平面向量典型例题46893
平面向量经典例题：1.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2B ．－13C ．－1D ．－23[答案] C[解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa ＋b 与c 共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2.(文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－3 C ．－3 D ．1[答案] C[解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)，∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0，∴k ＝－3.(理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－611B ．－116C.611D.116 [答案] C[解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a ＋b 与a －λb 垂直，∴(a ＋b )·(a －λb )＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝611.3.设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 间的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° [答案] B[解析] 如图，在▱ABCD 中，∵|a |＝|b |＝|c |，c ＝a ＋b ，∴△ABD 为正三角形，∴∠BAD ＝60°，∴〈a ，b 〉＝120°，故选B.(理)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝( ) A.12B.131 4D. 1 5C.[答案] A [解析] ∵|a －b |＝32，∴|a |2＋|b |2－2a ·b ＝34，∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°， 设|b |＝x ，则1＋x 2－x ＝34，∵x >0，∴x ＝12.4.若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形[答案] B[解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形． 5.若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示c 为( ) A ．－a ＋3b B ．a －3b C ．3a －b D ．－3a ＋b [答案] B[解析] 设c ＝λa ＋μb ，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋μ＝－2λ－μ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1μ＝－3，∴c ＝a －3b ，故选B. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b [答案] B[解析] ∵E 为OD 的中点，∴BE →＝3ED →， ∵DF ∥AB ，∴|AB ||DF |＝|EB ||DE |，∴|DF |＝13|AB |，∴|CF |＝23|AB |＝23|CD |，∴AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋23CD →＝a ＋23(OD →－OC →)＝a ＋23(12b －12a )＝23a ＋13b .6.若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19B ．14C．－18 D．－19 [答案] D[解析] 据已知得cos B ＝72＋52－622×7×5＝1935，故AB →·BC →＝|AB →|×|BC →|×(－cos B )＝7×5×⎝⎛⎭⎫－1935＝－19.7.若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．23 C ．3 2 D ．6[答案] D[解析] a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝6，等号在x ＝12，y ＝1时成立．8.若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，若O 不在l 上，存在实数x 使得x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，实数x 为( ) A ．－1 B ．0 C.－1＋52D.1＋52[答案] A[解析] x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，∴x 2OA →＋(x －1)OB →＋OC →＝0，由向量共线的充要条件及A 、B 、C 共线知，1－x －x 2＝1，∴x ＝0或－1，当x ＝0时，BC →＝0，与条件矛盾，∴x ＝－1. 9.(文)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( ) A ．最大值为8 B ．最小值为2 C ．是定值6 D ．与P 的位置有关 [答案] C[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为x 轴建立如图坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，AB →＋AC →＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，设P (x,0)，－1≤x ≤1，则AP →＝(x ，－3)，∴AP →·(AB →＋AC →)＝(x ，－3)·(0，－23)＝6，故选C.(理)在△ABC 中，D 为BC 边中点，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|AD →|的最小值是( )A.12B.32C. 2D.22[答案] D[解析] ∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，∴|AB →|·|AC →|·cos120°＝－1， ∴|AB →|·|AC →|＝2，∴|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝4，∵D 为BC 边的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－2)≥14(4－2)＝12，∴|AD →|≥22.10. 如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD分别交于E 、F 两点，且交其对角线于K ，其中AE →＝13AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.15B.14C.13D.12[答案] A[解析] 如图，取CD 的三等分点M 、N ，BC 的中点Q ，则EF ∥DG ∥BM ∥NQ ，易知AK →＝15AC →，∴λ＝15.11. 已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( )A.12 B ．2 C ．－2 D ．－12[答案] C[解析] m a ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)，由条件知(2m －4)·(－1)－(3m ＋8)×4＝0，∴m ＝－2，故选C.12. 在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6[答案] B[解析] CM →·CB →＝(CA →＋AM →)·CB→＝(CA →＋13AB →)·CB →＝CA →·CB →＋13AB →·CB →＝13|AB →|·|CB →|·cos45°＝13×32×3×22＝3. 13. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________. [答案]152[解析] 由条件知，|AB →|＝|AC →|＝|BC →|＝3，〈AB →，AC →〉＝60°， 〈AB →，CB →〉＝60°，CD →＝23CB →，∴AB →·AD →＝AB →·(AC →＋CD →)＝AB →·AC →＋AB →·23CB →＝3×3×cos60°＋23×3×3×cos60°＝152.14. 已知向量a ＝(3,4)，b ＝(－2,1)，则a 在b 方向上的投影等于________．[答案] －255。
[解析] a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－25＝－255. 15. 已知向量a 与b 的夹角为2π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________.[答案] 1[解析] ∵〈a ，b 〉＝2π3，|a |＝1，|b |＝4，∴a ·b ＝|a |·|b |·cos〈a ，b 〉＝1×4×cos 2π3＝－2，∵(2a ＋λb )⊥a ，∴a ·(2a ＋λb )＝2|a |2＋λa ·b ＝2－2λ＝0，∴λ＝1.16. 已知：|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB→(m ，n ∈R ＋)，则m n＝________. [答案] 3[解析] 设mOA →＝OF →，nOB →＝OE →，则OC →＝OF →＋OE →，∵∠AOC ＝30°，∴|OC →|·cos30°＝|OF →|＝m |OA →|＝m ，|OC →|·sin30°＝|OE →|＝n |OB →|＝3n ，两式相除得：m3n ＝|OC →|cos30°|OC →|sin30°＝1tan30°＝3，∴mn ＝3.17. (文)设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________． [答案] 5[解析] 由条件知，i 2＝1，j 2＝1，i ·j ＝0，∴OA →·OB →＝(－2i ＋j )·(4i ＋3j )＝－8＋3＝－5，又OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos〈OA →，OB →〉＝55cos 〈OA →，OB →〉，∴cos 〈OA →，OB →〉＝－55，∴sin 〈OA →，OB →〉＝255，∴S △OAB ＝12|OA →|·|OB →|·sin〈OA →，OB →〉＝12×5×5×255＝5.(理)三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，能得出三角形ABC 一定是锐角三角形的条件是________(只写序号)①sin A ＋cos A ＝15 ②AB →·BC →<0 ③b ＝3，c ＝33，B ＝30° ④tan A ＋tan B ＋tan C >0.[答案] ④[解析] 若A 为锐角，则sin A ＋cos A >1，∵sin A ＋cos A ＝15，∴A 为钝角，∵AB →·BC →<0，∴BA →·BC →>0，∴∠B 为锐角，由∠B 为锐角得不出△ABC 为锐角三角形；由正弦定理b sin B ＝c sin C 得，3sin30°＝33sin C，∴sin C ＝32，∴C ＝60°或120°，∵c ·sin B ＝332，3<332<33，∴△ABC 有两解，故①②③都不能得出△ABC 为锐角三角形．④由tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan C ＝－tan C (1－tan A tan B )＋tan C ＝tan A tan B tan C >0，及A 、B 、C ∈(0，π)，A ＋B ＋C ＝π知A 、B 、C 均为锐角，∴△ABC 为锐角三角形．18. 已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )．(1)若a ⊥b ，求x 的值． (2)若a ∥b ，求|a －b |. [解析] (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0， 整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，则x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2， 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， ∴|a －b |＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝－22＋02＝2，当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，∴|a －b |＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝22＋－42＝2 5.19. 已知向量a ＝(sin x ，－1)，b ＝(3cos x ，－12)，函数f (x )＝(a ＋b )·a －2.(1)求函数f (x )的最小正周期T ；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6上个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的解析式及其对称中心坐标．[解析] (1)f (x )＝(a ＋b )·a －2＝a 2＋a ·b －2＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12－2＝1－cos2x 2＋32sin2x －12＝32sin2x －12cos2x ＝sin(2x －π6)， ∴周期T ＝2π2＝π. (2)向左平移π6个单位得，y ＝sin[2(x ＋π6)－π6]＝sin(2x ＋π6)，横坐标伸长为原来的3倍得， g (x )＝sin(23x ＋π6)，令23x ＋π6＝k π得对称中心为(3k π2－π4，0)，k ∈Z . 20. (文)三角形的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量m ＝(c －a ，b －a )，n ＝(a ＋b ，c )，若m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)若sin A ＋sin C 的取值范围．[解析] (1)由m ∥n 知c －a a ＋b ＝b －a c， 即得b 2＝a 2＋c 2－ac ，据余弦定理知cos B ＝12，得B ＝π3. (2)sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋sin(A ＋π3) ＝sin A ＋12sin A ＋32cos A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin(A ＋π6)， ∵B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3，∴A ∈(0，2π3)， ∴A ＋π6∈(π6，5π6)，∴sin(A ＋π6)∈(12，1]， ∴sin A ＋sin C 的取值范围为(32，3]． (理)在钝角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，m ＝(2b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，且m ∥n .(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos(π3－2B )的值域． [解析] (1)由m ∥n 得(2b －c )cos A －a cos C ＝0，由正弦定理得2sin B cos A －sin C cos A －sin A cos C ＝0，∵sin(A ＋C )＝sin B ，∴2sin B cos A －sin B ＝0，∵B 、A ∈(0，π)，∴sin B ≠0，∴A ＝π3. (2)y ＝1－cos2B ＋12cos2B ＋32sin2B ＝1－12cos2B ＋32sin2B ＝sin(2B －π6)＋1， 当角B 为钝角时，角C 为锐角，则⎩⎪⎨⎪⎧ π2<B <π0<2π3－B <π2⇒π2<B <2π3，∴5π6<2B －π6<7π6，∴sin(2B －π6)∈(－12，12)，∴y ∈(12，32)． 当角B 为锐角时，角C 为钝角，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0<B <π2π2<2π3－B <π⇒0<B <π6， ∴－π6<2B －π6<π6，∴sin(2B －π6)∈(－12，12)，∴y ∈(12，32)， 综上，所求函数的值域为(12，32)． 21. 设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x )，x ∈R .(1)若f (x )＝1－3且x ∈[－π3，π3]，求x ； (2)若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m ，n )(|m |<π2)平移后得到函数y ＝f (x )的图象，求实数m 、n 的值． [解析] (1)依题设，f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x＝1＋2sin(2x ＋π6)． 由1＋2sin(2x ＋π6)＝1－3，得sin(2x ＋π6)＝－32， ∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6，∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4. (2)函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m ，n )平移后得到函数y ＝2sin2(x －m )＋n 的图象，即函数y ＝f (x )的图象．由(1)得f (x )＝2sin2(x ＋π12)＋1.∵|m |<π2，∴m ＝－π12，n ＝1. 22. 已知向量OP →＝(2cos x ＋1，cos2x －sin x ＋1)，OQ →＝(cos x ，－1)，f (x )＝OP →·OQ →.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的最大值及取得最大值时的x 值． [解析] (1)∵OP →＝(2cos x ＋1，cos2x －sin x ＋1)，OQ →＝(cos x ，－1)，∴f (x )＝OP →·OQ →＝(2cos x ＋1)cos x －(cos2x －sin x ＋1)＝2cos 2x ＋cos x －cos2x ＋sin x －1＝cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π4)， ∴函数f (x )最小正周期T ＝2π.(2)∵x ∈[0，π2]，∴x ＋π4∈[π4，3π4]，∴当x＋π4＝π2，即x＝π4时，f(x)＝2sin(x＋π4)取到最大值 2.23.△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m＝(－1,1)，n＝(cos B cos C，sin B sin C－32 )，且m ⊥n .(1)求A 的大小；(2)现在给出下列三个条件：①a ＝1；②2c －(3＋1)b ＝0；③B ＝45°，试从中选择两个条件以确定△ABC ，求出所确定的△ABC 的面积．(注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分)．[解析] (1)因为m ⊥n ，所以－cos B cos C ＋sin B sin C －32＝0， 即cos B cos C －sin B sin C ＝－32，所以cos(B ＋C )＝－32， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以cos(B ＋C )＝－cos A ，所以cos A ＝32，A ＝30°. (2)方案一：选择①②，可确定△ABC ，因为A ＝30°，a ＝1,2c －(3＋1)b ＝0，由余弦定理得，12＝b 2＋(3＋12b )2－2b ·3＋12b ·32解得b ＝2，所以c ＝6＋22， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12·2·6＋22·12＝3＋14， 方案二：选择①③，可确定△ABC ，因为A ＝30°，a ＝1，B ＝45°，C ＝105°，又sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝6＋24， 由正弦定理c ＝a sin C sin A ＝1·sin105°sin30°＝6＋22， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12·1·6＋22·22＝3＋14. (注意：选择②③不能确定三角形)(理)如图，⊙O 方程为x 2＋y 2＝4，点P 在圆上，点D 在x 轴上，点M 在DP 延长线上，⊙O 交y 轴于点N ，DP →∥ON →，且DM →＝32DP →. (1)求点M 的轨迹C 的方程； (2)设F 1(0，5)、F 2(0，－5)，若过F 1的直线交(1)中曲线C 于A 、B 两点，求F 2A →·F 2B →的取值范围．[解析] (1)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，∵DM →＝32DP →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝32y 0x ＝x 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝23y x 0＝x ，代入x 20＋y 20＝4得，x 24＋y 29＝1. (2)①当直线AB 的斜率不存在时，显然F 2A →·F 2B →＝－4，②当直线AB 的斜率存在时，不妨设AB 的方程为：y ＝kx ＋5， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋5x 24＋y 29＝1得，(9＋4k 2)x 2＋85kx －16＝0， 不妨设A 1(x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－85k 9＋4k 2x 1x 2＝－169＋4k 2，F 2A →·F 2B →＝(x 1，y 1＋5)·(x 2，y 2＋5)＝(x 1，kx 1＋25)·(x 2，kx 2＋25)＝(1＋k 2)x 1x 2＋25k (x 1＋x 2)＋20＝－161＋k 29＋4k 2＋－80k 29＋4k 2＋20＝－96k 2－169＋4k 2＋20 ＝－4＋2009＋4k 2， ∵k 2≥0，∴9＋4k 2≥9，∴0<2009＋4k 2≤2009， ∴－4<F 2A →·F 2B →≤1649， 综上所述，F 2A →·F 2B →的取值范围是(－4，1649]． 24. 在平面直角坐标系内，已知两点A (－1,0)、B (1,0)，若将动点P (x ，y )的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的2倍后得到点Q (x ，2y )，且满足AQ →·BQ →＝1.(1)求动点P 所在曲线C 的方程；(2)过点B 作斜率为－22的直线l 交曲线C 于M 、N 两点，且OM →＋ON →＋OH →＝0，又点H 关于原点O 的对称点为点G ，试问M 、G 、N 、H 四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．[解析] (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则点Q 的坐标为(x ，2y )，依据题意得，AQ →＝(x ＋1，2y )，BQ →＝(x －1，2y )．∵AQ →·BQ →＝1，∴x 2－1＋2y 2＝1.∴动点P 所在曲线C 的方程是x 22＋y 2＝1. (2)因直线l 过点B ，且斜率为k ＝－22，∴l ：y ＝－22(x －1)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1y ＝－22x －1，消去y 得，2x 2－2x －1＝0.设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－12，∴y 1＋y 2＝－22(x 1－1)－22(x 2－1) ＝－22(x 1＋x 2)＋2＝22. 由OM →＋ON →＋OH →＝0得，OH →＝(－x 1－x 2，－y 1－y 2)，即H (－1，－22)， 而点G 与点H 关于原点对称，∴G (1，22)，设线段MN 、GH 的中垂线分别为l 1和l 2，k GH ＝22，则有 l 1：y －24＝2(x －12)，l 2：y ＝－2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y －24＝2x －12，y ＝－2x解得l 1和l 2的交点为O 1(18，－28)． 因此，可算得|O 1H |＝982＋3282＝3118， |O 1M |＝x 1－182＋y 1＋282＝3118. 所以M 、G 、N 、H 四点共圆，且圆心坐标为O 1(18，－28)，半径为3118. 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
平面向量题目及详细答案.doc
A + 2 = 2mA2一cos2 a = m +22,设± = k代入方程组可得＜mkm 4-2 = 2mk2m2 - cos2a = m + 2sina 平面向量高考经典试一、选择题1.(全国1文理)已知向量方=(-5,6),方= (6,5),则Z与方A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向解.己知向量a = (-5,6), & = (6,5), = —30 + 30 = 0,则U与片垂直,2、(山东文5)已知向量G = (1, 〃)，b = (—1, 〃)，若2a -b与b垂直，则a =( )A. 1B. y/2C. 2D. 4【分析】：2a-b = (3,n),由2a-b^jb垂直可得：(3,〃)・(—1,〃) = -3 + 〃2 =o=> 〃 = ±右，a = 2 o3、(广东文4理10)若向量履满足修|=|方|二1 3,5的夹角为60。
，则溢+混=解析：aa + a-b= l + lxlx—=—,2 24、(天津理10)设两个向量。
=(A + 2, /i? 一cos2Q)和方=(m, y + sin a),其中人,a为一一人实数.若。
=2上则-的取值范围是mA. [-6,1]B. [4,8]C. (-oo,l]D. [-1,6][分析】由« = (/! +2, A2 - cos2a) ,h = (tn,— + sin a = 2片，可得2去〃7化简得2k ] - cos2a = + 2sin cr,再化简得{2-kJ 2-k2 + 4 ] 一cos2a + ------ 2 sin。
= 0 再令一— = t代入上式得、k - 2) k — 2 k — 2(sin2。
一顶 + (16产 +18/ + 2) = 0 可得一(16产 +18, + 2)c [0,4]解不等式得Z G[-1,--]8(B)\bc^ = ba-bc则入= 2 (A)-■) 1 (B)- ■) (号2 (D)-- ■)解.在左ABC 中，己知D 是AB 边上一点，若AD=2DB , cB=-G5 + XCB,则3CD = CA + AD = CA+-^B = CA + -(CB-CA)=-CA^-CB , 4X=-,选 A 。
平面向量专题练习(带答案详解)
平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。
-4 B。
-1 C。
1 D。
43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。
1 B。
5/3 C。
3/5 D。
7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。
-4 B。
-2 C。
2 D。
45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。
充分必要条件 B。
必要不充分条件 C。
充分不必要条件 D。
既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。
$\frac{8}{3}$ B。
$\frac{26}{9}$ C。
$\frac{2}{3}$ D。
$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{6}$ B。
$\frac{\pi}{4}$ C。
$\frac{\pi}{3}$ D。
$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。
18 B。
平面向量经典练习题(含答案)
高中平面向量经典练习题【编著】黄勇权一、填空题1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是。
2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b | =1，则|a+5b | = 。
3、已知点A（1，2），B（2，1），若→AP=（3，4），则→BP= 。
4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。
5、向量a、b满足|a|=1，|b|= 2 ，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。
6、设向量a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6 ，则a·b＝。
7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是。
8、在△ABC中，D为AB边上一点，→AD =12→DB，→CD =23→CA + m→CB，则m= 。
9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是。
10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD上，且→AP= 2→PD，则点C的坐标是（）。
二、选择题1、设向量→OA=（6，2），→OB=（-2，4），向量→OC垂直于向量→OB，向量→BC平行于→OA，若→OD +→OA=→OC，则→OD坐标=（）。
A、（11，6）B、（22，12）C、（28，14）D、（14，7）2、把A（3,4）按向量a（1,-2）平移到A',则点A'的坐标（）A、（4 , 2）B、（3，1）C、（2，1）D、（1，0）3、已知向量a，b，若a为单位向量, 且 | a| = | 2b| ,则（2a+ b）⊥（a-2b），则向量a与b的夹角是（）。
A、90°B、60°C、30°D、0°4、已知向量ab的夹角60°，| a|= 2，b=（-1，0），则| 2a-3b|=（）A、 15B、 14C、 13D、 115、在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|2·→0C ＋→CD|＝4，则,|→BC+→CD|＝______.A、12B、8C、4D、26题、7题、8、若向量a＝(3,4)，向量b＝(2,1)，则a在b方向上的投影为________．A、2B、4C、8D、169题、10、已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则→AE·→BD＝.A、-1B、1C、-2D、2三、解答题1、在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，求→AB·→AC的值。
平面向量知识点+例题+练习+答案
五、平面向量1．向量的概念①向量 既有大小又有方向的量。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
向量表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
向量和数量的区别：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。
由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。
(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
(整理版)平面向量的坐标运算(典型例题)
平面向量的坐标运算〔典型例题〕[教学重点]理解平面向量的坐标表示及它们之间的一一对应关系；掌握平面向量的加法、减法、实数与向量积的坐标运算法那么；能够判断向量的平行或由向量的平行求解向量的坐标.[教学难点]理解平面向量的坐标表示是几何问题代数化的根底，将求解的几何图形问题，放置在直角坐标系下，通过向量的坐标运算到达求解的目的，是本章内容的重要思想方法和具体应用.[典型例题]例1、A、B、C、D是平面直角坐标系中任意位置上四个不同点，求证:.解:设A、B、C、D四点的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), (x3, y3), (x4, y4)，那么由向量的坐标表示可得:再由向量和的坐标运算得例2．ΔABC内一点G，使得，D是BC中点，求证:点G是ΔABC的重心，且.解:如下图建立直角坐标系:设A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), G(x, y)那么由∴即∴即(x-x1, y-y1)=(x2+x3-2x, y2+y3-2y)∴x-x1=x2+x3-2x, y-y1=y2+y3-2y∴x2+x3=3x-x1, y2+y3=3y-y1由∴∴即将x2+x3=3x-x1,y2+y3=3y-y1代入∴∴即，且必有∴A、G、D三点共线，即中线AD过G点.同理可证AC、AB边上中线也必过G点.故G是ΔABC的重心.例3．设向量，假设，求使成立的实数λ和x的值.解:由向量的坐标运算法那么∵∴∴由∴，即.例4．如图，直角ΔABE的直角边为AB、AE，以AB、AE为边在ΔABE外部作正方形ABCD 和正方形AEFG，连结CE交AB于N点，连结BF交AE于M点，证明AM=AN.解:此题除了用平面几何的方法求证，可用平面向量知识及运算求证.如图建立坐标系设AE边长为a，AB边长为b, 那么E(a, 0), B(0, -b), F(a, a),C(-b, -b).设M(x, 0), N(0, y)那么，∵，∴ab-(a+b)x=0∴,即，由，且，∴(a+b)(y+b)-b2=0, ∴,即，∴，∴AM=AN.课外练习：1．假设点P(2,3),Q(3,a),R(4,b)共线，那么有〔〕.A、a=4,b=5B、b-a=1C、2a-b=3D、a-2b=32．点A(-1,-2), ，那么C点坐标为〔〕.A、(0, 1)B、(1, 3) C 、(0, -1) D、(3, 1)3．ΔABC中，顶点B(1,1), C(2, -6), D是BC边上一点，假设ΔABD的面积是ΔABC面积的，那么点D的坐标为〔〕.A、B、C、D、4．a、b、c是两两不相等的实数，那么点A(a+b，c), B(b+c，a), C(c+a，b)的位置关系满足〔〕.A、在同一条直线上B、是RtΔ的三个顶点C、是等边Δ的三个顶点D、是钝角Δ的三个顶点5．ΔABC中，A(3, 6), B(0, 0), C(6,2)，过AB边上一点D作BC的平行线，交AC于E点，假设ΔADE的面积是梯形DECB面积的，求D、E两点坐标.参考答案：1.C2.A3.D4.A5. 解:由DE//BC，∴ΔADE∽ΔABC，∵ΔADE面积是梯形DECB面积∴ΔADE面积是ΔABC面积，∴，∴，设D(x1, y1), E(x2, y2)∴,,,由x1-3=-1, y1-6=-2∴x1=2, y1=4.由x2-3=1, , ∴x2=4, ,∴.。
平面向量经典例题30道
平面向量经典例题30道一、选择题1.已知|→a| = 3, |→b| = 2, 向量→a 和→b 的夹角为π/3，则→a · →b= A. 3 B. √3 C. -3 D. -√32.已知|→a| = 1, |→b| = 2, →a 与→b 的夹角为π/2，若→a - →b 与→a垂直，则→a 与→b 的夹角为 A. π/6 B. π/4 C. π/3 D. π/23.已知|→a| = 1, |→b| = 2, →a 与→b 的夹角为π/4，若→a - λ→b 与→a +→b 共线，则实数λ 的值为A. -1/2 B. 1/2 C. -√2/4 D. √2/44.已知|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，若(→a +→b) · (→a - λ→b) = 0，则实数λ 的值为A. -1 B. 1 C. -√2 D. √25.已知|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/3，若(→a +→b) · (→a - →b) = 0，则实数λ 的值为A. -1 B. 1 C. -√2 D.√26.已知向量a = (-2, 3)，b = (1, -1)，若a 与b 的夹角为钝角，则a · b 等于( ) A. -4 B. -2 C. 0 D. 27.若平面向量a，b 满足|a| = 1，|b| = 2，且向量a，b 的夹角为π/4，若 a - λb 与 b 垂直，则实数λ 的值为( ) A. -1/2 B. 1/2 C. -√2/4 D.√2/48.已知F1，F2 是椭圆C：(x^2)/9 + (y^2)/4 = 1 的两个焦点，P 是C 上一点，且与F1，F2 在同一直线上，若|PF1| × |PF2| = 12，则P 到椭圆C 的两个焦点的距离之和为( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 129.已知a = ，b = (-1, 1)，若a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( ) A. (0, +∞) B. (0, 1) ∪ (1, +∞) C. (-∞, 0) ∪ (0, +∞) D. (-∞, 0) ∪(1, +∞)10.已知向量a = (-2, 4)，b = (-1, 2)，若向量a - λb 与b 共线，则实数λ 的值为_______．11.已知向量a = (-2, 3)，b = (λ, 2)，若a 与b 的夹角为锐角，则λ 的取值范围是_______．12.已知向量a = (-2, 3)，b = (-4, 1)，若a 与b 的夹角为锐角，则实数m的取值范围是_______．13.已知向量a = (-2, 1)，b = (λ, 2)，若a 与b 的夹角为锐角，则λ 的取值范围是_______．14.在△ABC中，AB = (-1, 1)，AC = (2, 3)，则∠BAC = _______（用反三角函数的值表示）15.在△ABC中，AB = (-4, 3)，AC = (1, 2)，则BC = _______16.在△ABC中，AB = (-4, 3)，AC = (-1, 2)，且AB⊥AC，则BC = _______17.在△ABC中，AB = (2, -1)，AC = (-4, 3)，则BC = _______18.在△ABC中，AB = (3, -4)，AC = (-2, 3)，则BC = _______19.若点P 在直线l₁：x - 2y - 3 = 0 和直线l₂：3x + y - 1 = 0 的夹角平分线上，则点P 到直线l₃：x + 2y - 5 = 0 的距离为_______．20.已知等差数列{an} 中，a₁ = -1，且a₁，a₂，a₃ 三项及格率为5/4，若an= λ(n为正整数)，则实数λ 的取值集合为_______．二、填空题21.已知|→a| = 3, |→b| = 4, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，则→a · _______ = 9√2．22.已知|→a| = 2, |→b| = 4, 向量→a 与→b 的夹角为π/6，则_______ =(√3 + 1)/4．23.已知|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，若_______ =(-√5)/5，则实数λ 的值为_______．24.若|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，则_______ =_______．25.若|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，则_______ =_______．三、解答题26.若|→a| = 3, |→b| = 5, 向量→a 与→b 的夹角为π/6，求向量→a 在向量→b 上的投影．27.若|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/3，求(→a +→b) · (→a - λ→b)．28.若|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，求(→a +λ→b) · (→a - λ→b)．29.若|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/6，求(→a +λ→b) · (→a - λ→b)．30.已知|a| = 1, |b| = 2, a与b的夹角为π/3, 若a - λb与b垂直，求实数λ的值．31.在△ABC中，AD为BC边上的中线，G为AD上靠近D的三等分点，若(1/2AB) · (AC - GC) = 0 ( ·表示向量的数量积)，求AG与BC边的夹角．32.在△ABC中，AB = AC = 2, 点D在BC上，且BD = DC, E,F分别是AB,AC上的点，且AE/EB = AF/FC = 1/2, AD与EF交于点G, 求向量EF ·向量AD 的值．33.若点A(x,y)在圆x²+y²=4上运动时，点B(x-3,y-4)也在圆上运动，求线段AB中点M的轨迹方程．34.在△ABC中，D是BC的中点，E、F分别在AB、AC上，且EF平行于BC，AD与EF交于点M，BD=CD=1,AD=3,求向量EF ·向量BC．。
平面向量经典练习题(含答案)
高中平面向量经典练习题【编著】黄勇权一、填空题1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是。
2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b | =1，则|a+5b | = 。
3、已知点A（1，2），B（2，1），若→AP=（3，4），则→BP= 。
4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。
5、向量a、b满足|a|=1，|b|= 2 ，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。
6、设向量a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6 ，则a·b＝。
7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是。
8、在△ABC中，D为AB边上一点，→AD =12→DB，→CD =23→CA + m→CB，则m= 。
9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是。
10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD上，且→AP= 2→PD，则点C的坐标是（）。
二、选择题1、设向量→OA=（6，2），→OB=（-2，4），向量→OC垂直于向量→OB，向量→BC平行于→OA，若→OD +→OA=→OC，则→OD坐标=（）。
A、（11，6）B、（22，12）C、（28，14）D、（14，7）2、把A（3,4）按向量a（1,-2）平移到A',则点A'的坐标（）A、（4 , 2）B、（3，1）C、（2，1）D、（1，0）3、已知向量a，b，若a为单位向量, 且 | a| = | 2b| ,则（2a+ b）⊥（a-2b），则向量a与b的夹角是（）。
A、90°B、60°C、30°D、0°4、已知向量ab的夹角60°，| a|= 2，b=（-1，0），则| 2a-3b|=（）A、 15B、 14C、 13D、 115、在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|2·→0C ＋→CD|＝4，则,|→BC+→CD|＝______.A、12B、8C、4D、26题、7题、8、若向量a＝(3,4)，向量b＝(2,1)，则a在b方向上的投影为________．A、2B、4C、8D、169题、10、已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则→AE·→BD＝.A、-1B、1C、-2D、2三、解答题1、在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，求→AB·→AC的值。
平面向量例题
平面向量例题摘要：1.平面向量的概念2.平面向量的基本运算3.平面向量的应用举例4.例题解析正文：一、平面向量的概念平面向量，又称二维向量，是具有大小和方向的几何对象。
在平面直角坐标系中，一个平面向量可以表示为一个有序的实数对(x, y)，其中x 和y 分别表示向量在x 轴和y 轴上的分量。
我们可以将平面向量表示为一个带箭头的线段，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
二、平面向量的基本运算1.加法两个平面向量相加，是将它们的对应分量分别相加，即(x1, y1) + (x2,y2) = (x1 + x2, y1 + y2)。
2.减法两个平面向量相减，是将它们的对应分量分别相减，即(x1, y1) - (x2, y2) = (x1 - x2, y1 - y2)。
3.数乘平面向量与实数相乘，是将向量的大小乘以实数，方向保持不变，即(x, y) * λ= (λx, λy)。
三、平面向量的应用举例假设有一个向量A = (3, 4)，另一个向量B = (1, 2)。
我们可以进行以下运算：1.向量加法：A + B = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)2.向量减法：A - B = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2)3.向量数乘：2A = (2 * 3, 2 * 4) = (6, 8)四、例题解析例题：求向量(2, 3) 与向量(1, 1) 的和，差及数乘。
解：1.向量加法：(2, 3) + (1, 1) = (2 + 1, 3 + 1) = (3, 4)2.向量减法：(2, 3) - (1, 1) = (2 - 1, 3 - 1) = (1, 2)3.向量数乘：2 * (2, 3) = (2 * 2, 2 * 3) = (4, 6)综上所述，平面向量是具有大小和方向的几何对象，可以进行加法、减法和数乘等基本运算。
平面向量经典练习题(含答案)
平面向量经典练习题(含答案)1、向量a=(2,4)，b=(-1,-3)，则向量3a-2b的坐标是(8,22)。
2、已知向量a与b的夹角为60°，a=(3,4)，|b|=1，则|a+5b|=√61.3、已知点A(1,2)，B(2,1)，若AP=(3,4)，则BP=(-1,-1)。
4、已知A(-1,2)，B(1,3)，C(2,0)，D(x,1)，若AB与CD共线，则|BD|=2.5、向量a、b满足|a|=1，|b|=2，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为30°。
6、设向量a，b满足|a+b|=10，|a-b|=6，则a·b=7.7、已知a、b是非零向量且满足(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a与b的夹角是60°。
8、在△ABC中，D为AB边上一点，AD=2DB，CD=3CA+mCB，则m=1.9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥(2a+b)，则a与b的夹角是53.13°。
10、在三角形ABC中，已知A(-3,1)，B(4,-2)，点P(1,-1)在中线AD上，且AP=2PD，则点C的坐标是(6,-3)。
二、选择题1、设向量OA=(6,2)，OB=(-2,4)，向量OC垂直于向量OB，向量BC平行于OA，若OD+OA=OC，则OD坐标=(11,6)。
2、把A(3,4)按向量a(1,-2)平移到A'，则点A'的坐标(4,2)。
3、已知向量a，b，若a为单位向量，且|a|=|2b|，则(2a+b)⊥(a-2b)，则向量a与b的夹角是30°。
4、已知向量ab的夹角60°，|a|=2，b=(-1,√3)，则|2a-3b|=13.5、在菱形ABCD中，∠DAB=60°，|2·0C+CD|=4，则|BC+CD|=2.6、略。
7、略。
8、若向量a=(3,4)，向量b=(2,1)，则a在b方向上的投影为2.9、略。
(完整版)平面向量典型例题
平面向量经典例题：1.已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量λa＋b与向量c＝(1，－2)共线，则实数λ等于()A．－2B．－13C．－1 D．－23[答案] C[解析]λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa＋b与c共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.2.(文)已知向量a＝(3，1)，b＝(0,1)，c＝(k，3)，若a＋2b与c垂直，则k＝()A．－1 B．－ 3C．－3 D．1[答案] C[解析]a＋2b＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)，∵a＋2b与c垂直，∴(a＋2b)·c＝3k＋33＝0，∴k＝－3.(理)已知a＝(1,2)，b＝(3，－1)，且a＋b与a－λb互相垂直，则实数λ的值为()A．－611B．－116C.611 D.116[答案] C[解析]a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)，∵a＋b与a－λb垂直，∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝6 11.3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b间的夹角为()A．150°B．120°C．60°D．30°[答案] B[解析]如图，在▱ABCD中，∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形，∴∠BAD＝60°，∴〈a，b〉＝120°，故选B.(理)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝32，a与b的夹角为60°，则|b|＝()A.12 B.13C.14 D.15[答案] A[解析]∵|a－b|＝32，∴|a|2＋|b|2－2a·b＝34，∵|a|＝1，〈a，b〉＝60°，设|b|＝x，则1＋x2－x＝34，∵x>0，∴x＝12.4.若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形[答案] B[解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形．5. 若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示c 为( ) A ．－a ＋3b B ．a －3b C ．3a －b D ．－3a ＋b[答案] B[解析] 设c ＝λa ＋μb ，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)， ∴⎩⎨⎧ λ＋μ＝－2λ－μ＝4，∴⎩⎨⎧λ＝1μ＝－3，∴c ＝a －3b ，故选B. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC→＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )A.14a ＋12bB.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b [答案] B[解析] ∵E 为OD 的中点，∴BE →＝3ED →， ∵DF ∥AB ，∴|AB ||DF |＝|EB ||DE |，∴|DF |＝13|AB |，∴|CF |＝23|AB |＝23|CD |，∴AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋23CD →＝a ＋23(OD →－OC →)＝a ＋23(12b －12a )＝23a ＋13b .6.若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19 [答案] D[解析] 据已知得cos B ＝72＋52－622×7×5＝1935，故AB →·BC →＝|AB →|×|BC →|×(－cos B )＝7×5×()－1935＝－19.7.若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 3 C ．3 2 D ．6 [答案] D[解析] a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝6，等号在x ＝12，y ＝1时成立．8.若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，若O 不在l 上，存在实数x 使得x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，实数x 为( ) A ．－1 B ．0 C.－1＋52D.1＋52[答案] A[解析] x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，∴x 2OA →＋(x －1)OB →＋OC →＝0，由向量共线的充要条件及A 、B 、C 共线知，1－x －x 2＝1，∴x ＝0或－1，当x ＝0时，BC →＝0，与条件矛盾，∴x ＝－1. 9.(文)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( ) A ．最大值为8 B ．最小值为2 C ．是定值6 D ．与P 的位置有关[答案] C[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为x 轴建立如图坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，AB →＋AC →＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，设P (x,0)，－1≤x ≤1，则AP →＝(x ，－3)，∴AP →·(AB →＋AC →)＝(x ，－3)·(0，－23)＝6，故选C.(理)在△ABC 中，D 为BC 边中点，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|AD →|的最小值是( )A.12B.32C. 2D.22[答案] D[解析] ∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，∴|AB →|·|AC →|·cos120°＝－1， ∴|AB →|·|AC →|＝2，∴|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝4，∵D 为BC 边的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－2)≥14(4－2)＝12，∴|AD →|≥22.10. 如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E 、F 两点，且交其对角线于K ，其中AE →＝13AB →，AF→＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.15B.14C.13D.12[答案] A[解析] 如图，取CD 的三等分点M 、N ，BC 的中点Q ，则EF∥DG ∥BM ∥NQ ，易知AK →＝15AC →，∴λ＝15.11. 已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( )A.12 B ．2 C ．－2 D ．－12[答案] C[解析] m a ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)， 由条件知(2m －4)·(－1)－(3m ＋8)×4＝0，∴m ＝－2，故选C.12. 在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6 [答案] B[解析] CM →·CB →＝(CA →＋AM →)·CB →＝(CA →＋13AB →)·CB →＝CA →·CB →＋13AB →·CB →＝13|AB →|·|CB →|·cos45°＝13×32×3×22＝3. 13. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________. [答案]152[解析] 由条件知，|AB →|＝|AC →|＝|BC →|＝3，〈AB →，AC →〉＝60°， 〈AB →，CB →〉＝60°，CD →＝23CB →，∴AB →·AD →＝AB →·(AC →＋CD →)＝AB →·AC →＋AB →·23CB →＝3×3×cos60°＋23×3×3×cos60°＝152.14. 已知向量a ＝(3,4)，b ＝(－2,1)，则a 在b 方向上的投影等于________．[答案] －255。