高中数学第一章常用逻辑用语1.3全称量词与存在量词1.3.2全称命题与特称命题的否定课时作业北师大版选修1-1

1.3.2 全称命题与特称命题的否定

一、选择题

1．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定

．．是( )

A．所有不能被2整除的整数都是偶数

B．所有能被2整除的整数都不是偶数

C．存在一个不能被2整除的整数是偶数

D．存在一个能被2整除的整数不是偶数

解析：全称命题的否定：所有变为存在，且否定结论．

所以原命题的否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数．

答案：D

2．[2013·四川高考]设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x ∈B，则( )

A. ¬p：∀x∈A,2x∉B

B. ¬p：∀x∉A,2x∉B

C. ¬p：∃x∉A,2x∈B

D. ¬p：∃x∈A,2x∉B

解析：因全称命题的否定是特称命题，故命题p的否定为¬p：∃x∈A,2x∉B.故选D.

答案：D

3．下列命题的否定是真命题的是( )

A．有理数是实数

B．有些平行四边形是菱形

C．∃x0∈R,2x0＋3＝0

D．∀x∈R，x2－2x>1

解析：根据原命题和它的否定真假相反的法则判断．A、B、C显然正确，而D中不等式解集不是R，故选D.

答案：D

4．“存在整数m0，n0，使得m20＝n20＋2011”的否定是( )

A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋2011

B．存在整数m0，n0，使得m20≠n20＋2011

C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋2011

D．以上都不对

解析：特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．

答案：C

二、填空题

5．[2014·山东滨州二模]命题“偶函数的图像关于y 轴对称”的否定是________． 解析：本题主要考查全称命题的否定．本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y 轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y 轴对称”改为“关于y 轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y 轴不对称”．

答案：有些偶函数的图像关于y 轴不对称

6．若关于x 的函数y ＝x 2＋x ＋m 的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是__________．

解析：由题意知应满足的条件为x 2＋x ＋m ≥0恒成立，只需Δ＝1－4m ≤0，解得m ≥14

. 答案：[14

，＋∞) 7．若命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则实数a 的取值范围是__________．

解析：ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，即不等式ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1对∀x ∈R 恒成立，即(a ＋2)x 2＋4x ＋(a －1)≥0恒成立．当a ＋2＝0时，不符合题意；

故有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2>0，Δ≤0，解得a ≥2.

答案：[2，＋∞)

三、解答题

8．写出下列命题的否定，并判断其真假：

(1)每条直线在y轴上都有一个截距；

(2)p：所有的正方形都是菱形；

(3)p：至少有一个实数x0，使x30＋1＝0；

(4)p：与同一平面所成的角相等的两条直线平行．

解：(1)否定为：存在直线在y轴上没有截距．(真命题)．

因为与y轴平行的直线在y轴上没有截距，所以命题的否定为真命题．

(2)是全称命题，¬p：存在一个正方形不是菱形．正方形是特殊的菱形，所以¬p为假命题．

(3)是特称命题，¬p：∀x∈R，x3＋1≠0.因为x＝－1时，x3＋1＝0，所以¬p为假命题．

(4)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意两条与同一平面所成的角相等的直线平行”，¬p：存在两条与同一平面所成的角相等的直线不平行，¬p为真命题．9．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.

(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．

(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．

解：(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，

即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.

要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，

只需m>－4即可．

故存在实数m>－4，

使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立．

(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，

只需m>f(x)min.

又f(x)＝(x－1)2＋4，

∴f(x)min＝4，∴m>4.

所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．