高中数学典型例题解析平面向量与空间向量

高中数学典型例题分析第八章平面向量与空间向量

§8.1平面向量及其运算一、知识导学1.模（长度）：向量的大小，记作||。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。

2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。

3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。

4.相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a

。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。

已知a ，b 。在平面内任取一点，作AB =a

，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和。

记作a +b 。

6. 向量的减法：求两个向量差的运算。

已知a ，b 。在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则向量BA 叫做a 与b

的差。

记作a -b

。

7.实数与向量的积：

（1）定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa

，并规定：

①λa 的长度|λa |=|λ|·|a

|；

②当λ＞0时，λa 的方向与a

的方向相同；

当λ＜0时，λa 的方向与a

的方向相反；

当λ＝0时，λa =0

（2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则

①λ(μa )=(λμ) a

②(λ+μ) a =λa +μa

③λ(a +)=λa

+λ

8.向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a

共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa 。

另外，设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a //b

x 1y 2－x 2y 1=0

9.平面向量基本定理：

如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a

，有且只有一对实数λ1、λ

使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e

叫做表示这一

平面内所有向量的一组基底。 10.定比分点

设P 1，P 2是直线l 上的两点，点P 是不同于P 1，P 2的任意一点则存在一个实数λ,使21P P =λ21P P ，λ叫做分有向线段所成的比。若点P 1、P 、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x,y)，(x 2,y 2)，则有

特别当λ=1，即当点P 是线段P 1P 2的中点时，有??

+=+=222

21y y y x x x 11.平面向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b

的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·＝|a ||b

|cos θ

规定：零向量与任一向量的数量积是0。

(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a

|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积。 (3)性质：设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e

的夹角，则

e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ ，a ⊥b ?a ·b

＝0 当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b | 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |

特别地，a ·a ＝|a |2

或|a |＝a a

cos θ＝b

a b

?? |a ·b |≤|a ||b |

(4)运算律：

a ·

b ＝b ·a

(交换律)

(λa )·b ＝λ(b ·a )＝a

·(λb )

(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c

（5）平面向量垂直的坐标表示的充要条件：

设a

=（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则

a ⊥

b ?a ·b =|a

|·|b |cos90°=0 a

⊥b ?x 1x 2+y 1y 2=0

12.平移公式：

设P （x ，y ）是图形F 上的任意一点，它在平移后图形F /上对应点为P /（x /，y /

），且设

/PP 的坐标为（h ，k ）

，则由/OP ＝＋/PP ，得：（x /，y /

）＝（x ，y ）+（h ，k ）二、疑难知识导析

1．向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量”

向量是既有大小，又有方向的量．向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的，由于方向不能比较大小，所以向量是不能比大小的．两个向量的模相等，方向相同，我们称这两个向量相等，两个零向量是相等的，零向量与任何向量平行，与任何向量都是共线向量；

2．在运用三角形法则和平行四边形法则求向量的加减法时要注意起点和终点； 3．对于坐标形式给出的两个向量，在运用平行与垂直的充要条件时，一定要区分好两个公式，切不可混淆。因此，建议在记忆时对比记忆；

4．定比分点公式中则要记清哪个点是分点；还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开计算的；

5．平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式，故在使用的过程中须将起始点的坐标给出，同时注意顺序。

三、经典例题导讲

[例1] 和a

= (3,－4)平行的单位向量是_________；

错解：因为a 的模等于5，所以与a 平行的单位向量就是5

1a ，即 (35 ，－4

5 )

错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。

正解：因为a 的模等于5，所以与a 平行的单位向量是±5

1a ，即(35 ，－45 )或(－35 ，4

5 )

点评：平行的情况有方向相同和方向相反两种。读者可以自己再求解“和a

= (3,－4)垂直

的单位向量”，结果也应该是两个。

[例2]已知A （2，1），B （3，2），C （-1，4），若A 、B 、C 是平行四边形的三个顶点，求第

四个顶点D 的坐标。

错解：设D 的坐标为（x ，y ），则有x-2=-1-3，y-1=4-2 ，即x=-2，y=3。故所求D 的坐标为（-2，3）。

错因：思维定势。习惯上，我们认为平行四边形的四个顶点是按照ABCD 的顺序。其实，在这个题目中，根本就没有指出四边形ABCD 。因此，还需要分类讨论。正解：设D 的坐标为（x ，y ）

当四边形为平行四边形ABCD 时，有x-2=-1-3，y-1= 4-2 ，即x= -2，y= 3。解得D 的坐标为（-2，3）；

当四边形为平行四边形ADBC 时，有x-2=3-（-1），y-1= 2-4 ，即x= 6，y= -1。解得D

的坐标为（6，-1）；

当四边形为平行四边形ABDC 时，有x-3=-1-2，y-2= 4-1 ，即x= 0，y= 5。解得D 的坐标为（0，5）。

故第四个顶点D 的坐标为（-2，3）或（6，-1）或（0，5）。

[例3]已知P 1(3,2)，P 2（8，3），若点P 在直线P 1P 2上，且满足|P 1P|=2|PP 2|，求点P 的坐标。

错解：由|P 1P|=2|PP 2|得，点P 分P 1P 2所成的比为2，代入定比分点坐标公式得P （

8,319）错因：对于|P 1P|=2|PP 2|这个等式，它所包含的不仅是点P 为 P 1，P 2 的内分点这一种情况，还有点P 是 P 1，P 2的外分点。故须分情况讨论。

正解：当点P 为 P 1，P 2 的内分点时，P 分P 1P 2所成的比为2，此时解得P （

8,319）；当点P 为 P 1，P 2 的外分点时，P 分P 1P 2所成的比为-2，此时解得P （13，4）。则所求点P 的坐标为（

,319）或（13，4）。点评：在运用定比分点坐标公式时，要审清题意，注意内外分点的情况。也就是分类讨论的数学思想。

[例4] 设向量 ),(11y x a =

，),(22y x b = ，0 ≠b ，则“b a //”是“1221y x y x =”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件分析：根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可．

解：若b a //，∵0 ≠b ，则b r a

=，代入坐标得：),(),(2211y x r y x =，即21rx x =且21ry y = ．消去r ，得1221y x y x =；

反之，若1221y x y x =，则21rx x =且21ry y =，即),(),(2211y x r y x =

则b r a

=，∴b a //

故“b a

//”是“1221y x y x = ”的充要条件．

答案：C

点评：本题意在巩固向量平行的坐标表示．

[例5]．已知a =（1，-1），b =（-1，3），c =（3，5），求实数x 、y ，使c =x a

+y b ．

分析：根据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可．解：由题意有

x a +y b =x （1，-1）+y （-1，3）=（x-y ，-x+3y ）．又c

=（3，5）

∴x -y=3且-x+3y=5 解之得 x=7 且y=4

点评：在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法． [例6]已知A （-1，2），B （2，8），=31 ，=

-3

，求点C 、D 和向量的坐标．

分析：待定系数法设定点C 、D 的坐标，再根据向量，和关系进行坐标运算，用方程思想解之．

解：设C 、D 的坐标为),(11y x 、),(22y x ，由题意得

AC =（2,111-+y x ），AB =（3，6）， DA =（222,1y x ---），BA =（-3，-6）

又=

31 ，= -3

∴（2,111-+y x ）=31（3，6），（222,1y x ---）=-3

（-3，-6）

即 (2,111-+y x )=(1,2) ， (222,1y x ---)=(1,2) ∴111=+x 且221=-y ，112=--x 且222=-y ∴01=x 且41=y ，且22-=x 02=y

∴点C 、D 和向量的坐标分别为（0，4）、（-2，0）和（-2，-4）小结：本题涉及到方程思想，对学生运算能力要求较高．四、典型习题导练

）

2.（2006年高考浙江卷）设向量,,a b c 满足0a b c ++= ,,||1,||2a b a b ⊥== ,则2

||c =

(A)1 (B)2 (C)4 (D)5

3. 将函数y= 4x －8的图象L 按向量a 平移到L /，L /

的函数表达式为y= 4x ，则向量a =

4. →→→-=j i a 63方向取线段AB ，使5||=→

AB ，则B 点坐标为

6.（2006年高考辽宁卷）已知ABC ?的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量

(,)p a c b =+ ,(,)q b a c a =-- ,若//p q

,则角C 的大小为

(A)6π (B)3π (C) 2

π (D) 23π

§8.2平面向量与代数、几何的综合应用

一、知识导学 1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍,即

A bc c b a cos 2222-+=

B ac c a b cos 2222-+=

C ab b a c cos 2222-+=

2.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直

径，即

R C

B b A a 2sin sin sin === 二、疑难知识导析

1．初中学过的勾股定理只是余弦定理的一种特殊情况。如当C =

时，C cos =0，此时

有2

22b a c +=；

2．由于本节内容与代数、几何联系比较紧，故读者需对解斜三角形、解析几何中的圆锥曲线等知识非常熟悉方可。三经典例题导讲

[例1]在ABC 中，已知a 2＝b 2＋bc ＋c 2

，则角A 为( )

A ．

3π B ．6π C ．32π D ．3

π或32π

错解：选A

错因：公式记不牢，误将余弦定理中的“减”记作“加”。正解：∵a 2

＝b 2

＋bc ＋c 2

＝b 2

＋c 2

－2bc(－21)＝b 2＋c 2

－2bc·cos 3

2π ∴∠A＝

2π

选 C.

[例2]在△ABC 中，已知B b A a cos cos =，试判别其形状。错解：等腰三角形。

错因：忽视了两角互补，正弦值也相等的情形。直接由B b A a cos cos =得，B B A A co s s i n co s s i n =，即B A 2sin 2sin =，则B A 22=。接着下结论，所求三角形为等腰三角形

正解：由B b A a cos cos =得，B B A A cos sin cos sin =，即B A 2sin 2sin =

则B A 22=或0

18022=+B A ，故三角形为直角三角形或等腰三角形。

[例3]三角形的形状。

错解：由于题目中出现了角和对边，故使用余弦定理，进一步想使用不等式或二次函数求最值

错因：其实这种思路从表面上看是可行的，实际上处理过程中回遇到无法进行下去的困难。正解：由正弦定理,得a=2(26+)sinA, b=2(26+)sinB.

a+b=2(26+

)(sinA+sinB)=4(26+)sin

2B A +cos 2

A - sin

2B A +=sin75o

26+ a+b=(26+)2 cos

B A -≤(26+)2

=8+43. 当a=b 时,三角形周长最大,最大值为8+43+26+. 此时三角形为等腰三角形

[例4]

其内切圆面积

求

分析：题中涉及到内切圆，而内切圆直接与正弦定理联系起来了，同时正弦定理和余弦定理又由边联系起来了。

解：由已知,得内切圆半径为23. 由余弦定理,得三角形三边分别为16,10,14. [例5]已知定点A(2,1)与定直线l :3x-y+5=0,点B 在l 上移动,点M 在线段AB 上,且分AB 的比为2,求点M 的轨迹方程.

分析:向量的坐标为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁,形成了代数与几何联系的新纽带 .

解:设B(x 0,y 0),M(x,y)

∴=(x-2,y-1),=(x 0-x,y 0-y),由题知=2

∴???-=--=-)(21)(2200y y y x x x ? ???

????-=-=21

2300y y x x

由于3x 0-y 0+5=0,∴3×

223-x -2

13-y +5=0

化简得M 的轨迹方程为9x-3y+5=0

[例6]过抛物线:y 2

=2px(p>0)顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB(如图),求证:直线AB 过一定点,并求出这一定点.

分析: 对于向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),有a //b ?x 1y 2-x 2y 1=0.可以用来处理解析几何中的三点共线与两直线平行问题.

证明:由题意知可设A 点坐标为(p t 221,t 1),B 点坐标为(p t 22

,t 2) ∴

OA =(p t 221,t 1), OB =(p

t 22

,t 2), ∵OA ⊥OB,∴OA ?OB =0?p t 221?p

t 22

+t 1?t 2=0

?t 1?t 2=-4p 2 ①

设直线AB 过点M(a,b),则=(a-p t 222,b-t 2),=(p t 221-p t 222

,t 1-t 2), 由于向量BM 与BA 是共线向量,∴（a-p t 222）(t 1-t 2)= (b-t 2)(p t 221-p

t 22

) 化简得2p(a-2p)=b(t 1+t 2)

显然当a=2p,b=0时等式对任意的成立 ∴直线AB 过定点,且定点坐标为M(2p,0)

四典型习题导练

1．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x ，则第三边x 的取值范围是（） A ．1＜x ＜5 B ．5

＜x ＜13 C

．13＜x ＜5 D ．1＜x ＜5

2的面积为__ _。

3．△ABC 中，若边a ：b ：c ＝2：(1＋3)：2，则内角A ＝。

4．某人在C 点测得塔顶A 在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到0，测得塔顶A 仰角为30°，则塔高＝。 5．在△ABC 中，已知B ＝30°，b ＝50，c ＝150，解三角形并判断三角形的形状。 6．在△ABC 中，已知C B A cot cot cot ++＝，判定△ABC 是什么三角形。

※§8.3空间向量及其运算

一、知识导学

1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单

位正交基底，用{,,}i j k

表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k

的方向为正方向建立三条数轴：

x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系

O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k

都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的

平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；

2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使z y x ++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间

直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．

3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =

，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++ ，112233(,,)a b a b a b a b -=---

， 123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈ ，112233a b a b a b a b ?=++

，

112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈ ，1122330a b a b a b a b ⊥?++=

．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---

．

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标

4 模长公式：若123(,,)a a a a = ，

则||a ==

．夹角公式：cos ||||a b

a b a b ??==?

．

6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，

则

||A B

二、疑难知识导学 1、对于这部分的一些知识点，读者可以对照平面向量的知识，看哪些知识可以直接推广，

哪些需要作修改，哪些不能用的，稍作整理，以便于记忆；

2、空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性，所以本节的学习难点在于掌握应用空间向量的常用技巧与方法，特别是体会其中的转化的思想方法．如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．

3、向量运算的主要应用在于如下几个方面：

(1)判断空间两条直线平行(共线)或垂直； (2)求空间两点间的距离； (3)求两条异面直线所成的角.

4、本节内容对于立体几何的应用，读者需自行复习，这里不再赘述。

三、经典例题导讲

[例1]下列所表示的空间直角坐标系的直观图中，不正确的是（）

错解：B 、C 、D 中任选一个

错因：对于空间直角坐标系的表示不清楚。有共同的原点，且两两垂直的三条数轴，只要符合右手系的规定，就可以作为空间直角坐标系．

正解：易知(C)不符合右手系的规定，应选(C)．

[例2]已知点A(－3，－1，1)，点B(－2，2，3)，在Ox 、Oy 、Oz 轴上分别取点L 、M 、N ，使它们与A 、B 两点等距离．

错因：对于坐标轴上点的坐标特征不明；使用方程解题的思想意识不够。

分析：设Ox 轴上的点L 的坐标为(x ，0，0)，由题意可得关于x 的一元方程，从而解得x 的值．类似可求得点M 、N 的坐标．

解：设L 、M 、N 的坐标分别为(x ，0，0)、(0，y ，0)、(0，0，z)．由题意，得

(x ＋3)2

＋1＋1＝(x ＋2)2

＋4＋9， 9＋(y ＋1)2

＋1＝4＋(y －2)2

＋9， 9＋1＋(z －1)2

＝4＋4＋(z －3)2

．

分别解得2

3,1.3=

==z y x ，故)2

,0,0(),0,1,0(),0,0,3(N M L

评注：空间两点的距离公式是平面内两点的距离公式的推广：若点P 、Q 的坐标分别为(x 1，y 1，z 1)、(x 2，y 2，z 2)，则P 、Q 的距离为

212212212)()()(z z y y x x PQ -+-+-=

必须熟练掌握这个公式．

[例3]设231(,,)a a a a = ，231(,,)b b b b = ，且a b ≠ ，记||a b m -=

，求a b - 与x 轴正方

向的夹角的余弦值

错解：取x 轴上的任一向量(,0,0)c x =

，设所求夹角为α，

∵22331111()(,,)(,0,0)()a b c a b a b a b x a b x -?=---?=-

∴±1111()()cos ||||

a b c a b x a b

mx m a b c α-?--===-? ，

即余弦值为m

b a 1

1-±

错因：审题不清。没有看清“x 轴正方向”，并不是x 轴

正解：取x 轴正方向的任一向量(,0,0)c x =

，设所求夹角为α，

∵22331111()(,,)(,0,0)()a b c a b a b a b x a b x -?=---?=-

A B C D

O E

D 1

C 1B 1

A 1

D C B

∴1111()()cos ||||

a b c a b x a b

mx m a b c α-?--===-? ，即为所求

[例4]在ΔABC 中，已知AB ＝(2,4,0),BC ＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝＿＿＿

解： (2,4,0),(1,3,0),BA BC =--=-

52122|

|||,cos ?-=

∴∠ABC ＝135°

[例5]已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)， ⑴求以向量AC AB ,为一组邻边的平行四边形的面积S ；

⑵若向量a 分别与向量AC AB ,垂直，且|a |＝3，求向量a

的坐标

分析：⑴2

1cos ),2,3,1(),3,1,2(=

∠∴-=--=BAC AC AB ∴∠BAC ＝60°，3760sin ||||==∴ AC AB S ⑵设a

＝(x,y,z)，则,032=+--?⊥z y x

33||,023222=++?==+-?⊥z y x z y x

解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝(1,1,1)或a

＝(－1，－1，－1). [例6]已知正方体1AC 的棱长为a ，E 是1CC 的中点，O 是对角线1BD 的中点，求异面直线1CC 和1BD 的距离

解：以D 为原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(,0,0),(,,0),(0,,0)A a B a a C a

11(,,),(,0,),(0,0,0)B a a a A a a D ，

设(,,)E x y z ， ∵E 在平面1A DB 上，

∴111A E A D A B λμ=+ ，即(,,)(,0,)(0,,)x a y z a a a a a λμ--=--+，

∴x a a y a z a a a λμμλ=-??

=??=--?

， ∵1

,CE A D CE BD ⊥⊥ ，∴(,2,)(,0,)0(,2,)(,,0)0x y z a a x y z a a ---=??---=?

，解得：23λμ==，∴111(,,)333CE a a a =--

，∴CE =．

另外,此题也可直接求1B C 与BD 间的距离

设1B C 与BD 的公垂线为1OO ，且11,O B C O BD ∈∈，

设(,,)O x y z ，设DO BD λ=

，

则(,,)(,,0)x y z a a λ=--，∴0x a y a z λλ=-??

=-??=?

，∴(,,0)O a a λλ--，

同理1(,,)O a a a μμ，

∴1((),,)OO a a a a μλλμ=++ ，∴111,OO BD OO BC ⊥⊥ ， ∴111

0,0OO BD OO BC ?=?= ，解得：21,33λμ=-=，1OO = 111(,,)333a a a -

，1||OO =

．四、典型习题导练

1．已知向量与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为（）

A ．0°

B ．45°

C ．90°

D ．180°

2．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=?=?=? 则△BCD 是（）

A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．锐角三角形

D ．不确定

3．已知,是空间二向量，若与则,7||,2||,3||=-==的夹角为 . 4．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若的值则λλ,=++为

5．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BC 1⊥AB 1，BC 1⊥A 1C

求证：AB 1=A 1C

6．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA 1=2，M 、N

分别是A 1B 1，A 1A 的中点，（1）求;的长

（2）求;,cos 11的值>

2021年高中数学-平面向量专题

第一部分：平面向量的概念及线性运算欧阳光明（2021.03.07）一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或称) 平面向量是自由向量零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的向量非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．减法求a与b的相反向量－b 的和的运算叫做a与b 的差法则 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|. (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向；当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ ＝0时，λa＝0. λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线

段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．三．基础自测 1．化简OP →－QP →＋MS →－MQ → 的结果等于________． 2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量； ④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______． 3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b.若点D 满足BD →＝2DC →，则AD → ＝________(用b 、c 表示)． 4．如图，向量a －b 等于() A ．－4e1－2e2 B ．－2e1－4e2 C ．e1－3e2 D ．3e1－e2 5．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是 () A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D 四．题型分类深度剖析题型一平面向量的有关概念例1 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中正确的序号是________．变式训练1 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由． (1)若向量a 与b 同向，且|a|＝|b|，则a>b ； (2)若|a|＝|b|，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且a 与b 方向相同，则a ＝b ； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等题型二平面向量的线性运算例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作?OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13 CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中，AD →＝23 AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →＝a ，AC → ＝b ，用a 、b 表示向量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三平面向量的共线问题例3 设e1，e2是两个不共线向量，已知AB →＝2e1－8e2，CB →＝e1＋3e2，CD → ＝2e1－e2. (1)求证：A 、B 、D 三点共线； (2)若BF → ＝3e1－ke2，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．

高中数学平面向量知识点总结

高中数学必修4之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a 向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a ｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法

高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳

平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则：以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。（5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。（6）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。（7）若ma mb =，则a b =。

平面向量经典例题讲解

平面向量经典例题讲解讲课时间:___________姓名：___________课时：___________讲课教师：___________ 一、选择题（题型注释） 1．空间四边形OABC 中，OA a =u u u r r ,OB b =u u u r r , OC c =u u u r r ,点M 在OA 上，且MA OM 2=，N 为BC 的中点，则MN u u u u r =（） A C 【答案】B 【解析】试题分析：因为 N 为 BC 的中点，则，，选 B 考点：向量加法、减法、数乘的几何意义； 2．已知平面向量a ，b 满足||1= a ，||2= b ，且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角是（）（A （B （C （D 【答案】D 【解析】试题分析：2()()00a b a a b a a a b +⊥∴+?=∴+?=r r r r r r r r r Q ，||1=a ，||2=b ，设夹角为θ，则考点：本题考查向量数量积的运算点评：两向量垂直的充要条件是点乘积得0，用向量运算得到cos θ的值，求出角 3．若OA u u r 、 OB u u u r 、OC uuu r 三个单位向量两两之间夹角为60u u r 【答案】D 【解析】试题分析：ΘOA u u r 、OB u u u r 、OC uuu r 三个单位向量两两之间夹角为 60° 6= r 考点:向量的数量积. 4．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F , 若AC a =u u u r r ，BD b =u u u r r ，则AF =u u u r ( ) A.1142a b +r r B.1233a b +r r C.1124a b +r r D.2133 a b +r r 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可知，AEB ?与FED ?相似，且相似比为3:1，所以由向量加减法的平行四边形法则可知，,AB AD a AD AB b +=-=u u u r u u u r r u u u r u u u r r ，解得，故D 正确。考点：平面向量的加减法 5．在边长为1的等边ABC ?中，,D E 分别在边BC 与AC 上，且BD DC =u u u r u u u r ，2 AE EC =u u u r u u u r 则AD BE ?=u u u r u u u r （） A ．【答案】A 【解析】试题分析：由已知,D E 分别在边BC 与AC 上，且BD DC =u u u r u u u r ， 2AE EC =u u u r u u u r 则D 是BC 的中轴点，E 为AC 的三等分点，以D 为坐标原点，DA 所在直线为y 轴，BC 边所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，，设),(y x E ，由EC AE =2可得：

高中数学平面向量公式(精选课件)

高中数学平面向量公式１、向量的的数量积定义:已知两个非零向量a，b。作OＡ＝a,OB=b，则角AOB称作向量ａ和向量b的夹角,记作〈ａ，b〉并规定0≤

２、向量的数量积不满足消去律，即:由ａ?b=a? c （a≠0)，推不出 b=ｃ。 3、|a?b｜≠|ａ｜?|b｜ 4、由 |a｜=|ｂ| ，推不出a=ｂ或ａ=－ｂ。 2、向量的向量积定义：两个向量a和ｂ的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作ａ×b。若a、b不共线,则ａ×b的模是：∣a×b ∣＝｜ａ|?｜ｂ｜?ｓｉn〈a，b>；ａ×ｂ的方向是:垂直于ａ和ｂ,且ａ、ｂ和ａ×b按这个次序构成右手系.若ａ、ｂ共线，则a×b=0。...文档交流仅供参考... 向量的向量积性质: ∣a×ｂ∣是以a和b为边的平行四边形面积. a×a=０。 a‖b〈=〉ａ×b＝０。向量的向量积运算律 a×b=－b×a；（λa）×b=λ（ａ×b)=a×（λb)；（a+b)×c=a×ｃ+b×c。注:向量没有除法，“向量ＡB/向量CＤ”是没有意义的. 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a＋ｂ∣≤∣ａ∣+∣b∣；

高中数学平面向量doc

专题讲座高中数学“平面向量” 一、整体把握“平面向量”教学内容（一）平面向量知识结构图（二）重点难点分析

本专题内容包括：平面向量的概念、运算及应用．课标要求：平面向量（约12课时）（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。（2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。 ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。 ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。（3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。（4）平面向量的数量积

①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。（5）向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。依据课标要求，并结合前面的分析可知：新概念、新运算的定义，向量运算和向量运算的几何意义是本专题的重点，平面向量基本定理是坐标表示（几何代数化）的关键，也是本专题教学的难点。二、“平面向量”教与学的策略（一）在概念教学中，依据概念教学的方法，建构概念知识体系本专题的教学中，向量、向量的运算等都是新定义的概念，如何让这些概念的出现自然轻松，还能让学生迅速把握住本质，达成理解？不妨遵循概念教学的方法。比如说：“向量的概念”教学中，可从力、位移等实例引入，进行抽象概括，形成向量的概念。之后，提出“温度、功是不是向量？”这样的问题，通过比较，对向量的概念进行辨析，在此基础上，抓住向量的两个要点：大小、方向进行拓展，按如下表格整理，将向量概念精致化。概念辨析：

高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)

一,向量重要结论（1）、向量的数量积定义：||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=， 22||a a a a ?== （2）、向量夹角公式：a 与b 的夹角为θ，则cos |||| a b a b θ?= （3）、向量共线的充要条件：b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈，使b a λ=。（4）、两向量平行的充要条件：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -= （5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y += （6）、向量不等式：||||||a b a b +≥+，||||||a b a b ≥? （7）、向量的坐标运算：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a b ?=1212x x y y + （8）、向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影（9）、向量：既有大小又有方向的量。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等向量：长度相等且方向相同的向量。（10）、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝ 0 ?｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）（11）、单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量?｜ 0a ｜＝1 （12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ，要会求出直线的斜率；（2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; （3）给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点; （4）给出()+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; （5）给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,O C O A O B αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6）给出λλ++=1OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即λ= （7）给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知 AMB ∠是锐角。（ 8）给出=??λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+，等于已知ABCD 是菱形;

高三高考平面向量题型总结,经典

平面向量一、平面向量的基本概念： 1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________. 5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。 6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②,,a == 则c a = ；③,//,//a a // ④若CD AB =，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ⑤所有的单位向量都相等；二、向量的线性运算：（一）向量的加法： 1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量（1）+++ （2）)()()(+++++ （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则； a + 是以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线，如图：例1.（09 ）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+，则 A.0=+PB PA B.0=+PC PA C.0=+PB PC D.0=++PC PB PA 例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AO AD AB λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则 2.向量的加法运算律：交换律与结合律（二）向量的减法：减法是加法的逆运算，A.PB PA OB OA BA -=-= （终点向量减始点向量）

(完整word版)高中数学-平面向量专题.doc

第一部分：平面向量的概念及线性运算一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量平面向量是自由向量的(或称) 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作 0 单位向量长度等于的非零向量 a 的单位向量为± a 向量|a| 平行向量方向或的非零向量 0 与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算向量运算定义法则 (或几何运算律意义 ) 加法求两个向量和的运算求 a 与 b 的相反向量－ b 减法的和的运算叫做 a 与 b 的差 (1)交换律： a＋ b＝ b＋ a. (2)结合律： (a＋ b)＋ c＝ a＋ (b＋c)． a－ b＝ a＋ (－ b) 法则求实数λ与向量 a 的积的(1)|λa|＝ |λ||a|. ；λ(μa)＝λμa；数乘 (2)当λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向运算当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向；当λ (λ＋μ)a＝λa＋μa；＝0 时，λa＝ 0. λ(a＋ b)＝λa＋λb. 3.共线向量定理向量 a(a≠0)与 b 共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得 b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线 (或重合 )的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

高中数学平面向量习题及答案

第二章平面向量一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．与相等 D ．与相等 2．下列命题正确的是( )． A ．向量与是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝b C ．若＝，则A ，B ，C ， D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )． A ．3x ＋2y －11＝0 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则＝( )． A ．λ(＋)，λ∈(0，1) B ．λ(＋)，λ∈(0，22 ) C ．λ(－)，λ∈(0，1) D ．λ(－)，λ∈(0， 2 2) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则＝( )． A ．＋ B ．－ C ．＋ D ．＋ 7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )． (第1题)

平面向量简单练习题

试卷第1页，总5页一、选择题 1．已知三点)143()152()314(--，，、，，、，，λC B A 满足⊥，则λ的值 ( ) 2．已知)2 , 1(-=，52||=，且//，则=( ) 5．已知1,2,()0a b a b a ==+= ，则向量b 与a 的夹角为（） 6．设向量(0,2),==r r a b ，则, a b 的夹角等于（） 7．若向量()x x a 2,3+=和向量()1,1-=→b 平行，则 =+→→b a （） 8．已知()()0,1,2,3-=-=b a ，向量b a +λ与b a 2-垂直，则实数λ的值为( ). 9．设平面向量(1,2)a = ，(2,)b y =- ，若向量,a b 共线，则3a b + =（） 10．平面向量a 与b 的夹角为60 ，(2,0)a = ，1b = ，则2a b + = 11．已知向量()1,2=，()1,4+=x ，若//，则实数x 的值为 12．设向量)2,1(=→a ，)1,(x b =→，当向量→→+b a 2与→→-b a 2平行时，则→→?b a 等于 13．若1,2,,a b c a b c a ===+⊥ 且，则向量a b 与的夹角为（） 142= ，2||= 且（b a -）⊥a ，则a 与b 的夹角是（） 15．已知向量AB ＝(cos120°，sin120°)，AC ＝(cos30°，sin30°)，则△ABC 的形状为 A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形 17．下列向量中，与(3,2)垂直的向量是（）． A ．(3,2)- B ．(2,3) C ．(4,6)- D ．(3,2)- 18．设平面向量(3,5),(2,1),2a b b ==--= 则a （） 19．已知向量)1,1(=a ，),2(n =b ，若b a ⊥，则n 等于 20．已知向量,a b 满足0,1,2,a b a b ?=== 则2a b -= （） 21．设向量a =（1.cos θ）与b =（-1， 2cos θ）垂直，则cos 2θ等于（） 23．化简AC - BD + CD - AB = 25．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么=EF （）

平面向量典型例题67629

平面向量经典例题： 1. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－13 C ．－1 D ．－23 [答案] C [解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa ＋b 与c 共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ， 3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－3 D ．1 [答案] C [解析] a ＋2b ＝( 3，1)＋(0,2)＝( 3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝ 3k ＋3 3＝0，∴k ＝－3. (理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－ 611 B ．－116 C.611 D.11 6 [答案] C [解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a ＋b 与a －λb 垂直， ∴(a ＋b )·(a －λb )＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝611 . 3. 设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 间的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° [答案] B [解析] 如图，在?ABCD 中， ∵|a |＝|b |＝|c |，c ＝a ＋b ，∴△ABD 为正三角形，∴∠BAD ＝60°，

高三数学复习微专题之平面向量篇矩形大法教师

一、知识清单 1. 极化恒等式：如图，+=AD AB AC 2 ① -=CB A B A C ②,则： ①2 +②2 得：AC AD BC AB +=+242 2 22 ；①2-②2 得：AC AD BC AB ?=-4422 推广：AC AB AC BC AB AB AC cosA ?=?=?+-2 222 速记方法：?==-+-a b a b a b 4()()22，=++=+-a b a b a b 2 ()()2222 2. 矩形大法：如图，由极化恒等式可得 +=+PO BD 2PD PB 42 2 22①+=+PO AC 2 PA PC 422 22 ② 因为BD=AC ，所以PD PB PA PC +=+2222，速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。推广1：若ABCD 为平行四边形，则有PA PC PD PB =+-+-AC 2 )(BD 2 2 2 2 22 =-?= -AC AM BC 4 422 =4 1 0，且对于边AB 上任一点P ，恒有?≥?PB PC P B PC 00 。则( ) A.∠=ABC 90 B. ∠=BAC 90 C.=AB AC D. =AC BC 解析：D 为BC 中点，由极化恒等式有：?=-PC PD BC 4 PB 422 则当PD 最小时，PB ????? ?PC ????? 最小，所以过D 作AB 垂线，垂足即为P 0,作AB 中点E ，则CE ⊥AB ，即AC=BC 。 3. 已知向量a b e ,,是平面向量，e 是单位向量． ?-++===b e a b a b a ()12,3,0,求-a b 的范围？解析：由?-++=b e a b a ()10,得-?-=e b e a ()()0 如图，===OA a OB b OE e ,, ，构造矩形ACBE ，由矩形大法有 +=+OE OC OA OB 222 2，则=OC ==∈-+=-+-AB CE OC OE OC OE a b [,] [2 3 1,231] 高三数学复习微专题之平面向量篇第三讲：极化恒等式与矩形大法解析：由极化恒等式有：AB 16推广2：若P 为平面外一点，上述性质仍成立。二、典型例题1．（２０１９浙江模拟卷）在?ABC 中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则A B A ? C =_________． 2.（2019山东模拟）在?ABC 中,P 0是边AB 上一定点，满足P B AB

平面向量经典练习题(含答案)

高中平面向量经典练习题【编著】黄勇权一、填空题 1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是。 2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b | =1，则|a+5b | = 。 3、已知点A（1，2），B（2，1），若→ AP=（3，4），则 → BP= 。 4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。 5、向量a、b满足|a|=1，|b|= 2 ，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。 6、设向量a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6 ，则a·b＝。 7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是。 8、在△ABC中，D为AB边上一点，→ AD = 1 2 → DB， → CD = 2 3 → CA + m → CB，则 m= 。 9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是。 10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD 上，且→ AP= 2 → PD，则点C的坐标是（）。二、选择题 1、设向量→ OA=（6，2），→ OB=（-2，4），向量→ OC垂直于向量→ OB，向量 → BC平行于 →OA，若→ OD + → OA= → OC，则 → OD坐标=（）。 A、（11，6） B、（22，12） C、（28，14） D、（14，7） 2、把A（3,4）按向量a（1,-2）平移到A',则点A'的坐标（） A、（4 , 2） B、（3，1） C、（2，1） D、（1，0） 3、已知向量a，b，若a为单位向量, 且 | a| = | 2b| ,则（2a+ b）⊥（a-2b），则向量a与b的夹角是（）。 A、90° B、60° C、30° D、0° 4、已知向量ab的夹角60°，| a|= 2，b=（-1，0），则| 2a-3b|=（）

(完整版)高中数学平面向量专题训练

高中数学平面向量专题训练一、选择题： 1、若向量方程23(2)0x x a --=r r r r ，则向量x r 等于 A 、65 a r B 、6a -r C 、6a r D 、65 a -r 2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a r 和b r ，那么下列命题中错误的一个是 A 、a r 与b r 为平行向量 B 、a r 与b r 为模相等的向量 C 、a r 与b r 为共线向量 D 、a r 与b r 为相等的向量 3、AB BC AD +-=u u u r u u u r u u u r A 、AD u u u r B 、CD uuu r C 、DB u u u r D 、DC u u u r 4、下列各组的两个向量，平行的是 A 、(2,3)a =-r ，(4,6)b =r B 、(1,2)a =-r ，(7,14)b =r C 、(2,3)a =r ，(3,2)b =r D 、(3,2)a =-r ，(6,4)b =-r 5、若P 分AB u u u r 所成的比为4 3 ，则A 分BP u u u r 所成的比为 A 、7 3 - B 、3 7 - C 、73 D 、 3 7 6、已知(6,0)a =r ，(5,5)b =-r ，则a r 与b r 的夹角为 A 、045 B 、060 C 、0135 D 、0120 7、已知i r ，j r 都是单位向量，则下列结论正确的是 A 、1i j ?=r r B 、22 i j =r r C 、i r ∥j i j ?=r r r D 、0i j ?=r r 8、如图，在四边形ABCD 中，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， BC c =u u u r r ，则DC =u u u r A 、a b c -+r r r B 、()b a c -+r r r C 、a b c ++r r r D 、b a c -+r r r 9、点),0(m A )0(≠m ，按向量a r 平移后的对应点的坐标是)0,(m ，则向量a r 是 C B A D

高一数学平面向量知识点及典型例题解析

高一数学第八章平面向量第一讲向量的概念与线性运算一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法：同一个图中画出 a b a b r r r r 、要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b =a 。二．【典例解析】题型一：向量及与向量相关的基本概念概念例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段

平面向量经典习题_提高篇

平面向量： 1. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－ 2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－13 C ．－1 D ．－23 [答案] C [解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)， ∵λa ＋b 与c 共线， ∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与 c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－3 D ．1 [答案] C [解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0， ∴k ＝－3. (理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－611 B ．－116

C.6 11D. 11 6 [答案] C [解析] a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a＋b与a－λb垂直， ∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ ＝6 11 . 3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、 b间的夹角为( ) A．150° B．120° C．60° D．30° [答案] B [解析] 如图，在?ABCD中， ∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形， ∴∠BAD＝60°，∴〈a，b〉＝120°，故选B.

(理)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3 2，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝( ) A.12 B.1 3 C.1 4 D.15 [答案] A [解析] ∵|a －b |＝32，∴|a |2＋|b |2 －2a ·b ＝34， ∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°，设|b |＝x ，则1＋x 2 －x ＝34，∵x >0，∴x ＝1 2 . 4. 若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 [答案] B [解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形． 5. (文)若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示 c 为( ) A ．－a ＋3b B ．a －3b

高中数学平面向量知识点总结及常见题型(供参考)

平面向量一.向量的基本概念与基本运算 1 ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a =+= 向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ? ｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =?? ?==?2 12 1y y x x 2 求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：