专题10 圆锥曲线的方程与性质(解析版)

专题10 圆锥曲线的方程与性质

【要点提炼】

1.圆锥曲线的定义

(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离).

温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误. 2.圆锥曲线的标准方程

(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)；

(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y 轴上)；

(3)抛物线：y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py (p ＞0). 3.圆锥曲线的重要性质

(1)椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系

①在椭圆中：a 2

＝b 2

＋c 2

；离心率为e ＝c a ＝1－b 2

a 2.

②在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2

；离心率为e ＝c a ＝1＋b 2a 2.

(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标

①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b

a x ；焦点坐标F 1(－c ，0)，F 2(c ，

0).

②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±a

b x ，焦点坐标F 1(0，－

c )，F 2(0，

c ).

(3)抛物线的焦点坐标与准线方程

①抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

p 2，0，准线方程x ＝－p 2.

②抛物线x 2

＝2py (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程y ＝－p 2. 4.弦长问题

(1)直线与圆锥曲线相交的弦

设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k ，直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1

k 2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2. (2)过抛物线焦点的弦

抛物线y 2

＝2px (p >0)过焦点F 的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 2

4，y 1y 2

＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .

考点

考向一 圆锥曲线的定义及标准方程

【典例1】 (1)(2020·浙江卷)已知点O (0，0)，A (－2，0)，B (2，0).设点P 满足|P A |－|PB |＝2，且P 为函数y ＝34－x 2图象上的点，则|OP |＝( ) A.222 B.4105 C.7

D.10

(2)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2

＝1 B.x 23＋y 2

2＝1 C.x 24＋y 2

3＝1

D.x 25＋y 2

4＝1

解析 (1)由|P A |－|PB |＝2＜|AB |＝4，得点P 的轨迹是双曲线的右支.又a ＝1，c ＝2，知b 2

＝c 2

－a 2

＝3.故点P 的轨迹方程为x 2

－y 2

3＝1(x ≥1)①，由于y ＝34－x 2

②，联立①②，得x 2＝134，y 2＝27

4，故|OP |＝x 2＋y 2＝10.

(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0).连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，

|BF 1|＝3m .

由椭圆定义，4m ＝2a ，得m ＝a

2，

故|F 2A |＝|F 1A |＝a ，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点. 如图，不妨设A (0，－b )，依题意，AF 2→＝2F 2B →

，得B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫32，b 2.

由点B 在椭圆上，得94a 2＋b 2

4

b 2＝1，

得a 2

＝3，b 2

＝a 2

－c 2

＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 2

2＝1.

答案 (1)D (2)B

探究提高 1.两题求解的关键在于准确把握圆锥曲线的定义和标准方程，另外注意焦点在不同的坐标轴上，椭圆、双曲线、抛物线方程各有不同的表示形式. 2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.

【拓展练习1】 (1)(2020·天津卷)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，过抛物线y 2＝4x 的焦点和点(0，b )的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 2

4＝1 B.x 2

－y 2

4＝1

C.x 24－y 2

＝1

D.x 2－y 2＝1

(2)(2020·长郡中学检测)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M (x 0，66)⎝ ⎛

⎭

⎪⎫x 0＞p 2是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线x ＝p 2交于A ，B 两点(A 在

B 的上方)，若sin ∠MF A ＝5

7，则此抛物线的方程为________.

解析 (1)由y 2＝4x ，知焦点坐标为(1，0)，则过点(1，0)和点(0，b )的直线方程为x ＋y

b ＝1.

易知x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为x a ＋y b ＝0和x a －y

b ＝0.

由l 与一条渐近线平行，与一条渐近线垂直，得a ＝1，b ＝1.故双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1.

(2)如图所示，过M 点作CM ⊥AF ，垂足为C ，交准线于D ，