江苏省2020年高考数学 第20题优美解

2020年高考数学（江苏）第20题优美解
试题
.已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：2
2
1n
n n n n b a b a a ++=
+，*N n ∈，
（1）设n n n a b b +=+11
，*N n ∈，求证：数列2
n n b a ⎧⎫⎛⎫
⎪⎪
⎨⎬ ⎪
⎝⎭
⎪⎪⎩⎭
是等差数列； （2）设n
n
n a b b •
=
+21，*N n ∈，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值． 解法1：（1）∵n n n a b b +
=+11，∴11222
1n n
n n n n
n n a a b b a ++=
+⎛⎫
+ ⎪⎝⎭。

∴ 2
111n n n n b
b a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
∴ ()2
2
2
221111*n n n n n n n n b b b b n N a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

∴数列2
n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪
⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
是以1 为公差的等差数列。

（2）∵00n n a >b >，，∴
()
()2
2
222
n n n n n n a b a b <a b +≤++。

∴12
2
12n n n n n
<a a b +=
≤+（﹡） 设等比数列{}n a 的公比为q ，由0n a >知0q >，下面用反证法证明=1q
若1,q >则2
12=
2a a <a q
≤12log q n >时，112n n a a q +=
若01,<q <则212=
1a a >a >q ，∴当1
1
log q n >a 时，111n n a a q <+=，与（﹡）矛盾。

∴综上所述，=1q 。

∴()1*n a a n N =∈
，∴11<a ≤
又∵11n n n n b b b a +=()*n N ∈，∴{}n b
1的等比数列。

若1a ≠
1
1，于是123b <b <b 。

又由2
2
1n
n n n n b a b a a ++=
+
即1a =
，得11
n b a -。

∴123b b b ，，中至少有两项相同，与123b <b <b
矛盾。

∴1a 。

∴
1
n b -
∴ 12=a b 解析2
（1）根据题设2
2
1n
n n n n b a b a a ++
=
+和n n n a b b +=+11
，求出11n n b
a ++=2
2
111n n n n b b a a ++⎛⎫⎛
⎫
-= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
而得证。

（2）根据基本不等式得到11n <a +=
{}
n
a 的公比=1q 。

从而得到()
1*n a a n N =∈的结论，再由11
n n
n n b b b a +=
知{}n b 是公比是
1
a 的等比数列。

最后用反证法求出12=a
b 解法赏析
主要考查等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法，从题设出发，容易找到解题的思路与方法。