人教版八年级数学下第17章勾股定理专项训练含答案.doc
人教版八年级下册数学17章《勾股定理》解答题专项训练(带答案)
人教版八年级下册数学17章勾股定理解答题专题训练1．如图，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，求∠ABD的度数．2．如图，在∠ABC中，AB=8，AC=6，BC=10，AD∠BC，垂足为D．求AD的长．3．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2.8米处吹断裂，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部9.6米处，那么这根旗杆被吹断裂前有多高？（旗杆粗细、断裂磨损忽略不计）4．如图所示，在∠ABC中，AB∠BC∠CA＝3∠4∠5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边AB向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B沿边BC向点C以每秒2cm的速度移动．如果点P、Q同时出发，设运动时间为t秒．(1)经过3秒时，∠BPQ的面积为多少？(2)当t为何值时，BP＝1BQ？2(3)当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？5．如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得3AB =，4BC =，12CD =，13AD =，90ABC ∠=︒．求阴影部分的面积．6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．(1)画出ABC 关于直线MN 对称的A 1B 1C 1；(2)求AB 1C 的面积；(3)试判断ABC 的形状并说明理由．7．如图，在∠ABC 和∠CDE 中，∠ABC ＝∠CDE ＝90°，且AC ∠CE ，AC ＝CE ．(1)求证：ABC CDE △≌△(2)若AC ＝13，DE ＝5，求DB 的长．8．如图，在∠ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＞AC ，CD ∠AB 于点D ，点E 是AB 的中点，连接CE ．(1)若AC ＝3，BC ＝4，求CD 的长；(2)求证：BC 2﹣AC 2＝2DE •AB ；(3)求证：CE ＝12AB ．9．如图，ABC 中，3AB AC ==，4BC =．(1)求高AD 的长；(2)求ABC 的面积．10．《九章算术》“勾股”章中有一道题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何？”大意是：已知甲、乙二人从同一地点出发，甲的速度与乙的速度之比为7：3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇．这时甲、乙各走了多远？11．如图，△ABC中，△ABC=45°，△BAC=60°，D为BC上一点，△ADC=60°，AE∠BC于点E，CF∠AD于点F，AE、CF相交于点G．(1)求△DAC的度数；(2)求证：DF=FG；(3)若DC=2，求线段EG的长．12．如图，点C在线段BD上，AC∠BD，CA＝CD，点E在线段CA上，且满足DE＝AB，连接DE并延长交AB于点F．(1)求证：DE∠AB；(2)若已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，请借助本题提供的图形，用面积法证明勾股定理．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CA的延长线上一点，连接BD．(1)若AC＝8，AD＝17，BD＝15，判断AB与BD的位置关系，并说明理由；(2)若∠D＝28°，∠DBC＝121°，求∠DAB的度数．14．如图，在ABC ∆中，6BC =，8AC =，DE AB ⊥，7DE =，ABE ∆的面积为35．(1)求AB 的长；(2)求ACB ∆的面积．15．如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()1,4和()3,0，点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上．(1)求出AB 的长．(2)求出ABC 的周长的最小值？16．如图，CD 是∠ABC 的角平分线，DE ，DF 分别是∠ACD 和∠BCD 的高．(1)求证CD ∠EF ；(2)若AC ＝6，BC ＝4，S △ABC ＝10，∠ACB ＝60°，求CG 的长．17．如图，在∠ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=4，BC=12，AD=3，若点P在BC上运动．(1)求线段DP的最小值；(2)当DP最小时，求CDP的面积．18．如图，∠ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2－DA2＝AC2．(1)求证：∠A＝90°；(2)若BC2＝56，AD∠BD＝3∠4，求AC的长．于D．19．已知∠ABC中，AB＝AC，CD AB(1)若∠A＝42°，求∠DCB的度数；(2)若BD＝1，CD＝3，M为AC的中点，求DM的长．参考答案：1．解：在直角∠BCD 中，∠C ＝90°，BC ＝3，CD ＝4，∠BD ＝5，在∠ABD 中，AD 2＝132=169，AB 2+BD 2＝122+52=144+25=169，∠AD 2＝AB 2+BD 2，∠∠ABD 是直角三角形，∠∠ABD ＝90°．2．解：在ABC ∆中，8AB =，6AC =，10BC =，2222228610010AB AC BC ∴+=+===，90CAB ∴∠=︒，AD BC ⊥，1122ABC S AC AB BC AD ∆∴==， 4.8AC AB AD BC ∴==． 3．如图，由题意可知ABC 为直角三角形，且90ACB ∠=︒，∠10AB =米，∠10 2.812.8AB BC +=+=米．故这根旗杆被吹断裂前有12.8米高．4(1)设AB 、BC 、CA 分别为3x 、4x 、5x ， 由题意得：3x ＋4x ＋5x ＝36，解得：x ＝3，则AB ＝3x ＝9，BC ＝4x ＝12，AC ＝5x ＝15，∠AB 2＋BC 2＝92＋122＝225，AC 2＝152＝225，∠AB 2＋BC 2＝AC 2，∠∠B ＝90°，当t ＝3时，AP ＝3cm ，BQ ＝6cm ，则BP ＝9﹣3＝6cm ，∠S △BPQ ＝12×6×6＝18（cm 2）；(2)由题意得：AP ＝t ，BQ ＝2t ，则BP ＝6﹣t ，当BP ＝12BQ 时，6﹣t ＝12×2t ，解得：t ＝3；(3)当点B 在PQ 的垂直平分线上时，BP ＝BQ ，即6﹣t ＝2t ，解得：t ＝2．5．解：如图，连结AC ．∠90B ∠=︒，3AB =，4BC =，5AC ∴=． 12CD =，13AD =，5AC =，222AC CD AD ∴+=，ACD ∴∆是直角三角形且∠ACD =90°，11512343062422ACD ABC S S S ∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=-=阴影．6．解：∠A1B1C1如图所示；，(2)解：∠AB1C的面积=4×4-12×1×4-12×2×3-12×2×4=16-2-3-4=16-9=7；，(3)解：由勾股定理得，ABBC，AC，∠AB2+AC2=2+）2=25=52，∠AB2+AC2=BC2，∠∠ABC是直角三角形．7．(1)证明：∠AC∠CE，∠ABC=∠CDE=90°，∠∠BCA+∠DCE=90°，∠A+∠BCA=90°∠∠DCE=∠A．∠在∠ABC 和∠CDE 中，90ABC D A DCE AC CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABC ∠∠CDE (AAS)．(2)∠∠ABC ∠∠CDE ，DE ＝5，AC ＝13∠BC ＝DE ＝5，CE ＝13∠在Rt CDE △中，12CD ==∠1257DB CD BC =-=-=．8．解：在∠ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，由勾股定理得：AB5，∠∠ACB ＝90°，CD ∠AB ，∠S △ABC ＝12AC •BC ＝12AB •DE ，即12×3×4＝12×5×CD ，解得：CD ＝125； (2)证明：∠点E 是AB 的中点，∠AE ＝BE ，∠BD ﹣AD ＝（BE +DE ）﹣（AE ﹣DE ）＝BE ﹣AE +2DE ＝2DE ，∠CD ∠AB ，∠BC 2＝BD 2+CD 2，AC 2＝AD 2+CD 2，∠BC 2﹣AC 2＝（BD 2+CD 2）﹣（AD 2+CD 2）＝BD 2﹣AD 2＝（BD +AD ）（BD ﹣AD ）＝AB •2DE ＝2DE •AB ；(3)证明：延长CE 至点F ，使EF ＝CE ，连结AF ，在∠AEF 和∠BEC 中，AE BE AEF BEC EF EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠AEF ∠∠BEC （SAS ），∠∠B ＝∠EAF ，AF ＝BC ，∠∠ACB ＝90°，∠∠B +∠CAB ＝∠EAF +∠CAB ＝90°，∠∠CAF ＝∠ACB ＝90°，∠AC ＝CA ，∠∠ACF ∠∠CAB （SAS ），∠CF ＝AB ，∠CF ＝2CE ，∠CE ＝12AB ．9．解：∠ ABC 中，3AB AC ==，4BC =，AD 是ABC 的高， ∠2BD DC ==，AD BC ⊥，∠AD ==(2)解：∠4BC =，AD =∠114522S ABC BC AD ==⨯⨯= 10．解：如图设经x 秒二人在B 处相遇，这时乙共行AB =3x ， 甲共行AC +BC =7x ，∠AC =10，∠BC =7x -10，又∠∠A =90°，∠BC 2=AC 2+AB 2，∠（7x -10）2=102+（3x ）2，解得：x 1=0（舍去），x 2=3.5，∠AB =3x =10.5，AC +BC =7x =24.5．答：甲行24.5步，乙行10.5步．11．(1)∠60ADC ∠=︒，∠604515DAB ADC B ∠=∠-∠=︒=-︒︒， ∠601545DAC BAC DAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒．(2)∠45DAC ∠=︒，且CF AD ⊥，∠90AFC CFD ∠=∠=︒，45ACF DAC ∠=∠=︒， ∠AF CF =．又∠90FAG AGF ∠+∠=︒，90DAE ADE ∠+∠=︒ ∠ADC AGF ∠=∠，∠()AFG CFD AAS ≌△△，∠DF FG =；(3)在Rt CFD △中，90CFD ∠=︒，60CDF ∠=︒， ∠112DF CD ==， ∠1FG DF ==．在Rt CFD △中，CF∠1CG CF FG =-=．在Rt CGE △中，90GEC ∠=︒，9030GCE ADC ∠=︒-∠=︒，∠12EG CG == 12．证明：∠AC ∠BD ，∠∠ABC 和∠DCE 都是直角三角形， ∠CA ＝CD ，DE ＝AB ，∠()Rt ABC Rt DCE HL ≅ ，∠∠BAC =∠CDE ，∠∠BAC +∠ABC =90°，∠∠CDE +∠ABC =90°，∠∠BFD =90°，∠DE ∠AB ；(2)解：∠Rt ABC Rt DCE ≅，∠DE =AB =c ，CE =BC =a ，设EF =x ，则DF =c +x ，∠DE ∠AB ， ∠()1122ABD SAB DF c c x =⋅=+ ，1122ABE S AB EF cx =⋅=， ∠ABD ACD BCE ABE S S S S =++， ∠()2211112222c c x cx a b +=++ ， ∠222+=a b c ．13．解：∠AB ＝AC ，AC =8，∠AB =8，∠AD =17，BD =15，∠22281517+=，即222AB BD AD +=， ∠∠ABD =90°，即AB ∠BD ；(2)∠∠D =28°，∠DBC =121°，∠∠C =180°-28°-121°=31°，∠AB =AC ，∠∠ABC =∠C =31°，∠∠DAB =∠C +∠ABC =62°．14(1) 解：由题意知17352ABE SAB =⨯= 解得10AB =∠AB 的长为10．(2)解：在ABC 中，2210100AB ==，222268100AC BC +=+= ∠222AB AC BC =+∠90C ∠=︒ ∠11682422ABC S AC BC ∆=⨯=⨯⨯=∠ABC 的面积为24．15作AD OB ⊥于D ，如图1所示：则90,1,4,3ADB OD AD OB ∠====︒， ∠312BD =-=，∠AB =(2)解：要使ABC 的周长最小，AB 一定，则AC BC +最小， 作A 关于y 轴的对称点A '，连接BA '交y 轴于点C ，点C 即为使AC BC +最小的点，作A E x '⊥轴于E ，由对称的性质得：AC A C '=，,4,1AC BC A B A E OE ''+===，OB =3， ∠=4BE OE OB +=，由勾股定理得：A B =='∠ABC 的周长的最小值为 16.(1)∠CD 是∠ABC 的角平分线，DE ∠AC ，DF ∠BC ， ∠DE =DF ，∠CDE 和∠CDF 是直角三角形， ∠CD =CD ，∠()Rt CDE Rt CDF HL ≅，∠CE =CF ，∠CD 垂直平分EF ，即CD ∠EF△(2)∠CE =CF ，∠ACB ＝60°，∠∠CEF 是等边三角形，∠EF =CE ，∠ACD =30°，∠CD ∠EF ， ∠1122EG EF CE ==， ∠AC ＝6，BC ＝4，S △ABC ＝10，DE =DF ，ABC ACD BCD S S S =+△△△， ∠ ()11110222DE AC DF BC DE AC BC ⨯+⨯=⨯+=， 解得：DE =2，在Rt CDE △ 中，∠ACD =30°，∠CD =2DE =4，∠CE∠1122EG EF CE ===∠3CG ．17解：当DP ∠BC 时，线段DP 的值最小，∠BD 平分∠ABC ，∠A =90°，当DP ∠BC 时，DP =AD ，∠AD =3，∠DP 的最小值是3；(2)解：∠∠A =90°，∠BD ，当DP 最小时，DP =3，DP ∠BC ，则∠DPB =∠DPC =90°，∠PB =4，∠CP =BC -PB =12-4=8，∠∠CDP 的面积=12CP ×DP =12×8×3=12， 即当DP 最小时，∠CDP 的面积为12． 18解：连接CD ．∠ DE 垂直平分BC ∠CD ＝BD ．∠ BD2－DA2＝AC2 ，∠ CD2－DA2＝AC2 ．∠∠A＝90°．(2)解：∠ AD∠BD＝3∠4，∠设AD＝3x，BD＝4x．7,AB xBD2－DA2＝AC2 ，∠∠A＝90°，∠AC2＝7x2．∠BC2＝AC2＋AB2＝56x2＝56，∠x＝1．（负根舍去）∠AC=19(1)∠AB＝AC，∠∠B＝∠ACB∠∠A＝42°∠11(180)(18042)69 22ACB A∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒∠CD∠AB，∠∠ACD＝90°-42°=48°∠∠DCB＝69°-48°＝21°；(2)设AC＝AB＝x，∠BD＝1，CD＝3∠AD＝x-1，∠CD∠AB∠222 DC AD CA+=∠222 3(1)x x+-=∠5x=∠M为AC的中点∠1522 MD AC==。
人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理综合训练试题(含详细解析)
人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理综合训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知一个直角三角形两直角边边长分别为6和8，则斜边边长为（）A．10B．C．15D．10或2、如图，在△ABC中，BC＝C＝45°，若D是AC的三等分点（AD＞CD），且AB＝BD，则AB的长为（）A．2B C D．5 23、小亮想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m，当他把绳子的下端拉开8m 后，下端刚好接触到地面，则学校旗杆的高度为（）A．10m B．12m C．15m D．18m4、已知直角三角形的斜边长为5cm ，周长为12cm ，则这个三角形的面积（ ）A ．24cmB ．25cmC ．26cmD ．212cm5、下列各组数中，是勾股数的是（ ）A ．0.3，0.4，0.5B ．52，6，132 C 2 D ．9，12，156、如图，数轴上点A 所表示的数是（ ）A B C D 17、如图，在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，AD 为∠BAC 的平分线，将△ADC 沿直线AD 翻折得△ADE ，则DE 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．78、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要（ ）A ．8 cmB ．10 cmC ．12 cmD ．15 cm9、下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）A ．2、3、4 BC ．5、12、13D ．30、50、6010、满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（ ）A ．∠A ：∠B ：∠C ＝5：12：13B ．a ：b ：c ＝3：4：5C ．∠C ＝∠A ﹣∠BD ．b 2＝a 2﹣c 2第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么_____．2、△ABC 的三条边长a 、b 、c 满足8c =60b -=，则△ABC ____直角三角形（填“是”或“不是”）3、已知：点A 的坐标为()3,4，点B 坐标为()1,1-，那么点A 和点B 两点间的距离是______．4、如图，已知△ABO 为等腰三角形，且OA ＝AB ＝5，B （﹣6，0），则点A 的坐标为_____．5、如图，△ABC 是边长为12的等边三角形，D 是BC 的中点，E 是直线AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到FC ，连接DF ．则在点E 的运动过程中，当DF 的长度最小时，CE 的长度为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（阅读理解）我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ．图中大正方形的面积可表示为()2a b +，也可表示为2142c ab +⨯，即()22142a b c ab +=+⨯=，所以222+=a b c ． （尝试探究）美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE ，其中BCA ADE △△≌，90C D ∠=∠=︒，根据拼图证明勾股定理．（定理应用）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，A ∠、B 、C ∠所对的边长分别为a 、b 、c ．求证：222244a c a b c b +=-．2、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，求网格上的三角形ABC 的面积和周长．3、如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，AB ＝5，点D 是边AB 上的一个动点，连接CD ，过C 点在上方作CE ⊥CD ，且CE ＝CD ，点P 是DE 的中点．（1）如图①，连接AP，判断线段AP与线段DE的数量关系并说明理由；（2）如图②，连接CP并延长交AB边所在直线于点Q，若AQ＝2，求BD的长．4、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做“格点”，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：（1）在图①中画出一个钝角三角形，使它的面积为4，并求出该三角形的三边长；（2）在图②中画出一个面积为10的正方形．5、如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．（1（2）此三角形的面积是．---------参考答案-----------一、单选题1、A【分析】已知两直角边边长分别为6和8，利用勾股定理求斜边即可．【详解】解： ∵一个直角三角形两直角边边长分别为6和8，斜边边长，∴斜边边长为10．故选A ．【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中明确直角边或斜边，直接应用勾股定理，如果条件不明确时那条边是斜边，要注意讨论．2、B【分析】作BE ⊥AC 于E ，根据等腰三角形三线合一性质可得AE =DE ，根据∠C ＝45°，得出∠EBC =180°-∠C -∠BEC =180°-45°-90°=45°，可得BE =CE ，利用勾股定理求出CE =BE =2，根据D 是AC 的三等分点得出AE =DE =121233AC AC ⨯==CD ，求出CD =1，利用勾股定理AB 【详解】解：作BE ⊥AC 于E ，∵AB ＝BD ，∴AE =DE ，∵∠C ＝45°，∴∠EBC =180°-∠C -∠BEC =180°-45°-90°=45°，∴BE =CE ，在Rt △BEC 中，∴(22222+2BE CE CE BC ===，∴CE =BE =2，∵D 是AC 的三等分点，∴CD =13AC ，AD =AC -CD =1233AC AC AC -=，∴AE =DE =121233AC AC ⨯==CD ，∴CE =CD +DE =2CD =2，∴CD =1，∴AE =1，在Rt △ABE 中，根据勾股定理AB故选B ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，三等分线段，掌握等腰三角形的性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，三等分线段是解题关键．3、C【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+2）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【详解】解：根据题意画出图形如下所示：则BC＝8m，设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+2）m，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即x2+82＝（x+2）2，解得x＝15，故AB＝15m，即旗杆的高为15m．故选：C．【点睛】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．4、C【分析】设该直角三角形的两条直角边分别为a、b，根据勾股定理和周长公式即可列出方程，然后根据完全平方公式的变形即可求出2ab 的值，根据直角三角形的面积公式计算即可．【详解】解:设该直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，根据题意可得：22251257a b a b ⎧+=⎨+=-=⎩①② 将②两边平方－①，得224ab =∴12ab = ∴该直角三角形的面积为2126ab cm = 故选:C【点睛】此题考查的是直角三角形的性质和完全平方公式，根据勾股定理和周长列出方程是解决此题的关键．5、D【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．【详解】解：A 、不是勾股数，因为0.3，0.4，0.5不是正整数，故此选项不符合题意；B 、不是勾股数，因为52，132不是正整数，故此选项不符合题意；CD 、是勾股数，因为222912=15+，故此选项符合题意；故选D ．【点睛】本题考查勾股数的概念，勾股数是指：①三个数均为正整数；②其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方．6、D【分析】先根据勾股定理计算出BC BA＝BC AD的长，接着计算出OA的长，即可得到点A所表示的数．【详解】解：如图，BD＝1﹣（﹣1）＝2，CD＝1，∴BC∴BA＝BC∴AD2，∴OA＝21，∴点A1．故选：D【点睛】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴的关系，熟练掌握勾股定理，实数与数轴的关系是解题的关键．7、B【分析】在Rt ABC∆中利用勾股定理求出AC长，利用折叠性质：得到ADE ADC∆∆≌，求出对应相等的边，设DE＝x，在Rt BDE∆中利用勾股定理，列出关于x的方程，求解方程即可得到答案．【详解】解：∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，∴AC2222BC，6810∵AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，≌，∴∆∆ADE ADC∴A、B、E共线，AC＝AE＝10，DC＝DE，∴BE＝AE﹣AB＝10﹣6＝4，在Rt△BDE中，设DE＝x，则BD＝8﹣x，∵BD2+BE2＝DE2，∴（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴DE＝5，故选：B．【点睛】本题主要是考查了直角三角形的勾股定理以及折叠中的三角形全等的性质，熟练利用折叠得到全等三角形，找到直角三角形中的各边的关系，利用勾股定理列方程，并求解方程，这是解决该类问题的关键．8、B【分析】立体图形展开后，利用勾股定理求解．【详解】解：将长方体沿着AB边侧面展开，并连接'AB，如下图所示：由题意及图可知：'13138AB cm=，=+++=，''6AA cm两点之间，线段最短，故'AB的长即是细线最短的长度，''∆中，由勾股定理可知：'10Rt AAB===，AB cm故所用细线最短需要10cm．故选：B．【点睛】本题主要是考查了勾股定理求最短路径、两点之间线段最短以及立体图形的侧面展开图，因此，正确得到立体图形的侧面展开图，熟练运用勾股定理求边长，是解决此类问题的关键．9、C【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．【详解】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；B、2+22，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C、52+122=132，能构成直角三角形，故此选项符合题意；D、302+502≠602，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．10、A【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝5：12：13，∴∠C＝180°×1325＝93.6°，不是直角三角形，故此选项正确；B、∵32+42＝52，∴是直角三角形，故此选项不合题意；C、∵∠A﹣∠B＝∠C，∴∠A＝∠B+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴是直角三角形，故此选项不合题意；D、∵b2＝a2﹣c2，∴a2＝b2+c2，是直角三角形，故此选项不合题意；故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了三角形的内角和定理，勾股定理逆定理．二、填空题1、222+=a b c【分析】利用勾股定理：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方和，即可得到答案．【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可知：222+=a b c ．故答案为：222+=a b c ．【点睛】本题主要是考查了直角三角形的勾股定理，熟练掌握勾股定理的内容，注意区分好直角边和斜边，这是解决该类问题的关键．2、不是【分析】根据二次根式有意义的条件以及绝对值的非负性，得出,a b 的值，运用勾股定理逆定理验证即可．【详解】60b -=，∴40a -=，60b -=，∴4,6a b ==，则22246528+=≠，∴222a b c +≠，∴△ABC 不是直角三角形，故答案为：不是．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，勾股定理逆定理等知识点，根据题意得出,a b 的值是解本题的关键．3、5【分析】根据两点间距离公式求解即可．【详解】∵点A 的坐标为()3,4，点B 坐标为(1,1)-，∴点A 和点B 5=．故答案为：5．【点睛】本题考查两点间距离，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则两点间的距离是AB 距离公式是解题的关键．4、（﹣3，4）【分析】过点A 作AC x ⊥ 轴于点C ，AD y ⊥轴于点D ，根据AB ＝AO ，AC ⊥BO ，得OC ＝132OB =，在Rt △AOC 中，由勾股定理得：AC ＝4，即可求出点A 的坐标．【详解】解：如图，过点A 作AC x ⊥ 轴于点C ，AD y ⊥轴于点D ，∵B（﹣6，0），∴OB＝6，∵AB＝AO，AC⊥BO，∴OC＝132OB=，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC4=，∴A（﹣3，4）．故答案为：（﹣3，4）【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．5、【分析】取线段AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD CG=以及FCD ECG，由旋转的性质可得出EC FC=，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出ΔΔFCD ECG≅，进而即可得出DF GE=，再根据点G为AC的中点，求出AD和DE的长，由勾股定理可得出答案．【详解】取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．ABC ∆为等边三角形，且AD 为ABC ∆的对称轴，162CD CG AB ∴===，60ACD ∠=︒， 60ECF =︒∠，FCD ECG ．在ΔFCD 和ECG ∆中，FC EC FCD ECG DC GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ΔΔ()FCD ECG SAS ∴≅，DF GE ∴=．当//EG BC 时，EG 最小，此时E 为AD 的中点，12AB BC ==，6DC =，AD ∴==12DE AD ∴==CE ∴==故答案为【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出DF GE =．三、解答题1、尝试探究：证明见解析；定理应用：证明见解析【分析】尝试探究：根据全等三角形性质，得BAC AED ∠=∠，结合题意，根据直角三角形两锐角互余的性质，推导得90BAE ∠=︒；结合梯形、三角形面积计算公式，通过计算即可证明222+=a b c ；定理应用：根据提取公因式、平方差公式的性质分析，即可完成222244a c a b c b +=-证明．【详解】尝试探究：∵BCA ADE △△≌，∴BAC AED ∠=∠．∵90D ∠=︒∴90DAE AED ∠+∠=︒．∴90DAE BAC ∠+∠=︒．∵180BAC AED BAE ∠+∠+∠=︒．∴90BAE ∠=︒． ∵直角梯形的面积可以表示为()212a b +，也可以表示为211222ab c ⨯+， ∴()221112222a b ab c +=⨯+， 整理，得222+=a b c ．定理应用：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，∴222+=a b c ；∵2222a c a b +()222a c b =+．44c b -()()()2222222c b c b a c b =+-=+∴222244a c a b c b +=-．【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形、全等三角形、平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、直角三角形两锐角互余、平方差公式的性质，从而完成求解．2、面积是7【分析】利用面积和差和勾股定理求解即可．【详解】解：△ABC 的面积=111441432247222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=；由勾股定理得：ABBC =AC ==所以△ABC【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是熟练运用勾股定理求线段长．3、（1）AP ＝12DE ，理由见解析；（2）BD ＝56或4514【分析】（1）连接AE ，首先根据∠ACB ＝∠ECD ＝90°，得到∠ECA ＝∠DCB ，然后证明△BCD ≌△ACE （SAS ），根据全等三角形对应角相等得到∠EAC ＝∠B ＝45°，进一步得出∠EAD ＝90°，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出AP ＝12DE ；（2）分两种情况讨论：当Q 在线段AB 上时和当Q 在线段BA 延长线上时，连接AE ，EQ ，根据题意得出CQ 垂直平分DE ，进而根据垂直平分线的性质得到EQ ＝DQ ，设BD ＝AE ＝x ，在Rt △AEQ 中根据勾股定理列方程求解即可；【详解】解：（1）AP ＝12DE ，理由：连接AE ，如图，∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°．∵∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴∠ECA ＝∠DCB ．在△BCD 和△ACE 中，CE CD ECA DCB AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BCD ≌△ACE （SAS ）．∴∠EAC ＝∠B ＝45°．∴∠EAD＝∠EAC+∠BAC＝90°．又∵P为DE中点，∴AP＝12DE．（2）情况（一），当Q在线段AB上时，连接AE，EQ，如图，∵CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点，∴CP⊥DE．即CQ垂直平分DE，∴EQ＝DQ．设BD＝AE＝x，EQ＝DQ＝AB﹣AQ﹣BD＝3﹣x，由（1）知：∠EAB＝90°，∴EA2+AQ2＝EQ2．∴x2+22＝（3﹣x）2，解得x＝56，即BD＝56；情况（二），当Q在线段BA延长线上时，连接AE，EQ，如图，∵CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点，∴CP⊥DE．即CQ垂直平分DE，∴EQ＝DQ．设BD＝AE＝x，同理可得方程：x2+22＝（7﹣x）2，解得x＝45 14．综上：BD＝56或4514．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的运用，垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是根据题意正确作出辅助线．4、 (1)三角形如图①所示，三边长分别为2、（2）正方形如图②所示．【分析】（1）画一个底边长是2，高为4的钝角三角形即可，然后利用勾股定理可以求出各边长．（2【详解】（1）如图①所示：很明显，12442EMFS=⨯⨯=，且FM=2，又由题意可得：EM=，EF=（2）如图②所示，由题意可得：AB=BC=CD=DA【点睛】本题考查的是勾股定理的综合应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．5、（1）画图见解析；（2）5.5【分析】（1）利用勾股定理在网格中确定2222223110,2313,1417,AB AC BC再顺次连接,,A B C即可；（2）利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可. 【详解】解：（1）如图，ABC即为所求作的三角形，其中：2222223110,2313,1417, AB AC BC（2）11134132314 5.5,222ABCS故答案为：5.5【点睛】本题考查的是网格中作三角形，勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握“利用勾股定理求解网格三角形的边长”是解本题的关键.。
八年级数学下册《第十七章-勾股定理》单元测试卷及答案(人教版)
八年级数学下册《第十七章-勾股定理》单元测试卷及答案(人教版)一 选择题(每小题3分 共30分)1. 如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A. √2 √3 √5B. 1.5C. 32 42 52D. 1 22. 点A(−3,−4)到原点的距离为( )A. 3B. 4C. 5D. 73. 有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( )A. 5B. √7C. √5D. 5或√74．如果直角三角形两直角边的比为5∶12， 则斜边上的高与斜边的比为（ ） A 60∶13B 5∶12C 12∶13D 60∶1695. 若一直角三角形两边长分别为12和5 则第三边长为（ ） A ．13 B ．13或C ．13或15D ．156．一个圆桶底面直径为24cm ，高32cm ，则桶内所能容下的最长木棒为（ ）A ．20cmB ．50cmC ．40cmD ．45cm7．如图 小明准备测量一段水渠的深度 他把一根竹竿AB 竖直插到水底 此时竹竿AB 离岸边点C 处的距离米．竹竿高出水面的部分AD 长0.5米 如果把竹竿的顶端A 拉向岸边点C 处 竿顶和岸边的水面刚好相齐 则水渠的深度BD 为（ ）A ．2米B ．2.5米C ．2.25米D ．3米1.5CD8.如图， “赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形 已知大正方形面积为25 (x +y)2=49 用x y 表示直角三角形的两直角边(x >y) 下列选项中正确的是( )A. 小正方形面积为4B. x 2+y 2=5C. x 2−y 2=7D. xy =249.如图，在△ABC 中 ∠C =90° AC =4 BC =2.以AB 为一条边向三角形外部作正方形 则正方形的面积是( )A. 8B. 12C. 18D. 2010.如图 在Rt △ABC 中 ∠ACB =90° AC =3 BC =4 BE 平分∠ABC CD ⊥AB 于D BE 与CD 相交于F 则CF 的长是( )A. 1B. 43C. 53D. 2二 填空题（每题3分 共24分）11．若一个三角形的三边之比为5：12：13 且周长为60cm 则它的面积为_____cm 2． 12．如图所示 所有的四边形都是正方形 所有的三角形都是直角三角形 其中最大的正方形的边长为7cm 正方形A B C 的面积分别是28cm 210cm 214cm 则正方形D 的面积是___________2cm ．13．在ABC中90C∠=︒AB=5 则222AB AC BC++=______．14.如图在△ABC中∠ABC=90° 分别以BC AB AC为边向外作正方形面积分别记为S1S2,S3若S2=4 S3=6则S1=__________.15.方程思想如图在Rt△ABC中∠C=90° BC=6cm AC=8cm 按图中所示方法将△BCD沿BD折叠使点C落在AB边的点C’处那么△ADC’的面积是_____cm2. 16．如图一架秋千静止时踏板离地的垂直高度DE＝0.5m将它往前推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m秋千的绳索始终拉直则绳索AD的长是m．17．如图小明利用升旗用的绳子测量学校旗杆BC的高度他发现绳子刚好比旗杆长11米若把绳子往外拉直绳子接触地面A点并与地面形成30°角时绳子末端D距A点还有1米那么旗杆BC的高度为米．18．在△ABC中AB＝AC＝5 BC＝6．若点P在边AC上移动则BP的最小值是．三、解答题(满分46分,19题6分20 21 22 23 24题每题8分)19.小明将一副三角板如图所示摆放在一起发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长若已知CD=2求AC的长．20.如图折叠长方形的一边AD使点D落在边BC的点F处已知AB=8cm BC=10cm求(1)FC的长．(2)EF的长．21 (8分)如图已知∠ADC=90°AD=8 CD=6 AB=26 BC=24．（1）证明：△ABC是直角三角形．（2）请求图中阴影部分的面积．22．如图 在长方形中 点在边上 把长方形沿直线折叠 点落在边上的点处。
人教版八年级下册数学第十七章 勾股定理含答案
人教版八年级下册数学第十七章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、在正方形网格中，∠AOB如图所示放置，则sin∠AOB的值为（）A. B. C. D.2、一直角三角形三边长分别为a，a，c，那么由an，an，cn（n为自然数）为三边组成的三角形一定是（）A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形3、如图，△AB C的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A. B. C. D.4、直角三角形中，有两条边长分别为3和4，则第三条边长是（）A.1B.5C.D.5或5、如图，点A在双曲线上，且OA=4，过A作AC⊥ 轴，垂足为C，OA 的垂直平分线交OC于B,则△ABC的周长为（）A.4B.5C.D.6、在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则x满足的方程为（）A.x 2=10 2+（x-5-1）2B.x 2＝（x﹣5）2+10 2C.x 2＝10 2+（x+1-5）2 D.x 2＝（x+1）2+10 27、如图，四边形中，，在边上确定一点使得则（）A. B. C. D.8、已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（）A.m 2+2mn+n 2=0B.m 2﹣2mn+n 2=0C.m 2+2mn﹣n 2=0D.m 2﹣2mn﹣n 2=09、给出下列命题：①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；②△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC是直角三角形；③三角形的三边a、b、c满足a2+c2=b2，则△ABC是∠C为直角的直角三角形；④△ABC中，若 a：b：c=1：2：，则这个三角形是直角三角形．其中，正确命题的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个10、小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他制了如图2所示的图形，图2中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为，则该圆的半径为（）cm.A. B. C.7 D.811、如图，在正方形网格中，以格点为顶点的的面积等于3，则点A到边BC的距离为（）A. B. C.4 D.312、下列三角形中，是直角三角形的是( )A.三角形的三边满足关系a+b=cB.三角形的三边长分别为2、3、4 C.三角形的一边等于另一边的一半 D.三角形的三边长为7、24、2513、如图，BD为矩形ABCD的对角线，将△BCD沿BD翻折得到，与边AD交于点E．若AB＝x1， BC＝2x2， DE＝3，其中x1、x2是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的两个实根，则m的值是（）A. B. C.3 D.214、如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合(点C在正半轴上)，AB=5，BC=12，若点A在数轴上表示的数是-1，则对角线AC、BD的交点在数轴上表示的数为（）A.5.5B.5C.6D.6.515、如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上且与重合，则的长为（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为________．17、如图，点C是⊙O优弧ACB上的中点，弦AB=6cm，E为OC上任意一点，动点F从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向点B匀速运动，若y=AE2﹣EF2，则y与动点F的运动时间x（0≤x≤6）秒的函数关系式为________．18、如图，在直角坐标系中，的圆心A的坐标为，半径为1，点P 为直线上的动点，过点P作的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是________．19、如图，在中，，，，点、分别在、上，将沿翻折，使与的中点重合，则的长为________.20、如图，在中，，为的角平分线，且于D，若，则的长为________.21、若a、b、c满足(a-5)2+ + =0，则以a，b，c为边的三角形面积是________.22、如图，中，，、分别在、边上，，、相交于点，且，若，，则的长为________．23、△ABC中，AB= ，AC=8，∠ACB=30°，则BC的长为________．24、如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1， S2，则S1＋S2=________．25、将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点处，交AD于点E.若，对角线，则________.三、解答题(共5题，共计25分)26、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c．若a∶c＝15∶17，b＝24，求a.27、如图，在同一平面内，有一组平行线l1、l2、l3，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线l1上，⊙O与直线l3的交点为A、B，AB=12，求⊙O的半径．28、如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，∠B=900．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？29、有一块土地，如图所示，已知AB=8，∠B=90°，BC=6，CD=24，AD=26，求这块土地的面积．30、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形.若AB=2，求△ABC的周长.（结果保留根号）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、B3、B4、D5、C6、C7、A8、C9、B10、D11、D12、D14、A15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、。
八年级数学下册第十七章《勾股定理》测试题-人教版(含答案)
八年级数学下册第十七章《勾股定理》测试题-人教版（含答案）一、单选题(共30分)1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是()A3,4,5B．2,3C．6,7,8D．2,3,42．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（）A．10m B．15m C．18m D．20m3．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和4．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于于12点E．若AC＝3，AB＝5，则DE等于（）A ．2B ．103C ．158D ．1525．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x 尺，则可列方程为（ ）A ．()22610x x =--B ．()222610x x =-- C ．()22610x x +=- D ．()222610x x +=- 6．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）A ．5B ．25C 7D ．577．如图所示，圆柱的高AB =3，底面直径BC =3，现在有一只蚂蚁想要从A 处沿圆柱表面爬到对角C 处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）A ．31π+B ．32C 234π+D ．231π+8．在Rt △ABC 中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（ ） A ．6 B ．7 C ．10 D ．13 9．如图，矩形ABCD 中，AB 3=，BC 4=，EB//DF 且BE 与DF 之间的距离为3，则AE 的长是( )A 7B ．38C ．78D ．5810．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，9AC =，12BC =，则点C 到 AB 的距离是（ ）A ．94B ．1225C ．365D 33二、填空题(共30分)11．在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，当a 、b 、c 满足_______时，△B =90°． 12．如图，等腰直角ABC 中，90,4ACB AC BC ∠=︒==，D 为BC 的中点，5AD =，若P 为AB 上一个动点，则PC PD +的最小值为_________．13．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，现将ABC 沿BD 进行翻折，使点A 刚好落在BC 上，则CD =__________．14．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为17米，几分钟后船到达点D 的位置，此时绳子CD 的长为10米，问船向岸边移动了__米．15．已知：如图，ABC 中，△ACB =90°，AC =BC 2，ABD 是等边三角形，则CD 的长度为______．16．如图，在四边形ABCD 中，22AD =27AB =10BC =，8CD =，90BAD ∠=︒，那么四边形ABCD 的面积是___________．17．如图，“以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以数轴的原点O为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧交数轴于一点A”，该图说明数轴上的点并不都表示________．18．在Rt△ACB中，△ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是_____．19．如图，一架长5米的梯子A1B1斜靠在墙A1C上，B1到墙底端C的距离为3米，此时梯子的高度达不到工作要求，因此把梯子的B1端向墙的方向移动了1.6米到B处，此时梯子的高度达到工作要求，那么梯子的A1端向上移动了_____米．20．我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索AC的长为x尺，根据题意，可列方程为__________．三、解答题(共60分)21．如图，一张长8cm ，宽6cm 的矩形纸片，将它沿某直线折叠使得A 、C 重合，求折痕EF 的长．22．一架云梯长25m ，如图所示斜靠在一而墙上，梯子底端C 离墙7m ．（1）这个梯子的顶端A 距地面有多高?（2）如果梯子的顶端下滑了4 m ，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米?23．如图，把一块直角三角形（ABC ，90ACB ∠=︒）土地划出一个三角形（ADC ）后，测得3CD =米，4=AD 米，12BC =米，13AB =米．（1）求证：90ADC ∠=︒；（2）求图中阴影部分土地的面积．24．如图，在四边形ABCD 中，AB=20cm ，BC=15cm ，CD=7cm ，AD=24cm ，△ABC=90°．（1）求△ADC 的度数；（2）求出四边形ABCD 的面积．25．如图，在△ABC 和△DEB 中，AC △BE ，△C ＝90°，AB ＝DE ，点D 为BC 的中点，12AC BC =． （1）求证：△ABC △△DEB ．（2）连结AE ，若BC ＝4，直接写出AE 的长．26．勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要．学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法．请你利用如图图形证明勾股定理：已知：如图，四边形ABCD中，BD△CD，AE△BD于点E，且△ABE△△BCD．求证：AB2＝BE2+AE2．27．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．（2）C岛在A港的什么方向？参考答案1．B2．C3．C4．C5．D6．D7．C8．D9．C10．C11．a2+c2= b212．513．5 214．9．1531 16．14 17．有理数18．15 719．0.820．x2−（x−3）2＝8221．EF的长为15 222．（1）这个梯子的顶端A距地面有24m高；（2）梯子的底部在水平方向滑动了8m．23．2424．（1）△ADC=90°；（2）四边形ABCD的面积为2234cm252527．（1）从C岛返回A港所需的时间为3小时；（2）C岛在A港的北偏西42°。
人教版初中八年级数学下册第十七章《勾股定理》经典练习题(含答案解析)
一、选择题1．如图已知ABC ∆中，12AB AC cm ==，B C ∠=∠，8BC cm =，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以2/cm s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．若点Q 的运动速度为v ，则当BPD ∆与CQP ∆全等时，v 的值为（ ）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或3 2．如图，在ABC 中，8AB AC ==厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上，由C 点向A 点运动，为了使BPD CPQ △≌△，点Q 的运动速度应为（ ）A ．1厘米/秒B ．2厘米/秒C ．3厘米/秒D ．4厘米/秒 3．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，AD 是BC 边上的中线，AD 的取值范围是（ ）A ．1＜AD ＜6B ．1＜AD ＜4C ．2＜AD ＜8 D ．2＜AD ＜4 4．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（ ）A ．HLB ．SASC ．SSSD ．ASA 5．如图，AP 平分∠BAF ，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AF 于点E ，则△APD 与△APE 全等的理由是（ ）A ．SSSB ．SASC ．SSAD ．AAS6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝5cm ，在AC 上取一点E ，使EC ＝BC ，过点E 作EF ⊥AC ，连接CF ，使CF ＝AB ，若EF ＝12cm ，则下列结论不正确的是（ ）A ．∠F ＝∠BCFB ．AE ＝7cmC ．EF 平分ABD ．AB ⊥CF 7．下列各命题中，假命题是（ ）A ．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等B ．有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等C ．有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等D ．有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等8．如图，已知AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是（ ）A ．BD ＋ED ＝BCB ．∠B ＝2∠DAC C ．AD 平分∠EDC D ．ED ＋AC >AD9．如图，在Rt ABC 中，C 90∠=，AD 是BAC ∠的平分线，若AC 3=，BC 4=，则ABD ACD S :S 为( )A ．5:4B ．5:3C ．4:3D ．3:410．如图，已知∠A=∠D ， AM=DN ，根据下列条件不能够判定△ABN ≅△DCN 的是（ ）A ．BM ∥CNB ．∠M=∠NC ．BM=CND ．AB=CD 11．如图，OB 平分∠MON ，A 为OB 的中点，AE ⊥ON ，EA=3，D 为OM 上的一个动点，C 是DA 延长线与BC 的交点，BC //OM ，则CD 的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1212．如图，在OAB 和OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ，下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠，其中正确的为（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④ 13．如图，在Rt ABC 和Rt ADE △中，90,,ACB AED AB AD AC AE ∠=∠===，则下列说法不正确的是（ ）A ．BC DE =B ．BAE DAC ∠=∠ C ．OC OE =D ．EAC ABC ∠=∠ 14．已知，如图，OC 是∠AOB 内部的一条射线，P 是射线OC 上任意点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，下列条件中：①∠AOC ＝∠BOC ，②PD ＝PE ，③OD ＝OE ，④∠DPO ＝∠EPO ，能判定OC 是∠AOB 的角平分线的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．如图，已知，CAB DAE ∠=∠，AC AD =．下列五个选项：①AB AE =，②BC ED =，③C D ∠=∠，④B E ∠=∠，⑤12∠=∠，从中任选一个作为已知条件，其中能使ABC AED ≌△△的条件有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题16．如图，AOP BOP ∠=∠，PD OA ⊥，C 是OB 上的动点，连接PC ，若4PD =，则PC 的最小值为_________．17．如图，ABC 中，D 是AB 上的一点，DF 交AC 于点E ，AE CE =，//CF AB ，若四边形DBCF 的面积是26cm ，则ABC 的面积为______2cm ．18．如图，AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．设运动时间为t （s ），则当△ACP 与△BPQ 全等时，点Q 的运动速度为__cm/s ．19．如图所示，在ABC 中，AB AC =，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ，F ．则下面结论中（1）DA 平分EDF ∠；（2）AE AF =，DE DF =；（3）AD 上的点到B ，C 两点的距离相等；（4）图中共有3对全等三角形．正确的有________ ．20．如图，点P 是AOC ∠的角平分线上一点，PD OA ⊥，垂足为点D ，且5PD =，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为__．21．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第____块去，这利用了三角形全等中的____原理．22．如图，AB ，CD 交于点O ，AD ∥BC ．请你添加一个条件_____，使得△AOD ≌△BOC ．23．如图，在ABC 中，点D 是BC 上的一点，已知30DAC ∠=︒，75DAB ∠=︒，CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，连接DE ，则DEC ∠=________度．24．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ，MB ⊥OQ ，垂足为A ，B ，S △AOM =8cm 2，OA=4cm ，则MB=___．25．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ．若28ABC S =，4DE =，8AB =，则AC =_________．26．如图，在△ABC 和△DBC 中，∠ACB=∠DBC=90°，E 是BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为F ，AB=DE ．若BD=8cm ，则AC 的长为_________．三、解答题27．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 在边BC 上（不与点B ，C 重合），过点C 作CE ⊥AD ，垂足为点E ，交AB 于点F ，连接DF ．（1）请直接写出∠CAD 与∠BCF 的数量关系；（2）若点D 是BC 中点，在图2中画出图形，猜想线段AD ，CF ，FD 之间的数量关系，并证明你的猜想．28．如图，AB AD =，AC AE =，CAE BAD ∠=∠．求证：B D ∠=∠．29．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中点，证明：∠B=∠C．30．如图，一条河流MN旁边有两个村庄A，B，AD⊥MN于D．由于有山峰阻挡，村庄B 到河边MN的距离不能直接测量，河边恰好有一个地点C能到达A，B两个村庄，与A，B 的连接夹角为90°，且与A，B的距离也相等，测量C，D的距离为150m，请求出村庄B到河边的距离．。
人教版八年级下册数学第十七章 勾股定理含答案(全优)
人教版八年级下册数学第十七章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列数据中，哪一组不是勾股数( )A.7，24，25B.9，40，41C.3，4，5D.8，15，192、如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）A.2B.2C.2D.43、如图，在⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点都分别在半径OP、OM及⊙O上，且∠POM=45º，则AB=（）A.2B.C.D.4、如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝2 ，BD＝，则AB的长为( )A.2B.3C.4D.55、《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短.横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出.问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短.横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（）A. B. C.D.6、如图，的对角线与相交于点，，，，则的长为（）A. B. C. D.7、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A.7，24，25B. ，4，5C. ，1，D.40，50，608、直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（）.A.34B.26C.6.5D.8.59、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝BC．边AC落在数轴上，点A表示的数是1，点C表示的数是3，负半轴上有一点B₁，且AB₁＝AB，点B₁所表示的数是（）A.﹣2B.﹣2C.2 ﹣1D.1﹣210、如图，小江同学把三角尺含有60°角的一端以不同的方向穿入进另一把三角尺(含有45°角)的孔洞中。
已知孔洞的最长边为2cm，则三角尺穿过孔洞部分的最大面积为( )A. cm 2B. cm 2C.2 cm 2D.(2+ )cm 211、如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=3 ，点E在AB上，= ，在矩形内找一点P，使得∠BPE=60°，则线段PD的最小值为（）A.4B.2C.2 -2D.2 -412、如图，四边形ABCD是菱形，AB＝5，AC＝6，AE⊥BC于E，则AE等于( )A.4B.C.D.513、三角形的三边长分别为6，8，10，那么最长边上的高为（）A.4．8B.5C.6D.814、已知△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A.∠A＝∠C－∠BB.a 2＝b 2－c 2C.a:b:c＝2:3:4D.a＝，b＝，c＝115、如图所示，在正方形中，边长为2的等边三角形的顶点，分别在和上.下列结论：① ；② ；③ ；④ .其中结论正确的序号是（）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④二、填空题(共10题，共计30分)16、如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第2017个三角形的面积为________.17、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，cosA= ，点D是斜边AB上的动点且不与A，B重合，连接CD，点B'与点B关于直线CD对称，连接B'D，当B'D垂直于Rt△ABC的直角边时，BD的长为________．18、如图所示，直线 y=x+2 与两坐标轴分别交于 A、B 两点，点 C 是 OB 的中点，D、E 分别是直线 AB、y 轴上的动点，则△CDE 周长的最小值是________．19、如图， Rt△ABC的两直角边 AC = 8cm ， BC = 6cm ， D 为 AC 上一点，将△ABC 折叠，使点 A 与点 B 重合，折痕为 DE ，则CD 的长为________cm.20、如图，在长方形 ABCD中，点E为长方形ABCD的边AD上一点，若AE=2，S=6，将长方形ABCD沿BE折叠，使点A落在EC上的点F处，则BCE的面ABE积是 ________．21、如图，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为________．22、在Rt中，∠A=90°，AC=4，，将沿着斜边BC翻折，点A落在点处，点D、E分别为边AC、BC的中点，联结DE并延长交所在直线于点F，联结，如果为直角三角形时，那么________23、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是________．24、如图，射线PB，PD分别交⊙O于点A，B和点C，D，且AB=CD=8。
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人教版八年级数学第17章《勾股定理》单元同步检测试题时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分）1.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A.&胡，点B. 1, & &C. 6, 7, 8D. 2, 3, 4【答案】B【解析】试题解析：A.（不）2+ （訴）V （厉）2,故该选项错误；B.I2+ （迈）2=（乔）1故该选项正确；C.62+7M2,故该选项错误；D.22+32#4\故该选项错误.故选B.考点：勾股定理.（■ ｛视频））2.如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆折断之前的高度是（）【答案】D【解析】试题分析：由题意得：AABC是直角三角形，所以AB= 7A C2+BC2=7122+52=13,所以旗杆折断之前的高度=“AB+BC=5+13=18.“故选：D.考点：勾股定理.3.__________ 如图，学校有一块长方形花I甫I，有极少数人为了避开拐角走“捷径"，在花铺内走出了一条“路\他们仅仅少走了步路（假设2步为1 m）,却踩伤了花草（）A.4B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】根据勾股定理可得斜边长是+ 82=10m.则少走的距离是6+8-10=4m,T2步为1米,・・・少走了 8步,故答案为：D.4. 如图，数轴上点A, B 分别对应1, 2,过点B 作PQ 丄AB,以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交PQ 于 点C,以原点O 为圆心，OC 长为半径画弧，交数轴于点M,则点M 对应的数是（）如图所示：连接OC, 由题意可得：°A2，处=1， 贝 9 AC = ^22 + I 2 = &， 故戊M 对应的数是：& 故选：B. 5. 如图，已知AB 丄CD, A ABD, A BCE 都是等腰直角三角形.如果CD=7, BE=3,那么AC 的长为（）AA. 8B. 5C. 3D.4■—F B CW % ■ I 1 10 1 2 女3【解析】试题解析: 6 m【答案】B & D.力【答案】B【解析】・・・△〃£>, △BCE都是等腰直角三角形，:・BD=BA, BE二BC=3, VCZ>7,・•・BM4B=4,4 C=^AB2 + BC2=5.故选B.点睛：熟练掌握勾股定理的运用.6.如图，在厶ABC 中，AD丄BC 于D, AB=17, BD=15, DC = 6,则AC 的长为（）A. 11B. 10C. 9D. 8【答案】B【解析】本题主要考查了勾股定理.利用两次勾股定理即可解答.解：VAD1BC・•・ ZADC=ZADB=90°VAB=17, BD=15,AD U J AB S D S•・・DC=6AC=^AD2 + CD2= 1 o故选B7.如图，每个小正方形的边长为1, A, B, C是小正方形的顶点，则ZABC的度数为（）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】C【解析】试题分析：根据勾股定理即可得到AB, BC, AC的长度，进行判断即可. 解：根据勾股左理可以得到：AC=BCW，AB=V10.•・・（V5）2+（V5）2=（V10）2.AAC2+BC2=AB2.A A ABC是等腰直角三角形.A ZABC=45°.故选C.A _______c—~~8.如图，--艘轮船位于灯塔。
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人教版八年级数学下第17章勾股定理专项训练含答案第17章勾股定理专项训练专训1.巧用勾股定理求最短路径的长名师点金：求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)．用计算法求平面中最短问题1．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B，为了避免拐角C走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．(第1题)2．小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB＝80 km，BC＝20 km，∠ABC＝120°.请你帮助小明解决以下问题：(1)求A，C之间的距离．(参考数据21≈4.6)(2)若客车的平均速度是60 km/h，市内的公共汽车的平均速度为40 km/h，“武黄城际列车”的平均速度为180 km/h，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间)(第2题)用平移法求平面中最短问题3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬( )A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm(第3题)(第4题)4．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF ＝2，则AF的长是________．用对称法求平面中最短问题5．如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短，求EP＋BP的最短长度．(第5题)6．高速公路的同一侧有A、B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN 的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，A′B′＝8 km.要在高速公路上A′、B′之间建一个出口P，使A、B两城镇到P的距离之和最小．求这个最短距离．(第6题)用展开法求立体图形中最短问题类型1圆柱中的最短问题(第7题)7．如图，已知圆柱体底面圆的半径为2π，高为2，AB，CD分别是两底面的直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是________(结果保留根号)．类型2圆锥中的最短问题8．已知：如图，观察图形回答下面的问题：(1)此图形的名称为________．(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个________．(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？(4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程．(第8题)类型3正方体中的最短问题9．如图，一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．(1)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．(第9题)类型4长方体中的最短问题10．如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程．(第10题)专训2.巧用勾股定理解折叠问题名师点金：折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题就是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律．利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：(1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；(2)在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x，将此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来；(3)利用勾股定理列方程求出x；(4)进行相关计算解决问题．巧用全等法求折叠中线段的长1．(中考·泰安)如图①是一直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4 cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将图②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为( )(第1题)A.83cm B．2 3 cmC．2 2 cm D．3 cm巧用对称法求折叠中图形的面积2．如图所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．(第2题)巧用方程思想求折叠中线段的长3．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE 对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)求BG的长．(第3题)巧用折叠探究线段之间的数量关系4．如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接CE.(1)求证：AE＝AF＝CE＝CF；(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c，请写出一个a，b，c三者之间的数量关系式．(第4题)专训3.利用勾股定理解题的7种常见题型名师点金：勾股定理建立起了“数”与“形”的完美结合，应用勾股定理可以解与直角三角形有关的计算问题，证明含有平方关系的几何问题，作长为n(n为正整数)的线段，解决实际应用问题及专训一、专训二中的最短问题、折叠问题等，在解决过程中往往利用勾股定理列方程(组)，有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化斜为直来解决问题．利用勾股定理求线段长1．如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，求EF的长．(第1题)利用勾股定理作长为n的线段2．已知线段a，作长为13a的线段时，只要分别以长为和的线段为直角边作直角三角形，则这个直角三角形的斜边长就为13a.利用勾股定理证明线段相等3．如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2.求证：AB＝BC.(第3题)利用勾股定理证明线段之间的平方关系 4．如图，∠C ＝90°，AM ＝CM ，MP ⊥AB 于点P. 求证：BP 2＝BC 2＋AP 2.(第4题)利用勾股定理解非直角三角形问题5．如图，在△ABC 中，∠C ＝60°，AB ＝14，AC ＝10.求BC 的长．(第5题)利用勾股定理解实际生活中的应用6．在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km /h ⎝ ⎛⎭⎪⎫即503 m /s ，并在离该公路100 m 处设置了一个监测点A.在如图的平面直角坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在点A 的北偏西60°方向上，点C 在点A 的北偏东45°方向上．另外一条公路在y 轴上，AO 为其中的一段．(1)求点B 和点C 的坐标；(2)一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是15 s ，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速．(参考数据：3≈1.7)(第6题)利用勾股定理探究动点问题7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．(1)求BC边的长；(2)当△ABP为直角三角形时，借助图①求t的值；(3)当△ABP为等腰三角形时，借助图②求t的值．(第7题)答案专训11．4(第2题)2．解：(1)如图，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点E.∵∠ABC＝120°，∴∠BCE＝30°.在Rt△CBE中，∵BC＝20 km，∴BE＝10 km.由勾股定理可得CE＝10 3 km.在Rt△ACE中，∵AC2＝AE2＋CE2＝(AB＋BE)2＋CE2＝8 100＋300＝8 400，∴AC＝2021≈20×4.6＝92(km)．(2)选择乘“武黄城际列车”．理由如下：乘客车需时间t1＝8060＝113(h)，乘“武黄城际列车”需时间t2≈92180＋2040＝1190(h)．∵113>1190，∴选择乘“武黄城际列车”．(第3题)3．C点拨：将台阶面展开，连接AB，如图，线段AB即为壁虎所爬的最短路线．因为BC＝30×3＋10×3＝120(cm)，AC＝50 cm，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝16 900，所以AB＝130 cm.所以壁虎至少爬行130 cm.4．105．解：如图，连接BD交AC于O，连接ED与AC交于点P，连接BP.(第5题)易知BD⊥AC，且BO＝OD，∴BP＝PD，则BP＋EP＝ED，此时最短．∵AE＝3，AD＝1＋3＝4，由勾股定理得ED2＝AE2＋AD2＝32＋42＝25＝52，∴ED＝BP＋EP＝5.6．解：如图，作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则点P即为所建的出口．此时A、B两城镇到出口P的距离之和最小，最短距离为AC的长．作AD⊥BB′于点D，在Rt△ADC中，AD＝A′B′＝8 km，DC＝6 km.∴AC＝AD2＋DC2＝10 km，∴这个最短距离为10 km.(第6题)7．2 2 点拨：将圆柱体的侧面沿AD剪开并铺平得长方形AA′D′D，连接AC，如图．线段AC就是小虫爬行的最短路线．根据题意得AB＝2π×2π×12＝2.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝22＋22＝8，∴AC＝8＝2 2.(第7题)8．解：(1)圆锥(2)扇形(3)把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC为蜗牛爬行的最短路线．(4)在Rt△ASC中，由勾股定理，得AC2＝102＋52＝125，∴AC＝125＝5 5.故蜗牛爬行的最短路程为5 5.(第8题)(第9题)9．解：(1)蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC′1和AC1.(2)如图，AC′1＝42＋（4＋4）2＝4 5.AC1＝（4＋4）2＋42＝4 5.所以蚂蚁爬过的最短路径的长是4 5. 10．解：分为三种情况：(1)如图①，连接EC，在Rt△EBC中，EB＝12＋8＝20(cm)，BC＝12×30＝15(cm)．由勾股定理，得EC＝202＋152＝25(cm)．(2)如图②，连接EC.根据勾股定理同理可求CE＝673 cm>25 cm.(3)如图③，连接EC.根据勾股定理同理可求CE＝122＋（30＋8＋15）2＝ 2 953(cm)>25 cm. 综上可知，小虫爬行的最短路程是25 cm.(第10题) 专训21．A2．解：由题意易知AD∥BC，∴∠2＝∠3. ∵△BC′D与△BCD关于直线BD对称，∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3.∴EB＝ED.设EB＝x，则ED＝x，AE＝AD－ED＝8－x. 在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，∴42＋(8－x)2＝x2.∴x＝5.∴DE＝5.∴S△BED ＝12DE·AB＝12×5×4＝10.解题策略：解决此题的关键是证得ED＝EB，然后在Rt△ABE中，由BE2＝AB2＋AE2，利用勾股定理列出方程即可求解．3．(1)证明：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠D＝∠B＝90°.∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°.∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°.又∵AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)．(2)解：∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG.设BG＝FG＝x，则GC＝6－x，∵E为CD的中点，∴CE＝DE＝EF＝3，∴EG＝3＋x.∴在Rt△CEG中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2.∴BG＝2.4．(1)证明：由题意知，AF＝CF，AE＝CE，∠AFE＝∠CFE，又四边形ABCD 是长方形，故AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE.∴∠AFE＝∠AEF.∴AE ＝AF ＝EC ＝CF.(2)解：由题意知，AE ＝EC ＝a ，ED ＝b ，DC ＝c ，由∠D ＝90°知，ED 2＋DC 2＝CE 2，即b 2＋c 2＝a 2.专训3(第1题)1．解：如图，连接BD.∵等腰直角三角形ABC 中，点D 为AC 边的中点，∴BD ⊥AC ，BD 平分∠ABC(等腰三角形三线合一)，∴∠ABD ＝∠CBD ＝45°，又易知∠C ＝45°，∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠C. ∴BD ＝CD.∵DE ⊥DF ，BD ⊥AC ，∴∠FDC ＋∠BDF ＝∠EDB ＋∠BDF. ∴∠FDC ＝∠EDB. 在△EDB 与△FDC 中，⎩⎨⎧∠EBD ＝∠C ，BD ＝CD ，∠EDB ＝∠FDC ，∴△EDB ≌△FDC(ASA )，∴BE ＝FC ＝3.∴AB ＝7，则BC ＝7.∴BF ＝4. 在Rt △EBF 中，EF 2＝BE 2＋BF 2＝32＋42＝25， ∴EF ＝5. 2．2a ；3a3．证明：∵CD ⊥AD ，∴∠ADC ＝90°，即△ADC 是直角三角形． 由勾股定理，得AD 2＋CD 2＝AC 2. 又∵AD 2＝2AB 2－CD 2，∴AD2＋CD2＝2AB2.∴AC2＝2AB2.∵∠ABC＝90°，∴△ABC是直角三角形．由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，∴AB2＋BC2＝2AB2，故BC2＝AB2，即AB＝BC.方法总结：当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股定理证明，应用勾股定理证明两条线段相等的一般步骤：①找出图中证明结论所要用到的直角三角形；②根据勾股定理写出三边长的平方关系；③联系已知，等量代换，求之即可．(第4题)4．证明：如图，连接BM.∵PM⊥AB，∴△BMP和△AMP均为直角三角形．∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.同理可得BC2＋CM2＝BM2.∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2.又∵CM＝AM，∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2.∴BP2＝BC2＋AP2.(第5题)5．思路导引：过点A作AD⊥BC于D，图中出现两个直角三角形——Rt△ACD 和Rt△ABD，这两个直角三角形有一条公共边AD，借助这条公共边可建立起两个直角三角形之间的联系解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.∴∠ADC＝90°.又∵∠C＝60°，∴∠CAD ＝90°－∠C ＝30°，∴CD ＝12AC ＝5.∴在Rt △ACD 中，AD ＝AC 2－CD 2＝102－52＝5 3. ∴在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝11. ∴BC ＝BD ＋CD ＝11＋5＝16.方法总结：利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合条件，采用推理或列方程的方法解决问题．6．思路导引：(1)要求点B 和点C 的坐标，只要分别求出OB 和OC 的长即可．(2)由(1)可知BC 的长度，进而利用速度公式求得汽车在这段限速路上的速度，并与503比较即可． 解：(1)在Rt △AOB 中， ∵∠BAO ＝60°，∴∠ABO ＝30°，∴OA ＝12AB.∵OA ＝100 m ，∴AB ＝200 m .由勾股定理，得OB ＝AB 2－OA 2＝2002－1002＝1003(m )． 在Rt △AOC 中，∵∠CAO ＝45°， ∴∠OCA ＝∠OAC ＝45°.∴OC ＝OA ＝100 m ．∴B(－1003，0)，C(100，0)． (2)∵BC ＝BO ＋CO ＝(1003＋100)m ，1003＋10015≈18>503，∴这辆汽车超速了．7．解：(1)在Rt △ABC 中，BC 2＝AB 2－AC 2＝52－32＝16， ∴BC ＝4 cm .(2)由题意知BP ＝t cm ，①如图①，当∠APB 为直角时，点P 与点C 重合，BP ＝BC ＝4 cm ，即t ＝4； ②如图②，当∠BAP 为直角时，BP ＝t cm ，CP ＝(t －4)cm ，AC ＝3 cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2＝32＋(t －4)2， 在Rt △BAP 中，AB 2＋AP 2＝BP 2， 即52＋[32＋(t －4)2]＝t 2， 解得t ＝254.故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝25 4.(第7题(2))(3)①如图①，当BP＝AB时，t＝5；②如图②，当AB＝AP时，BP＝2BC＝8 cm，t＝8；(第7题(3))③如图③，当BP＝AP时，AP＝BP＝t cm，CP＝|t－4|cm，AC＝3 cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2，所以t2＝32＋(t－4)2，解得t＝258.综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝25 8.。