正态分布下时变参数的报童问题

∂ ∂
R| q
q
=
Q* (
t)
=
0
就有
F( Q *
)
=
p + πp + π+
c h
(5 )
(4)、(5)式说明 ,对于固定 的 t ,存 在最优 订货
量 Q* ( t) ,且 Q * ( t)满足(5)式。
因为
X～
N(μ,σ)
,故
Xσ
μ～
N(0
,1)
,即
F( Q *
)
=
p + πp + π+
c= h
1 引言
经典 newsboy problem(报童 问题) 是运筹 学中 典型的随机规划模型 ,在不确定需求的时令性商品 的销售中 ,过量订 货或 不 足订 货都 会产 生损 失 ,决 策者需要确定商品的最优订购数量 ,使得利润最大 化。由于服务业 产 品多 数具 备报 童模 型 中的 商品 特征 ,随着服务产业 的发展 ,newsboy problem 模型 成为欧美等发达国家的主要管理学模型[1] 。
假设供应商预定的可行订货时间域为 [0 ,T] , T 为 最迟 可 能订 货 时点 ,把 最早 可 能订 货 时点 记 为 0(这一点就是传统时 间因素 影响时 的订 货点) 。 t 为订货时点决策变量 ,0 ≤ t ≤ T ,q 为 t 时 点零售 商决定的订货量 ,是另外一个决策变量 ,R( q ,t)为 t 时点订货量为 q 的 零售 商的期 望收 入。这里 ,假 定信息是 完全 对 称 的。 X 为 市 场 需 求 量 ,是 随 机 的。在固定的 t 时点 ,可预测 X～ N(μ,σ) ,其 中 ,
了扩展 ,研究了多目标的 newsboy problem ;在供 应 链 网 络 结 构 上 进 行 扩 展 研 究 的 有 :Chung[3] , Weng[4] 等研究 了 两阶 段 多源 供 应 问 题 ,Shang[5] , Kogan[6] 研究了多阶段 newsboy problem 模型 ;Lariviere[7] 从渠道协调角度 研究了 供应 链效率 的影 响 因素 ; Petruzzi[8] ,Erlebacher[9] 扩 展 了经 典 报 童 问
c( t) = c0 + δt ,其 中 ,c0 为 0 时 刻 对 应 的 批发 价 , cT = c0 + δT 为 T 时点 对应的 批发价 ;h 为 过量 订
货带来的单位产 品的 损失 ,如库 存成 本 ,削 价处 理
带来的损失等 ;π为 不足 订货 带来 的 缺货 损 失 ,如
wenku.baidu.com
违约惩罚、顾客流失带来的损失等 ;
报童模型 ,以批发价和需求预测精度随时间变化的报童问 题为对象 ,研究市场需 求函数 为正态 分布的 报童模 型
关于最佳订货时点和最优订货量的决策问题。建立了正态分布下时变参数的报童问题的数学模型 ,通过模 型的
求解和数值分析 ,结果显示 ,与传统的不考虑时间因素的报童模型相比 ,前者能够增加零售商的收益。
题中的定价决策 ;更多的研究文献在约束条件上进 行 扩 展[10 ～19] ;Abdel-Maleka[10] ,Vairaktarakis[11] , Moon[12] 研 究 了 带 预 算 约 束 的 newsboy problem , Li[13] 研 究 了 需 求 为 模 糊 数 的 newsboy problem , Dana[14] 考 虑 了 服 务 水 平 的 约 束 ,Pasternack[15] 考 虑了能力约束 ,Khouja[16] 研究了 考虑 广告的 影响 , Chen , Chuang[17] 、李明 琨[18] 、蔡 清波[19] 等考 虑 时
SONG Hua-ming1 ,2 ,MA Shi-hua1
(1 .College of Management , Huazhong University of Science and Technology , Wuhan 430074 , China ; 2 .Institution of Economy Management , Nanjing University of Science Technology , Nanjing 210094 , China) Abstract :With the quick development of service industries and the deepening of time-based competition strategy , the character of seasonal fashion of service/produt is increasing . This paper extends traditional newsboy model with timebased wholesale price and time-based forecasting precision under normally distributed market demanding , discusses the optimal decision about ordering timing and ordering quantity . The mathematics model of newsboy problem with timebased parameter is given ,and through analyzing model and numerical instance , it shows , with contrast of traditional newsboy problem that time factor is not taken into account , the former can increase the income of the dealer . Key words :newsboy problem ; optimal decision ; time-based parameters
间因素影响的报童问题 ,其中文献[17] 将缺货惩罚
收稿日期 :2004-11-28 基金项目 :国家自然科学基金重点资助项目(70332001) ;中国博士后科学基金资助项目(2004035636)
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Vol .24 ,No .6
预测
2005 年第 6 期
转化为一个约束条件 ,研究正态分布下带订货提前 期决策的扩展 newsboy problem ,文献 [18 ,19] 均是 研究需求函数为均匀分布的情形。文献[18] 强调 : “由于正态分布函数表达和求 解的特殊 性 , 难以用 类同前述(均匀分 布情 形)模 型的 数学 公 式表 述结 果及求解过程。”在实践中 ,正态分布是一种最常见 的分布函 数 ,研 究 需 求 函数 正 态 分 布 更 具 现 实 意 义。本文考虑批 发 价和 预测 精度 两个 参 数随 时间 变化的报童问题 ,把缺货带来的损失和过量订货带 来的损失综合在目标函数中。
在接近于需求 实现 时点 ,信 息 量充 分 ,需 求预 测的准 确度 高 ,库存 与缺货 风险 越小。因 此 ,从零 售商的角度 ,希望 推迟 订 货 ,从而 降低 库 存风 险和 缺货风险。但是在接近于需求实现时点订货 ,由需 求不确定性带来的风险就转移到供应商方面 ,固定 资 产 的 投 资 、生 产 能 力 的 不 均 衡 等 造 成 供 应 商 成 本 增加。因 此 ,从供 应商的 角度 出发 ,他 希望零 售商 提早订货。为了鼓励零售商提早订货 ,供应商采用 优惠策略 ,在一个 预定 的 时间 段内 ,给 予 早期 的订 单较低的批发价格。
· 68 ·
μ为常数 ,σ为 t 的函数
,且 σ=
TT
tσ0 (σ0
为
0
时
刻预测精度)[17] ,f( x ,t) ,F( x ,t) 分 别 为对 应 的
密度函数和分布函数 ,分别记 φ( x) ,Φ( x) 为标 准
正态分布的密 度 函 数和 分 布 函 数 ;c( t) 为 t 时 点
订货对应的批发价 ,假定 c( t) 为 t 的线性 函数 ,即
关键词 :报童问题 ;最优决策 ;时变参数
中图分类号 :F224.3
文献标识码 :A
文章编号 :1003-5192(2005)06-0067-04
The Newsboy Problem with Time-based Parameters Under Normally Distributed Demand
Vol .24 ,No .6
预测 FORECASTING
2005 年第 6 期
正态分布下时变参数的报童问题
宋华明1 ,2 , 马士华1
(1 .华中科技大学 管理学院 ,湖北 武汉 430074 ;2 .南京理工大学 经济管理学院 ,江苏 南京 210094)
摘 要 :随着服务业的快速发展和基于时间竞争战略的深化 ,产品/服务的时效性越来越强。本 文扩展了传 统的
Φ(
Q* σ
μ)
令
z=
z( t)
=
Φ-
1
(
p p
+ +
ππ+
c) h
(6 )
所以
Q * ( t) = μ+ zσ
(7 )
且
Φ(
z)
=
p + πp + π+
c h
(8 )
将(7)、(8)式代入(2) 式有
R( Q * ( t) ,t)
= ( p + π+ h)·(μΦ( z) - σφ( z)) - μπ (9)
∫q
( p + π+ h) xf( x ,t)dx - μπ
{ ∫0
因此 ,时变参数的报童模型为
maxR( q ,t) = ( p + π- c) q - ( p + π+ h) q· q ,t
F( q) + ( p + π+ h)·
( I)
q
xf( x ,t)dx - μπ
0
s .t .0 ≤ t ≤ T ,q > 0
从 1950 年以来 ,运筹/运营管理中大量文献研 究 newsboy problem。 Khouja[1] 总 结 了 newsboy problem 的 研 究 状 况 ,归 纳 出 了 newsboy problem 的 11 种扩 展 研 究 ,并指 出 了 进 一 步研 究 的 方 向。 其后的许多关于 newsboy problem 的研究仍然是在 这个框 架 中 的。Parlar 等[2] 在 目 标 函数 方 面 进 行
2 时变参数的报童模型
考虑一个单一周期 ,生产和销售单一时令性产 品的分散决策型供应链 ,例如时尚服饰的供应和销 售。在单一周期内零售商只有一次订货机会 ,零售 商在进行订货决策时 ,是依据对市场需求的预测来 进行的。 预 测 时 间 跨 度 越 长 ,需 求 的 不 确 定 性 越 高 ,决策的风险越大。
0
q
∫q
( x ,t)dx)为销 售收 入 ,第 三项 h ( q - x) f( x , 0
∫∞
t)dx 为过量 订货 带 来 的损 失 ,第 四 项 π ( x q
q) f( x ,t)d x 为缺货损失 ,第五项 cq 为订货成本。
把(1) 式化简后 ,有
R( q ,t) = ( p + π- c) q - ( p + π+ h) qF( q) +
传统的报童模型是不考虑时间因素影响 ,决策 者面临的问题仅 仅是 关于 订货 量 的决 策。考 虑到 参数随时间变化的特征 ,订货时点也影响零售商的 利润 ,决策 者还 要决 定最佳 订货 时点。因 此 ,订货 时点和订货量成 为 时变 参数 下报 童模 型 中的 两个 决策变量。 2.1 符号说明
2.2 数学模型
在上述假设条件下 ,零售商的收益为
∫ ∫ q
∞
R( q ,t) = p( xf( x ,t)dx + qf( x ,t)d x) -
0
q
∫q
h ( q - x) f( x ,t)d x 0
∫∞
π ( x - q) f( x ,t)dx - cq
(1)
q
∫ ∫ q
∞
其中第 一 项 和 第 二 项 p( xf ( x ,t)d x + qf
(2)
3 模型分析
在(2)式中 ,固定 t ,分 别对 (2) 式 关于 q 求 一 阶微分和二阶微分 ,有
∂R= ∂q
( p + π-
c)
-
(p+
π+
h) F( q)
(3)
∂2 R ∂ q2
=
- ( p + π+
h) f( q) < 0
(4)
令
∂R ∂q
=
0
,假 设 存 在
Q*
( t)
,使 得
宋华明 ,等 : 正态分布下时变参数的报童问题