用基本不等式解决应用题
基本不等式在实际中的应用
基本不等式在实际中的应用1．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 （ ）A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元2．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （a ＜b ），其全程的平均时速为v ，则 （ ）A ．a v <<B ．vC 2a b v +<D ．2a b v +=3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 （ ）A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件4．如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象有限一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．5．某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式C ＝3+x ，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 满足函数关系式35(06)814(6)k x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩，．已知每日的利润L ＝S -C ，且当x ＝2时，L ＝3．（1）求k 的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大？并求出最大值．6.某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（m ≥0）满足31k x m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，该产品的年销售量只能是1万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为年平均每件产品成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．（1）将该产品的年利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家的年促销费用投入为多少万元时，厂家的年利润最大？最大年利润是多少万元？7.已知直角三角形的周长l （定值）．问：直角三角形满足什么条件时，可使其面积最大？参考答案:1.答案：C 设底面矩形的长和宽分别为a m 、b m ，则ab ＝4．容器的总造价为202()108020()80160()ab a b a b ++⨯=++≥+=元（当且仅当a ＝b 时等号成立）．故选C ．2. 答案：A 设甲、乙两地的距离为s ，则2211sv s s a b a b ==++．由于a ＜b，∴11a b +>v ＞a ，又11a b +>v ．故a v <<，选A ．3.答案：B 每批生产x 件，则平均每件产品的生产准备费用是800x 元，每件产品的仓储费用是8x元，则800208x x +≥=，当且仅当8008x x =，即x ＝80时“＝”成立， ∴每批应生产产品80件，故选B ．4.解析 （1）令y ＝0，得221(1)020kx k x -+=，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0， 故220202010112k x k k k==≤=++，当仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米．（2）因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使2213.2(1)20ka k a =-+成立 ⇔关于k 的方程a 2k 2-20ak +a 2+64＝0有正根⇔判别式Δ＝（-20a ）2-4a 2（a 2+64）≥0⇔a ≤6．所以a 不超过6（千米）时，可击中目标．5.解析 由题意得，每日的利润L 与日产量x 的函数关系式为22(06)811(6).k x x L x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩， （1）当x ＝2时，L ＝3，即322228k =⨯++-，得k ＝18． （2）当x ≥6时，L ＝11-x 为单调递减函数，故当x ＝6时，L max ＝5． 当0＜x ＜6时，1818222(8)18688L x x x x =++=-++≤--， 当且仅当182(8)(06)8x x x -=<<-，即x ＝5时等号成立，即L max ＝6． 综上，当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大，最大值为6万元．6. 解析 （1）依题意得m ＝0时，x ＝1，代入31k x m =-+，得k ＝2，即231x m =-+． 年成本为28168163()1x m ⎛⎫+=+- ⎪+⎝⎭万元， 所以2(1.51)81631y m m ⎡⎤⎛⎫=-+-- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦ 1628(0)1m m m =--≥+． （2）由（1）得1629(1)29211y m m ⎡⎤=-++≤-⎢⎥+⎣⎦． 当且仅当1611m m +=+，即m ＝3时，厂家的年利润最大，为21万元．7.解析:设直角三角形的三边分别为,,a b c ，其中c 为斜边，则法1：222a b c +=，a b c l ++=， 面积为()()()()222222*********ab a b a b l c c l cl ⎡⎤⎡⎤=+-+=--=-⎣⎦⎣⎦ 而22222a b a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭≥，∴2222c l c -⎛⎫ ⎪⎝⎭≥，()222c l l +≥，于是)1c l ≥．因此面积的最大值为)222132144l l -⎡⎤-=⎣⎦，当且仅当a b =，也即直角三角形为等腰直角三角形时，取得最大值．法2：∵a b +∴a b l ++(22l =，即2ab ．。
如何利用基本不等式解决日常生活中的问题
如何利用基本不等式解决日常生活中的问题在我们的日常生活中，数学知识看似抽象遥远，但实际上却无处不在，尤其是基本不等式，它能帮助我们解决许多实际问题，让我们做出更明智的决策。
基本不等式，通常表述为对于任意两个正实数 a 和 b，有算术平均数大于等于几何平均数，即（a ＋ b) ／2 ≥ √（ab) 。
这个看似简单的公式，却蕴含着丰富的应用价值。
先来说说购物中的应用。
假设我们在商场看到同一款式的 T 恤有两种包装，一种是单件装，售价为x 元；另一种是三件装，售价为y 元。
如果我们打算购买 n 件 T 恤，怎样购买更划算呢？这时候基本不等式就能派上用场。
假设单件购买 m 件，三件装购买 k 套（k 为整数），使得 m ＋ 3k＝ n 。
那么总花费 C ＝ mx ＋ ky 。
我们希望总花费最小，考虑到均值不等式，C ／ n ＝（mx ＋ ky)／ n ＝（m ／ n)x ＋（k ／ n)y 。
为了使 C ／ n 最小，我们需要找到合适的 m 和 k 。
通过分析和计算，可以发现当（m ／ n) ＝（k ／ 3n) 时，C ／ n 可能取得最小值。
再比如，在安排工作任务时，基本不等式也能发挥作用。
假设一项工作总量为 A ，有甲、乙两人合作完成。
甲单独完成这项工作需要 a 小时，乙单独完成需要 b 小时。
那么两人合作完成这项工作所需的时间 t ＝ A ／（A ／ a ＋ A ／b) ，化简可得 t ＝ ab ／（a ＋ b) 。
根据基本不等式，t ＝ ab ／（a ＋b) ≤ （a ＋ b) ／ 4 。
这意味着，在分配工作任务时，要考虑到两人的工作效率，合理安排，以达到最快完成工作的目的。
在投资理财方面，基本不等式同样能提供一些思路。
假设我们有一笔资金 P ，可以选择两种投资方式，一种年利率为 r₁，另一种年利率为 r₂。
为了在一定时间内获得最大的收益，我们需要合理分配资金。
设投入第一种投资方式的资金为 x ，投入第二种的为 P x 。
3.4.4基本不等式解决应用题
即 220000SS＋＋2102200S09＋00S2490P000S，3420000S0(，，S )2＋6 S－160 0，解得
即即2即(02002SS00＋S0)2＋S＋ 1＋2160210020S0－0SS1S6P0PP03，23023解002000得，00，00，
S 100， S 10，
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理 成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果 不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
解：(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为
xy＝12x＋80x000－200≥2 12x·80x000－200＝200， 当且仅当12x＝80x000，即 x＝400 时， 才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200 元.
2.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3, 深解为：3设m底，面如的果长池为底x每m1，m宽2的为造ym价，为水15池0元的，总池造壁价每为1zm元2，的
造根价据为题意12，0元得，问怎样48设00计水池能使总造价最低，最低总 造价是多少z元？150 3 120(2 3x 2 3 y)
3.某机构准备建造一批简易房(每套长方体状，房高2.5 米)，前后墙用彩色钢板，两侧用复合钢板，两种钢板的 价格都用长度来计算彩色钢板每米450元，复合钢板每米 200元．房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200 元．每套房材料费控制在32000元以内，试计算： (1)设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，所用材料费为 P，试用x，y表示P； (2)求简易房面积S的最大值是多少？并求S最大时，前面 墙的长度应设计为多少米？
数列，因此使用x年的总维修费用为 x0.2 0.2x 万元， 2
基本不等式实际应用题
得最小值为（ ） B
（2009年天津理6）
A. 8
B. 4 C. 1
D.
11 ab
1 4
2.（2010四川文）设ab0， 则a2 1 1 的最小值是( D )
ab a(ab) A1 B 2 C3 D 4
3.（2009山东理12T)设 x满,足y约束条件
3x y 6 0,
x
y若 目2 标 函0 ,数
2(x+y)=20
即 x+y=10
∴ xy ( x y )2 =25
当且仅当x=y=5时取等号
2
∴ 当这个矩形的长、宽都是5m的时候面积最大，
为25
m2
y x
（5）一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的 矩形菜园，墙长18m，问这个矩形的长、宽各 为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？
解： 设菜园的长和宽分别为xm，ym
5000 + 16× 2
x·3025 = 6760 x
只 有 x = 3025 即 x = 55取 " = "
x
4 8 4 0 = 8 8 ,a = 5 5 < 1
x
88
例2：某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一 年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量递增。问这种生产设备最多使用多少年报废最合 算(即使用多少年的平均费用最少？)
a2
16 b(a
b)
a2
64 a2
2
a
2
64 a2
16,
a 2 2,b 2
1. 两个不等式 （1）
a,bR,那么 a2b2 2ab （2） (当且 当且仅仅 当aa=b当 时，b等时 号成立取 ""号)
利用基本不等式求解实际问题
利用基本不等式求解实际问题
例1. 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的
休闲区A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．
(1)若设休闲区的长A1B1=x米，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；
(2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
例2.某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、汽油费等约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元.问：这种汽车使用多少年时，它的
年平均费用最少？
例3. 某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x 台(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费
共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．
(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x)；
(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
例4. 在一定面积的水域中养殖某种鱼类，每个网箱的产量P是网箱个数x的一次函数，如果放置4个网箱，则每个网箱的产量为24吨；如果放置7个网箱，则每个网箱的产量为18吨，由于该水域面积限制，最多只能放置12个网箱．已知养殖总成本为
50+2x万元．
(1)试问放置多少个网箱时，总产量Q最高？
(2)若鱼的市场价为1万元/吨，应放置多少个网箱才能使每个网箱的平均收益最大？。
(完整版)基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含标准答案)
基本不等式及其应用1．基本不等式若a>0,，b>0，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当时取“＝”．这一定理叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数．注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：(1)各项或各因式均正；（一正）(2)和或积为定值；（二定）(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等）2．常用不等式(1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )．2a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和2b a +≥ab 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2b a +）2. (3)ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a ，b ∈R )． (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为0)． (5)22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤a 2＋b 22(a ，b ∈R ). （6）ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+()0,>b a (7)abc ≤。
(),,0a b c >(8)≥；(),,0a b c>3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a＋b≥，a2＋b2≥.(2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()A.6B.42C.22D.26解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，当且仅当a＝b＝32时取等号，故选B.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()A.12B.1 C.2 D.4解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤12.当且仅当a＝1，b＝12时等号成立.故选A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则()A.a＜v＜abB.v＝abC.ab＜v＜a＋b2 D.v＝a＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a＜b，∴v＝2ssa＋sb＝2aba＋b＜2ab2ab＝ab.又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0，∴v ＞a.故选A. (2014·上海)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________.解：由xy ＝1得x 2＋2y 2＝x 2＋2x 2≥22，当且仅当x ＝±42时等号成立.故填22.点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是________.解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，所以mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14， 当且仅当m ＝n ＝12时取等号，∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 214＝－2，故填－2.类型一 利用基本不等式求最值(1)求函数y ＝(x ＞－1)的值域.解：∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，令m ＝x ＋1，则m ＞0，且y ＝＝m ＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当m ＝2时取等号，故y min ＝9.又当m →＋∞或m →0时，y →＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).(2)下列不等式一定成立的是( )A.lg>lg x (x >0)B.sin x ＋≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2||x (x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解：A 中，x 2＋14≥x (x ＞0)，当x ＝12时，x 2＋14＝x.B 中，sin x ＋1sin x ≥2(sin x ∈(0，1])；sin x＋1sin x≤－2(sin x∈[－1，0)).C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R).D中，1x2＋1∈(0，1](x∈R).故C一定成立，故选C.点拨：这里(1)是形如f(x)＝ax2＋bx＋cx＋d的最值问题，只要分母x＋d＞0，都可以将f(x)转化为f(x)＝a(x＋d)＋ex＋d＋h(这里ae＞0；若ae＜0，可以直接利用单调性等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.(1)已知t＞0，则函数f(t)＝t2－4t＋1t的最小值为.解：∵t＞0，∴f(t)＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥－2，当且仅当t＝1时，f(t)min＝－2，故填－2.(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(Ⅰ)xy的最小值；(Ⅱ)x＋y的最小值.解：(Ⅰ)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x＞0，y＞0，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立.(Ⅱ)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，∵x＞0，∴y＞2，则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立.解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立.类型二利用基本不等式求有关参数范围若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有()A.2∈M，0∈MB.2∉M，0∉MC.2∈M，0∉MD.2∉M，0∈M解法一：求出不等式的解集：(1＋k2)x≤k4＋4⇒x≤＝(k2＋1)＋－2⇒x≤＝2－2(当且仅当k2＝－1时取等号).解法二(代入法)：将x＝2，x＝0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为R.故选A.点拨：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；(3)a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min；(4)a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max.已知函数f(x)＝e x＋e－x，其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围.解：由条件知m(e x＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立.令t＝e x(x＞0)，则t＞1，且m≤－t－1t2－t＋1＝－1t－1＋1t－1＋1对任意t＞1成立.∵t－1＋1t－1＋1≥2（t－1）·1t－1＋1＝3，∴－1t －1＋1t －1＋1≥－13，当且仅当t ＝2，即x ＝ln2时等号成立.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13. 类型三 利用基本不等式解决实际问题围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：元)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元).(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝360x ，所以y ＝225x ＋3602x －360(x ≥2).(2)∵x ≥0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10800，∴y ＝225x ＋3602x －360≥10440，当且仅当225x ＝3602x ，即x ＝24时等号成立.答：当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m 的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为am，高度为b m，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计).解法一：设y为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y＝kab，其中k是比例系数且k＞0.依题意要使y最小，只需ab最大.由题设得：4b＋2ab＋2a≤60(a＞0，b＞0)，即a＋2b≤30－ab(a＞0，b＞0).∵a＋2b≥22ab，∴22·ab＋ab≤30，得0＜ab≤32.当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab最大值为18，此时得a＝6，b＝3.故当a＝6 m，b＝3 m时经沉淀后排出的水中杂质最少.解法二：同解法一得b≤30－aa＋2，代入y＝kab求解.1.若a＞1，则a＋的最小值是()A.2B.aC.3D.解：∵a＞1，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝2＋1＝3，当a＝2时等号成立.故选C.2.设a，b∈R，a≠b，且a＋b＝2，则下列各式正确的是()A.ab＜1＜a2＋b22 B.ab＜1≤a2＋b22 C.1＜ab＜a2＋b22 D.ab≤a2＋b22≤1解：运用不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22⇒ab ≤1以及(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)⇒2≤a 2＋b 2(由于a ≠b ，所以不能取等号)得，ab ＜1＜a 2＋b 22，故选A.3.函数f (x )＝在(－∞，2)上的最小值是( )A.0B.1C.2D.3解：当x ＜2时，2－x ＞0，因此f (x )＝＝＋(2－x )≥2·＝2，当且仅当＝2－x 时上式取等号.而此方程有解x ＝1∈(－∞，2)，因此f (x )在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.4.()要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方M20元，侧面造价是每平方M10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元解：假设底面的长、宽分别为x m ， m ，由条件知该容器的最低总造价为y ＝80＋20x ＋≥160，当且仅当底面边长x ＝2时，总造价最低，且为160元.故选C.5.下列不等式中正确的是( )A.若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2B.若x ，y 都是正数，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg yC.若x <0，则x ＋4x ≥－2x ·4x ＝－4D.若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2解：对于A ，a 与b 可能异号，A 错；对于B ，lg x 与lg y 可能是负数，B 错；对于C ，应是x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋4－x ≤－2（－x ）·4－x＝－4，C 错；对于D ，若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2成立(x ＝0时取等号).故选D.6.()若log 4(3a ＋4b )＝log 2，则a ＋b 的最小值是( )A.6＋2B.7＋2C.6＋4D.7＋4解：因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且即a＞0，b＞0，所以＋＝1(a＞0，b＞0)，a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号.故选D.7.若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是.解：因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，所以有＝≤＝，即的最大值为，故填a≥.8.()设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m ＋3＝0交于点P(x，y)，则|P A|·|PB|的最大值是________.解：易知定点A(0，0)，B(1，3).且无论m取何值，两直线垂直.所以无论P与A，B重合与否，均有|P A|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上).所以|P A|·|PB|≤12(|P A|2＋|PB|2)＝5.当且仅当|P A|＝|PB|＝5时，等号成立.故填5.9.(1)已知0＜x＜，求x(4－3x)的最大值；(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值.解：(1)已知0＜x＜，∴0＜3x＜4.∴x(4－3x)＝(3x)(4－3x)≤＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时“＝”成立.∴当x＝时，x(4－3x)取最大值为.(2)已知点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，所以x＋2y＝3.∴2x＋4y≥2＝2＝2＝4.当且仅当即x＝，y＝时“＝”成立.∴当x＝，y＝时，2x＋4y取最小值为4.10.已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2－4a2－b2的最大值.解：∵a＞0，b＞0，2a＋b＝1，∴4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab.且1＝2a＋b≥2，即≤，ab≤，∴S＝2－4a2－b2＝2－(1－4ab)＝2＋4ab－1≤.当且仅当a＝，b＝时，等号成立.11.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.解法一：由于2x＋3y≥2＝2，∴2≤18，得xy≤，即S≤.当且仅当2x＝3y时等号成立.由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大.解法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.∵x＞0，∴0＜y＜6.S＝xy＝y＝(6－y)y.∵0＜y＜6，∴6－y＞0.∴S≤＝.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大. (2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.解法一：∵2x＋3y≥2＝2＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立.由解得故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.解法二：由xy＝24，得x＝.∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48，当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.11/ 11。
基本不等式应用题的四大类型
基本不等式应用题的四大类型
基本不等式应用题的四大类型如下：
1. 求最值：这种题型的特点是两个式子中x的次数互为相反数，相乘后可以抵消掉。
如果是以多项式为整体应用基本不等式，为了让多项式产生联系，通常采用对多项式加减常数来解决。
2. 分式结构的基本不等式：这种题型有一次比二次型、二次比一次型、二次比二次型。
对于一次比二次型和二次比一次型，通常令一次结构部分为t，将y化成关于t的函数，然后分子分母同除以t。
对于二次比二次型，通常先分离常数，然后再采用上述方法。
3. 带限制条件的基本不等式问题：这类问题通常需要结合其他数学知识，如代数、方程、函数等，通过设立代数式、方程或不等式来解决。
4. 直接应用基本不等式：题目中已有基本不等式的结构，且满足“一正、二定、三相等”，只需直接运用即可。
如需更多信息，建议请教数学老师或者查看数学教材。
基本不等式应用题型
基本不等式应用题型1. 一个长方形的长是x+3，宽是x-2，求长方形的周长和面积。
解答：周长=2(x+3+x-2)=2(2x+1)=4x+2，面积=(x+3)(x-2)=x^2+x-6。
2. 一个三角形的两边长分别是x和x+2，第三边长是2x-1，求三角形的周长。
解答：周长=x+(x+2)+(2x-1)=4x+1。
3. 一个矩形的长是x+4，宽是x-1，求矩形的周长和面积。
解答：周长=2(x+4+x-1)=2(2x+3)=4x+6，面积=(x+4)(x-1)=x^2+3x-4。
4. 一个正方形的边长是2x-1，求正方形的周长和面积。
解答：周长=4(2x-1)=8x-4，面积=(2x-1)^2=4x^2-4x+1。
5. 一个圆的半径是x+2，求圆的周长和面积。
解答：周长=2π(x+2)=2πx+4π，面积=π(x+2)^2=π(x^2+4x+4)。
6. 一个等腰三角形的底边长是2x-1，两腿长分别是x和x+3，求三角形的周长。
解答：周长=(2x-1)+x+(x+3)=4x+2。
7. 一个梯形的上底长是x+2，下底长是2x-1，高是x，求梯形的面积。
解答：面积=((x+2)+(2x-1))×x/2=(3x+1)×x/2=3x^2+x/2。
8. 一个圆的直径是2x+1，求圆的周长和面积。
解答：周长=π(2x+1)=2πx+π，面积=π[(2x+1)/2]^2=π(x+1/2)^2。
9. 一个等边三角形的边长是2x-1，求三角形的周长和面积。
解答：周长=3(2x-1)=6x-3，面积=(2x-1)^2=4x^2-4x+1。
10. 一个平行四边形的边长分别是x和x+3，高是x-1，求平行四边形的周长和面积。
解答：周长=2(x+x+3)=4x+6，面积=(x+3)(x-1)=x^2+2x-3。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
N
T
M
H
G
F
E
D
C
B
A
用根本不等式解决运用题
例1.某工场运用辐射对食物进行灭菌消毒,现预备在该厂邻近建一职工宿舍,并对宿舍进行防辐射处理,建房防辐射材料的选用与宿舍到工场距离有关．若建造宿舍的所有费用p （万元）和宿舍与工场的距离()x km 的关系为：(08)35
k
p x x =
≤≤+,若距离为1km 时,测算宿舍建造费用为100万元．为了交通便利,工场与宿舍之间还要修一条道路,已知购买修路装备需5万元,铺设路面每公里成本为6万元,设()f x 为建造宿舍与修路费用之和．
（1）求()f x 的表达式;
（2）宿舍应建在离工场多远处,可使总费用()f x 最小,并求最小值．
变式：某黉舍为了支撑生物课程基地研讨植物发展,筹划运用黉舍旷地建造一间室内面积为900m2的矩形温室,在温室内划出三块全等的矩形区域,分别栽种三栽种物,相邻矩形区域之间距离1m,三块矩形区域的前.后与内墙各保存 1m 宽的通道,左.右两块矩形区域分别与相邻的阁下内墙保存 3m 宽的通道,如图．设矩形温室的室内长为x （m ）,三块栽种植物的矩形区域的总面积为S （m2）． （1）求S 关于x 的函数关系式; （2）求S 的最大值．
17．解：（1）由题设,
得
()9007200822916S x x x x ⎛⎫=--=--+ ⎪⎝⎭
,()8,450x ∈． ………………………6分
（2）因为8450x <<,所以272007200
22240x x x x
+
⨯=≥, ……………………8分 当且仅当60x =时等号成立． ………………………10分 从而676S ≤． ………………………12分 答：当矩形温室的室内长为60m 时,三块栽种植物的矩形区域的总面积最大,最大为
676m2． ………………………14分
例2．某小区想运用一矩形旷地ABCD 建市平易近健身广场,设计
时决议保存旷地边上的一水塘（如图中暗影部分）,水塘可近似看作一个
等腰直
角三角形,个中60AD m =,40AB m =,且EFG ∆中,90EGF ∠=,经测量得到10,20AE m EF m ==．为包管安然同时斟酌美不雅,健身广场四周预备加设一个呵护栏．设计时经由点G 作一向线交,AB DF 于N M ,,从而得到五边形MBCDN 的市平易近健身广场,设()DN x m =． （1）将五边形MBCDN 的面积y 暗示为x 的函数;
（2）当x 为何值时,市平易近健身广场的面积最大？并求出最大面积．
变式. 某单位拟建一个扇环面外形的花坛(如图所示),该扇环面是由以点O 为圆心的两个齐心圆弧和延伸后
经由过程点O 的两条直线段围成．按设计请求扇环面的周长为30米,个中大圆弧地点圆的半径为10米．设小圆弧地点圆的半径为x 米,圆心角为θ(弧度)．
(1)求θ关于x 的函数关系式;
(2)已知在花坛的边沿(实线部分)进行装潢时,直线部分的装潢费用为4元/米,弧线部分的装潢费用为9元/
米．设花坛的面积与装潢总费用的比为y,求y 关于x 的函数关系式,并求出x 为何值时,y 取得最大值？ 18.（本题满分16分）
如图所示,把一些长度均为4米（PA ＋PB ＝4米）的铁管折弯后当作骨架制造“人字形”帐蓬,依据人们的
生涯体验知道：人在帐蓬里“舒适感”k 与三角形的底边长和底边上的高度有关,设AB 为x,AB 边上的高PH 为y,则
,若k 越大,则“舒适感”越好.
（I ）求“舒适感”k 的取值规模;
（II ）已知M 是线段AB 的中点,H 在线段AB 上,设MH ＝t,当人在帐蓬里的“舒适感”k 达到最大值时,求y 关于自变量t 的函数解析式;并求出y 的最大值（请解释具体来由）.
x
1
1
3
3
1
1
17.（本小题满分14分）
某公司临盆的某批产品的发卖量P万件（临盆量与发卖量相等）与促销费用x万元知足
2
4
x
P （个中
0,
x a a为正常数）.已知临盆该批产品还要投入成本
1
6()
P
P
万元（不包含促销费用）,产品的发卖
价钱定为
20
(4)
P
元/件.
(1)将该产品的利润y万元暗示为促销费用x
万元的函数;
(2)当促销费用投入若干万元时,该公司的利润最大？
17.如图,某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开拓为生果园栽种桃树,已知角A为120,,
AB AC
的长度
均大于200米,如今鸿沟AP,AQ处建围墙,在PQ处围篱笆笆.
（1）若围墙AP,AQ总长度为200米,若何围可使得三角形地块APQ的面积最大？
（2）已知AP段围墙高1米,AQ段围墙高,造价均为每平方米100元.若围围墙用了20000元,问若何围可使篱笆笆用料最省？
18．（16分）某油库的设计容量是30万吨,岁首?年月储量为10万吨,从岁首?年月起筹划每月购进石油m万吨,以知足区域内和区域外的需求,若区域内每月用石油1万吨,区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关
系为y=（p＞0,1≤x≤16,x∈N*）,并且前4个月,区域外的需求量为20万吨．
（1）试写出第x个月石油调出后,油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式;
（2）要使16个月内每月按筹划购进石油之后,油库总能知足区域内和区域外的需求,且每月石油调出后,油库的石油残剩量不超出油库的容量,试肯定m的取值规模．
【考点】依据现实问题选择函数类型．
【专题】运用题;函数的性质及运用．
【剖析】（1）运用前4个月,区域外的需求量为20万吨,求出p,可得y=10（1≤x≤16,x∈N*）,即可求出第x 个月石油调出后,油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式;
（2）由题意0≤mx﹣x﹣10+10≤30（1≤x≤16,x∈N*）,分别参数求最值,即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意,20=,∴2p=100,
∴y=10（1≤x≤16,x∈N*）, ∴油库内储油量M=mx﹣x﹣10+10（1≤x≤16,x∈N*）;
（2）∴0≤M≤30,
∴0≤mx﹣x﹣10+10≤30（1≤x≤16,x∈N*）,
∴（1≤x≤16,x∈N*）恒成立．;
设=t,则≤t≤1,．
由≤（x=4时取等号）,可得m ≥,
由20t2+10t+1=≥（x﹣16时取等号）,可得m ≤,
∴≤m ≤．
17．某单位有员工1000名,平均每人每年创造利润10万元．为了增长企业竞争力,决议优化财产构造,调剂出x （x∈N*）名员工从事第三财产,调剂后他们平均每人每年创造利润为万元（a＞0）,剩下的员
工平均每人每年创造的利润可以进步0.2x%．
（1）若要包管残剩员工创造的年总利润不低于本来1000名员工创造的年总利润,则最多调剂出若干名员工从事第三财产？
（2）在（1）的前提下,若调剂出的员工创造的年总利润始终不高于残剩员工创造的年总利润,则a的取值规模是若干？
考点：根本不等式在最值问题中的运用;函数模子的选择与运用．
专题：盘算题;运用题．
剖析：（1）依据题意可列出10（1000﹣x）（1+0.2x%）≥10×1000,进而解不等式求得x的规模,肯定问题的答案．
（2）依据题意分别暗示出从事第三财产的员工创造的年总利润和从事本来财产的员工的年总利润,进而依据题意树立不等式,依据均值不等式求得求a的规模．
解答：解：（1）由题意得：10（1000﹣x）（1+0.2x%）≥10×1000,
即x2﹣500x≤0,又x＞0,所以0＜x≤500．
即最多调剂500名员工从事第三财产．
（2）从事第三财产的员工创造的年总利润为万元,
从事本来财产的员工的年总利润为万元,
则（1+0.2x%）
所以,
A
P
Q
B
C
所以ax≤,
即a≤恒成立,
因为,
当且仅当,即x=500时等号成立．
所以a≤5,又a＞0,所以0＜a≤5,
即a的取值规模为（0,5]．。