过程
说题流程
PA PB PC AC 4 ，O为AC 中点 . (1) : 证明PO 平面ABC ;
解题思路
2 ，
如图，在三棱锥P ABC 中，AB BC 2
( 2)若点M在棱BC 上，且二面角M PA C为30 ，

求PC 与平面PAM 所成角的正弦值
方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解 建系，写坐标 方法二：几何法 找到二面角 确定M的位置 求线面角正弦 计算二面角 确定M的位置 求线面角正弦
分值 12 12 12 12
2016
2卷 3卷 1卷
2017
2卷
3卷 1卷
19
19 18 20 19
线面平行的判定及求二面角
面面垂直的判定及求二面角 面面垂直的判定及求线面角 线面垂直的判定及求二面角、线面角 面面垂直的判定及求二面角
12
12 12 12 12
2018
2卷 3卷
说题流程
题目价值
命 题 趋 势
教 学 启 示
2 2
——
80 2 9
2
说题流程
解题过程
28 80 64 16 1 9 10 9 9 cos PAM 128 80 32 10 2 10 2 2 9 9 9 3 sin PMA 10 10 1 1 128 80 7 48 S PAM MA MP sin PMA 10 2 2 9 9 10 9 由V V 得

求PC与平面PAM 所成角的正弦值
说题流程
命题立意
知识点
空间垂直关系的证明 二面角及线面角的计算及应用问题
能通过观察、实验、思辨论证理解垂直关系的基本性质
及判定方法，准确地是用数学语言表述几何对象的位置关系
地位作用
并能解决简单的推理论证及应用问题 理解直线的方向向量与平面的法向量 能用向量方法解决线线、线面、面面位置关系 的判定与夹角的计算问题
全国数学二卷
E X T E R N A L A S S E S S M E N T
说题流程
01
02
03
04
05
06
07
原 题 再 现
命 题 立 意
解 题 思 路
解 答 过 程
方 法 规 律
变 式 拓 展
题 目 价 值
说题流程
原题再现
（全国高考数学二卷理科20题） 如图，在三棱锥P ABC 中，AB BC 2 2， PA PB PC AC 4，O为AC 中点. (1) : 证明PO 平面ABC ; (2)若点M在棱BC上，且二面角M PA C为30 ，
——
说题流程
方 法 二 几 何 法
解题过程
设MC x, 过M作ME AC , 垂足为E 由题意知ME PO , 且AC PO O ME 平面PAC 在平面PAC 中过E作EF PA，垂足为F， 又ME DA，EF ME E PA 面MEF MEF 即为二面角M PA C的平面角 2 2 由MC x，则ME x， AE 4 x 2 2 6 EF AE sin 60 2 3 x EFM 30 4 ME 3 4 tan 30 即 6x 2 3 x 2 EF 4 3 2 128 2 PAM 中PA 4, PM 16 2 , AM 8 9 9 3
方法五
证明：在PAC中，PA PC, O为AC中点 PO AC 取AB中点Q, 连接PQ, OQ 在PAB中, PA PB 4, AB 2 2 PQ 14, 又 OQ 2 , PO 2 3 PO2 OQ2 PQ2 PO OQ OQ AC O, OQ, AC 平面ABC PO 平面ABC
证明：在PAC 中，PA PC , O为AC 中点 PO AC
在PAB 中, PA PB 4, AB 2 2 16 16 8 3 3 cos APB ,同理 cos BPC 2 4 4 4 4 1 PO ( PA PC ), AB ( PB PA) 2 1 PO AB ( PA PB PB PC PA PA PC ) 2 1 (12 12 16 8) 0, PO AB 又 AB AC A 2 AB , AC 平面ABC , PO 平面ABC
能力素养
考查观察、分析、推理论证能力，空间想象能力 体现方程与转化与化归思想方法以及运算素养
说题流程
如图，在三棱锥P ABC 中，AB BC 2 PA PB PC AC 4，O为AC 中点. (1) : 证明PO 平面ABC ; 2 ，
解题思路
( 2)若点M在棱BC 上，且二面角M PA C为30 ，
立体几何是高考命题的重要内容，也是考查学生空间概念、逻辑思维、空
间想象及推理运算的有效载体，从近几年的高考试题来看，其解答题命题 总趋势保持一定的稳定性，此类题目以特殊的几何体为依托，重点考查空 间中平行、垂直关系的判定以及空间角、距离、体积的度量问题 转化与化归是立体几何的核心思想，贯穿于立体几何学习的始终，在 教学中应注重学生转化意识的形成与培养，帮助学生建立知识框架与 网络，熟练掌握空间角、距离的求法及转化；熟练掌握空间向量的选 取及空间直角坐标系的合理建立；熟练掌握利用向量法证明平行与垂 直关系、求空间角与距离
如图，在三棱锥P ABC 中，AB BC 2 PA PB PC AC 4，O为AC 中点. (1) : 证明PO 平面ABC ;
2 ，
( 2)若点M在棱BC上，且二面角M PA C为30 ，

求C到平面PAM 的距离
说题流程
方法规律
核心思想 — 转化
线线角 空间问题 平面问题，线面角、二面角 向量角 线面垂直 线线垂直等腰三角形的中线 勾股定理 三垂线定理 二面角 等体积法 求三棱锥的高