二、三重积分的计算技巧
二三重积分的计算
二三重积分的计算首先，让我们回顾一下二重积分。
二重积分是将一个二元函数在一个二维区域上进行积分的过程。
通常，我们将二重积分记作∬f(x,y)dxdy，其中f(x,y)是被积函数，dxdy表示在x和y方向的微元面积。
在二维笛卡尔坐标系中，一个二重积分可以表示为对x和y的积分的连续应用。
具体来说，我们首先对x进行积分，然后再对y进行积分。
这个过程也可以反过来进行，先对y积分，再对x积分。
二重积分的计算方法有多种，其中最常见的方法是通过将区域分割成矩形或三角形，然后对每个小区域进行积分。
我们可以使用Riemann积分或多边形逼近来计算积分的近似值。
当我们将区域划分得足够小，积分的近似值将逼近准确值。
二重积分的计算还可以通过变量替换进行简化。
变量替换是一种改变坐标系的方法，通过使用新的变量代替原来的变量，将原来复杂的积分转换成更简单的形式。
接下来，我们将进一步讨论三重积分。
三重积分是将一个三元函数在一个三维区域上进行积分的过程。
通常，我们将三重积分记作∭f(x,y,z)dxdydz，其中f(x,y,z)是被积函数，dxdydz表示在x、y和z方向的微元体积。
与二重积分类似，三重积分也可以通过将区域分割成小立方体或四面体，然后对每个小区域进行积分来计算。
同样地，我们可以使用Riemann积分或多面体逼近来计算积分的近似值。
当我们将区域划分得足够小，积分的近似值将逼近准确值。
三重积分的计算也可以通过变量替换来简化。
在三维情况下，变量替换涉及到将原始的笛卡尔坐标系转换成其他坐标系，如球坐标系或柱坐标系。
通过使用新的变量代替原来的变量，我们可以将原来复杂的积分转换成更简单的形式。
对于三重积分的计算，我们还可以通过改变积分的顺序来简化计算过程。
通常，我们会根据被积函数的性质和给定的区域选择合适的积分顺序。
通过选择适当的积分顺序，我们可以减少计算量并简化积分过程。
总结起来，二重积分和三重积分是在二维和三维区域上进行积分的过程。
二重积分及三重积分的计算
第一部分 定积分的计算一、定积分的计算例1 用定积分定义求极限.)0(21lim 1>++++∞→a nn a a a a n . 解 原式=⎰∑=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→1011lim aani n x n n i dx =a a x a +=++11111.例2 求极限 ⎰+∞→1021lim xx n n dx . 解法1 由10≤≤x ，知nn x x x ≤+≤210，于是⎰+≤1210x x n ⎰≤1n x dx dx .而⎰10nx ()∞→→+=+=+n n n x dx n 0111101，由夹逼准则得⎰+∞→1021lim xx n n dx =0.解法2 利用广义积分中值定理()()x g x f ba⎰()()⎰=bax g f dx ξdx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号），().101111212≤≤+=+⎰⎰n n nn dx x dx xx ξξ由于11102≤+≤nξ，即211nξ+有界，()∞→→+=⎰n n dx x n01110，故⎰+∞→1021lim x x nn dx =0. 注 （1）当被积函数为()22,x a x R +或()22,a x x R -型可作相应变换.如对积分()⎰++3122112xxdx，可设t x tan =；对积分()02202>-⎰a dx x ax x a，由于()2222a x a x a x --=-，可设t a a x s i n =-.对积分dx e x ⎰--2ln 021，可设.sin t e x =-（2）()0,cos sin cos sin 2≠++=⎰d c dt td t c tb t a I π的积分一般方法如下：将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]'，可求出22d c bdac A ++=，22dc adbc B +-=. 则积分 ()220cos sin ln 2cos sin cos sin πππtd t c B A dt td t c t d t c B A I ++=+'++=⎰.ln2dc B A +=π例3 求定积分()dx x x x ⎰-1211arcsin分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 ()dxx x x ⎰-1211arcsin 2t x xt ==12121211212arcsin arcsin arcsin 21arcsin 2tt d t dt tt ==-⎰⎰.1632π= 解法2 ()dx x x x⎰-1211arcsin .163cos sin cos sin 2sin 2242242πππππ==⋅=⎰u du u u uu u u x 小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元()t x ϕ=时还应注意：（1）()t x ϕ=应为区间[]βα,上的单值且有连续导数的函数； （2）换限要伴随换元同时进行；（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例4 计算下列定积分（1）⎰+=2031cos sin sin πx x xdx I ， dx xx x I ⎰+=2032cos sin cos π； （2）.1cos 226dx e xx ⎰--+ππ解 （1）⎰+=2031cos sin sin πxx xdxI)(sin cos cos 2023du uu uu x -+-=⎰ππ=.sin cos cos 223⎰=+πI dx xx x故dx xx xx I I ⎰++==203321cos sin cos sin 21π=()41cos cos sin sin 212022-=+-⎰ππdx x x x x . （2）=I .1cos 226dx e xx ⎰--+ππ()dxe xdu e uu x x u ⎰⎰--+=-+-=2262261cos 1cos ππππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎰⎰--2222661cos 1cos 21ππππdx e x dx e x e I x xx.3252214365cos cos 21206226πππππ=⨯⨯⨯===⎰⎰-xdxxdx这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：dx xdx n n⎰⎰=2020cos sin ππ()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅⨯-⨯--=⨯-⨯--=偶数奇数n n n n n n n n n n ,22421331,1322431π小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。
双重积分与三重积分的计算方法
双重积分与三重积分的计算方法积分是微积分的重要概念之一，广泛应用于数学、物理、工程等领域中。
在多元函数中，双重积分和三重积分是常见的积分形式，用于求解曲面面积、体积以及质量等问题。
本文将介绍双重积分和三重积分的计算方法，以及一些应用示例。
一、双重积分的计算方法双重积分用于计算二维平面上的曲线面积。
设有函数f(x,y)，定义在区域D上，其双重积分表示为：∬D f(x,y) dA其中，D表示积分区域，dA表示面积微元。
双重积分的计算方法主要有以下两种：1. 通过直角坐标系计算在直角坐标系中，双重积分可以被表示成两个变量的积分形式。
具体计算步骤如下：步骤一：确定积分区域D，并建立相应的坐标系。
步骤二：将双重积分转化为重叠曲线面积的求和形式。
步骤三：按照求和形式进行面积的计算。
2. 通过极坐标系计算对于圆形或具有某种对称性的区域D，使用极坐标系计算双重积分更为方便。
具体计算步骤如下：步骤一：确定积分区域D，并建立相应的极坐标系。
步骤二：将双重积分转化为极坐标下的积分形式。
步骤三：按照积分形式进行面积的计算。
二、三重积分的计算方法三重积分用于计算三维空间中的体积、质量等问题。
设有函数f(x,y,z)，定义在区域E上，其三重积分表示为：∭E f(x,y,z) dV其中，E表示积分区域，dV表示体积微元。
三重积分的计算方法主要有以下两种：1. 通过直角坐标系计算在直角坐标系中，三重积分可以被表示成三个变量的积分形式。
具体计算步骤如下：步骤一：确定积分区域E，并建立相应的坐标系。
步骤二：将三重积分转化为区域体积的求和形式。
步骤三：按照求和形式进行体积的计算。
2. 通过柱坐标系或球坐标系计算对于具有某种对称性的区域E，使用柱坐标系或球坐标系计算三重积分更为方便。
具体计算步骤如下：步骤一：确定积分区域E，并建立相应的柱坐标系或球坐标系。
步骤二：将三重积分转化为柱坐标系或球坐标系下的积分形式。
步骤三：按照积分形式进行体积的计算。
二、三重积分的计算技巧
二、三重积分的计算技巧重积分的计算中，对积分区域的熟悉非常重要，以下关于重积分的几种计算技巧均是基于积分区域的特点分析归纳得出。
一、积分区域为圆（二重积分）或球（三重积分）1、在闭区域D为x2y 2 a 2的圆，区域关于原点，坐标轴均对称，则有（1）x 2 dxdy y2 dxdyx 2 y2 a2x2 y2 a2（2）若m, n中有一个为奇数有x n y m dxdy 0.x2y2a2例 1．求( x2 3 y 2 )dxdyx2y 2 a 2解：根据对称性，2a原式 =2(x 2y2 )dxdy =2d r 3dr a4 .x2y2a200例 2．求( x2dxdy 3y)x2y 2 a 2解：原式 =( x29 y 2 6 xy)dxdy5(x 2y 2 )dxdy5 a 4 .x2 y 2 a 2x2 y2 a22例 3．求(x3y 5 ) 2.（积分区域为球）z dxdydzx2y 2z2a2解：原式 =(x29y225z26xy30yz10).xz dxdydzx2y 2 z2a2=35( x2y 2z2 )dxdydz.35. 4a528 a 5 .3 x2y2z2a2 3 532、在闭区域D为( x a)2y 2 a 2的圆上例 4．求x dxdy( x a) 2y2a2(x a a)2a3 .解：原式 =dxdy( x a) 2y2a2—例 5．求x 2dxdy( x a) 2 y2a2解：原式 =(x a2a) dxdy( x a) 2y2a2(x 22a( x a)dxdy a 2dxdy 5 a4.=a) dxdy( x a) 2 y2 a2(x a)2 y 2 a2( x a )2 y2 a 243、在闭区域D为( x a)2( y b) 2c2的圆上(处理方法同2)二、积分区域的对称（化重积分为累次积分）1、区域关于坐标轴对称例 6．区域D由y x 2与 y 1 围成，求( xy2x 2 y 2 )dxdy.D2211224x y dxdy dx dy =解：原式 =x y..D1x2272、区域关于y x 对称，(x, y) D ,( y, x) D ，有 f ( x, y)dxdy f ( y, x)dxdy.D D例 7．求( xy2yx2 )dxdy. 其中区域 D 为x2y 2 a 2， x0, y0D解：原式 =( yx2yx2 )dxdy. =0.D例 8．( xy23yx2)dxdy.其中区域 D 为x2y 2 a 2， x0, y0D2a解：原式 = 4xy2 dxdy=4d r cos r 2 sin 2rdrD00ar 5 sin2 2 a6= 4 2 d d sin=09例 9.求 a ( x)b ( y)dxdy. 其中区域D为 x2y2a2， ( x ) 为正值连续函数。
二重积分和三重积分的计算
几何意义：三重 积分可以用来计 算三维空间中物 体的质量、质心 和转动惯量等物
理量
计算方法：通 过累加三维空 间中各个小体 积元的积分来 计算三重积分
应用场景：在 物理学、工程 学和经济学等 领域有广泛应
用
连续性：三重积分在连续的区间上具有连续的函数值 可加性：对于任意分割的三重积分，其和等于原三重积分的值 可积性：如果三重积分存在，则其值等于被积函数在积分区域上的质量
奇偶性：如果被积函数是奇函数或偶函数，则三重积分的值可能是奇数或偶数
二重积分与三重积 分的应用
计算物体在弹性力作用下的 变形量
计算物体在重力场中的质心 位置
计算带电体在电场中的电势 分布
计算电磁场中的能量密度分 布
三重积分可以用来计算三维物 体的质量、质心和转动惯量等二重积分表示的是二维平面上的面积 二重积分可以计算平面图形的面积 二重积分的值等于被积函数与x轴围成的面积 二重积分的几何意义是二维平面上的体积
可加性：二重积分满足可加性，即可以将积分区域分成若干个小区域， 分别对每个小区域进行积分后再求和。
线性性质：二重积分满足线性性质，即对于常数c，有∫∫D (c) dxdy = c * ∫∫D dxdy。
二重积分的计算需要使用微元法， 将积分区域划分为小的矩形区域
将所有矩形的积分结果相加，即可 得到整个积分区域的二重积分值
直角坐标系法：将二重积分转化为累次积分，再逐一计算 极坐标系法：将二重积分转化为极坐标形式，再逐一计算 区域分割法：将积分区域分割成若干个小区域，再分别计算 数值计算法：利用数值计算软件进行二重积分的计算
三重积分的几何意义：三重积分可以理解为三维空间中体积的积分，即对三维空 间中某一区域进行积分。
三重积分的计算方法：三重积分可以通过多次逐维积分来计算，即先对一个变量 进行积分，再对另一个变量进行积分，最后对第三个变量进行积分。
二、三重积分的计算
D2
X-型域或Y-型域 ,则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
5
第九章利用极坐标系计算二重积分面积元素i i
i
D
i
o
A
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
D
D
6
第九章
基本简化区域的定义 r－型区域： 穿过区域且r＝常数的圆周与区 域边界相交不多于两个交点.
dr
r sin
r sind
dv r2 sindrdd ,
r
rd
d
o
y
f ( x, y, z)dxdydz
d
x
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
27
第九章
28
第九章
如图，
z
球面坐标系中的体积元素为 d
dr
r sin
r sind
dv r2 sindrdd ,
z
o
x
A
•
y
x yP
x2 y2 z2 r2
x2 y2 r2 sin2
3·球坐标的取值范围： 0 2,0 r ,0
25
第九章
规定： 0 r , 0 , 0 2.
三坐标面分别为
r 为常数
为常数 为常数
球 面； 圆锥面； 半平面．
26
第九章
如图，
z
球面坐标系中的体积元素为 d
D
f (x,
y)d
V f ( x, y) 0 V f ( x, y 0)
二重积分的物理意义：平面薄片D的质量
MD ( x, y)d
多重积分的计算方法与技巧
多重积分的计算方法与技巧在数学中，多重积分是一种重要的计算方法，用于求解多变量函数在特定区域上的积分。
计算多重积分需要掌握一些方法和技巧，本文将介绍其中常用的计算方法以及一些实用的技巧。
1. 二重积分的计算方法二重积分是最基本的多重积分形式，其计算方法分为直角坐标系下和极坐标系下的计算方法。
以下将介绍这两种计算方法。
1.1 直角坐标系下的计算方法直角坐标系下的二重积分计算方法如下：首先，确定积分区域D，并在直角坐标系下建立相应的坐标系。
其次，写出被积函数f(x,y)在D上的积分形式，即∬f(x,y)dxdy。
然后，根据积分区域D的形状和对称性，选择适当的积分顺序，如先x后y或先y后x。
最后，通过将二重积分转化为两个一重积分相结合的形式，依次进行积分计算，可以利用一重积分的性质和常见函数的积分表进行计算。
1.2 极坐标系下的计算方法对于某些具有旋转对称性的问题，使用极坐标系进行积分计算更加方便快捷。
极坐标系下的二重积分计算方法如下：首先，确定积分区域D，并在极坐标系下建立相应的坐标系。
其次，写出被积函数f(r,θ)在D上的积分形式，即∬f(r,θ)rdrdθ。
然后，根据积分区域D的特点，确定积分的范围。
最后，通过将二重积分转化为两个一重积分相结合的形式，依次进行积分计算，可以利用一重积分的性质和常见函数的积分表进行计算。
2. 三重积分的计算方法三重积分是在三维空间中计算体积、质量、重心等物理量时常用到的方法，其计算方法比二重积分复杂一些。
计算三重积分的方法如下：首先，确定积分区域D，并在三维坐标系下建立相应的坐标系。
其次，写出被积函数f(x,y,z)在D上的积分形式，即∭f(x,y,z)dxdydz。
然后，根据积分区域D的特点，确定积分的范围。
最后，通过将三重积分转化为三个一重积分相结合的形式，依次进行积分计算。
在实际计算中，可以利用对称性、数学变换和数值计算等方法简化复杂的三重积分计算。
3. 多重积分的技巧除了上述的基本计算方法外，还有一些技巧可以帮助我们更高效地计算多重积分。
多重积分计算二重积分与三重积分的基本方法
多重积分计算二重积分与三重积分的基本方法在数学中，多重积分是解决面积、体积和质量等问题的重要工具。
其中，二重积分是用来计算平面区域的面积，而三重积分则用于计算空间区域的体积。
本文将介绍二重积分与三重积分的基本方法与计算步骤。
一、二重积分的基本方法二重积分是对某个平面区域上的函数进行积分运算，求得该区域的面积。
一般来说，二重积分可分为定积分和不定积分两种情况。
1. 定积分形式的二重积分对于一个连续函数 f(x, y)，在平面区域 D 上的二重积分可表示为：∬D f(x, y) dA其中，dA 表示面积元素。
根据坐标变换公式，可将二重积分转化为极坐标下的积分形式，进而进行计算。
具体的步骤如下：（1）确定积分区域 D，可用不等式或几何关系描述。
（2）通过坐标变换公式将二重积分转化为极坐标下的积分形式，例如：x=r*cosθ，y=r*sinθ。
（3）计算极坐标变换后的积分限，并替换原函数 f(x, y) 为极坐标下的函数f(r, θ)。
（4）进行积分计算，得到最终结果。
2. 不定积分形式的二重积分当二重积分的积分区域 D 无法用几何关系或不等式表示时，可以将二重积分转化为不定积分形式进行计算。
具体的步骤如下：（1）将二重积分转化为累次积分形式，例如：∬D f(x, y) dA = ∫c1到c2 ( ∫h1到h2 f(x, y) dy ) dx。
（2）依次计算累次积分，其中内积分 dy 需要将变量 x 视为常量，进行积分运算。
（3）将内积分的结果代入到外积分中，再次进行积分运算，得到最终结果。
二、三重积分的基本方法三重积分是对空间区域上的函数进行积分运算，求得该区域的体积。
一般来说，三重积分可分为定积分和不定积分两种情况。
1. 定积分形式的三重积分对于一个连续函数 f(x, y, z)，在空间区域 E 上的三重积分可表示为：∭E f(x, y, z) dV其中，dV 表示体积元素。
根据坐标变换公式，可将三重积分转化为柱面坐标或球面坐标下的积分形式，进而进行计算。
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二、三重积分的计算技巧重积分的计算中，对积分区域的熟悉非常重要，以下关于重积分的几种计算技巧均是基于积分区域的特点分析归纳得出。
一、积分区域为圆（二重积分）或球（三重积分）1、 在闭区域D 为222a y x ≤+的圆，区域关于原点，坐标轴均对称，则有（1）dxdy y dxdy x a y x a y x ⎰⎰⎰⎰≤+≤+=22222222（2）若n m ,中有一个为奇数有.0222=⎰⎰≤+dxdy y xa y x m n例1．求dxdy y x a y x ⎰⎰≤++222)3(22 解：根据对称性，原式=dxdy y x a y x ⎰⎰≤++222)(222=.242003a dr r d aπθπ=⎰⎰ 例2．求dxdy y x a y x 2222)3(⎰⎰≤++解：原式=.25)(5)69(42222222222a dxdy y x dxdy xy y x a y x a y x π=+=++⎰⎰⎰⎰≤+≤+ 例3．求.)53(22222dxdydz z y x a z y x ⎰⎰⎰≤++++（积分区域为球） 解：原式=.)10306259(2222222dxdydz xz yz xy z y x a z y x ⎰⎰⎰≤+++++++ =.32854.335.)(335552222222a a dxdydz z y x a z y x ππ==++⎰⎰⎰≤++2、 在闭区域D 为222)(a y a x ≤+-的圆上例4．求dxdy xa y a x ⎰⎰≤+-222)(解：原式=.)(32)(222a dxdy a a x a y a x π=+-⎰⎰≤+-例5．求dxdy x a y a x ⎰⎰≤+-222)(2解：原式=dxdy a a x a y a x 2)(222)(⎰⎰≤+-+-==+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+-≤+-≤+-dxdy a dxdy a x a dxdy a x a y a x a y a x a y a x 222222222)(2)(2)()(2)(.454a π 3、 在闭区域D 为222)()(c b y a x ≤-+-的圆上(处理方法同2)二、积分区域的对称（化重积分为累次积分） 1、区域关于坐标轴对称例6．区域D 由12==y x y 与围成，求.)(222dxdy y x xyD⎰⎰+解：原式=dy y x dx dxdy y x x D⎰⎰⎰⎰-=11122222.=.274 2、区域关于x y =对称，D x y D y x ∈∈),(,),(，有.),(),(⎰⎰⎰⎰=DDdxdy x y f dxdy y x f例7．求⎰⎰-Ddxdy yx xy.)(22其中区域D 为222a y x ≤+，0,0≥≥y x解：原式=⎰⎰-Ddxdy yx yx .)(22=0. 例8．⎰⎰+Ddxdy yx xy .)3(22其中区域D 为222a y x ≤+，0,0≥≥y x 解：原式=dxdy xyD⎰⎰24=rdr r r d aθθθπ2202sin cos 4⎰⎰=θθθπsin sin 4225d r d a⎰⎰=692a例9.求.)()()()(dxdy y x y b x a D⎰⎰++ϕϕϕϕ其中区域D 为222a y x ≤+，)(x ϕ为正值连续函数。
解：根据对称性可知dxdy y x y b x a D ⎰⎰++)()()()(ϕϕϕϕ=.)()()()(dxdy y x y a x b D⎰⎰++ϕϕϕϕ 则由2dxdy y x y b x a D ⎰⎰++)()()()(ϕϕϕϕ=dxdy b a D⎰⎰+)(=.)(2R b a +π故原式等于.)(212R b a +π例10.若函数)(x f 在区间[0,1]上连续，并且⎰=1.)(A dx x f 求⎰⎰11)()(xdy y f x f dx解：若)()(),(y f x f y x F =则有),(),(x y F y x F =则2⎰⎰11)()(xdy y f x f dx =⎰⎰ydx y f x f dy 01)()(+⎰⎰11)()(xdy y f x f dx=⎰⎰11)()(dy y f dx x f =2A则⎰⎰110)()(xdy y f x f dx 的值为.22A 三、形如dxdy y x a y x ⎰⎰≤++222)(22或.2222222dxdydz z y x a z y x ⎰⎰⎰≤++++积分的相关运算，化重积分为定积分（利用极坐标或球面坐标）。
dxdy y x a y x ⎰⎰≤++222)(22=⎰⎰⎰=aardr r f dr r f d 020)(2)(πθπdxdydz z y x a z y x ⎰⎰⎰≤++++2222222=dr r r d d aϕϕθππsin .02200⎰⎰⎰=dr r r f a20)(4⎰π例11.令)(a g =dxdy y x a y x ⎰⎰≤++222)(22,求.)(lim 20aa g a → 解：20)(lim a a g a →=).0(2)(2lim 0f aaa f a ππ=→例12．令)(a g =dxdydz z y x a z y x ⎰⎰⎰≤++++2222222,求.)(lim30aa g a → 解：30)(lim a a g a →=).0(343)(4lim 220f a a a f a ππ=→例13．若)(a g =dxdy y x a y x ⎰⎰≤++222)(22，1)0(,0)0(='=f f ，求.)(lim 30aa g a +→ 解：20303)(lim )(lim aa g a a g a a '=++→→ =ππ323)(2lim20=+→a a a f a .32)0()(lim π=-+→a f a f ax 四、固定变量替换（利用图形寻找合适的变量替换）例14．求.)cos(2dxdy y x e y x y x +⎰⎰≤+-π解：令则有.,v y x u y x =-=+2v 2-,2u 2-ππππ≤≤≤≤2,2v u y v u x -=+=.则可算出雅克比行列式.21=J 则原式=222222cos 2121cos ππππππ---'-==⋅⎰⎰⎰⎰e e udu dv e dudv u e v D v五、用正交变换计算重积分用正交变换的方法计算重积分，在很多求重积分的题目中会有意想不到的便利。
正交变换（其几何意义为坐标轴的旋转）计算重积分的方法是一种特殊的变量替换。
例15. 将⎰⎰≤++222)(t y x dxdy by ax f 化为定积分解：设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x b a b a bba a v u 112222，则有u=,22b a by ax ++u b a by ax 22+=+则⎰⎰≤++222)(22t v u dudv u b a f =dv u b a f duttu t u t ⎰⎰----+2222)(22=du u t u b a f tt2222)(2-+⎰-对于dxdydz cz by ax f t z y x ⎰⎰⎰≤++++2222)(利用正交变换后222cb a cz by ax u ++++=，则有u c b a cz by ax222++=++，则有：dxdydz cz by ax f t z y x ⎰⎰⎰≤++++2222)(=dudvdw u c b a f t w v u ⎰⎰⎰≤++++2222)(222=dudw u c b a f duttu t w v ⎰⎰⎰--≤+++2222)(222=.)()(22222du u t u c b a f tt-++⎰-π例16.求dxdydz z y x z y x 81222)(⎰⎰⎰≤++++解：原式=du u u )1()3(2811-⎰-π=du u u ⎰--11108)(81π=1136π.。