2016年全国卷I卷理数20题几何解法赏析
2016年高考全国I卷理科数学试题逐题解析
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(I 卷)本试题卷共5页，24题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合}034{2<+-=x x x A ，}032{>-=x x B ，则AB =（A ）)23,3(--（B ）)23,3(-（C ）)23,1(（D ）)3,23(【解析】：{}{}243013A x x x x x =-+<=<<，{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭．故332A B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭．故选D ．（2）设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，则=+yi x（A ）1（B ）2（C ）3（D ）2【解析】：由()11i x yi +=+可知：1x xi yi +=+，故1x x y =⎧⎨=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩．所以，x yi +=故选B ．（3）已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a（A ）100（B ）99（C ）98 （D ）97【解析】：由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =，而108a =，因此公差 1051105a a d -==-∴100109098a a d =+=．故选C ．（4）某公司的班车在30:7，00:8，30:8发车，小明在50:7至30:8之间到达发车站乘坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）43 【解析】：如图所示，画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，所求概率10101402P +==．故选B ． （5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 （A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C ）)3,0(（D ）)3,0(【解析】：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m = ∴13n -<<，故选A ．（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的 表面积是 （A ）π17（B ）π18（C ）π20 （D ）π28【解析】：原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的18后的三视图表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S ⨯⨯⨯⨯πππ，故选A ． （7）函数xe x y -=22在]2,2[-的图像大致为（A（B（C ）（D【解析】：()22288 2.80f e =->->，排除A ；()22288 2.71f e =-<-<，排除B ；0x >时，()22xf x x e =-，()4x f x x e '=-，当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01404f x e '<⨯-= 因此()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除C ；故选D ．（8）若1>>b a ，10<<c ，则（A ）ccb a <（B ）cc ba ab < （C ）c b c a a b log log <（D ）c c b a log log <【解析】： 由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误；由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误；要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a ，只需lnb b 和ln a a ， 构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <， ∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确； 要比较log a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln cb ，而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增， 故111ln ln 0ln ln a b a b a b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c c c c a b >⇔>，D 错误； 故选C ．（9）执行右面的程序框图，如果输入的0=x ，1=y ，1=n ，则输出y x ,的值满足（A ）x y 2=（B ）x y 3=（C ）x y 4=（D ）x y 5=【解析】：第一次循环：220,1,136x y x y ==+=<；第二次循环：22117,2,3624x y x y ==+=<； 第三次循环：223,6,362x y x y ==+>； 输出32x =，6y =，满足4y x =；故选C ． （10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2（B ）4（C ）6（D ）8【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设(0,22A x ，52p D ⎛- ⎝，点(0,22A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点52p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点(0,22A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③；联立①②③解得：4p =， 焦点到准线的距离为4p =．故选B ．（11）平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，//α平面11D CB ， F ny y n x x =-+=,21ny x ,,输入开始结束y x ,输出1+=n n ?3622≥+y x 是否α平面ABCD m =， α平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为（A ）23 （B ）22 （C ）33 （D ）31【解析】：如图所示：111∵11CB D α∥平面，∴若设平面11CB D 平面1ABCD m =，则1m m ∥又∵平面ABCD ∥平面1111A B C D ，结合平面11B D C 平面111111A B C D B D =∴111B D m ∥，故11B D m ∥，同理可得：1CD n ∥故m 、n 的所成角的大小与11B D 、1CD 所成角的大小相等，即11CD B ∠的大小． 而1111BC BD CD ==（均为面对交线），因此113CD B π∠=，即11sin CD B ∠=． 故选A ．（12）已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（A ）11（B ）9（C ）7（D ）5【解析】：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z ，()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤接下来用排除法：若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫ ⎪⎝⎭单调；若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减。
2016年全国统一高考新课标版Ⅰ卷全国1卷理科数学试卷及参考答案与解析
2016年全国统一高考新课标版Ⅰ卷全国1卷理科数学试卷及参考答案与解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合A＝{x|x2－4x＋3＜0},B＝{x|2x－3＞0},则A∩B＝( )A.(－3,－)B.(－3,)C.(1,)D.(,3)2.(5分)设(1＋i)x＝1＋yi,其中x,y是实数,则|x＋yi|＝( )A.1B.C.D.23.(5分)已知等差数列{an }前9项的和为27,a10＝8,则a100＝( )A.100B.99C.98D.974.(5分)某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车,小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A. B. C. D.5.(5分)已知方程－＝1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )A.(－1,3)B.(－1,)C.(0,3)D.(0,)6.(5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π7.(5分)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( )A. B. C.D.8.(5分)若a＞b＞1,0＜c＜1,则( )A.a c＜b cB.ab c＜ba cC.alogb c＜blogac D.logac＜logbc9.(5分)执行下面的程序框图,如果输入的x＝0,y＝1,n＝1,则输出x,y的值满足( )A.y＝2xB.y＝3xC.y＝4xD.y＝5x10.(5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|＝4,|DE|＝2,则C的焦点到准线的距离为( )A.2B.4C.6D.811.(5分)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD＝m,α∩平面ABB1A1＝n,则m、n所成角的正弦值为( )A. B. C. D.12.(5分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,|φ|≤),x＝－为f(x)的零点,x＝为y＝f(x)图象的对称轴,且f(x)在(,)上单调,则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)设向量＝(m,1),＝(1,2),且|＋|2＝||2＋||2,则m＝.14.(5分)(2x＋)5的展开式中,x3的系数是.(用数字填写答案)15.(5分)设等比数列{an }满足a1＋a3＝10,a2＋a4＝5,则a1a2…an的最大值为.16.(5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题：本大题共5小题,满分60分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(Ⅰ)求C；(Ⅱ)若c＝,△ABC的面积为,求△ABC的周长.18.(12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF＝2FD,∠AFD＝90°,且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°.(Ⅰ)证明平面ABEF⊥平面EFDC；(Ⅱ)求二面角E－BC－A的余弦值.19.(12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)求X的分布列；(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值；(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n＝19与n＝20之中选其一,应选用哪个？20.(12分)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A 于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(Ⅰ)证明|EA|＋|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程；(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.21.(12分)已知函数f(x)＝(x－2)e x＋a(x－1)2有两个零点. (Ⅰ)求a的取值范围；(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明：x1＋x2＜2.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22.(10分)如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB＝120°.以O为圆心,OA为半径作圆.(Ⅰ)证明：直线AB与⊙O相切；(Ⅱ)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明：AB∥CD.[选修4-4：坐标系与参数方程]23.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a＞0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ＝4cosθ.(Ⅰ)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ＝α,其中α满足tanα＝2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.[选修4-5：不等式选讲]24.已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|. (Ⅰ)在图中画出y＝f(x)的图象；(Ⅱ)求不等式|f(x)|＞1的解集.2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合A＝{x|x2－4x＋3＜0},B＝{x|2x－3＞0},则A∩B＝( )A.(－3,－)B.(－3,)C.(1,)D.(,3)【分析】解不等式求出集合A,B,结合交集的定义,可得答案.【解答】解：∵集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}＝(1,3),B＝{x|2x－3＞0}＝(,＋∞),∴A∩B＝(,3),故选：D.【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算,难度不大,属于基础题.2.(5分)设(1＋i)x＝1＋yi,其中x,y是实数,则|x＋yi|＝( )A.1B.C.D.2【分析】根据复数相等求出x,y的值,结合复数的模长公式进行计算即可.【解答】解：∵(1＋i)x＝1＋yi,∴x＋xi＝1＋yi,即,解得,即|x＋yi|＝|1＋i|＝,故选：B.【点评】本题主要考查复数模长的计算,根据复数相等求出x,y的值是解决本题的关键.3.(5分)已知等差数列{an }前9项的和为27,a10＝8,则a100＝( )A.100B.99C.98D.97【分析】根据已知可得a5＝3,进而求出公差,可得答案.【解答】解：∵等差数列{an }前9项的和为27,S9＝＝＝9a5.∴9a5＝27,a5＝3,又∵a10＝8, ∴d＝1,∴a100＝a5＋95d＝98,故选：C.【点评】本题考查的知识点是数列的性质,熟练掌握等差数列的性质,是解答的关键.4.(5分)某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车,小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A. B. C. D.【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度,代入几何概型概率计算公式,可得答案.【解答】解：设小明到达时间为y,当y在7：50至8：00,或8：20至8：30时,小明等车时间不超过10分钟,故P＝＝,故选：B.【点评】本题考查的知识点是几何概型,难度不大,属于基础题.5.(5分)已知方程－＝1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )A.(－1,3)B.(－1,)C.(0,3)D.(0,)【分析】由已知可得c＝2,利用4＝(m2＋n)＋(3m2－n),解得m2＝1,又(m2＋n)(3m2－n)＞0,从而可求n的取值范围.【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4,∴c＝2,当焦点在x轴上时,可得：4＝(m2＋n)＋(3m2－n),解得：m2＝1,∵方程－＝1表示双曲线,∴(m2＋n)(3m2－n)＞0,可得：(n＋1)(3－n)＞0,解得：－1＜n＜3,即n的取值范围是：(－1,3).当焦点在y轴上时,可得：－4＝(m2＋n)＋(3m2－n),解得：m2＝－1,无解.故选：A.【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用,考查了不等式的解法,属于基础题.6.(5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π【分析】判断三视图复原的几何体的形状,利用体积求出几何体的半径,然后求解几何体的表面积.【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体,如图：可得：＝,R＝2.它的表面积是：×4π•22＋＝17π.故选：A.【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积,考查计算能力以及空间想象能力. 7.(5分)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( )A. B. C.D.【分析】根据已知中函数的解析式,分析函数的奇偶性,最大值及单调性,利用排除法,可得答案.【解答】解：∵f(x)＝y＝2x2－e|x|,∴f(－x)＝2(－x)2－e|－x|＝2x2－e|x|,故函数为偶函数,当x＝±2时,y＝8－e2∈(0,1),故排除A,B；当x∈[0,2]时,f(x)＝y＝2x2－e x,∴f′(x)＝4x－e x＝0有解,故函数y＝2x2－e|x|在[0,2]不是单调的,故排除C,故选：D.【点评】本题考查的知识点是函数的图象,对于超越函数的图象,一般采用排除法解答.8.(5分)若a＞b＞1,0＜c＜1,则( )A.a c＜b cB.ab c＜ba cC.alogb c＜blogac D.logac＜logbc【分析】根据已知中a＞b＞1,0＜c＜1,结合对数函数和幂函数的单调性,分析各个结论的真假,可得答案.【解答】解：∵a＞b＞1,0＜c＜1,∴函数f(x)＝x c在(0,＋∞)上为增函数,故a c＞b c,故A错误；函数f(x)＝x c－1在(0,＋∞)上为减函数,故a c－1＜b c－1,故ba c＜ab c,即ab c＞ba c；故B错误；loga c＜0,且logbc＜0,logab＜1,即＝＜1,即logac＞logbc.故D错误；0＜－loga c＜－logbc,故－blogac＜－alogbc,即blogac＞alogbc,即alogbc＜blogac,故C正确；故选：C.【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小,熟练掌握对数函数和幂函数的单调性,是解答的关键.9.(5分)执行下面的程序框图,如果输入的x＝0,y＝1,n＝1,则输出x,y的值满足( )A.y＝2xB.y＝3xC.y＝4xD.y＝5x【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x,y的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【解答】解：输入x＝0,y＝1,n＝1,则x＝0,y＝1,不满足x2＋y2≥36,故n＝2,则x＝,y＝2,不满足x2＋y2≥36,故n＝3,则x＝,y＝6,满足x2＋y2≥36,故y＝4x,故选：C.【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答.10.(5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|＝4,|DE|＝2,则C的焦点到准线的距离为( )A.2B.4C.6D.8【分析】画出图形,设出抛物线方程,利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可.【解答】解：设抛物线为y2＝2px,如图：|AB|＝4,|AM|＝2,|DE|＝2,|DN|＝,|ON|＝,xA＝＝,|OD|＝|OA|,＝＋5,解得：p＝4.C的焦点到准线的距离为：4.故选：B.【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,抛物线与圆的方程的应用,考查计算能力.转化思想的应用.11.(5分)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD＝m,α∩平面ABB1A1＝n,则m、n所成角的正弦值为( )A. B. C. D.【分析】画出图形,判断出m、n所成角,求解即可.【解答】解：如图：α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD＝m,α∩平面ABA1B1＝n,可知：n∥CD1,m∥B1D1,∵△CB1D1是正三角形.m、n所成角就是∠CD1B1＝60°.则m、n所成角的正弦值为：. 故选：A.【点评】本题考查异面直线所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.12.(5分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,|φ|≤),x＝－为f(x)的零点,x＝为y＝f(x)图象的对称轴,且f(x)在(,)上单调,则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5【分析】根据已知可得ω为正奇数,且ω≤12,结合x＝－为f(x)的零点,x＝为y＝f(x)图象的对称轴,求出满足条件的解析式,并结合f(x)在(,)上单调,可得ω的最大值. 【解答】解：∵x＝－为f(x)的零点,x＝为y＝f(x)图象的对称轴,∴,即,(n∈N)即ω＝2n＋1,(n∈N)即ω为正奇数,∵f(x)在(,)上单调,则－＝≤,即T＝≥,解得：ω≤12,当ω＝11时,－＋φ＝kπ,k∈Z,∵|φ|≤,∴φ＝－,此时f(x)在(,)不单调,不满足题意；当ω＝9时,－＋φ＝kπ,k∈Z,∵|φ|≤,∴φ＝,此时f(x)在(,)单调,满足题意；故ω的最大值为9,故选：B.【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质,本题转化困难,难度较大.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)设向量＝(m,1),＝(1,2),且|＋|2＝||2＋||2,则m＝－2 .【分析】利用已知条件,通过数量积判断两个向量垂直,然后列出方程求解即可.【解答】解：|＋|2＝||2＋||2,可得•＝0.向量＝(m,1),＝(1,2),可得m＋2＝0,解得m＝－2.故答案为：－2.【点评】本题考查向量的数量积的应用,向量的垂直条件的应用,考查计算能力.14.(5分)(2x＋)5的展开式中,x3的系数是10 .(用数字填写答案)【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r＋1项,令x的指数为3,求出r,即可求出展开式中x3的系数.【解答】解：(2x＋)5的展开式中,通项公式为：Tr＋1＝＝25－r, 令5－＝3,解得r＝4∴x3的系数2＝10.故答案为：10.【点评】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.15.(5分)设等比数列{an }满足a1＋a3＝10,a2＋a4＝5,则a1a2…an的最大值为64 .【分析】求出数列的等比与首项,化简a1a2…an,然后求解最值.【解答】解：等比数列{an }满足a1＋a3＝10,a2＋a4＝5,可得q(a1＋a3)＝5,解得q＝.a 1＋q2a1＝10,解得a1＝8.则a1a2…an＝a1n•q1＋2＋3＋…＋(n－1)＝8n•＝＝,当n＝3或4时,表达式取得最大值：＝26＝64.故答案为：64.【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用,转化思想的应用,考查计算能力.16.(5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000 元.【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件,根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数,利用线性规划作出可行域,通过目标函数的几何意义,求出其最大值即可；【解答】解：(1)设A、B两种产品分别是x件和y件,获利为z元.由题意,得,z＝2100x＋900y.不等式组表示的可行域如图：由题意可得,解得：,A(60,100),目标函数z＝2100x＋900y.经过A时,直线的截距最大,目标函数取得最大值：2100×60＋900×100＝216000元.故答案为：216000.【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用,二元一次方程组的解法的运用,不等式组解实际问题的运用,不定方程解实际问题的运用,解答时求出最优解是解题的关键.三、解答题：本大题共5小题,满分60分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(Ⅰ)求C；(Ⅱ)若c＝,△ABC的面积为,求△ABC的周长.【分析】(Ⅰ)已知等式利用正弦定理化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简,根据sinC不为0求出cosC的值,即可确定出出C的度数；(2)利用余弦定理列出关系式,利用三角形面积公式列出关系式,求出a＋b的值,即可求△ABC 的周长.【解答】解：(Ⅰ)∵在△ABC中,0＜C＜π,∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC,整理得：2cosCsin(A＋B)＝sinC,即2cosCsin(π－(A＋B))＝sinC2cosCsinC＝sinC∴cosC＝,∴C＝；(Ⅱ)由余弦定理得7＝a2＋b2－2ab•,∴(a＋b)2－3ab＝7,∵S＝absinC＝ab＝,∴ab＝6,∴(a＋b)2－18＝7,∴a＋b＝5,∴△ABC的周长为5＋.【点评】此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,以及三角函数的恒等变形,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.18.(12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF＝2FD,∠AFD＝90°,且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°.(Ⅰ)证明平面ABEF⊥平面EFDC；(Ⅱ)求二面角E－BC－A的余弦值.【分析】(Ⅰ)证明AF⊥平面EFDC,利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；(Ⅱ)证明四边形EFDC为等腰梯形,以E为原点,建立如图所示的坐标系,求出平面BEC、平面ABC的法向量,代入向量夹角公式可得二面角E－BC－A的余弦值.【解答】(Ⅰ)证明：∵ABEF为正方形,∴AF⊥EF.∵∠AFD＝90°,∴AF⊥DF,∵DF∩EF＝F,∴AF⊥平面EFDC,∵AF⊂平面ABEF,∴平面ABEF⊥平面EFDC；(Ⅱ)解：由AF⊥DF,AF⊥EF,可得∠DFE为二面角D－AF－E的平面角；由ABEF为正方形,AF⊥平面EFDC,∵BE⊥EF,∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE,可得∠CEF为二面角C－BE－F的平面角.可得∠DFE＝∠CEF＝60°.∵AB∥EF,AB⊄平面EFDC,EF⊂平面EFDC,∴AB∥平面EFDC,∵平面EFDC∩平面ABCD＝CD,AB⊂平面ABCD,∴AB∥CD,∴CD∥EF,∴四边形EFDC为等腰梯形.以E为原点,建立如图所示的坐标系,设FD＝a,则E(0,0,0),B(0,2a,0),C(,0,a),A(2a,2a,0),∴＝(0,2a,0),＝(,－2a,a),＝(－2a,0,0)设平面BEC的法向量为＝(x1,y1,z1),则,则,取＝(,0,－1).设平面ABC的法向量为＝(x2,y2,z2),则,则,取＝(0,,4). 设二面角E－BC－A的大小为θ,则cosθ＝＝＝－,则二面角E－BC－A的余弦值为－.【点评】本题考查平面与平面垂直的证明,考查用空间向量求平面间的夹角,建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键.19.(12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)求X的分布列；(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值；(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n＝19与n＝20之中选其一,应选用哪个？【分析】(Ⅰ)由已知得X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列.(Ⅱ)由X的分布列求出P(X≤18)＝,P(X≤19)＝.由此能确定满足P(X≤n)≥0.5中n的最小值.和买20个所需费(Ⅲ)法一：由X的分布列得P(X≤19)＝.求出买19个所需费用期望EX1,由此能求出买19个更合适.用期望EX2法二：解法二：购买零件所用费用含两部分,一部分为购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用,分别求出n＝19时,费用的期望和当n＝20时,费用的期望,从而得到买19个更合适.【解答】解：(Ⅰ)由已知得X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,P(X＝16)＝()2＝,P(X＝17)＝,P(X＝18)＝()2＋2()2＝,P(X＝19)＝＝,P(X＝20)＝＝＝,P(X＝21)＝＝,P(X＝22)＝,P(X≤18)＝P(X＝16)＋P(X＝17)＋P(X＝18)＝＝.P(X≤19)＝P(X＝16)＋P(X＝17)＋P(X＝18)＋P(X＝19)＝＋＝.∴P(X≤n)≥0.5中,n的最小值为19.(Ⅲ)解法一：由(Ⅰ)得P(X≤19)＝P(X＝16)＋P(X＝17)＋P(X＝18)＋P(X＝19)＝＋＝.买19个所需费用期望：EX1＝200×＋(200×19＋500)×＋(200×19＋500×2)×＋(200×19＋500×3)×＝4040,买20个所需费用期望：EX2＝＋(200×20＋500)×＋(200×20＋2×500)×＝4080,∵EX1＜EX2,∴买19个更合适.解法二：购买零件所用费用含两部分,一部分为购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用,当n＝19时,费用的期望为：19×200＋500×0.2＋1000×0.08＋1500×0.04＝4040,当n＝20时,费用的期望为：20×200＋500×0.08＋1000×0.04＝4080,∴买19个更合适.【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用,是中档题,解题时要认真审题,注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用.20.(12分)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A 于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(Ⅰ)证明|EA|＋|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程；(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.【分析】(Ⅰ)求得圆A的圆心和半径,运用直线平行的性质和等腰三角形的性质,可得EB＝ED,再由圆的定义和椭圆的定义,可得E的轨迹为以A,B为焦点的椭圆,求得a,b,c,即可得到所求轨迹方程；(Ⅱ)设直线l：x＝my＋1,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,可得|MN|,由PQ⊥l,设PQ：y＝－m(x－1),求得A到PQ的距离,再由圆的弦长公式可得|PQ|,再由四边形的面积公式,化简整理,运用不等式的性质,即可得到所求范围.【解答】解：(Ⅰ)证明：圆x2＋y2＋2x－15＝0即为(x＋1)2＋y2＝16,可得圆心A(－1,0),半径r＝4,由BE∥AC,可得∠C＝∠EBD,由AC＝AD,可得∠D＝∠C,即为∠D＝∠EBD,即有EB＝ED,则|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|＝4,故E的轨迹为以A,B为焦点的椭圆,且有2a＝4,即a＝2,c＝1,b＝＝,则点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)；(Ⅱ)椭圆C1：＋＝1,设直线l：x＝my＋1,由PQ⊥l,设PQ：y＝－m(x－1),由可得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0,设M(x1,y1),N(x2,y2),可得y1＋y2＝－,y1y2＝－,则|MN|＝•|y1－y2|＝•＝•＝12•,A到PQ的距离为d＝＝,|PQ|＝2＝2＝,则四边形MPNQ面积为S＝|PQ|•|MN|＝••12•＝24•＝24,当m＝0时,S取得最小值12,又＞0,可得S＜24•＝8,即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12,8).【点评】本题考查轨迹方程的求法,注意运用椭圆和圆的定义,考查直线和椭圆方程联立,运用韦达定理和弦长公式,以及直线和圆相交的弦长公式,考查不等式的性质,属于中档题.21.(12分)已知函数f(x)＝(x－2)e x＋a(x－1)2有两个零点.(Ⅰ)求a的取值范围；(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明：x1＋x2＜2.【分析】(Ⅰ)由函数f(x)＝(x－2)e x＋a(x－1)2可得：f′(x)＝(x－1)e x＋2a(x－1)＝(x－1)(e x＋2a),对a进行分类讨论,综合讨论结果,可得答案.(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,则－a＝＝,令g(x)＝,则g(x1)＝g(x2)＝－a,分析g(x)的单调性,令m＞0,则g(1＋m)－g(1－m)＝,设h(m)＝,m＞0,利用导数法可得h(m)＞h(0)＝0恒成立,即g(1＋m)＞g(1－m)恒成立,令m＝1－x1＞0,可得结论.【解答】解：(Ⅰ)∵函数f(x)＝(x－2)e x＋a(x－1)2,∴f′(x)＝(x－1)e x＋2a(x－1)＝(x－1)(e x＋2a),①若a＝0,那么f(x)＝0⇔(x－2)e x＝0⇔x＝2,函数f(x)只有唯一的零点2,不合题意；②若a＞0,那么e x＋2a＞0恒成立,当x＜1时,f′(x)＜0,此时函数为减函数；当x＞1时,f′(x)＞0,此时函数为增函数；此时当x＝1时,函数f(x)取极小值－e,由f(2)＝a＞0,可得：函数f(x)在x＞1存在一个零点；当x＜1时,e x＜e,x－2＜－1＜0,∴f(x)＝(x－2)e x＋a(x－1)2＞(x－2)e＋a(x－1)2＝a(x－1)2＋e(x－1)－e,令a(x－1)2＋e(x－1)－e＝0的两根为t1,t2,且t1＜t2,则当x＜t1,或x＞t2时,f(x)＞a(x－1)2＋e(x－1)－e＞0,故函数f(x)在x＜1存在一个零点；即函数f(x)在R是存在两个零点,满足题意；③若－＜a＜0,则ln(－2a)＜lne＝1,当x＜ln(－2a)时,x－1＜ln(－2a)－1＜lne－1＝0,e x＋2a＜e ln(－2a)＋2a＝0,即f′(x)＝(x－1)(e x＋2a)＞0恒成立,故f(x)单调递增,当ln(－2a)＜x＜1时,x－1＜0,e x＋2a＞e ln(－2a)＋2a＝0,即f′(x)＝(x－1)(e x＋2a)＜0恒成立,故f(x)单调递减,当x＞1时,x－1＞0,e x＋2a＞e ln(－2a)＋2a＝0,即f′(x)＝(x－1)(e x＋2a)＞0恒成立,故f(x)单调递增,故当x＝ln(－2a)时,函数取极大值,由f(ln(－2a))＝[ln(－2a)－2](－2a)＋a[ln(－2a)－1]2＝a{[ln(－2a)－2]2＋1}＜0得：函数f(x)在R上至多存在一个零点,不合题意；④若a＝－,则ln(－2a)＝1,当x＜1＝ln(－2a)时,x－1＜0,e x＋2a＜e ln(－2a)＋2a＝0,即f′(x)＝(x－1)(e x＋2a)＞0恒成立,故f(x)单调递增,当x＞1时,x－1＞0,e x＋2a＞e ln(－2a)＋2a＝0,即f′(x)＝(x－1)(e x＋2a)＞0恒成立,故f(x)单调递增,故函数f(x)在R上单调递增,函数f(x)在R上至多存在一个零点,不合题意；⑤若a＜－,则ln(－2a)＞lne＝1,当x＜1时,x－1＜0,e x＋2a＜e ln(－2a)＋2a＝0,即f′(x)＝(x－1)(e x＋2a)＞0恒成立,故f(x)单调递增,当1＜x＜ln(－2a)时,x－1＞0,e x＋2a＜e ln(－2a)＋2a＝0,即f′(x)＝(x－1)(e x＋2a)＜0恒成立,故f(x)单调递减,当x＞ln(－2a)时,x－1＞0,e x＋2a＞e ln(－2a)＋2a＝0,即f′(x)＝(x－1)(e x＋2a)＞0恒成立,故f(x)单调递增,故当x＝1时,函数取极大值,由f(1)＝－e＜0得：函数f(x)在R上至多存在一个零点,不合题意；综上所述,a的取值范围为(0,＋∞)证明：(Ⅱ)∵x1,x2是f(x)的两个零点,∴f(x1)＝f(x2)＝0,且x1≠1,且x2≠1,∴－a＝＝,令g(x)＝,则g(x1)＝g(x2)＝－a,∵g′(x)＝,∴当x＜1时,g′(x)＜0,g(x)单调递减；当x＞1时,g′(x)＞0,g(x)单调递增；设m＞0,则g(1＋m)－g(1－m)＝－＝, 设h(m)＝,m＞0,则h′(m)＝＞0恒成立,即h(m)在(0,＋∞)上为增函数,h(m)＞h(0)＝0恒成立,即g(1＋m)＞g(1－m)恒成立,令m＝1－x1＞0,则g(1＋1－x1)＞g(1－1＋x1)⇔g(2－x1)＞g(x1)＝g(x2)⇔2－x1＞x2,即x1＋x2＜2.【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值,函数的零点,分类讨论思想,难度较大.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22.(10分)如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB＝120°.以O为圆心,OA为半径作圆.(Ⅰ)证明：直线AB与⊙O相切；(Ⅱ)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明：AB∥CD.【分析】(Ⅰ)设K为AB中点,连结OK.根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB,∠A＝30°,OK＝OAsin30°＝OA,则AB是圆O的切线.(Ⅱ)设圆心为T,证明OT为AB的中垂线,OT为CD的中垂线,即可证明结论.【解答】证明：(Ⅰ)设K为AB中点,连结OK,∵OA＝OB,∠AOB＝120°,∴OK⊥AB,∠A＝30°,OK＝OAsin30°＝OA,∴直线AB与⊙O相切；(Ⅱ)因为OA＝2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.设T是A,B,C,D四点所在圆的圆心.∵OA＝OB,TA＝TB,∴OT为AB的中垂线,同理,OC＝OD,TC＝TD,∴OT为CD的中垂线,∴AB∥CD.【点评】本题考查了切线的判定,考查四点共圆,考查学生分析解决问题的能力.解答此题时,充分利用了等腰三角形“三合一”的性质.[选修4-4：坐标系与参数方程]23.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a＞0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ＝4cosθ.(Ⅰ)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ＝α,其中α满足tanα＝2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.【分析】(Ⅰ)把曲线C1的参数方程变形,然后两边平方作和即可得到普通方程,可知曲线C1是圆,化为一般式,结合x2＋y2＝ρ2,y＝ρsinθ化为极坐标方程；(Ⅱ)化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程,由条件可知y＝x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程,把C1与C2的方程作差,结合公共弦所在直线方程为y＝2x可得1－a2＝0,则a值可求.【解答】解：(Ⅰ)由,得,两式平方相加得,x2＋(y－1)2＝a2. ∴C1为以(0,1)为圆心,以a为半径的圆.化为一般式：x2＋y2－2y＋1－a2＝0.①由x2＋y2＝ρ2,y＝ρsinθ,得ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0；(Ⅱ)C2：ρ＝4cosθ,两边同时乘ρ得ρ2＝4ρcosθ,∴x2＋y2＝4x,②即(x－2)2＋y2＝4.由C3：θ＝α,其中α满足tanα＝2,得y＝2x,∵曲线C1与C2的公共点都在C3上,∴y＝2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程,①－②得：4x－2y＋1－a2＝0,即为C3,∴1－a2＝0,∴a＝1(a＞0).【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程,考查了极坐标与直角坐标的互化,训练了两圆公共弦所在直线方程的求法,是基础题.[选修4-5：不等式选讲]24.已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(Ⅰ)在图中画出y＝f(x)的图象；(Ⅱ)求不等式|f(x)|＞1的解集.【分析】(Ⅰ)运用分段函数的形式写出f(x)的解析式,由分段函数的画法,即可得到所求图象；(Ⅱ)分别讨论当x≤－1时,当－1＜x＜时,当x≥时,解绝对值不等式,取交集,最后求并集即可得到所求解集.【解答】解：(Ⅰ)f(x)＝,由分段函数的图象画法,可得f(x)的图象,如右：(Ⅱ)由|f(x)|＞1,可得当x≤－1时,|x－4|＞1,解得x＞5或x＜3,即有x≤－1；当－1＜x＜时,|3x－2|＞1,解得x＞1或x＜,即有－1＜x＜或1＜x＜；当x≥时,|4－x|＞1,解得x＞5或x＜3,即有x＞5或≤x＜3.综上可得,x＜或1＜x＜3或x＞5.则|f(x)|＞1的解集为(－∞,)∪(1,3)∪(5,＋∞).【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法,注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法,考查运算能力,属于基础题.。
2016年全国卷解析几何典型题及方法
解析几何典型题及方法复习讲解一、圆锥曲线的几类基本习题一. 弦的中点问题具有斜率的弦中点问题，一般设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
例1 给定双曲线x y 2221-=。
过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
例2 已知椭圆x y 22651+=，通过点（1，1）引一弦，使它在这点被平分，求此弦所在的直线方程。
二. 焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
例3 设P(x,y)为椭圆x a y b22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
（1）求证离心率e =+-cos cos αβαβ22； （2）求tg tg αβ22的值；（3）求|||PF PF 1323+的最值。
三. 存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，分三步：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。
例4 已知椭圆C 的方程x y 22431+=，试确定m 的取值范围，使得对于直线y x m =+4，椭圆C 上有不同两点关于直线对称。
例5 为了使抛物线()y x +=+112上存在两点关于直线y mx =对称，求m 的取值范围。
四. 两线段垂直问题 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用k k y y x x 1212121···==-来处理。
例6 已知直线l 的斜率为k ，且过点P (,)-20，抛物线C y x :()241=+，直线l 与抛物线C 有两个不同的交点（如图）。
（1）求k 的取值范围；（2）直线l 的倾斜角θ为何值时，A 、B 与抛物线C 的焦点连线互相垂直。
例7 经过坐标原点的直线l 与椭圆()x y -+=362122相交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆恰好通过椭圆左焦点F ，求直线l 的倾斜角。
2016年高考全国Ⅰ卷理科数学试题(含答案解析)
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学适用地区：福建、广东、安徽、湖北、湖南、江西、山西、河南、河北 注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2430A x x x =-+<，{}230x x ->,则AB =（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭（B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭（C ）31,2⎛⎫⎪⎝⎭（D ）3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭2．设 (1 + i)x = 1 + y i ，其中y x ,是实数，则|x + y i| = （A ）1（B ）2（C ）3（D ）23．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10 = 8，则a 100 = （A ）100（B ）99（C ）98（D ）974．某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车， 且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）345．已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值 范围是（A ）()1,3-（B ）(-（C ）()0,3（D ）(6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条 相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是 （A ）17π（B ）18π （C ）20π（D ）28π7．函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为8．若101a b c >><<，,则 （A ）c c a b <（B ）c c ab ba < （C ）a log b c ＜ b log a c（D ）log log a b c c <9．执行右面的程序框图,如果输入的011x y n ===，，,则输出x , y 的值满足 （A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x =（D ）5y x =是 否ny y n x x =-+=,213622≥+y x输入n y x ,,输出y x ,开始 结束1+=n n10．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=DE|=则C 的焦点到准线的距离为（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）811．平面α过正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1, α ∩平面ABCD = m , α ∩平面AB B 1A 1 = n ,则m 、n 所成角的正弦值为（A ）2（B ）2（C ）3（D ）1312. 已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π= 为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
改造陈题 推陈出新——2016年全国卷Ⅰ理科20题简析
方法具有等效性 ， 事实上， 根
据 线段 垂直 平分 线 的性 质 ， 得
Ｉ Ｑ Ａ ｌ ＝ｌ Ｑ Ｊ Ｐ Ｉ ， ． ‘ ． Ｐ＝ Ｑ Ａ Ｐ， 又Ｏ Ｐ ＝Ｏ Ｂ， ． ’ ． ＬＢ
＝ ＬＰ ， 于是 Ｑ Ａ Ｐ ＝ＬＢ， 因此 Ｂ Ｏ∥ Ａ Ｑ ， 反之亦 然． … 如此形成的高考题第（Ｉ ）小题 ， 注重平面几
但背景 ２弦长的计算方式比较单一（ 用 一÷ 替
代ｋ ， 可 算 出另 一条 ） ， 而２ ０ １ ６年 的题 目， 一方 面 ， 要 算椭 圆 中的焦 点弦长 ， 另 一方 面 ， 还 要根 据垂 径定 理
计 算 圆 中的 弦长 ， 内容 更 加 丰 富 了， 这 也是 ２ ０ １ ６年
图１
点 Ｂ， 连结 Ｏ Ｂ， Ｑ Ａ， 再 删 掉 直 线Ｚ ． 明显的 ， 两种 轨迹 的 生成
点， 求 四边 形 ＭＰ ＮＱ面积 的取 值 范 围．
／
图３
２ ０ １ ６年 全 国卷 Ｉ理 科 第 ２ ０题 ， 以 圆为载体 、 课 本 中的轨迹 问题 为基 本 素材 、 类似 于 ２ ０ ０ ５年 全 国卷 中 的一道 四边形 面 积 求解 问题 为 主 体 ， 对 其进 行 了
简析 ： （Ｉ ）因为 ｌ Ａ Ｄ ｌ ＝ ｃ Ａ Ｃ ｌ ， Ｅ Ｂ／ ／Ａ Ｃ ， 故
￣Ｅ Ｂ Ｄ ＝ ￣Ａ Ｃ Ｄ ＝ ￣Ａ ＤＣ ， 所以 ｌ Ｅ Ｂ Ｉ＝ｌ Ｅ Ｄ Ｉ ， 故
． 一 ： ４ 一Ｃ Ｏ Ｓ ￣ ／ ４
一
。
， 由于 ０＜
图２
二
半 轴上 的焦 点．已知Ｐ Ｆ 与Ｆ Ｑ
2016年全国高考数学(理科)试题及答案-全国1卷(解析版)
绝密 ★ 启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国1卷)数学(理科）注意事项： 1。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页。
2。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3。
全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一. 选择题:本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)设集合{}2430A x x x =-+< ，{}230x x ->,则A B =（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ (B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（D)3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题，一般以基础题形式出现，属得分题。
解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算，如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算，常借助数轴进行运算。
(2）设(1i)1i x y +=+，其中x ,y 实数,则i =x y + (A ）1 （B 2 （3 （D ）2 【答案】B 【解析】试题分析：因为(1)=1+,x i yi +所以=1+,=1,1,||=|1+|2,x xi yi x y x x yi i +==+=故选B 。
考点:复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现，属得分题。
高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等，复数的几何意义，共轭复数，复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大，但容易出现运算错误，特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性。
(3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =，则100a = (A ）100 （B ）99 （C ）98 （D)97 【答案】C 【解析】试题分析：由已知，1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C 。
2016年高考全国I卷理科数学试题逐题解析
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(I 卷)本试题卷共5页，24题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合}034{2<+-=x x x A ，}032{>-=x x B ，则AB =（A ）)23,3(--（B ）)23,3(-（C ）)23,1(（D ）)3,23(【解析】：{}{}243013A x x x x x =-+<=<<，{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭．故332AB x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭．故选D ．（2）设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，则=+yi x（A ）1（B ）2（C ）3（D ）2【解析】：由()11i x yi +=+可知：1x xi yi +=+，故1x x y =⎧⎨=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩．所以，222x yi x y +=+=．故选B ．（3）已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a（A ）100（B ）99（C ）98（D ）97【解析】：由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =，而108a =，因此公差 1051105a a d -==-∴100109098a a d =+=．故选C ．（4）某公司的班车在30:7，00:8，30:8发车，小明在50:7至30:8之间到达发车站乘坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）31 （B ）21 （C ）32（D ）43 【解析】：如图所示，画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30BACD小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，所求概率10101402P +==．故选B ．（5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 （A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C ）)3,0(（D ）)3,0(【解析】：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m =∴13n -<<，故选A ．（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的 表面积是（A ）π17 （B ）π18（C ）π20（D ）π28【解析】：原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的18后的三视图表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S ⨯⨯⨯⨯πππ，故选A ． （7）函数xe x y -=22在]2,2[-的图像大致为（A）（B ）（C ） （D ）【解析】：()22288 2.80f e =->->，排除A ；()22288 2.71f e =-<-<，排除B ；0x >时，()22xf x x e =-，()4x f x x e '=-，当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01404f x e '<⨯-= 因此()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除C ；故选D ．（8）若1>>b a ，10<<c ，则1y x2-2O1yx2-2O1yx2-2O1yx2-2O（A ）c c b a < （B ）c c ba ab <（C ）c b c a a b log log <（D ）c c b a log log <【解析】： 由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误；由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误；要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b 和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a ，只需lnb b 和ln a a ， 构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <， ∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确； 要比较log a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln cb ，而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增， 故111ln ln 0ln ln a b a b a b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cc c a b>⇔>，D 错误； 故选C ．（9）执行右面的程序框图，如果输入的0=x ，1=y ，1=n ，则输出y x ,的值满足（A ）x y 2= （B ）x y 3= （C ）x y 4=（D ）x y 5=【解析】：第一次循环：220,1,136x y x y ==+=<；第二次循环：22117,2,3624x y x y ==+=<； 第三次循环：223,6,362x y x y ==+>； 输出32x =，6y =，满足4y x =；故选C ． （10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2（B ）4（C ）6（D ）8【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理 设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设()0,22A x ，,52p D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点()0,22A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点,52p D ⎛⎫- ⎪⎝⎭在圆222x y r +=上，ny y n x x =-+=,21ny x ,,输入开始结束y x ,输出1+=n n ?3622≥+y x 是否∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点()0,22A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③；联立①②③解得：4p =， 焦点到准线的距离为4p =．故选B ．（11）平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，//α平面11D CB ，α平面ABCDm =， α平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为（A ）23（B ）22 （C ）33 （D ）31【解析】：如图所示：αAA 1BB 1DCC 1D 1∵11CB D α∥平面，∴若设平面11CB D 平面1ABCD m =，则1m m ∥又∵平面ABCD ∥平面1111A B C D ，结合平面11B D C 平面111111A B C D B D =∴111B D m ∥，故11B D m ∥，同理可得：1CD n ∥故m 、n 的所成角的大小与11B D 、1CD 所成角的大小相等，即11CD B ∠的大小． 而1111B C B D CD ==（均为面对交线），因此113CD B π∠=，即113sin 2CD B ∠=． 故选A ．（12）已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（A ）11（B ）9（C ）7（D ）5【解析】：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z ，()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤接下来用排除法：若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫ ⎪⎝⎭单调；若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减。
2016年高考数学全国I卷+答案解析
【详细解答】排除法：当 p 4 时，不妨令抛物线方程为 y 2 8x ，当 y 2 2 时， x 1 ，即 A 点坐标为 （1， 2 2 ） ，所以圆的半径为 r 3 ，此时 D 点坐标为（-2， 5 ） ，符合题意，故 B 选项正确.
p 解法 2：不妨令抛物线方程为 y 2 px ，D 点坐标为（ ， 5 ） ，则圆的半径为 r 2
f ( x) loga x 的图像越靠近 x 轴，当 0 c 1 时， loga c logb c ，故 D 选项错误； abc bac 可化为
a a ( ) c ，由指数函数知，当 a 1 时， f ( x) a x 在 (0, ) 上递增，故 B 选项错误；a logb c b loga c 可 b b
【试题评析】考察三视图还原，球的体积表面积计算，经常考察，难易程度：中等. （7）函数 y 2 x2 e 在 [2, 2] 的图像大致为
x
（A）
（B ）
（C） 【答案】D
（D）
2
【详细解答】解法 1（排除法） ： f ( x) 2 x2 e 为 偶 函 数 ， 且
x
f (2) 8 e2 8 7.4 0.6 ，故选 D..
化为 log
1 ba
c log 1 c ，1 b a b b a b ，故 C 选项正确.
ab
1
1
1
【试题评析】本题综合考察幂函数、指数函数、对数函数的性质和不等式的性质，属于常考题型，难易程 度：中等. 结合函数性质证明不等式是比较麻烦的，最好采用特殊值法验证排除.
，n 1 ，则输出 x，y 的值满足 （9）执行右面的程序图，如果输入的 x 0，y 1
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2016年全国卷I卷理数20题几何解法赏析
周应祥
【期刊名称】《中学数学研究（华南师范大学）：上半月》
【年(卷),期】2016(0)10
【摘要】本文从试题的几何解法、试题背景、拓展探究，得到4个结论，对学生梳理数学知识，掌握圆锥曲线的几何性质，引导学生掌握数学命题迁移的规律，并会用结论解决相关的高考试题．
【总页数】2页(P22-23)
【关键词】几何解法;全国卷;赏析;试题背景;引导学生;数学知识;几何性质;圆锥曲线【作者】周应祥
【作者单位】广东省东莞市第四高级中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633
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3.素养视角下利用导数研究函数零点个数问题的解法赏析
——以2020年全国卷Ⅰ文科第20题为例 [J], 郑传远;周翔
4.注重模型意识回归数学本质——2020年新高考全国Ⅰ卷20题立体几何解法赏析 [J], 安学保
5.多视角巧突破——2018年全国Ⅰ卷理数第16题的解法赏析与探究 [J], 林国红
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