机械设计基础

齿廓啮合基本定律动画
5.5 渐开线齿轮的切齿原理与根切现象
5.5.1 渐开线齿轮的切齿原理
近代齿轮的加工方法很多，有铸造法、 热轧法、冲压法、模锻法和切齿法等。其 中最常用的是切削方法，就其原理可以概
括分为仿形法和范成法两大类。
1．仿形法
顾名思义，仿形法就是刀具的轴剖面刀 刃形状和被切齿槽的形状相同。其刀具有 盘状铣刀和指状铣刀等，如图所示。
为了改善齿轮传动的性能，出现了变位齿轮。
用范成法加工齿轮，若刀具的齿顶超过啮合极限点N1则 被切齿轮必定发生轮齿根切。
不根切的条件可以表示为 PB1 PN1 ，即：
ha*m
s in

mz sin
2
z 2ha*
sin 2
因此，渐开线标准齿轮不根切的最少齿数为
z m in

2ha*
sin 2
20 ， ha* 1.0 时， zmin 17
hf=(ha*+c*)m
标准齿轮是指模数、 压力角、齿顶高系数和 顶隙系数均为标准值， 且分度圆上的齿厚等于 齿槽宽的齿轮。
渐开线标准直齿圆柱齿轮的几何尺寸计算公式见教材表5-3。
5.3.3 渐开线齿圆柱齿轮常用的测量项目 1．公法线长度的测量计算
Wk m[2.9521(k 0.5) 0.014z]
由于齿轮制造和安装的误差、运转时径向力的作 用以及轴承磨损等原因，齿轮的实际中心距离往往与 标准中心距不相一致，而略有变动。如图所示，两轮 的分度圆不再相切，这时节圆与分度圆不再重合，两 轮的节圆半径大于各 自的分度圆半径。不 难求出，此时两轮的 中心距与啮合角的关 系为
acos acos
3、 压力角
渐开线上各点的压力角是不同的, 通常所说的压力角指分度圆上的压力 角, 用α表示。 国家标准规定齿轮分度 圆压力角为标准值α=20°。
不同压力角时轮齿的形状
4、齿顶高系数
ha=ha*m
（ha*=1）
5、顶隙系数
C=c*m
(c*=0.25)
全齿高 h=ha+hf=(2ha*+c*)m
5.1 齿轮传动的类型和特点
齿轮传动：用于传递空间任意两轴 之间的运动和动力。
一、齿轮传动的特点
①传动比准确； ②传动效率高； 优点： ③工作可靠、寿命长； ④结构紧凑； ⑤适用范围广。
①制造和安装精度要 求较高； 缺点：
②不适宜用于两轴 间距离较大的传动。
齿轮传动动画（3D)
二、齿轮传准直齿圆柱齿轮的分度圆弦齿厚和分度圆弦齿高的计算公式为
s mz sin 90 z
h m[1 z (1 cos 90 )]
2
z
5.4 渐开线标准齿轮的啮合传动
5.4.1 正确啮合条件
一对相啮合齿轮的轮齿分布要满足的几何条件,称为正
确啮合条件 : pn1 pn2
夹角α’称为啮合角。由理论力学 知道，齿廓间正压力方向为接触 点公法线方向，由于公法线与啮 合线重合且位置不变，显然，啮 合角α’是一个常数，所以齿廓间 正压力方向也不会改变。当齿轮 传递的转矩为常数时，正压力的 大小也不变。这对于提高齿轮传 动的平稳性是极为有利的。由图 还可知道，啮合角α’在数值上等 于渐开线在节圆上的压力角。
齿距p对π的比值为标准值(整数或有理数)称为模数,用m表示, 即
m p

式中, m的单位为mm。 模数是齿轮 的一个重要的基本参数, 我国已制定了标 准模数系列(见下表)。 因此, 分度圆的直 径为
d pz mz

分度圆的齿距p为
p=s+e=πm
标准模数系列表（摘自GB/T 1357—2008）
第一系列 1 1.25 1.5 2 2.5 3 4 5 6 8 10 12 16 20 25 32 40 50
第二系列 1.75 2.25 2.75 （3.25） 3.5 （3.75） 4.5 5.5 （6.5） 7 9 （11） 14 18 22 28 （30） 36 45
不同模数轮齿大小的比较
(9) 齿根高: 分度圆和齿根圆之间的 径向距离称为齿根高, 用hf表示。显然 hf=(d-df)/2。
(10) 齿高: 齿顶圆和齿根圆之间的径 向距离称为齿高,用h表示。显然h=ha+hf。
(11) 齿轮宽度： 沿齿轮轴线的长度 称为齿宽, 用b表示。
5.3.2、渐开线齿轮的基本参数和尺寸计算
2．范成法（又称展成法）
这种方法是加工齿轮中最 常用的一种方法。利用一对齿 轮互相啮合传动时，两轮的齿 廓互为包络线的原理来加工的。
将一对互相啮合传动的齿 轮之一变为刀具，而另一个作 为轮坯，并使二者仍按原传动 比进行传动，则在传动过程中， 刀具的齿廓便在轮坯上包络出
与其共轭的齿廓。
常用的刀具有齿轮插刀、齿条插刀和齿 轮滚刀。
当两轮齿顶圆加大时，点B2和B1将分别趋近于点 N1和N2，实际啮合线将加长，但因基圆内无渐开线， 所以实际啮合线不会超过N1N2，即N1N2是理论上可能 的最长啮合线，称为理论啮合线。要保证齿轮连续传 动，须：
ε为重合度
ε大，表明同时参与啮合轮齿的对数多，或同时参 与啮合所占的时间比例大，每对齿的负荷小，传动 平稳性好。因此ε是衡量齿轮传动质量的主要指标之 一。
曲线齿圆锥齿轮传动动画(3D)
3、交错轴斜齿轮传动 交错轴斜齿圆柱齿轮机构动画(3D)
4. 蜗轮蜗杆传动
蜗轮蜗杆传动动画(3D)
5.2 渐开线齿廓
5.2.1 渐开线的形成
如图所示，一条直线沿一个半径为rb的圆周作纯滚动，
该直线上任一点k的轨迹称为该圆的渐开线。这个圆称 为基圆，该直线称为渐开线的发生线。
由渐开线性质可知，法向齿距与基圆齿距相等，故上
式也可写成:
pb1 pb2
pb m cos
结论：一对渐开线齿轮，在模数和压力角取标准值的情况下，
只要它们分度圆上的模数和压力角分别相等，就能正确啮合。
m1 m2 m
1
2


正确啮合动画
5.4.2 连续传动条件
图中B2点（从动轮2齿顶 圆与啮合线N1N2的交点）， 是一对轮齿啮合的起始点。 随着啮合传动的进行，两齿 廓的啮合点沿着啮合线移动， 直到B1点（主动轮1的齿顶圆 与啮合线的交点）时，两轮 齿即将脱离接触，B1点为轮 齿啮合的终止点。 从一对轮 齿的啮合过程来看，啮合点 实际走过的轨迹只是啮合线 上的一段，即B1B2，称为实 际啮合线。
一对齿轮啮合过程演示动画
5.3 渐开线标准直齿圆柱齿轮的几何尺寸计算
5.3.1、齿轮各部分名称
(1) 齿顶圆: 过所有轮齿顶部所作的圆称为 齿顶圆, 其直径和半径分别用da和ra表示。
(2) 齿根圆: 过轮齿根部所作的圆称为齿根 圆, 其直径和半径分别用df和rf表示。
(3) 基圆: 发生渐开线齿廓的圆称基圆, 其 直径和半径分别用db和rb表示。
3、渐开线齿廓上某点的法线与该点的速度方向所夹的锐 角称为该点的压力角。如图所示
基圆与压力角的关系动画
4、 渐开线的形状只取 决于基圆大小。 如图所示
5、 基圆内无渐开线。
5.2.3 渐开线齿廓的啮合特点 1、瞬时传动比恒定
上式表明：渐开线齿轮的 传动比等于两轮基圆半径的 反比。
2、渐开线齿廓传动中心距可分性
5.2.2 渐开线的性质
1 、发生线沿基圆滚过的线段长度等于基圆上被滚过的 相应弧长。如图所示。
渐开线的展开过程演示动画
2、 渐开线上任意一点法线必然与基圆相切。
换言之，基圆的切线必为渐开线上某点的法线。
因为当发生线在基圆上作纯滚动时，它与基圆 的切点B是发生线上各点在这一瞬时的速度瞬心， 渐开线上K点的轨迹可视为以B点为圆心， BK为半 径所作的极小圆弧，故B点为渐开线上K点的曲率 中心，BK为其曲率半径和K点的法线，而发生线始 终相切于基圆，所以渐开线上任意一点法线必然与 基圆相切。
1、平行轴齿轮传动
（1）直齿圆柱齿轮： a)外啮合直齿轮
b)内啮合直齿轮
外啮合直齿轮传动动画（3D)
内啮合直齿轮传动动画(3D)
c)齿轮齿条传动
齿轮齿条传动动画(3D)
（2）斜齿圆柱齿轮
斜齿圆柱齿轮传动动画(3D)
（3）人字齿圆柱齿轮
人字齿圆柱齿轮传动动画(3D)
2、相交轴齿轮传动
直齿圆锥齿轮传动
1、齿数：齿轮整个圆周上轮齿的总数, 用z表示。
2、 模数： 根据圆的周长和齿距的定义可知
dk zpk
dk

zpk

式中, 比值pk/π含有无理数π, 这给设计、制造及测量带来不便,
为此需在齿轮上取一圆, 将该圆pk/π的比值规定为标准值,并使该
圆上的压力角也为标准值, 这个圆即为分度圆。规定分度圆上的
(4) 齿厚: 在直径为dk的任一圆周上, 一个 轮齿两侧齿廓间的弧长称为该圆上的齿厚, 用 sk表示。
(5) 齿槽宽: 在直径为dk的圆周上, 相 邻轮齿两侧齿廓间的弧长称为该圆上的
齿槽宽, 用ek表示。
(6) 齿距: 在直径为dk的圆周上, 相邻 两齿同名齿廓之间的弧长称为该圆上的
齿距, 用pk表示, pk=sk+ek。 基圆齿距用 pb表示, pb=sb+eb。sb、eb分别为基圆上 的齿厚和齿槽宽。
(7) 分度圆: 在齿顶圆和齿根圆之间 的作为齿轮尺寸计算基准的圆, 其直径和 半径分别用d和r表示。在标准齿轮上齿 厚与齿槽宽相等, 且分度圆的齿距p、齿 厚s、齿槽宽e的关系是: s=e=p/2。
(8) 齿顶高： 齿顶圆和分度圆之间的 径向距离称为齿顶高, 用ha表示。显然 ha=(da-d)/2。
仿形法加工动画（3D)
切削时，铣刀转动，同时毛坯沿它的轴线方向移动一 个行程，这样就切出一个齿间，也就是切出相邻两齿的 各一侧齿槽；然后毛坯退回原来的位置，并用分度盘将 毛坯转过，再继续切削第二个齿间（槽）。依次进行即 可切削出所有轮齿。