2013届高考北师大版数学总复习课件：8.7空间向量及其运算
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新北师大版第7章第5节空间向量与向量运算课件(80张)
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3．(多选题)下列各组向量中，是平行向量的是( ) A．a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4) B．c＝(1，0，0)，d＝(－3，0，0) C．e＝(2，3，0)，f＝(0，0，0) D．g＝(－2，3，5)，h＝(16，－24，40) ABC 对于 A，有 b＝－2a，所以 a 与 b 是平行向量； 对于 B，有 d＝－3c，所以 c 与 d 是平行向量； 对于 C，f 是零向量，与 e 是平行向量； 对于 D，不满足 g＝λh，所以 g 与 h 不是平行向量．
向量总是_共__面_的
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4.空间向量的线性运算及运算律 (1)线性运算：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向 量运算，如下：O→C ＝O→A ＋O→B ＝a＋b，B→A ＝O→A －O→B ＝a－b；O→P ＝ λa(λ∈R). (2)空间向量加法的运算律 ①加法交换律：a＋b＝b＋a； ②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
2．空间向量的概念 (1)定义：在空间中，我们把具有_大__小_和方__向__的量叫作空间向量． (2)长度或模：空间向量的大__小__叫作空间向量的长度或模． (3)表示法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示．表示向量 a 的 有向线段的长度也叫作向量 a 的长度或模，用|a|表示．②字母表示法：用 字母 a，b，c，…表示．
＋45
→ OB
＋25
→ (OC
－O→B
)
＝15
→ OA
＋25
→ OB
＋25
→ OC
，
∵15 ＋25 ＋25 ＝1，
∴M，A，B，C 四点共面．
即点 M∈平面 ABC.
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探究·核心考点
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2013届高考北师大版数学总复习课件：8.8空间向量的应用
4．已知两平面的法向量分别为 m＝ (0,1,0)， n＝ (0,1,1)，则 两平面所成的二面角为( A． 45° C． 45° 或 135°
[答案] C
) B． 135° D． 90°
[解析] cos< m，n>＝
m· n 1 2 ＝ ＝ ， | m|| n| 1× 2 2
a· b |b| |a|·
.
(2)直线与平面的夹角 ①定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的 投影的夹角．
π [0， ]． 2 ②范围：直线和平面夹角 θ 的取值范围是
③向量求法：设直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 u， 直线与平面所成的角为 θ，a 与 u 的夹角为 φ，则有 sinθ＝ |cosφ | 或 cosθ＝ sinφ.
(3)二面角 ①二面角的取值范围是 [0，π]． ②二面角的向量求法： (ⅰ )若 AB、 CD 分别是二面角 α—l—β 的两个面内与棱 l 垂 → → 直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角 (如图 ① )．
(ⅱ )设 n1， n2 分别是二面角 α—l— β 的两个面 α， β 的法向量， 则向量 n1 与 n2 的夹角 (或其补角)的大小就是二面角的平面角的 大小 (如图②③ )．
2．设平面 α 的法向量为(1,2，－2)，平面 β 的法向量为(－2， － 4， k)，若 α∥ β，则 k＝ ( A． 2 C． 4
[答案] C
)
B．－ 4 D．－2
[解析] ∵α∥β，∴(－2，－4，k)＝λ(1,2，－2)． ∴－2＝λ，k＝－2λ，∴k＝4.
3．如图所示，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1⊥底面 ABC， AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90° ，点 E、F 分别是棱 AB、BB1 的中 点，则直线 EF 和 BC1 所成的角是( A．45° C．90°
空间向量及其运算 课件
共线向量与共面向量
1.共线向量 (1) 定 义 ： 表 示 空 间 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线 互__相__平__行__或__重__合__，则这些向量叫做_共__线__向__量___或平行向量； (2)共线向量定理：对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)， a∥b 的充要条件是存在实数 λ 使__a_＝__λ_b____.
【思路探究】 (1)空间向量中，零向量是怎样定义的？ (2)怎样判断两个向量相等？(3)四边形 ABCD 满足什么条件
时，才有A→B＋A→D＝A→C？ 【自主解答】 ①正确；②正确，因为A→C与A→1C1的大小
和方向均相同；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以 a 与 b 的 方向不能确定；④中只有当四边形 ABCD 是平行四边形时，
2．共面向量 (1)定义：平行于__同__一__个__平__面___的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)， 使_p_＝__x__a_＋__y_b__.
推论 空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有 序实数对(x，y)，使_A→_P__＝__x_A→_B_＋__y_A→_C__；或对空间任一定点 O，
才有A→B＋A→D＝A→C.
综上可知，正确命题为①②. 【答案】 ①②
1．在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向 量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同．
2．由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向 量有关概念问题时，通常抓住这两点来解决．
3．零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任 何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．
【思路探究】 (1)E→H与F→G共线吗？怎样证明？
空间向量及其运算课件 课件
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 , C(x, y)是AB的中点，则
x
y
x1 y1
2
x2 y2
2
空间向量
空间向量的坐标运算：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 );
a (x1, y1, z1), R;
空间向量
空间向量的夹角：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) cos a,b a • b
| a || b |
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
垂直与平行：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) a // b x1 y1 z1 (?)
(4)已知不共线的三点A、B、C，对平面 ABC外的任意一点O，若 OG 1 (OA OB OC) 则G是三角形ABC的重心 3
以上命题中，正确的是__________
已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b， OC=c，试用a , b , c 来表示OG.
(1)若AD是△ABC的中线，则有
平面的向量参数方程：
A, B,C是不共线的三点，P 平面ABC
存在唯一的实数对x, y，使 AP x
AB yAC
存在唯一的实数对x, y,使
OP (1 x y) OA yOC
存在唯一的实数对x, y, z
(x y z 1),使 OP x OA
yOB zOC
空间向量及其运算
• 空间向量的概念、表示、相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
x
y
x1 y1
2
x2 y2
2
空间向量
空间向量的坐标运算：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 );
a (x1, y1, z1), R;
空间向量
空间向量的夹角：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) cos a,b a • b
| a || b |
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
垂直与平行：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) a // b x1 y1 z1 (?)
(4)已知不共线的三点A、B、C，对平面 ABC外的任意一点O，若 OG 1 (OA OB OC) 则G是三角形ABC的重心 3
以上命题中，正确的是__________
已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b， OC=c，试用a , b , c 来表示OG.
(1)若AD是△ABC的中线，则有
平面的向量参数方程：
A, B,C是不共线的三点，P 平面ABC
存在唯一的实数对x, y，使 AP x
AB yAC
存在唯一的实数对x, y,使
OP (1 x y) OA yOC
存在唯一的实数对x, y, z
(x y z 1),使 OP x OA
yOB zOC
空间向量及其运算
• 空间向量的概念、表示、相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
北师大版 空间向量与加减数乘运算优秀课件
14
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
( 1 ) AB BC ( 2 ) AB AD AA
1
D1 A1 G D
1
C1 B1
1 ( 3 ) ( AB AD AA 1 ) 3 1 ( 4 ) AB AD CC 2
M
C B
解： ( 1 )AB BC ＝ AC ;
A
( 2 ) AB AD AA AC AA AC CC AC 1 1 1 1
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 15 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
F2
F1=10N
F2=15N F3 F1 F3=15N
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A A A A A A A A 0 1 2 2 3 3 4 n 1
12
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
( 1 ) AB BC ( 2 ) AB AD AA
A A A A A A A A A A 1 2 2 3 3 4 n 1 n 1 n
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A A A A A A A A 0 1 2 2 3 3 4 n 1
3
F2
F1=10N
F2=15N
F3
思考题：考虑空间三个向量共面的充要条件.
27
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
( 1 ) AB BC ( 2 ) AB AD AA
1
D1 A1 G D
1
C1 B1
1 ( 3 ) ( AB AD AA 1 ) 3 1 ( 4 ) AB AD CC 2
M
C B
解： ( 1 )AB BC ＝ AC ;
A
( 2 ) AB AD AA AC AA AC CC AC 1 1 1 1
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 15 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
F2
F1=10N
F2=15N F3 F1 F3=15N
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A A A A A A A A 0 1 2 2 3 3 4 n 1
12
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
( 1 ) AB BC ( 2 ) AB AD AA
A A A A A A A A A A 1 2 2 3 3 4 n 1 n 1 n
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A A A A A A A A 0 1 2 2 3 3 4 n 1
3
F2
F1=10N
F2=15N
F3
思考题：考虑空间三个向量共面的充要条件.
27
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
空间向量与加减数乘运算ppt 北师大版
A
D C
( 1 ) AC x ( AB BC CC )
' ' '
B
( 2 ) AE AA x AB y AD
A
D
B
C
24
练习2
A
在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下 列各式中的x,y.
E D C
' ( 2 ) AE AA x AB y AD
B
A
D
B
C
25
18
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
( 3 ) AC AB AD x AC ( 2 )2 AD BD x AC 1 1 1 1 1 1
( 2 ) 2 AD BD 1 1
AD AD BD 1 1 1 AD ( BC BD ) 1 1 1 AD C 1 D 1 1 AC 1
边的中点,化简
A
1 (1) AB ( BC BD ) 2 1 ( 2) AG ( AB AC ) 2
D G B
( 1 ) 原式＝ AB BM MG AG
(2)原式
M
C
1 ＝ AB BM MG ( AB AC ) 2 1 ＝ BM MG ( AB AC ) 2 MG ＝ BM MG MB
M
C B
解： ( 1 )AB BC ＝ AC ;
A
( 2 ) AB AD AA AC AA AC CC AC 1 1 1 1
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 15 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
F2
F1=10N
高考理科数学(北师大版)一轮复习课件第八章第6讲空间向量及其运算
第八章 立体几何
第6讲 空间向量及其运算
数学
01
基础知识 自主回顾
02
核心考点 深度剖析
03
高效演练 分层突破
一、知识梳理 1．空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在唯一的实数 λ，使得__a_＝ ___λb___． (2)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件 是存在唯一的有序实数对(x，y)，使__p_＝__x_a_＋__y_b_____． (3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有 序实数组{x，y，z}，使得___p_＝__x_a_＋__y_b_＋__zc___．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．
对空间任一点 O，＝O→A＋tA→B
对空间任一点 O，O→P＝O→M＋xM→A＋yM→B
对空间任一点 O，O→P＝xO→A＋(1 －x)O→B
对空间任一点 O，O→P＝xO→M＋yO→A＋(1－x－y)O→B
1．已知 a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若 a∥b，则 λ 与 μ 的值可以是
2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量 a，b，在空间中任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b， 则__∠__A_O_B___叫做向量 a 与 b 的夹角，记作_〈__a_，__b_〉__．通常规定_0_____≤〈a，b〉
π ≤___π____．若〈a，b〉＝____2_____，则称向量 a，b 互相垂直，记作 a⊥b.
2．正四面体 ABCD 的棱长为 2，E，F 分别为 BC，AD 的中点，则 EF 的长为________．
第6讲 空间向量及其运算
数学
01
基础知识 自主回顾
02
核心考点 深度剖析
03
高效演练 分层突破
一、知识梳理 1．空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在唯一的实数 λ，使得__a_＝ ___λb___． (2)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件 是存在唯一的有序实数对(x，y)，使__p_＝__x_a_＋__y_b_____． (3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有 序实数组{x，y，z}，使得___p_＝__x_a_＋__y_b_＋__zc___．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．
对空间任一点 O，＝O→A＋tA→B
对空间任一点 O，O→P＝O→M＋xM→A＋yM→B
对空间任一点 O，O→P＝xO→A＋(1 －x)O→B
对空间任一点 O，O→P＝xO→M＋yO→A＋(1－x－y)O→B
1．已知 a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若 a∥b，则 λ 与 μ 的值可以是
2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量 a，b，在空间中任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b， 则__∠__A_O_B___叫做向量 a 与 b 的夹角，记作_〈__a_，__b_〉__．通常规定_0_____≤〈a，b〉
π ≤___π____．若〈a，b〉＝____2_____，则称向量 a，b 互相垂直，记作 a⊥b.
2．正四面体 ABCD 的棱长为 2，E，F 分别为 BC，AD 的中点，则 EF 的长为________．
高中数学理科基础知识讲解《87空间几何中的向量方法》教学课件
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考点自诊
2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN= ,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )A.斜交 B.平行C.垂直 D.MN在平面BB1C1C内
B
--
考点自诊
3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为( )
[0,π]
--
知识梳理
4.利用空间向量求距离(1)点到平面的距离 如图所示,已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离为(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.
--
知识梳理
--
知识梳理
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)直线的方向向量是唯一确定的. ( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的. ( )(3)若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行. ( )(4)若空间向量a垂直于平面α,则a所在直线与平面α垂直. ( )(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角. ( )(6)已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos <m,n>= ,则直线l与平面α所成的角为120°. ( )(7)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为45°. ( )
|cos φ|
|cos φ|
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知识梳理
(3)二面角①范围:二面角的取值范围是 . ②向量求法:若AB,CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量 的夹角(如图①).设n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则图②中向量n1与n2的夹角的补角的大小就是二面角的平面角的大小;而图③中向量n1与n2的夹角的大小就是二面角的平面角的大小.
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考点自诊
2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN= ,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )A.斜交 B.平行C.垂直 D.MN在平面BB1C1C内
B
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考点自诊
3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为( )
[0,π]
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知识梳理
4.利用空间向量求距离(1)点到平面的距离 如图所示,已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离为(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.
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知识梳理
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知识梳理
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)直线的方向向量是唯一确定的. ( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的. ( )(3)若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行. ( )(4)若空间向量a垂直于平面α,则a所在直线与平面α垂直. ( )(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角. ( )(6)已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos <m,n>= ,则直线l与平面α所成的角为120°. ( )(7)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为45°. ( )
|cos φ|
|cos φ|
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知识梳理
(3)二面角①范围:二面角的取值范围是 . ②向量求法:若AB,CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量 的夹角(如图①).设n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则图②中向量n1与n2的夹角的补角的大小就是二面角的平面角的大小;而图③中向量n1与n2的夹角的大小就是二面角的平面角的大小.
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第 七 节
空间向量及其运算(理)
考纲解读 1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其 意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的 数量积判断向量的共线与垂直．
考向预测 1．以选择、填空的形式考查空间向量的概念、数量积及 其运算性质． 2．利用向量法判断或证明线面垂直、平行问题． 3．利用空间向量来求空间角、距离等问题． 4．运用空间向量的线性运算及数量积考查点共线、点共 面、线共面问题．
1 1 A．－ a＋ b＋ c 2 2 1 1 C. a－ b＋ c 2 2
1 1 B. a＋ b＋ c 2 2 1 1 D．－ a－ b＋ c 2 2
[答案] A → → → → 1 → → → 1 [解析 ] B1M ＝ B1B ＋BM ＝ A1A ＋ ( BA ＋ BC )＝ A1A ＋ 2 2
知识梳理 1．空间向量的概念及运算 空间向量的概念及运算同平面向量基本相同．加减运算遵 循 三角形法则和平行四边形法则 ，数乘运算和数量积运算与 平面向量的数乘运算和数量积运算相同；坐标运算与平面向量 的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标．
2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠ 0)，a∥b 的充要条件是存在 唯一的实数 λ，使 a＝λ b . 推论 如图所示，点 P 在 l 上的充要条件是：
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 (a，b 均为非零向量)．
(3)模、夹角和距离公式 设 a(a1， a2， a3)， b＝ (b1， b2， b3)，
2 2 2 a ＋ a ＋ a 则|a|＝ a· a＝ 1 2 3 ， a1b1＋a2b2＋a3b3 a· b 2 2 2 2 2 2 cos〈 a， b〉＝ ＝ a1＋a2＋a3· b1＋b2＋b3 . |a||b|
4．空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 若 a＝ (a1， a2， a3)， b＝ (b1， b2， b3)， 则 a· b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 .
(2)共线与垂直的坐标表示 设 a＝ (a1， a2， a3)， b＝ (b1， b2， b3)， a1＝λb1 ， b ＝0⇔ 则 a∥b⇔ a＝λb⇔ a2＝λb2 ， a⊥ b⇔ a· a ＝λb ， 3 3
→ 若 A(a1， b1， c1)， B(a2， b2， c2)，则|AB|＝
a2－a12＋b2－b12＋c2－c12 .
基 础 自 测
1.(教材改编题 )如下图，在平行六面体 ABCD— A1B1C1D1 → → → 中， M 为 AC 与 BD 的交点，若A1B1＝ a，A1D1 ＝ b，A1A ＝ c， → 则下列向量中与B1M 相等的向量是( )
3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 → → 已知两个非零向量 a， b， 在空间任取一点 O， 作OA ＝a， OB
〈a，b〉 ＝b，则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作 ，其范围
π 0 ≤〈 a ， b 〉≤ π 是 ，若〈a， b〉＝ ，则称 a 与 b互相垂直， 2 记作 a⊥b.
→ → OP ＝OA ＋ ta
①
→ 其中 a 叫直线 l 的方向向量，t∈ R，在 l 上取AB＝a，则① → → → → → → 可化为OP ＝ OA ＋tAB或OP ＝ (1－ t)OA ＋ tOB .
(2)共面向量定理的向量表达式为： p＝ x a＋y b ，其中 x， y∈ R， a，b 为不共线向量，推论 → → → → → 的表达式为MP ＝ xMA ＋ yMB 或对空间任意一点 O 有，OP ＝OM
→ → 1 1 1 (B1A1＋A1D1 )＝ c＋ (－ a＋ b)＝－ a＋ b＋ c. 2 2 2
→ → → → 2．已知AB＝ (2,4,5)，CD ＝ (3，x，y) 若AB∥CD ， 则( A． x＝ 6， y＝ 15 C． x＝ 3， y＝ 15 15 B． x＝ 3， y＝ 2 15 D． x＝ 6， y＝ 2
)
[答案] D → → → → 2 [解析 ] AB∥CD ⇔AB＝ kCD ，得 2＝3k，∴ k＝ . 3
15 ∴ x＝ 6， y＝ . 2
→ 3．已知点 A(2，－ 5,1)，B(2，－ 2,4)，C(1，－4,1)，则AB与 → AC的夹角为( A． 30° C． 60° ) B． 45° D． 90°
②两向量的数量积 已知空间两个非零向量 a，b，则|a||b|cos〈a，b〉 叫做向量 a， b 的数量积，记作 a· ． b＝|a||b|cos〈a· b〉 b ，即a·
(2)空间向量数量积的运算律
b) ； ①结合律：(λa)· b＝ λ(a·
a； ②交换律：a· b＝ b·
b＋ a· c . ③分配律：a· (b＋ c)＝ a·
→ → → → → → ＋xMA ＋yMB 或OP ＝ xOM ＋ yOA ＋ zOB ，其中 x＋ y＋ z＝1.
(3)空间向量基本定理 如果向量 e1， e2， e3 是不共面的向量， a 是空间任一向量， 那么存在唯一一组实数 λ1，λ2，λ3，使得 a＝ λ1e1＋λ2e2＋λ3e3 ， 把 e1， e2， e3 叫做空间的一个基底．
[答案] A
[解析] 由空间两点间距离公式可得 | AB|＝ 1－ 22＋1－22＋1＋ 12＝ 6.
[答案] C
→ → [解析] ∵AB＝(0,3,3)，AC＝(－ 1,1,0)， → → ∴ cos<AB，AC>＝ → → ∴ <AB，AC>＝ 60° . 1 2 2 2 2＝2， 3 ＋ 3 × －1 ＋ 1 3
4． (2012· 广东广州模拟)在空间直角坐标系中，点 A(1,1,1) 与点 B(2,2，－ 1)之间的距离为 ( A. 6 C. 3 B． 6 D． 2 )
空间向量及其运算(理)
考纲解读 1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其 意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的 数量积判断向量的共线与垂直．
考向预测 1．以选择、填空的形式考查空间向量的概念、数量积及 其运算性质． 2．利用向量法判断或证明线面垂直、平行问题． 3．利用空间向量来求空间角、距离等问题． 4．运用空间向量的线性运算及数量积考查点共线、点共 面、线共面问题．
1 1 A．－ a＋ b＋ c 2 2 1 1 C. a－ b＋ c 2 2
1 1 B. a＋ b＋ c 2 2 1 1 D．－ a－ b＋ c 2 2
[答案] A → → → → 1 → → → 1 [解析 ] B1M ＝ B1B ＋BM ＝ A1A ＋ ( BA ＋ BC )＝ A1A ＋ 2 2
知识梳理 1．空间向量的概念及运算 空间向量的概念及运算同平面向量基本相同．加减运算遵 循 三角形法则和平行四边形法则 ，数乘运算和数量积运算与 平面向量的数乘运算和数量积运算相同；坐标运算与平面向量 的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标．
2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠ 0)，a∥b 的充要条件是存在 唯一的实数 λ，使 a＝λ b . 推论 如图所示，点 P 在 l 上的充要条件是：
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 (a，b 均为非零向量)．
(3)模、夹角和距离公式 设 a(a1， a2， a3)， b＝ (b1， b2， b3)，
2 2 2 a ＋ a ＋ a 则|a|＝ a· a＝ 1 2 3 ， a1b1＋a2b2＋a3b3 a· b 2 2 2 2 2 2 cos〈 a， b〉＝ ＝ a1＋a2＋a3· b1＋b2＋b3 . |a||b|
4．空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 若 a＝ (a1， a2， a3)， b＝ (b1， b2， b3)， 则 a· b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 .
(2)共线与垂直的坐标表示 设 a＝ (a1， a2， a3)， b＝ (b1， b2， b3)， a1＝λb1 ， b ＝0⇔ 则 a∥b⇔ a＝λb⇔ a2＝λb2 ， a⊥ b⇔ a· a ＝λb ， 3 3
→ 若 A(a1， b1， c1)， B(a2， b2， c2)，则|AB|＝
a2－a12＋b2－b12＋c2－c12 .
基 础 自 测
1.(教材改编题 )如下图，在平行六面体 ABCD— A1B1C1D1 → → → 中， M 为 AC 与 BD 的交点，若A1B1＝ a，A1D1 ＝ b，A1A ＝ c， → 则下列向量中与B1M 相等的向量是( )
3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 → → 已知两个非零向量 a， b， 在空间任取一点 O， 作OA ＝a， OB
〈a，b〉 ＝b，则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作 ，其范围
π 0 ≤〈 a ， b 〉≤ π 是 ，若〈a， b〉＝ ，则称 a 与 b互相垂直， 2 记作 a⊥b.
→ → OP ＝OA ＋ ta
①
→ 其中 a 叫直线 l 的方向向量，t∈ R，在 l 上取AB＝a，则① → → → → → → 可化为OP ＝ OA ＋tAB或OP ＝ (1－ t)OA ＋ tOB .
(2)共面向量定理的向量表达式为： p＝ x a＋y b ，其中 x， y∈ R， a，b 为不共线向量，推论 → → → → → 的表达式为MP ＝ xMA ＋ yMB 或对空间任意一点 O 有，OP ＝OM
→ → 1 1 1 (B1A1＋A1D1 )＝ c＋ (－ a＋ b)＝－ a＋ b＋ c. 2 2 2
→ → → → 2．已知AB＝ (2,4,5)，CD ＝ (3，x，y) 若AB∥CD ， 则( A． x＝ 6， y＝ 15 C． x＝ 3， y＝ 15 15 B． x＝ 3， y＝ 2 15 D． x＝ 6， y＝ 2
)
[答案] D → → → → 2 [解析 ] AB∥CD ⇔AB＝ kCD ，得 2＝3k，∴ k＝ . 3
15 ∴ x＝ 6， y＝ . 2
→ 3．已知点 A(2，－ 5,1)，B(2，－ 2,4)，C(1，－4,1)，则AB与 → AC的夹角为( A． 30° C． 60° ) B． 45° D． 90°
②两向量的数量积 已知空间两个非零向量 a，b，则|a||b|cos〈a，b〉 叫做向量 a， b 的数量积，记作 a· ． b＝|a||b|cos〈a· b〉 b ，即a·
(2)空间向量数量积的运算律
b) ； ①结合律：(λa)· b＝ λ(a·
a； ②交换律：a· b＝ b·
b＋ a· c . ③分配律：a· (b＋ c)＝ a·
→ → → → → → ＋xMA ＋yMB 或OP ＝ xOM ＋ yOA ＋ zOB ，其中 x＋ y＋ z＝1.
(3)空间向量基本定理 如果向量 e1， e2， e3 是不共面的向量， a 是空间任一向量， 那么存在唯一一组实数 λ1，λ2，λ3，使得 a＝ λ1e1＋λ2e2＋λ3e3 ， 把 e1， e2， e3 叫做空间的一个基底．
[答案] A
[解析] 由空间两点间距离公式可得 | AB|＝ 1－ 22＋1－22＋1＋ 12＝ 6.
[答案] C
→ → [解析] ∵AB＝(0,3,3)，AC＝(－ 1,1,0)， → → ∴ cos<AB，AC>＝ → → ∴ <AB，AC>＝ 60° . 1 2 2 2 2＝2， 3 ＋ 3 × －1 ＋ 1 3
4． (2012· 广东广州模拟)在空间直角坐标系中，点 A(1,1,1) 与点 B(2,2，－ 1)之间的距离为 ( A. 6 C. 3 B． 6 D． 2 )